Üks keerulisemaid teemasid õpilaste jaoks on moodulimärgi all muutujat sisaldavate võrrandite lahendamine. Vaatame alustuseks, millega see seotud on? Miks näiteks ruutvõrrandid klõpsavad enamik lapsi nagu pähklid, kuid nii kaugel kõige keerulisema kontseptsiooniga nagu moodul on nii palju probleeme?
Minu arvates on kõik need raskused seotud selgelt sõnastatud reeglite puudumisega mooduliga võrrandite lahendamiseks. Seega teab õpilane ruutvõrrandi lahendamisel kindlalt, et ta peab esmalt rakendama diskrimineeriva valemi ja seejärel ruutvõrrandi juurte valemeid. Aga mis siis, kui võrrandis kohtab moodulit? Püüame selgelt kirjeldada vajalikku tegevusplaani juhuks, kui võrrand sisaldab mooduli märgi all tundmatut. Toome iga juhtumi kohta mitu näidet.
Aga kõigepealt meenutagem mooduli määratlus. Niisiis, arvu moodul a numbrit ennast kutsutakse kui a mittenegatiivsed ja -a kui number a vähem kui null. Võite selle kirjutada nii:
|a| = a, kui a ≥ 0 ja |a| = -a kui a< 0
Rääkides mooduli geomeetrilisest tähendusest, tuleb meeles pidada, et iga reaalarv vastab arvutelje teatud punktile - selle 
koordineerida. Seega on moodul ehk arvu absoluutväärtus kaugus sellest punktist arvtelje alguspunktini. Vahemaa on alati antud positiivse arvuna. Seega on iga negatiivse arvu moodul positiivne arv. Muide, isegi selles etapis hakkavad paljud õpilased segadusse minema. Moodulis võib olla suvaline arv, kuid mooduli rakendamise tulemuseks on alati positiivne arv.
Liigume nüüd võrrandite lahendamise juurde.
1. Vaatleme võrrandit kujul |x| = c, kus c on reaalarv. Seda võrrandit saab lahendada mooduli definitsiooni abil.
Jagame kõik reaalarvud kolme rühma: need, mis on suuremad kui null, need, mis on väiksemad kui null, ja kolmas rühm on arv 0. Lahenduse kirjutame diagrammi kujul:
(±c, kui c > 0
Kui |x| = c, siis x = (0, kui c = 0
(juurteta, kui koos< 0
1) |x| = 5, sest 5 > 0, siis x = ±5;
2) |x| = -5, sest - viis< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, siis x = 0.
2. Võrrand kujul |f(x)| = b, kus b > 0. Selle võrrandi lahendamiseks on vaja moodulist lahti saada. Teeme seda nii: f(x) = b või f(x) = -b. Nüüd on vaja iga saadud võrrand eraldi lahendada. Kui algses võrrandis b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, sest 4 > 0, siis
x + 2 = 4 või x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, sest 11 > 0, siis
x 2 - 5 = 11 või x 2 - 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 juurteta
3) |x 2 – 5x| = -8 , sest -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Võrrand kujul |f(x)| = g(x). Vastavalt mooduli tähendusele on sellisel võrrandil lahendid, kui selle parem pool on nullist suurem või sellega võrdne, s.t. g(x) ≥ 0. Siis on meil:
f(x) = g(x) või f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x - 10. Sellel võrrandil on juured, kui 5x - 10 ≥ 0. Siit algab selliste võrrandite lahendamine.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Lahendus:
2x - 1 = 5x - 10 või 2x - 1 = -(5x - 10)
3. Ühendage O.D.Z. ja lahendus, saame:
Juur x \u003d 11/7 O.D.Z. järgi ei sobi, see on väiksem kui 2 ja x \u003d 3 vastab sellele tingimusele.
Vastus: x = 3
2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.
1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Lahendame selle võrratuse intervallmeetodi abil:
(1 – x) (1 + x) ≥ 0
2. Lahendus:
x - 1 \u003d 1 - x 2 või x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0
x = -2 või x = 1 x = 0 või x = 1
3. Ühendage lahus ja O.D.Z.:
Sobivad ainult juured x = 1 ja x = 0.
Vastus: x = 0, x = 1.
