Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Tunni eesmärgid:

õpilaste arusaamade laiendamine ja süvendamine aritmeetilise progressiooni abil lahendatavate ülesannete kohta; õpilaste otsingutegevuse korraldamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi tuletamisel;
oskuste arendamine iseseisvalt uute teadmiste omandamiseks, juba omandatud teadmiste kasutamiseks püstitatud ülesande saavutamiseks;
saadud faktide üldistamise soovi ja vajaduse kujunemine, iseseisvuse kujunemine.

Ülesanded:

üldistada ja süstematiseerida olemasolevaid teadmisi teemal “Aritmeetiline progressioon”;
tuletada valemid aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutamiseks;
õpetada saadud valemeid rakendama erinevate ülesannete lahendamisel;
juhtida õpilaste tähelepanu arvavaldise väärtuse leidmisel tegevuste järjestusele.

Varustus:

kaardid ülesannetega rühmades ja paarides töötamiseks;
hindamispaber;
esitlus"Aritmeetiline progressioon".

I. Algteadmiste uuendamine.

1. Iseseisev töö paaristööna.

1. variant:

Andke aritmeetilise progressiooni definitsioon. Kirjutage üles rekursiivne valem, mida kasutate aritmeetilise progressiooni määratlemiseks. Tere näide aritmeetilisest progressioonist ja märkige selle erinevus.

2. variant:

Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem. Leidke aritmeetilise progressiooni 100. liige ( a n}: 2, 5, 8 …
Sel ajal valmistavad kaks õpilast tahvli tagaküljel samadele küsimustele vastuseid.
Õpilased hindavad partneri tööd tahvli vastu. (Vastelehed antakse üle).

2. Mänguhetk.

1. harjutus.

Õpetaja. Olen mõelnud välja aritmeetilise progressiooni. Esitage mulle lihtsalt kaks küsimust, et pärast vastuseid saaksite kiiresti nimetada selle edenemise 7. liikme. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Õpilaste küsimused.

Mis on edenemise kuues liige ja mis vahe on?
Mis on edenemise kaheksas liige ja mis vahe on?

Kui küsimusi rohkem pole, saab õpetaja neid stimuleerida - d-le (erinevus) “keelata”, see tähendab, et ei tohi küsida, mis vahe on. Saate esitada küsimusi: mis on progressiooni 6. liige ja mis on progressiooni 8. liige?

2. ülesanne.

Tahvlile on kirjutatud 20 numbrit: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Õpetaja seisab seljaga tahvli poole. Õpilased helistavad numbri numbrile ja õpetaja helistab kohe sellele numbrile ise. Selgitage, kuidas ma seda teen?

Õpetaja mäletab n-nda õppeveerandi valemit a n = 3n - 2 ja asendades antud väärtused n, leiab vastavad väärtused a n.

II. Haridusprobleemi avaldus.

Teen ettepaneku lahendada iidne probleem, mis pärineb II aastatuhandest eKr ja mis leiti Egiptuse papüürustest.

Ülesanne:"Olgu teile öeldud: jagage 10 mõõtu otra 10 inimese vahel, vahe iga inimese ja tema naabri vahel on 1/8 mõõdust."

Kuidas on see ülesanne seotud aritmeetilise progressiooni teemaga? (Iga järgmine saab 1/8 mõõtu rohkem, mis tähendab vahet d = 1/8, 10 inimest, mis tähendab n = 10.)
Mida number 10 teie arvates tähendab? (Kõigi progressi liikmete summa.)
Mida on veel vaja teada, et odra jaotamine vastavalt ülesande seisukorrale oleks lihtne ja lihtne? (Esimene liige edenemises.)

Tunni eesmärk- progressiooni liikmete summa sõltuvuse saamine nende arvust, esimesest liikmest ja vahest ning kontrollimine, kas ülesande lahendamine oli muinasajal õigesti lahendatud.

Enne valemi järelduse tegemist vaatame, kuidas muistsed egiptlased probleemi lahendasid.

