Teeme koostööd ruutvõrrandid... Need on väga populaarsed võrrandid! Kõige üldisemal kujul näeb ruutvõrrand välja selline:
Näiteks:
Siin a =1; b = 3; c = -4
Siin a =2; b = -0,5; c = 2,2
Siin a =-3; b = 6; c = -18
Noh, saate ideest aru ...
Kuidas lahendada ruutvõrrandeid? Kui teil on sellisel kujul ruutvõrrand, siis on kõik juba lihtne. Meenutades võlusõna diskrimineerija ... Haruldane keskkooliõpilane pole seda sõna kuulnud! Väljend „diskrimineerija kaudu otsustamine” on rahustav ja rahustav. Sest pole vaja oodata diskrimineerija määrdunud trikke! Selle kasutamine on lihtne ja probleemivaba. Niisiis, ruutvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja selline:
Väljend juurtähise all on sama diskrimineerija... Nagu näete, kasutame x -i leidmiseks ainult a, b ja c... Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c sellesse valemisse ja loendama. Asendaja oma märkidega! Näiteks esimese võrrandi jaoks a =1; b = 3; c= -4. Niisiis kirjutame üles:
Näide on peaaegu lahendatud:
See on kõik.
Millised juhtumid on selle valemi kasutamisel võimalikud? On ainult kolm juhtumit.
1. Diskrimineerija on positiivne. See tähendab, et saate selle juurest välja tõmmata. Eemaldatakse hea juur või halb - teine küsimus. Oluline on see, mida põhimõtteliselt kaevandatakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.
2. Diskrimineerija on null. Siis on teil üks lahendus. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset... Kuid see mängib rolli ebavõrdsuses, seal uurime teemat üksikasjalikumalt.
3. Diskrimineerija on negatiivne. Negatiivsest arvust ei eraldata ruutjuurt. No okei. See tähendab, et lahendusi pole.
Kõik on väga lihtne. Ja mida, teie arvates, on võimatu eksida? Jah, kuidas ...
Kõige tavalisemad vead on segadus tähendusmärkidega. a, b ja c... Pigem mitte nende märkidega (kus end segi ajada?), Vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin salvestab valemi üksikasjalik märge konkreetsete numbritega. Kui on arvutusprobleeme, tee nii!
Oletame, et peate selle näite lahendama:
Siin a = -6; b = -5; c = -1
Oletame, et teate, et saate esmakordselt vastuseid harva.
Noh, ärge olge laisk. Lisarea kirjutamiseks kulub 30 sekundit ja vigade arv väheneb järsult... Nii et kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:
Tundub uskumatult raske nii hoolikalt maalida. Aga tundub, et ainult on. Proovi seda. Noh, või vali. Kumb on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sind õnnelikuks. Mõne aja pärast pole vaja kõike nii hoolikalt värvida. See saab iseenesest korda. Eriti kui kasutate allpool kirjeldatud praktilisi võtteid. Selle kurja näite koos hulga puudustega saab hõlpsalt ja vigadeta lahendada!
Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandeid mäletasime diskrimineerija kaudu. Või õpitud, mis pole ka halb. Tea, kuidas õigesti tuvastada a, b ja c... Sa tead, kuidas tähelepanelikult asendage need juurevalemiga ja tähelepanelikult loe tulemust. Saate aru, et siin on märksõna tähelepanelikult?
Kuid ruutvõrrandid näevad sageli veidi erinevad. Näiteks selline:
seda mittetäielikud ruutvõrrandid ... Neid saab lahendada ka diskrimineerija kaudu. Peate lihtsalt õigesti välja mõtlema, millega nad võrduvad a, b ja c.
Kas olete sellest aru saanud? Esimeses näites a = 1; b = -4; a c? Teda pole üldse! Noh, jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Asenda valemi asemel null c, ja meil õnnestub. Sama on ka teise näitega. Ainult null pole meil siin koos, a b !
Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab lahendada palju lihtsamalt. Ilma igasuguse diskrimineerijata. Mõelge esimesele mittetäielikule võrrandile. Mida seal vasakul küljel teha saab? Saate sulgudest x välja panna! Võtame selle välja.
Ja mis sellest? Ja asjaolu, et toode on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on võrdne nulliga! Ei usu mind? No mõtle siis välja kaks numbrit, mis ei ole null, mis korrutades annavad nulli!
Ei tööta? See selleks ...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x = 0 või x = 4
Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Asendades ükskõik millise neist algvõrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus palju lihtsam kui diskrimineerija kaudu.
Teise võrrandi saab ka lihtsalt lahendada. Liigutage 9 paremale küljele. Saame:
Alles jääb juur 9 -st välja võtta ja ongi kõik. Selgub:
Samuti kaks juurt ... x = +3 ja x = -3.
Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas paigutades x sulgudesse või lihtsalt teisaldades numbri paremale ja ekstraheerides seejärel juure.
Neid tehnikaid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate x -st välja võtma juuri, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja panna ...
Võtke praegu teadmiseks parimad tavad, mis vähendavad vigu drastiliselt. Just need, mis on tingitud tähelepanematusest ... ... mille pärast see teeb haiget ja solvab ...
Esimene vastuvõtt... Ärge olge laisk, et viia see standardvormile enne ruutvõrrandi lahendamist. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast mõningaid teisendusi saate järgmise võrrandi:
Ärge kiirustage juurvalemi kirjutamisega! Peaaegu kindlasti segate koefitsiendid segi. a, b ja c. Ehitage näide õigesti. Esiteks on X ruudus, siis ilma ruuduta, seejärel vaba termin. Nagu nii:
Ja jälle, ärge kiirustage! Miinus ruudu x ees võib sind päris kurvaks teha. Seda on lihtne unustada ... Miinusest lahti saada. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peate kogu võrrandi korrutama -1 -ga. Saame:
Kuid nüüd saate julgelt juurte valemi kirja panna, arvutada diskrimineerija ja täiendada näidet. Tee seda ise. Teil peaks olema juured 2 ja -1.