4. Võrrand kujul |f(x)| = |g(x)|. Selline võrrand on samaväärne kahe järgmise võrrandiga f(x) = g(x) või f(x) = -g(x).
1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. See võrrand on võrdne järgmise kahega:
x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 või x 2 - 5x +7 = -2x + 5
x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0
x = 3 või x = 4 x = 2 või x = 1
Vastus: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Asendusmeetodil lahendatud võrrandid (muutuja muutus). Seda lahendusmeetodit on kõige lihtsam selgitada konkreetse näitega. Niisiis, olgu antud ruutvõrrand mooduliga:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Mooduli omaduse järgi x 2 = |x| 2, seega saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
|x| 2–6|x| + 5 = 0. Teeme muudatuse |x| = t ≥ 0, siis on meil:
t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Selle võrrandi lahendamisel saame, et t \u003d 1 või t \u003d 5. Pöördume tagasi asendusse:
|x| = 1 või |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Vastus: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Vaatame teist näidet:
x 2 + |x| – 2 = 0. Mooduli omaduse järgi x 2 = |x| 2, nii
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Teeme muudatuse |x| = t ≥ 0, siis:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Lahendades selle võrrandi, saame t \u003d -2 või t \u003d 1. Pöördume tagasi asendusse:
|x| = -2 või |x| = 1
Juure pole x = ± 1
Vastus: x = -1, x = 1.
6. Teist tüüpi võrrandid on "keerulise" mooduliga võrrandid. Sellised võrrandid hõlmavad võrrandeid, millel on "moodulid moodulis". Seda tüüpi võrrandeid saab lahendada mooduli omaduste abil.
1) |3 – |x|| = 4. Toimime samamoodi nagu teist tüüpi võrrandite puhul. Sest 4 > 0, siis saame kaks võrrandit:
3 – |x| = 4 või 3 – |x| = -4.
Nüüd väljendame igas võrrandis moodulit x, seejärel |x| = -1 või |x| = 7.
Lahendame kõik saadud võrrandid. Esimeses võrrandis pole juuri, sest - üks< 0, а во втором x = ±7.
Vastus x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Lahendame selle võrrandi sarnaselt:
3 + |x + 1| = 5 või 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 või x + 1 = -2. Juured puuduvad.
Vastus: x = -3, x = 1.
Samuti on olemas universaalne meetod mooduliga võrrandite lahendamiseks. See on vahekauguse meetod. Kuid me kaalume seda veelgi.
blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.
Me ei vali matemaatikat tema elukutse ja ta valib meid.
Vene matemaatik Yu.I. Manin
Modulo võrrandid
Koolimatemaatikas on kõige raskemini lahendatavad ülesanded moodulmärgi all muutujaid sisaldavad võrrandid. Selliste võrrandite edukaks lahendamiseks on vaja teada mooduli definitsiooni ja põhiomadusi. Loomulikult peaks õpilastel olema oskus seda tüüpi võrrandeid lahendada.
Põhimõisted ja omadused
Reaalarvu moodul (absoluutväärtus). tähistatud ja on määratletud järgmiselt:
Mooduli lihtsad omadused hõlmavad järgmisi seoseid:
Märge, et kaks viimast omadust kehtivad iga paarisastme korral.
Samuti kui , kus , siis ja
Keerulisemad mooduli omadused, mida saab tõhusalt kasutada võrrandite lahendamisel moodulitega, formuleeritakse järgmiste teoreemide abil:
1. teoreem.Mis tahes analüütiliste funktsioonide jaoks Ja ebavõrdsus
2. teoreem. Võrdsus on sama mis ebavõrdsus.
3. teoreem. Võrdsus võrdub ebavõrdsusega.
Mõelge tüüpilistele näidetele probleemide lahendamisest teemal "Võrrandid, mis sisaldavad muutujaid mooduli märgi all.
Võrrandite lahendamine mooduliga
Koolimatemaatikas levinuim meetod mooduliga võrrandite lahendamiseks on meetod, põhineb mooduli laiendamisel. See meetod on üldine, aga üldiselt võib selle rakendamine viia väga tülikate arvutusteni. Sellega seoses peaksid õpilased olema teadlikud ka muust, tõhusamad meetodid ja tehnikad selliste võrrandite lahendamiseks. Eriti, peab olema teoreemide rakendamise oskus, antud artiklis.
