Najmanji zajednički višekratnik dva broja. Delitelji i višekratnici

Razmotrite tri načina da pronađete najmanji zajednički višekratnik.

Pronalaženje faktoringom

Prvi način je da nađete najmanji zajednički višekratnik tako što ćete ove brojeve činiti u proste faktore.

Pretpostavimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, svaki od ovih brojeva razlažemo na proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv sa 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da svi prosti činioci ovih djelitelja uđu u njega. Da bismo to učinili, moramo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću moguću moć i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije djeljiv sa 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak ovih brojeva, trebate ih rastaviti u proste faktore, zatim uzeti svaki prosti faktor s najvećim eksponentom koji ispunjava i pomnožiti te faktore zajedno.

Kako koprosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je proizvodu ovih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su međusobno prosti. Zbog toga

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Isto treba učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik različitih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Drugi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uklapanjem.

Primjer 1. Kada se najveći od datih brojeva u potpunosti podijeli sa ostalim datim brojevima, LCM ovih brojeva je jednak većem od njih. Na primjer, data su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

LCM (60, 30, 10, 6) = 60

Inače, sljedeća procedura se koristi za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika:

  1. Odredite najveći broj datih brojeva.
  2. Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici najvećeg broja, množeći ih prirodnim brojevima u rastućem redoslijedu i provjeravajući da li su preostali dati brojevi djeljivi s rezultirajućim umnoškom.

Primjer 2. Date su tri broja 24, 3 i 18. Odredite najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronađite brojeve koji su višestruki od 24, provjeravajući da li je svaki od njih djeljiv sa 18 i 3:

24 1 = 24 - deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 18.

24 2 = 48 - deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 18.

24 3 = 72 - djeljivo sa 3 i 18.

Dakle, LCM (24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje uzastopnim pronalaženjem LCM

Treći način je pronaći najmanji zajednički višekratnik sekvencijalnim pronalaženjem LCM.

LCM dva data broja jednak je umnošku ovih brojeva podijeljen sa njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Nađimo LCM dva data broja: 12 i 8. Odredimo njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožimo ove brojeve:

Rad dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM (12, 8) = 24.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, koristite sljedeću proceduru:

  1. Prvo, pronađite LCM bilo koja dva od datih brojeva.
  2. Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i trećeg zadanog broja.
  3. Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, itd.
  4. Stoga se potraga za LCM nastavlja sve dok postoje brojevi.

Primjer 2. Nađimo LCM tri data broja: 12, 8 i 9. LCM brojeva 12 i 8 smo već pronašli u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Ostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik od 24 i treći dati broj - 9. Odrediti njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (24, 9) = 3. Pomnožite LCM brojem 9:

Rad dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM (12, 8, 9) = 72.

Višekratnik je broj koji je jednako djeljiv datim brojem. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim brojem u grupi. Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak, morate pronaći proste faktore datih brojeva. LCM se također može izračunati korištenjem niza drugih metoda koje su primjenjive na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Serija višestrukih

    Pogledajte date brojeve. Ovdje opisani metod najbolje je koristiti kada su data dva broja, od kojih je svaki manji od 10. Ako su brojevi veliki, koristite drugu metodu.

    • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik 5 i 8. Ovo su mali brojevi, tako da možete koristiti ovu metodu.

  1. Višekratnik je broj koji je jednako djeljiv datim brojem. U tablici množenja možete pronaći više brojeva.

    • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Zapišite niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Učinite to pod višekratnicima prvog broja da uporedite dvije serije brojeva.

    • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

  3. Pronađite najmanji broj koji se pojavljuje u oba reda višekratnika. Možda ćete morati da napišete duge nizove umnožaka da biste pronašli zbir. Najmanji broj koji se pojavljuje u oba reda višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

    • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika 5 i 8 je 40. Prema tome, 40 je najmanji zajednički višekratnik 5 i 8.

    Primena faktorizacije

    1. Pogledajte date brojeve. Ovdje opisani metod najbolje je koristiti kada su data dva broja, od kojih je svaki veći od 10. Ako su dati brojevi manji, koristite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, tako da možete koristiti ovu metodu.

    2. Faktori prvi broj. Odnosno, potrebno je pronaći takve proste brojeve, pri množenju kojih dobijete dati broj. Nakon što ste pronašli osnovne faktore, zapišite ih kao jednakosti.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ puta 10 = 20) i 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ puta (\ mathbf (5)) = 10)... Dakle, prosti faktori od 20 su 2, 2 i 5. Zapišite ih kao izraz:.

