Jagamisoskuste kasutamine lihtsustab arvutusi ja suurendab proportsionaalselt nende täitmise kiirust. Analüüsime üksikasjalikult peamist omadust jagatavustunnused.
Kõige sirgjoonelisem jagatavuse kriteerium ühikut: kõik arvud jaguvad ühega. See on sama elementaarne ja jaguvuse tunnustega kaks, viis, kümme. Paarisarvu saab jagada kahega või ühe, mille lõppnumber on 0, viiega – arvu, mille lõppnumber on 5 või 0. Kümnega jagatakse ainult need arvud, mille lõppnumber on 0. 100 - ainult need numbrid, mille kaks viimast numbrit on nullid, sisse lülitatud 1000 - ainult need, millel on kolm lõplikku nulli.
Näiteks:
Arvu 79516 saab jagada 2-ga, kuna see lõpeb paarisarvuga 6; 9651 ei jagu 2-ga, kuna 1 on paaritu number; 1790 jagub 2-ga, kuna viimane number on null. 3470 jagatakse 5-ga (lõplik number on 0); 1054 ei jagu 5-ga (lõplik 4). 7800 jagatakse 10 ja 100-ga; 542000 jagub 10, 100, 1000-ga.
Vähem tuntud, kuid väga lihtsalt kasutatav omadus jagatavustunnused peal 3 ja 9 , 4 , 6 ja 8, 25 . Samuti on iseloomulikud tunnused jagatavusele 7, 11, 13, 17, 19 ja nii edasi, kuid praktikas kasutatakse neid palju harvemini.
3-ga ja 9-ga jagamise iseloomulik tunnus.
peal kolm ja/või edasi üheksa ilma jäägita jagatakse need arvud, mille numbrite liitmise tulemus on kolme ja/või üheksa kordne.
Näiteks:
Arv 156321, liitmise tulemus 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 jagatakse vastavalt 3-ga ja jagatakse 9-ga, arvu enda saab jagada 3 ja 9-ga. Arvu 79123 ei saa jagatud kas 3 või 9-ga, nii et selle numbrite summa (22) ei jagu nende arvudega.
Iseloomulik tunnus 4, 8, 16 ja nii edasi jagamisel.
Arvu saab ilma jäägita jagada arvuga neli, kui selle kaks viimast numbrit on nullid või on arv, mida saab jagada 4-ga. Kõigil muudel juhtudel ei ole jäägita jagamine võimalik.
Näiteks:
Arv 75300 jagub 4-ga, kuna kaks viimast numbrit on nullid; 48834 ei jagu 4-ga, sest kaks viimast numbrit annavad 34, mis ei jagu 4-ga; 35908 jagub 4-ga, kuna 08 kaks viimast numbrit annavad arvu 8, mis jagub 4-ga.
Sarnane põhimõte on rakendatav ka jagavuse kriteeriumile kaheksa. Arv jagub kaheksaga, kui selle kolm viimast numbrit on nullid või moodustavad 8-ga jaguva arvu. Vastasel juhul ei ole jagamisel saadud jagatis täisarv.
Samad omadused jagamiseks 16, 32, 64 jne, kuid igapäevases andmetöötluses neid ei kasutata.
6-ga jaguvuse iseloomulik tunnus.
Arv jagub arvuga kuus, kui see jagub nii kahe kui ka kolmega, on kõigi muude võimaluste korral jagamine ilma jäägita võimatu.
Näiteks:
126 jagub 6-ga, kuna jagub nii 2-ga (lõplik paarisarv on 6) kui ka 3-ga (numbrite 1 + 2 + 6 = 9 summa jagub kolmega)
7-ga jaguvuse iseloomulik tunnus.
Arv jagub arvuga seitse kui selle kahekordse viimase arvu ja "ilma viimase numbrita jäänud arvu" vahe jagub seitsmega, siis arv ise jagub seitsmega.
Näiteks:
Arv on 296492. Võtke viimane number "2", kahekordistage, välja tuleb 4. Lahutage 29649 - 4 = 29645. Probleemne on välja selgitada, kas see jagub 7-ga, seetõttu analüüsitakse uuesti. Järgmiseks kahekordistame viimase numbri "5", välja tuleb 10. Lahutame 2964 - 10 = 2954. Tulemus on sama, pole selge, kas see jagub 7-ga, seetõttu jätkame analüüsi. Analüüsime viimase numbriga "4", topelt, välja tuleb 8. Lahutage 295 - 8 = 287. Võrdleme kahtesada kaheksakümmend seitset - see ei jagu 7-ga, sellega seoses jätkame otsingut. Analoogia põhjal tuleb kahekordselt viimane number "7" välja 14. Lahutage 28 - 14 \u003d 14. Arv 14 jagub 7-ga, seega jagub algne arv 7-ga.
11-ga jaguvuse iseloomulik tunnus.
peal üksteist jaguvad ainult need arvud, mille puhul paaritutesse kohtadesse paigutatud numbrite liitmise tulemus on kas võrdne paariskohtadele pandud numbrite summaga või erineb üheteistkümnega jaguva arvuga.
Näiteks:
Arv 103 785 jagub 11-ga, kuna paaritutes kohtades olevate numbrite summa 1 + 3 + 8 = 12 võrdub paariskohtade numbrite summaga 0 + 7 + 5 = 12. Arv 9 163 627 on jagub 11-ga, kuna paaritutes kohtades olevate numbrite summa on 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ja paariskohtade numbrite summa on 1 + 3 + 2 = 6; arvude 28 ja 6 vahe on 22 ja see arv jagub 11-ga. Arv 461 025 ei jagu 11-ga, kuna arvud 4 + 1 + 2 = 7 ja 6 + 0 + 5 = 11 ei võrdu üksteist ja nende erinevus 11 - 7 = 4 ei jagu 11-ga.
25-ga jaguvuse iseloomulik tunnus.
peal kakskümmend viis jagab numbreid, mille kaks viimast numbrit on nullid, või moodustab arvu, mida saab jagada kahekümne viiega (st numbrid, mis lõpevad numbritega 00, 25, 50 või 75). Muudel juhtudel ei saa arvu täielikult 25-ga jagada.