Näide 1 Lahenda võrrand. (üks)
Lahendus. Võrrand (1) lahendatakse "klassikalise" meetodiga - mooduli laiendamise meetodiga. Selleks murrame numbritelje punktid ja intervallidega ja kaaluge kolme juhtumit.
1. Kui , siis , , ja võrrand (1) on kujul . See tuleneb siit. Kuid siin ei ole leitud väärtus võrrandi (1) juur.
2. Kui , siis võrrandist (1) saame või .
Sellest ajast võrrandi (1) juur.
3. Kui , siis võrrand (1) võtab kuju või . Pange tähele, et.
Vastus: ,.
Järgmiste võrrandite lahendamisel mooduliga kasutame aktiivselt moodulite omadusi, et tõsta selliste võrrandite lahendamise efektiivsust.
Näide 2 lahendage võrrand.
Lahendus. Alates ja siis võrrandist järeldub. Sellega seoses , , ja võrrand muutub. Siit saame. Aga , nii et algsel võrrandil pole juuri.
Vastus: pole juuri.
Näide 3 lahendage võrrand.
Lahendus. Sellest ajast . Kui siis , ja võrrand muutub.
Siit saame .
Näide 4 lahendage võrrand.
Lahendus.Kirjutame võrrandi ümber samaväärsel kujul. (2)
Saadud võrrand kuulub tüüpi võrrandite hulka.
Võttes arvesse teoreemi 2, võime väita, et võrrand (2) on samaväärne võrratusega . Siit saame .
Vastus:.
Näide 5 Lahenda võrrand.
Lahendus. Sellel võrrandil on vorm. Sellepärast , vastavalt teoreemile 3, siin on ebavõrdsus või .
Näide 6 lahendage võrrand.
Lahendus. Oletame, et. sest , siis saab antud võrrand ruutvõrrandi kuju, (3)
kus . Kuna võrrandil (3) on üks positiivne juur ja siis . Siit saame algse võrrandi kaks juurt: Ja .
Näide 7 lahendage võrrand. (4)
Lahendus. Alates võrrandiston võrdne kahe võrrandi kombinatsiooniga: ja , siis võrrandi (4) lahendamisel on vaja arvestada kahe juhtumiga.
1. Kui , siis või .
Siit saame , ja .
2. Kui , siis või .
Sellest ajast .
Vastus: , , , .
Näide 8lahendage võrrand . (5)
Lahendus. Alates ja , siis . Siit ja võrrandist (5) järeldub, et ja , s.o. siin on võrrandisüsteem
See võrrandisüsteem on aga ebajärjekindel.
Vastus: pole juuri.
Näide 9 lahendage võrrand. (6)
Lahendus. Kui me määrame ja võrrandist (6) saame
Või . (7)
Kuna võrrandil (7) on vorm , on see võrrand samaväärne ebavõrdsusega . Siit saame . Alates , siis või .
Vastus:.
Näide 10lahendage võrrand. (8)
Lahendus.1. teoreemi järgi võime kirjutada
(9)
Võttes arvesse võrrandit (8), järeldame, et mõlemad võrratused (9) muutuvad võrdsusteks, s.o. on olemas võrrandisüsteem
Kuid teoreemi 3 järgi on ülaltoodud võrrandisüsteem võrdne võrratussüsteemiga
(10)
Lahendades võrratuste süsteemi (10) saame . Kuna võrratuste süsteem (10) on võrdne võrrandiga (8), on algsel võrrandil üks juur .
Vastus:.
Näide 11. lahendage võrrand. (11)
Lahendus. Laskma ja , siis võrrand (11) tähendab võrdsust .
Sellest järeldub, et ja . Seega on meil siin ebavõrdsuse süsteem
Selle ebavõrdsuse süsteemi lahendus on Ja .
Vastus: ,.
Näide 12.lahendage võrrand. (12)
Lahendus. Võrrand (12) lahendatakse moodulite järjestikuse laiendamise meetodil. Selleks kaaluge mitut juhtumit.
1. Kui , siis .
1.1. Kui , siis ja , .
1.2. Kui siis . Aga , seetõttu pole võrrandil (12) antud juhul juuri.
2. Kui , siis .
2.1. Kui , siis ja , .
2.2. Kui , siis ja .
Vastus: , , , , .
Näide 13lahendage võrrand. (13)
Lahendus. Kuna võrrandi (13) vasak pool on mittenegatiivne, siis ja . Sellega seoses , ja võrrand (13)
võtab kuju või .
On teada, et võrrand on võrdne kahe võrrandi kombinatsiooniga ja , mille lahendame, . sest , siis võrrandil (13) on üks juur.
Vastus:.
Näide 14 Lahenda võrrandisüsteem (14)
Lahendus. Alates ja , siis ja . Seetõttu saame võrrandisüsteemist (14) neli võrrandisüsteemi:
Ülaltoodud võrrandisüsteemide juured on võrrandisüsteemi (14) juured.
Vastus: ,, , , , , , .
Näide 15 Lahenda võrrandisüsteem (15)
Lahendus. Sellest ajast . Sellega seoses saame võrrandisüsteemist (15) kaks võrrandisüsteemi
Esimese võrrandisüsteemi juured on ja ning teisest võrrandisüsteemist saame ja .
Vastus: , , , .
Näide 16 Lahenda võrrandisüsteem (16)
Lahendus. Süsteemi (16) esimesest võrrandist tuleneb, et .
Sellest ajast . Vaatleme süsteemi teist võrrandit. Niivõrd kui, siis , ja võrrand muutub, , või .
Kui asendame väärtusesüsteemi (16) esimesse võrrandisse, siis või .
Vastus: ,.
Probleemide lahendamise meetodite sügavamaks uurimiseks, mis on seotud võrrandite lahendamisega, mis sisaldavad muutujaid mooduli märgi all, saate nõustada õpetusi soovitatud kirjanduse loendist.
1. Matemaatika ülesannete kogu tehnikaülikooli sisseastujatele / Toim. M.I. Scanavi. - M .: Maailm ja haridus, 2013. - 608 lk.
2. Suprun V.P. Matemaatika keskkooliõpilastele: keerukamad ülesanded. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 lk.
3. Suprun V.P. Matemaatika keskkooliõpilastele: mittestandardsed meetodid ülesannete lahendamiseks. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 lk.
Kas teil on küsimusi?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
Juhend
Kui moodulit esitatakse pideva funktsioonina, võib selle argumendi väärtus olla kas positiivne või negatiivne: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);
On lihtne näha, et kompleksarvude liitmine ja lahutamine järgivad sama reeglit nagu liitmine ja .
Kahe kompleksarvu korrutis on:
z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.
Kuna i^2 = -1, on lõpptulemus:
(x1*x2 – y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).
Kompleksarvude astmeni tõstmise ja juure eraldamise toimingud defineeritakse samamoodi nagu pärisarvude puhul. Kuid kompleksvaldkonnas on mis tahes arvu jaoks täpselt n arvu b, mille puhul b^n = a, st n n-nda astme juurt.
Eelkõige tähendab see, et mis tahes n-nda astme algebralisel võrrandil ühes muutujas on täpselt n kompleksjuurt, millest mõned võivad olla ja .
Seotud videod
Allikad:
- Loeng "Keerulised numbrid" 2019. aastal
Juur on ikoon, mis tähistab sellise arvu leidmise matemaatilist operatsiooni, mille tõstmine enne juuremärki näidatud astmeni peaks andma just selle märgi all näidatud numbri. Sageli ei piisa juurtega probleemide lahendamiseks ainult väärtuse arvutamisest. Peame tegema lisatoiminguid, millest üks on arvu, muutuja või avaldise sisestamine juuremärgi alla.
Juhend
Määrake juure eksponent. Indikaator on täisarv, mis näitab võimsust, milleni juure arvutamise tulemus tuleb radikaalavaldise (arv, millest see juur eraldatakse) saamiseks tõsta. Juure eksponent, määratud ülaindeksina juurikooni ees. Kui seda ei määrata, on see ruutjuur, mille võimsus on kaks. Näiteks juureksponent √3 on kaks, astendaja ³√3 on kolm, juureksponent ⁴√3 on neli ja nii edasi.
Tõstke arv, mille soovite juuremärgi alla lisada, astmeni, mis on võrdne selle juure eksponendiga, mille määrasite eelmises etapis. Näiteks kui on vaja sisestada juure ⁴√3 märgi alla arv 5, siis juure astendaja on neli ja vaja on 5 neljanda astmeni tõstmise tulemust 5⁴=625. Saate seda teha mis tahes teile sobival viisil - oma mõtetes, kasutades kalkulaatorit või vastavaid postitatud teenuseid.
Sisestage eelmises etapis saadud väärtus juurmärgi alla radikaalavaldise kordajana. Eelmises etapis kasutatud näite puhul juure ⁴√3 5 (5*⁴√3) alla lisamisega saab seda toimingut teha järgmiselt: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
Võimaluse korral lihtsustage saadud radikaalset väljendit. Eelmiste sammude näite puhul on see, et peate lihtsalt korrutama juuremärgi all olevad arvud: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. See lõpetab juure alla numbri lisamise toimingu.
Kui ülesandes on tundmatuid muutujaid, saab ülalkirjeldatud samme teha üldiselt. Näiteks kui soovite sisestada neljanda astme juure alla tundmatu muutuja x ja juuravaldis on 5/x³, saab kogu toimingute jada kirjutada järgmiselt: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).
Allikad:
- kuidas nimetatakse juurmärki
Reaalarvudest ei piisa ühegi ruutvõrrandi lahendamiseks. Lihtsaim ruutvõrrand, millel pole reaalarvude juure, on x^2+1=0. Selle lahendamisel selgub, et x=±sqrt(-1) ja elementaaralgebra seaduste järgi eraldage negatiivsest paarisastme juur numbrid see on keelatud.
A arvutatakse vastavalt järgmistele reeglitele:
Lühiduse huvides kasutage |a|. Seega |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100 jne.
Igas suuruses X vastab üsna täpsele väärtusele | X|. Ja see tähendab identiteet juures= |X| kehtestab juures nagu mõned argument funktsioon X.
Ajakava see funktsioonid allpool esitatud.
Sest x > 0 |x| = x, ja jaoks x< 0 |x|= -x; seoses selle reaga y = | x| juures x> 0 on joondatud joonega y=x(esimese koordinaatnurga poolitaja) ja millal X< 0 - с прямой y = -x(teise koordinaatnurga poolitaja).
Eraldi võrrandid lisage märgi alla tundmatud moodul.
Selliste võrrandite meelevaldsed näited - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 jne.
Võrrandite lahendamine moodulmärgi all tundmatut sisaldav põhineb asjaolul, et kui tundmatu arvu x absoluutväärtus on võrdne positiivse arvuga a, siis see arv x ise on võrdne kas a või -a-ga.
Näiteks: kui | X| = 10, siis või X=10 või X = -10.
Kaaluge üksikvõrrandite lahendus.
Analüüsime võrrandi | lahendust X- 1| = 2.
Avame mooduli siis vahe X- 1 võib võrduda kas + 2 või - 2. Kui x - 1 = 2, siis X= 3; kui X- 1 = - 2, siis X= - 1. Teeme asendus ja saame, et mõlemad väärtused vastavad võrrandile.
Vastus. Sellel võrrandil on kaks juurt: x 1 = 3, x 2 = - 1.
Analüüsime võrrandi lahendus | 6 — 2X| = 3X+ 1.
Pärast mooduli laiendamine saame: või 6 - 2 X= 3X+ 1 või 6 - 2 X= - (3X+ 1).
Esimesel juhul X= 1 ja teises X= - 7.
Uurimine. Kell X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; tuleneb kohtust X = 1 - juur b antud võrrandid.
Kell x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = -20; alates 20 ≠ -20, siis X= - 7 ei ole selle võrrandi juur.
Vastus. Kell võrranditel on ainult üks juur: X = 1.
Seda tüüpi võrrandid võivad lahendada ja graafiliselt.
Nii et otsustame näiteks, graafiline võrrand | X- 1| = 2.