    3. Faktor drugog broja. Uradite to na isti način kao što ste rastavili na faktore prvi broj, odnosno pronađite proste brojeve koji će, kada se pomnože, dati dati broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ puta 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ puta 6 = 42) i 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ puta (\ mathbf (2)) = 6)... Dakle, prosti faktori od 84 su 2, 7, 3 i 2. Zapišite ih kao izraz:.

    4. Zapišite faktore zajedničke za oba broja. Zapišite ove faktore kao operaciju množenja. Dok zapisujete svaki faktor, precrtajte ga u oba izraza (izrazi koji opisuju osnovne faktorizacije).

      • Na primjer, zajednički faktor za oba broja je 2, pa napišite 2 × (\ displaystyle 2 \ puta) i precrtaj 2 u oba izraza.
      • Zajedničko za oba broja je još jedan faktor 2, pa napišite 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ puta 2) i precrtajte drugo 2 u oba izraza.

    5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu precrtani u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ puta 2 \ puta 5) obje 2 (2) su precrtane jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije precrtan, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ puta 2 \ puta 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ puta 7 \ puta 3 \ puta 2) obje 2 su također precrtane (2). Faktori 7 i 3 nisu precrtani, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ puta 2 \ puta 5 \ puta 7 \ puta 3).

    6. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u snimljenoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ puta 2 \ puta 5 \ puta 7 \ puta 3 = 420)... Dakle, najmanji zajednički višekratnik 20 i 84 je 420.

    Pronalaženje zajedničkih djelitelja

    1. Nacrtajte mrežu kao za igru ​​tic-tac-toe. Takva mreža se sastoji od dvije paralelne prave koje se sijeku (pod pravim uglom) s druge dvije paralelne prave. Ovo stvara tri reda i tri kolone (rešetka je vrlo slična znaku #). Upišite prvi broj u prvi red i drugi stupac. Napišite drugi broj u prvi red i treći stupac.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik od 18 i 30. Napišite 18 u prvom redu i drugoj koloni, a upišite 30 u prvom redu i trećoj koloni.

    2. Pronađite djelitelj zajednički za oba broja. Zapišite to u prvi red i prvu kolonu. Bolje je tražiti primarne faktore, ali to nije uslov.

      • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa je njihov zajednički djelitelj 2. Dakle, napišite 2 u prvom redu i prvoj koloni.

    3. Podijelite svaki broj sa prvim djeliteljem. Upišite svaki količnik ispod odgovarajućeg broja. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

      • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9) pa napiši 9 ispod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) pa napiši 15 ispod 30.

    4. Nađite djelitelj zajednički za oba količnika. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, upišite djelitelj u drugi red i prvi stupac.

      • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi sa 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

    5. Podijelite svaki količnik sa drugim faktorom. Zapišite svaki rezultat dijeljenja pod odgovarajućim količnikom.

      • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3) pa napiši 3 ispod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) pa napiši 5 ispod 15.

    6. Ako je potrebno, dopunite mrežu dodatnim ćelijama. Ponavljajte opisane korake dok količniki ne budu imali zajednički djelitelj.

    7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i posljednjem redu mreže. Zatim zapišite odabrane brojeve kao operaciju množenja.

      • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u posljednjem redu, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ puta 3 \ puta 3 \ puta 5).

    8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik od dva data broja.

      • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ puta 3 \ puta 3 \ puta 5 = 90)... Dakle, najmanji zajednički višekratnik 18 i 30 je 90.

    Euklidov algoritam

    1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Delitelj je broj podijeljen sa. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj preostali kada se dva broja podijele.

      • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je djelitelj
        2 je količnik
        3 je ostatak.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodan broj a djeljiv prirodnim brojem $ b $, tada se $ b $ naziva djelitelj $ a $, a $ a $ se naziva višekratnik $ b $.

Neka su $ a $ i $ b $ prirodni brojevi. Broj $ c $ naziva se zajedničkim djeliteljem i za $ a $ i $ b $.

Skup zajedničkih djelitelja za $ a $ i $ b $ je konačan, jer nijedan od ovih djelitelja ne može biti veći od $ a $. To znači da među ovim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najveći zajednički djelitelj brojeva $ a $ i $ b $, a za označavanje se koristi notacija:

$ Gcd \ (a; b) \ ili \ D \ (a; b) $

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dva broja, trebate:

  1. Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički faktor.

Primjer 1

Pronađite gcd brojeva $ 121 $ i $ 132. $

    242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

    $ 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

    Odaberite brojeve koji su uključeni u dekompoziciju ovih brojeva

    242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

    $ 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

    Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički faktor.

    $ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

Primjer 2

Pronađite GCD monoma od 63$ i 81$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

    Rastaviti brojeve na proste faktore

    $63 = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

    $81 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

    Biramo brojeve koji su uključeni u dekompoziciju ovih brojeva

    $63 = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

    $81 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

    Nađimo proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički faktor.

