Правилна пирамида от свойства и обозначения. Геометрични фигури. пирамида

  • апотема- височината на страничната повърхност на правилната пирамида, която се изтегля от нейния връх (в допълнение, апотемата е дължината на перпендикуляра, който се спуска от средата на правилния многоъгълник до 1 от неговите страни);
  • странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триъгълници, които се събират във върха;
  • странични ребра ( КАТО , BS , Cs , ДС ) - общи страни на страничните повърхности;
  • върха на пирамидата (т.с.) - точка, която свързва страничните ръбове и която не лежи в равнината на основата;
  • височина ( ТАКА ) - сегмент от перпендикуляра, който се изтегля през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на такъв сегмент ще бъдат върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);
  • диагонално сечение на пирамидата- сечение на пирамидата, което минава през върха и диагонала на основата;
  • база (ABCD) - многоъгълник, на който върхът на пирамидата не принадлежи.

Свойства на пирамидата.

1. Когато всички странични ребра са с еднакъв размер, тогава:

  • лесно е да се опише кръг близо до основата на пирамидата, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
  • страничните ребра образуват равни ъгли с основната равнина;
  • освен това е вярно и обратното, т.е. когато страничните ръбове образуват равни ъгли с основната равнина или когато може да се опише кръг близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на тази окръжност, тогава всички странични ръбове на пирамидата имат същия размер.

2. Когато страничните повърхности имат ъгъл на наклон спрямо равнината на основата със същата величина, тогава:

  • лесно е да се опише кръг близо до основата на пирамидата, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
  • височините на страничните повърхности са с еднаква дължина;
  • страничната повърхност е ½ от произведението на периметъра на основата спрямо височината на страничната повърхност.

3. Сфера може да бъде описана близо до пирамида, ако в основата на пирамидата лежи многоъгълник, около който може да се опише кръг (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, които минават през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема заключаваме, че една сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида.

4. Сфера може да бъде вписана в пирамидата, ако ъглополовящите равнини на вътрешните двугранни ъгли на пирамидата се пресичат в 1-ва точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще стане център на сферата.

Най-простата пирамида.

По броя на ъглите основата на пирамидата е разделена на триъгълна, четириъгълна и т.н.

Пирамидата ще триъгълна, четириъгълен, и така нататък, когато основата на пирамидата е триъгълник, четириъгълник и т.н. Триъгълна пирамида е тетраедър - тетраедър. Четириъгълен - петоедър и така нататък.

Триъгълна пирамида е пирамида с триъгълник в основата си. Височината на тази пирамида е перпендикулярът, който се спуска от върха на пирамидата до основата й.

Намиране на височината на пирамидата

Как да намерим височината на пирамида? Много просто! За да намерите височината на всяка триъгълна пирамида, можете да използвате формулата за обем: V = (1/3) Sh, където S е площта на основата, V е обемът на пирамидата, h е нейната височина. Изведете формулата за височина от тази формула: за да намерите височината на триъгълна пирамида, трябва да умножите обема на пирамидата по 3 и след това да разделите получената стойност на площта на основата, тя ще бъде: h = (3V) / С. Тъй като основата на триъгълна пирамида е триъгълник, можете да използвате формулата за изчисляване на площта на триъгълник. Ако знаем: площта на триъгълника S и неговата страна z, тогава по формулата на площта S = (1/2) γh: h = (2S) / γ, където h е височината на пирамидата, γ е ръба на триъгълника; ъгъла между страните на триъгълника и самите две страни, тогава по следната формула: S = (1/2) γφsinQ, където γ, φ са страните на триъгълника, намираме площта на триъгълника. Стойността на синуса на ъгъла Q трябва да се намери в таблицата на синусите, която е достъпна в Интернет. След това заместваме стойността на площта във формулата за височина: h = (2S) / γ. Ако задачата изисква да се изчисли височината на триъгълна пирамида, тогава обемът на пирамидата вече е известен.

