Već neko vrijeme u TheBat-u (nije jasno iz kog razloga) ugrađena baza certifikata za SSL prestala je da radi ispravno.

Prilikom provjere posta pojavljuje se greška:

Nepoznati CA certifikat
Server nije predstavio root certifikat u sesiji i odgovarajući root certifikat nije pronađen u adresaru.
Ova veza ne može biti tajna. Molim te
obratite se administratoru vašeg servera.

I nudi se izbor odgovora – DA/NE. I tako svaki put kada snimate poštu.

Rješenje

U ovom slučaju, morate zamijeniti standard implementacije S/MIME i TLS sa Microsoft CryptoAPI u TheBat!

Pošto sam morao da spojim sve fajlove u jedan, prvo sam konvertovao sve doc fajlove u jedan pdf fajl (pomoću programa Acrobat), a zatim ga prebacio u fb2 preko onlajn konvertera. Također možete konvertirati datoteke pojedinačno. Formati mogu biti apsolutno bilo koji (izvorni) i doc, i jpg, pa čak i zip arhiva!

Naziv stranice odgovara suštini :) Online Photoshop.

Ažuriranje maja 2015

Našao sam još jednu sjajnu stranicu! Još praktičniji i funkcionalniji za stvaranje potpuno proizvoljnog kolaža! Ova stranica je http://www.fotor.com/ru/collage/. Upotreba na zdravlje. I sam ću ga koristiti.

Suočen u životu sa popravkom električnih peći. Već sam dosta toga radio, puno naučio, ali nekako nisam imao veze sa pločicama. Bilo je potrebno zamijeniti kontakte na regulatorima i gorionicima. Postavilo se pitanje - kako odrediti promjer plamenika na električnoj peći?

Ispostavilo se da je odgovor jednostavan. Ne morate ništa mjeriti, možete mirno odrediti na oko koja vam je veličina potrebna.

Najmanji gorionik je 145 milimetara (14,5 centimetara)

Srednji plamenik je 180 milimetara (18 centimetara).

I na kraju najviše veliki gorionik je 225 milimetara (22,5 centimetara).

Dovoljno je odrediti veličinu na oko i razumjeti koji promjer vam je potreban za plamenik. Kada ovo nisam znao, letio sam sa ovim veličinama, nisam znao kako mjeriti, kojom ivicom da se krećem itd. Sada sam mudar :) Nadam se da je i vama pomoglo!

U životu sam se suočio sa takvim problemom. Mislim da nisam jedini.

Ako je u zadatku potrebno provesti potpunu studiju funkcije f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijom njenog grafa, onda ćemo ovaj princip detaljno razmotriti.

Za rješavanje problema ovog tipa treba koristiti svojstva i grafove glavnih elementarnih funkcija. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:

Pronalaženje domena definicije

Budući da se istraživanje vrši na domeni funkcije, potrebno je započeti s ovim korakom.

Primjer 1

Navedeni primjer uključuje pronalaženje nula nazivnika kako bi se one isključile iz DPV-a.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kao rezultat, možete dobiti korijene, logaritme i tako dalje. Tada se ODZ može tražiti za korijen parnog stepena tipa g (x) 4 po nejednakosti g (x) ≥ 0 , za logaritam log a g (x) po nejednakosti g (x) > 0 .

Istraživanje granica ODZ-a i pronalaženje vertikalnih asimptota

Postoje vertikalne asimptote na granicama funkcije, kada su jednostrane granice u takvim tačkama beskonačne.

Primjer 2

Na primjer, razmotrite granične točke jednake x = ± 1 2 .

Zatim je potrebno proučiti funkciju da bi se pronašla jednostrana granica. Tada dobijamo: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ovo pokazuje da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su linije x = ± 1 2 vertikalne asimptote grafa.

