Millist kuju me nimetame püramiidiks? Esiteks on see hulktahukas. Teiseks asub selle hulktahuka põhjas suvaline hulknurk ja püramiidi külgedel (külgpindadel) on tingimata kolmnurkade kuju, mis koonduvad ühte ühisesse tippu. Nüüd, pärast terminiga tegelemist, saame teada, kuidas leida püramiidi pindala.
On selge, et sellise geomeetrilise keha pindala koosneb aluse ja kogu selle külgpinna pindalade summast.
Püramiidi aluse pindala arvutamine
Arvutusvalemi valik sõltub meie püramiidi põhjas asuva hulknurga kujust. See võib olla õige, st sama pikkusega külgedega, või see võib olla vale. Vaatleme mõlemat võimalust.
Alusel on korrapärane hulknurk
Koolikursusest on teada:
- ruudu pindala on võrdne selle külje ruudu pikkusega;
- võrdkülgse kolmnurga pindala võrdub selle külje ruuduga, mis on jagatud 4-ga ja korrutatud ruutjuurega kolmest.
Kuid on olemas ka üldine valem mis tahes korrapärase hulknurga (Sn) pindala arvutamiseks: peate korrutama selle hulknurga perimeetri (P) väärtuse sellesse kirjutatud ringi raadiusega (r) ja seejärel jagage tulemus kahega: Sn = 1 / 2P * r ...
Alusel - ebakorrapärane hulknurk
Selle pindala leidmise skeem on kõigepealt jagada kogu hulknurk kolmnurkadeks, arvutada nende pindala valemiga: 1 / 2a * h (kus a on kolmnurga alus, h on kõrgus, mis on langenud see alus), liitke kõik tulemused.
Püramiidi külgpinna pindala
Nüüd arvutame välja püramiidi külgpinna pindala, s.o. selle kõigi külgmiste külgede pindalade summa. Siin on võimalik ka 2 võimalust.
- Olgu meil suvaline püramiid, st. üks, mille põhjas on ebakorrapärane hulknurk. Seejärel peaksite arvutama iga näo pindala eraldi ja lisama tulemused. Kuna püramiidi küljed võivad definitsiooni järgi olla ainult kolmnurgad, tehakse arvutus ülaltoodud valemi järgi: S = 1 / 2a * h.
- Olgu meie püramiid õige, st. korrapärane hulknurk asub selle põhjas ja püramiidi tipu projektsioon on selle keskel. Seejärel piisab külgpinna (Sb) pindala arvutamiseks sellest, et leida pool aluse hulknurga (P) perimeetri korrutisest külgmise külje kõrguse (h) võrra (kõigi jaoks sama). näod): Sb = 1/2 P * h. Hulknurga ümbermõõt määratakse selle kõigi külgede pikkuste liitmise teel.
Tavalise püramiidi kogupindala leitakse selle aluse pindala liitmisel kogu külgpinna pindalaga.
Näited
Näiteks arvutame algebraliselt mitme püramiidi pindalad.
Kolmnurkse püramiidi pindala
Sellise püramiidi põhjas on kolmnurk. Kasutades valemit Sо = 1 / 2a * h, leiame aluse pindala. Kasutame sama valemit, et leida püramiidi iga tahu pindala, millel on ka kolmnurkne kuju, ja saame 3 ala: S1, S2 ja S3. Püramiidi külgpinna pindala on kõigi pindalade summa: Sb = S1 + S2 + S3. Lisades külgede ja aluse pindalad, saame soovitud püramiidi kogupindala: Sп = Sо + Sb.
Nelinurkse püramiidi pindala
Külgpind on 4 liikme summa: Sb = S1 + S2 + S3 + S4, millest igaüks arvutatakse kolmnurga pindala valemi abil. Ja aluspinda tuleb otsida, olenevalt nelinurga kujust - õige või vale. Püramiidi kogupind saadakse jällegi, kui liidetakse antud püramiidi aluspind ja kogupindala.
Enne selle geomeetrilise kujundi ja selle omadustega seotud küsimuste uurimist peaksite mõistma mõnda terminit. Kui inimene kuuleb püramiidist, kujutab ta ette tohutuid ehitisi Egiptuses. Nii näevad välja lihtsaim neist. Kuid neid on erinevat tüüpi ja erineva kujuga, mis tähendab, et geomeetriliste kujundite arvutusvalem on erinev.
Püramiid - geomeetriline kujund, mis tähistab ja esindab mitut nägu. Tegelikult on see sama hulktahukas, mille põhjas on hulknurk ja külgedel on kolmnurgad, mis ühendavad ühes punktis - tipus. Joonisel on kahte peamist tüüpi:
- õige;
- kärbitud.
Esimesel juhul asub aluses tavaline hulknurk. Siin on kõik külgpinnad võrdsed omavahel ja kuju ise rõõmustavad perfektsionisti silma.
Teisel juhul on kaks alust - suur allosas ja väike ülaosas, mis kordab peamise kuju. Teisisõnu, kärbitud püramiid on hulktahukas, mille lõik on moodustatud paralleelselt alusega.