Teise vastuvõtt. Kontrollige juuri! Vieta teoreemi järgi. Ärge muretsege, ma selgitan kõike! Kontrollimine viimane asi võrrand. Need. see, mille abil panime kirja juurte valemi. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, juurte kontrollimine on lihtne. Piisab nende korrutamisest. Peaksite saama tasuta liikme, s.t. meie puhul -2. Pöörake tähelepanu, mitte 2, vaid -2! Vaba liige minu märgiga
... Kui see ei töötanud, on see kuskil juba segi keeratud. Otsige viga. Kui see õnnestub, peate juured kokku voltima. Viimane ja viimane kontroll. Peaksite saama koefitsiendi b koos vastupidine
tuttav. Meie puhul -1 + 2 = +1. Ja koefitsient b mis on enne x on -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruut on puhas, koefitsiendiga a = 1. Aga vähemalt sellistes võrrandites kontrollige! Vigu tuleb vähem.
Vastuvõtt kolmas... Kui teie võrrandis on murdkoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand ühisosaga, nagu on kirjeldatud eelmises osas. Murdudega töötades tulevad mingil põhjusel vead ...
Muide, lubasin kurja eeskuju lihtsustada hunniku miinustega. Palun! Siin see on.
Et mitte miinustes segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1 -ga. Saame:
See on kõik! Rõõm on otsustada!
Niisiis, teema kokkuvõtteks.
Praktiline nõuanne:
1. Enne lahendamist toome ruutvõrrandi standardvormile, ehitame selle üles õige.
2. Kui ruudu x ees on negatiivne koefitsient, kõrvaldame selle, korrutades kogu võrrandi -1 -ga.
3. Kui koefitsiendid on murdosa, siis kõrvaldame murded, korrutades kogu võrrandi sobiva teguriga.
4. Kui x ruut on puhas, on selle koefitsient võrdne ühega, lahendust saab kergesti kontrollida Vieta teoreemi abil. Tee seda!
Fraktsioonilised võrrandid. ODZ.
Jätkame võrrandite haldamist. Me juba teame, kuidas töötada lineaarsete ja ruutvõrranditega. Viimane pilk jääb - murdvõrrandid... Või nimetatakse neid ka palju kindlamalt - murdosa ratsionaalsed võrrandid... See on sama.
Fraktsioonilised võrrandid.
Nagu nimigi ütleb, on nendes võrrandites alati murrud. Kuid mitte ainult murdosad, vaid murdosad, millel on nimetajas tundmatu... Vähemalt üks. Näiteks:
Tuletan meelde, et kui nimetajad sisaldavad ainult numbrid, need on lineaarsed võrrandid.
Kuidas lahendada murdvõrrandid? Kõigepealt vabanege murdudest! Pärast seda muutub võrrand enamasti lineaarseks või ruutmeetriliseks. Ja siis me teame, mida teha ... Mõnel juhul võib see muutuda identiteediks, näiteks 5 = 5 või valeks väljendiks, näiteks 7 = 2. Seda juhtub aga harva. Ma mainin seda allpool.
Aga kuidas murdudest lahti saada!? Väga lihtne. Rakendades kõiki samu identseid teisendusi.
Peame kogu võrrandi korrutama sama avaldisega. Nii et kõik nimetajad vähenevad! Kõik muutub korraga lihtsamaks. Las ma selgitan näitega. Oletame, et peame lahendama võrrandi:
Kuidas õpetasite madalamates klassides? Edastame kõik ühes suunas, viime ühisnimetaja juurde jne. Unusta see nagu halb unenägu! Seda tuleks teha murdväljendite lisamisel või lahutamisel. Või töötades ebavõrdsusega. Ja võrrandites korrutame mõlemad pooled kohe väljendiga, mis annab meile võimaluse vähendada kõiki nimetajaid (st sisuliselt ühisnimetajaga). Ja mis see väljend on?
Nimetaja tühistamiseks korrutage vasakul küljel x + 2... Ja paremal on vaja korrutada 2. Seega tuleb võrrand korrutada 2 (x + 2)... Me korrutame:
See on tavaline murdude korrutamine, kuid kirjutan selle üksikasjalikult:
Pange tähele, et ma ei laienda sulgusid veel. (x + 2)! Niisiis, ma kirjutan selle tervikuna:
Vasakul on see täielikult vähendatud (x + 2), ja paremal 2. Mida on vaja! Pärast vähendamist saame lineaarne võrrand:
Ja kõik lahendavad selle võrrandi! x = 2.
Lahendame veel ühe näite, veidi keerukama:
Kui me mäletame, et 3 = 3/1 ja 2x = 2x / 1, võite kirjutada:
Ja jälle vabaneme sellest, mis meile tegelikult ei meeldi - murdudest.
Näeme, et nimetaja tühistamiseks x -ga peate murdosa korrutama (x - 2)... Paar ei ole meile takistuseks. Noh, me korrutame. Tervik vasakul küljel ja tervik parem pool:
Jälle sulgud (x - 2) Ma ei avalikusta. Töötan sulgudega tervikuna, nagu oleks see üks number! Seda tuleks alati teha, muidu ei vähene midagi.
Sügava rahulolutundega lõikasime (x - 2) ja saame võrrandi ilma murdeta, joonlauas!
Ja nüüd avame sulgud:
Anname sarnaseid, teisaldame kõik vasakule küljele ja saame:
Klassikaline ruutvõrrand. Aga miinus ees pole hea. Sellest saate alati lahti, korrutades või jagades -1 -ga. Aga kui te näite tähelepanelikult vaatate, siis märkate, et kõige parem on jagada see võrrand -2 -ga! Ühe hoobiga kaob miinus ja koefitsiendid muutuvad ilusamaks! Jagage -2 -ga. Vasakul - termin termini kaupa ja paremal - lihtsalt jagage null -2 -ga, null ja saate:
Lahendame läbi diskrimineerija ja kontrollime Vieta teoreemi järgi. Saame x = 1 ja x = 3... Kaks juurt.
Nagu näete, sai esimesel juhul võrrand pärast ümberkujundamist lineaarseks, kuid siin on see ruutkeskmine. Nii juhtub, et pärast murdudest vabanemist vähendatakse kõiki xes. Jääb umbes 5 = 5. See tähendab et x võib olla ükskõik milline... Mis iganes see on, väheneb see ikkagi. Ja saate tõe, 5 = 5. Kuid pärast murdudest vabanemist võib see osutuda täiesti valeks, näiteks 2 = 7. See tähendab, et lahendusi pole! Mis tahes x -ga osutub see valeks.
Mõistis peamist lahendust murdvõrrandid? See on lihtne ja loogiline. Muudame esialgset väljendit nii, et kõik, mis meile ei meeldi, kaob. Või segab. Sel juhul on tegemist murdudega. Teeme sama kõikvõimalike keerukate näidetega logaritmide, siinuste ja muude õudustega. Meie alati me vabaneme sellest kõigest.
Peame aga muutma esialgset väljendit vajalikus suunas. reeglite järgi, jah ... Selle valdamine on matemaatika eksamiks valmistumine. Nii et me omandame selle.
Nüüd õpime, kuidas ühest mööda minna eksami peamised varitsused! Aga kõigepealt vaatame, kas hakkate asjaga tegelema või mitte?
Vaatame lihtsat näidet:
Asi on juba tuttav, korrutame mõlemad osad (x - 2), saame:
Tuletan meelde, sulgudega (x - 2) töötame nagu ühe terve väljendiga!
Siin ma ei kirjutanud enam nimetajatesse 1, see on väärik ... Ja ma ei joonistanud nimetajatesse sulgusid, v.a. x - 2 pole midagi, sa ei pea joonistama. Me lühendame:
Avame sulgud, liigutame kõik vasakule, anname sarnased:
Lahendame, kontrollime, saame kaks juurt. x = 2 ja x = 3... Hästi.
Oletame, et ülesanne ütleb, et kirjutage üles juur või nende summa, kui neid on rohkem kui üks. Mida me kirjutame?
Kui otsustate, et vastus on 5, siis teie varitseti... Ja ülesannet ei arvestata teie jaoks. Nad töötasid asjata ... Õige vastus 3.
Mis viga?! Ja proovite tšekki teha. Asenda tundmatu väärtused väärtuseks originaal näide. Ja kui kell x = 3 kõik kasvab koos meiega imeliselt kokku, saame 9 = 9, siis koos x = 2 nulliga jagamine! Mida ei saa kategooriliselt teha. Tähendab x = 2 ei ole lahendus ja seda ei võeta vastuses arvesse. See on nn kõrvaline või lisajuur. Me lihtsalt viskame selle maha. Lõplik juur on üks. x = 3.
Kuidas nii ?! - Ma kuulen nördinud hüüatusi. Meile õpetati, et võrrandit saab korrutada avaldisega! See on identne ümberkujundamine!
Jah, identsed. Väikese tingimusega - avaldis, millega me korrutame (jagame) - mitte null... A x - 2 kl x = 2 on võrdne nulliga! Nii et kõik on õiglane.
Ja mida ma nüüd teha saan ?! Ära korruta väljendiga? Kas peate iga kord kontrollima? Jällegi pole selge!
Rahulikult! Ärge paanitsege!
Selles keerulises olukorras päästavad meid kolm võlukirja. Ma tean, mida sa mõtled. Õige! seda ODZ ... Lubatud väärtuste vahemik.
Selle matemaatikaprogrammi abil saate ruutvõrrandi lahendamine.
Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid kuvab ka lahendamisprotsessi kahel viisil:
- kasutades diskrimineerijat
- kasutades Vieta teoreemi (võimaluse korral).
Lisaks kuvatakse vastus täpne, mitte ligikaudne.
Näiteks võrrandi \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) korral kuvatakse vastus sellisel kujul:
See programm võib olla kasulik keskkoolide vanematele õpilastele testideks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne eksamit, et vanemad saaksid kontrollida paljude matemaatika- ja algebraülesannete lahendamist. Või äkki on teie jaoks juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või tahad lihtsalt matemaatika või algebra kodutööd võimalikult kiiresti ära teha? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.
Sel viisil saate ise õpetada ja / või oma nooremaid vendi või õdesid õpetada, samal ajal kui haridustase lahendatavate probleemide valdkonnas tõuseb.
Kui te ei tunne ruutpolünoomi sisestamise reegleid, soovitame nendega tutvuda.
Ruutpolünoomi sisestamise reeglid
Muutujana võib kasutada mis tahes ladina tähte.
Näiteks: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.
Numbreid saab sisestada täis- või murdarvudena.
Veelgi enam, murdarvu saab sisestada mitte ainult kümnendkoha, vaid ka tavalise murru kujul.
Kümnendmurdude sisestamise reeglid.
Kümnendmurdude korral saab murdosa tervikust eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks võite sisestada kümnendkohti järgmiselt: 2,5x - 3,5x ^ 2
Tavaliste murdude sisestamise reeglid.
Lugeja, nimetaja ja murdosa terve osa saab kasutada ainult täisarvu.
Nimetaja ei saa olla negatiivne.
Arvmurru sisestamisel eraldatakse lugeja nimetajast jagunemismärgiga: /
Kogu osa eraldatakse murdosast märgiga: &
Sisend: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Tulemus: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
Väljendi sisestamisel saab kasutada sulgusid... Sel juhul ruutvõrrandi lahendamisel lihtsustatakse kõigepealt sisseviidud avaldist.
Näiteks: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)
Otsustama
Leiti, et mõningaid selle probleemi lahendamiseks vajalikke skripte ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Võimalik, et teil on AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.
Lahenduse ilmumiseks peate lubama JavaScripti.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks oma brauseris.
Sest On palju inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast ilmub lahendus allpool.
Palun oota sek ...
Kui sa märkas otsuses viga, siis saate sellest tagasiside vormis kirjutada.
Ära unusta märkige ülesanne teie otsustate ja mida sisestage väljadele.
Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:
Natuke teooriat.
Ruutvõrrand ja selle juured. Mittetäielikud ruutvõrrandid
Iga võrrand
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
on vorm
\ (kirves ^ 2 + bx + c = 0, \)
kus x on muutuja, a, b ja c on arvud.
Esimeses võrrandis a = -1, b = 6 ja c = 1,4, teises a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmandas a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Selliseid võrrandeid nimetatakse ruutvõrrandid.
Määratlus.
Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned numbrid ja \ (a \ neq 0 \).
Arvud a, b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid. Arvu a nimetatakse esimeseks koefitsiendiks, numbrit b - teiseks koefitsiendiks ja arvu c - vabaks tähtajaks.
Vormi ax 2 + bx + c = 0 igas võrrandis, kus \ (a \ neq 0 \) on muutuja x suurim võimsus ruut. Sellest ka nimi: ruutvõrrand.
Pange tähele, et ruutvõrrandit nimetatakse ka teise astme võrrandiks, kuna selle vasak külg on teise astme polünoom.
Nimetatakse ruutvõrrand, milles koefitsient x 2 on 1 vähendatud ruutvõrrand... Näiteks vähendatud ruutvõrrandid on võrrandid
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)
Kui ruutvõrrandis ax 2 + bx + c = 0 on vähemalt üks koefitsientidest b või c võrdne nulliga, siis nimetatakse sellist võrrandit mittetäielik ruutvõrrand... Niisiis, võrrandid -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 on mittetäielikud ruutvõrrandid. Esimeses neist b = 0, teises c = 0, kolmandas b = 0 ja c = 0.
Mittetäielikke ruutvõrrandeid on kolme tüüpi:
1) kirves 2 + c = 0, kus \ (c \ neq 0 \);
2) kirves 2 + bx = 0, kus \ (b \ neq 0 \);
3) kirves 2 = 0.
Vaatleme iga seda tüüpi võrrandite lahendust.
Vormi ax 2 + c = 0 mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamiseks \ (c \ neq 0 \) jaoks kandke selle vaba termin paremale küljele ja jagage võrrandi mõlemad küljed a -ga:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ paremnool x_ (1,2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)
Kuna \ (c \ neq 0 \), siis \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Kui \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), siis on võrrandil kaks juurt.
Kui \ (- \ frac (c) (a) Vormi ax 2 + bx = 0 mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamiseks \ (b \ neq 0 \) teguriga vasakpoolne teguriteks ja saada võrrand
\ (x (kirv + b) = 0 \ paremnool \ vasak \ (\ algus (massiiv) (l) x = 0 \ kirves + b = 0 \ lõpp (massiiv) \ parem. \ Paremnool \ vasak \ (\ algus [massiiv] (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ lõpp (massiiv) \ parem. \)
Seega on vormil ax 2 + bx = 0 mittetäielikul ruutvõrrandil \ (b \ neq 0 \) alati kaks juurt.
Vormi ax 2 = 0 mittetäielik ruutvõrrand võrdub võrrandiga x 2 = 0 ja seetõttu on sellel unikaalne juur 0.
Ruutvõrrandi juurte valem
Mõelgem nüüd, kuidas lahendatakse ruutvõrrandid, milles nii tundmatute kui ka vabaterminite koefitsiendid on nullid.
Lahendame ruutvõrrandi üldisel kujul ja selle tulemusena saame juurte valemi. Seejärel saab seda valemit rakendada mis tahes ruutvõrrandi lahendamiseks.
Lahendage ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0
Jagades selle mõlemad osad a -ga, saame samaväärse vähendatud ruutvõrrandi
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)
Teisendame selle võrrandi, valides binoomi ruudu:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ vasak (\ frac (b) (2a) \ parem) ^ 2- \ vasak (\ frac (b) (2a) \ parem) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ paremnool \)
Radikaalset väljendit nimetatakse ruutvõrrandi diskrimineerija kirves 2 + bx + c = 0 (ladina keeles "diskrimineerija" on diskrimineerija). Seda tähistatakse tähega D, s.t.
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Nüüd, kasutades diskrimineerija märget, kirjutame ruutvõrrandi juurte valemi ümber:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), kus \ (D = b ^ 2-4ac \)
On ilmne, et:
1) Kui D> 0, on ruutvõrrandil kaks juurt.
2) Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil üks juur \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Kui D Seega, sõltuvalt diskrimineerija väärtusest, võib ruutvõrrandil olla kaks juurt (D> 0), üks juur (D = 0) või mitte juured (D puhul ruutvõrrandi lahendamisel valemiga on soovitatav toimida järgmiselt:
1) arvuta diskrimineerija ja võrdle seda nulliga;
2) kui diskrimineerija on positiivne või võrdne nulliga, siis kasuta juurvalemit, kui diskrimineerija on negatiivne, siis kirjuta üles, et juuri pole.
Vieta teoreem
Antud ruutvõrrandil ax 2 -7x + 10 = 0 on juured 2 ja 5. Juurte summa on 7 ja korrutis on 10. Näeme, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidisega märk ja juurte produkt on võrdne vaba terminiga. See omadus on igal ruutvõrrandil, millel on juured.
Antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis võrdub vabaterminiga.
Need. Vieta teoreem väidab, et redutseeritud ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 juurtel x 1 ja x 2 on omadus:
\ (\ vasakule \ (\ algus (massiiv) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ lõpp (massiiv) \ parem. \)
Füüsika ja matemaatika erinevate ülesannete lahendamisel ilmnevad sageli ruutvõrrandid. Selles artiklis vaatleme, kuidas neid võrdsusi universaalsel viisil "diskrimineerija kaudu" lahendada. Artiklis on toodud ka näiteid saadud teadmiste kasutamisest.
Millistest võrranditest me räägime?
Alloleval joonisel on kujutatud valem, milles x on tundmatu muutuja ja ladina sümbolid a, b, c tähistavad mõningaid teadaolevaid numbreid.
Kõiki neid sümboleid nimetatakse koefitsiendiks. Nagu näete, on ruutmuutuja x ees number "a". See on esitatud avaldise maksimaalne võimsus, mistõttu seda nimetatakse ruutvõrrandiks. Sageli kasutatakse selle teist nime: teise järgu võrrand. Väärtus a ise on ruutkoefitsient (tähistab muutujat ruudus), b on lineaarne koefitsient (see asub esimese astmeni tõstetud muutuja kõrval) ja lõpuks on arv c vaba termin.
Pange tähele, et ülaltoodud joonisel näidatud võrrandi vorm on tavaline klassikaline ruutväljend. Lisaks sellele on ka teisi teise järgu võrrandeid, milles koefitsiendid b, c võivad olla nullid.
Kui probleem esitatakse kaalutud võrdsuse lahendamiseks, tähendab see, et tuleb leida muutuja x sellised väärtused, mis seda rahuldaksid. Siin tuleb kõigepealt meeles pidada järgmist: kuna x -i maksimaalne aste on 2, ei saa seda tüüpi avaldistel olla rohkem kui 2 lahendust. See tähendab, et kui võrrandi lahendamisel leiti 2 x -i vastavat väärtust, mis seda rahuldavad, siis võite olla kindel, et kolmandat numbrit pole, asendades selle x -i asemel, oleks ka võrdsus tõene. Matemaatika võrrandi lahendusi nimetatakse juurteks.
Teise järgu võrrandite lahendamise meetodid
Seda tüüpi võrrandite lahendamine eeldab nende kohta mõne teooria tundmist. Koolialgebra kursusel käsitletakse 4 erinevat lahendamismeetodit. Loetleme need:
- faktoriseerimise kasutamine;
- kasutades täisruudu valemit;
- rakendades vastava ruutfunktsiooni graafikut;
- kasutades diskrimineerimisvõrrandit.
Esimese meetodi eeliseks on selle lihtsus, kuid seda ei saa rakendada kõigi võrrandite puhul. Teine meetod on universaalne, kuid mõnevõrra tülikas. Kolmas meetod on märkimisväärne oma selguse poolest, kuid see pole alati mugav ja rakendatav. Ja lõpuks, diskrimineerimisvõrrandi kasutamine on universaalne ja üsna lihtne viis absoluutselt igasuguse teise järgu võrrandi juurte leidmiseks. Seetõttu kaalume artiklis seda ainult.
Valem võrrandi juurte saamiseks
Pöördume ruutvõrrandi üldkuju poole. Kirjutame selle üles: a * x² + b * x + c = 0. Enne selle "diskrimineerija" kaudu lahendamise meetodi kasutamist tuleks võrdsus alati taandada kirjalikule vormile. See tähendab, et see peab koosnema kolmest terminist (või vähem, kui b või c on 0).
Näiteks kui on olemas avaldis: x² -9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², peate esmalt viima kõik selle terminid võrdsuse ühele küljele ja lisama muutujat x sisaldavad tingimused samad volitused.
Sel juhul toob see toiming kaasa järgmise avaldise: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, mis on võrdne võrrandiga 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (siin korrutasime vasaku ja võrdsuse paremad küljed -1) ...
Ülaltoodud näites on a = 6, b = 4, c = -8. Pange tähele, et kõik käsitletava võrdsuse tingimused summeeritakse alati omavahel, nii et kui ilmub märk "-", tähendab see, et vastav koefitsient on negatiivne, nagu ka antud juhul number c.
Olles seda punkti uurinud, pöördume nüüd valemi enda poole, mis võimaldab saada ruutvõrrandi juuri. Sellel on alloleval fotol näidatud vorm.
Nagu sellest väljendist näete, võimaldab see teil saada kaks juurt (peaksite pöörama tähelepanu märgile "±"). Selleks piisab koefitsientide b, c ja a asendamisest.
Diskrimineeriv kontseptsioon
Eelmises lõigus esitati valem, mis võimaldab teil kiiresti lahendada mis tahes teise järgu võrrandi. Selles nimetatakse radikaalset väljendit diskrimineerijaks, see tähendab D = b²-4 * a * c.
Miks on see valemi osa esile tõstetud ja sellel on isegi oma nimi? Fakt on see, et diskrimineerija ühendab kõik kolm võrrandi koefitsienti üheks avaldiseks. Viimane asjaolu tähendab, et see sisaldab täielikult teavet juurte kohta, mida saab väljendada järgmises loendis:
- D> 0: võrdsusel on 2 erinevat lahendust, mis mõlemad on reaalarvud.
- D = 0: võrrandil on ainult üks juur ja see on reaalarv.
Diskrimineerija määramise ülesanne
Toome lihtsa näite, kuidas diskrimineerijat leida. Olgu antud järgmine võrdsus: 2 * x²-4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
Toome selle standardvormi, saame: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (-4-7) = 0, kust jõuame võrdsuseni : -2 * x² + 2 * x -11 = 0. Siin a = -2, b = 2, c = -11.
Nüüd saate diskrimineerija jaoks kasutada valemit: D = 2² - 4 * ( - 2) * ( - 11) = -84. Saadud number on vastus ülesandele. Kuna näite diskrimineerija on väiksem kui null, siis võime öelda, et sellel ruutvõrrandil pole tegelikke juuri. Tema lahenduseks on ainult keerulised numbrid.
Näide ebavõrdsusest diskrimineerija kaudu
Lahendame veidi teist tüüpi probleeme: arvestades võrdsust -3 * x² -6 * x + c = 0. On vaja leida sellised c väärtused, mille puhul D> 0.
Sel juhul on teada ainult 2 koefitsienti 3 -st, seega ei saa diskrimineerija täpset väärtust arvutada, kuid on teada, et see on positiivne. Kasutame ebavõrdsuse koostamisel viimast fakti: D = (-6) ²-4 * (-3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Saadud ebavõrdsuse lahendus viib tulemuseni: c> -3.
Kontrollime saadud numbrit. Selleks arvutage D 2 juhul: c = -2 ja c = -4. Arv -2 rahuldab saadud tulemuse (-2> -3), vastava diskrimineerija väärtus on: D = 12> 0. Arv -4 omakorda ei rahulda ebavõrdsust (-4 Seega täidavad kõik tingimused c, mis on suuremad kui -3, tingimuse.
Näide võrrandi lahendamisest
Esitame probleemi, mis seisneb mitte ainult diskrimineerija leidmises, vaid ka võrrandi lahendamises. Peate leidma võrdsuse juured -2 * x² + 7-9 * x = 0.
Selles näites on diskrimineerija võrdne järgmise väärtusega: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Seejärel määratletakse võrrandi juured järgmiselt: x = (9 ± √137) / (- 4). Need on juurte täpsed väärtused, kui arvutada ligikaudne juur, siis saate arvud: x = -5,176 ja x = 0,676.
Geomeetriline probleem
Lahendame probleemi, mis nõuab mitte ainult oskust arvutada diskrimineerijat, vaid ka abstraktse mõtlemise oskuste kasutamist ja teadmisi ruutvõrrandite koostamise kohta.
Bobil oli 5 x 4 meetrine tekk. Poiss soovis perimeetri ümber õmmelda pideva ilusa kanga riba. Kui paks see riba saab, kui Bobil on teadaolevalt 10 m² kangast.
Kui riba paksus on xm, siis kanga pindala piki teki pikemat külge on (5 + 2 * x) * x ja kuna on 2 pikka külge, on meil: 2 * x * (5 + 2 * x). Lühikesel küljel on õmmeldud kanga pindala 4 * x, kuna neid külgi on 2, saame väärtuse 8 * x. Pange tähele, et pikale küljele on lisatud 2 * x, kuna teki pikkus on selle arvu võrra suurenenud. Tekile õmmeldud kanga kogupindala on 10 m². Seetõttu saame võrdsuse: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
Selle näite puhul on diskrimineerija: D = 18²-4 * 4 * (-10) = 484. Selle juur on 22. Valemit kasutades leiame vajalikud juured: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Ilmselgelt sobib kahest juurest probleemiarvuga ainult number 0.5.
Seega on kangariba, mille Bob oma teki külge õmbleb, 50 cm lai.
Lihtsamal viisil. Selleks võtke sulgudest välja z. Saate: z (аz + b) = 0. Tegurid saab kirjutada: z = 0 ja аz + b = 0, kuna mõlemad võivad põhjustada nulli. Märkuses az + b = 0 liigutame teise parema teise märgiga. Seega saame z1 = 0 ja z2 = -b / a. Need on originaali juured.
Kui vormis аz² + с = 0 on mittetäielik võrrand, leitakse need sel juhul lihtsalt vabatermini ülekandmisega võrrandi paremale poolele. Samuti muutke selle tegemisel selle märki. Tulemuseks on az² = -с. Väljendage z² = -c / a. Võtke juur ja kirjutage üles kaks lahendust - positiivne ja negatiivne ruutjuur.
Märge
Kui võrrandis on murdkoefitsiente, korrutage kogu võrrand sobiva teguriga, nii et murdudest vabanete.
Teadmised ruutvõrrandite lahendamisest on vajalikud nii kooliõpilastele kui ka õpilastele, mõnikord võib see aidata ka täiskasvanut igapäevaelus. Lahendusmeetodeid on mitmeid.
Ruutvõrrandite lahendamine
Vormi a * x ^ 2 + b * x + c = 0 ruutvõrrand. Koefitsient x on soovitud muutuja, a, b, c on arvkoefitsiendid. Pidage meeles, et "+" märk võib muutuda "-" märgiks.Selle võrrandi lahendamiseks on vaja kasutada Vieta teoreemi või leida diskrimineerija. Kõige tavalisem viis on diskrimineerija leidmine, kuna mõne a, b, c väärtuse puhul ei ole Vieta teoreemi võimalik kasutada.
Diskrimineerija (D) leidmiseks peate kirjutama valemi D = b ^ 2 - 4 * a * c. D väärtus võib olla suurem, väiksem või võrdne nulliga. Kui D on suurem või väiksem kui null, siis on kaks juurt, kui D = 0, siis jääb ainult üks juur, täpsemalt võime öelda, et D -l on sel juhul kaks samaväärset juuri. Ühendage teadaolevad koefitsiendid a, b, c valemisse ja arvutage väärtus.
Kui olete diskrimineerija leidnud, kasutage x leidmiseks valemeid: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, kus sqrt on funktsioon antud arvu ruutjuure eraldamiseks. Pärast nende avaldiste arvutamist leiate võrrandist kaks juurt, mille järel võrrand loetakse lahendatuks.
Kui D on väiksem kui null, siis on sellel ikkagi juured. Koolis seda lõiku praktiliselt ei õpita. Ülikooli üliõpilased peaksid teadma, et juure ilmub negatiivne arv. Nad vabanevad sellest, tuues esile kujuteldava osa, st -1 juure all on alati võrdne kujuteldava elemendiga "i", mis korrutatakse sama positiivse numbriga juurega. Näiteks kui D = sqrt (-20), selgub pärast teisendamist D = sqrt (20) * i. Pärast seda teisendamist redutseeritakse võrrandi lahendus samale juurte leidmisele, nagu eespool kirjeldatud.
Vieta teoreem on valida väärtused x (1) ja x (2). Kasutatakse kahte identset võrrandit: x (1) + x (2) = -b; x (1) * x (2) = c. Veelgi enam, väga oluline punkt on märk koefitsiendi b ees, pidage meeles, et see märk on võrrandis olevale vastupidine. Esmapilgul tundub, et x (1) ja x (2) on väga lihtne arvutada, kuid lahendades seisate silmitsi tõsiasjaga, et numbrid tuleb valida.
Elemendid ruutvõrrandite lahendamiseks
Matemaatikareeglite kohaselt võib mõned jagada teguriteks: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, kui teil õnnestus see ruutvõrrand matemaatika valemite abil sel viisil teisendada, siis kirjuta vastus julgelt üles. x (1) ja x (2) on võrdsed sulgudes olevate külgnevate koefitsientidega, kuid vastupidise märgiga.Samuti ärge unustage mittetäielikke ruutvõrrandeid. Teil võib mõni termin puudu olla, kui jah, siis on kõik selle koefitsiendid lihtsalt võrdsed nulliga. Kui x ^ 2 või x ees pole midagi, siis on koefitsiendid a ja b võrdsed 1 -ga.
See teema võib esmapilgul tunduda paljude keeruliste valemite tõttu keeruline. Mitte ainult ruutvõrranditel endal on pikad kirjed, vaid ka juured leitakse diskrimineerija kaudu. Kokku on kolm uut valemit. Seda pole lihtne meelde jätta. See on võimalik alles pärast selliste võrrandite sagedast lahendamist. Siis jäävad kõik valemid iseenesest meelde.
Ruutvõrrandi üldvaade
Siin pakutakse nende selgesõnalist salvestamist, kui kõigepealt registreeritakse kõrgeim aste ja seejärel kahanevas järjekorras. Sageli tuleb ette olukordi, kus tingimused on korrast ära. Siis on parem võrrand ümber kirjutada muutuja astme kahanevas järjekorras.
Tutvustame märget. Need on esitatud allolevas tabelis.
Kui aktsepteerime neid tähiseid, vähendatakse kõik ruutvõrrandid järgmisele kirjele.
Veelgi enam, koefitsient a ≠ 0. Olgu see valem tähistatud numbriga üks.
Kui võrrand on antud, pole selge, mitu juurt vastuses on. Kuna üks kolmest võimalusest on alati võimalik:
- lahuses on kaks juurt;
- vastus on üks number;
- võrrandil pole juure üldse.
Ja kuni otsus pole lõpuni viidud, on raske mõista, milline variantidest konkreetsel juhul välja kukub.
Ruutvõrrandite kirjete tüübid
Ülesanded võivad sisaldada erinevaid kirjeid. Need ei näe alati välja nagu üldine ruutvõrrand. Mõnikord puuduvad sellel mõned terminid. Eespool kirjutatu on täielik võrrand. Kui eemaldate selle teise või kolmanda termini, saate midagi muud. Neid kirjeid nimetatakse ka ruutvõrranditeks, ainult mittetäielikuks.
Pealegi võivad kaduda ainult terminid, milles koefitsiendid "b" ja "c". Arv "a" ei tohi mingil juhul olla null. Sest sel juhul muutub valem lineaarvõrrandiks. Mittetäieliku võrrandivormi valemid on järgmised:
Niisiis on ainult kahte tüüpi, peale täieliku, on ka mittetäielikke ruutvõrrandeid. Olgu esimene valem number kaks ja teine number kolm.
Diskrimineeriv ja juurte arvu sõltuvus selle väärtusest
Võrrandi juurte arvutamiseks peate seda numbrit teadma. Seda saab alati arvutada, olenemata ruutvõrrandi valemist. Diskrimineerija arvutamiseks peate kasutama allpool kirjutatud võrdsust, mille number on neli.
Pärast koefitsientide väärtuste asendamist selle valemiga saate erinevate märkidega numbreid. Kui vastus on jaatav, on vastus võrrandile kaks erinevat juurt. Kui arv on negatiivne, puuduvad ruutvõrrandi juured. Kui see on null, on vastus üks.
Kuidas lahendatakse täielik ruutvõrrand?
Tegelikult on selle teema kaalumine juba alanud. Sest kõigepealt peate leidma diskrimineerija. Kui on leitud, et ruutvõrrandi juured on olemas ja nende arv on teada, peate muutujate jaoks kasutama valemeid. Kui on kaks juurt, peate selle valemi rakendama.
Kuna see sisaldab märki „±”, on sellel kaks väärtust. Ruutjuure avaldis on diskrimineerija. Seetõttu saab valemit teisiti ümber kirjutada.
Valem number viis. Sama kirje näitab, et kui diskrimineerija on null, siis võtavad mõlemad juured samu väärtusi.
Kui ruutvõrrandite lahendus pole veel välja töötatud, siis on parem enne diskrimineeriva ja muutuva valemi rakendamist kõigi koefitsientide väärtused kirja panna. Hiljem see hetk raskusi ei tekita. Aga kohe alguses on segadus.
Kuidas lahendatakse mittetäielik ruutvõrrand?
Siin on kõik palju lihtsam. Täiendavaid valemeid pole isegi vaja. Ja te ei vaja neid, mis on diskrimineerija ja tundmatu jaoks juba salvestatud.
Esiteks kaaluge mittetäielikku võrrandit number kaks. Selles võrdsuses peaks see tundmatu koguse sulust välja võtma ja lahendama sulgudes oleva lineaarvõrrandi. Vastusel on kaks juurt. Esimene on tingimata võrdne nulliga, kuna on olemas tegur, mis koosneb muutujast endast. Teine saadakse lineaarvõrrandi lahendamisega.
Mittetäielik võrrand number kolm lahendatakse, kandes arvu võrrandi vasakult küljelt paremale. Siis peate jagama teguriga tundmatu ees. Jääb vaid ruutjuur välja võtta ja meeles pidada, et kirjutate selle kaks korda vastandlike märkidega üles.
Järgmisena kirjutatakse mõned toimingud, mis aitavad teil õppida lahendama kõikvõimalikke võrrandeid, mis muutuvad ruutvõrranditeks. Need aitavad õpilasel hooletuid vigu vältida. Need puudused on põhjuseks kehvadele hinnetele, kui uuritakse ulatuslikku teemat "Ruutvõrrandid (8. klass)". Seejärel ei pea neid toiminguid pidevalt tegema. Sest ilmub stabiilne oskus.
- Esiteks peate võrrandi standardvormis kirjutama. See tähendab, et kõigepealt on muutuja kõrgeima astmega termin ja seejärel - ilma kraadita ja viimane - lihtsalt number.
- Kui koefitsiendi "a" ette ilmub miinus, võib see algaja töö raskendada ruutvõrrandite uurimisel. Parem on sellest lahti saada. Selleks tuleb kogu võrdsus korrutada "-1" -ga. See tähendab, et kõik tingimused muudavad oma märgi vastupidiseks.
- Samamoodi on soovitatav murdudest lahti saada. Nimetajate tühistamiseks korrutage võrrand lihtsalt sobiva teguriga.
Näited
See on vajalik järgmiste ruutvõrrandite lahendamiseks:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
Esimene võrrand: x 2 - 7x = 0. See on puudulik, seetõttu lahendatakse see nii, nagu on kirjeldatud valemi number kaks puhul.
Pärast sulgudest lahkumist selgub: x (x - 7) = 0.
Esimene juur võtab väärtuse: x 1 = 0. Teine leitakse lineaarvõrrandist: x - 7 = 0. On lihtne näha, et x 2 = 7.
Teine võrrand: 5x 2 + 30 = 0. Jällegi puudulik. Ainult see lahendatakse, nagu on kirjeldatud kolmanda valemi puhul.
Pärast 30 ülekandmist võrdsuse paremale küljele: 5x 2 = 30. Nüüd peate jagama 5 -ga. Selgub: x 2 = 6. Vastused on numbrid: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Kolmas võrrand: 15 - 2x - x 2 = 0. Edaspidi algab ruutvõrrandite lahendamine nende ümberkirjutamisega standardvormis: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nüüd on aeg kasutada teist kasulikku nõu ja korrutage kõik miinus ühega ... Selgub x 2 + 2x - 15 = 0. Neljanda valemi järgi peate arvutama diskrimineerija: D = 2 2 - 4 * ( - 15) = 4 + 60 = 64. See on positiivne arv. Eespool öeldust selgub, et võrrandil on kaks juurt. Neid tuleb arvutada viienda valemi abil. Selgub, et x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Siis x 1 = 3, x 2 =-5.
Neljas võrrand x 2 + 8 + 3x = 0 teisendatakse selliseks: x 2 + 3x + 8 = 0. Selle diskriminant on võrdne selle väärtusega: -23. Kuna see arv on negatiivne, vastatakse sellele ülesandele järgmine kirje: "Juured puuduvad."
Viies võrrand 12x + x 2 + 36 = 0 tuleks ümber kirjutada järgmiselt: x 2 + 12x + 36 = 0. Pärast valemi rakendamist diskrimineerijale saadakse arv null. See tähendab, et sellel on üks juur, nimelt: x = -12 / (2 * 1) = -6.
Kuues võrrand (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) nõuab teisendusi, mis seisnevad selles, et peate enne sulgude avamist kaasa tooma sarnased terminid. Esimese asemel on selline avaldis: x 2 + 2x + 1. Pärast võrdsust ilmub see kirje: x 2 + 3x + 2. Pärast selliste terminite loendamist on võrrand järgmine: x 2 - x = 0. See muutus mittetäielikuks ... Midagi sarnast on juba peetud pisut kõrgemaks. Selle juured on numbrid 0 ja 1.
Laadimine ...