Ispitivanje funkcije i za parne ili neparne

Kada je ispunjen uslov y (- x) = y (x), funkcija se smatra parnom. Ovo sugerira da se graf nalazi simetrično u odnosu na O y. Kada je ispunjen uslov y (- x) = - y (x), funkcija se smatra neparnom. To znači da simetrija ide u odnosu na ishodište koordinata. Ako barem jedna nejednakost nije uspjela, dobivamo funkciju općeg oblika.

Ispunjenje jednakosti y (- x) = y (x) ukazuje da je funkcija parna. Prilikom konstruisanja potrebno je uzeti u obzir da će postojati simetrija u odnosu na O y.

Za rješavanje nejednakosti koriste se intervali povećanja i smanjenja sa uslovima f "(x) ≥ 0 i f" (x) ≤ 0, respektivno.

Definicija 1

Stacionarne tačke su tačke koje pretvaraju izvod u nulu.

Kritične tačke su unutrašnje tačke iz domene gde je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.

Prilikom donošenja odluke treba uzeti u obzir sljedeće tačke:

za postojeće intervale povećanja i smanjenja nejednakosti oblika f"(x) > 0 kritične tačke nisu uključene u rješenje;
tačke u kojima je funkcija definirana bez konačnog izvoda moraju biti uključene u intervale povećanja i smanjenja (na primjer, y = x 3, gdje tačka x = 0 čini funkciju definiranom, derivacija ima vrijednost beskonačnosti u ovom trenutku, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 je uključen u interval povećanja);
kako bi se izbjegle nesuglasice, preporučuje se korištenje matematičke literature koju preporučuje Ministarstvo prosvjete.

Uključivanje kritičnih tačaka u intervale rasta i opadanja u slučaju da one zadovoljavaju domen funkcije.

Definicija 2

Za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je pronaći:

derivat;
kritične tačke;
razbiti domen definicije uz pomoć kritičnih tačaka na intervale;
odrediti predznak derivacije u svakom od intervala, gdje je + povećanje, a - smanjenje.

Primjer 3

Pronađite izvod na domeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Rješenje

Za rješavanje potrebno je:

pronađite stacionarne tačke, ovaj primjer ima x = 0 ;
pronaći nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula na x = ± 1 2 .

Izlažemo tačke na numeričkoj osi da bismo odredili izvod na svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju tačku iz intervala i napraviti proračun. Ako je rezultat pozitivan, crtamo + na grafu, što znači povećanje funkcije, a - znači njeno smanjenje.

Na primjer, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, što znači da prvi interval s lijeve strane ima znak +. Razmotrite broj linija.

odgovor:

dolazi do povećanja funkcije na intervalu - ∞ ; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
postoji smanjenje na intervalu [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; +∞ .

Na dijagramu, koristeći + i -, prikazani su pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice pokazuju smanjenje i povećanje.

Ekstremne tačke funkcije su tačke u kojima je funkcija definisana i kroz koje derivacija menja predznak.

Primjer 4

Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x = 0, tada je vrijednost funkcije u njemu f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0. Kada se znak derivacije promijeni sa + na - i prolazi kroz tačku x = 0, tada se tačka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom točkom. Kada se znak promijeni sa - na +, dobijamo minimalni poen.

Konveksnost i konkavnost se određuju rješavanjem nejednačina oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 . Rjeđe koriste naziv ispupčenje prema dolje umjesto udubljenje i ispupčenje prema gore umjesto ispupčenje.

Definicija 3

Za određivanje praznina konkavnosti i konveksnosti potrebno:

naći drugi izvod;
naći nule funkcije drugog izvoda;
razbiti domen definicije po tačkama koje se pojavljuju u intervale;
odrediti predznak jaza.

Primjer 5

Nađite drugi izvod iz domena definicije.

Rješenje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Pronalazimo nule brojnika i nazivnika, gdje, koristeći naš primjer, imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2

Sada morate staviti tačke na brojevnu pravu i odrediti znak drugog izvoda iz svakog intervala. Shvatili smo to

odgovor:

funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
funkcija je konkavna od praznina - ∞ ; - 1 2 i 1 2 ; +∞ .