Tingimused ja nimetused
Põhitingimused:
- Korrapärane (võrdkülgne) kolmnurk- kolme võrdse nurga ja võrdsete külgedega kujund. Sel juhul on kõik nurgad 60 kraadi. Joonis on tavalistest hulktahukatest lihtsaim. Kui see arv asub põhjas, nimetatakse sellist hulktahukat tavaliseks kolmnurkseks. Kui põhjas on ruut, nimetatakse püramiidi tavaliseks nelinurkseks püramiidiks.
- Tipp- kõrgeim punkt, kus näod koonduvad. Tipu kõrguse moodustab püramiidi tipust põhjani ulatuv sirgjoon.
- Edge- üks hulknurga tasapindadest. See võib olla kolmnurkse püramiidi puhul kolmnurga kujul või kärbitud püramiidi puhul trapetsi kujul.
- Ristlõige- lame kuju, mis on tekkinud lahkamisel. Mitte segi ajada lõikega, kuna lõige näitab ka seda, mis on lõike taga.
- Apoteem- segment, mis on tõmmatud püramiidi tipust selle põhjani. See on ka näo kõrgus, kus asub teine kõrguspunkt. See määratlus kehtib ainult tavalise hulktahuka puhul. Näiteks kui see pole kärbitud püramiid, on nägu kolmnurk. Sel juhul muutub selle kolmnurga kõrgus apoteemiks.
Pindala valemid
Leidke püramiidi külgpindala mis tahes tüüpi saab teha mitmel viisil. Kui joonis ei ole sümmeetriline ja on erinevate külgedega hulknurk, siis on sel juhul lihtsam arvutada kogupindala kõigi pindade summa abil. Teisisõnu peate arvutama iga näo pindala ja liitma need kokku.
Sõltuvalt teadaolevatest parameetritest võib vaja minna ruudu, trapetsi, suvalise nelinurga jne arvutamise valemeid. Valemid ise erinevatel juhtudel erineb ka.
Õige kujuga on ala leidmine palju lihtsam. Piisab vaid mõne põhiparameetri teadmisest. Enamasti on vaja arvutusi just selliste kujundite puhul. Seetõttu esitatakse järgmised valemid. Vastasel juhul peaksite kõik värvima mitmele lehele, mis ajab ainult segadusse ja segadusse.
Arvutamise põhivalem tavalise püramiidi külgpindala näeb välja selline:
S = ½ Pa (P on aluse ümbermõõt, a on apoteem)
Vaatame ühte näidetest. Polühedril on alus segmentidega A1, A2, A3, A4, A5 ja kõik need on 10 cm. Olgu Apothem võrdne 5 cm. Kõigepealt tuleb leida ümbermõõt. Kuna aluse kõik viis külge on ühesugused, saate selle leida järgmiselt: P = 5 * 10 = 50 cm Järgmiseks rakendame põhivalemit: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm ruudus.
Korrapärase kolmnurkse püramiidi külgpindala kõige lihtsam arvutada. Valem näeb välja selline:
S = ½ * ab * 3, kus a - apoteem, b - aluspind. Kolmekordne kordaja tähendab siin aluse servade arvu ja esimene osa on külgpinna pindala. Vaatame näidet. Antud on kujund, mille apoteem on 5 cm ja aluse serv 8 cm Arvutage: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm ruudus.
Kärbitud püramiidi külgpindala arvutamine on veidi keerulisem. Valem näeb välja selline: S = 1/2 * (p_01 + p_02) * a, kus p_01 ja p_02 on aluste perimeetrid ja on apoteem. Vaatame näidet. Näiteks nelinurkse figuuri puhul on aluste külgede mõõdud 3 ja 6 cm, apoteem 4 cm.
Siin peate kõigepealt leidma aluste perimeetrid: p_01 = 3 * 4 = 12 cm; p_02 = 6 * 4 = 24 cm. Jääb üle asendada väärtused põhivalemiga ja saada: S = 1/2 * (12 + 24) * 4 = 0,5 * 36 * 4 = 72 cm ruudus.
Seega on võimalik leida mis tahes keerukusega tavalise püramiidi külgpindala. Peab olema ettevaatlik ja mitte segaduses need arvutused kogu hulktahuka kogupindalaga. Ja kui teil on seda siiski vaja teha, piisab, kui arvutada polühedri suurima aluse pindala ja lisada see hulktahuka külgpinna pindalale.
Video
See video aitab teil koondada teavet erinevate püramiidide külgpinna leidmise kohta.
Kas te ei saanud oma küsimusele vastust? Soovitage autoritele teemat.
Tüüpilised geomeetrilised ülesanded tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis on erineva kujuga pindade pindalade määramise ülesanded. Selles artiklis esitame tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna valemi.
Mis on püramiid?
Siin on püramiidi range geomeetriline määratlus. Oletame, et on mõni hulknurk, millel on n külge ja n nurka. Valige suvaline ruumipunkt, mis ei asu määratud n-nurga tasapinnal, ja ühendage see hulknurga iga tipuga. Saame teatud ruumalaga kujundi, mida nimetatakse n-tahuliseks püramiidiks. Näiteks näitame alloleval joonisel, milline näeb välja viisnurkne püramiid.