Правилна триъгълна пирамида

Намерете височината на правилна триъгълна пирамида, тоест пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници, като знаете стойността на ръба γ. В този случай ръбовете на пирамидата са страните на равностранни триъгълници. Височината на правилна триъгълна пирамида ще бъде: h = γ√ (2/3), където γ е ръбът на равностранен триъгълник, h е височината на пирамидата. Ако площта на основата (S) е неизвестна и са дадени само дължината на ръба (γ) и обема (V) на полиедъра, тогава необходимата променлива във формулата от предишната стъпка трябва да бъде заменена чрез неговия еквивалент, който се изразява чрез дължината на ръба. Площта на триъгълник (правилен) е равна на 1/4 от произведението на дължината на страната на този триъгълник, на квадратен корен от 3. Заменете тази формула вместо площта на основата в предишната формула и получаваме следната формула: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 √3). Обемът на тетраедъра може да бъде изразен чрез дължината на неговия ръб, след което всички променливи могат да бъдат премахнати от формулата за изчисляване на височината на фигурата и може да се остави само страната на триъгълното лице на фигурата. Обемът на такава пирамида може да се изчисли, като кубичната дължина на нейната фасета се раздели на корен квадратен от 2 на 12 от продукта.

Замествайки този израз в предишната формула, получаваме следната формула за изчисление: h = 12 (γ 3 √2 / 12) / (γ 2 √3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = γ √ (2 / 3) = (1/3) γ√6. Също така, правилна триъгълна призма може да бъде вписана в сфера и като знаете само радиуса на сферата (R), можете да намерите самата височина на тетраедъра. Дължината на ръба на тетраедъра е: γ = 4R / √6. Заменете променливата γ с този израз в предишната формула и получете формулата: h = (1/3) √6 (4R) / √6 = (4R) / 3. Същата формула може да се получи, знаейки радиуса (R) на окръжност, вписана в тетраедър. В този случай дължината на ръба на триъгълника ще бъде 12 пъти квадратен корен от 6 и радиуса. Заместваме този израз в предишната формула и получаваме: h = (1/3) γ√6 = (1/3) √6 (12R) / √6 = 4R.

Как да намерим височината на правилна четириъгълна пирамида

За да отговорите на въпроса как да намерите дължината на височината на пирамидата, трябва да знаете, сто такава правилна пирамида. Четириъгълна пирамида е пирамида с четириъгълник в основата си. Ако в условията на задачата имаме: обем (V) и площта на основата (S) на пирамидата, тогава формулата за изчисляване на височината на полиедъра (h) ще бъде както следва - разделете обем, умножен по 3 по площта S: h = (3V) / S. При квадратна основа на пирамидата с известни: даден обем (V) и дължина на страната γ, заменете площта (S) в предишната формула с квадрата на дължината на страната: S = γ 2; H = 3V / γ 2. Височината на правилната пирамида h = SO минава точно през центъра на окръжността, която е описана близо до основата. Тъй като основата на тази пирамида е квадрат, точка O е пресечната точка на диагоналите AD и BC. Имаме: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. Освен това намираме в правоъгълен триъгълник SOC (по теоремата на Питагор): SO = √ (SC 2 -OC 2). Сега знаете как да намерите височината на правилната пирамида.

Студентите се сблъскват с концепцията за пирамида много преди изучаването на геометрията. Това се дължи на известните големи египетски чудеса на света. Ето защо, когато започват изучаването на този прекрасен полиедър, повечето студенти вече ясно си го представят. Всички гореспоменати забележителности имат правилната форма. Какво правилна пирамида, и какви свойства има и ще бъдат обсъдени по-нататък.

Във връзка с

Определение

Има много дефиниции за пирамида. От древни времена се радва на голяма популярност.

Например, Евклид го определя като телесна фигура, състояща се от равнини, които, започвайки от една, се събират в определена точка.

Херон предостави по-точна формулировка. Той настоя, че това е фигура, която има основа и равнини под формата на триъгълници,сближаващи се в една точка.

Въз основа на съвременната интерпретация пирамидата е представена като пространствен многоедър, състоящ се от определен k-ъгъл и k плоски фигури с триъгълна форма, имащи една обща точка.

