خاصية المنشور. منطقة قاعدة المنشور: من الثلاثي إلى المضلع

تعريف. نشور زجاجيهو متعدد السطوح، تقع جميع رؤوسه في مستويين متوازيين، وفي نفس المستويين يوجد وجهان للمنشور، وهما مضلعان متساويان مع جوانب متوازية مقابلة، وجميع الحواف التي لا تقع في هذه المستويات متوازية.

يتم استدعاء وجهين متساويين قواعد المنشور(ABCDE، أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1).

يتم استدعاء جميع الوجوه الأخرى للمنشور وجوه جانبية(AA 1 B 1 B، BB 1 C 1 C، CC 1 D 1 D، DD 1 E 1 E، EE 1 A 1 A).

تتشكل جميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور .

جميع الوجوه الجانبية للمنشور متوازية الأضلاع .

تسمى الحواف التي لا تقع عند القواعد بالحواف الجانبية للمنشور ( أأ 1, ب 1, سي سي 1, دي دي 1, إي 1).

المنشور قطري هو قطعة طرفاها رأسان لمنشور لا يقعان على وجه واحد (م 1).

يسمى طول القطعة التي تصل بين قاعدتي المنشور والمتعامدة مع القاعدتين في نفس الوقت ارتفاع المنشور .

تعيين:ABCDE أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1. (أولاً، في ترتيب الاجتياز، تتم الإشارة إلى رؤوس قاعدة واحدة، وبعد ذلك، بنفس الترتيب، يتم تحديد رؤوس قاعدة أخرى؛ ويتم تحديد نهايات كل حافة جانبية بنفس الحروف، ويتم تحديد القمم الموجودة في قاعدة واحدة فقط بالحروف بدون فهرس وفي الآخر - بفهرس)

يرتبط اسم المنشور بعدد زوايا الشكل الواقع عند قاعدته، على سبيل المثال، في الشكل 1 يوجد خماسي عند القاعدة، لذلك يسمى المنشور المنشور الخماسي. ولكن مثل هذا المنشور له 7 وجوه، ثم سباعي السطوح(2 وجهين - قواعد المنشور، 5 أوجه - متوازيات الأضلاع، - وجوهه الجانبية)

من بين المنشورات المستقيمة، يبرز نوع معين: المنشورات العادية.

يسمى المنشور المستقيم صحيح،إذا كانت قواعدها مضلعات منتظمة.

متوازي الأضلاع

مستطيلة متوازية- متوازي سطوح قائم قاعدته مستطيلة.

الخصائص والنظريات:

,

حيث d هو قطري المربع؛
أ هو جانب المربع.

يتم إعطاء فكرة المنشور بواسطة:

• الهياكل المعمارية المختلفة.
• ألعاب أطفال؛
• صناديق التعبئة والتغليف؛
• عناصر المصمم، الخ.

مساحة السطح الكلي والجانبي للمنشور

S كامل = جانب S + 2S رئيسي,

أين س كامل- المساحة الإجمالية، الجانب S-مساحة السطح الجانبية، قاعدة S- منطقة قاعدة

مساحة السطح الجانبية للمنشور المستقيم تساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور.

الجانب S= ف الأساسية * ح،

أين الجانب S-مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم،

P الرئيسية - محيط قاعدة المنشور المستقيم،

h هو ارتفاع المنشور المستقيم، ويساوي الحافة الجانبية.

حجم المنشور

حجم المنشور يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية والأحداث الأخرى والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون والإجراءات القضائية في محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

معلومات عامة عن المنشور المستقيم

يُطلق على السطح الجانبي للمنشور (أو بالأحرى مساحة السطح الجانبية). مجموعمناطق الوجوه الجانبية. إجمالي سطح المنشور يساوي مجموع الأسطح الجانبية ومساحات القواعد.

نظرية 19.1. السطح الجانبي للمنشور المستقيم يساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور، أي طول الحافة الجانبية.

دليل. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات. قواعد هذه المستطيلات هي أضلاع المضلع الواقع عند قاعدة المنشور، وارتفاعاتها تساوي طول أحرفها الجانبية. ويترتب على ذلك أن السطح الجانبي للمنشور يساوي

S = أ 1 ل + أ 2 ل + ... + أ ن ل = رر،

حيث a 1 و n هما طولا حواف القاعدة، وp هو محيط قاعدة المنشور، وI هو طول الحواف الجانبية. لقد تم إثبات النظرية.