    $ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

GCD dva broja možete pronaći na drugi način, koristeći skup djelitelja brojeva.

Primjer 3

Pronađite GCD brojeva $48$ i $60$.

Rješenje:

Pronađite skup djelitelja broja $ 48 $: $ \ lijevo \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ desno \) $

Sada nalazimo skup djelitelja broja $ 60 $: $ \ \ lijevo \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ desno \ ) $

Nađimo presjek ovih skupova: $ \ lijevo \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ desno \) $ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $ 48 $ i 60 $. Najveći element u datom skupu će biti broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj 48 dolara i 60 dolara bit će 12 dolara.

Definicija LCM

Definicija 3

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva$ a $ i $ b $ je prirodan broj koji je višekratnik i $ a $ i $ b $.

Uobičajeni višekratnici su brojevi koji su djeljivi sa originalom bez ostatka. Na primjer, za brojeve 25 $ i 50 $, zajednički višekratnici će biti brojevi 50,100,150,200, itd.

Najmanji zajednički višekratnik će se zvati najmanji zajednički višekratnik i označavati ga sa LCM $ (a; b) $ ili K $ (a; b).

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

  1. Brojevi faktora
  2. Napišite faktore koji su dio prvog broja i dodajte im faktore koji su dio drugog i ne ulaze u prvi

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

    Brojevi faktora

    99 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

    Napišite faktore uključene u prvi

    dodajte im faktore koji su dio drugog i ne ulaze u prvi

    Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najmanji zajednički višekratnik

    $ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

    Sastavljanje lista djelitelja brojeva često oduzima mnogo vremena. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

    Izjave na kojima se zasniva Euklidov algoritam:

    Ako su $ a $ i $ b $ prirodni brojevi, a $ a \ vdots b $, onda je $ D (a; b) = b $

    Ako su $ a $ i $ b $ prirodni brojevi takvi da je $ b

Koristeći $ D (a; b) = D (a-b; b) $, možemo sukcesivno smanjivati ​​razmatrane brojeve sve dok ne dođemo do takvog para brojeva da je jedan od njih djeljiv drugim. Tada će manji od ovih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $ a $ i $ b $.

Svojstva GCD i LCM

  1. Bilo koji zajednički višekratnik $ a $ i $ b $ je djeljiv sa K $ (a; b) $
  2. Ako je $ a \ vdots b $, onda je K $ (a; b) = a $

    3. Ako je K $ (a; b) = k $ i $ m $ prirodan broj, onda je K $ (am; bm) = km $

    Ako je $ d $ zajednički djelitelj za $ a $ i $ b $, tada je K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

    Ako je $ a \ vdots c $ i $ b \ vdots c $, onda je $ \ frac (ab) (c) $ zajednički višekratnik $ a $ i $ b $

    Za bilo koje prirodne brojeve $ a $ i $ b $, jednakost

    $ D (a; b) \ cdot K (a; b) = ab $

    Svaki zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$ je djelitelj broja $D (a; b) $

Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOK je jedan od glavnih, posebno se često koristi u Tema se izučava u srednjoj školi, dok nije posebno teško razumjeti gradivo, osobi koja je upoznata sa diplomama i tablicom množenja neće biti teško da odabere potrebne brojeve i pronađite rezultat.

Definicija

Zajednički višekratnik je broj koji se može u potpunosti podijeliti na dva broja u isto vrijeme (a i b). Najčešće se ovaj broj dobije množenjem originalnih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv sa oba broja odjednom, bez odstupanja.

NOC je skraćeno ime usvojeno za označavanje, sastavljeno od prvih slova.

Načini da dobijete broj

Da biste pronašli LCM, metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna; mnogo je prikladnija za jednostavne jednocifrene ili dvocifrene brojeve. uobičajeno je da se dijeli po faktorima, što je veći broj, više faktora će biti.

Primjer br. 1

Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste jednostavne, jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći problem, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je prilično jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.

Primjer br. 2

Druga varijanta zadatka je mnogo teža. S obzirom na brojeve 300 i 1260, pronalaženje LCM je obavezno. Za rješavanje zadatka pretpostavljaju se sljedeće radnje:

Dekompozicija prvog i drugog broja na najjednostavnije faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prva faza je završena.

Druga faza uključuje rad sa već primljenim podacima. Svaki od dobijenih brojeva mora učestvovati u izračunavanju konačnog rezultata. Za svaki faktor, najveći broj pojavljivanja se uzima iz originalnih brojeva. LCM je ukupan broj, tako da se faktori iz brojeva moraju u njemu ponoviti na jedan, čak i oni koji su prisutni u jednoj kopiji. Oba početna broja imaju u svom sastavu brojeve 2, 3 i 5, u različitim stepenima, u jednom slučaju je samo 7.

