Djeca u školi uče pravila smanjenja razlomaka u 6. razredu. U ovom članku ćemo vam prvo reći što znači ova radnja, a zatim ćemo objasniti kako pretvoriti reducibilni razlomak u nesvodivi razlomak. Sljedeća točka će biti pravila za smanjenje razlomaka, a zatim ćemo postepeno doći do primjera.
Šta znači "smanjiti razlomak"?
Tako da svi to znamo obične frakcije dijele se u dvije grupe: svodljive i nesvodive. Već po nazivima možete shvatiti da su kontraktivni ugovoreni, a nesvodivi nisu ugovoreni.
- Smanjiti razlomak znači podijeliti njegov nazivnik i brojnik njihovim (osim jednog) pozitivnim djeliteljem. Rezultat je, naravno, novi razlomak sa manjim imeniocem i brojnikom. Dobiveni razlomak će biti jednak originalnom razlomku.
Vrijedi napomenuti da u knjigama matematike sa zadatkom "smanjiti razlomak" to znači da morate svesti izvorni razlomak na ovaj nesvodljivi oblik. Ako razgovaramo jednostavnim riječima, a zatim podijelite nazivnik i brojnik sa njihovim najvećim zajednički djelitelj i dolazi do smanjenja.
Kako smanjiti razlomak. Pravila za smanjenje razlomaka (6 ocjena)
Dakle, ovdje postoje samo dva pravila.
- Prvo pravilo redukcije razlomaka je da prvo pronađete najveći zajednički faktor nazivnika i brojnika vašeg razlomka.
- Drugo pravilo: podijelite nazivnik i brojilac najvećim zajedničkim djeliteljem, da biste na kraju dobili nesvodljivi razlomak.
Kako smanjiti nepravilan razlomak?
Pravila za smanjenje razlomaka su identična pravilima za smanjenje nepravilnih razlomaka.
Da biste smanjili nepravilan razlomak, prvo ćete morati da razdvojite nazivnik i brojnik u proste faktore, a tek onda smanjite zajedničke faktore.
Smanjenje miješanih frakcija
Pravila za smanjenje razlomaka važe i za redukciju mješovitih razlomaka. Postoji samo mala razlika: ne možemo dodirnuti cijeli dio, već smanjiti razlomak ili pretvoriti miješani razlomak u nepravilan razlomak, zatim ga smanjiti i ponovo pretvoriti u pravilan razlomak.
Postoje dva načina za smanjenje miješanih frakcija.
Prvo: napišite razlomak u proste faktore, a zatim ostavite cijeli dio na miru.
Drugi način: prvo ga pretvoriti u nepravilan razlomak, zapisati u obične faktore, a zatim smanjiti razlomak. Pretvorite već dobijeni nepravilan razlomak u pravi razlomak.
Primjeri se mogu vidjeti na gornjoj fotografiji.
Zaista se nadamo da smo uspjeli pomoći vama i vašoj djeci. Na kraju krajeva, često su nepažljivi na nastavi, pa sami moraju intenzivnije da uče kod kuće.
U ovom članku ćemo detaljno pogledati kako redukcijske frakcije. Prvo, razgovarajmo o tome što se zove smanjenje razlomka. Nakon ovoga, razgovarajmo o reduciranju razlomka koji se može reducirati na nesvodljivi oblik. Zatim ćemo dobiti pravilo za smanjenje razlomaka i, na kraju, razmotriti primjere primjene ovog pravila.
Navigacija po stranici.
Šta znači smanjiti razlomak?
Znamo da se obični razlomci dijele na svodljive i nesvodljive razlomke. Iz imena možete pretpostaviti da se svodivi razlomci mogu smanjiti, ali nesvodljivi razlomci ne mogu.
Šta znači smanjiti razlomak? Smanjite frakciju- to znači podijeliti njegov brojnik i imenilac sa pozitivnim i različitim od jedinice. Jasno je da se smanjenjem razlomka dobija novi razlomak sa manjim brojinikom i nazivnikom, a zbog osnovne osobine razlomka, rezultujući razlomak je jednak originalnom.