Definicija 4

tačka pregiba je tačka oblika x 0 ; f(x0) . Kada ima tangentu na graf funkcije, onda kada prođe kroz x 0, funkcija mijenja predznak u suprotan.

Drugim riječima, to je takva tačka kroz koju prolazi drugi izvod i mijenja predznak, a u samim tačkama je jednak nuli ili ne postoji. Sve tačke se smatraju domenom funkcije.

U primjeru se vidjelo da nema pregibnih tačaka, jer drugi izvod mijenja predznak prolazeći kroz tačke x = ± 1 2 . Oni, pak, nisu uključeni u domen definicije.

Pronalaženje horizontalnih i kosih asimptota

Kada definišemo funkciju u beskonačnosti, moramo tražiti horizontalne i kose asimptote.

Definicija 5

Kose asimptote su nacrtane pomoću linija datih jednadžbom y = k x + b, gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Za k = 0 i b nije jednako beskonačnosti, nalazimo da kosa asimptota postaje horizontalno.

Drugim riječima, asimptote su linije kojima se graf funkcije približava beskonačno. Ovo doprinosi brzoj konstrukciji grafa funkcije.

Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati granicu funkcije na tim beskonačnostima kako bi se razumjelo kako će se ponašati graf funkcije.

Primjer 6

Kao primjer, razmotrite to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Nakon što istražite funkciju, možete je početi graditi.

Izračunavanje vrijednosti funkcije u međutočkama

Da bi crtanje bilo što preciznije, preporučuje se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije u međutočkama.

Primjer 7

Iz primjera koji smo razmotrili potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u tačkama x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = 1 4. Budući da je funkcija parna, dobivamo da se vrijednosti poklapaju sa vrijednostima u ovim tačkama, odnosno dobijamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Hajde da napišemo i rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Da bi se odredili maksimumi i minimumi funkcije, prevojne tačke, međutačke, potrebno je izgraditi asimptote. Za praktično označavanje, intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti, konkavnosti su fiksni. Razmotrite sliku ispod.

Kroz označene tačke potrebno je povući linije grafikona, što će vam omogućiti da se približite asimptoti, prateći strelice.

Ovim je završeno kompletno proučavanje funkcije. Postoje slučajevi konstruisanja nekih elementarnih funkcija za koje se koriste geometrijske transformacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kako istražiti funkciju i nacrtati njen graf?

Čini se da počinjem shvaćati duševno lice vođe svjetskog proletarijata, autora sabranih djela u 55 tomova.... Dugo putovanje počelo je sa elementarnim informacijama o funkcije i grafovi, a sada se rad na mukotrpnoj temi završava prirodnim rezultatom - člankom o studiji pune funkcije. Dugo očekivani zadatak formuliran je na sljedeći način:

Istražite funkciju metodama diferencijalnog računa i na osnovu rezultata studije izgradite njen graf

Ili ukratko: ispitajte funkciju i nacrtajte je.

Zašto istraživati? U jednostavnim slučajevima, neće nam biti teško pozabaviti se elementarnim funkcijama, nacrtati graf dobiven korištenjem elementarne geometrijske transformacije itd. Međutim, svojstva i grafički prikazi složenijih funkcija daleko su od očiglednih, zbog čega je potrebna cijela studija.

Glavni koraci rješenja su sažeti u referentnom materijalu Shema proučavanja funkcija, ovo je vaš vodič za odjeljak. Dumkama je potrebno detaljno objašnjenje teme, neki čitaoci ne znaju odakle da počnu i kako da organizuju studiju, a napredne studente može zanimati samo nekoliko tačaka. Ali ko god da ste, dragi posjetitelju, predloženi sažetak sa uputama za razne lekcije će vas u najkraćem mogućem roku orijentirati i usmjeriti u pravcu interesovanja. Roboti su pustili suzu =) Priručnik je napravljen u obliku pdf fajla i zauzeo je zasluženo mjesto na stranici Matematičke formule i tabele.