Näiteks:
9450 jagub 25-ga (lõpeb 50-ga); 5085 ei jagu 25-ga.
Naturaalarvude jagamise lihtsustamiseks tuletati esimese kümne arvudega jagamise reeglid ning arvud 11, 25, mis liidetakse osaks naturaalarvude jaguvuse märgid. Allpool on toodud reeglid, mille järgi arvu analüüs ilma seda teise naturaalarvuga jagamata annab vastuse küsimusele, kas naturaalarv on arvude 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 ja kordne. natuke ühikut?
Naturaalarve, mille esimeses numbris on numbrid (lõpevad) 2,4,6,8,0, nimetatakse paarisarvudeks.
Arvude jaguvuse märk 2-ga
Kõik paaris naturaalarvud jaguvad 2-ga, näiteks: 172, 94,67 838, 1670.
Arvude jaguvuse märk 3-ga
Kõik naturaalarvud jaguvad 3-ga, mille numbrite summa on 3-kordne. Näiteks:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Arvude jaguvuse märk 4-ga
Kõik naturaalarvud jaguvad 4-ga, mille kaks viimast numbrit on nullid või 4 kordne. Näiteks:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Arvude jaguvuse märk 5-ga
Arvude jaguvuse märk 6-ga
Need naturaalarvud, mis jaguvad korraga 2 ja 3-ga, jaguvad 6-ga (kõik paarisarvud, mis jaguvad 3-ga). Näiteks: 126 (b – paaris, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Arvude jaguvuse märk 9-ga
Need naturaalarvud jaguvad 9-ga, mille numbrite summa on 9-kordne. Näiteks:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Arvude jaguvuse märk 10-ga
Arvude jaguvuse märk 11-ga
11-ga jaguvad ainult need naturaalarvud, milles paariskohal olevate numbrite summa on võrdne paaritutel kohtadel olevate numbrite summaga või paaritute kohtade numbrite summa ja paariskohtade numbrite summa vahega on 11 kordne. Näiteks:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 ja 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 ja 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Arvude jaguvuse märk 25-ga
Need naturaalarvud jaguvad 25-ga, mille kaks viimast numbrit on nullid või 25 kordsed. Näiteks:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Arvude jaguvuse märk bitiühikuga
Need naturaalarvud jagatakse bitiühikuteks, milles nullide arv on suurem või võrdne bitiühiku nullide arvuga. Näiteks: 12 000 jagub 10, 100 ja 1000-ga.
Jätkub artiklisari jaguvuse märkidest 3-ga jaguvuse märk. See artikkel annab kõigepealt 3-ga jaguvuse kriteeriumi sõnastuse ning toob näiteid selle kriteeriumi rakendamisest, et selgitada välja, millised antud täisarvudest jaguvad 3-ga ja millised mitte. Lisaks esitatakse 3-ga jaguvustesti tõestus. Vaadeldakse ka lähenemisviise mõne avaldise väärtusena antud arvu jaguvuse 3-ga määramiseks.
Leheküljel navigeerimine.
3-ga jaguvuse märk, näited
Alustame sellest 3-ga jaguvuse testi sõnastused: täisarv jagub 3-ga, kui tema numbrite summa jagub 3-ga, kui tema numbrite summa ei jagu 3-ga, siis arv ise ei jagu 3-ga.
Ülaltoodud sõnastusest on selge, et 3-ga jaguvuse märki ei saa kasutada ilma naturaalarvude liitmise võimaluseta. Samuti peate 3-ga jaguvuse märgi edukaks rakendamiseks teadma, et kõigist ühekohalistest naturaalarvudest on arvud 3, 6 ja 9 jaguvad 3-ga ning arvud 1, 2, 4, 5, 7 ja 8 ei jagu 3-ga.
Nüüd võime kaaluda kõige lihtsamat näiteid 3-ga jaguvuse testi rakendamisest. Uurime, kas arv jagub 3-ga? 42. Selleks arvutame arvu 42 numbrite summa, see võrdub 4+2=6. Kuna 6 jagub 3-ga, siis jaguvuse märgi alusel 3-ga võib väita, et arv 42 jagub ka 3-ga. Kuid positiivne täisarv 71 ei jagu 3-ga, kuna selle numbrite summa on 7+1=8 ja 8 ei jagu 3-ga.
Kas 0 jagub 3-ga? Sellele küsimusele vastamiseks pole 3-ga jaguvuse kriteeriumi vaja, siin tuleb meelde tuletada vastav jaguvuse omadus, mis ütleb, et null jagub mis tahes täisarvuga. Nii et 0 jagub 3-ga.
Mõningatel juhtudel, näitamaks, et antud arv jagub 3-ga või mitte, tuleb 3-ga jaguvuse testi rakendada mitu korda järjest. Võtame näite.
Näidake, et arv 907444812 jagub 3-ga.
907444812 numbrite summa on 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Et teada saada, kas 39 jagub 3-ga, arvutame selle numbrite summa: 3+9=12 . Ja et teada saada, kas 12 jagub 3-ga, leiame arvu 12 numbrite summa, meil on 1+2=3. Kuna saime arvu 3, mis jagub 3-ga, siis tänu jaguvuse märgile 3-ga jagub arv 12 3-ga. Seetõttu jagub 39 3-ga, kuna selle numbrite summa on 12 ja 12 jagub 3-ga. Lõpuks jagub 907333812 3-ga, kuna selle numbrite summa on 39 ja 39 jagub 3-ga.
Materjali koondamiseks analüüsime veel ühe näite lahendust.
Kas arv jagub 3-ga? 543 205?