Esmalt ehitame funktsiooni graafik juures = |x— 1|. Joonistame esmalt funktsiooni graafiku. juures=X- 1:
See osa sellest graafika, mis asub telje kohal X me ei muutu. Temale X- 1 > 0 ja seetõttu | X-1|=X-1.
Graafiku osa, mis asub telje all X, kujutada sümmeetriliselt selle telje kohta. Sest selle osa jaoks X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X -üks). Moodustati selle tulemusena rida(pidev joon) ja tahe funktsiooni graafik y = | X—1|.
See joon lõikub otse juures= 2 kahes punktis: M 1 abstsissiga -1 ja M 2 abstsissiga 3. Ja vastavalt võrrand | X- 1| =2-l on kaks juurt: X 1 = - 1, X 2 = 3.
See veebipõhine matemaatikakalkulaator aitab teid lahendada võrrandit või võrratust moodulitega. Programm jaoks võrrandite ja võrratuste lahendamine moodulitega mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid viib üksikasjalik lahendus koos selgitustega, st. kuvab tulemuse saamise protsessi.
See programm võib olla kasulik gümnaasiumiõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit, vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimiseks. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.
Nii saate läbi viia enda ja/või nooremate vendade või õdede koolitusi, samal ajal tõstetakse lahendatavate ülesannete valdkonna haridustaset.
|x| või abs(x) – moodul xSisestage võrrand või võrratus moodulitega
Leiti, et mõnda selle ülesande lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.
Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...
Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.
Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:
Natuke teooriat.
Võrrandid ja võrratused moodulitega
Põhikooli algebra kursusel saab moodulitega täita lihtsamaid võrrandeid ja võrratusi. Nende lahendamiseks saate rakendada geomeetrilist meetodit, mis põhineb asjaolul, et \(|xa| \) on kaugus arvujoonel punktide x ja a vahel: \(|xa| = \rho (x;\; a) ) \). Näiteks võrrandi \(|x-3|=2 \) lahendamiseks tuleb leida arvujoonelt punktid, mis on punktist 3 kaugusel 2. Selliseid punkte on kaks: \(x_1=1 \) ja \(x_2=5 \) .
Võrratuse lahendamine \(|2x+7| 
Kuid peamine viis võrrandite ja võrratuste lahendamiseks moodulitega on seotud niinimetatud "mooduli definitsiooni järgi laiendamisega":
kui \(a \geq 0 \), siis \(|a|=a \);
if \(a Reeglina taandub moodulitega võrrand (võrratus) võrrandite (võrratuste) hulgaks, mis ei sisalda mooduli märki.
Lisaks ülaltoodud määratlusele kasutatakse järgmisi väiteid:
1) Kui \(c > 0 \), siis võrrand \(|f(x)|=c \) on samaväärne võrrandite hulgaga: \(\left[\begin(massiivi)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(massiivi)\right.\)
2) Kui \(c > 0 \), siis võrratus \(|f(x)| 3) Kui \(c \geq 0 \), siis on võrratus \(|f(x)| > c \) samaväärne võrratuste hulgaga: \(\left[\begin(massiivi)(l) f(x) c \end(massiivi)\right. \)
4) Kui võrratuse \(f(x) mõlemad pooled NÄIDE 1. Lahendage võrrand \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).
Kui \(x-1 \geq 0 \), siis \(|x-1| = x-1 \) ja antud võrrand saab
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Paremnool x^2 +2x -8 = 0 \).
Kui \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \paremnool x^2 -2x -4 = 0 \).
Seega tuleks antud võrrandit vaadelda mõlemal näidatud juhul eraldi.
1) Olgu \(x-1 \geq 0 \), st. \(x \geq 1 \). Võrrandist \(x^2 +2x -8 = 0 \) leiame \(x_1=2, \; x_2=-4\). Tingimust \(x \geq 1 \) täidab ainult väärtus \(x_1=2\).
2) Olgu \(x-1 Vastus: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
NÄIDE 2. Lahendage võrrand \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).
Esimene viis(mooduli laiendus definitsiooni järgi).