مهمة عملية

مشكلة (22) . في المنشور المائل يتم تنفيذه قسم، عمودي على الأضلاع الجانبية ويتقاطع مع جميع الأضلاع الجانبية. أوجد السطح الجانبي للمنشور إذا كان محيط المقطع يساوي p والحواف الجانبية تساوي l.

حل. يقسم مستوى القسم المرسوم المنشور إلى قسمين (الشكل 411). دعونا نخضع إحداها للترجمة المتوازية، من خلال الجمع بين قواعد المنشور. في هذه الحالة نحصل على منشور مستقيم، قاعدته هي المقطع العرضي للمنشور الأصلي، وحوافه الجانبية تساوي l. هذا المنشور له نفس السطح الجانبي للمنشور الأصلي. وبالتالي، فإن السطح الجانبي للمنشور الأصلي يساوي رر.

ملخص الموضوع المطروح

والآن دعونا نحاول تلخيص الموضوع الذي تناولناه حول المنشور ونتذكر خصائص المنشور.

خصائص المنشور

أولًا، المنشور له جميع قواعده على شكل مضلعات متساوية؛
ثانيًا، في المنشور، جميع وجوهه الجانبية متوازية الأضلاع؛
ثالثا، في مثل هذا الشكل متعدد الأوجه، مثل المنشور، تكون جميع الحواف الجانبية متساوية؛

ويجب أن نتذكر أيضًا أن متعددات الوجوه مثل المنشور يمكن أن تكون مستقيمة أو مائلة.

ما المنشور الذي يسمى المنشور المستقيم؟

إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى مستقيمًا.

لن يكون من غير الضروري أن نتذكر أن الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات.

ما هو نوع المنشور الذي يسمى المائل؟

لكن إذا لم تكن الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فيمكننا أن نقول بأمان أنه منشور مائل.

أي منشور يسمى صحيح؟

إذا كان المضلع المنتظم يقع عند قاعدة منشور مستقيم، فإن هذا المنشور يكون منتظمًا.

الآن دعونا نتذكر الخصائص التي يمتلكها المنشور العادي.

خصائص المنشور العادي

أولاً، تعمل المضلعات المنتظمة دائمًا بمثابة قواعد لمنشور منتظم؛
ثانيًا، إذا نظرنا إلى الأوجه الجانبية لمنشور منتظم، فسنجد أنها دائمًا مستطيلات متساوية؛
ثالثا، إذا قارنت أحجام الأضلاع الجانبية، فهي دائما متساوية في المنشور العادي.
رابعا، المنشور الصحيح يكون دائما مستقيما؛
خامسا، إذا كانت الوجوه الجانبية في المنشور العادي لها شكل مربعات، فإن هذا الشكل يسمى عادة مضلع شبه منتظم.

المقطع العرضي المنشور

الآن دعونا نلقي نظرة على المقطع العرضي للمنشور:

العمل في المنزل

الآن دعونا نحاول دمج الموضوع الذي تعلمناه من خلال حل المشكلات.

لنرسم منشورا مثلثيا مائلا، المسافة بين حوافه ستكون تساوي: 3 سم، 4 سم، 5 سم، والسطح الجانبي لهذا المنشور سيكون 60 سم2. بوجود هذه المعلمات، ابحث عن الحافة الجانبية لهذا المنشور.

هل تعرف أن أشكال هندسيةتحيط بنا باستمرار ليس فقط في دروس الهندسة، ولكن أيضًا في الحياة اليوميةهناك كائنات تشبه شكلًا هندسيًا أو آخر.

كل شخص في المنزل أو المدرسة أو العمل لديه جهاز كمبيوتر وحدة نظامه على شكل منشور مستقيم.

إذا التقطت قلم رصاص بسيط، سترى أن الجزء الرئيسي من قلم الرصاص هو المنشور.

أثناء السير على طول الشارع المركزي للمدينة، نرى أنه يوجد تحت أقدامنا بلاطة على شكل منشور سداسي.