Na primjer, smanjimo običan razlomak 8/24 dijeljenjem brojača i nazivnika sa 2. Drugim riječima, smanjimo razlomak 8/24 za 2. Pošto je 8:2=4 i 24:2=12, ovo smanjenje rezultira u razlomku 4/12, koji je jednak originalnom razlomku 8/24 (vidi jednake i nejednake razlomke). Kao rezultat, imamo .
Redukcija običnih razlomaka u nesvodljivi oblik
Tipično, krajnji cilj redukcije razlomka je da se dobije nesvodljivi razlomak koji je jednak originalnom reducibilnom razlomku. Ovaj cilj se može postići smanjenjem originalnog svodivog razlomka za brojnik i nazivnik. Kao rezultat takve redukcije uvijek se dobije nesvodljivi razlomak. Zaista, djelić 
je nesvodiva, pošto je poznato da 
I 
- . Ovdje ćemo reći da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka najveći broj, kojim se ovaj razlomak može smanjiti.
dakle, svođenje običnog razlomka u nesvodljivi oblik sastoji se od dijeljenja brojnika i nazivnika originalnog svodivog razlomka njihovim gcd.
Pogledajmo primjer za koji se vraćamo na razlomak 8/24 i smanjujemo ga za najveći zajednički djelitelj brojeva 8 i 24, koji je jednak 8. Pošto je 8:8=1 i 24:8=3, dolazimo do nesvodljivog razlomka 1/3. Dakle, .
Imajte na umu da izraz "smanjiti razlomak" često znači svođenje originalnog razlomka na njegov nesvodljivi oblik. Drugim riječima, smanjenje razlomka se vrlo često odnosi na dijeljenje brojnika i nazivnika njihovim najvećim zajedničkim faktorom (a ne bilo kojim zajedničkim faktorom).
Kako smanjiti razlomak? Pravila i primjeri smanjenja razlomaka
Ostaje samo pogledati pravilo za smanjenje razlomaka, koje objašnjava kako smanjiti dati razlomak.
Pravilo za smanjenje razlomaka sastoji se od dva koraka:
- prvo se pronalazi gcd brojnika i nazivnika razlomka;
- drugo, brojilac i nazivnik razlomka se dijele sa svojim gcd, što daje nesvodljivi razlomak jednak originalnom.
Hajde da to sredimo primjer smanjenja razlomka prema navedenom pravilu.
Primjer.
Smanjite razlomak 182/195.
Rješenje.
Izvršimo oba koraka propisana pravilom za smanjenje razlomka.
Prvo nalazimo GCD(182, 195) . Najpogodnije je koristiti Euklid algoritam (vidi): 195=182·1+13, 182=13·14, odnosno GCD(182, 195)=13.
Sada podijelimo brojilac i imenilac razlomka 182/195 sa 13 i dobijemo nesvodljivi razlomak 14/15, koji je jednak originalnom razlomku. Time se završava redukcija razlomka.
Ukratko, rješenje se može napisati na sljedeći način: .
odgovor:
Ovdje možemo završiti sa smanjenjem razlomaka. Ali da bismo upotpunili sliku, pogledajmo još dva načina za smanjenje razlomaka, koji se obično koriste u lakim slučajevima.
Ponekad brojnik i nazivnik razlomka koji se smanjuje nije teško. Smanjenje razlomka u ovom slučaju je vrlo jednostavno: samo trebate ukloniti sve uobičajene faktore iz brojnika i nazivnika.
Vrijedi napomenuti da ova metoda direktno slijedi iz pravila redukcije razlomaka, budući da je proizvod svih zajedničkih prostih faktora brojnika i nazivnika jednak njihovom najvećem zajedničkom djelitelju.
Pogledajmo rješenje primjera.
Primjer.
Smanjite razlomak 360/2 940.
Rješenje.
Razložimo brojilac i imenilac u jednostavne činioce: 360=2·2·2·3·3·5 i 2,940=2·2·3·5·7·7. dakle, 
.
Sada se rješavamo zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku; radi praktičnosti, jednostavno ih precrtavamo: 
.
Konačno, množimo preostale faktore: , i smanjenje razlomka je završeno.
