Sinus i kosinus su prvobitno proizašli iz potrebe da se izračunaju količine u pravokutnim trokutima. Primijećeno je da ako se ne mijenja stepen mjera uglova u pravouglom trouglu, onda omjer stranica, bez obzira koliko se ove stranice mijenjaju po dužini, uvijek ostaje isti.
Tako su uvedeni koncepti sinusa i kosinusa. Sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane prema hipotenuzi, a kosinus je omjer stranice koja je susjedna hipotenuzi.
Teoreme kosinusa i sinusa
Ali kosinus i sinus se mogu koristiti za više od pravokutnih trougla. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog ugla ili stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teoremu kosinusa i sinusa.
Kosinusni teorem je prilično jednostavan: „Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije strane umanjenom za dvostruki proizvod tih stranica i kosinusa ugla između njih.”
Postoje dva tumačenja teoreme sinusa: mala i proširena. Prema maloljetniku: "U trouglu su uglovi proporcionalni suprotnim stranama." Ova teorema se često proširuje zbog svojstva opisane kružnice trokuta: „U trokutu su uglovi proporcionalni suprotnim stranama, a njihov omjer je jednak prečniku opisane kružnice.“
Derivati
Izvod je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu argumenta. Derivati se koriste u geometriji, iu nizu tehničkih disciplina.
Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti izvoda trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Derivat sinusa je kosinus, a kosinus je sinus, ali sa predznakom minus.
Primjena u matematici
Sinusi i kosinusi se posebno često koriste prilikom rješavanja pravokutnih trouglova i zadaci povezani s njima.
Pogodnost sinusa i kosinusa ogleda se iu tehnologiji. Uglove i stranice bilo je lako procijeniti korištenjem kosinusnih i sinusnih teorema, razbijajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri koji se često bave proračunima omjera i mjera stepena potrošili su mnogo vremena i truda na izračunavanje kosinusa i sinusa netabelarnih uglova.
Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje sadrže hiljade vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa različitih uglova. IN Sovjetsko vreme neki nastavnici su prisiljavali svoje učenike da pamte stranice Bradisovih tabela.
Radijan je ugaona vrednost luka čija je dužina jednaka poluprečniku ili 57,295779513° stepeni.
Stepen (u geometriji) je 1/360 kruga ili 1/90 pravog ugla.
π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost Pi).
Kosinus tabela za uglove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Ugao x (u stepenima) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ugao x (u radijanima) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Kako pronaći sinus?
Učenje geometrije pomaže u razvoju razmišljanja. Ovaj predmet je obavezno uključen u školsku obuku. U svakodnevnom životu poznavanje ove teme može biti korisno - na primjer, prilikom planiranja stana.
Iz istorije
Kurs geometrije uključuje i trigonometriju, koja proučava trigonometrijske funkcije. U trigonometriji proučavamo sinuse, kosinuse, tangente i kotangense uglova.
Ali dalje ovog trenutka Počnimo od najjednostavnije stvari - sinusa. Pogledajmo pobliže prvi koncept - sinus ugla u geometriji. Šta je sinus i kako ga pronaći?
Koncept "sinusnog ugla" i sinusoida
Sinus ugla je omjer vrijednosti suprotne strane i hipotenuze pravokutnog trokuta. Ovo je direktna trigonometrijska funkcija, koja se piše kao "sin (x)", gdje je (x) ugao trokuta.
Na grafikonu je sinus ugla označen sinusnim talasom sa svojim karakteristikama. Sinusni val izgleda kao neprekidna valovita linija koja leži unutar određenih granica na koordinatnoj ravni. Funkcija je neparna, stoga je simetrična oko 0 na koordinatnoj ravni (izlazi iz početka koordinata).
Područje definicije ove funkcije je u rasponu od -1 do +1 na Dekartovom koordinatnom sistemu. Period funkcije sinusnog ugla je 2 Pi. To znači da se svakih 2 Pi obrazac ponavlja i sinusni val prolazi kroz puni ciklus.
Sinusna jednačina
- sin x = a/c
- gdje je a krak suprotan kutu trougla
- c - hipotenuza pravouglog trougla
Svojstva sinusa ugla
- sin(x) = - sin(x). Ova karakteristika pokazuje da je funkcija simetrična, a ako su vrijednosti x i (-x) ucrtane u koordinatni sustav u oba smjera, tada će ordinate ovih tačaka biti suprotne. Oni će biti na jednakoj udaljenosti jedan od drugog.
