عدد غير نسبي- هو - هي عدد حقيقي، وهو ليس عقلانيًا ، أي لا يمكن تمثيله ككسر ، حيث توجد أعداد صحيحة ،. يمكن تمثيل الرقم غير النسبي باعتباره عددًا عشريًا لا نهائيًا غير متكرر.
عادةً ما يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام غير المنطقية بحرف لاتيني كبير بخط غامق بدون تظليل. وهكذا: مجموعة من الأعداد غير المنطقية الفرق بين مجموعات من الأعداد الحقيقية والعقلانية.
حول وجود أرقام غير منطقية ، بشكل أكثر دقة المقاطع غير القابلة للقياس مع جزء من طول الوحدة ، كان علماء الرياضيات القدماء يعرفون بالفعل: لقد عرفوا ، على سبيل المثال ، عدم قابلية القياس للقطر وجانب المربع ، وهو ما يعادل اللاعقلانية للعدد.
الخصائص
- يمكن كتابة أي رقم حقيقي على هيئة كسر عشري لانهائي ، بينما تتم كتابة الأرقام غير النسبية وهي فقط ككسور عشرية غير دورية لا نهائية.
- تحدد الأرقام غير المنطقية تخفيضات Dedekind في مجموعة الأرقام المنطقية التي ليس لها أكبر عدد في الطبقة الدنيا ولا يوجد أصغر رقم في الطبقة العليا.
- كل رقم متعالي حقيقي غير منطقي.
- كل عدد غير نسبي إما جبري أو متسامي.
- مجموعة الأعداد غير المنطقية كثيفة في كل مكان على الخط الحقيقي: بين أي رقمين يوجد عدد غير نسبي.
- الترتيب على مجموعة الأعداد غير المنطقية متماثل مع الترتيب على مجموعة الأعداد المتجاوزة الحقيقية.
- مجموعة الأرقام غير المنطقية غير معدودة ، وهي مجموعة من الفئة الثانية.
أمثلة
| أرقام غير منطقية - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - - - - - - |
اللاعقلانية هي:
أمثلة على إثبات اللاعقلانية
جذر 2
افترض العكس: إنه عقلاني ، أي يتم تمثيله ككسر غير قابل للاختزال ، حيث هو عدد صحيح ، وهو عدد طبيعي. دعونا نربّع المساواة المفترضة:
.من هذا يتبع ذلك حتى ، وبالتالي ، حتى و. دع أين كله. ثم
لذلك ، حتى ، وبالتالي ، حتى و. لقد حصلنا على ذلك بل وحتى ، وهو ما يتعارض مع عدم إمكانية اختزال الكسر. ومن ثم ، فإن الافتراض الأصلي كان خاطئًا ، وهو رقم غير منطقي.
اللوغاريتم الثنائي للرقم 3
افترض العكس: إنه عقلاني ، أي أنه يتم تمثيله ككسر ، وأين وأعداد صحيحة. منذ ذلك الحين ، ويمكن أن تؤخذ إيجابية. ثم
لكن هذا واضح ، إنه غريب. لدينا تناقض.
ه
قصة
تم تبني مفهوم الأعداد غير المنطقية ضمنيًا من قبل علماء الرياضيات الهنود في القرن السابع قبل الميلاد ، عندما وجد ماناوا (750 قبل الميلاد - 690 قبل الميلاد) أن الجذور التربيعية لبعض الأعداد الطبيعية ، مثل 2 و 61 لا يمكن التعبير عنها صراحة.