Нека го разберем по-подробно, от какви елементи се състои:

  • K-ъгълът се счита за основа на фигурата;
  • 3-странни фигури са страните на страничната част;
  • горната част, от която произлизат страничните елементи, се нарича връх;
  • всички сегменти, свързващи един връх, се наричат ​​ръбове;
  • ако права линия се спусне от върха до равнината на фигурата под ъгъл от 90 градуса, тогава нейната част, затворена във вътрешното пространство, е височината на пирамидата;
  • във всеки страничен елемент може да се начертае перпендикуляр към страната на нашия полиедър, наречен апотем.

Броят на ръбовете се изчислява по формулата 2 * k, където k е броят на страните на k-ъгъл. Колко лица на полиедър като пирамида може да се определи чрез израза k + 1.

Важно!Пирамида с правилна форма е стереометрична фигура, чиято основна равнина е k-ъгъл с равни страни.

Основни свойства

Правилна пирамида има много имоти,които са уникални за нея. Нека ги изброим:

  1. Основата е фигура с правилна форма.
  2. Ръбовете на пирамидата, които ограничават страничните елементи, имат равни числови стойности.
  3. Страничните елементи са равнобедрени триъгълници.
  4. Основата на височината на фигурата попада в центъра на многоъгълника, като в същото време е централната точка на вписаното и описаното.
  5. Всички странични ребра са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.
  6. Всички странични повърхности имат еднакъв ъгъл на наклон спрямо основата.

Всички тези свойства правят много по-лесно извършването на изчисления на членове. Въз основа на горните свойства обръщаме внимание на два знака:

  1. В случай, че многоъгълникът се вписва в кръг, страничните лица ще имат равни ъгли с основата.
  2. Когато се описва кръг около многоъгълник, всички ръбове на пирамидата, излизащи от върха, ще имат еднаква дължина и равни ъгли с основата.

Тя се основава на квадрат

Правилна четириъгълна пирамида - полиедър, базиран на квадрат.

Има четири странични лица, които на вид са равнобедрени.

На равнина е изобразен квадрат, но те се основават на всички свойства на правилния четириъгълник.

Например, ако трябва да свържете страната на квадрат с неговия диагонал, използвайте следната формула: диагоналът е равен на произведението на страната на квадрата и квадратния корен от две.

Той се основава на правилен триъгълник

Правилната триъгълна пирамида е полиедър с правилен 3-ъгълник в основата си.

Ако основата е правилен триъгълник, а страничните ръбове са равни на ръбовете на основата, тогава такава фигура наречен тетраедър.

Всички лица на тетраедър са равностранни 3-ъгъла. В този случай трябва да знаете някои точки и да не губите време за тях при изчисляване:

  • ъгълът на наклон на ребрата към всяка основа е 60 градуса;
  • размерът на всички вътрешни ръбове също е 60 градуса;
  • всеки аспект може да действа като основа;
  • начертани вътре във фигурата са равни елементи.

Сечения на полиедър

Във всеки полиедър има няколко вида секциисамолет. Често в училищния курс по геометрия се работят две:

  • аксиален;
  • паралелна основа.

Аксиално сечение се получава, когато равнина на полиедър пресича връх, странични ръбове и ос. В този случай оста е височината, изтеглена от върха. Режещата равнина е ограничена от пресечните линии с всички лица, което води до триъгълник.

Внимание!В правилната пирамида аксиалното сечение е равнобедрен триъгълник.

Ако режещата равнина върви успоредно на основата, тогава резултатът е вторият вариант. В този случай имаме фигура на напречно сечение, подобна на основата.

Например, ако в основата има квадрат, тогава секцията, успоредна на основата, също ще бъде квадрат, само с по-малки размери.

При решаване на задачи при това условие се използват знаци и свойства на подобието на фигурите, въз основа на теоремата на Талес... На първо място е необходимо да се определи коефициентът на подобие.

Ако равнината е успоредна на основата и отрязва горната част на полиедъра, тогава в долната част се получава правилна пресечена пирамида. Тогава се казва, че стеблата на пресечения полиедър са подобни многоъгълници. В този случай страничните повърхности са равнобедрени трапеци. Аксиалното сечение също е равнобедрено.

За да се определи височината на пресечения полиедър, е необходимо да се начертае височината в аксиалното сечение, тоест в трапеца.