Ja nad lahendasid selle järgmiselt:

1) 10 mõõdikut: 10 = 1 meede – keskmine osakaal;
2) 1 mõõt ∙ = 2 takti – kahekordistatud keskmine jagada.
Kahekordne keskmine aktsia on 5. ja 6. inimese aktsiate summa.
3) 2 mõõtu - 1/8 mõõtu = 1 7/8 mõõtu - kahekordne viienda isiku osakaal.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - viienda osa; ja nii edasi, leiate iga eelmise ja järgmise inimese osakaalu.

Saame järjestuse:

III. Probleemi lahendus.

1. Töö rühmades

I rühm: Leidke 20 järjestikuse naturaalarvu summa: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Üldiselt

II rühm: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100 (Legend väikesest Gaussist).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Väljund:

III rühm: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 21.

Lahendus: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Väljund:

IV grupp: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 101.

Väljund:

Seda vaadeldavate probleemide lahendamise meetodit nimetatakse Gaussi meetodiks.

2. Iga rühm esitab ülesande lahenduse tahvlil.

3. Suvalise aritmeetilise progressiooni pakutud lahenduste üldistamine:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Leiame selle summa sarnaselt arutledes:

4. Kas oleme ülesande lahendanud?(Jah.)

IV. Saadud valemite esmane mõistmine ja rakendamine ülesannete lahendamisel.

1. Vana ülesande lahenduse kontrollimine valemi abil.

2. Valemi rakendamine erinevate ülesannete lahendamisel.

3. Harjutused valemi rakendamise oskuse kujundamiseks ülesannete lahendamisel.

A) nr 613

Antud:( a n) - aritmeetiline progressioon;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Leia: S 1500

Lahendus: , a 1 = 1, a 1500 = 1500,

B) Arvestades: ( a n) - aritmeetiline progressioon;
(a n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Leia: n
Lahendus:

V. Iseseisev töö vastastikuse kontrolliga.

Denis läks kullerina tööle. Esimesel kuul oli tema palk 200 rubla, igal järgneval kuul tõusis see 30 rubla võrra. Kui palju ta aastaga teenis?

Antud:( a n) - aritmeetiline progressioon;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Leia: S 12
Lahendus:

Vastus: Denis sai aastaga 4380 rubla.

Vi. Kodutöö briifing.

lk 4.3 - õppige valemi tuletamist.
№№ 585, 623 .
Koostage ülesanne, mille lahendamiseks kasutatakse aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemit.

Vii. Õppetunni kokkuvõte.

1. Hindamisleht

2. Jätka lauseid

Täna õppetunnis õppisin ...
Õpitud valemid...
Ma arvan, et …

3. Kas leiate arvude summa 1 kuni 500? Millist meetodit kasutate selle probleemi lahendamiseks?

Bibliograafia.

1. Algebra, 9. klass. Õpik haridusasutustele. Ed. G.V. Dorofejeva. M .: "Haridus", 2009.

Kui iga naturaalarv n vaste reaalarvuga a n , siis öeldakse, et on antud numbriline jada :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Seega on numbriline jada loomuliku argumendi funktsioon.

Number a 1 kutsutakse jada esimene liige , number a 2 — teine ametiaeg , number a 3 — kolmandaks jne. Number a n kutsutakse jada n-s liige ja naturaalarv n — tema number .

Kahest naaberliikmest a n ja a n +1 jada liige a n +1 kutsutakse järgnev ( suunas a n ), a a n — eelmine ( suunas a n +1 ).

Jada määramiseks tuleb määrata meetod, mis võimaldab leida suvalise arvuga jada liiget.

Sageli on järjestus antud koos n-nda termini valemid , st valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Näiteks,

positiivsete paaritute arvude jada saab määrata valemiga

a n= 2n - 1,

ja vaheldumise järjekord 1 ja -1 - valemi järgi

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata rekursiivne valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

Näiteks,

kui a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis seatakse arvjada esimesed seitse liiget järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik ja lõputu .