Arvutame selle arvu numbrite summa: 5+4+3+2+0+5=19 . Arvu 19 numbrite summa on omakorda 1+9=10 , arvu 10 numbrite summa aga 1+0=1 . Kuna saime arvu 1, mis ei jagu 3-ga, siis 3-ga jaguvuse kriteeriumist järeldub, et 10 ei jagu 3-ga. Seetõttu ei jagu 19 3-ga, kuna selle numbrite summa on 10 ja 10 ei jagu 3-ga. Seetõttu ei jagu esialgne arv?543205 3-ga, kuna selle numbrite summa, mis on võrdne 19-ga, ei jagu 3-ga.
Tasub teada, et antud arvu otsene jagamine 3-ga võimaldab järeldada ka seda, kas antud arv jagub 3-ga või mitte. Sellega tahame öelda, et jagamist ei tohiks unarusse jätta jaguvuse märgi kasuks 3-ga. Viimases näites, jagades 543 205 3-ga veeruga, veenduksime, et 543 205 ei jaguks 3-ga, millest võiks öelda, et ka 543 205 ei jagu 3-ga.
3-ga jaguvuse testi tõestus
Arvu a järgmine esitus aitab meil tõestada jaguvuse märki 3-ga. Suvalise naturaalarvu a saame lagundada numbriteks, mille järel 10, 100, 1000 ja nii edasi korrutamise reegel võimaldab saada esituse kujul a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , kus a n , a n?1 , …, a 0 on numbrid arvus a vasakult paremale. Selguse huvides toome sellise esituse näite: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
Nüüd kirjutame üles hulga üsna ilmseid võrdusi: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 ja nii edasi.
Asendades võrrandisse a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 asemel 10 , 100 , 1 000 ja nii edasi avaldised 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 ja nii edasi, saame
.
Naturaalarvude liitmise ja naturaalarvude korrutamise omadused võimaldavad saadud võrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:
Väljendus 
on a numbrite summa. Tähistagem seda lühiduse ja mugavuse huvides tähega A, st aktsepteerime . Seejärel saame vormi arvu a esituse, mida kasutame 3-ga jaguvuse testi tõestamisel.
Samuti vajame 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks järgmisi jaguvuse omadusi:
- selleks, et täisarv a oleks jagatav täisarvuga b, on vajalik ja piisav, et a moodul jagub arvu b mooduliga;
- kui võrdsuses a=s+t on kõik liikmed, välja arvatud mõni, jaguvad mingi täisarvuga b, siis jagub ka see üks liige b-ga.
Nüüd oleme täielikult valmis ja saame teostada 3-ga jaguvuse tõend, sõnastame selle tunnuse mugavuse huvides vajaliku ja piisava tingimusena 3-ga jagamiseks.
Täisarvu a jagumiseks 3-ga on vajalik ja piisav, et selle numbrite summa jagub 3-ga.
A=0 korral on teoreem ilmne.
Kui a erineb nullist, siis a moodul on naturaalarv, siis on võimalik esitus, kus on a numbrite summa.
Kuna täisarvude summa ja korrutis on täisarv, siis on täisarv, siis jaguvuse definitsiooni järgi jagub korrutis 3-ga iga a 0 , a 1 , …, a n korral.
Kui arvu a numbrite summa jagub 3-ga, see tähendab, et A jagub 3-ga, siis on see teoreemi ees näidatud jagatavusomaduse tõttu jagub 3-ga, seega jagub a 3-ga. See tõestab piisavust.
Kui a jagub 3-ga, siis jagub ta ka 3-ga, siis sama jaguvuse omaduse tõttu jagub arv A 3-ga ehk arvu a numbrite summa jagub 3-ga. See tõestab vajalikkust.
Muud 3-ga jagamise juhtumid
Mõnikord on täisarvud määratud mitte eksplitsiitselt, vaid mõne muutujaga avaldise väärtusena muutuja antud väärtuse jaoks. Näiteks mõne loomuliku n avaldise väärtus on naturaalarv. On selge, et sellise arvude täpsustamise korral ei aita otsene 3-ga jagamine nende jaguvust 3-ga kindlaks teha ja 3-ga jaguvuse märki ei saa alati rakendada. Nüüd kaalume mitut lähenemisviisi selliste probleemide lahendamiseks.
Nende lähenemisviiside olemus seisneb selles, et esialgne avaldis esitatakse mitme teguri korrutisena ja kui vähemalt üks teguritest jagub 3-ga, siis on vastava jaguvusomaduse tõttu võimalik järeldada, et kogu korrutis jagub 3-ga.
Mõnikord saab seda lähenemisviisi rakendada Newtoni binoomi abil. Vaatleme näidislahendust.
Kas avaldise väärtus jagub 3-ga iga loomuliku n korral?
Võrdsus on ilmne. Kasutame Newtoni binoomvalemit: 
Viimases avaldises saame sulgudest välja võtta 3 ja saame. Saadud korrutis jagub 3-ga, kuna see sisaldab tegurit 3 ja loomuliku n sulgudes olev avaldise väärtus on naturaalarv. Seetõttu jagub 3-ga iga loomuliku n korral.
Paljudel juhtudel saab jaguvust 3-ga tõestada matemaatilise induktsiooni meetodil. Analüüsime selle rakendamist näite lahendamisel.
Tõesta, et iga loomuliku n korral jagub avaldise väärtus 3-ga.
Tõestuseks kasutame matemaatilise induktsiooni meetodit.
Kui n=1, on avaldise väärtus ja 6 jagub 3-ga.
Oletame, et avaldise väärtus jagub 3-ga, kui n=k, st jagub 3-ga.
Võttes arvesse, et see jagub 3-ga, näitame, et n=k+1 avaldise väärtus jagub 3-ga, st näitame, et 
jagub 3-ga.
Teeme mõned teisendused: 
Avaldis jagatakse 3-ga ja avaldisega 
jagub 3-ga, seega jagub nende summa 3-ga.
Seega tõestas matemaatilise induktsiooni meetod iga loomuliku n jaguvust 3-ga.