Повърхностни площи

Основните геометрични задачи, които трябва да се решават в училищния курс по геометрия са намиране на повърхностите и обема на пирамидата.

Има два вида стойности на повърхността:

  • площта на страничните елементи;
  • площта на цялата повърхност.

От самото име става ясно за какво става дума. Страничната повърхност включва само странични елементи. От това следва, че за да го намерите, просто трябва да съберете площите на страничните равнини, тоест площите на равнобедрените 3-ъгълници. Нека се опитаме да извлечем формулата за площта на страничните елементи:

  1. Площта на равнобедрен 3-ъгълник е Str = 1/2 (aL), където a е страната на основата, L е апотема.
  2. Броят на страничните равнини зависи от вида на k-тия ъгъл в основата. Например, правилната четириъгълна пирамида има четири странични равнини. Следователно е необходимо да се съберат площите на четирите фигури S side = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4а * Л. Изразът е опростен по този начин, тъй като стойността 4a = Rosn, където Rosn е периметърът на основата. А изразът 1/2 * Rosn е неговият полупериметър.
  3. И така, заключаваме, че площта на страничните елементи на правилна пирамида е равна на произведението на основния полупериметър от апотемата: Sbok = Rosn * L.

Общата повърхност на пирамидата се състои от сбора от площите на страничните равнини и основата: Sp.p. = Sside + Sbase.

Що се отнася до площта на основата, тук формулата се използва според вида на многоъгълника.

Обемът на правилна пирамидае равно на произведението на площта на основната равнина на височината, разделена на три: V = 1/3 * Sbase * H, където H е височината на многогранника.

Какво е правилна пирамида в геометрията

Свойства на правилна четириъгълна пирамида

Определение

пирамидаТова е полиедър, съставен от многоъгълник \ (A_1A_2 ... A_n \) и \ (n \) триъгълници с общ връх \ (P \) (не лежащ в равнината на многоъгълника) и противоположни страни, съвпадащи със страните на полигона.
Обозначение: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
Пример: петоъгълна пирамида \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).

Триъгълници \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) и др. са наречени странични лицапирамиди, сегменти \ (PA_1, PA_2 \) и др. - странични ребра, многоъгълник \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - основа, точка \ (P \) - връх.

Височинапирамидите са перпендикуляр, спуснат от върха на пирамидата към равнината на основата.

Нарича се пирамида с триъгълник в основата си тетраедър.

Пирамидата се нарича правилноако основата му е правилен многоъгълник и е изпълнено едно от следните условия:

\ ((a) \) страничните ръбове на пирамидата са равни;

\ ((b) \) височината на пирамидата минава през центъра на окръжността, описана близо до основата;

\ ((c) \) страничните ребра са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.

\ ((d) \) страничните повърхности са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.

Правилен тетраедър- това е триъгълна пирамида, всички лица на която са равни равностранни триъгълници.

Теорема

Условията \ ((a), (b), (c), (d) \) са еквивалентни.

Доказателство

Нека начертаем височината на пирамидата \ (PH \). Нека \ (\ alpha \) е равнината на основата на пирамидата.


1) Нека докажем, че \ ((a) \) означава \ ((b) \). Нека \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

Защото \ (PH \ perp \ alpha \), тогава \ (PH \) е перпендикулярна на всяка права линия, лежаща в тази равнина, така че триъгълниците са правоъгълни. Следователно тези триъгълници са равни в общ катет \ (PH \) и хипотенузи \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). Следователно, \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). Това означава, че точките \ (A_1, A_2, ..., A_n \) са на едно и също разстояние от точката \ (H \), следователно те лежат на една и съща окръжност с радиус \ (A_1H \). По дефиниция този кръг е описан около многоъгълника \ (A_1A_2 ... A_n \).

2) Нека докажем, че \ ((b) \) означава \ ((c) \).

\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)правоъгълни и равни в два крака. Следователно техните ъгли също са равни, следователно, \ (\ ъгъл PA_1H = \ ъгъл PA_2H = ... = \ ъгъл PA_nH \).

3) Нека докажем, че \ ((c) \) означава \ ((a) \).

