Концепцията за средната линия на трапеца
За начало нека си спомним коя форма се нарича трапец.
Определение 1
Трапецът е четириъгълник, в който двете страни са успоредни, а другите две не са успоредни.
В този случай успоредните страни се наричат основи на трапеца, а не успоредни - страните на трапеца.
Определение 2
Средната линия на трапец е отсечка, свързваща средните точки на страните на трапеца.
Теорема за централната линия за трапец
Сега въвеждаме теоремата за средната линия на трапец и я доказваме по векторния метод.
Теорема 1
Средната линия на трапеца е успоредна на основите и равна на тяхната полусума.
Доказателство.
Нека ни е даден трапец $ ABCD $ с основи $ AD \ и \ BC $. И нека $ MN $ е средната линия на този трапец (фиг. 1).
Фигура 1. Средната линия на трапеца
Нека докажем, че $ MN || AD \ и \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $.
Помислете за вектора $ \ стрелка над правата (MN) $. След това използваме правилото за полигона, за да добавим вектори. От една страна разбираме това
От друга страна
Събираме последните две равенства, получаваме
Тъй като $ M $ и $ N $ са средните точки на страничните страни на трапеца, ще имаме
Получаваме:
Следователно
От същото равенство (тъй като $ \ overrightarrow (BC) $ и $ \ overrightarrow (AD) $ са съпосочени и следователно колинеарни) получаваме $ MN || AD $.
Теоремата е доказана.
Примери за задачи за концепцията за средната линия на трапец
Пример 1
Страните на трапеца са съответно $ 15 \ cm $ и $ 17 \ cm $. Периметърът на трапеца е $ 52 \ cm $. Намерете дължината на средната линия на трапеца.
Решение.
Нека означим средната линия на трапеца с $ n $.
Сборът от страните е
Следователно, тъй като периметърът е $ 52 \ cm $, сумата от основите е
Следователно, по теорема 1 получаваме
Отговор:$ 10 \ cm $.
Пример 2
Краищата на диаметъра на окръжността се отстраняват от допирателната й съответно с $ 9 $ см и $ 5 $ см. Намерете диаметъра на тази окръжност.
Решение.
Нека ни е дадена окръжност с център $ O $ и диаметър $ AB $. Начертайте допирателната права $ l $ и построете разстоянията $ AD = 9 \ cm $ и $ BC = 5 \ cm $. Да начертаем радиуса $ OH $ (фиг. 2).
Фигура 2.
Тъй като $ AD $ и $ BC $ са разстоянията до допирателната, тогава $ AD \ bot l $ и $ BC \ bot l $ и тъй като $ OH $ е радиусът, тогава $ OH \ bot l $, следователно, $ OH | \ вляво | AD \ вдясно || BC $. От всичко това получаваме, че $ ABCD $ е трапец, а $ OH $ е средната му линия. По теорема 1 получаваме
Четириъгълник само с две успоредни страни се нарича трапец.
Успоредните страни на трапеца се наричат основания, а тези страни, които не са успоредни, се наричат странични страни... Ако страните са равни, тогава такъв трапец е равнобедрен. Разстоянието между основите се нарича височина на трапеца.
Средна линия на трапец
Средната линия е отсечката, свързваща средните точки на страните на трапеца. Средната линия на трапеца е успоредна на основите му.
теорема:
Ако права линия, пресичаща средата на едната страна, е успоредна на основите на трапеца, тогава тя разполовява втората страна на трапеца.
теорема:
Дължината на средната линия е равна на средното аритметично от дължините на нейните основи
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN средна линия, AB и CD - основи, AD и BC - страни
MN = (AB + DC) / 2
теорема:
Дължината на средната линия на трапеца е равна на средното аритметично от дължините на неговите основи.
Основната задача: Докажете, че средната линия на трапец разполовява сегмент, чиито краища лежат в средата на основата на трапеца.