Arutledes nagu näites 1, järeldame, et antud võrrandit tuleb vaadelda eraldi kahel tingimusel: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) või \(x^2-6x+7
1) Kui \(x^2-6x+7 \geq 0 \), siis \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ja antud võrrandiks saab \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Paremnool 3x^2-23x+30=0 \). Selle ruutvõrrandi lahendamisel saame: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Uurime, kas väärtus \(x_1=6 \) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Selleks asendame näidatud väärtuse ruutvõrratusega. Saame: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), st. \(7 \geq 0 \) on õige ebavõrdsus. Seega on \(x_1=6 \) antud võrrandi juur.
Uurime, kas väärtus \(x_2=\frac(5)(3) \) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Selleks asendame näidatud väärtuse ruutvõrratusega. Saame: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), st. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) on kehtetu võrratus. Seega \(x_2=\frac(5)(3) \) ei ole antud võrrandi juur.
2) Kui \(x^2-6x+7 Väärtus \(x_3=3\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 Väärtus \(x_4=\frac(4)(3) \) ei vasta tingimusele \ (x^2-6x+7 Seega on antud võrrandil kaks juurt: \(x=6, \; x=3 \).
Teine viis. Kui on antud võrrand \(|f(x)| = h(x) \), siis \(h(x) \(\left[\begin(massiivi)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(massiivi)\right. \)
Mõlemad võrrandid on ülalpool lahendatud (antud võrrandi esimese lahendusmeetodiga), nende juured on järgmised: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). Nende nelja väärtuse tingimust \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) täidab ainult kaks: 6 ja 3. Seega on antud võrrandil kaks juurt: \(x=6, \; x=3 \ ).
Kolmas viis(graafika).
1) Joonistame funktsiooni \(y = |x^2-6x+7| \). Esmalt konstrueerime parabooli \(y = x^2-6x+7\). Meil on \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Funktsiooni \(y = (x-3)^2-2 \) graafiku saab saada funktsiooni \(y = x^2 \) graafikult, nihutades seda 3 skaalaühiku võrra paremale. x-telg) ja 2 skaalaühikut allapoole ( piki y-telge). Sirge x=3 on meid huvitava parabooli telg. Kontrollpunktidena täpsemaks joonistamiseks on mugav võtta punkt (3; -2) - parabooli tipp, punkt (0; 7) ja punkt (6; 7) on telje suhtes sümmeetriline. paraboolist.
Funktsiooni \(y = |x^2-6x+7| \) graafiku koostamiseks peate muutmata jätma konstrueeritud parabooli need osad, mis ei asu x-telje all, ja peegeldama seda osa paraboolist. parabool, mis asub x-telje all x-telje ümber.
2) Joonistame lineaarfunktsiooni \(y = \frac(5x-9)(3) \). Kontrollpunktideks on mugav võtta punkte (0; –3) ja (3; 2).
On oluline, et sirge ja abstsisstelje lõikepunkti punkt x = 1,8 asuks parabooli vasakpoolsest lõikepunktist abstsissteljega paremal - see on punkt \(x=3-\sqrt (2) \) (sest \(3-\sqrt(2 ) 3) Joonise järgi otsustades lõikuvad graafikud kahes punktis - A (3; 2) ja B (6; 7). Asendades nende punktide abstsissid x \u003d 3 ja x \u003d 6 antud võrrandis, veendume, et mõlemad väärtused annavad õige arvulise võrdsuse. Seega sai meie hüpotees kinnitust - võrrandil on kaks juurt: x \u003d 3 ja x \u003d 6. Vastus: 3; 6.
kommenteerida. Graafiline meetod ei ole kogu oma elegantsi juures kuigi usaldusväärne. Vaadeldavas näites töötas see ainult seetõttu, et võrrandi juurteks on täisarvud.
NÄIDE 3. Lahendage võrrand \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)
Esimene viis
Avaldis 2x–4 muutub 0-ks punktis x = 2 ja avaldis x + 3 punktis x = –3. Need kaks punkti jagavad arvujoone kolmeks intervalliks: \(x
Mõelge esimesele intervallile: \((-\infty; \; -3) \).
Kui x Vaatleme teist intervalli: \([-3; \; 2) \).
Kui \(-3 \leq x Vaatleme kolmandat intervalli: \()
Laadimine...