Подобно на първата точка, триъгълници \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)правоъгълна и по протежение на крака и остър ъгъл. Това означава, че техните хипотенузи също са равни, тоест \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

4) Нека докажем, че \ ((b) \) означава \ ((d) \).

Защото в правилен многоъгълник центровете на описаната окръжност и вписаната окръжност съвпадат (най-общо казано, тази точка се нарича център на правилния многоъгълник), тогава \ (H \) е центърът на вписаната окръжност. Нека начертаем перпендикуляри от точката \ (H \) към страните на основата: \ (HK_1, HK_2 \) и т.н. Това са радиусите на вписаната окръжност (по дефиниция). След това, според TTP (\ (PH \) - перпендикулярно на равнината, \ (HK_1, HK_2 \) и т.н. - проекции, перпендикулярни на страните) наклонени \ (PK_1, PK_2 \) и т.н. перпендикулярно на страните \ (A_1A_2, A_2A_3 \) и др. съответно. Следователно, по дефиниция \ (\ ъгъл PK_1H, \ ъгъл PK_2H \)равни на ъглите между страничните повърхности и основата. Защото триъгълниците \ (PK_1H, PK_2H, ... \) са равни (като правоъгълни в два крака), след това ъглите \ (\ ъгъл PK_1H, \ ъгъл PK_2H, ... \)са равни.

5) Нека докажем, че \ ((d) \) означава \ ((b) \).

Подобно на четвъртата точка, триъгълниците \ (PK_1H, PK_2H, ... \) са равни (като правоъгълни по крак и остър ъгъл), така че сегментите \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) са равни. Следователно, по дефиниция, \ (H \) е центърът на окръжност, вписана в основата. Но тъй като за правилни многоъгълници, центровете на вписаната окръжност и описаната окръжност съвпадат, тогава \ (H \) е центърът на описаната окръжност. Thtd.

Последица

Страничните лица на правилната пирамида са равни равнобедрени триъгълници.

Определение

Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха й, се нарича апотема.
Апотемите на всички странични лица на правилната пирамида са равни една на друга и също са медиани и ъглополовящи.

Важни бележки

1. Височината на правилна триъгълна пирамида пада в точката на пресичане на височините (или ъглополовящите, или медианите) на основата (основата е правилен триъгълник).

2. Височината на правилна четириъгълна пирамида пада в пресечната точка на диагоналите на основата (основата е квадрат).

3. Височината на правилна шестоъгълна пирамида пада в точката на пресичане на диагоналите на основата (основата е правилен шестоъгълник).

4. Височината на пирамидата е перпендикулярна на всяка права линия, лежаща в основата.

Определение

Пирамидата се нарича правоъгълнаако един от страничните му ръбове е перпендикулярен на равнината на основата.


Важни бележки

1. В правоъгълна пирамида ръбът, перпендикулярен на основата, е височината на пирамидата. Тоест \ (SR \) е височината.

2. Защото Тогава \ (SR \) е перпендикулярна на всяка права линия от основата \ (\ триъгълник SRM, \ триъгълник SRP \)- правоъгълни триъгълници.

3. Триъгълници \ (\ триъгълник SRN, \ триъгълник SRK \)- също правоъгълна.
Тоест всеки триъгълник, образуван от този ръб и диагоналът, простиращ се от върха на този ръб, лежащ в основата, ще бъде правоъгълен.

\ [(\ Голям (\ текст (Обем и повърхност на пирамидата))) \]

Теорема

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на основната площ от височината на пирамидата: \

Последствия

Нека \ (a \) е страната на основата, \ (h \) височината на пирамидата.

1. Обемът на правилна триъгълна пирамида е \ (V _ (\ текст (десен триъгълен пир.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),

2. Обемът на правилна четириъгълна пирамида е \ (V _ (\ текст (вдясно четири пир.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).

3. Обемът на правилна шестоъгълна пирамида е \ (V _ (\ текст (десен шестнадесетичен)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).

4. Обемът на правилния тетраедър е \ (V _ (\ текст (вдясно tet.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).

Теорема

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на полупродукта на периметъра на основата от апотема.

