كيفية حساب مساحة صيغة المثلث. كيفية إيجاد مساحة المثلث. صيغ المثلث. الصيغ العامة للموقف عندما تكون أنصاف أقطار الدوائر المحفورة أو المقيدة معروفة

في بعض الأحيان توجد مواقف في الحياة يتعين عليك فيها الخوض في ذاكرتك بحثًا عن معرفة مدرسية منسية منذ زمن طويل. على سبيل المثال ، تحتاج إلى تحديد مساحة قطعة أرض ذات شكل مثلث ، أو أن دور الإصلاح التالي في شقة أو منزل خاص قد حان ، وتحتاج إلى حساب مقدار المواد التي ستستغرقها لسطح ذو شكل مثلثي. مر وقت يمكنك فيه حل مثل هذه المشكلة في دقيقتين ، والآن تحاول يائسًا أن تتذكر كيفية تحديد مساحة المثلث؟

لا داعي للقلق بشأن هذا! بعد كل شيء ، من الطبيعي تمامًا أن يقرر العقل البشري نقل المعرفة التي لم يتم استخدامها منذ فترة طويلة في مكان ما في زاوية نائية ، والتي يصعب أحيانًا استخلاصها منها. حتى لا تضطر إلى المعاناة من البحث عن المعرفة المدرسية المنسية لحل مثل هذه المشكلة ، تحتوي هذه المقالة على طرق مختلفة تجعل من السهل العثور على المنطقة المطلوبة للمثلث.

من المعروف أن المثلث هو نوع من المضلعات يكون مقيدًا بأقل عدد ممكن من الأضلاع. من حيث المبدأ ، يمكن تقسيم أي مضلع إلى عدة مثلثات من خلال ربط رؤوسه بأجزاء لا تتقاطع مع جوانبها. لذلك ، بمعرفة المثلث ، يمكنك حساب مساحة أي شكل تقريبًا.

من بين جميع المثلثات الممكنة التي تحدث في الحياة ، يمكن تمييز الأنواع التالية: والمستطيل.

أسهل طريقة لحساب مساحة المثلث هي عندما يكون أحد أركانه على اليمين ، أي في حالة المثلث القائم. من السهل أن نرى أنه نصف مستطيل. إذن ، مساحته تساوي نصف حاصل ضرب الأضلاع ، التي تشكل الزاوية القائمة بينهما.

إذا علمنا ارتفاع المثلث ، بعد خفضه من أحد رءوسه إلى الضلع المقابل ، وطول هذا الضلع الذي يسمى القاعدة ، فإن المساحة تُحسب على أنها نصف حاصل ضرب الارتفاع والقاعدة. هذا مكتوب باستخدام الصيغة التالية:

S = 1/2 * ب * ح ، حيث

S هي المنطقة المرغوبة من المثلث ؛

ب ، ح - على التوالي ، ارتفاع وقاعدة المثلث.

من السهل جدًا حساب مساحة المثلث متساوي الساقين ، لأن الارتفاع سينقسم إلى نصفين في الجانب المقابل ، ويمكن قياسه بسهولة. إذا تم تحديد المنطقة ، فمن الملائم أخذ طول أحد الجوانب لتشكيل الزاوية اليمنى كالارتفاع.

كل هذا جيد بالتأكيد ، لكن كيف تحدد ما إذا كانت إحدى زوايا المثلث صحيحة أم لا؟ إذا كان حجم الشكل صغيرًا ، فيمكنك استخدام زاوية بناء أو مثلث رسم أو بطاقة بريدية أو أي كائن آخر مستطيل الشكل.

ولكن ماذا لو كان لدينا قطعة أرض مثلثة الشكل؟ في هذه الحالة ، تابع ما يلي: من أعلى الزاوية اليمنى المزعومة على جانب واحد ، يتم قياس مسافة مضاعفة 3 (30 سم ، 90 سم ، 3 م) ، وعلى الجانب الآخر ، يتم قياس مضاعف 4 (40) سم ، 160 سم ، 4 م). أنت الآن بحاجة إلى قياس المسافة بين نقطتي نهاية هذين المقطعين. إذا كانت القيمة من مضاعفات 5 (50 سم ، 250 سم ، 5 م) ، فيمكن القول إن الزاوية صحيحة.