Razbijao sam proučavanje funkcije na 5-6 tačaka:

6) Dodatne tačke i grafikon na osnovu rezultata studije.

Što se tiče završne akcije, mislim da svi sve razumiju - bit će jako razočaravajuće ako se za nekoliko sekundi precrta i zadatak vrati na doradu. ISPRAVAN I TAČAN CRTEŽ je glavni rezultat rješenja! Vrlo je vjerovatno da će "prikriti" analitičke propuste, dok će netačan i/ili neuredan raspored uzrokovati probleme čak i uz savršeno provedenu studiju.

Treba napomenuti da se u drugim izvorima broj istraživačkih predmeta, redoslijed njihove implementacije i stil dizajna mogu značajno razlikovati od sheme koju sam predložio, ali u većini slučajeva to je sasvim dovoljno. Najjednostavnija verzija problema sastoji se od samo 2-3 koraka i formulisana je otprilike ovako: “istraži funkciju koristeći derivaciju i iscrtaj” ili “istraži funkciju koristeći 1. i 2. izvod, dijagram”.

Naravno, ako je drugi algoritam detaljno analiziran u vašem priručniku za obuku ili vaš nastavnik striktno zahtijeva od vas da se pridržavate njegovih predavanja, tada ćete morati napraviti neke prilagodbe rješenja. Ništa teže nego zamijeniti viljušku kašikom za motornu pilu.

Provjerimo funkciju parno/neparno:

Nakon toga slijedi šablon za odjavu:
, tako da ova funkcija nije ni parna ni neparna.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote.

Nema ni kosih asimptota.

Bilješka : Podsjećam da je viši redosled rasta nego , tako da je konačno ograničenje tačno " plus beskonačnost."

Hajde da saznamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

Drugim riječima, ako idemo desno, onda graf ide beskonačno daleko gore, ako idemo lijevo, beskonačno daleko dolje. Da, postoje i dva ograničenja pod jednim unosom. Ako imate poteškoća s dešifriranjem znakova, posjetite lekciju o beskonačno male funkcije.

Dakle, funkcija nije ograničeno odozgo i nije ograničeno odozdo. S obzirom da nemamo brejk tačaka, postaje jasno i opseg funkcija: je također bilo koji realan broj.

KORISNA TEHNIKA

Svaki korak zadatka donosi nove informacije o grafu funkcije, pa je u toku rješenja zgodno koristiti neku vrstu LAYOUT-a. Nacrtajmo kartezijanski koordinatni sistem na nacrtu. Šta se sigurno zna? Prvo, graf nema asimptote, stoga nema potrebe za crtanjem pravih linija. Drugo, znamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti. Prema analizi izvlačimo prvu aproksimaciju:

Imajte na umu da na snazi kontinuitet funkcija uključena i činjenica da , graf mora prijeći os barem jednom. Ili možda postoji nekoliko tačaka ukrštanja?

3) Nule funkcije i intervali predznaka konstante.

Prvo, pronađite tačku preseka grafa sa y-osom. To je jednostavno. Potrebno je izračunati vrijednost funkcije kada:

Pola iznad nivoa mora.

Da biste pronašli točke presjeka s osom (nule funkcije), potrebno je riješiti jednadžbu, a ovdje nas čeka neugodno iznenađenje:

Na kraju vreba slobodan član, što značajno otežava zadatak.

Takva jednadžba ima barem jedan pravi korijen, a najčešće je iracionalan. U najgoroj bajci čekaju nas tri praščića. Jednačina je rješiva pomoću tzv Cardanove formule, ali oštećenje papira je uporedivo s gotovo cijelom studijom. U tom smislu, mudrije je usmeno ili na nacrtu pokušati pokupiti barem jednu cijeli root. Provjerimo da li su ovi brojevi:
- ne odgovara;
- tu je!

