Zabavna matematika. Mean. Kako pronaći aritmetičku sredinu i geometrijsku sredinu brojeva

Najviše u ekv. praksa mora koristiti aritmetičku sredinu, koja se može izračunati kao jednostavna i ponderisana aritmetička sredina.

Aritmetička sredina (CA)-n Najčešći tip medija. Koristi se u slučajevima kada je volumen varijabilne karakteristike za cijelu populaciju zbroj vrijednosti karakteristika pojedinih jedinica. Za društvene fenomene karakteristična je aditivnost (sumiranje) volumena različitih atributa, što određuje područje primjene CA i objašnjava njegovu rasprostranjenost kao generalizirani pokazatelj, Na primjer: opšti fond plata je zbir plata svih zaposlenih.

Da biste izračunali CA, morate podijeliti zbir svih karakterističnih vrijednosti s njihovim brojem. CA se primjenjuje u 2 oblika.

Prvo razmotrite jednostavnu aritmetičku sredinu.

1-CA jednostavno (početni, definirajući oblik) jednak je jednostavnom zbroju pojedinačnih vrijednosti prosječnog atributa, podijeljenom s ukupnim brojem ovih vrijednosti (koristi se kada postoje negrupirane ind.vrijednosti atributa):

Proračuni se mogu sažeti u sljedeću formulu:

(1)

gdje - prosječna vrijednost varijabilnog obilježja, odnosno jednostavna aritmetička sredina;

znači zbrajanje, odnosno dodavanje pojedinačnih obilježja;

x- pojedinačne vrijednosti varijabilne karakteristike, koje se nazivaju varijantama;

n - broj jedinica stanovništva

Primjer 1, potrebno je pronaći prosječni učinak jednog radnika (bravara) ako je poznato koliko je dijelova napravio svaki od 15 radnika, tj. broj ind. vrijednosti atributa, kom: 21; dvadeset; dvadeset; 19; 21; 19; osamnaest; 22; 19; dvadeset; 21; dvadeset; osamnaest; 19; dvadeset.

CA simple izračunava se po formuli (1), kom:

Primjer 2... Izračunajmo CA na osnovu uvjetnih podataka za 20 trgovina uključenih u trgovačko društvo (Tablica 1). Tabela 1

Distribucija trgovina trgovačkog preduzeća "Vesna" prema trgovačkoj površini, kvadrat. M

Prodavnica br.		Prodavnica br.

Da biste izračunali prosječnu površinu trgovine ( ) potrebno je zbrajati površine svih trgovina i rezultat podijeliti s brojem trgovina:

Tako je prosječna površina trgovine za ovu grupu trgovačkih preduzeća 71 kvadratni metar.

Stoga, kako biste odredili CA jednostavan, trebate podijeliti zbroj svih vrijednosti datog atributa na broj jedinica koje imaju taj atribut.

gdje f 1 , f 2 , … ,f n – težina (učestalost ponavljanja istih znakova);

- zbir proizvoda veličine obilježja prema njihovoj učestalosti;

- ukupan broj jedinica u populaciji.

- CA ponderisano - sa Ovo je jedna od varijanti koje se ponavljaju različit broj puta, ili za koje se kaže da imaju različite težine. Ponderi su brojevi jedinica u različitim grupama stanovništva (iste se opcije kombiniraju u grupu). CA ponderisano – sredina grupisanih vrijednosti x 1 , x 2 , .., x n, – izračunato:

(2)

Gde NS- opcije;

f- učestalost (težina).

Ponderirani SA je količnik dijeljenja zbroja proizvoda varijanti i njihovih odgovarajućih frekvencija sa zbrojem svih frekvencija. Frekvencije ( f) koji se pojavljuju u CA formuli obično se pozivaju vaga, zbog čega se CA, izračunat uzimajući u obzir pondere, naziva ponderiranim.

Ilustrirat ćemo tehniku izračunavanja CA ponderiranog pomoću gornjeg primjera 1. Da bismo to učinili, grupiramo početne podatke i stavljamo ih u tablicu.

Prosjek grupiranih podataka određuje se na sljedeći način: prvo se opcije množe s frekvencijama, zatim se dodaju proizvodi i rezultirajući zbroj dijeli sa zbrojem frekvencija.

Prema formuli (2), CA ponderiran je, kom:

Raspodjela radnika za proizvodnju dijelova

Podaci navedeni u prethodnom primjeru 2 mogu se kombinirati u homogene grupe, koje su predstavljene u tablici. sto

Distribucija prodavnica Vesne po maloprodajnom prostoru, kvadrat m

Dakle, rezultat je isti. Međutim, to će već biti ponderirana aritmetička srednja vrijednost.

U prethodnom primjeru izračunali smo aritmetičku sredinu pod pretpostavkom da su apsolutne frekvencije (skladište) poznate. Međutim, u brojnim slučajevima apsolutne frekvencije ne postoje, ali su relativne frekvencije poznate ili, kako se obično zovu, frekvencije koje pokazuju udio ili udio frekvencija u čitavoj populaciji.

Prilikom izračunavanja CA ponderirane upotrebe frekvencije omogućuje vam pojednostavljenje izračunavanja kada je frekvencija izražena velikim, višeznamenkastim brojevima. Izračun se vrši na isti način, međutim, budući da se prosjek povećava za faktor 100, rezultat treba podijeliti sa 100.

Tada će formula za aritmetički ponderirani prosjek izgledati ovako:

gdje d- frekvencija, tj. udio svake frekvencije u ukupnom zbiru svih frekvencija.

(3)

U našem primjeru 2 prvo utvrđujemo udio trgovina po grupama u ukupnom broju trgovina kompanije "Vesna". Dakle, za prvu skupinu specifična težina odgovara 10%
... Dobijamo sljedeće podatke Tabela 3

Šta je aritmetička sredina

Aritmetička sredina nekoliko veličina je odnos zbroja ovih veličina prema njihovom broju.

Aritmetička sredina određene serije brojeva naziva se zbroj svih ovih brojeva podijeljen s brojem pojmova. Dakle, aritmetička sredina je prosjek brojčane serije.

Koja je aritmetička sredina nekoliko brojeva? Oni su jednaki zbroju ovih brojeva, koji se dijeli s brojem pojmova u ovom zbroju.

Kako pronaći aritmetičku sredinu

Nema ništa teško u izračunavanju ili pronalaženju aritmetičke sredine nekoliko brojeva, dovoljno je zbrojiti sve prikazane brojeve i rezultirajući zbir podijeliti s brojem pojmova. Dobiveni rezultat bit će aritmetička sredina ovih brojeva.

Pogledajmo pobliže ovaj proces. Šta trebamo učiniti da izračunamo aritmetičku sredinu i dobijemo konačni rezultat ovog broja.

Prvo, da biste ga izračunali, morate odrediti skup brojeva ili njihov broj. Ovaj skup može uključivati velike i male brojeve, a njihov broj može biti bilo koji.

Drugo, sve ove brojeve treba dodati da bi se dobio njihov zbir. Naravno, ako su brojevi jednostavni, a njihov broj mali, tada se proračuni mogu izvršiti ručnim zapisivanjem. A ako je skup brojeva impresivan, bolje je koristiti kalkulator ili proračunsku tablicu.

I, četvrto, zbroj dobiven zbrajanjem mora se podijeliti s brojem brojeva. Kao rezultat toga dobit ćemo rezultat koji će biti aritmetička sredina ove serije.

Čemu služi aritmetička vrijednost?

Aritmetička sredina može biti korisna ne samo za rješavanje primjera i problema na satovima matematike, već i za druge svrhe potrebne u svakodnevnom životu osobe. Takve svrhe mogu biti izračun aritmetičkog prosjeka za izračunavanje prosječnih mjesečnih finansijskih troškova ili za izračunavanje vremena provedenog na putu, također radi utvrđivanja posjećenosti, produktivnosti, brzine kretanja, prinosa i još mnogo toga.

Na primjer, pokušajmo izračunati koliko vremena provodite do škole. Svaki put kad idete u školu ili se vratite kući, provodite drugačije vrijeme na putu, jer kad ste u žurbi, idete brže, pa samim tim put traje manje vremena. Ali, vraćajući se kući, možete ići polako, komunicirati s kolegama iz razreda, diviti se prirodi, pa će vam stoga trebati više vremena na putu.

Stoga nećete moći točno odrediti vrijeme provedeno na putu, ali zahvaljujući aritmetičkoj sredini možete otprilike saznati vrijeme koje provedete na putu.

Recimo da ste prvog dana nakon vikenda na putu od kuće do škole proveli petnaest minuta, drugog dana putovanje je trajalo dvadeset minuta, u srijedu ste prevalili udaljenost za dvadeset pet minuta, u isto vrijeme krenuli ste u četvrtak, a u petak niste žurili i vratili ste se na pola sata.

Pronađimo aritmetičku sredinu, dodajući vrijeme, za svih pet dana. Dakle,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Podijelimo sada ovaj iznos s brojem dana

Ovom metodom ste naučili da vam put od kuće do škole traje otprilike dvadeset i tri minute vašeg vremena.

Zadaća

1. Pomoću nekih jednostavnih izračuna izračunajte aritmetički prosjek broja učenika u vašem odjeljenju sedmično.

2. Odredite aritmetičku sredinu:

3. Riješite problem:

Kada broj elemenata skupa skupova brojeva stacionarnog slučajnog procesa teži beskonačnosti, aritmetička sredina teži matematičkom očekivanju slučajne varijable.

Uvod

Označavamo skup brojeva X = (x 1 , x 2 , …, x n), tada se srednja vrijednost uzorka obično označava vodoravnom trakom iznad varijable (izgovara se " x s linijom ").

Grčko slovo μ obično se koristi za označavanje aritmetičke sredine cijelog skupa brojeva. Za slučajnu varijablu za koju je određena srednja vrijednost μ je vjerovatnoća ili matematičko očekivanje slučajne varijable. Ako je skup X je zbirka slučajnih brojeva s vjerojatnom sredinom μ, zatim za bilo koji uzorak x i iz ove zbirke μ = E ( x i) je matematičko očekivanje ovog uzorka.

U praksi, razlika između μ i x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) je da je μ tipična varijabla jer možete vidjeti uzorak, a ne cijelu populaciju. Stoga, ako je uzorak predstavljen nasumično (u smislu teorije vjerojatnosti), tada x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(ali ne μ) može se tretirati kao slučajna promenljiva sa raspodelom verovatnoće na uzorku (raspodela verovatnoće srednje vrednosti).

Obje ove količine izračunavaju se na isti način:

x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

Primjeri

Za tri broja zbrojite ih i podijelite s 3:

x 1 + x 2 + x 3 3. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3))).)

Za četiri broja dodajte ih i podijelite s 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4))).)

Kontinuirana slučajna varijabla

Ako postoji integral neke funkcije f (x) (\ displaystyle f (x)) jedna varijabla, zatim aritmetička sredina ove funkcije na intervalu [a; b] (\ displaystyle) definirano u smislu određenog integrala:

f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x. (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)

To implicira da b> a. (\ displaystyle b> a.)

Neki problemi u korištenju značenja

Nedostatak robusnosti

Iako se aritmetička sredina često koristi kao prosjek ili centralna tendencija, to nije robusna statistika, što znači da je na aritmetičku sredinu jako pod utjecajem "velikih odstupanja". Važno je napomenuti da za distribucije s velikim koeficijentom iskrivljenosti aritmetička sredina možda ne odgovara konceptu "srednje", a srednje vrijednosti iz robusne statistike (na primjer, medijana) mogu bolje opisati centralni trend.

Klasičan primjer je izračunavanje prosječnog prihoda. Aritmetička sredina može se pogrešno protumačiti kao medijana, što može dovesti do zaključka da ima više ljudi s većim primanjima nego što to zaista jesu. “Prosječni” prihod tumači se na takav način da je prihod većine ljudi blizu ovog broja. Ovaj "prosječni" (u smislu aritmetičke sredine) prihod veći je od dohotka većine ljudi, jer visoki prihodi s velikim odstupanjem od prosjeka čine aritmetičku sredinu snažno iskrivljenom (za razliku od toga, srednji prihod se "opire" takva pristrasnost). Međutim, ovaj "prosječni" prihod ne govori ništa o broju ljudi u blizini srednjeg prihoda (i ne govori ništa o broju ljudi u blizini modalnog prihoda). Ipak, ako olako uzmete koncepte "prosjeka" i "većine ljudi", tada možete napraviti pogrešan zaključak da većina ljudi ima prihode veće nego što zaista jesu. Na primjer, izvještaj o "prosječnom" neto prihodu u Medini, Washington, izračunat kao aritmetički prosjek godišnjih neto prihoda svih stanovnika, dao bi iznenađujuće veliki broj zbog Bill Gatesa. Razmotrite uzorak (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetička sredina je 3,17, ali pet od šest vrijednosti je ispod ovog prosjeka.

Složene kamate

Ako su brojevi umnožiti, ali ne fold, morate koristiti geometrijsku sredinu, a ne aritmetičku sredinu. Najčešće se ovaj incident događa prilikom izračunavanja povrata ulaganja u finansije.

Na primjer, ako su zalihe u prvoj godini pale za 10%, a u drugoj porasle za 30%, tada je netočno izračunati „prosječno“ povećanje u ove dvije godine kao aritmetičku sredinu (-10% + 30%) / 2 = 10%; ispravnu prosječnu vrijednost u ovom slučaju daje kumulativna godišnja stopa rasta, pri kojoj godišnji rast iznosi samo oko 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Razlog za to je što postoci svaki put imaju novo polazište: 30% je 30%. od broja manjeg od cijene na početku prve godine: ako je dionica na početku iznosila 30 USD i pala za 10%, početkom druge godine iznosi 27 USD. Ako su dionice porasle za 30%, vrijedit će 35,1 USD na kraju druge godine. Aritmetički prosjek ovog rasta je 10%, ali budući da je dionica samo 5,1 USD u 2 godine, prosječan rast od 8,2% daje konačni rezultat od 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ako na isti način koristimo aritmetičku sredinu od 10%, nećemo dobiti stvarnu vrijednost: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Složene kamate na kraju druge godine: 90% * 130% = 117%, to jest, ukupno povećanje od 17% i prosječna godišnja složena kamata 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ cca 108,2 \%), odnosno prosječni godišnji rast od 8,2%.

Upute

Glavni članak: Destination statistics

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine neke varijable koja se ciklično mijenja (na primjer, faza ili kut), treba obratiti posebnu pažnju. Na primjer, prosjek brojeva 1 i 359 bit će 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180. Ovaj broj nije tačan iz dva razloga.

Prosječna vrijednost za cikličku varijablu, izračunata pomoću gornje formule, bit će umjetno pomaknuta od stvarnog prosjeka prema sredini numeričkog raspona. Zbog toga se srednja vrijednost izračunava na drugačiji način, naime, broj s najmanjom varijansom (središnja točka) odabran je kao srednja vrijednost. Također, umjesto oduzimanja, koristi se modularna udaljenost (odnosno obodna udaljenost). Na primjer, modularna udaljenost između 1 ° i 359 ° je 2 °, a ne 358 ° (na krugu između 359 ° i 360 ° == 0 ° - jedan stepen, između 0 ° i 1 ° - takođe 1 °, ukupno) - 2 °).

Troje djece otišlo je u šumu po bobičasto voće. Najstarija kći je pronašla 18 bobica, srednja 15, a mlađi brat 3 bobice (vidi sliku 1). Donijeli su bobice mojoj majci, koja je odlučila podijeliti bobice na jednak način. Koliko je bobica svako dijete dobilo?

Pirinač. 1. Ilustracija problema

Rešenje

(yag.) - djeca su sakupila sve

2) Podijelite ukupan broj bobica s brojem djece:

(yag.) ima svako dijete

Odgovor: svako dijete će dobiti 12 bobica.

U zadatku 1, broj dobiven u odgovoru je aritmetička sredina.

Aritmetička sredina nekoliko brojeva naziva se količnik dijeljenja zbira ovih brojeva na njihov broj.