يُنسب الدليل الأول لوجود الأرقام غير المنطقية عادةً إلى Hippasus of Metapontus (حوالي 500 قبل الميلاد) ، وهو فيثاغورس وجد هذا الدليل من خلال دراسة أطوال أضلاع النجم الخماسي. في زمن الفيثاغورس ، كان يُعتقد أن هناك وحدة طول واحدة ، صغيرة بما يكفي وغير قابلة للتجزئة ، وهي عدد صحيح من المرات المدرجة في أي مقطع. ومع ذلك ، جادل هيباسوس بأنه لا توجد وحدة طول واحدة ، لأن افتراض وجودها يؤدي إلى تناقض. لقد أظهر أنه إذا كان وتر المثلث الأيمن متساوي الساقين يحتوي على عدد صحيح من أجزاء الوحدة ، فيجب أن يكون هذا الرقم زوجيًا وفرديًا في نفس الوقت. بدا الدليل على هذا النحو:
- يمكن التعبير عن نسبة طول الوتر إلى طول ساق مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين أ:ب، أين أو بتم اختياره على أنه أصغر حجم ممكن.
- وفقًا لنظرية فيثاغورس: أ² = 2 ب².
- لأن أ² حتى ، أيجب أن يكون زوجيًا (لأن مربع الرقم الفردي سيكون فرديًا).
- بقدر ما أ:بغير القابل للاختزال بيجب أن يكون غريبًا.
- لأن أحتى ، دلالة أ = 2ذ.
- ثم أ² = 4 ذ² = 2 ب².
- ب² = 2 ذ² ، لذلك بحتى ، إذن بحتى.
- ومع ذلك ، فقد ثبت أن بالفردية. تناقض.
أطلق علماء الرياضيات اليونانيون على هذه النسبة من الكميات غير القابلة للقياس alogos(لا يمكن وصفه) ، ولكن وفقًا للأساطير ، لم يتم دفع Hippasus الاحترام الواجب. هناك أسطورة مفادها أن هيباسوس قام بالاكتشاف أثناء رحلة بحرية وألقى به فيثاغورس آخرون "لخلق عنصر من الكون ، وهو ما ينكر العقيدة القائلة بأنه يمكن اختزال جميع الكيانات في الكون إلى أعداد صحيحة ونسبها. " طرح اكتشاف Hippasus مشكلة خطيرة لرياضيات فيثاغورس ، مما أدى إلى تدمير الافتراض الأساسي القائل بأن الأرقام والأشياء الهندسية هي واحدة ولا يمكن فصلها.
عرف الناس الأعداد غير المنطقية منذ العصور القديمة. قبل عدة قرون من عصرنا ، اكتشف عالم الرياضيات الهندي مانافا أن الجذور التربيعية لبعض الأرقام (على سبيل المثال ، 2) لا يمكن التعبير عنها صراحة.
هذه المقالة هي نوع من الدرس التمهيدي في موضوع "الأرقام غير المنطقية". سنقدم تعريفًا وأمثلة للأرقام غير المنطقية مع شرح ، وسنكتشف أيضًا كيفية تحديد ما إذا كان رقم معين غير منطقي.
Yandex.RTB R-A-339285-1
أرقام غير منطقية. تعريف
يبدو أن اسم "الأرقام غير المنطقية" يشير إلى تعريف لنا. الرقم غير النسبي هو رقم حقيقي غير منطقي. بمعنى آخر ، لا يمكن تمثيل هذا الرقم ككسر m n ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي.
تعريف. أرقام غير منطقية
الأرقام غير النسبية هي تلك الأرقام التي ، في التدوين العشري ، هي كسور عشرية غير متكررة غير متكررة.
يمكن تمثيل العدد غير النسبي ككسر غير دوري لانهائي. يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام غير المنطقية بواسطة $ I $ وهي تساوي: $ I = R / Q $.
على سبيل المثال. الأرقام غير المنطقية هي:
العمليات على الأعداد غير المنطقية
في مجموعة الأعداد غير المنطقية ، يمكن إدخال أربع عمليات حسابية أساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة ؛ ولكن بالنسبة لأي من العمليات المدرجة ، فإن مجموعة الأرقام غير المنطقية لها خاصية الإغلاق. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون مجموع رقمين غير نسبيين عددًا نسبيًا.