- Još jedna karakteristika ove funkcije je da graf funkcije raste na segmentu [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], gdje je n bilo koji cijeli broj. Na segmentu će se uočiti smanjenje grafika sinusa ugla: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
- sin(x) > 0 kada je x u opsegu (2Pn, P + 2Pn)
- (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)
Vrijednosti sinusa kuta određuju se pomoću posebnih tablica. Takve tabele su napravljene da olakšaju proces izračunavanja složenih formula i jednačina. Jednostavan je za korištenje i sadrži ne samo vrijednosti sin(x) funkcije, već i vrijednosti drugih funkcija.
Štoviše, tablica standardnih vrijednosti ovih funkcija uključena je u obaveznu studiju pamćenja, poput tablice množenja. Ovo posebno važi za časove sa fizičkim i matematičkim predrasudama. U tabeli možete vidjeti vrijednosti glavnih uglova koji se koriste u trigonometriji: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 i 360 stepeni.
Tu je i tabela koja definira vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih uglova. Iskorištavanje različiti stolovi, možete lako izračunati sinus, kosinus, tangent i kotangens nekih uglova.
Jednačine se prave sa trigonometrijskim funkcijama. Rješavanje ovih jednačina je lako ako poznajete jednostavne trigonometrijskih identiteta i redukcije funkcija, na primjer, kao što su sin (P/2 + x) = cos (x) i druge. Za takva smanjenja je također sastavljena posebna tabela.
Kako pronaći sinus ugla
Kada je zadatak pronaći sinus ugla, a prema uvjetu imamo samo kosinus, tangens ili kotangens ugla, lako možemo izračunati što nam je potrebno pomoću trigonometrijskih identiteta.
- sin 2 x + cos 2 x = 1
Iz ove jednadžbe možemo pronaći i sinus i kosinus, ovisno o tome koja je vrijednost nepoznata. Dobijamo trigonometrijsku jednačinu sa jednom nepoznatom:
- sin 2 x = 1 - cos 2 x
- sin x = ± √ 1 - cos 2 x
- krevetac 2 x + 1 = 1 / sin 2 x
Iz ove jednadžbe možete pronaći vrijednost sinusa, znajući vrijednost kotangensa ugla. Da pojednostavimo, zamijenite sin 2 x = y i imate jednostavnu jednačinu. Na primjer, kotangens vrijednost je 1, tada:
- 1 + 1 = 1/god
- 2 = 1/god
- 2u = 1
- y = 1/2
Sada izvodimo obrnutu zamjenu plejera:
- sin 2 x = ½
- sin x = 1 / √2
Pošto smo uzeli kotangens za standardni ugao (45 0), dobijene vrednosti možemo proveriti u tabeli.
Ako vam je data tangentna vrijednost i trebate pronaći sinus, drugi trigonometrijski identitet će vam pomoći:
- tg x * ctg x = 1
Iz toga slijedi da:
- krevetac x = 1 / tan x
Da biste pronašli sinus nestandardnog kuta, na primjer, 240 0, morate koristiti formule za smanjenje ugla. Znamo da π odgovara 180 0. Dakle, izražavamo našu jednakost koristeći standardne uglove proširenjem.
- 240 0 = 180 0 + 60 0
Trebamo pronaći sljedeće: sin (180 0 + 60 0). U trigonometriji postoje formule redukcije koje u ovom slučaju dobro će doći. Ovo je formula:
- sin (π + x) = - sin (x)
Dakle, sinus ugla od 240 stepeni jednak je:
- sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2
U našem slučaju, x = 60, odnosno P, 180 stepeni. Pronašli smo vrijednost (-√3/2) iz tablice vrijednosti funkcija standardnih uglova.
Na ovaj način se mogu proširiti nestandardni uglovi, na primjer: 210 = 180 + 30.