Evo kratkog sažetka rješenja: 
.
odgovor:
Razmotrimo još jedan način smanjenja razlomka, koji se sastoji od sekvencijalne redukcije. Ovdje se na svakom koraku razlomak smanjuje za neki zajednički djelitelj brojnika i nazivnika, koji je ili očigledan ili se lako određuje korištenjem
Mnogi učenici prave iste greške kada rade sa razlomcima. A sve zato što zaboravljaju osnovna pravila aritmetika. Danas ćemo ponoviti ova pravila na određenim zadacima koje dajem na svojim časovima.
Evo zadatka koji nudim svima koji se spremaju za Jedinstveni državni ispit iz matematike:
Zadatak. Morska pliskavica pojede 150 grama hrane dnevno. Ali ona je odrasla i počela jesti 20% više. Koliko grama hrane sada svinja pojede?
Ne ispravno rješenje. Ovo je problem u procentima koji se svodi na jednadžbu:
Mnogi (veoma mnogi) smanjuju broj 100 u brojniku i nazivniku razlomka:
Ovo je greška koju je moj student napravio upravo na dan pisanja ovog članka. Brojevi koji su skraćeni su označeni crvenom bojom.
Nepotrebno je reći da je odgovor bio pogrešan. Procijenite sami: svinja je pojela 150 grama, ali je počela jesti 3150 grama. Povećanje nije 20%, već 21 puta, tj. do 2000%.
Da biste izbjegli takve nesporazume, zapamtite osnovno pravilo:
Samo se množitelji mogu smanjiti. Termini se ne mogu smanjiti!
Dakle, ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:
Brojevi koji su skraćeni u brojiocu i nazivniku označeni su crvenom bojom. Kao što vidite, brojilac je proizvod, nazivnik je običan broj. Dakle, smanjenje je potpuno legalno.
Rad sa proporcijama
Drugi problematično područje — proporcije. Pogotovo kada je varijabla na obje strane. Na primjer:
Zadatak. Riješite jednačinu:
Pogrešno rješenje - neki ljudi bukvalno žude da sve skrate za m:
Reducirane varijable su prikazane crvenom bojom. Izraz 1/4 = 1/5 ispada potpuna besmislica, ovi brojevi nikada nisu jednaki.
A sada - prava odluka. U suštini to je obično linearna jednačina. Može se riješiti ili pomicanjem svih elemenata na jednu stranu, ili osnovnim svojstvom proporcije:
Mnogi čitaoci će prigovoriti: "Gdje je greška u prvom rješenju?" Pa, hajde da saznamo. Prisjetimo se pravila za rad sa jednadžbama:
Bilo koja jednačina se može podijeliti i pomnožiti s bilo kojim brojem, ne-nula.
Jeste li propustili trik? Možete dijeliti samo brojevima ne-nula. Konkretno, možete podijeliti promjenljivom m samo ako je m != 0. Ali šta ako je m = 0? Zamenimo i proverimo:
Dobili smo tačnu brojčanu jednakost, tj. m = 0 je korijen jednadžbe. Za preostali m != 0 dobijamo izraz oblika 1/4 = 1/5, što je prirodno netačno. Dakle, ne postoje korijeni različiti od nule.
Zaključci: sastaviti sve zajedno
Dakle, da biste riješili frakcione racionalne jednadžbe, zapamtite tri pravila:
- Samo se množitelji mogu smanjiti. Dodaci nisu dozvoljeni. Stoga, naučite da činite brojilac i imenilac;
- Glavno svojstvo proporcije: proizvod ekstremnih elemenata jednak je proizvodu srednjih;
- Jednačine se mogu množiti i dijeliti samo brojevima k koji nisu nula. Slučaj k = 0 mora se posebno provjeriti.
Zapamtite ova pravila i ne pravite greške.
Division i brojnik i nazivnik razlomka na njihovom zajednički djelitelj, različito od jednog, zove se smanjenje razlomka.
Da skrati običan razlomak, potrebno je podijeliti njegov brojnik i nazivnik istim prirodnim brojem.
Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika datog razlomka.