Централна линия на триъгълника
Сегментът, свързващ средните точки на двете страни на триъгълника, се нарича средна линия на триъгълника. Тя е успоредна на третата страна и е половината от дължината на третата страна.
Теорема: Ако права, пресичаща средата на едната страна на триъгълник, е успоредна на другата страна на този триъгълник, тогава тя разделя третата страна наполовина.
AM = MC и BN = NC =>
Прилагане на свойства на средната линия на триъгълник и трапец
Разделяне на сегмент на определен брой равни части.
Задача: Разделете отсечката AB на 5 равни части.
Решение:
Нека p е случаен лъч с начало в точка A и не лежащ на права AB. Последователно поставяме 5 равни сегмента на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Свързваме A 5 с B и начертаваме такива линии през A 4, A 3, A 2 и A 1, които са успоредни на A 5 B. Те се пресичат съответно AB в точки B 4, B 3, B 2 и B 1 . Тези точки разделят отсечката AB на 5 равни части. Всъщност от трапеца BB 3 A 3 A 5 виждаме, че BB 4 = B 4 B 3. По същия начин от трапеца B 4 B 2 A 2 A 4 получаваме B 4 B 3 = B 3 B 2
Докато от трапец B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Тогава от B 2 AA 2 следва, че B 2 B 1 = B 1 A. В заключение получаваме:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно е, че за да разделим отсечката AB на друг брой равни части, трябва да проектираме същия брой равни отсечки върху лъч p. И след това продължете по описания по-горе начин.
В тази статия сме направили друга селекция от проблеми с трапец за вас. Условията по някакъв начин са свързани със средната му линия. Типовете задачи са взети от отворената банка от типични задачи. Ако желаете, можете да опресните теоретичните си знания. В блога вече са разгледани и задачите, чиито условия са свързани. Накратко за средната линия:
Средната линия на трапеца свързва средните точки на страничните страни. Той е успореден на основите и равен на тяхната полусума.
Преди да решим задачите, нека разгледаме теоретичен пример.
Даден е трапец ABCD. Диагоналът AC, пресичащ се със средната права, образува точка K, диагоналът BD образува точка L. Докажете, че отсечката KL е равна на половината от разликата между основите.
Нека първо отбележим факта, че средната линия на трапец разполовява всеки сегмент, чиито краища лежат върху неговите основи. Това заключение се налага. Представете си сегмент, свързващ две базови точки, той ще раздели този трапец на два други. Оказва се, че сегмент, успореден на основите на трапеца и минаващ през средата на страната от другата страна, ще премине през средата му.
Също така се основава на теоремата на Талес:
Ако на една от двете прави линии оставим няколко равни сегмента последователно и през краищата им начертаем успоредни прави линии, пресичащи втората права линия, тогава те ще отрежат равни сегменти на втората права линия.
Тоест в този случай K е средата на AC, а L е средата на BD. Следователно EK е средната линия на триъгълник ABC, LF е средната линия на триъгълник DCB. По свойството на средната линия на триъгълника:
Сега можем да изразим отсечката KL чрез основите:
Доказано!
Този пример е даден с причина. В задачите за самостоятелно решение има точно такъв проблем. Само че не се казва, че сегментът, свързващ средните точки на диагоналите, лежи на средната линия. Помислете за задачите:
27819. Намерете средната линия на трапец, ако основите му са 30 и 16.
Изчисляваме по формулата:
27820. Средната линия на трапеца е 28, а по-малката основа е 18. Намерете по-голямата основа на трапеца.
Нека изразим по-голяма база:
По този начин:
27836. Перпендикулярът, спуснат от върха на тъпия ъгъл към по-голямата основа на равнобедрения трапец, го разделя на части с дължини 10 и 4. Намерете средната линия на този трапец.
За да намерите централната линия, трябва да знаете основата. Основата AB е лесна за намиране: 10 + 4 = 14. Намерете DC.
Нека построим втория перпендикуляр DF:
AF, FE и EB ще бъдат съответно 4, 6 и 4. Защо?
В равнобедрен трапец спуснатите към по-голямата основа перпендикуляри го разделят на три сегмента. Две от тях, които са катетите на отсечените правоъгълни триъгълници, са равни една на друга. Третият сегмент е равен на по-малката основа, тъй като при конструиране на посочените височини се образува правоъгълник, а в правоъгълника противоположните страни са равни. В тази задача:
Така DC = 6. Ние изчисляваме:
27839. Основите на трапеца са 2: 3, а средната линия е 5. Намерете по-малката основа.
Нека въведем коефициента на пропорционалност x. Тогава AB = 3x, DC = 2x. можем да напишем:
Следователно по-малката основа е 2 ∙ 2 = 4.
27840. Периметърът на равнобедрен трапец е 80, средната му линия е равна на страничната страна. Намерете страната на трапеца.
Въз основа на условието можем да запишем:
Ако обозначите средната линия чрез стойността на x, получавате:
Второто уравнение вече може да бъде записано във формата:
27841. Средната линия на трапеца е 7 и едната му основа е по-голяма от другата с 4. Намерете по-голямата основа на трапеца.
Нека означим по-малката основа (DC) като x, тогава по-голямата (AB) ще бъде равна на x + 4. Можем да запишем
Разбрахме, че долната база е ранна пет, така че по-голямата е 9.
27842. Средната линия на трапеца е 12. Един от диагоналите го разделя на две отсечки, чиято разлика е 2. Намерете по-голямата основа на трапеца.
Лесно можем да намерим по-голямата основа на трапеца, ако изчислим отсечката EO. Това е средната линия в триъгълника ADB и AB = 2 ∙ EO.
какво имаме? Казва се, че средната линия е 12 и разликата между отсечките EO и OF е 2. Можем да запишем две уравнения и да решим системата:
Ясно е, че в този случай е възможно да вземете двойка числа без изчисления, това са 5 и 7. Но въпреки това ще решим системата:
Следователно EO = 12–5 = 7. Така по-голямата основа е равна на AB = 2 ∙ EO = 14.
27844. В равнобедрен трапец диагоналите са перпендикулярни. Височината на трапеца е 12. Намерете средната му линия.
Веднага отбелязваме, че височината, изтеглена през точката на пресичане на диагоналите в равнобедрен трапец, лежи върху оста на симетрия и разделя трапеца на два равни правоъгълни трапеца, тоест основите на тази височина са разделени наполовина.
Изглежда, че за да изчислим средната линия, трябва да намерим основите. Тук възниква малка безизходица ... Как, знаейки височината, в този случай, да изчислим основите? И не как! Има много такива трапеци с фиксирана височина и диагонали, пресичащи се под ъгъл от 90 градуса. Как да бъде?
Вижте формулата за средната линия на трапец. В крайна сметка не е необходимо да знаем самите основания, достатъчно е да знаем тяхната сума (или половин сума). Ние можем да направим това.
Тъй като диагоналите се пресичат под прав ъгъл, се образуват равнобедрени правоъгълни триъгълници с височина EF:
От горното следва, че FO = DF = FC и OE = AE = EB. Сега нека напишем каква е височината, изразена чрез сегментите DF и AE:
Значи средната линия е 12.
* По принцип това е задача, както разбирате, за устно броене. Но съм сигурен, че предоставеното подробно обяснение е необходимо. И така... Ако погледнете фигурата (при условие, че ъгълът между диагоналите се спазва по време на строителството), равенството FO = DF = FC и OE = AE = EB, веднага привлича окото.
Като част от прототипите има и видове задачи с трапеци. Изграден е върху лист в клетка и трябва да намерите средната линия, страната на клетката обикновено е 1, но може да има различна стойност.
27848. Намерете средната линия на трапеца ABCDако страните на квадратните клетки са 1.
Просто е, изчисляваме основите по клетки и използваме формулата: (2 + 4) / 2 = 3
Ако основите са изградени под ъгъл спрямо клетъчната мрежа, тогава има два начина. Например!
Цели на урока:
1) запознайте учениците с концепцията за средната линия на трапец, разгледайте неговите свойства и ги докажете;
2) научи как да се изгради средната линия на трапец;
3) развиват способността на учениците да използват определението на средната линия на трапеца и свойствата на средната линия на трапеца при решаване на задачи;
4) да продължи да формира умението на учениците да говорят правилно, като използва необходимите математически термини; докажете своята гледна точка;
5) развиват логическото мислене, паметта, вниманието.
По време на занятията
1. Проверката на домашното се извършва по време на урока. Домашната работа беше устна, запомнете:
а) определение на трапец; видове трапеци;
б) определяне на средната линия на триъгълника;
в) свойството на средната линия на триъгълника;
г) знак на средната линия на триъгълник.
2. Усвояване на нов материал.
а) Трапеца ABCD е показан на дъската.
б) Учителят предлага да запомните определението за трапец. Всяко училище има диаграма на подсказка, която помага да се запомнят основните понятия в темата „Трапец“ (виж Приложение 1). За всяко училище се издава Приложение 1.
Учениците рисуват трапец ABCD в тетрадка.
в) Учителят предлага да си спомните в коя тема се среща понятието средна линия („Средната линия на триъгълник“). Учениците си припомнят определението за средната линия на триъгълник и неговото свойство.
д) Запишете определението на средната линия на трапеца, като го изобразите в тетрадка.
Средна линиятрапец се нарича сегмент, свързващ средните точки на страничните му страни.
Свойството на средната линия на трапец на този етап остава недоказано, следователно следващият етап от урока включва работа върху доказателството за свойството на средната линия на трапец.
Теорема. Средната линия на трапеца е успоредна на основите му и е равна на тяхната полусума.
дадено: ABCD - трапец,
MN - средна линия ABCD
Докажи, Какво:
1. пр. н. е. || MN || АД.
2. MN = (AD + BC).
Можем да напишем някои от следствията, които следват от условията на теоремата:
AM = MB, CN = ND, BC || АД.
Невъзможно е да се докаже това, което се изисква само въз основа на изброените свойства. Система от въпроси и упражнения трябва да доведе учениците до желанието да свържат средната линия на трапец със средната линия на триъгълник, чиито свойства вече знаят. Ако няма предложения, тогава можете да зададете въпроса: как да построите триъгълник, за който сегментът MN ще бъде средната линия?
Нека запишем допълнителна конструкция за един от случаите.
Начертайте линия BN, пресичаща продължението на страната AD в точка K.
Появяват се допълнителни елементи - триъгълници: ABD, BNM, DNK, BCN. Ако докажем, че BN = NK, тогава това ще означава, че MN е средната линия на ABD и тогава ще бъде възможно да се използва свойството на средната линия на триъгълник и да се докаже какво е необходимо.
доказателство:
1. Помислете за BNC и DNK, в тях:
а) CNB = DNK (свойство на вертикален ъгъл);
б) BCN = NDK (свойство на кръстосано разположени ъгли);
в) CN = ND (по следствие от условията на теоремата).
Следователно BNC = DNK (по протежение на страната и два съседни ъгъла).
Q.E.D.
Доказателството може да се извърши устно в урока, а у дома може да бъде възстановено и записано в тетрадка (по преценка на учителя).
Необходимо е да се каже за други възможни начини за доказване на тази теорема:
1. Начертайте един от диагоналите на трапеца и използвайте знака и свойството на средната линия на триъгълника.
2. Извършете CF || BA и разгледайте паралелограма ABCF и DCF.
3. Провеждане на EF || BA и помислете за равенството на FND и ENC.
ж) На този етап се дава домашна работа: стр. 84, учебник, изд. Атанасян Л.С. (доказателство за свойството на средната линия на трапец по векторен начин), запишете в тетрадка.
з) Решаваме задачите за използване на определението и свойствата на средната линия на трапец според готовите чертежи (виж Приложение 2). Приложение 2 се издава на всеки ученик, като решението на задачите се оформя на същия лист в кратка форма.
Зона на трапец. Поздравления! В тази публикация ще разгледаме посочената формула. Защо е точно същата и как да я разберем. Ако има разбиране, тогава не е нужно да го учите. Ако просто искате да разгледате тази формула и какво е спешно, тогава можете незабавно да превъртите надолу по страницата))
Сега подробно и по ред.
Трапецът е четириъгълник, двете страни на този четириъгълник са успоредни, другите две не са. Тези, които не са успоредни, са основите на трапеца. Другите две се наричат страни.
Ако страните са равни, тогава трапецът се нарича равнобедрен. Ако една от страничните страни е перпендикулярна на основите, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен.
В класическата форма трапецът е изобразен по следния начин - по-голямата основа е отдолу, съответно по-малката е отгоре. Но никой не забранява да я изобразява и обратно. Ето скиците:
Следващата важна концепция.
Средната линия на трапеца е отсечката, която свързва средните точки на страните. Средната линия е успоредна на основите на трапеца и е равна на тяхната полусума.
Сега нека се задълбочим. Защо е така?
Помислете за трапец с основи а и би със средната линия л, и ще извършим някои допълнителни конструкции: начертайте прави линии през основите и перпендикуляри през краищата на средната линия, докато се пресичат с основите:
* Буквените обозначения на върховете и други точки не се въвеждат умишлено, за да се избегнат ненужни обозначения.
Вижте, триъгълници 1 и 2 са равни във втория знак за равенство на триъгълниците, триъгълници 3 и 4 са еднакви. Равенството на триъгълниците предполага равенството на елементите, а именно краката (те са обозначени съответно в синьо и червено).
Сега внимание! Ако мислено "отрежем" синия и червения сегмент от долната основа, тогава ще имаме сегмент (това е страната на правоъгълника), равен на средната линия. Освен това, ако "залепим" отрязаната синя и червена линия към горната основа на трапеца, тогава ще получим и сегмент (това е и страната на правоъгълника), равен на средната линия на трапеца.
Схванах го? Оказва се, че сумата от основите ще бъде равна на двете средни линии на трапеца:
Вижте друго обяснение
Нека направим следното - изградим права линия, минаваща през долната основа на трапеца и права линия, която ще минава през точки A и B:
Получаваме триъгълници 1 и 2, те са равни на страната и ъглите, съседни на нея (вторият знак за равенство на триъгълниците). Това означава, че полученият сегмент (в скицата е обозначен в синьо) е равен на горната основа на трапеца.
Сега помислете за триъгълника:
* Средната линия на този трапец и средната линия на триъгълника съвпадат.
Известно е, че триъгълникът е равен на половината от неговата успоредна основа, тоест:
Добре, оправих се. Сега за площта на трапеца.
Формула за площ на трапец:
Казват: площта на трапец е равна на произведението на полусумата от неговите основи и височина.
Тоест, оказва се, че е равно на произведението на средната линия и височината:
Вероятно вече сте забелязали, че това е очевидно. Геометрично това може да се изрази по следния начин: ако умствено отрежем триъгълници 2 и 4 от трапеца и ги поставим съответно върху триъгълници 1 и 3:
След това получаваме правоъгълник с площ, равна на площта на нашия трапец. Площта на този правоъгълник ще бъде равна на произведението на средната линия и височината, тоест можем да напишем:
Но смисълът тук не е в записа, разбира се, а в разбирането.
Изтеглете (прегледайте) материал за статията в * pdf формат
Това е всичко. Успех на вас!
С уважение, Александър.
Зареждане ...