Ovde je sreća. U slučaju neuspjeha, također možete testirati i, a ako se ovi brojevi ne uklapaju, bojim se da su vrlo male šanse za isplativo rješenje jednačine. Tada je bolje potpuno preskočiti tačku istraživanja - možda će nešto postati jasnije u završnom koraku, kada će se dodatne točke probiti. A ako su korijen (korijeni) očito "loši", onda je bolje skromno šutjeti o intervalima postojanosti znakova i preciznije dovršiti crtež.

Međutim, imamo lijep korijen, pa dijelimo polinom bez ostatka:

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom je detaljno razmotren u prvom primjeru lekcije. Kompleksne granice.

Kao rezultat, lijeva strana originalne jednadžbe širi u proizvod:

A sada malo o zdravom načinu života. Naravno da razumem kvadratne jednačine treba rješavati svaki dan, ali danas ćemo napraviti izuzetak: jednačina ima dva prava korena.

Na brojevnoj liniji iscrtavamo pronađene vrijednosti i intervalna metoda definirati znakove funkcije:

og Dakle, na intervalima lociran grafikon
ispod x-ose i u intervalima - iznad ove ose.

Rezultirajući nalazi nam omogućavaju da preciziramo naš izgled, a druga aproksimacija grafa izgleda ovako:

Imajte na umu da funkcija mora imati najmanje jedan maksimum na intervalu, i najmanje jedan minimum na intervalu. Ali ne znamo koliko puta, gdje i kada će se raspored "vinuti". Usput, funkcija može imati beskonačno mnogo ekstremi.

4) Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije.

Hajde da pronađemo kritične tačke:

Ova jednadžba ima dva realna korijena. Stavimo ih na brojevnu pravu i odredimo predznake derivacije:

Stoga se funkcija povećava za i smanjuje se za .
U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum: .
U trenutku kada funkcija dostigne svoj minimum: .

Utvrđene činjenice guraju naš šablon u prilično krut okvir:

Nepotrebno je reći da je diferencijalni račun moćna stvar. Hajde da se konačno pozabavimo oblikom grafa:

5) Konveksnost, konkavnost i pregibne tačke.

Pronađite kritične tačke drugog izvoda:

Hajde da definišemo znakove:

Funkcijski graf je konveksan na i konkavan na . Izračunajmo ordinatu prevojne tačke: .

Skoro sve se razjasnilo.

6) Ostaje pronaći dodatne točke koje će pomoći da se preciznije izgradi graf i izvrši samotestiranje. U ovom slučaju, malo ih je, ali nećemo zanemariti:

Izradimo crtež:

Prevojna tačka je označena zelenom bojom, dodatne tačke su označene krstićima. Graf kubične funkcije je simetričan u odnosu na njenu prevojnu tačku, koja se uvijek nalazi tačno u sredini između maksimuma i minimuma.

U toku zadatka dao sam tri hipotetička međucrteža. U praksi je dovoljno nacrtati koordinatni sistem, označiti pronađene tačke i nakon svake tačke proučavanja mentalno odgonetnuti kako bi graf funkcije mogao izgledati. Studentima sa dobrim nivoom pripremljenosti neće biti teško izvršiti takvu analizu samo u svojim glavama bez uključivanja nacrta.

Za samostalno rješenje:

Primjer 2

Istražite funkciju i napravite graf.

Ovdje je sve brže i zabavnije, približan primjer završetka na kraju lekcije.

Puno tajni otkriva se proučavanjem frakcionih racionalnih funkcija:

Primjer 3

Koristeći metode diferencijalnog računa, istražiti funkciju i na osnovu rezultata istraživanja konstruirati njen graf.

Rješenje: prva faza studije se ne razlikuje ni po čemu značajno, s izuzetkom rupe u području definicije:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim na tački, domena: .

, tako da ova funkcija nije ni parna ni neparna.

Očigledno, funkcija je neperiodična.

Graf funkcije sastoji se od dvije kontinuirane grane smještene u lijevoj i desnoj poluravni - ovo je možda najvažniji zaključak 1. paragrafa.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

a) Uz pomoć jednostranih granica, proučavamo ponašanje funkcije u blizini sumnjive tačke, gdje vertikalna asimptota jasno mora biti:

Zaista, funkcije traju beskrajni jaz u tački
a prava linija (osa) je vertikalna asimptota grafike.

b) Provjerite postoje li kose asimptote:

Da, linija je kosa asimptota grafika ako .