Moguće su sljedeće obrasci za evidentiranje odluka Primjeri za smanjenje običnih razlomaka.
Student ima pravo izabrati bilo koji oblik snimanja.
Primjeri. Pojednostavite razlomke.
Smanjite razlomak za 3 (brojnik podijelite sa 3;
podelite imenilac sa 3).
Smanjite razlomak za 7.
Označene radnje izvodimo u brojniku i nazivniku razlomka.
Dobiveni razlomak se smanjuje za 5.
Smanjimo ovaj razlomak 4)
on 5·7³- najveći zajednički djelitelj (GCD) brojnika i nazivnika, koji se sastoji od zajedničkih činilaca brojnika i imenioca, uzetih na stepen sa najmanjim eksponentom.
Razložimo brojilac i imenilac ovog razlomka u proste faktore.
Dobijamo: 756=2²·3³·7 I 1176=2³·3·7².
Odredite GCD (najveći zajednički djelitelj) brojnika i nazivnika razlomka 5) .
Ovo je proizvod uobičajenih faktora uzetih sa najnižim eksponentima.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Podijelimo brojilac i imenilac ovog razlomka njihovim gcd, tj 2²·3·7 dobijamo nesvodljivi razlomak 9/14
.
Ili je bilo moguće napisati dekompoziciju brojnika i nazivnika u obliku proizvoda prostih faktora, bez korištenja koncepta stepena, a zatim smanjiti razlomak precrtavanjem istih faktora u brojniku i nazivniku. Kada nema više identičnih faktora, preostale faktore množimo posebno u brojiocu i posebno u nazivniku i ispisujemo dobijeni razlomak 9/14 .
I konačno, bilo je moguće smanjiti ovaj dio 5) postepeno, primjenjujući znakove dijeljenja brojeva i na brojnik i na nazivnik razlomka. Razmišljajmo ovako: brojevi 756 I 1176 završavaju paran broj, što znači da su oba djeljiva sa 2 . Smanjujemo razlomak za 2 . Brojilac i nazivnik novog razlomka su brojevi 378 I 588 takođe podeljen na 2 . Smanjujemo razlomak za 2 . Primećujemo da je broj 294 - čak i 189 je neparan, a smanjenje za 2 više nije moguće. Provjerimo djeljivost brojeva 189 I 294 on 3 .
(1+8+9)=18 je deljivo sa 3, a (2+9+4)=15 je deljivo sa 3, otuda i sami brojevi 189 I 294 se dijele na 3 . Smanjujemo razlomak za 3 . dalje, 63 je djeljiv sa 3 i 98 - Ne. Pogledajmo druge osnovne faktore. Oba broja su djeljiva sa 7 . Smanjujemo razlomak za 7 i dobijamo nesvodljivi razlomak 9/14 .
Da bismo razumjeli kako smanjiti razlomke, pogledajmo prvo primjer.
Smanjiti razlomak znači podijeliti brojilac i imenilac na istu stvar. I 360 i 420 završavaju se cifrom, tako da ovaj razlomak možemo smanjiti za 2. U novom razlomku, i 180 i 210 su također djeljivi sa 2, pa taj razlomak smanjujemo za 2. U brojevima 90 i 105, zbir cifara je djeljiv sa 3, pa su oba ova broja djeljiva sa 3, razlomak smanjujemo za 3. U novom razlomku 30 i 35 završavaju na 0 i 5, što znači da su oba broja djeljiva sa 5, pa smanjujemo razlomak za 5. Dobijeni razlomak od šest sedmih je nesvodljiv. Ovo je konačan odgovor.
Do istog odgovora možemo doći na drugačiji način.
I 360 i 420 završavaju na nulu, što znači da su djeljivi sa 10. Smanjujemo razlomak za 10. U novom razlomku, i brojnik 36 i nazivnik 42 dijele se sa 2. Smanjujemo razlomak za 2. U sljedeći razlomak, i brojnik 18 i imenilac 21 dijele se sa 3, što znači da razlomak smanjujemo za 3. Došli smo do rezultata - šest sedmina.
I još jedno rešenje.
Sljedeći put ćemo pogledati primjere smanjenja razlomaka.
Učitavanje...