Da biste izračunali konačni rezultat, potrebno je da svaki broj uzmete u najveću od potencija predstavljenih u jednadžbi. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor, uz ispravno popunjavanje, zadatak se uklapa u dva koraka bez objašnjenja:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

To je cijeli problem, ako pokušate izračunati traženi broj množenjem, onda odgovor definitivno neće biti tačan, jer je 300 * 1260 = 378.000.

pregled:

6300/300 = 21 - tačno;

6300/1260 = 5 - tačno.

Ispravnost dobijenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a sa oba početna broja, ako je broj u oba slučaja cijeli broj, onda je odgovor tačan.

Šta LCM znači u matematici

Kao što znate, u matematici ne postoji nijedna beskorisna funkcija, ovo nije izuzetak. Najčešća upotreba ovog broja je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Ono što se obično uči u 5-6 razredima srednje škole. Takođe je i zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti u zadatku. Sličan izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo veći broj - tri, pet itd. Što više brojeva - to je više akcija u zadatku, ali složenost se od toga ne povećava.

Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, morate pronaći njihov ukupni LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje faktorizaciju, bez poništavanja.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Da bi se sastavio izraz potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su dati 2, 5, 3, - za sve ove brojeve potrebno je odrediti maksimalni stepen.

Pažnja: svi množitelji moraju biti dovedeni do potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, proširivši se na nivo jednovrijednih.

pregled:

1) 3000/250 = 12 - tačno;

2) 3000/600 = 5 - tačno;

3) 3000/1500 = 2 - tačno.

Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti na nivou genija, sve je jednostavno i jasno.

Drugi način

U matematici je mnogo toga povezano, mnogo se može riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda se može koristiti u slučaju jednostavnih dvocifrenih i jednocifrenih brojeva. Sastavlja se tabela u koju se množilac upisuje vertikalno, množilac horizontalno, a proizvod je naznačen u ćelijama kolone koja se presijecaju. Tabelu možete prikazati linijom, uzima se broj i rezultati množenja ovog broja cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, zapisuju se u nizu, ponekad je dovoljno 3-5 bodova, drugi i sljedeći brojevi su podvrgnuti istom računarskom procesu. Sve se dešava dok se ne pronađe zajednički višekratnik.

S obzirom na brojeve 30, 35, 42, morate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:

1) Višestruki od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, itd.

2) Višestruki od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, itd.

3) Višekratnici 42: 84, 126, 168, 210, 252, itd.

Primjetno je da su svi brojevi prilično različiti, jedini zajednički broj među njima je 210, tako da će to biti LCM. Među procesima povezanim sa ovim proračunom, postoji i najveći zajednički djelitelj, koji se izračunava po sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali dovoljno značajna, LCM pretpostavlja izračunavanje broja koji je podijeljen sa svim datim početnim vrijednostima, a GCD pretpostavlja izračunavanje najveće vrijednosti kojom se dijele originalni brojevi.

Tema "Mnoštvo" se izučava u 5. razredu srednje škole. Njegov cilj je poboljšati pismene i usmene vještine matematičkih proračuna. U ovoj lekciji se uvode novi pojmovi - "mnošci" i "djelitelji", tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja, razrađuje se sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.

Ova tema je veoma važna. Znanje o tome može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv sa A bez ostatka.

Svaki prirodni broj ima beskonačan broj njegovih višekratnika. Sama se smatra najmanjom. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.

Moramo dokazati da je 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, podijelite prvi broj sa drugim. Ako je 125 djeljivo sa 5 bez ostatka, onda je odgovor potvrdan.

Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.

Postoje posebni slučajevi kada se izračuna LCM.

1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik za 2 broja (na primjer, 80 i 20), gdje je jedan od njih (80) bez ostatka podijeljen s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višestruka ova dva broja.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM proizvod ova dva broja.

LCM (6, 7) = 42.

Pogledajmo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Oni dijele višekratnik bez ostatka.

U ovom primjeru, 6 i 7 su upareni djelitelji. Njihov proizvod je jednak najvećem višem broju (42).

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili sa 1 (3:1 = 3; 3:3 = 1). Ostalo se naziva kompozitnim.

U drugom primjeru, trebate odrediti da li je 9 djelitelj broja 42.

42: 9 = 4 (ostatak 6)

Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42, jer u odgovoru postoji ostatak.

Delitelj se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a sam višekratnik je djeljiv ovim brojem.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b, pomnoženo njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a i b.

Naime: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Uobičajeni višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.

Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.

Ove brojeve rastavljamo na proste faktore, zapisujemo ih u obliku proizvoda stupnjeva:

168 = 2³h3¹h7¹

2⁴h3³h5¹h7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Učitavanje ...Učitavanje ...