على سبيل المثال. أوجد مجموع عددين غير نسبيين $ 0.1010010001 \ ldots $ و $ 0.0101101110 \ ldots $. يتكون أول هذه الأرقام من سلسلة من الآحاد ، مفصولة على التوالي بصفر واحد ، وصفرين ، ثلاثة أصفار ، وما إلى ذلك ، والثاني - من خلال سلسلة من الأصفار ، بين واحد ، اثنان ، ثلاثة آحاد ، إلخ. يتم وضعها:
$$ 0.1010010001 \ ldots + 0.0101101110 \ ldots = 0.111111 = 0 ، (1) = \ frac (1) (9) $$
وبالتالي ، فإن مجموع رقمين غير منطقيين معطى هو الرقم $ \ frac (1) (9) $ ، وهو رقم منطقي.
مثال
ممارسه الرياضه.أثبت أن الرقم $ \ sqrt (3) $ غير منطقي.
دليل.سنستخدم طريقة الإثبات بالتناقض. افترض أن $ \ sqrt (3) $ رقم منطقي ، أي أنه يمكن تمثيله ككسر $ \ sqrt (3) = \ frac (m) (n) $ ، حيث $ m $ و $ n $ هما الأعداد الطبيعية للجريمة.
نحن نربّع كلا جانبي المساواة ، نحصل عليه
$$ 3 = \ فارك (م ^ (2)) (n ^ (2)) \ Leftrightarrow 3 \ cdot n ^ (2) = م ^ (2) $$
الرقم 3 $ \ cdot n ^ (2) $ قابل للقسمة على 3. لذلك $ m ^ (2) $ وبالتالي $ m $ قابل للقسمة على 3. وضع $ m = 3 \ cdot k $ ، المساواة $ 3 \ cdot يمكن كتابة n ^ (2) = m ^ (2) $ كـ
$$ 3 \ cdot n ^ (2) = (3 \ cdot k) ^ (2) \ Leftrightarrow 3 \ cdot n ^ (2) = 9 \ cdot k ^ (2) \ Leftrightarrow n ^ (2) = 3 \ cdot ك ^ (2) $$
ويترتب على المساواة الأخيرة أن $ n ^ (2) $ و $ n $ قابلان للقسمة على 3 ، لذلك يمكن اختزال الكسر $ \ frac (m) (n) $ بمقدار 3. لكن بافتراض ، الكسر $ \ frac (m) (n) $ غير قابل للاختزال. يثبت التناقض الناتج أن الرقم $ \ sqrt (3) $ لا يمكن تمثيله ككسر $ \ frac (m) (n) $ وبالتالي فهو غير منطقي.
Q.E.D.
يمكن تمثيل جميع الأعداد المنطقية في صورة كسر مشترك. ينطبق هذا على الأعداد الصحيحة (على سبيل المثال ، 12 ، -6 ، 0) ، والكسور العشرية النهائية (على سبيل المثال ، 0.5 ؛ -3.8921) ، والكسور العشرية الدورية اللانهائية (على سبيل المثال ، 0.11 (23) ؛ -3 ، (87) )).
لكن الكسور العشرية اللانهائية غير المتكررةلا يمكن تمثيلها ككسور عادية. هذا ما هم عليه أرقام غير منطقية(أي غير عقلاني). مثال على هذا الرقم هو π ، والذي يساوي 3.14 تقريبًا. ومع ذلك ، لا يمكن تحديد ما يساوي بالضبط ، لأنه بعد الرقم 4 توجد سلسلة لا نهاية لها من الأرقام الأخرى التي لا يمكن تمييز فترات التكرار فيها. في الوقت نفسه ، على الرغم من أن الرقم لا يمكن التعبير عنه بالضبط ، إلا أنه له معنى هندسي محدد. الرقم π هو نسبة طول أي دائرة إلى طول قطرها. وبالتالي فإن الأعداد غير المنطقية موجودة في الطبيعة ، مثلها مثل الأعداد المنطقية.
مثال آخر على الأعداد غير النسبية هو الجذور التربيعية للأرقام الموجبة. استخراج الجذور من بعض الأرقام يعطي قيمًا منطقية ، ومن البعض الآخر - غير عقلاني. على سبيل المثال ، √4 = 2 ، أي أن جذر 4 هو رقم نسبي. لكن √2 و √5 و √7 والعديد غيرها ينتج عنها أرقام غير منطقية ، أي أنه لا يمكن استخراجها إلا بالتقريب ، وتقريبها إلى منزلة عشرية معينة. في هذه الحالة ، يتم الحصول على الكسر بشكل غير دوري. وهذا يعني أنه من المستحيل أن نقول بالضبط وبالتأكيد ما هو جذر هذه الأرقام.
إذن ، √5 هو رقم يقع بين 2 و 3 ، بما أن 4 = 2 ، و 9 = 3. يمكننا أيضًا أن نستنتج أن 5 أقرب إلى 2 من 3 ، نظرًا لأن √4 أقرب إلى √5 من √9 إلى √5. في الواقع ، √5 ≈ 2.23 أو √5 2.24.
يتم الحصول على الأرقام غير المنطقية أيضًا في حسابات أخرى (وليس فقط عند استخراج الجذور) ، فهي سالبة.
فيما يتعلق بالأرقام غير المنطقية ، يمكننا القول أنه بغض النظر عن جزء الوحدة الذي نأخذه لقياس الطول الذي يعبر عنه هذا الرقم ، فلن نتمكن من قياسه بالتأكيد.
في العمليات الحسابية ، يمكن أن تشارك الأرقام غير المنطقية جنبًا إلى جنب مع الأرقام المنطقية. في الوقت نفسه ، هناك عدد من الانتظامات. على سبيل المثال ، إذا كانت هناك أرقام منطقية فقط متضمنة في عملية حسابية ، فإن النتيجة دائمًا ما تكون رقمًا منطقيًا. إذا شارك فقط غير العقلانيين في العملية ، فمن المستحيل أن نقول بشكل لا لبس فيه ما إذا كان سيتحول عدد منطقي أو غير منطقي.
على سبيل المثال ، إذا قمت بضرب رقمين غير نسبيين √2 * √2 ، فستحصل على 2 - هذا رقم نسبي. من ناحية أخرى ، √2 * √3 = 6 هو رقم غير نسبي.
إذا كانت العملية الحسابية تتضمن عددًا منطقيًا وغير منطقي ، فسيتم الحصول على نتيجة غير منطقية. على سبيل المثال ، 1 + 3.14 ... = 4.14 ... ؛ √17 - 4.
لماذا √17-4 عدد غير نسبي؟ تخيل أنك حصلت على عدد كسري س. ثم √17 = x + 4. لكن x + 4 عدد نسبي ، لأننا افترضنا أن x منطقي. العدد 4 منطقي أيضًا ، لذا فإن x + 4 منطقي. ومع ذلك ، لا يمكن أن يكون العدد المنطقي مساويًا للغير منطقي 17. وعليه ، فإن الافتراض بأن 17 - 4 يعطي نتيجة منطقية غير صحيح. ستكون نتيجة العملية الحسابية غير منطقية.
ومع ذلك ، هناك استثناء لهذه القاعدة. إذا ضربنا عددًا غير نسبي في 0 ، فسنحصل على عدد نسبي 0.
تعريف عدد غير نسبي
الأرقام غير النسبية هي تلك الأرقام التي ، في التدوين العشري ، هي كسور عشرية غير دورية غير منتهية.
لذلك ، على سبيل المثال ، الأرقام التي تم الحصول عليها عن طريق أخذ الجذر التربيعي للأعداد الطبيعية غير منطقية وليست مربعات للأعداد الطبيعية. ولكن لا يتم الحصول على جميع الأرقام غير المنطقية عن طريق استخراج الجذور التربيعية ، لأن عدد "pi" الذي تم الحصول عليه بالقسمة هو أيضًا غير منطقي ، ومن غير المرجح أن تحصل عليه عند محاولة استخراج الجذر التربيعي من عدد طبيعي.