Näitame veel üht lähenemist jaguvuse 3-ga tõestusele. Kui näitame, et n=3 m, n=3 m+1 ja n=3 m+2 korral, kus m on suvaline täisarv, on mõne avaldise väärtus (muutujaga n) jagub 3-ga, siis see tõestab avaldise jaguvus 3-ga mis tahes täisarvu n korral. Kaaluge seda lähenemisviisi eelmise näite lahendamisel.
Näidake, mis jagub 3-ga iga loomuliku n korral.
Meil on n=3 m. Saadud korrutis jagub 3-ga, kuna see sisaldab 3-ga jaguvat tegurit 3.
Saadud korrutis jagub samuti 3-ga.
Ja see korrutis jagub 3-ga.
Seetõttu jagub 3-ga iga loomuliku n korral.
Kokkuvõtteks esitame veel ühe näite lahenduse.
Kas avaldise väärtus jagub 3-ga 
mõnele looduslikule n .
Meil on n=1 jaoks. Saadud arvu numbrite summa on 3, seega jaguvuse märk 3-ga võimaldab väita, et see arv jagub 3-ga.
Meil on n=2 jaoks. Numbrite ja selle arvu summa on 3, seega jagub 3-ga.
On selge, et mis tahes muu loomuliku n korral on meil arvud, mille numbrite summa on 3, seetõttu jaguvad need arvud 3-ga.
Sellel viisil, iga loomulik n jagub 3-ga.
www.cleverstudents.ru
Matemaatika, 6. klass, õpik haridusorganisatsioonide õpilastele, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014
Matemaatika, 6. klass, õpik haridusorganisatsioonide õpilastele, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
Õpikus sisalduv teoreetiline materjal on esitatud selliselt, et õpetaja saaks rakendada õppetöös probleemipõhist lähenemist. Noodisüsteemi abil eristatakse nelja keerukusastmega harjutusi. Igas lõigus formuleeritakse kontrollülesanded lähtuvalt sellest, mida õpilased peavad teadma ja suutma saavutada, et jõuda matemaatilise hariduse standardi tasemele. Õpiku lõpus on kodutööd ja vastused. Värvilised illustratsioonid (joonised ja diagrammid) tagavad õppematerjalide kõrge selguse.
Vastab GEF LLC nõuetele.
Ülesanded.
4. Joonistage kolmnurk ABC ja märkige sellest väljapoole punkt O (nagu joonisel 11). Koostage kolmnurga ABC suhtes sümmeetriline kujund punkti O suhtes.
5. Joonistage kolmnurk KMN ja konstrueerige selle kolmnurga suhtes sümmeetriline kujund:
a) selle tipud - punktid M;
b) punktid O - külje MN keskpunktid.
6. Ehitage sümmeetriline kujund:
a) kiir OM punkti O suhtes; pane kirja, milline punkt on sümmeetriline punktiga O;
b) kiir OM suvalise punkti A suhtes, mis ei kuulu sellesse kiiresse;
c) sirge AB punkti O suhtes, mis ei kuulu sellele sirgele;
d) sirge AB sellele sirgele kuuluva punkti O suhtes; pane kirja, milline punkt on sümmeetriline punktiga O.
Igal juhul kirjeldage tsentraalselt sümmeetriliste kujundite suhtelist asukohta.
Sisukord
I peatükk. Positiivsed ja negatiivsed arvud. Koordinaadid
§ 1. Pöörlemine ja kesksümmeetria
§ 2. Positiivsed ja negatiivsed arvud. Koordinaatjoon
§ 3. Arvumoodul. Vastandnumbrid
§ 4. Arvude võrdlus
§ 5. Sirgede paralleelsus
§ 6. Arvulised väljendid, mis sisaldavad märke "+", "-"
§ 7. Algebraline summa ja selle omadused
§ 8. Kahe arvu algebralise summa väärtuse arvutamise reegel
§ 9. Koordinaatjoone punktide vaheline kaugus
§ 10. Telgsümmeetria
§ 11. Numbrivahed
§ 12. Positiivsete ja negatiivsete arvude korrutamine ja jagamine
§ 13. Koordinaadid
§ 14. Koordinaaditasand
§ 15. Harilike murdude korrutamine ja jagamine
§ 16. Kombinatoorsete ülesannete korrutamisreegel
II peatükk. Kirjasõnaliste väljendite teisendamine
§ 17. Klambri laiendamine
§ 18. Väljendite lihtsustamine
§ 19. Võrrandite lahendamine
§ 20. Ülesannete lahendamine võrrandite koostamiseks
§ 21. Kaks põhiprobleemi murdude kohta
§ 22. Ring. Ümbermõõt
§ 23. Ring. Ringi pindala
§ 24. Pall. Kera
III peatükk. Naturaalarvude jaguvus
§ 25. Jagajad ja kordsed
§ 26. Teose jagatavus
§ 27. Arvude summa ja vahe jagatavus
§ 28. 2, 5, 10, 4 ja 25-ga jagamise märgid
§ 29. 3 ja 9-ga jagamise tunnused
§ 30. Algarvud. Arvu lagundamine algteguriteks
§ 31. Suurim ühine jagaja
§ 32. Koalgarvud. Korrutise jagavuse märk. Vähim ühine kordne
IV peatükk. Matemaatika meie ümber
§ 33. Kahe arvu suhe
§ 34. Diagrammid
§ 35. Koguste proportsionaalsus
§ 36. Ülesannete lahendamine proportsioonide abil
§ 37. Mitmesugused ülesanded
§ 38. Esmatutvus "tõenäosuse" mõistega
§ 39. Esmatutvus tõenäosuse arvutamisega
Kodused testid
Projektitegevuste teemad
Vastused
Laadige mugavas vormingus tasuta alla e-raamat ja lugege:
matemaatika
MATEMAATIKA TEATENDUSMATERJAL 1.–6. KLASSILE.
Kallid vanemad! Kui otsite oma lapsele matemaatikaõpetajat, siis see kuulutus on teile. Pakun Skype’i juhendamist: ettevalmistus OGE-ks, ühtne riigieksam, teadmistelünkade kõrvaldamine. Teie eelised on selged:
1) Sinu laps on kodus ja sa saad tema jaoks rahulik olla;
2) Tunnid toimuvad lapsele sobival ajal ja nendes tundides saate isegi osaleda. Seletan lihtsalt ja selgelt tavalisel koolitahvlil.
3) Sa võid ise mõelda muudele olulistele Skype tundide eelistele!
Kirjutage mulle aadressil: või lisage mind kohe Skype'i ja lepime kõiges kokku. Hinnad on taskukohased.
P.S. Tunnid toimuvad 2-4 õpilasega rühmades.
Lugupidamisega Tatjana Jakovlevna Andrjuštšenko on selle saidi autor.
Kallid sõbrad!
Mul on hea meel pakkuda teile tasuta matemaatika teatmematerjalide allalaadimist 5. klass. Laadige alla siit!
Kallid sõbrad!
Pole saladus, et mõnel lapsel on raskusi korrutamise ja pika jagamisega. Enamasti on see tingitud korrutustabeli ebapiisavast tundmisest. Teen ettepaneku õppida korrutustabelit loto abil. Vaata lähemalt siit. Laadi loto alla siit.
Kallid sõbrad! Varsti seisate silmitsi (või olete juba silmitsi seisnud) vajadusega otsustada huvipakkuvaid ülesandeid. Selliseid probleeme hakatakse lahendama 5. klassis ja lõpetades. aga nad ei lõpeta ülesannete lahendamist protsentides! Neid ülesandeid leidub nii kontroll- kui ka eksamitel: nii ülekantavad kui ka OGE ja ühtne riigieksam. Mida teha? Peame õppima, kuidas neid probleeme lahendada. Minu raamat Kuidas lahendada probleeme protsentidega aitab teid selles. Üksikasjad siin!
Numbrite lisamine.
- a+b=c, kus a ja b on liikmed, c on summa.
- Tundmatu termini leidmiseks lahutage summast teadaolev termin.
Arvude lahutamine.
- a-b=c, kus a on minuend, b on alamosa, c on erinevus.
- Tundmatu minuendi leidmiseks tuleb erinevusele lisada alamosa.
- Tundmatu alamosa leidmiseks peate lahutama erinevuse minuendist.
Arvude korrutamine.
- a b=c, kus a ja b on tegurid, c on korrutis.
- Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote teadaoleva teguriga.
Numbrite jaotus.
- a:b=c, kus a on dividend, b on jagaja, c on jagatis.
- Tundmatu dividendi leidmiseks peate jagaja korrutama jagatisega.
- Tundmatu jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.
Liitumise seadused.
- a+b=b+a(nihe: summa ei muutu tingimuste ümberpaigutamisel).
- (a+b)+c=a+(b+c)(assotsiatiivne: kahe liikme summale kolmanda arvu lisamiseks saate esimesele numbrile lisada teise ja kolmanda summa).
Lisatabel.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Korrutamise seadused.
- a b=b a(nihe: tegurite permutatsioon ei muuda korrutist).
- (a b) c=a (b c)(kombinatiiv: kahe arvu korrutise korrutamiseks kolmanda arvuga saate esimese arvu korrutada teise ja kolmanda korrutisega).
- (a+b) c=a c+b c(korrutamise jaotusseadus liitmise suhtes: kahe arvu summa korrutamiseks kolmanda arvuga saab iga liikme selle arvuga korrutada ja tulemused liita).
- (a-b) c=a c-b c(korrutamise jaotusseadus lahutamise suhtes: kahe arvu erinevuse korrutamiseks kolmanda arvuga saate korrutada selle arvuga, mida on vähendatud ja lahutatud, ning lahutada esimesest tulemusest teine).
Korrutustabel.
2 1 = 2; 3 1 = 3; 4 1 = 4; 5 1 = 5; 6 1 = 6; 7 1=7; 8 1 = 8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2 = 6; 4 2=8; 5 2 = 10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3 = 6; 3 3 = 9; 4 3 = 12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3 = 21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4 = 20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5 = 10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5 = 25; 6 5 = 30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6 = 12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6 = 30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7 = 14; 3 7 = 21; 4 7=28; 5 7 = 35; 6 7=42; 7 7 = 49; 8 7=56; 9 7 = 63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9 = 18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9 = 81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10 = 50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
Jagajad ja kordsed.
- jagaja naturaalarv a nimeta naturaalarv, millega a jagatud ilma jäägita. (Arvud 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 on arvu 24 jagajad, kuna 24 jagub igaühega ilma jäägita) 1-mis tahes naturaalarvu jagaja. Mis tahes arvu suurim jagaja on arv ise.
- Mitu naturaalarv b on naturaalarv, mis jagub ilma jäägita arvuga b. (Arvud 24, 48, 72, ... on arvu 24 kordsed, kuna need jaguvad 24-ga ilma jäägita). Mis tahes arvu väikseim kordne on arv ise.
Naturaalarvude jaguvuse märgid.
- Objektide loendamisel kasutatavaid arve (1, 2, 3, 4, ...) nimetatakse naturaalarvudeks. Naturaalarvude kogumit tähistatakse tähega N.
- Numbrid 0, 2, 4, 6, 8 helistas isegi numbrid. Paarisnumbritega lõppevaid arve nimetatakse paarisarvudeks.
- Numbrid 1, 3, 5, 7, 9 helistas kummaline numbrid. Arve, mis lõpevad paaritute numbritega, nimetatakse paarituteks numbriteks.
- Jaguvuse märk arvuga 2. Kõik paarisnumbriga lõppevad naturaalarvud jaguvad 2-ga.
- Jaguvuse märk arvuga 5. Kõik naturaalarvud, mis lõpevad 0 või 5-ga, jaguvad 5-ga.
- Jaguvuse märk arvuga 10. Kõik naturaalarvud, mis lõpevad 0-ga, jaguvad 10-ga.
- Jaguvuse märk arvuga 3. Kui arvu numbrite summa jagub 3-ga, siis arv ise jagub 3-ga.
- Jaguvuse märk arvuga 9. Kui arvu numbrite summa jagub 9-ga, siis arv ise jagub 9-ga.
- Jaguvuse märk arvuga 4. Kui antud arvu kahest viimasest numbrist koosnev arv jagub 4-ga, siis antud arv ise jagub 4-ga.
- Jaguvuse märk arvuga 11. Kui paaritutes kohtades olevate numbrite summa ja paariskohtade numbrite summa vahe jagub 11-ga, siis arv ise jagub 11-ga.
- Algarv on arv, millel on ainult kaks jagajat: üks ja arv ise.
- Liitarv on arv, millel on rohkem kui kaks jagajat.
- Arv 1 ei ole alg- ega liitarv.
- Liitarvu kirjutamist ainult algarvude korrutisena nimetatakse liitarvu arvestamiseks algteguriteks. Iga liitarvu saab üheselt esitada algtegurite korrutisena.
- Antud naturaalarvude suurim ühisjagaja on suurim naturaalarv, millega kõik need arvud jaguvad.
- Nende arvude suurim ühisjagaja on võrdne nende arvude laienduste ühiste algtegurite korrutisega. Näide. GCD(24, 42)=2 3=6, kuna 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, on nende ühised algtegurid 2 ja 3.
- Kui naturaalarvudel on ainult üks ühine jagaja – üks, siis nimetatakse neid numbreid koaprarvuks.
- Antud naturaalarvude vähim ühiskordne on väikseim naturaalarv, mis on iga antud arvu kordne. Näide. LCM(24, 42) = 168. See on väikseim arv, mis jagub nii 24 kui ka 42-ga.
- Mitme antud naturaalarvu LCM-i leidmiseks on vaja: 1) lahutada kõik antud arvud algteguriteks; 2) kirjutage välja arvudest suurima laiendus ja korrutage see teiste arvude laiendustest puuduvate teguritega.
- Kahe koalgarvu väikseim kordne on võrdne nende arvude korrutisega.
b- murdosa nimetaja, näitab, mitu võrdset osa on jagatud;
a-murru lugeja, näitab, kui palju selliseid osi võeti. Murrumärk tähendab jagamismärki.
Mõnikord panevad nad horisontaalse murdjoone asemel kaldkriipsu ja tavaline murd kirjutatakse järgmiselt: a/b.
- Kell õige murdosa lugeja on nimetajast väiksem.
- Kell vale murd lugeja on nimetajast suurem või võrdne nimetajaga.
Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada või jagada sama naturaalarvuga, saadakse sellega võrdne murd.
Murru nii lugeja kui ka nimetaja jagamist nende ühise jagajaga, mis ei ole üks, nimetatakse murdarvu vähendamiseks.
- Arvu, mis koosneb täisarvust ja murdosast, nimetatakse segaarvuks.
- Vale murru esitamiseks segaarvuna on vaja murdosa lugeja jagada nimetajaga, siis mittetäielikuks jagatiseks on segaarvu täisarv, jääk on murdosa lugeja , ja nimetaja jääb samaks.
- Segaarvu esitamiseks valemurruna peate segaarvu täisarvu korrutama nimetajaga, lisama tulemusele murdosa lugeja ja kirjutama selle valemurru lugejasse ning jätma nimetaja sama.
- Ray Oh algusega punktis O, mille peal ühekordne lõige juurde ja suunas, kutsus koordinaatkiir.
- Kutsutakse koordinaatkiire punktile vastav arv koordineerida see punkt. Näiteks , A(3). Loe: punkt A koordinaadiga 3.
- Väikseim ühisnimetaja ( NOZ) nende taandamatute murdude väikseim ühiskordaja ( NOC) nende murdude nimetajad.
- Murdude viimiseks vähima ühisnimetajani peate: 1) leidma nende murdude nimetajate väikseima ühiskordse, see on väikseim ühisnimetaja. 2) leida igale murrule lisategur, mille puhul jagame uue nimetaja iga murru nimetajaga. 3) korrutada iga murru lugeja ja nimetaja selle lisateguriga.
- Kahest sama nimetajaga murdest on suurema lugejaga murd suurem ja väiksema lugejaga murd väiksem.
- Kahest sama lugejaga murdest on väiksema nimetajaga murd suurem ja suurema nimetajaga murd väiksem.
- Erinevate lugejate ja erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks peate murdud vähendama väikseima ühisnimetajani ja seejärel võrdlema samade nimetajatega murde.
Tehted tavaliste murdude kohta.
- Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja samaks.
- Kui teil on vaja liita erinevate nimetajatega murde, siis esmalt taandage murrud väikseima ühisnimetajani ja seejärel lisage samade nimetajatega murrud.
- Samade nimetajatega murdude lahutamiseks lahutatakse esimese murru lugejast teise murru lugeja ja nimetaja jäetakse samaks.
- Kui teil on vaja lahutada erinevate nimetajatega murde, viiakse need esmalt ühise nimetajani ja seejärel lahutatakse samade nimetajatega murrud.
- Segaarvude liitmise või lahutamise tehteid tehes sooritatakse need toimingud eraldi täisarvu ja murdosa jaoks ning seejärel kirjutatakse tulemus segaarvuna.
- Kahe hariliku murru korrutis on võrdne murdarvuga, mille lugeja on võrdne lugejate korrutisega ja nimetaja on antud murdude nimetajate korrutis.
- Hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga peate korrutama murru lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.
- Kaht arvu, mille korrutis on võrdne ühega, nimetatakse vastastikku pöördarvudeks.
- Segaarvude korrutamisel teisendatakse need esmalt valedeks murdudeks.
- Arvu murdosa leidmiseks peate arvu korrutama selle murdosaga.
- Hariliku murru jagamiseks hariliku murruga peate dividendi korrutama jagaja pöördarvuga.
- Segaarvude jagamisel teisendatakse need esmalt valedeks murdudeks.
- Tavalise murru naturaalarvuga jagamiseks peate korrutama murdosa nimetaja selle naturaalarvuga ja jätma lugeja samaks. ((2/7):5=2/(75)=2/35).
- Arvu leidmiseks selle murdosa järgi peate jagama sellele vastava arvu selle murdosaga.
- Kümnendmurd on kümnendsüsteemis kirjutatud arv, mille numbrid on väiksemad kui üks. (3,25; 0,1457 jne)
- Kümnendkohti pärast koma nimetatakse kümnendkohtadeks.
- Kümnendmurd ei muutu, kui kümnendmurru lõppu lisatakse või visatakse ära nullid.
Kümnendmurdude liitmiseks tuleb: 1) võrdsustada nende murdude kümnendkohtade arv; 2) kirjuta need üksteise alla nii, et koma kirjutatakse koma alla; 3) sooritab liitmise, ignoreerides koma, ja paneb koma koma summeeritud murdude alla summas.
Kümnendmurdude lahutamiseks tuleb: 1) võrdsustada kümnendkohtade arv minuendis ja alamfraktsioonis; 2) märgib taandatu alla nii, et koma jääb koma alla; 3) sooritab lahutamise, ignoreerides koma, ja paneb tulemuses koma minuendi ja lahutuskoha koma alla.
- Kümnendmurru korrutamiseks naturaalarvuga tuleb see koma eirata selle arvuga korrutada ja saadud korrutises eraldada paremal pool nii palju numbreid, kui antud murdus oli pärast koma.
- Ühe kümnendmurru korrutamiseks teisega tuleb teha korrutamine, ignoreerides komasid ja saadud tulemuses eraldada paremal pool komadega nii palju numbreid, kui mõlemas teguris kokku oli komade järel.
- Kümnendkoha korrutamiseks 10, 100, 1000 jne arvuga tuleb koma nihutada 1, 2, 3 jne numbri võrra paremale.
- kümnendkoha korrutamine 0,1-ga; 0,01; 0,001 jne, peate nihutama koma 1, 2, 3 jne numbri võrra vasakule.
- Kümnendmurru jagamiseks naturaalarvuga tuleb murdosa jagada selle arvuga, kuna naturaalarvud jagatakse ja pannakse privaatsesse koma, kui kogu osa jagamine on lõppenud.
- Kümnendarvu jagamiseks 10, 100, 1000 jne tuleb koma nihutada 1, 2, 3 jne numbri võrra vasakule.
- Arvu kümnendkohaga jagamiseks peate nihutama dividendi- ja jagamiskoha koma paremale, kui palju on pärast jagaja koma, ja seejärel jagama naturaalarvuga.
- Kümnendkoha jagamiseks 0,1; 0,01; 0,001 jne, peate nihutama koma 1, 2, 3 jne numbri võrra paremale. (Komakoha jagamine 0,1; 0,01; 0,001 jne on sama, mis kümnendkoha korrutamine 10, 100, 1000 jne.)
Arvu ümardamiseks teatud numbrini tõmbame selle numbri alla alla ja seejärel asendame kõik allajoonitud numbri taga olevad numbrid nullidega ja kui need on pärast koma, siis jätame kõrvale. Kui esimene nulliga asendatud või kõrvale jäetud number on 0, 1, 2, 3 või 4, siis jäetakse allajoonitud number muutmata. Kui esimene nulliga asendatud või kõrvale jäetud number on 5, 6, 7, 8 või 9, suurendatakse allajoonitud numbrit 1 võrra.
Mitme arvu aritmeetiline keskmine.
Mitme arvu aritmeetiline keskmine on nende arvude summa jagamise jagatis liikmete arvuga.
Numbriseeria vahemik.
Andmerea suurima ja väikseima väärtuse erinevust nimetatakse arvuseeria vahemikuks.
Numbriseeria mood.
Arvu, mis esineb antud jada arvudest suurima sagedusega, nimetatakse arvujada mooduseks.
- Sajandikku nimetatakse protsendiks. Ostke raamat, mis õpetab "Kuidas lahendada protsentülesandeid".
- Protsentide väljendamiseks murdosa või naturaalarvuna peate protsendi jagama 100%. (4% = 0,04; 32% = 0,32).
- Arvu väljendamiseks protsentides peate selle korrutama 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
- Arvu protsendi leidmiseks tuleb see protsent väljendada hariliku või kümnendmurruna ja saadud murdosa korrutada antud arvuga.
- Arvu leidmiseks selle protsendi järgi tuleb see protsent väljendada hariliku või kümnendmurruna ja jagada antud arv selle murdosaga.
- Esimese arvu protsendi leidmiseks teisest peate esimese arvu jagama teisega ja korrutama tulemuse 100%.
- Kahe arvu jagatist nimetatakse nende arvude suhteks. a:b või a/b on arvude a ja b suhe, pealegi a on eelmine liige, b on järgmine liige.
- Kui selle seose tingimused on ümber paigutatud, nimetatakse saadud seost selle seose pöördväärtuseks. Seosed b/a ja a/b on vastastikku pöördvõrdelised.
- Suhe ei muutu, kui suhte mõlemad liikmed korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga.
- Kahe suhte võrdsust nimetatakse proportsiooniks.
- a:b=c:d. See on proportsioon. Loe: a nii kehtib b, kuidas c viitab d. Arve a ja d nimetatakse proportsiooni äärmisteks liikmeteks ning arve b ja c on proportsiooni keskmised liikmed.
- Proportsiooni äärmiste liikmete korrutis on võrdne selle keskmiste liikmete korrutisega. Proportsiooni pärast a:b=c:d või a/b=c/d peamine omadus on kirjutatud järgmiselt: a d=b c.
- Proportsiooni tundmatu äärmusliikme leidmiseks tuleb proportsiooni keskmiste liikmete korrutis jagada teadaoleva äärmusliikmega.
- Proportsiooni tundmatu keskliikme leidmiseks tuleb proportsiooni äärmuslike liikmete korrutis jagada teadaoleva keskliikmega. Proportsiooniülesanded.
Laske väärtust y oleneb suurusest X. Kui koos tõusuga X mitu korda suurem juures suureneb sama teguri võrra, siis sellised väärtused X ja juures nimetatakse otse proportsionaalseteks.
Kui kaks suurust on otseselt proportsionaalsed, on esimese suuruse kahe suvalise väärtuse suhe võrdne teise suuruse kahe vastava väärtuse suhtega.
Kaardil oleva lõigu pikkuse ja vastava vahemaa pikkuse suhet maapinnal nimetatakse kaardi mõõtkavaks.
Laske väärtust juures oleneb suurusest X. Kui koos tõusuga X mitu korda suurem juures väheneb sama teguri võrra, siis sellised väärtused X ja juures nimetatakse pöördvõrdelisteks.
Kui kaks suurust on pöördvõrdelised, on ühe suuruse kahe meelevaldselt võetud väärtuse suhe võrdne teise suuruse vastavate väärtuste pöördsuhtega.
- Hulk on mingite üldiste omaduste või seaduspärasuste järgi koostatud kogum mingitest objektidest või numbritest (palju tähti lehel, palju tavalisi murde, mille nimetaja on 5, palju tähti taevas jne).
- Hulgad koosnevad elementidest ja on kas lõplikud või lõpmatud. Hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi, nimetatakse tühjaks hulgaks ja seda tähistatakse Oh
- Palju AT nimetatakse hulga alamhulgaks AGA kui kõik hulga elemendid AT on komplekti elemendid AGA.
- Määra ristmik AGA ja AT on hulk, mille elemendid kuuluvad hulka AGA ja paljud AT.
- Komplektide liit AGA ja AT on hulk, mille elemendid kuuluvad vähemalt ühte antud hulka AGA ja AT.
Numbrite komplektid.
- N– naturaalarvude komplekt: 1, 2, 3, 4,…
- Z– täisarvude hulk: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- K on murdarvuna esitatav ratsionaalarvude hulk m/n, kus m- terve, n– loomulik (-2; 3/5; v9; v25 jne)
- Koordinaatjoon on sirgjoon, millel on antud positiivne suund, tugipunkt (punkt O) ja ühiklõik.
- Igale koordinaadijoone punktile vastab teatud arv, mida nimetatakse selle punkti koordinaadiks. Näiteks, A(5). Loe: punkt A koordinaadiga viis. AT 3). Loe: punkt B koordinaadiga miinus kolm.
- Arvu a moodul (kirjutage üles |a|) nimetatakse kauguseks lähtepunktist antud arvule vastava punktini a. Mis tahes arvu mooduli väärtus ei ole negatiivne. |3|=3; |-3|=3, sest kaugus lähtepunktist arvuni -3 ja arvuni 3 võrdub kolme ühikulise segmendiga. |0|=0 .
- Arvu mooduli definitsiooni järgi: |a|=a, kui a?0 ja |a|=-a, kui a b.
- Kui arvude a ja b võrdlemisel erinevus a-b on siis negatiivne arv a , siis nimetatakse neid rangeteks ebavõrdsusteks.
- Kui ebavõrdsused on märkides kirjas? või ?, siis nimetatakse neid mitterangeteks ebavõrdsusteks.
Numbriliste võrratuste omadused.
G) 
Võrratus kujul x?a. Vastus:
jagatavusmärk
Jagatavusmärk- reegel, mis võimaldab suhteliselt kiiresti kindlaks teha, kas arv on etteantud arvu kordne, ilma et peaksite tegelikku jagamist tegema. Reeglina põhineb see toimingutel, mille numbrite osa on positsioonilises arvusüsteemis (tavaliselt kümnendsüsteemis) oleva arvu tähistusest.
On mitmeid lihtsaid reegleid, mis võimaldavad teil kümnendarvusüsteemis leida arvu väikseid jagajaid:
2-ga jaguvuse märk
3-ga jaguvuse märk
Jaguvus 4 märgiga
5-ga jaguvuse märk
6-ga jaguvuse märk
7-ga jaguvuse märk
8-ga jaguvuse märk
9-ga jaguvuse märk
10-ga jaguvuse märk
11-ga jaguvuse märk
12-ga jaguvuse märk
Jaguvuse märk 13-ga
14-ga jaguvuse märk
15-ga jagamise märk
17-ga jagamise märk
19-ga jagatav märk
23-ga jaguvuse märk
25-ga jagamise märk
Jaguvuse märk 99-ga
Jagame arvu 2-kohalisteks rühmadeks paremalt vasakule (vasakpoolseim rühm võib olla ühekohaline) ja leiame nende rühmade summa, pidades neid kahekohalisteks arvudeks. See summa jagub 99-ga siis ja ainult siis, kui arv ise jagub 99-ga.
Jaguvuse märk 101-ga
Jagame arvu 2-kohalisteks rühmadeks paremalt vasakule (vasakpoolseim rühm võib olla ühekohaline) ja leiame nende muutujamärkidega rühmade summa, pidades neid kahekohalisteks arvudeks. See summa jagub 101-ga siis ja ainult siis, kui arv ise jagub 101-ga. Näiteks 590547 jagub 101-ga, kuna 59-05+47=101 jagub 101-ga).
2-ga jaguvuse märk n
Arv jagub kahe n-nda astmega siis ja ainult siis, kui selle viimasest n-st numbrist moodustatud arv jagub sama astmega.
5-ga jaguvuse märk n
Arv jagub 5 n-nda astmega siis ja ainult siis, kui selle viimasest n-st numbrist moodustatud arv jagub sama astmega.
10-ga jaguvuse märk n − 1
Jagame arvu n-kohalisteks rühmadeks paremalt vasakule (vasakpoolseim rühm võib sisaldada 1 kuni n numbrit) ja leiame nende rühmade summa, pidades neid n-kohalisteks arvudeks. See summa jagub 10-ga n− 1 siis ja ainult siis, kui arv ise jagub 10-ga n − 1 .
10-ga jaguvuse märk n
Arv jagub kümne n-nda astmega siis ja ainult siis, kui selle n viimast numbrit on
Laadimine...