إذا كانت قيمة طول كل جانب من الجوانب الثلاثة لشكلنا معروفة ، فيمكن تحديد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون. من أجل الحصول على شكل أبسط ، يتم استخدام قيمة جديدة تسمى شبه المحيط. هذا هو مجموع كل أضلاع المثلث مقسومًا على نصفين. بعد حساب نصف المحيط ، يمكنك البدء في تحديد المنطقة باستخدام الصيغة:

S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)) ، أين

الجذر التربيعي - الجذر التربيعي ؛

p هي قيمة نصف المحيط (p = (a + b + c) / 2) ؛

أ ، ب ، ج - حواف (جوانب) المثلث.

لكن ماذا لو كان للمثلث شكل غير منتظم؟ هناك طريقتان ممكنتان هنا. أولهما محاولة تقسيم هذا الشكل إلى مثلثين قائم الزاوية ، يتم حساب مجموع مساحتهما بشكل منفصل ، ثم إضافتهما. أو ، إذا كانت الزاوية بين الجانبين وحجم هذه الأضلاع معروفة ، فقم بتطبيق الصيغة:

S = 0.5 * ab * sinC ، أين

أ ، ب - جوانب المثلث ؛

c هي الزاوية بين هذين الجانبين.

الحالة الأخيرة نادرة في الممارسة ، ولكن مع ذلك ، كل شيء ممكن في الحياة ، لذا فإن الصيغة المذكورة أعلاه لن تكون غير ضرورية. حظا سعيدا مع حساباتك!

المثلث شخصية معروفة. وهذا على الرغم من تنوع أشكاله الغنية. مستطيل ، متساوي الأضلاع ، حاد ، متساوي الساقين ، منفرجة. كل واحد منهم مختلف نوعا ما. ولكن بالنسبة لأي من المطلوب معرفة مساحة المثلث.

الصيغ الشائعة لجميع المثلثات التي تستخدم أطوال الأضلاع أو الارتفاعات

التسميات المعتمدة فيها: الجوانب - أ ، ب ، ج ؛ الارتفاعات على الجوانب المتناظرة على a، n in، n s.

1. تُحسب مساحة المثلث على أنها حاصل ضرب ½ ، حيث يتم خفض الضلع والارتفاع عليه. S = ½ * أ * ن أ. وبالمثل ، يجب على المرء أن يكتب الصيغ للجانبين الآخرين.

2. صيغة هيرون ، التي يظهر فيها شبه المحيط (من المعتاد الإشارة إليه بحرف صغير p ، على عكس المحيط الكامل). يجب حساب نصف المحيط على النحو التالي: اجمع كل الجوانب واقسمها على 2. صيغة شبه المحيط: p \ u003d (a + b + c) / 2. ثم المساواة لمساحة \ يبدو الشكل كما يلي: S \ u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).

3. إذا كنت لا ترغب في استخدام شبه محيط ، فستكون هذه الصيغة في متناول اليد ، حيث توجد أطوال الأضلاع فقط: S \ u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( ب + ج - أ) * (أ + ج - ج) * (أ + ب - ج)). إنه أطول إلى حد ما من السابق ، لكنه سيساعدك إذا نسيت كيفية العثور على شبه المحيط.

الصيغ العامة التي تظهر فيها زوايا المثلث

التدوين المطلوب لقراءة الصيغ: α ، β ، - زوايا. تقع الضلعين المتقابلين أ ، ب ، ج ، على التوالي.

1. وفقًا لذلك ، فإن نصف حاصل ضرب ضلعين وجيب الزاوية بينهما يساوي مساحة المثلث. وهذا هو: S = ½ a * b * sin γ. يجب كتابة معادلات الحالتين الأخريين بطريقة مماثلة.

2. يمكن حساب مساحة المثلث من جانب واحد وثلاث زوايا معروفة. S \ u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. توجد أيضًا صيغة ضلع معروف واحد وزاويتان مجاورتان له. يبدو مثل هذا: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

الصيغتان الأخيرتان ليسا الأبسط. من الصعب تذكرهم.

الصيغ العامة للموقف عندما تكون أنصاف أقطار الدوائر المحفورة أو المقيدة معروفة

تسميات إضافية: r ، R - نصف القطر. الأول يستخدم لنصف قطر الدائرة المنقوشة. والثاني هو للواحد الموصوف.

1. ترتبط الصيغة الأولى التي يتم من خلالها حساب مساحة المثلث بنصف المحيط. S = r * r. بطريقة أخرى ، يمكن كتابتها على النحو التالي: S \ u003d ½ r * (a + b + c).

2. في الحالة الثانية ، سوف تحتاج إلى ضرب جميع جوانب المثلث وقسمتها على نصف القطر الرباعي للدائرة المحصورة. من الناحية الحرفية ، يبدو الأمر كما يلي: S \ u003d (a * b * c) / (4R).

3. يسمح لك الوضع الثالث بالاستغناء عن معرفة الجوانب ، لكنك بحاجة إلى قيم الزوايا الثلاث. S \ u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

حالة خاصة: مثلث قائم الزاوية

هذا هو أبسط موقف ، حيث أن طول كلا الساقين فقط هو المطلوب. يشار إليها بالحرفين اللاتينيين أ وب. مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف مساحة المستطيل المضافة إليه.

رياضيا ، يبدو كالتالي: S = ½ a * b. هي الأسهل في تذكرها. نظرًا لأنها تبدو معادلة مساحة المستطيل ، يظهر كسر فقط يشير إلى النصف.

حالة خاصة: مثلث متساوي الساقين

نظرًا لأن جانبيها متساويان ، فإن بعض الصيغ الخاصة بمساحتها تبدو مبسطة إلى حد ما. على سبيل المثال ، صيغة هيرون ، التي تحسب مساحة مثلث متساوي الساقين ، تأخذ الشكل التالي:

S = ½ في √ ((أ + في) * (أ - في)).

إذا قمت بتحويله ، فسيصبح أقصر. في هذه الحالة ، تتم كتابة صيغة هيرون لمثلث متساوي الساقين على النحو التالي:

S = ¼ في √ (4 * أ 2 - ب 2).

تبدو صيغة المنطقة أبسط إلى حد ما من المثلث العشوائي إذا كانت الأضلاع والزاوية بينهما معروفة. S \ u003d ½ a 2 * sin β.

حالة خاصة: مثلث متساوي الأضلاع

عادة ، في المشاكل المتعلقة به ، يكون الجانب معروفًا أو يمكن التعرف عليه بطريقة ما. ثم تكون صيغة إيجاد مساحة مثل هذا المثلث كما يلي:

S = (أ 2 √3) / 4.

مهام لإيجاد المنطقة إذا تم تصوير المثلث على ورق متقلب

أبسط موقف هو عندما يتم رسم مثلث قائم الزاوية بحيث تتوافق ساقيه مع خطوط الورقة. ثم تحتاج فقط إلى حساب عدد الخلايا التي تناسب الساقين. ثم اضربهم واقسمهم على اثنين.

عندما يكون المثلث حادًا أو منفرجًا ، يجب رسمه إلى مستطيل. ثم في الشكل الناتج سيكون هناك 3 مثلثات. واحد هو المعطى في المهمة. والاثنان الآخران مساعدان ومستطيلان. يجب تحديد مناطق الأخيرين بالطريقة الموضحة أعلاه. ثم احسب مساحة المستطيل واطرح منها تلك المحسوبة للمستطيل الإضافي. يتم تحديد مساحة المثلث.

الأمر الأكثر صعوبة هو الموقف الذي لا يتطابق فيه أي من جوانب المثلث مع خطوط الورقة. ثم يجب نقشها في مستطيل بحيث تكون رؤوس الشكل الأصلي على جانبيها. في هذه الحالة ، سيكون هناك ثلاثة مثلثات قائمة بذاتها.

مثال لمشكلة في صيغة هيرون

حالة. بعض المثلثات لها جوانب. إنها تساوي 3 و 5 و 6 سم ، وتحتاج إلى معرفة مساحتها.

الآن يمكنك حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة أعلاه. تحت الجذر التربيعي هو حاصل ضرب أربعة أعداد: 7 و 4 و 2 و 1. أي أن المساحة هي √ (4 * 14) = 2 √ (14).

إذا لم تكن بحاجة إلى مزيد من الدقة ، فيمكنك أخذ الجذر التربيعي للرقم 14. فهو 3.74. إذن فالمساحة تساوي 7.48.

إجابه. S \ u003d 2 √14 سم 2 أو 7.48 سم 2.

مثال على مشكلة مثلث قائم الزاوية

حالة. يبلغ طول أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية 31 سم عن الثانية ، ومطلوب معرفة أطوالها إذا كانت مساحة المثلث 180 سم 2.
المحلول. عليك حل نظام من معادلتين. الأول يتعلق بالمنطقة. والثاني هو نسبة الأرجل ، والتي ترد في المسألة.
180 \ u003d ½ أ * ب ؛

أ \ u003d ب + 31.
أولاً ، يجب استبدال قيمة "a" في المعادلة الأولى. اتضح: 180 \ u003d ½ (في + 31) * في. ليس لديها سوى كمية واحدة غير معروفة ، لذلك من السهل حلها. بعد فتح الأقواس ، يتم الحصول على معادلة من الدرجة الثانية: في 2 + 31 في - 360 \ u003d 0. تعطي قيمتين لـ "in": 9 و - 40. الرقم الثاني غير مناسب كإجابة ، حيث لا يمكن أن يكون طول ضلع المثلث قيمة سالبة.

يبقى حساب الضلع الثاني: أضف 31 إلى العدد الناتج ، واتضح 40. هذه هي الكميات المطلوبة في المسألة.

إجابه. طول أرجل المثلث ٩ و ٤٠ سم.

مهمة إيجاد الضلع الذي يمر عبر مساحة المثلث وجانبه وزاويته

حالة. مساحة بعض المثلثات 60 سم 2. من الضروري حساب أحد أضلاعه إذا كان طول الضلع الثاني 15 سم ، والزاوية بينهما 30º.

المحلول. بناءً على التعيينات المقبولة ، يكون الجانب المطلوب هو "a" ، و "b" المعروف ، والزاوية المعطاة هي "γ". ثم يمكن إعادة كتابة معادلة المنطقة على النحو التالي:

60 \ u003d ½ أ * 15 * خطيئة 30º. هنا جيب 30 درجة يساوي 0.5.

بعد التحولات ، يتبين أن "أ" تساوي 60 / (0.5 * 0.5 * 15). هذا هو 16.

إجابه. الضلع المطلوب 16 سم.

مشكلة المربع المدرج في مثلث قائم الزاوية

حالة. يتطابق رأس مربع طول ضلعه 24 سم مع الزاوية اليمنى للمثلث. الاثنان الآخران يقعان على الساقين. الثالث ينتمي إلى الوتر. طول إحدى الساقين 42 سم ، ما مساحة المثلث القائم؟

المحلول. اعتبر مثلثين قائم الزاوية. تم تحديد أول واحد في المهمة. الثاني يعتمد على الضلع المعروف للمثلث الأصلي. إنها متشابهة لأن لها زاوية مشتركة وتتشكل بواسطة خطوط متوازية.

ثم نسب أرجلهم متساوية. طول أرجل المثلث الأصغر 24 سم (ضلع المربع) و 18 سم (بمعلومية الرجل 42 سم ناقص ضلع المربع 24 سم). طول الأرجل المتناظرة في المثلث الكبير 42 cm و x cm ، وهذا هو "x" المطلوب لحساب مساحة المثلث.

18/42 = 24 / س ، أي س = 24 * 42/18 = 56 (سم).