خصائص الأعداد غير النسبية
على عكس الأرقام المكتوبة في الكسور العشرية اللانهائية ، تتم كتابة الأرقام غير النسبية فقط في كسور عشرية غير دورية لا نهائية.
يمكن أن يكون مجموع عددين غير سالبين عددًا منطقيًا في النهاية.
تحدد الأرقام غير المنطقية أقسام Dedekind في مجموعة الأعداد المنطقية ، في الفئة الدنيا التي لا يوجد بها أكبر عدد ، وفي الطبقة العليا لا يوجد عدد أصغر.
أي رقم متعالي حقيقي غير منطقي.
جميع الأعداد غير المنطقية إما جبرية أو متجاوزة.
مجموعة الأرقام غير المنطقية على الخط معبأة بشكل كثيف ، وبين أي رقمين من أرقامها لا بد أن يكون هناك عدد غير نسبي.
مجموعة الأرقام غير المنطقية لانهائية وغير معدودة وهي مجموعة من الفئة الثانية.
عند إجراء أي عملية حسابية على أعداد نسبية ، باستثناء القسمة على 0 ، فإن نتيجتها ستكون رقمًا نسبيًا.
عند إضافة رقم منطقي إلى رقم غير نسبي ، تكون النتيجة دائمًا رقمًا غير نسبي.
عند جمع أعداد غير منطقية ، يمكننا الحصول على رقم نسبي نتيجة لذلك.
مجموعة الأعداد غير المنطقية ليست زوجية.
الأعداد ليست غير منطقية
في بعض الأحيان يكون من الصعب جدًا الإجابة على السؤال عما إذا كان الرقم غير منطقي ، خاصة في الحالات التي يكون فيها الرقم في شكل كسر عشري أو في شكل تعبير رقمي أو جذر أو لوغاريتم.
لذلك ، لن يكون من الضروري معرفة أي الأرقام ليست غير منطقية. إذا اتبعنا تعريف الأعداد غير المنطقية ، فإننا نعلم بالفعل أن الأعداد المنطقية لا يمكن أن تكون غير منطقية.
الأرقام غير المنطقية ليست:
أولاً ، كل الأعداد الطبيعية ؛
الثاني ، الأعداد الصحيحة ؛
ثالثًا ، الكسور العادية ؛
رابعًا ، أعداد مختلطة مختلفة ؛
خامسًا ، هذه كسور عشرية دورية لا نهائية.
بالإضافة إلى كل ما سبق ، فإن أي مجموعة من الأرقام المنطقية التي يتم إجراؤها بواسطة علامات العمليات الحسابية ، مثل + ، - ، ،: ، لا يمكن أن تكون عددًا غير منطقي ، لأنه في هذه الحالة ستكون نتيجة عددين منطقيين أيضًا أن يكون عددًا منطقيًا.
لنرى الآن أيًا من الأرقام غير منطقية:
هل تعلم عن وجود نادي المعجبين حيث يبحث عشاق هذه الظاهرة الرياضية الغامضة عن المزيد والمزيد من المعلومات حول Pi ، في محاولة لكشف غموضها. يمكن لأي شخص يعرف عن ظهر قلب عددًا معينًا من أرقام Pi بعد الفاصلة العشرية أن يصبح عضوًا في هذا النادي ؛
هل تعلم أنه في ألمانيا ، تحت حماية اليونسكو ، يوجد قصر Castadel Monte ، بفضل النسب التي يمكنك حساب Pi. تم تخصيص قصر كامل لهذا الرقم من قبل الملك فريدريك الثاني.
اتضح أنهم حاولوا استخدام الرقم Pi في بناء برج بابل. ولكن للأسف الشديد ، أدى ذلك إلى انهيار المشروع ، لأنه في ذلك الوقت لم يتم دراسة الحساب الدقيق لقيمة Pi بشكل كافٍ.
سجلت المغنية كيت بوش في أسطوانة جديدة لها أغنية بعنوان "Pi" ، ظهرت فيها مائة وأربعة وعشرون رقمًا من الرقم المشهور السلسلة 3 ، بدت 141 ... ..
جار التحميل...