Nema smisla analizirati granice, jer je već jasno da je funkcija u zagrljaju sa svojom kosom asimptotom nije ograničeno odozgo i nije ograničeno odozdo.

Druga tačka studije donijela je mnogo važnih informacija o funkciji. Hajde da napravimo grubu skicu:

Zaključak br. 1 odnosi se na intervale konstantnosti predznaka. Na "minus beskonačnosti" graf funkcije je jedinstveno lociran ispod x-ose, a na "plus beskonačnosti" je iznad ove ose. Osim toga, jednostrane granice nam govore da je i lijevo i desno od točke, funkcija također veća od nule. Imajte na umu da u lijevoj poluravni graf mora barem jednom preći x-osu. U desnoj poluravni, možda nema nula funkcije.

Zaključak broj 2 je da se funkcija povećava na i lijevo od tačke (ide “odozdo prema gore”). Desno od ove tačke, funkcija se smanjuje (ide „od vrha do dna“). Desna grana grafa svakako mora imati barem jedan minimum. Na lijevoj strani, ekstremi nisu zagarantovani.

Zaključak br. 3 daje pouzdane informacije o konkavnosti grafa u blizini tačke. Ne možemo još ništa reći o konveksnosti/konkavnosti u beskonačnosti, jer se linija može pritisnuti na svoju asimptotu i odozgo i odozdo. Uopšteno govoreći, postoji analitički način da se ovo otkrije upravo sada, ali će oblik grafikona „za ništa“ postati jasniji u kasnijoj fazi.

Zašto toliko riječi? Za kontrolu narednih tačaka istraživanja i izbjegavanje grešaka! Dalji proračuni ne bi trebali biti u suprotnosti sa izvedenim zaključcima.

3) Tačke preseka grafika sa koordinatnim osama, intervali konstantnog predznaka funkcije.

Grafikon funkcije ne prelazi os.

Koristeći metodu intervala, određujemo znakove:

, ako ;
, ako .

Rezultati stava su u potpunosti u skladu sa Zaključkom br. 1. Nakon svakog koraka pogledajte nacrt, mentalno se osvrnite na studiju i završite crtanje grafa funkcije.

U ovom primjeru, brojilac je podijeljen pojam po član nazivnikom, što je vrlo korisno za diferencijaciju:

Zapravo, to je već učinjeno prilikom pronalaženja asimptota.

- kritična tačka.

Hajde da definišemo znakove:

povećava za i smanjuje se na

U trenutku kada funkcija dostigne svoj minimum: .

Takođe nije bilo odstupanja sa Zaključkom br. 2 i, najvjerovatnije, na dobrom smo putu.

To znači da je graf funkcije konkavan u cijeloj domeni definicije.

Odlično - i ne morate ništa crtati.

Nema pregibnih tačaka.

Konkavnost je u skladu sa Zaključkom br. 3, štoviše, ukazuje da se u beskonačnosti (i tamo i tamo) nalazi graf funkcije gore njena kosa asimptota.

6) Zadatak ćemo savjesno zakačiti dodatnim bodovima. Ovdje se moramo potruditi, jer znamo samo dvije tačke iz studije.

I slika koju su, vjerovatno, mnogi odavno predstavili:

U toku zadatka, mora se voditi računa da ne postoje kontradikcije između faza studije, ali ponekad je situacija hitna ili čak očajnički ćorsokak. Ovdje se analitika "ne konvergira" - i to je to. U ovom slučaju preporučujem hitnu tehniku: pronađemo što više tačaka koje pripadaju grafu (koliko je strpljenja dovoljno) i označimo ih na koordinatnoj ravni. Grafička analiza pronađenih vrijednosti u većini slučajeva će vam reći gdje je istina, a gdje laž. Osim toga, grafikon se može unaprijed izraditi pomoću nekog programa, na primjer, u istom Excelu (jasno je da to zahtijeva vještine).