ثم المساحة تساوي حاصل ضرب 56 و 42 ، مقسومًا على اثنين ، أي 1176 سم 2.

إجابه. المساحة المرغوبة 1176 سم 2.

مفهوم المنطقة

مفهوم مساحة أي شكل هندسي ، ولا سيما المثلث ، سيرتبط بشكل مثل المربع. بالنسبة لوحدة مساحة أي شكل هندسي ، سنأخذ مساحة مربع ، ضلعه يساوي واحدًا. من أجل الاكتمال ، نذكر خاصيتين أساسيتين لمفهوم مناطق الأشكال الهندسية.

خاصية 1:إذا كانت الأشكال الهندسية متساوية ، فإن مساحاتها متساوية أيضًا.

الخاصية 2:يمكن تقسيم أي شخصية إلى عدة أرقام. علاوة على ذلك ، فإن مساحة الشكل الأصلي تساوي مجموع قيم مناطق جميع الأشكال التي يتكون منها.

تأمل في مثال.

مثال 1

من الواضح أن أحد جانبي المثلث هو القطر المائل للمستطيل ، الذي يبلغ طول أحد ضلعه 5 دولارات (منذ 5 دولارات للخلايا) والآخر 6 دولارات (منذ 6 دولارات للخلايا). وبالتالي ، فإن مساحة هذا المثلث ستساوي نصف هذا المستطيل. مساحة المستطيل هي

ثم مساحة المثلث

الجواب: 15 دولار.

بعد ذلك ، ضع في اعتبارك عدة طرق لإيجاد مساحة المثلثات ، أي باستخدام الارتفاع والقاعدة ، باستخدام صيغة هيرون ومساحة المثلث متساوي الأضلاع.

كيفية إيجاد مساحة المثلث باستخدام الارتفاع والقاعدة

نظرية 1

يمكن إيجاد مساحة المثلث في صورة نصف حاصل ضرب طول الضلع في الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.

رياضيا يبدو مثل هذا

$ S = \ frac (1) (2) αh $

حيث $ a $ هو طول الضلع ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم له.

دليل.

ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ حيث $ AC = α $. الارتفاع $ BH $ مرسوم إلى هذا الجانب ويساوي $ h $. لنقم ببنائه حتى المربع $ AXYC $ كما في الشكل 2.

مساحة المستطيل $ AXBH $ هي $ h \ cdot AH $ ، ومساحة المستطيل $ HBYC $ هي $ h \ cdot HC $. ثم

$ S_ABH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH $، $ S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot HC $

لذلك ، المساحة المرغوبة من المثلث ، وفقًا للخاصية 2 ، تساوي

$ S = S_ABH + S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH + \ frac (1) (2) h \ cdot HC = \ frac (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ frac (1) (2) αh $

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 2

أوجد مساحة المثلث في الشكل أدناه ، إذا كانت مساحة الخلية تساوي واحدًا

أساس هذا المثلث هو 9 دولارات (بما أن 9 دولارات هي 9 دولارات للخلايا). الارتفاع أيضًا 9 دولارات. ثم ، من خلال النظرية 1 ، نحصل عليها

$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = 40.5 دولار

الجواب: 40.5 دولار.

صيغة هيرون

نظرية 2

إذا كان لدينا ثلاثة أضلاع للمثلث $ α $ و $ β $ و $ $ ، فيمكن إيجاد مساحته على النحو التالي

$ S = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

هنا $ ρ $ تعني نصف محيط هذا المثلث.

دليل.

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

من خلال نظرية فيثاغورس ، نحصل على المثلث $ ABH $

من المثلث $ CBH $ ، حسب نظرية فيثاغورس ، لدينا

$ h ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

من هاتين العلاقات نحصل على المساواة

$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x = \ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

بما أن $ ρ = \ frac (α + β + γ) (2) $ ، ثم $ α + β + γ = 2ρ $ ، وبالتالي

$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h = \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

من خلال النظرية 1 ، نحصل على

$ S = \ frac (1) (2) βh = \ frac (β) (2) \ cdot \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

مفهوم المنطقة

خاصية 1:إذا كانت الأشكال الهندسية متساوية ، فإن مساحاتها متساوية أيضًا.