A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية

يسمى المضلعان ABCDE وFHKMP الواقعان في مستويات متوازية بقاعدتي المنشور، ويسمى العمودي OO 1 الذي ينخفض ​​من أي نقطة من القاعدة إلى مستوى آخر بارتفاع المنشور. متوازيات الأضلاع ABHF، BCKH، إلخ. تسمى الوجوه الجانبية للمنشور، وتسمى جوانبها SC، DM، وما إلى ذلك، التي تربط القمم المقابلة للقواعد، بالحواف الجانبية. في المنشور، تكون جميع الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض كأجزاء من خطوط مستقيمة متوازية محاطة بين مستويات متوازية.
يسمى المنشور خطًا مستقيمًا ( الشكل 282، ب) أو منحرف ( الشكل 282، ج) حسب ما إذا كانت أضلاعه الجانبية متعامدة أو مائلة على القواعد. المنشور المستقيم له وجوه جانبية مستطيلة. يمكن اعتبار الحافة الجانبية بمثابة ارتفاع هذا المنشور.
يسمى المنشور القائم منتظما إذا كانت قواعده مضلعات منتظمة. في مثل هذا المنشور، تكون جميع الوجوه الجانبية مستطيلات متساوية.
لتصوير المنشور في رسم معقد، عليك أن تعرف وتكون قادرًا على تصوير العناصر التي يتكون منها (نقطة، خط مستقيم، شكل مسطح).
وصورتها في الرسم المعقد (شكل 283، أ - ط)

أ) رسم معقد للمنشور. تقع قاعدة المنشور على مستوى الإسقاط P 1؛ أحد الوجوه الجانبية للمنشور موازي لمستوى الإسقاط P 2.
ب) بالقرب من قاعدة المنشور أد بلو AdBlue® - شكل مسطح - مثلث منتظمتقع في الطائرة P 1 ؛ جانب المثلث DE يوازي المحور السيني 12 - يندمج الإسقاط الأفقي مع القاعدة المعطاة، وبالتالي يساوي حجمه الطبيعي؛ يندمج الإسقاط الأمامي مع المحور x 12 ويساوي جانب قاعدة المنشور.
ج) القاعدة العلوية للمنشور ABC عبارة عن شكل مسطح - مثلث يقع فيه المستوى الأفقي. يندمج الإسقاط الأفقي مع إسقاط القاعدة السفلية ويغطيها، لأن المنشور مستقيم؛ الإسقاط الأمامي - مستقيم، موازٍ للمحور x 12، على مسافة ارتفاع المنشور.
د) الوجه الجانبي لمنشور ABED هو شكل مسطح - مستطيل يقع في المستوى الأمامي. الإسقاط الأمامي - مستطيل يساوي الحجم الطبيعي للوجه؛ الإسقاط الأفقي هو خط مستقيم يساوي جانب قاعدة المنشور.
هـ) و و) الوجوه الجانبية لمنشوري ACFD و CBEF عبارة عن أشكال مسطحة - مستطيلات تقع في مستويات إسقاط أفقية تقع بزاوية 60 درجة إلى مستوى الإسقاط P 2. الإسقاطات الأفقية عبارة عن خطوط مستقيمة، تقع على المحور x 12 بزاوية 60 درجة، وتساوي الحجم الطبيعي لجوانب قاعدة المنشور؛ الإسقاطات الأمامية عبارة عن مستطيلات تكون صورها أصغر من الحجم الطبيعي: يتساوى جانبان من كل مستطيل مع ارتفاع المنشور.
ز) الحافة AD للمنشور هي خط مستقيم، متعامد مع مستوى الإسقاط P 1. الإسقاط الأفقي - نقطة؛ أمامي - مستقيم، عمودي على المحور × 12، يساوي الحافة الجانبية للمنشور (ارتفاع المنشور).
ح) الجانب AB للقاعدة العلوية مستقيم، موازيًا للطائرات P 1 و P 2. تكون الإسقاطات الأفقية والأمامية مستقيمة ومتوازية مع المحور x 12 وتساوي جانب القاعدة المعطاة للمنشور. الإسقاط الأمامي متباعد عن المحور السيني 12 على مسافة تساوي ارتفاع المنشور.
ط) رؤوس المنشور. النقطة E - يقع الجزء العلوي من القاعدة السفلية على المستوى P 1. يتزامن الإسقاط الأفقي مع النقطة نفسها؛ أمامي - يقع على المحور x 12. تقع النقطة C - أعلى القاعدة العلوية - في الفضاء. الإسقاط الأفقي له عمق. أمامي - ارتفاع يساوي ارتفاع هذا المنشور.
هذا يعني: عند تصميم أي متعدد السطوح، تحتاج إلى تقسيمه عقليًا إلى العناصر المكونة له وتحديد ترتيب تمثيلها، والذي يتكون من عمليات رسومية متتالية.يوضح الشكلان 284 و 285 أمثلة على العمليات الرسومية المتسلسلة عند إجراء رسم معقد وتمثيل مرئي (قياس المحاور) للمنشورات.
(الشكل 284).