\ [(\ Голям (\ текст (Осечена пирамида))) \]

Определение

Да разгледаме произволна пирамида \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \). Нека начертаем равнина, успоредна на основата на пирамидата, през точка, лежаща на страничния ръб на пирамидата. Тази равнина ще раздели пирамидата на два полиедра, единият от които е пирамида (\ (PB_1B_2 ... B_n \)), а другият се нарича пресечена пирамида(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).


Отсечената пирамида има две основи - многоъгълници \ (A_1A_2 ... A_n \) и \ (B_1B_2 ... B_n \), които са подобни един на друг.

Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, изтеглен от някаква точка на горната основа към равнината на долната основа.

Важни бележки

1. Всички странични лица на пресечената пирамида са трапец.

2. Сегментът, свързващ центровете на основите на правилна пресечена пирамида (тоест пирамида, получена чрез изрязване на правилна пирамида), е височината.

Тук можете да намерите основна информация за пирамидите и свързаните с тях формули и понятия. Всички те се изучават с учител по математика при подготовка за изпита.

Помислете за равнина, многоъгълник лежаща в него и точка S, която не лежи в него. Свържете S към всички върхове на многоъгълника. Полученият полиедър се нарича пирамида. Линиите се наричат ​​странични ребра. Многоъгълникът се нарича основа, а точка S се нарича връх на пирамидата. В зависимост от числото n пирамидата се нарича триъгълна (n = 3), четириъгълна (n = 4), пирамида (n = 5) и т.н. Алтернативно име на триъгълната пирамида е тетраедър... Височината на пирамидата се нарича перпендикуляр, спуснат от върха й до равнината на основата.

Една пирамида се нарича правилна, ако правилен многоъгълник, а основата на височината на пирамидата (основата на перпендикуляра) е нейният център.

Коментар на учителя:
Не бъркайте понятието "правилна пирамида" и "правилен тетраедър". В правилна пирамида страничните ръбове не са непременно равни на ръбовете на основата, но в правилния тетраедър всичките 6 ръба на ръбовете са равни. Това е неговото определение. Лесно е да се докаже, че равенството предполага съвпадението на центъра P на многоъгълника с основата на височината, така че правилният тетраедър е правилна пирамида.

Какво е Apothema?
Апотемата на пирамидата е височината на нейната странична повърхност. Ако пирамидата е правилна, тогава всички нейни апотеми са равни. Обратното не е вярно.

Учител по математика относно неговата терминология: работата с пирамиди е 80% изградена чрез два вида триъгълници:
1) Съдържащ апотема SK и височина SP
2) Съдържа страничен ръб SA и неговата проекция PA

За да се опрости препратките към тези триъгълници, е по-удобно за учител по математика да извика първия от тях апотемичен, и второ крайбрежна... За съжаление тази терминология няма да намерите в нито един от учебниците и учителят трябва да я въведе едностранно.

Формулата за обема на пирамида:
1) , където е площта на основата на пирамидата и е височината на пирамидата
2), където е радиусът на вписаната сфера и е общата повърхност на пирамидата.
3) , където MN е разстоянието на всеки два пресичащи се ръба и е площта на успоредника, образуван от средните точки на четирите останали ръба.

Основно свойство на височината на пирамидата:

Точка P (виж фигурата) съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от следните условия:
1) Всички апотеми са равни
2) Всички странични лица са еднакво наклонени към основата
3) Всички апотеми са еднакво наклонени към височината на пирамидата
4) Височината на пирамидата е еднакво наклонена към всички странични лица

Коментар на учител по математика: Обърнете внимание, че всички точки имат едно общо свойство: по един или друг начин страничните лица са включени навсякъде (апотемите са техните елементи). Следователно учителят може да предложи по-малко точна, но по-удобна за запомняне формулировка: точката P съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на пирамидата, ако има еднаква информация за страничните й лица. За да се докаже, е достатъчно да се покаже, че всички апотемични триъгълници са равни.

Точка P съвпада с центъра на окръжност, описана близо до основата на пирамидата, ако е вярно едно от трите условия:
1) Всички странични ръбове са равни
2) Всички странични ребра са еднакво наклонени към основата
3) Всички странични ребра са еднакво наклонени към височината

Зареждане ...Зареждане ...