Iga püramiidi kaks olulist elementi on selle põhi (n-nurk) ja tipp. Need elemendid on omavahel ühendatud n kolmnurgaga, mis üldjuhul ei ole üksteisega võrdsed. Perpendikulaari ülaosast alusele nimetatakse kujundi kõrguseks. Kui see lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis (kattub hulknurga massikeskmega), siis nimetatakse sellist püramiidi sirgeks. Kui lisaks sellele tingimusele on aluseks korrapärane hulknurk, siis nimetatakse kogu püramiidi korrapäraseks. Alloleval joonisel on näha, kuidas näevad välja tavalised kolmnurkse, nelinurkse, viisnurkse ja kuusnurkse alusega püramiidid.
Püramiidi pind
Enne kui asuda küsimuse juurde tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna pindala kohta, tuleks põhjalikumalt peatuda pinna enda mõistel.
Nagu ülalpool mainitud ja joonistel näidatud, on mis tahes püramiid moodustatud tahkude või külgede komplektist. Üks külg on alus ja n külge kolmnurgad. Kogu kujundi pind on selle mõlema külje pindalade summa.
Pinda on mugav uurida figuuri lahtivoltimise näitel. Tavalise nelinurkse püramiidi lame muster on näidatud allolevatel joonistel.
Näeme, et selle pindala on võrdne nelja identse võrdhaarse kolmnurga pindala ja ruudu pindala summaga.
Kõikide kolmnurkade kogupindala, mis moodustavad joonise külgmised küljed, nimetatakse tavaliselt külgpinnaks. Järgmisena näitame, kuidas seda tavalise nelinurkse püramiidi jaoks arvutada.
Nelinurkse korrapärase püramiidi külgpindala
Määratud kuju külgpinna arvutamiseks vaadake tagasi ülaltoodud tasapinnalist mustrit. Oletame, et teame ruudukujulise aluse külge. Tähistame seda sümboliga a. On näha, et kõigil neljal identsel kolmnurgal on alus pikkusega a. Nende kogupindala arvutamiseks peate teadma seda väärtust ühe kolmnurga kohta. Geomeetria kursusest on teada, et kolmnurga pindala S t võrdub aluse ja kõrguse korrutisega, mis tuleks jagada pooleks. See on:
Kus h b on aluse a külge tõmmatud võrdhaarse kolmnurga kõrgus. Püramiidi jaoks on see kõrgus apoteem. Nüüd jääb üle saadud avaldis korrutada 4-ga, et saada vaadeldava püramiidi külgpinna pindala S b:
S b = 4 * S t = 2 * h b * a.
See valem sisaldab kahte parameetrit: apoteema ja aluse külg. Kui viimane on enamiku probleemtingimuste puhul teada, siis esimest tuleb arvutada teisi suurusi teades. Siin on valemid apoteema h b arvutamiseks kahel juhul:
- kui külgribi pikkus on teada;
- kui püramiidi kõrgus on teada.
Kui tähistame külgserva (võrdhaarse kolmnurga külje) pikkust sümboliga L, siis apoteema h b määratakse valemiga:
h b = √ (L 2 - a 2/4).
See avaldis on Pythagorase teoreemi rakendamise tulemus külgpinna kolmnurgale.
Kui püramiidi kõrgus h on teada, saab apoteema h b arvutada järgmiselt:
h b = √ (h 2 + a 2/4).
Samuti pole selle avaldise saamine keeruline, kui vaadelda püramiidi sees täisnurkset kolmnurka, mille moodustavad jalad h ja a / 2 ning hüpotenuus h b.
Näitame teile, kuidas neid valemeid rakendada, lahendades kaks huvitavat ülesannet.
Teadaolev pinnaprobleem
On teada, et nelinurkse külgpinna pindala on 108 cm 2. Kui püramiidi kõrgus on 7 cm, on vaja arvutada selle apoteema pikkuse väärtus h b.
Kirjutame külgpinna pindala S b kõrguse valemi. Meil on:
S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.
Siin asendasime lihtsalt vastava apoteema valemi avaldises S b. Teeme võrdsuse mõlemad pooled ruudus:
S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4.
A väärtuse leidmiseks muudame muutujaid:
t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.
Nüüd asendame teadaolevad väärtused ja lahendame ruutvõrrandi:
t 2 + 196 * t - 11664 = 0.
Kirjutasime välja ainult selle võrrandi positiivse juure. Siis on püramiidi aluse küljed võrdsed:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Apoteema pikkuse saamiseks kasutage lihtsalt valemit:
h b = √ (h 2 + a 2/4) = √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.
Cheopsi püramiidi külgpind
Määrake Egiptuse suurima püramiidi külgpinna väärtus. Teadaolevalt asub selle aluses ruut, mille külje pikkus on 230,363 meetrit. Hoone kõrgus oli algselt 146,5 meetrit. Asendades need arvud S b vastavasse valemisse, saame:
S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a = 2 * √ (146,5 2 +230,363 2/4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.
Leitud väärtus on veidi suurem kui 17 jalgpalliväljaku pindala.
Laadimine ...