منح:
1. تقع القاعدة على مستوى الإسقاط P 1.
2. لا يكون أي من جانبي القاعدة موازيًا للمحور السيني 12.
I. الرسم المعقد.
I ل.
أنا، ب. قمنا بتصميم القاعدة العلوية - مضلع يساوي القاعدة السفلية مع جوانب موازية للقاعدة السفلية، متباعدة عن القاعدة السفلية بارتفاع H للمنشور المحدد.
أنا، ج. نقوم بتصميم الحواف الجانبية للمنشور - الأجزاء المتوازية؛ وإسقاطاتها الأفقية عبارة عن نقاط تندمج مع إسقاطات رؤوس القواعد؛ أمامي - مقاطع (متوازية) يتم الحصول عليها من خلال ربط إسقاطات رؤوس القواعد التي تحمل الاسم نفسه بخطوط مستقيمة. تم تصوير النتوءات الأمامية للأضلاع، المأخوذة من نتوءات القمم B وC للقاعدة السفلية، بخطوط متقطعة على أنها غير مرئية.
أنا، ز. المعطى: إسقاط أفقي F 1 للنقطة F على القاعدة العلوية وإسقاط أمامي K 2 للنقطة K على الوجه الجانبي. مطلوب تحديد مواقع توقعاتهم الثانية.
بالنسبة للنقطة F سوف يتزامن الإسقاط الثاني (الأمامي) F 2 للنقطة F مع إسقاط القاعدة العلوية، كنقطة تقع في مستوى هذه القاعدة؛ يتم تحديد مكانه بواسطة خط الاتصال العمودي.
بالنسبة للنقطة K - الإسقاط الثاني (الأفقي) K 1 للنقطة K سوف يتزامن مع الإسقاط الأفقي للوجه الجانبي، كنقطة تقع في مستوى الوجه؛ يتم تحديد مكانه بواسطة خط الاتصال العمودي.
ثانيا. تطوير سطح المنشور- شكل مسطح مكون من وجوه جانبية - مستطيلات، فيها ضلعان متساويان في ارتفاع المنشور، والضلعان الآخران متساويان في الضلعين المقابلين للقاعدة، ومن قاعدتين متساويتين - مضلعات غير منتظمة .
يتم الكشف عن الأبعاد الطبيعية لقواعد وجوانب الوجوه اللازمة لبناء التطوير في الإسقاطات. نبني وفقا لهم. على خط مستقيم، نقوم برسم الجوانب AB وBC وCD وDE وEA للمضلع بشكل تسلسلي - قواعد المنشور، مأخوذة من الإسقاط الأفقي. على المتعامدين المرسومين من النقاط A وB وC وD وE وA، نرسم ارتفاع H لهذا المنشور المأخوذ من المسقط الأمامي ونرسم خطًا مستقيمًا عبر العلامات. ونتيجة لذلك، نحصل على مسح للوجوه الجانبية للمنشور.
إذا ألحقنا قواعد المنشور بهذا التطور، فسنحصل على تطور لسطح المنشور بالكامل. يجب ربط قواعد المنشور بالوجه الجانبي المقابل باستخدام طريقة التثليث.
على القاعدة العلوية للمنشور، باستخدام نصف القطر R وR 1، نحدد موقع النقطة F، وعلى الوجه الجانبي، باستخدام نصف القطر R 3 وH 1، نحدد النقطة K.
ثالثا. تمثيل مرئي للمنشور في القياس.
ثالثا، أ. نصور القاعدة السفلية للمنشور وفقًا لإحداثيات النقاط A و B و C و D و E (الشكل 284 I، a).
ثالثا، ب. نصور القاعدة العلوية الموازية للقاعدة السفلية، متباعدة عنها بارتفاع المنشور H.
ثالثا، ج. نقوم بتصوير الحواف الجانبية من خلال ربط القمم المقابلة للقواعد بخطوط مستقيمة. نحدد العناصر المرئية وغير المرئية للمنشور ونحددها بالخطوط المقابلة لها،
III، d نحدد النقطتين F و K على سطح المنشور - النقطة F - على القاعدة العلوية يتم تحديدها باستخدام الأبعاد i و e؛ النقطة K - على الوجه الجانبي باستخدام i 1 و H" .
للحصول على صورة متساوية القياس للمنشور وتحديد مواقع النقطتين F وK، ينبغي اتباع نفس التسلسل.
الشكل 285).