Trigonometrijski identiteti- to su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla, što vam omogućava da pronađete bilo koju od ovih funkcija, pod uslovom da je bilo koja druga poznata.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ovaj identitet kaže da je zbir kvadrata sinusa jednog ugla i kvadrata kosinusa jednog ugla jednak jedan, što u praksi omogućava izračunavanje sinusa jednog ugla kada je poznat njegov kosinus i obrnuto. .
Prilikom pretvaranja trigonometrijskih izraza, ovaj identitet se vrlo često koristi, što vam omogućava da zamijenite zbir kvadrata kosinusa i sinusa jednog ugla s jednim i izvršite operaciju zamjene obrnutim redoslijedom.
Pronalaženje tangente i kotangensa pomoću sinusa i kosinusa
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ovi identiteti su formirani iz definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Uostalom, ako pogledate, onda je po definiciji ordinata y sinus, a apscisa x kosinus. Tada će tangenta biti jednaka omjeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), i omjer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- će biti kotangens.
Dodajmo da će identiteti vrijediti samo za takve uglove \alpha pod kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Na primjer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) vrijedi za uglove \alpha koji se razlikuju od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za ugao \alpha koji nije \pi z, z je cijeli broj.
Odnos između tangente i kotangensa
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ovaj identitet vrijedi samo za uglove \alpha koji se razlikuju od \frac(\pi)(2) z. U suprotnom se neće odrediti ni kotangens ni tangens.
Na osnovu gore navedenih tačaka dobijamo to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iz toga slijedi tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dakle, tangenta i kotangens istog ugla pod kojim imaju smisla su međusobno inverzni brojevi.
Odnosi između tangente i kosinusa, kotangensa i sinusa
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- zbir kvadrata tangente ugla \alpha i 1 jednak je inverznom kvadratu kosinusa ovog ugla. Ovaj identitet vrijedi za sve \alpha osim \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- zbir 1 i kvadrata kotangensa ugla \alpha jednak je inverznom kvadratu sinusa datog ugla. Ovaj identitet vrijedi za bilo koju \alfa različitu od \pi z.
Primjeri sa rješenjima problema pomoću trigonometrijskih identiteta
Primjer 1
Pronađite \sin \alpha i tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 I \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Pokaži rješenje
Rješenje
Funkcije \sin \alpha i \cos \alpha povezane su formulom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamjena u ovoj formuli \cos \alpha = -\frac12, dobijamo:
\sin^(2)\alpha + \levo (-\frac12 \desno)^2 = 1
Ova jednačina ima 2 rješenja:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Po uslovu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini sinus je pozitivan, dakle \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Da bismo pronašli tan \alpha, koristimo formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Primjer 2
Pronađite \cos \alpha i ctg \alpha ako i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Pokaži rješenje
Rješenje
Zamjena u formuli \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dati broj \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobijamo \levo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ova jednačina ima dva rješenja \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Po uslovu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini kosinus je negativan, dakle \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Da bismo pronašli ctg \alpha , koristimo formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Znamo odgovarajuće vrijednosti.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Referentni podaci za tangentu (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafovi, formule. Tablica tangenta i kotangensa, izvoda, integrala, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza sa hiperboličkim funkcijama.
Geometrijska definicija
|BD| - dužina luka kružnice sa centrom u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.
tangenta ( tan α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine suprotne krake |BC| na dužinu susedne noge |AB| .
kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu suprotne noge |BC| .
Tangenta
Gdje n- cela.
U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.
Grafikon tangentne funkcije, y = tan x
Kotangens
Gdje n- cela.
U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Sljedeće oznake su također prihvaćene:
;
;
.
Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x
Svojstva tangente i kotangensa
Periodičnost
Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične sa periodom π.
Paritet
Tangentne i kotangensne funkcije su neparne.
Područja definicije i vrijednosti, povećanje, smanjenje
Tangentne i kotangensne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli ( n- cijeli).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Obim i kontinuitet | ||
| Raspon vrijednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Povećanje | - | |
| Silazno | - | |
| Ekstremi | - | - |
| Nule, y = 0 | ||
| Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0 | y = 0 | - |
Formule
Izrazi koji koriste sinus i kosinus
;
;
;
;
;
Formule za tangentu i kotangens iz zbira i razlike
Preostale formule je lako dobiti, na primjer
Proizvod tangenti
Formula za zbir i razliku tangenta
Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za određene vrijednosti argumenta. 
Izrazi koji koriste kompleksne brojeve
Izrazi kroz hiperboličke funkcije
;
;
Derivati
; .
.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >
Integrali
Proširenja serije
Da biste dobili ekspanziju tangente po stepenu x, potrebno je uzeti nekoliko članova ekspanzije u nizu stepena za funkcije sin x I cos x i podijeliti ove polinome jedni s drugima, . Ovo proizvodi sljedeće formule.
U .
u .
Gdje Bn- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli: 
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije tangente i kotangensa su arktangens i arkkotangens, respektivno.
Arktangent, arctg
, Gdje n- cela.
Arkotangenta, arcctg
, Gdje n- cela.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
G. Korn, Priručnik za matematiku za naučni radnici i inženjeri, 2012.
Započet ćemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Hajde da definišemo šta su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangens oštrog ugla. Ovo su osnove trigonometrije.
Da vas podsjetimo na to pravi ugao je ugao jednak 90 stepeni. Drugim riječima, pola okrenutog ugla.
Oštar ugao- manje od 90 stepeni.
Tupi ugao- veći od 90 stepeni. U odnosu na takav ugao, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)
Nacrtajmo pravougli trougao. Pravi ugao se obično označava sa . Imajte na umu da je strana nasuprot uglu označena istim slovom, samo malim. Dakle, strana suprotna kutu A označena je .
Ugao je označen odgovarajućim grčko pismo.
Hipotenuza pravouglog trougla je strana naspram pravog ugla.
Noge- strane suprotne oštrim uglovima.
Noga koja leži nasuprot ugla naziva se suprotno(u odnosu na ugao). Drugi krak, koji leži na jednoj od strana ugla, naziva se susjedni.
Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i hipotenuze:
Kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:
Tangenta oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer suprotne strane i susjedne:
Druga (ekvivalentna) definicija: tangenta oštrog ugla je omjer sinusa ugla i njegovog kosinusa:
Kotangens oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjedne strane prema suprotnoj strani (ili, što je isto, omjer kosinusa i sinusa):
Obratite pažnju na osnovne odnose za sinus, kosinus, tangentu i kotangens u nastavku. Oni će nam biti od koristi prilikom rješavanja problema.
Dokažimo neke od njih.
U redu, dali smo definicije i zapisali formule. Ali zašto nam još uvijek trebaju sinus, kosinus, tangent i kotangens?
Znamo to zbir uglova bilo kojeg trougla je jednak.
Znamo odnos između stranke pravougaonog trougla. Ovo je Pitagorina teorema: .
Ispada da znajući dva ugla u trouglu možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane pravokutnog trougla, možete pronaći treću. To znači da uglovi imaju svoj odnos, a stranice imaju svoj. Ali šta da radite ako u pravokutnom trokutu znate jedan ugao (osim pravog) i jednu stranu, ali morate pronaći druge strane?
To je ono s čim su se ljudi u prošlosti susreli kada su pravili karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće direktno izmjeriti sve strane trougla.
Sinus, kosinus i tangenta - još se nazivaju trigonometrijske funkcije ugla- dati odnose između stranke I uglovi trougao. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente uglova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.
Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" uglove od do.
Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tabeli. Pri odgovarajućim vrijednostima ugla, tangenta i kotangens ne postoje.
Pogledajmo nekoliko trigonometrijskih problema iz FIPI banke zadataka.
1. U trokutu, ugao je , . Pronađite .
Problem je riješen za četiri sekunde.
Zbog , .
2. U trokutu, ugao je , , . Pronađite .
Pronađimo ga pomoću Pitagorine teoreme.
Problem je riješen.
Često u problemima postoje trouglovi sa uglovima i ili sa uglovima i. Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!
Za trokut sa uglovima i krak nasuprot ugla u jednak je polovina hipotenuze.
Trougao sa uglovima i jednakokrak je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.
Razmatrali smo probleme rješavanja pravokutnih trougla – to jest, pronalaženje nepoznatih stranica ili uglova. Ali to nije sve! IN Opcije objedinjenog državnog ispita u matematici postoje mnogi problemi u kojima se pojavljuje sinus, kosinus, tangent ili kotangens vanjskog ugla trougla. Više o tome u sljedećem članku.
Učitavanje...