Primjer 1

Imamo dva broja: 10 i 12. Pronađite njihovu aritmetičku sredinu.

Rešenje

1) Odredite zbir ovih brojeva :.

2) Broj ovih brojeva je 2, stoga je aritmetička sredina ovih brojeva:.

Odgovor: Aritmetička sredina 10 i 12 je 11.

Primjer 2

Imamo pet brojeva: 1, 2, 3, 4 i 5. Odredite njihovu aritmetičku sredinu.

Rešenje

1) Zbroj ovih brojeva je :.

2) Po definiciji, aritmetička sredina je količnik dijeljenja zbira brojeva s njihovim brojem. Imamo pet brojeva, pa je aritmetička sredina:

Odgovor: aritmetička sredina podataka u stanju brojeva je 3.

Osim što se stalno predlaže da se nađe u učionici, pronalaženje aritmetičke sredine vrlo je korisno u svakodnevnom životu. Na primjer, pretpostavimo da želimo otići na odmor u Grčku. Da bismo odabrali pravu odjeću, gledamo trenutnu temperaturu u ovoj zemlji. Međutim, ne znamo opću sliku vremena. Stoga je potrebno saznati temperaturu zraka u Grčkoj, na primjer, na tjedan dana, te pronaći aritmetičku sredinu ovih temperatura.

Primjer 3

Temperatura u Grčkoj za sedmicu: ponedjeljak -; Utorak -; Srijeda -; Četvrtak -; Petak -; Subota -; Nedjelja -. Izračunajte prosječnu sedmičnu temperaturu.

Rešenje

1) Izračunajmo zbir temperatura :.

2) Podijelite primljeni iznos sa brojem dana :.

Odgovor: prosječna sedmična temperatura pribl.

Mogućnost pronalaženja aritmetičke sredine može biti potrebna i za određivanje prosječne starosti igrača u fudbalskom timu, odnosno kako bi se utvrdilo je li tim iskusan ili ne. Potrebno je zbrojiti godine svih igrača i podijeliti ih po broju.

Zadatak 2

Trgovac je prodavao jabuke. U početku ih je prodavao po cijeni od 85 rubalja po 1 kg. Tako je prodao 12 kg. Zatim je spustio cijenu na 65 rubalja i prodao preostala 4 kg jabuka. Koja je prosječna cijena jabuka?

Rešenje

1) Izračunajmo koliko je trgovac ukupno zaradio. Prodao je 12 kilograma po cijeni od 85 rubalja po 1 kg: (rub.).

Prodao je 4 kilograma po cijeni od 65 rubalja po 1 kg: (rubalja).

Stoga je ukupan iznos zarađenog novca jednak: (rubalja).

2) Ukupna težina prodatih jabuka je :.

3) Podijelite primljeni iznos novca na ukupnu težinu prodatih jabuka i dobijte prosječnu cijenu za 1 kg jabuka: (rubalja).

Odgovor: prosječna cijena 1 kg prodanih jabuka je 80 rubalja.

Aritmetička sredina pomaže vam da procijenite podatke u cjelini, bez uzimanja svake vrijednosti zasebno.

Međutim, nije uvijek moguće koristiti pojam aritmetičke sredine.

Primjer 4

Strijelac je ispalio dva hica u metu (vidi sliku 2): prvi put je pogodio jedan metar više od mete, a drugi - jedan metar niže. Aritmetička sredina će pokazati da je pogodio tačan centar, iako je oba puta promašio.

Pirinač. 2. Ilustracija na primjer

U ovoj lekciji upoznali smo pojam aritmetičke sredine. Naučili smo definiciju ovog pojma, naučili kako izračunati aritmetičku sredinu za nekoliko brojeva. Naučili smo i praktičnu primjenu ovog koncepta.

N. Ya. Vilenkin. Matematika: udžbenik. za 5 cl. općenito uchr. - Ed. 17.. - M.: Mnemosina, 2005.
Igor je sa sobom imao 45 rubalja, Andrey - 28, a Denis - 17.
Za sav novac kupili su 3 bioskopske karte. Koliko je koštala jedna karta?