منح:
1. تقع القاعدة على المستوى P 1.
2. الأضلاع الجانبية موازية للمستوى P 2.
3. لا يتوازى أي من جانبي القاعدة مع المحور x 12
I. الرسم المعقد.
I ل. نقوم بتصميم وفقا لهذا الشرط
: القاعدة السفلية عبارة عن مضلع يقع في المستوى P1، والحافة الجانبية عبارة عن قطعة موازية للمستوى P2 ومائلة للمستوى P1.
أنا، ب. نقوم بتصميم الحواف الجانبية المتبقية - شرائح متساوية ومتوازية مع الحافة الأولى SE.
أنا، ج. نقوم بتصميم القاعدة العلوية للمنشور على شكل مضلع، متساوي وموازٍ للقاعدة السفلية، ونحصل على رسم معقد للمنشور.
نحدد العناصر غير المرئية في التوقعات. يتم تصوير الإسقاط الأمامي لحافة VM والإسقاط الأفقي لجانب القرص المضغوط الأساسي بخطوط متقطعة على أنه غير مرئي.
I، g. بالنظر إلى الإسقاط الأمامي Q 2 للنقطة Q على الإسقاط A 2 K 2 F 2 D 2 للوجه الجانبي؛ تحتاج إلى العثور على إسقاطه الأفقي. للقيام بذلك، ارسم خطًا مساعدًا عبر النقطة Q 2 في الإسقاط A 2 K 2 F 2 D 2 لوجه المنشور، بالتوازي مع الحواف الجانبية لهذا الوجه. نجد الإسقاط الأفقي للخط المساعد وعليه باستخدام خط اتصال عمودي نحدد موقع الإسقاط الأفقي المطلوب Q 1 للنقطة Q.
ثانيا. تطوير سطح المنشور.
مع وجود الأبعاد الطبيعية لجوانب القاعدة على الإسقاط الأفقي، وأبعاد الأضلاع على الإسقاط الأمامي، فمن الممكن بناء تطوير كامل لسطح المنشور المحدد.
سنقوم بلف المنشور، مع تدويره في كل مرة حول الحافة الجانبية، ثم سيترك كل وجه جانبي للمنشور على المستوى أثرًا (متوازي أضلاع) يساوي حجمه الطبيعي. سنقوم ببناء المسح الجانبي بالترتيب التالي:
أ) من النقاط أ 2، ب 2، د 2. . . ه 2 (الإسقاطات الأمامية لرؤوس القواعد) نرسم خطوطًا مستقيمة مساعدة متعامدة مع نتوءات الأضلاع. ب) نصف القطر R (القرص المضغوط الأساسي) نصنع درجة عند النقطة D على الخط المساعد المرسوم من النقطة D2؛ من خلال ربط النقاط المستقيمة C 2 و D ورسم خطوط مستقيمة موازية لـ E 2 C 2 و C 2 D، نحصل على الوجه الجانبي CEFD؛
ج) ثم، من خلال ترتيب الوجوه الجانبية التالية بالمثل، نحصل على تطور الوجوه الجانبية للمنشور. للحصول على تطوير كامل لسطح هذا المنشور، نعلقه على الوجوه المقابلة للقاعدة.
ثالثا. تمثيل مرئي للمنشور في القياس متساوي القياس.
ثالثا، أ. نصور القاعدة السفلية للمنشور والحافة CE باستخدام الإحداثيات وفقًا لـ (