تأمل في مثال.

مثال 1

ثم مساحة المثلث

الجواب: 15 دولار.

كيفية إيجاد مساحة المثلث باستخدام الارتفاع والقاعدة

نظرية 1

يمكن إيجاد مساحة المثلث في صورة نصف حاصل ضرب طول الضلع في الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.

رياضيا يبدو مثل هذا

$ S = \ frac (1) (2) αh $

حيث $ a $ هو طول الضلع ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم له.

دليل.

مساحة المستطيل $ AXBH $ هي $ h \ cdot AH $ ، ومساحة المستطيل $ HBYC $ هي $ h \ cdot HC $. ثم

$ S_ABH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH $، $ S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot HC $

لذلك ، المساحة المرغوبة من المثلث ، وفقًا للخاصية 2 ، تساوي

$ S = S_ABH + S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH + \ frac (1) (2) h \ cdot HC = \ frac (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ frac (1) (2) αh $

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 2

أوجد مساحة المثلث في الشكل أدناه ، إذا كانت مساحة الخلية تساوي واحدًا

$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = 40.5 دولار

الجواب: 40.5 دولار.

صيغة هيرون

نظرية 2

إذا كان لدينا ثلاثة أضلاع للمثلث $ α $ و $ β $ و $ $ ، فيمكن إيجاد مساحته على النحو التالي

$ S = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

هنا $ ρ $ تعني نصف محيط هذا المثلث.

دليل.

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

من خلال نظرية فيثاغورس ، نحصل على المثلث $ ABH $

من المثلث $ CBH $ ، حسب نظرية فيثاغورس ، لدينا

$ h ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

من هاتين العلاقات نحصل على المساواة

$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x = \ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

بما أن $ ρ = \ frac (α + β + γ) (2) $ ، ثم $ α + β + γ = 2ρ $ ، وبالتالي

$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h = \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

من خلال النظرية 1 ، نحصل على

$ S = \ frac (1) (2) βh = \ frac (β) (2) \ cdot \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

صيغة المنطقةضروري لتحديد مساحة الشكل ، وهي دالة ذات قيمة حقيقية محددة في فئة معينة من الأشكال في المستوى الإقليدي وتلبية 4 شروط:

موجب - لا يمكن أن تكون المساحة أقل من صفر ؛
التطبيع - مربع به جانب من الوحدة تبلغ مساحته 1 ؛
التطابق - الأرقام المتطابقة لها مساحة متساوية ؛
الجمع - مساحة اتحاد رقمين بدون نقاط داخلية مشتركة تساوي مجموع مناطق هذه الأرقام.

صيغ مساحة الأشكال الهندسية.

الشكل الهندسي	معادلة	رسم
ستكون نتيجة إضافة المسافات بين نقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة لرباعي محدب مساوية لمقياس نصف القطر الخاص به.
قطاع الدائرة. مساحة قطاع الدائرة تساوي حاصل ضرب قوسها ونصف قطرها.
قطعة دائرة. للحصول على مساحة القطعة ASB ، يكفي طرح مساحة المثلث AOB من منطقة القطاع AOB.	S = 1/2 R (s - AC)
مساحة القطع الناقص تساوي حاصل ضرب أطوال أنصاف المحاور الرئيسية والثانوية للقطع الناقص مضروبة في pi.
الشكل البيضاوي. هناك خيار آخر حول كيفية حساب مساحة القطع الناقص وهو من خلال نصف قطره.
مثلث. من خلال القاعدة والارتفاع. صيغة مساحة الدائرة بدلالة نصف قطرها وقطرها.
مربع . من خلال جانبه. مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه.
مربع. من خلال قطريها. مساحة المربع هي نصف مربع طول قطره.
مضلع منتظم. لتحديد مساحة المضلع المنتظم ، من الضروري تقسيمه إلى مثلثات متساوية يكون لها رأس مشترك في مركز الدائرة المنقوشة.	S = r p = 1/2 r n a