Primjer 4

Koristeći metode diferencijalnog računa, istražite funkciju i izgradite njen graf.

Ovo je "uradi sam" primjer. U njemu je samokontrola poboljšana ravnomjernošću funkcije - graf je simetričan u odnosu na os, a ako nešto u vašoj studiji proturječi ovoj činjenici, potražite grešku.

Parna ili neparna funkcija može se istražiti samo za , a zatim se može koristiti simetrija grafa. Ovo rješenje je optimalno, ali izgleda, po mom mišljenju, vrlo neobično. Osobno smatram cijelu numeričku osu, ali još uvijek nalazim dodatne točke samo na desnoj strani:

Primjer 5

Provedite potpunu studiju funkcije i nacrtajte njen graf.

Rješenje: snažno požurio:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj realnoj liniji: .

To znači da je ova funkcija neparna, njen graf je simetričan u odnosu na ishodište.

Očigledno, funkcija je neperiodična.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote

Za funkciju koja sadrži eksponent, tipično odvojeno proučavanje "plus" i "minus beskonačnost", međutim, naš život je olakšan samo simetrijom grafa - ili postoji asimptota lijevo i desno, ili je nema. Stoga, oba beskonačna ograničenja mogu biti raspoređena pod jednim unosom. U toku rješenja koristimo se L'Hopitalovo pravilo:

Prava linija (osa) je horizontalna asimptota grafa na .

Obratite pažnju na to kako sam pametno izbjegao cijeli algoritam za pronalaženje kose asimptote: granica je sasvim legalna i pojašnjava ponašanje funkcije u beskonačnosti, a horizontalna asimptota je pronađena "kao u isto vrijeme".

Iz kontinuiteta nadalje i postojanja horizontalne asimptote slijedi da je funkcija ograničeno odozgo i ograničeno odozdo.

3) Tačke preseka grafika sa koordinatnim osama, intervali konstantnosti.

Ovdje također skraćujemo rješenje:
Graf prolazi kroz ishodište.

Nema drugih tačaka preseka sa koordinatnim osama. Štoviše, intervali konstantnosti su očigledni, a os se ne može nacrtati: , što znači da predznak funkcije ovisi samo o "x":
, ako ;
, ako .

4) Povećanje, smanjenje, ekstremi funkcije.

su kritične tačke.

Tačke su simetrične oko nule, kako i treba da bude.

Definirajmo znakove derivacije:

Funkcija se povećava na intervalu i smanjuje na intervalima

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum: .

Zbog imovine (neobičnost funkcije) minimum se može izostaviti:

Budući da funkcija opada na intervalu , tada se, očito, graf nalazi na "minus beskonačnost" ispod sa svojom asimptotom. Na intervalu se funkcija također smanjuje, ali ovdje je obrnuto - nakon što prođe kroz maksimalnu tačku, prava se približava osi odozgo.

Iz navedenog također slijedi da je graf funkcije konveksan na "minus beskonačnost" i konkavan na "plus beskonačnost".

Nakon ove tačke studije nacrtana je i oblast vrijednosti funkcije:

Ako imate nesporazume u nekoj tački, još jednom vas pozivam da nacrtate koordinatne ose u svojoj svesci i sa olovkom u rukama ponovo analizirate svaki zaključak zadatka.

5) Konveksnost, konkavnost, fleksije grafa.

su kritične tačke.

Simetrija tačaka je očuvana i, najvjerovatnije, ne griješimo.

Hajde da definišemo znakove:

Graf funkcije je konveksan na i konkavno na .

Potvrđena je konveksnost/konkavnost u ekstremnim intervalima.

Na svim kritičnim tačkama postoje pregibi na grafikonu. Nađimo ordinate prevojnih tačaka, a opet smanjimo broj izračuna, koristeći neparnost funkcije: