U ovoj lekciji ćemo pogledati razne eksponencijalne nejednakosti i naučiti kako ih riješiti na osnovu metodologije rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih nejednačina
1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije
Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Na svojstvima se zasniva rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina.
Eksponencijalna funkcija- je funkcija oblika, gdje je baza stepena i ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y - zavisna varijabla, funkcija.
Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije
Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrujući eksponencijalnu funkciju kada je baza veća od jedan i manja od jedan, ali veća od nule.
Obje krive prolaze kroz tačku (0; 1)
Svojstva eksponencijalne funkcije:
Domena: ;
Raspon vrijednosti:;
Funkcija je monotona, kako raste, tako i smanjuje.
Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti za jednu vrijednost argumenta.
Kada, kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule ne inkluzivno do plus beskonačnosti, odnosno za date vrijednosti argumenta, imamo monotono rastuću funkciju (). Jer, naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, ne inkluzivno, odnosno za date vrijednosti argumenta, imamo monotono opadajuću funkciju ().
2. Najjednostavnije eksponencijalne nejednačine, tehnika rješenja, primjer
Na osnovu navedenog, predstavljamo tehniku rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih nejednačina:
Metodologija rješavanja nejednačina:
Izjednačiti osnove stepeni;
Uporedite indikatore, zadržavajući ili mijenjajući na suprotan predznak nejednakosti.
Rješenje složenih eksponencijalnih nejednačina sastoji se, po pravilu, u njihovom svođenju na najjednostavnije eksponencijalne nejednačine.
Osnova stepena je veća od jedan, što znači da ostaje znak nejednakosti:
Transformišemo desnu stranu prema svojstvima stepena:
Osnova stepena je manja od jedan, znak nejednakosti mora biti obrnut:
Da bismo riješili kvadratnu nejednačinu, riješit ćemo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:
Prema Vietinoj teoremi, nalazimo korijene:
Grane parabole su usmjerene prema gore.
Dakle, imamo rješenje nejednakosti:
Lako je pretpostaviti da se desna strana može predstaviti kao stepen sa nultim eksponentom:
Osnova stepena je veća od jedan, predznak nejednakosti se ne menja, dobijamo:
Prisjetimo se tehnike rješavanja takvih nejednakosti.
Razmotrimo razlomku racionalnu funkciju:
Pronalazimo domen definicije:
Pronađite korijene funkcije:
Funkcija ima jedan korijen, 
Odabiremo intervale konstantnog predznaka i određujemo predznake funkcije na svakom intervalu:
Rice. 2. Intervali konstantnosti
Tako da smo dobili odgovor.
odgovor: 
3. Rješenje tipičnih eksponencijalnih nejednačina
Razmotrite nejednakosti sa istim pokazateljima, ali različitim osnovama.
Jedno od svojstava eksponencijalne funkcije je da ona uzima striktno pozitivne vrijednosti za bilo koju vrijednost argumenta, što znači da se može podijeliti na eksponencijalnu funkciju. Podijelimo datu nejednačinu desnom stranom:
Osnova stepena je veća od jedan, znak nejednakosti ostaje.
Ilustrujmo rješenje:
Slika 6.3 prikazuje grafikone funkcija i. Očigledno, kada je argument veći od nule, graf funkcije se nalazi više, ova funkcija je veća. Kada su vrijednosti argumenata negativne, funkcija se spušta, manja je. Kada je vrijednost argumenta, funkcije su jednake, što znači da je i ova tačka rješenje zadate nejednakosti.
Rice. 3. Ilustracija na primjer 4
Transformišemo datu nejednakost prema svojstvima stepena:
Evo sličnih pojmova:
Podijelimo oba dijela na:
Sada nastavljamo rješavati slično kao u primjeru 4, podijelimo oba dijela na:
Osnova stepena je veća od jedan, ostaje znak nejednakosti:
4. Grafičko rješenje eksponencijalnih nejednačina
Primjer 6 - Riješite nejednakost grafički:
Razmotrite funkcije na lijevoj i desnoj strani i nacrtajte graf svake od njih.
Funkcija je eksponencijalna, raste u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.
Funkcija je linearna, opada u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.
Ako se ove funkcije preklapaju, odnosno sistem ima rješenje, onda je takvo rješenje jedinstveno i lako se može pogoditi. Da bismo to učinili, ponavljamo preko cijelih brojeva ()
Lako je vidjeti da je korijen ovog sistema:
Dakle, grafovi funkcija sijeku se u tački s argumentom jednakim jedan.
Sada moramo dobiti odgovor. Značenje date nejednakosti je da eksponent mora biti veći ili jednak linearnoj funkciji, odnosno biti veći ili se s njom podudarati. Očigledan odgovor je: (Slika 6.4)
Rice. 4. Ilustracija na primjer 6
Dakle, razmatrali smo rješenja raznih tipičnih eksponencijalnih nejednačina. Zatim nastavljamo sa razmatranjem složenijih eksponencijalnih nejednakosti.
Bibliografija
Mordkovich A.G. Algebra i principi matematičke analize. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra i principi matematičke analize. - M.: Drofa. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra i principi matematičke analize. - M.: Obrazovanje.
Math. md. Matematika-ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.
Zadaća
1. Algebra i početak analize, razredi 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, br. 472, 473;
2. Riješite nejednačinu:
3. Riješite nejednakost.
Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine su one jednačine i nejednačine u kojima je nepoznata sadržana u eksponentu.
Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi se često svodi na rješavanje jednačine a x = a b, gdje je a> 0, a ≠ 1, x je nepoznato. Ova jednadžba ima jedinstveni korijen x = b, pošto je tačna sljedeća teorema:
Teorema. Ako je a> 0, a ≠ 1 i a x 1 = a x 2, tada je x 1 = x 2.
Da potkrijepimo razmatranu tvrdnju.
Pretpostavimo da jednakost x 1 = x 2 ne vrijedi, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponencijalna funkcija y = ax raste i stoga nejednakost a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. U oba slučaja dobili smo kontradikciju sa uslovom a x 1 = a x 2.
Razmotrimo nekoliko zadataka.
Riješite jednačinu 4 ∙ 2 x = 1.
Rješenje.
Zapisujemo jednačinu u obliku 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0, odakle dobijamo x + 2 = 0, tj. x = -2.
Odgovori. x = -2.
Riješite jednačinu 2 3x ∙ 3 x = 576.
Rješenje.
Kako je 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, jednačina se može napisati u obliku 8 x ∙ 3 x = 24 2 ili u obliku 24 x = 24 2.
Otuda dobijamo x = 2.
Odgovori. x = 2.
Riješite jednačinu 3 x + 1 - 2 ∙ 3 x - 2 = 25.
Rješenje.
Uzimajući zajednički faktor 3 x - 2 iz zagrada s lijeve strane, dobijamo 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
odakle je 3 x - 2 = 1, tj. x - 2 = 0, x = 2.
Odgovori. x = 2.
Riješite 3x jednačinu = 7x.
Rješenje.
Pošto je 7 x ≠ 0, jednačina se može napisati u obliku 3 x / 7 x = 1, odakle je (3/7) x = 1, x = 0.
Odgovori. x = 0.
Riješite jednačinu 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.
Rješenje.
Zamjenom 3 x = a ova se jednačina svodi na kvadratnu jednačinu a 2 - 4a - 45 = 0.
Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo njene korijene: a 1 = 9, a 2 = -5, odakle je 3 x = 9, 3 x = -5.
Jednačina 3 x = 9 ima korijen od 2, a jednačina 3 x = -5 nema korijena, jer eksponencijalna funkcija ne može imati negativne vrijednosti.
Odgovori. x = 2.
Rješavanje eksponencijalnih nejednačina se često svodi na rješavanje nejednačina a x> a b ili a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Razmotrimo neke zadatke.
Riješite 3 x nejednakosti< 81.
Rješenje.
Zapisujemo nejednačinu u obliku 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, onda je funkcija y = 3 x rastuća.
Prema tome, za x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Dakle, za x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Odgovori. X< 4.
Riješite nejednačinu 16 x +4 x - 2> 0.
Rješenje.
Označavamo 4 x = t, tada dobijamo kvadratnu nejednakost t2 + t - 2> 0.
Ova nejednakost vrijedi za t< -2 и при t > 1.
Kako je t = 4 x, dobijamo dvije nejednakosti 4 x< -2, 4 х > 1.
Prva nejednačina nema rješenja, budući da je 4 x> 0 za sve x ∈ R.
Drugu nejednačinu zapisujemo u obliku 4 x> 4 0, odakle je x> 0.
Odgovori. x> 0.
Riješite jednačinu (1/3) x = x - 2/3 grafički.
Rješenje.
1) Napravimo grafove funkcija y = (1/3) x i y = x - 2/3.
2) Na osnovu naše slike možemo zaključiti da se grafovi razmatranih funkcija sijeku u tački sa apscisom x ≈ 1. Provjera dokazuje da
x = 1 - korijen ove jednadžbe:
(1/3) 1 = 1/3 i 1 - 2/3 = 1/3.
Drugim riječima, pronašli smo jedan od korijena jednačine. 
3) Nađimo druge korijene ili dokažimo da ih nema. Funkcija (1/3) x opada, a funkcija y = x - 2/3 raste. Dakle, za x> 1, vrijednosti prve funkcije su manje od 1/3, a druge više od 1/3; na x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 i x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Odgovori. x = 1.
Imajte na umu da iz rješenja ovog problema, posebno, slijedi da nejednakost (1/3) x> x - 2/3 vrijedi za x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Mnogi ljudi misle da su eksponencijalne nejednakosti tako složene i neshvatljive. I da je naučiti kako ih riješiti gotovo velika umjetnost, koju su samo Odabrani sposobni shvatiti...
Potpuna glupost! Uzorne nejednakosti su lake. I uvijek se jednostavno rješavaju. Pa skoro uvek. :)
Danas ćemo analizirati ovu temu iznutra i izvana. Ova lekcija će biti veoma korisna za one koji tek počinju da razumeju ovaj deo školske matematike. Počnimo s jednostavnim problemima i prijeđimo na složenija pitanja. Danas neće biti malenkosti, ali ovo što sada čitate bit će dovoljno da riješite većinu nejednakosti u bilo kakvoj kontroli i samostalnom radu. I na ovom vaš Jedinstveni državni ispit, također.
Kao i uvijek, počnimo s definicijom. Eksponencijalna nejednakost je svaka nejednakost koja sadrži eksponencijalnu funkciju. Drugim riječima, uvijek se može svesti na nejednakost oblika
\ [((a) ^ (x)) \ gt b \]
Pri čemu uloga $b$ može biti običan broj, ili možda nešto teže. Primjeri? Da molim:
\ [\ započeti (poravnati) & ((2) ^ (x)) \ gt 4; \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \ quad ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ kraj (poravnaj) \]
Mislim da je značenje jasno: postoji eksponencijalna funkcija $ ((a) ^ (x)) $, ona se upoređuje s nečim, a zatim traži da se pronađe $ x $. U posebno kliničkim slučajevima, umjesto varijable $ x $, mogu ugurati neku funkciju $ f \ lijevo (x \ desno) $ i time malo zakomplicirati nejednakost. :)
Naravno, u nekim slučajevima nejednakost može izgledati ozbiljnije. Na primjer:
\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]
Ili čak i ovo:
Općenito, složenost takvih nejednakosti može biti vrlo različita, ali se na kraju ipak svode na jednostavnu konstrukciju $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. I mi ćemo to nekako shvatiti s takvom konstrukcijom (u posebno kliničkim slučajevima, kada ništa ne padne na pamet, pomoći će nam logaritmi). Stoga ćemo vas sada naučiti kako riješiti takve jednostavne konstrukcije.
Rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednakosti
Hajde da razmotrimo nešto sasvim jednostavno. Na primjer, ovo:
\ [((2) ^ (x)) \ gt 4 \]
Očigledno, broj sa desne strane se može prepisati kao stepen dvojke: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. Dakle, originalna nejednakost se može prepisati u vrlo pogodnom obliku:
\ [((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]
I sada se ruke svrbe da "precrtaju" dvojke u osnovama stepeni da bi dobili odgovor $ x \ gt 2 $. Ali prije nego što precrtamo bilo šta, prisjetimo se moći dvojke:
\ [((2) ^ (1)) = 2; \ quad ((2) ^ (2)) = 4; \ quad ((2) ^ (3)) = 8; \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16; ... \]
Kao što vidite, što je veći broj u eksponentu, veći je i izlazni broj. "Hvala, Cap!" - uzviknut će jedan od učenika. Da li je drugačije? Nažalost, to se dešava. Na primjer:
\ [((\ lijevo (\ frac (1) (2) \ desno)) ^ (1)) = \ frac (1) (2); \ quad ((\ lijevo (\ frac (1) (2) \ desno)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ lijevo (\ frac (1) (2) \ desno)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ); ... \]
I ovdje je sve logično: što je veći stepen, to se broj 0,5 više puta množi sam sa sobom (tj. podijeljen na pola). Dakle, rezultirajući niz brojeva se smanjuje, a razlika između prvog i drugog niza sastoji se samo u bazi:
- Ako je osnova stepena $ a \ gt 1 $, onda kako eksponent $ n $ raste, broj $ ((a) ^ (n)) $ će takođe rasti;
- I obrnuto, ako je $ 0 \ lt a \ lt 1 $, onda kako eksponent $ n $ raste, broj $ ((a) ^ (n)) $ će se smanjivati.
Sumirajući ove činjenice, dobijamo najvažniju tvrdnju na kojoj se zasniva celokupno rešenje eksponencijalnih nejednačina:
Ako je $ a \ gt 1 $, onda je nejednakost $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ ekvivalentna nejednakosti $ x \ gt n $. Ako je $ 0 \ lt a \ lt 1 $, tada je nejednakost $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ ekvivalentna nejednakosti $ x \ lt n $.
Drugim riječima, ako je baza veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti bez promjene predznaka nejednakosti. A ako je baza manja od jedan, onda se i ona može ukloniti, ali u ovom slučaju će se morati promijeniti i znak nejednakosti.
Napomena: nismo razmatrali opcije $ a = 1 $ i $ a \ le 0 $. Jer u tim slučajevima se javlja neizvjesnost. Recimo kako riješiti nejednakost poput $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $? Jedan u bilo kom stepenu će opet dati jedan - nikada nećemo dobiti trojku ili više. One. nema rješenja.
Još je zanimljivije sa negativnim razlozima. Razmotrimo, na primjer, ovu nejednakost:
\ [((\ lijevo (-2 \ desno)) ^ (x)) \ gt 4 \]
Na prvi pogled sve je jednostavno:
zar ne? Ali ne! Dovoljno je zamijeniti $ x $ par parnih i nekoliko neparnih brojeva da biste bili sigurni da je rješenje pogrešno. Pogledaj:
\ [\ započeti (poravnati) & x = 4 \ Strelica udesno ((\ lijevo (-2 \ desno)) ^ (4)) = 16 \ gt 4; \\ & x = 5 \ Strelica desno ((\ lijevo (-2 \ desno)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4; \\ & x = 6 \ Strelica desno ((\ lijevo (-2 \ desno)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x = 7 \ Strelica desno ((\ lijevo (-2 \ desno)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\\ kraj (poravnati) \]
Kao što vidite, znakovi se izmjenjuju. Ali još uvijek postoje razlomci stupnjeva i drugi kalaj. Kako, na primjer, naređujete brojanje $ ((\ lijevo (-2 \ desno)) ^ (\ sqrt (7))) $ (minus dva na stepen sedam)? Nema šanse!
Stoga se, radi određenosti, pretpostavlja da je u svim eksponencijalnim nejednačinama (i jednadžbama, inače, također) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. A onda se sve rješava vrlo jednostavno:
\ [((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Strelica desno \ lijevo [\ početak (poravnaj) & x \ gt n \ četverostruk \ lijevo (a \ gt 1 \ desno), \\ & x \ lt n \ quad \ lijevo (0 \ lt a \ lt 1 \ desno). \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]
Općenito, još jednom zapamtite glavno pravilo: ako je baza u eksponencijalnoj jednadžbi veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti; a ako je baza manja od jedan, može se i ukloniti, ali će se predznak nejednakosti promijeniti.
Primjeri rješenja
Dakle, razmotrite nekoliko jednostavnih eksponencijalnih nejednakosti:
\ [\ započeti (poravnati) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ kraj (poravnaj) \]
Primarni zadatak u svim slučajevima je isti: svesti nejednakosti na najjednostavniji oblik $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Upravo to ćemo sada učiniti sa svakom nejednakošću, a istovremeno ćemo ponoviti svojstva stupnjeva i eksponencijalne funkcije. Pa idemo!
\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]
Šta se tu može učiniti? Pa, na lijevoj strani već imamo izraz koji otkriva - ništa ne treba mijenjati. Ali na desnoj strani je neka vrsta sranja: razlomak, pa čak i korijen u nazivniku!
Međutim, prisjetimo se pravila za rad s razlomcima i potencijama:
\ [\ započeti (poravnati) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)); \\ & \ sqrt [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ kraj (poravnaj) \]
Šta to znači? Prvo, lako se možemo riješiti razlomka pretvarajući ga u stepen s negativnim eksponentom. I drugo, budući da imenilac ima korijen, bilo bi lijepo i njega pretvoriti u stepen - ovaj put s razlomkom eksponenta.
Ove radnje primjenjujemo uzastopno na desnu stranu nejednakosti i vidimo šta se događa:
\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ lijevo (\ sqrt (2) \ desno)) ^ (- 1)) = ((\ lijevo (((2) ^ (\ frac ( 1) (3))) \ desno)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ lijevo (-1 \ desno))) = ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]
Ne zaboravite da se prilikom podizanja stepena na stepen dodaju indikatori ovih stepeni. I općenito, kada radite s eksponencijalnim jednadžbama i nejednačinama, apsolutno je potrebno znati barem najjednostavnija pravila za rad sa stepenima:
\ [\ započeti (poravnati) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)); \\ & \ frac (((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)); \\ & ((\ lijevo (((a) ^ (x)) \ desno)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ kraj (poravnaj) \]
Zapravo, upravo smo primijenili posljednje pravilo. Stoga će naša izvorna nejednakost biti prepisana na sljedeći način:
\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Desno ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]
Sada ćemo se riješiti njih dvoje u bazi. Kako je 2> 1, predznak nejednakosti ostaje isti:
\ [\ započeti (poravnati) & x-1 \ le - \ frac (1) (3) \ Desno x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x \ u \ lijevo (- \ infty; \ frac (2) (3) \ desno]. \\\ kraj (poravnati) \]
To je cijelo rješenje! Glavna poteškoća uopće nije u eksponencijalnoj funkciji, već u kompetentnoj transformaciji izvornog izraza: potrebno ga je precizno i što je brže moguće dovesti u njegov najjednostavniji oblik.
Razmotrimo drugu nejednakost:
\ [((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \]
Dobro dobro. Ovdje nas čekaju decimalni razlomci. Kao što sam mnogo puta rekao, u svim izrazima sa stepenom treba se riješiti decimalnih razlomaka – često je to jedini način da vidite brzo i jednostavno rješenje. Tako ćemo se riješiti:
\ [\ započeti (poravnati) & 0,1 = \ frac (1) (10); \ quad 0,01 = \ frac (1) (100) = ((\ lijevo (\ frac (1) (10) \ desno)) ^ (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \ Strelica udesno ((\ lijevo (\ frac (1) (10) \ desno)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ lijevo (\ frac (1) (10) \ desno)) ^ (2)). \\\ kraj (poravnaj) \]
Pred nama je opet najjednostavnija nejednakost, pa čak i sa osnovom 1/10, tj. manje od jedan. Pa, uklanjamo baze, usput mijenjajući znak sa "manje" na "više", i dobijamo:
\ [\ započeti (poravnati) & 1-x \ gt 2; \\ & -x \ gt 2-1; \\ & -x \ gt 1; \\ & x \ lt -1. \\\ kraj (poravnaj) \]
Dobili smo konačni odgovor: $ x \ u \ lijevo (- \ infty; -1 \ desno) $. Imajte na umu: odgovor je upravo skup, a nikako konstrukcija poput $ x \ lt -1 $. Jer formalno takva konstrukcija uopće nije skup, već nejednakost u odnosu na varijablu $ x $. Da, vrlo je jednostavno, ali nije odgovor!
Važna napomena... Ova nejednakost bi se mogla riješiti na drugi način – svođenjem oba dijela na stepen sa osnovom većom od jedan. Pogledaj:
\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Strelica desno ((\ lijevo (((10) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (1-x)) \ lt ((\ lijevo (((10) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (2)) \ Strelica desno ((10) ^ (- 1 \ cdot \ lijevo (1-x \ desno))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]
Nakon takve transformacije, opet dobijamo eksponencijalnu nejednakost, ali sa bazom 10> 1. To znači da možete jednostavno precrtati deseticu - znak nejednakosti se u ovom slučaju neće promijeniti. Dobijamo:
\ [\ započeti (poravnati) & -1 \ cdot \ lijevo (1-x \ desno) \ lt -1 \ cdot 2; \\ & x-1 \ lt -2; \\ & x \ lt -2 + 1 = -1; \\ & x \ lt -1. \\\ kraj (poravnaj) \]
Kao što vidite, odgovor je potpuno isti. Ujedno smo se spasili potrebe da promijenimo znak i općenito zapamtimo neka pravila tamo. :)
\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]
Međutim, nemojte da vas ovo plaši. Šta god da je u indikatorima, sama tehnologija rješavanja nejednakosti ostaje ista. Stoga, prvo primijetite da je 16 = 2 4. Prepišimo prvobitnu nejednakost imajući na umu ovu činjenicu:
\ [\ započeti (poravnati) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)); \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ kraj (poravnati) \]
Ura! Dobili smo uobičajenu kvadratnu nejednakost! Znak se nigde nije promenio, pošto je u osnovi dvojka - broj veći od jedan.
Nule funkcije na brojevnoj liniji
Postavljamo znakove funkcije $ f \ lijevo (x \ desno) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - očigledno, njen graf će biti parabola sa granama prema gore, tako da će biti "plusova " sa strane. Zanima nas oblast u kojoj je funkcija manja od nule, tj. $ x \ in \ lijevo (2; 5 \ desno) $ - ovo je odgovor na originalni problem.
Konačno, razmotrite još jednu nejednakost:
\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]
Opet vidimo eksponencijalnu funkciju sa decimalnim razlomkom u osnovi. Prevodimo ovaj razlomak u običan:
\ [\ begin (poravnati) & 0,2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Desno \\ & \ Desno ((0) , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ lijevo (((5) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ lijevo (1 + ((x) ^ (2)) \ desno))) \ kraj (poravnati) \]
U ovom slučaju koristili smo se ranije datom napomenom - bazu smo sveli na broj 5> 1 kako bismo pojednostavili našu dalju odluku. Uradimo isto sa desnom stranom:
\ [\ frac (1) (25) = ((\ lijevo (\ frac (1) (5) \ desno)) ^ (2)) = ((\ lijevo (((5) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]
Prepišimo originalnu nejednakost uzimajući u obzir obje transformacije:
\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Strelica desno ((5) ^ (- 1 \ cdot \ lijevo (1+) ((x) ^ (2)) \ desno))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]
Osnove na obje strane su iste i prelaze jedan. Na desnoj i lijevoj strani nema drugih pojmova, pa samo "precrtamo" petice i dobijemo vrlo jednostavan izraz:
\ [\ započeti (poravnati) & -1 \ cdot \ lijevo (1 + ((x) ^ (2)) \ desno) \ ge -2; \\ & -1 - ((x) ^ (2)) \ ge -2; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1; \ quad \ lijevo | \ cdot \ lijevo (-1 \ desno) \ desno. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ kraj (poravnaj) \]
Ovdje morate biti oprezni. Mnogi učenici vole da samo uzmu kvadratni koren obe strane nejednakosti i napišu nešto poput $ x \ le 1 \ Desna strelica x \ u \ levo (- \ infty; -1 \ desno] $. Ovo nikada ne bi trebalo da se radi, jer korijen tačnog kvadrata je modul, a nikako originalna varijabla:
\ [\ sqrt (((x) ^ (2))) = \ lijevo | x \ desno | \]
Međutim, rad sa modulima nije baš najprijatnije iskustvo, zar ne? Tako da ni mi nećemo raditi. Umjesto toga, samo pomjerimo sve pojmove ulijevo i riješimo uobičajenu nejednakost koristeći metodu intervala:
$ \ započeti (poravnati) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0; \\ & \ lijevo (x-1 \ desno) \ lijevo (x + 1 \ desno) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1; \ quad ((x) _ (2)) = -1; \\\ kraj (poravnanje) $
Ponovo označite dobijene tačke na brojevnoj pravoj i pogledajte znakove:
Napomena: tačke su popunjene Pošto smo rješavali labavu nejednakost, sve tačke na grafu su popunjene. Stoga će odgovor biti ovakav: $ x \ u \ lijevo [-1; 1 \ desno] $ nije interval, već segment.
U cjelini, želio bih napomenuti da u eksponencijalnim nejednačinama nema ništa komplikovano. Značenje svih transformacija koje smo danas izveli svodi se na jednostavan algoritam:
- Pronađite osnovu na koju ćemo sveti sve stepene;
- Pažljivo izvršite transformacije da dobijete nejednakost oblika $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Naravno, umjesto varijabli $ x $ i $ n $, mogu postojati mnogo složenije funkcije, ali to neće promijeniti značenje;
- Precrtajte osnove stepeni. U ovom slučaju, predznak nejednakosti se može promijeniti ako je baza $ a \ lt 1 $.
Zapravo, to je univerzalni algoritam za rješavanje svih takvih nejednakosti. A sve što će vam još reći na ovu temu su samo specifične tehnike i trikovi za pojednostavljenje i ubrzanje transformacije. Sada ćemo pričati o jednoj od ovih tehnika. :)
Metoda racionalizacije
Razmotrimo još jednu grupu nejednakosti:
\ [\ započeti (poravnati) & ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ tekst ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\ & ((\ lijevo (2 \ sqrt (3) -3 \ desno)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1; \\ & ((\ lijevo (\ frac (1) (3) \ desno)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ lijevo (\ frac (1) (9) \ desno)) ^ (16-x)); \\ & ((\ lijevo (3-2 \ sqrt (2) \ desno)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1. \\\ kraj (poravnaj) \]
Pa šta je tako posebno u vezi sa njima? Lagane su. Mada, stani! Da li se π podiže do nekog stepena? Kakva je ovo glupost?
Kako podići broj $ 2 \ sqrt (3) -3 $ na stepen? Ili 3-2 $ \ sqrt (2) $? Pisci problema su se očito napili gloga prije početka rada. :)
U stvari, nema ništa loše u ovim zadacima. Da vas podsjetim: eksponencijalna funkcija je izraz oblika $ ((a) ^ (x)) $, gdje je baza $ a $ bilo koji pozitivan broj, osim jednog. Broj π je pozitivan - to već znamo. Brojevi $ 2 \ sqrt (3) -3 $ i $ 3-2 \ sqrt (2) $ su također pozitivni - to možete lako vidjeti ako ih uporedite sa nulom.
Ispada da se sve ove "zastrašujuće" nejednakosti ne razlikuju od onih jednostavnih o kojima smo gore govorili? I da li se rješavaju na isti način? Da, tako je. Međutim, na njihovom primjeru, želio bih razmotriti jednu tehniku koja štedi puno vremena na samostalnom radu i ispitima. Fokusiraće se na metodu racionalizacije. Dakle, pažnja:
Bilo koja eksponencijalna nejednakost oblika $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ je ekvivalentna nejednakosti $ \ lijevo (xn \ desno) \ cdot \ lijevo (a-1 \ desno) \ gt 0 $.
To je cela metoda :) Da li ste mislili da će biti neke sledeće utakmice? Ništa slično ovome! Ali ova jednostavna činjenica, napisana doslovno u jednom redu, uvelike će nam pojednostaviti rad. Pogledaj:
\ [\ begin (matrica) ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Strelica prema dolje \\ \ lijevo (x + 7- \ lijevo (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ desno) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ tekst () \! \! \ Pi \! \! \ tekst () -1 \ desno) \ gt 0 \\\ kraj (matrica) \]
Nema više indikativnih funkcija! I ne morate da pamtite da li se znak menja ili ne. Ali javlja se novi problem: šta učiniti sa jebenim množiteljem \ [\ lijevo (\ tekst () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ desno) \]? Ne znamo koja je tačna vrijednost broja π. Međutim, izgleda da kapetan nagovještava očiglednost:
\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ približno 3,14 ... \ gt 3 \ Desno \ text () \! \! \ pi \! \! \ text ( ) - 1 \ gt 3-1 = 2 \]
Općenito, tačna vrijednost π nas baš i ne smeta - važno nam je samo da shvatimo da je u svakom slučaju $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $, tj. ovo je pozitivna konstanta i njome možemo podijeliti obje strane nejednakosti:
\ [\ započeti (poravnati) & \ lijevo (x + 7- \ lijevo (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ desno) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ desno) \ gt 0 \\ & x + 7- \ lijevo (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ desno) \ gt 0; \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0; \ quad \ lijevo | \ cdot \ lijevo (-1 \ desno) \ desno. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \ lt 0; \\ & \ lijevo (x-5 \ desno) \ lijevo (x + 1 \ desno) \ lt 0. \\\ kraj (poravnati) \]
Kao što vidite, u određenom trenutku morao sam podijeliti sa minus jedan - i znak nejednakosti se promijenio. Na kraju sam proširio kvadratni trinom prema Vietinoj teoremi - očito je da su korijeni jednaki $ ((x) _ (1)) = 5 $ i $ ((x) _ (2)) = - 1 $. Tada se sve rješava klasičnom metodom intervala:
Rješavanje nejednačine metodom intervala Sve tačke su izbušene jer je originalna nejednakost stroga. Zanima nas područje sa negativnim vrijednostima, pa je odgovor $ x \ in \ lijevo (-1; 5 \ desno) $. To je cijelo rješenje. :)
Pređimo na sljedeći zadatak:
\ [((\ lijevo (2 \ sqrt (3) -3 \ desno)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]
Općenito, ovdje je sve jednostavno, jer postoji jedan s desne strane. I sjećamo se da je jedan bilo koji broj na nultom stepenu. Čak i ako je taj broj iracionalni izraz dolje lijevo:
\ [\ započeti (poravnati) & ((\ lijevo (2 \ sqrt (3) -3 \ desno)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ lijevo (2) \ sqrt (3) -3 \ desno)) ^ (0)); \\ & ((\ lijevo (2 \ sqrt (3) -3 \ desno)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt ((\ lijevo (2 \ sqrt (3) -3) \ desno)) ^ (0)); \\\ kraj (poravnaj) \]
Pa, da racionalizujemo:
\ [\ započeti (poravnati) & \ lijevo (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ desno) \ cdot \ lijevo (2 \ sqrt (3) -3-1 \ desno) \ lt 0; \\ & \ lijevo (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ desno) \ cdot \ lijevo (2 \ sqrt (3) -4 \ desno) \ lt 0; \\ & \ lijevo (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ desno) \ cdot 2 \ lijevo (\ sqrt (3) -2 \ desno) \ lt 0. \\\ kraj (poravnanje) \ ]
Ostaje samo da se pozabavimo znakovima. Faktor $ 2 \ lijevo (\ sqrt (3) -2 \ desno) $ ne sadrži promjenljivu $ x $ - to je samo konstanta i trebamo saznati njen predznak. Da biste to učinili, obratite pažnju na sljedeće:
\ [\ početak (matrica) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Strelica prema dolje \\ 2 \ lijevo (\ sqrt (3) -2 \ desno) \ lt 2 \ cdot \ lijevo (2 -2 \ desno) = 0 \\\ kraj (matrica) \]
Ispostavilo se da drugi faktor nije samo konstanta, već negativna konstanta! A kada se podijeli s njim, predznak izvorne nejednakosti će se promijeniti u suprotno:
\ [\ započeti (poravnati) & \ lijevo (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ desno) \ cdot 2 \ lijevo (\ sqrt (3) -2 \ desno) \ lt 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \ gt 0; \\ & x \ lijevo (x-2 \ desno) \ gt 0. \\\ kraj (poravnati) \]
Sada sve postaje sasvim očigledno. Korijeni kvadratnog trinoma na desnoj strani su: $ ((x) _ (1)) = 0 $ i $ ((x) _ (2)) = 2 $. Označavamo ih na brojevnoj pravoj i gledamo znakove funkcije $ f \ lijevo (x \ desno) = x \ lijevo (x-2 \ desno) $:
Slučaj kada nas zanimaju bočni intervali Zanimaju nas intervali označeni znakom plus. Ostaje samo zapisati odgovor:
Prijeđimo na sljedeći primjer:
\ [((\ lijevo (\ frac (1) (3) \ desno)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ lijevo (\ frac (1) (9) \ desno)) ^ (16-x)) \]
Pa, ovdje je sve sasvim očito: u bazama postoje potencije istog broja. Stoga ću sve ukratko napisati:
\ [\ begin (matrica) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)); \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Strelica prema dolje \\ ((\ lijevo (((3) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ lijevo (((3) ^ (- 2)) \ desno)) ^ (16-x)) \\\ kraj (matrica) \]
\ [\ započeti (poravnati) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x \ desno))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ lijevo (16-x \ desno))); \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\ & \ lijevo (- ((x) ^ (2)) - 2x- \ lijevo (-32 + 2x \ desno) \ desno) \ cdot \ lijevo (3-1 \ desno) \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0; \ quad \ lijevo | \ cdot \ lijevo (-1 \ desno) \ desno. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0; \\ & \ lijevo (x + 8 \ desno) \ lijevo (x-4 \ desno) \ lt 0. \\\ kraj (poravnati) \]
Kao što vidite, u procesu transformacije, morali smo množiti sa negativnim brojem, pa se predznak nejednakosti promijenio. Na samom kraju, ponovo sam primijenio Vietinu teoremu za faktorizaciju kvadratnog trinoma. Kao rezultat, odgovor će biti sljedeći: $ x \ u \ lijevo (-8; 4 \ desno) $ - oni koji žele to mogu provjeriti crtanjem brojevne linije, označavanjem tačaka i brojanjem znakova. U međuvremenu ćemo prijeći na posljednju nejednakost iz našeg "skupa":
\ [((\ lijevo (3-2 \ sqrt (2) \ desno)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]
Kao što vidite, u osnovi je opet iracionalan broj, a desno opet jedan. Stoga našu eksponencijalnu nejednakost prepisujemo na sljedeći način:
\ [((\ lijevo (3-2 \ sqrt (2) \ desno)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt ((\ lijevo (3-2 \ sqrt (2) \ desno)) ^ (0)) \]
Primjenjujemo racionalizaciju:
\ [\ započeti (poravnati) & \ lijevo (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ desno) \ cdot \ lijevo (3-2 \ sqrt (2) -1 \ desno) \ lt 0; \\ & \ lijevo (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ desno) \ cdot \ lijevo (2-2 \ sqrt (2) \ desno) \ lt 0; \\ & \ lijevo (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ desno) \ cdot 2 \ lijevo (1- \ sqrt (2) \ desno) \ lt 0. \\\ kraj (poravnati) \ ]
Međutim, sasvim je očigledno da je $ 1- \ sqrt (2) \ lt 0 $, budući da je $ \ sqrt (2) \ približno 1,4 ... \ gt 1 $. Dakle, drugi faktor je opet negativna konstanta, kojom se obje strane nejednakosti mogu podijeliti:
\ [\ početak (matrica) \ lijevo (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ desno) \ cdot 2 \ lijevo (1- \ sqrt (2) \ desno) \ lt 0 \\ \ Dolje \ \\ kraj (matrica) \]
\ [\ započeti (poravnati) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0; \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0; \ quad \ lijevo | \ cdot \ lijevo (-1 \ desno) \ desno. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0; \\ & x \ lijevo (x-3 \ desno) \ lt 0. \\\ kraj (poravnati) \]
Prelazak u drugu bazu
Poseban problem u rješavanju eksponencijalnih nejednakosti je potraga za “ispravnim” temeljom. Nažalost, na prvi pogled na zadatak nije uvijek jasno šta uzeti kao osnovu, a šta učiniti prema stepenu ove osnove.
Ali ne brinite: ovdje nema magije ili "tajne" tehnologije. U matematici, svaka vještina koja se ne može algoritmizirati može se lako naučiti kroz vježbu. Ali za to morate riješiti probleme različitih nivoa složenosti. Na primjer, ovo su:
\ [\ započeti (poravnati) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))); \\ & ((\ lijevo (\ frac (1) (3) \ desno)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ lijevo (0,16 \ desno)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ lijevo (6,25 \ desno)) ^ (x)) \ ge 1; \\ & ((\ lijevo (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ desno)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ kraj (poravnati) \]
Teško? Strahovito? Lakše je nego kokoška na asfaltu! Pokusajmo. Prva nejednakost:
\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) \]
Pa mislim da je tu sve jasno i jež:
Prepisujemo originalnu nejednakost, svodeći sve na bazu "dva":
\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Strelica desno \ lijevo (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ desno) \ cdot \ lijevo (2-1 \ desno) \ lt 0 \]
Da, da, dobro ste shvatili: upravo sam primijenio metod racionalizacije opisan gore. Sada moramo raditi pažljivo: imamo razlomku-racionalnu nejednakost (ovo je ona s promjenljivom u nazivniku), stoga, prije nego što nešto izjednačimo sa nulom, potrebno je sve dovesti na zajednički nazivnik i riješiti se konstante faktor.
\ [\ započeti (poravnati) & \ lijevo (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ desno) \ cdot \ lijevo (2-1 \ desno) \ lt 0; \\ & \ lijevo (\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ desno) \ cdot 1 \ lt 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ kraj (poravnati) \]
Sada koristimo standardni metod razmaka. Nule brojioca: $ x = \ pm 4 $. Imenilac nestaje samo kada je $ x = 0 $. Ukupno postoje tri tačke koje treba označiti na brojevnoj pravoj (sve tačke su izbušene, pošto je znak nejednakosti strog). Dobijamo:
Složeniji slučaj: tri korijena Kao što možete pretpostaviti, šrafiranje označava one intervale u kojima izraz s lijeve strane poprima negativne vrijednosti. Stoga će dva intervala ući u konačni odgovor odjednom:
Krajevi intervala nisu uključeni u odgovor jer je prvobitna nejednakost bila stroga. Nisu potrebne dodatne provjere ovog odgovora. U tom smislu, eksponencijalne nejednakosti su mnogo jednostavnije od logaritamskih: nema ODV, nema ograničenja itd.
Pređimo na sljedeći zadatak:
\ [((\ lijevo (\ frac (1) (3) \ desno)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]
Ni tu nema problema, pošto već znamo da je $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $, pa se cijela nejednakost može prepisati na sljedeći način:
\ [\ započeti (poravnati) & ((\ lijevo (((3) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Desno ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & \ lijevo (- \ frac (3) (x) - \ lijevo (2 + x \ desno) \ desno) \ cdot \ lijevo (3-1 \ desno) \ ge 0; \\ & \ lijevo (- \ frac (3) (x) -2-x \ desno) \ cdot 2 \ ge 0; \ quad \ lijevo | : \ lijevo (-2 \ desno) \ desno. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ kraj (poravnati) \]
Imajte na umu: u trećem redu odlučio sam da ne gubim vrijeme na sitnice i odmah sve podijelim na (−2). Prošao je ušao u prvu zagradu (sada su plusevi svuda), a dva su poništena sa konstantnim faktorom. To je upravo ono što biste trebali učiniti kada pravite prave proračune za samostalne i kontrolne radove - ne morate direktno slikati svaku radnju i transformaciju.
Zatim dolazi u obzir poznata metoda razmaka. Numeratorske nule: ali nisu. Zato što će diskriminant biti negativan. Zauzvrat, imenilac je nula samo na $ x = 0 $ - kao i prošli put. Pa, jasno je da će desno od $ x = 0 $ razlomak uzeti pozitivne vrijednosti, a lijevo - negativne. Pošto nas zanimaju negativne vrijednosti, konačni odgovor je $ x \ in \ lijevo (- \ infty; 0 \ desno) $.
\ [((\ lijevo (0,16 \ desno)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ lijevo (6,25 \ desno)) ^ (x)) \ ge 1 \]
Ali šta biste trebali učiniti s decimalnim razlomcima u eksponencijalnim nejednačinama? Tako je: riješite ih se, prevodeći ih u obične. Dakle, mi ćemo prevesti:
\ [\ započeti (poravnati) & 0,16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Strelica udesno ((\ lijevo (0,16 \ desno)) ^ (1 + 2x)) = ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6,25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Strelica desno ((\ lijevo (6,25 \ desno)) ^ (x)) = ((\ lijevo (\ frac (25)) (4) \ desno)) ^ (x)). \\\ kraj (poravnaj) \]
Dakle, što smo dobili u temeljima eksponencijalnih funkcija? I dobili smo dva međusobno inverzna broja:
\ [\ frac (25) (4) = ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (- 1)) \ Desno ((\ lijevo (\ frac (25) (4) \ desno)) ^ (x)) = ((\ lijevo (((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (x)) = ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (- x)) \]
Dakle, originalna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:
\ [\ započeti (poravnati) & ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno) ) ^ (- x)) \ ge 1; \\ & ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (1 + 2x + \ lijevo (-x \ desno))) \ ge ((\ lijevo (\ frac (4) (25) ) \ desno)) ^ (0)); \\ & ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (0) ). \\\ kraj (poravnaj) \]
Naravno, kada se stepeni pomnože sa istom bazom, njihovi indikatori se zbrajaju, što se dogodilo u drugom redu. Osim toga, prikazali smo jedinicu na desnoj strani, također u obliku stepena sa osnovom 4/25. Ostaje samo izvršiti racionalizaciju:
\ [((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ lijevo (\ frac (4) (25) \ desno)) ^ (0)) \ Strelica desno \ lijevo (x + 1-0 \ desno) \ cdot \ lijevo (\ frac (4) (25) -1 \ desno) \ ge 0 \]
Imajte na umu da je $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $, tj. drugi faktor je negativna konstanta, a kada se podijeli s njom, promijenit će se predznak nejednakosti:
\ [\ započeti (poravnati) & x + 1-0 \ le 0 \ Desno x \ le -1; \\ & x \ u \ lijevo (- \ infty; -1 \ desno). \\\ kraj (poravnati) \]
Konačno, posljednja nejednakost iz trenutnog "skupa":
\ [((\ lijevo (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ desno)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]
U principu, ideja rješenja je i ovdje jasna: sve eksponencijalne funkcije uključene u nejednakost moraju se svesti na bazu "3". Ali za ovo se morate malo pozabaviti korijenima i stupnjevima:
\ [\ započeti (poravnati) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- \ frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))); \\ & 9 = ((3) ^ (2)); \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ kraj (poravnaj) \]
Uzimajući ove činjenice u obzir, izvorna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:
\ [\ započeti (poravnati) & ((\ lijevo (((3) ^ (\ frac (8) (3))) \ desno)) ^ (- x)) \ lt ((\ lijevo (((3) ^ (2)) \ desno)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ kraj (poravnaj) \]
Obratite pažnju na 2. i 3. red proračuna: prije nego što uradite nešto s nejednakošću, obavezno je dovedite u oblik o kojem smo pričali od samog početka lekcije: $ ((a) ^ (x)) \ lt ((a) ^ (n)) $. Sve dok imate neke lijeve faktore, dodatne konstante, itd. s lijeve ili desne strane, ne može se vršiti nikakva racionalizacija i "precrtavanje" osnova! Bezbroj zadataka je pošlo po zlu zbog pogrešnog razumijevanja ove jednostavne činjenice. I sam stalno opažam ovaj problem među svojim studentima kada tek počinjemo da analiziramo eksponencijalne i logaritamske nejednakosti.
Ali vratimo se na naš problem. Pokušajmo ovaj put bez racionalizacije. Zapamtite: baza stepena je veća od jedan, tako da se trojke mogu jednostavno precrtati - znak nejednakosti se u ovom slučaju neće promijeniti. Dobijamo:
\ [\ započeti (poravnati) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \ lt 3. \\\ kraj (poravnati) \]
To je sve. Konačni odgovor je $ x \ in \ lijevo (- \ infty; 3 \ desno) $.
Isticanje trajnog izraza i zamjena varijable
U zaključku, predlažem rješavanje još četiri eksponencijalne nejednačine, koje su već prilično teške za neobučene učenike. Da biste se nosili s njima, morate zapamtiti pravila za rad sa diplomama. Konkretno, uzimanje uobičajenih faktora iz zagrada.
Ali najvažnije je naučiti razumjeti šta se tačno može izvaditi iz zagrada. Takav izraz se naziva stabilan - može se označiti novom varijablom i tako se riješiti eksponencijalne funkcije. Dakle, pogledajmo zadatke:
\ [\ započeti (poravnati) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6; \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90; \\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500; \\ & ((\ lijevo (0,5 \ desno)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768. \\\ kraj (poravnaj) \]
Počnimo s prvim redom. Zapišimo ovu nejednakost odvojeno:
\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]
Imajte na umu da je $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $, tako da je desna strana se može prepisati:
Imajte na umu da nema drugih eksponencijalnih funkcija, osim $ ((5) ^ (x + 1)) $, u nejednakosti. I općenito, varijabla $ x $ se ne nalazi nigdje drugdje, pa uvodimo novu varijablu: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. Dobijamo sledeću konstrukciju:
\ [\ započeti (poravnati) & 5t + t \ ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t \ ge 1. \\\ kraj (poravnati) \]
Vraćamo se na originalnu varijablu ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $), a u isto vrijeme zapamtimo da je 1 = 5 0. Imamo:
\ [\ započeti (poravnati) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)); \\ & x + 1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\ kraj (poravnaj) \]
To je cijelo rješenje! Odgovor: $ x \ u \ lijevo [-1; + \ infty \ desno) $. Prelazimo na drugu nejednakost:
\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]
Ovdje je sve isto. Imajte na umu da je $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $ . .. Tada se lijeva strana može prepisati:
\ [\ započeti (poravnati) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90; \ quad \ lijevo | ((3) ^ (x)) = t \ desno. \\ & t + 9t \ ge 90; \\ & 10t \ ge 90; \\ & t \ ge 9 \ Desno ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Desno ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)); \\ & x \ ge 2 \ Strelica desno x \ u \ lijevo [2; + \ infty \ desno). \\\ kraj (poravnaj) \]
Ovako otprilike trebate sastaviti odluku o stvarnoj kontroli i samostalnom radu.
Pa, hajde da probamo nešto komplikovanije. Na primjer, evo nejednakosti:
\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]
U čemu je problem? Prije svega, baze eksponencijalnih funkcija na lijevoj strani su različite: 5 i 25. Međutim, 25 = 5 2, pa se prvi član može transformirati:
\ [\ započeti (poravnati) & ((25) ^ (x + 1,5)) = ((\ lijevo (((5) ^ (2)) \ desno)) ^ (x + 1,5)) = ((5) ^ (2x + 3)); \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ kraj (poravnaj ) \]
Kao što vidite, prvo smo sve vodili na istu bazu, a onda smo primijetili da se prvi pojam lako može svesti na drugi - samo trebate proširiti indikator. Sada možete sigurno unijeti novu varijablu: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $, a cijela nejednakost će biti prepisana na sljedeći način:
\ [\ započeti (poravnati) & 5t-t \ ge 2500; \\ & 4t \ ge 2500; \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)); \\ & 2x + 2 \ ge 4; \\ & 2x \ ge 2; \\ & x \ ge 1. \\\ kraj (poravnati) \]
Opet, bez poteškoća! Konačni odgovor je $ x \ u \ lijevo [1; + \ infty \ desno) $. Prelazimo na konačnu nejednakost u današnjem tutorijalu:
\ [((\ lijevo (0,5 \ desno)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768 \]
Prva stvar na koju treba obratiti pažnju je, naravno, decimalni razlomak u osnovi prvog stepena. Potrebno ga je riješiti, a istovremeno dovesti sve eksponencijalne funkcije na istu bazu - broj "2":
\ [\ započeti (poravnati) & 0,5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Strelica udesno ((\ lijevo (0,5 \ desno)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ lijevo (((2) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)); \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Strelica desno ((16) ^ (x + 1,5)) = ((\ lijevo (((2) ^ (4)) \ desno)) ^ ( x + 1.5)) = ((2) ^ (4x + 6)); \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ kraj (poravnaj) \]
Odlično, napravili smo prvi korak - sve je dovelo do istog temelja. Sada moramo odabrati stabilan izraz. Imajte na umu da je $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. Ako uvedemo novu varijablu $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $, tada se originalna nejednakost može prepisati na sljedeći način:
\ [\ započeti (poravnati) & 4t-t \ gt 768; \\ & 3t \ gt 768; \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)); \\ & 4x + 6 \ gt 8; \\ & 4x \ gt 2; \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\\ kraj (poravnaj) \]
Naravno, može se postaviti pitanje: kako smo saznali da je 256 = 2 8? Nažalost, ovdje samo trebate znati potencije dvojke (i u isto vrijeme potencije tri i pet). Pa, ili podijelite 256 sa 2 (možete podijeliti, pošto je 256 paran broj) dok ne dobijemo rezultat. To će izgledati otprilike ovako:
\ [\ započeti (poravnati) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). \ Kraj (poravnaj ) \]
Isto je i sa trojkom (brojevi 9, 27, 81 i 243 su njene moći), i sa sedam (brojeve 49 i 343 takođe bi bilo lepo zapamtiti). Pa, prvih pet ima i "lijepe" diplome koje morate znati:
\ [\ započeti (poravnati) & ((5) ^ (2)) = 25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ kraj (poravnaj) \]
Naravno, svi ovi brojevi, po želji, mogu se rekonstruisati u umu, jednostavnim uzastopnim množenjem jedan s drugim. Međutim, kada morate riješiti nekoliko eksponencijalnih nejednačina, a svaka sljedeća je složenija od prethodne, posljednja stvar o kojoj želite razmišljati su stepeni nekih brojeva. I u tom smislu, ovi problemi su složeniji od "klasičnih" nejednakosti, koje se rješavaju metodom intervala.
a x = b je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. U njemu a veće od nule i a nije jednako jedan.
Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi
Iz svojstava eksponencijalne funkcije znamo da je njen raspon vrijednosti ograničen na pozitivne realne brojeve. Tada ako je b = 0, jednadžba nema rješenja. Ista situacija se dešava u jednačini gdje je b
Sada pretpostavljamo da je b> 0. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a je veći od jedan, tada će funkcija rasti u cijelom domenu definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu a sledeći uslov je zadovoljen 0 Na osnovu ovoga i primjenom teoreme o korijenu, nalazimo da jednadžba a x = b ima jedan korijen, za b> 0 i pozitivan a nije jednako jednom. Da biste ga pronašli, trebate predstaviti b u obliku b = a c. Razmotrite sljedeći primjer: Riješite jednačinu 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25. Predstavimo 25 kao 5 2, dobijamo: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2. Ili šta je ekvivalentno: x 2 - 2 * x - 1 = 2. Rezultirajuću kvadratnu jednačinu rješavamo na bilo koji od poznatih načina. Dobijamo dva korijena x = 3 i x = -1. Odgovor: 3; -1. Riješite jednačinu 4 x - 5 * 2 x + 4 = 0. Zamijenite t = 2 x i dobijete sljedeću kvadratnu jednačinu: t 2 - 5 * t + 4 = 0. Sada riješite jednačine 2 x = 1 i 2 x = 4. Odgovor: 0; 2. Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednačina također se zasniva na svojstvima rastućih i opadajućih funkcija. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veća od jedan, tada će funkcija rasti u cijelom domenu definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu a ispunjen je sledeći uslov 0 Razmotrite primjer: riješite nejednačinu (0,5) (7 - 3 * x)< 4. Imajte na umu da je 4 = (0,5) 2. Tada nejednakost poprima oblik (0,5) (7 - 3 * x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Dobijamo: 7 - 3 * x> -2. Dakle: x<3. Odgovor: x<3. Ako je u nejednakosti baza bilo više od jedan, onda kada se oslobodimo baze, znak nejednakosti ne bi trebalo mijenjati.
Onda je očigledno da Withće biti rješenje jednačine a x = a c.
Ovu jednačinu rješavamo na bilo koji od poznatih načina. Dobijamo korijene t1 = 1 t2 = 4Rješenje eksponencijalnih nejednačina
Učitavanje ...