Jada nimetatakse ülim kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

Näiteks,

kahekohaliste naturaalarvude jada:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algarvude jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse kahanev kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

Näiteks,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - järjestuse suurenemine;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - kahanev järjestus. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu suurenedes ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Monotoonsed jadad on eelkõige tõusvad ja kahanevad jadad.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige, alustades teisest, on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on suvalise naturaalarvu aritmeetiline progressioon n tingimus on täidetud:

a n +1 = a n + d,

kus d - mingi number.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgmise ja eelmise liikme vahel alati konstantne:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Number d kutsutakse aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse märkimisest.

Näiteks,

kui a 1 = 3, d = 4 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeetilise progressiooni jaoks esimese liikmega a 1 ja erinevus d teda n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Näiteks,

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-1 + a n + 1
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe ülejäänud aritmeetilise keskmisega.

Näiteks,

a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

Seega

a n + 1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni -nda liige võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k

a n = a k + (n- k)d.

Näiteks,

jaoks a 5 saab kirjutada

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-k + a n + k
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub selle aritmeetilise progressiooni liikmete poolsummaga, mis on sellest võrdse vahega.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

esimene n aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne äärmuslike liikmete poolsumma korrutisega liikmete arvuga:

Siit tuleneb eelkõige, et kui on vaja tingimused kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a n,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis väärtused a 1 , a n, d, n jaS n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis liidetakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:

kui d > 0 , siis see suureneb;
kui d < 0 , siis see väheneb;
kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

Geomeetriline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

kus q ≠ 0 - mingi number.

Seega on antud geomeetrilise progressiooni järgmise liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Number q kutsutakse geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja märkimisest.

Näiteks,

kui b 1 = 1, q = -3 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda n Kolmanda termini saab leida valemiga:

b n = b 1 · q n -1 .

Näiteks,

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmisega (proportsionaalne).

Kuna ka vastupidine väide on tõene, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.

Näiteks,

tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on eksponentsiaalne progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Seega

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab nõutavat väidet. ◄

Pange tähele, et n geomeetrilise progressiooni -nda liige võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka mis tahes eelmist terminit b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · q n - k.

Näiteks,

jaoks b 5 saab kirjutada

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne sellest võrdsel kaugusel olevate liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Näiteks,

eksponentsiaalselt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esimene n geomeetrilise progressiooni liikmed koos nimetajaga q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= nb 1

Pange tähele, et kui teil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Näiteks,

eksponentsiaalselt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis väärtused b 1 , b n, q, n ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest mis tahes väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q järgnev monotoonsed omadused :

progresseerumine on tõusev, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

progresseerumine väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Kui q< 0 , siis on geomeetriline progressioon vahelduv: selle paaritutel liikmetel on sama märk kui selle esimesel liikmel ja paarisarvulistel liikmetel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese töö n geomeetrilise progressiooni liikmeid saab arvutada järgmise valemiga:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Näiteks,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem 1 , see on

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhtumiga

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada vahelduv. Näiteks,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa on arv, mille summa esimese n progresseerumise liikmed arvu piiramatu kasvuga n ... See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Näiteks,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatame vaid kahte näidet.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , siis

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Näiteks,

1, 3, 5, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geomeetriline progressioon koos nimetajaga 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geomeetriline progressioon koos nimetajaga q , siis

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

Näiteks,

2, 12, 72, . . . - geomeetriline progressioon koos nimetajaga 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄

Esimene tase

Aritmeetiline progressioon. Üksikasjalik teooria koos näidetega (2019)

Numbriline jada

Nii et istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, milline teine ja nii edasi kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbriline jada
Näiteks meie järjestuse jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele jada numbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu -s) on alati üks.
Numbriga arvu nimetatakse jada liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga:.

Meie puhul:

Oletame, et meil on arvuline jada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks:

jne.
Seda arvujada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Termini "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele juba 6. sajandil ja seda mõisteti laiemas tähenduses lõputu numbrijadana. Nimetus "aritmeetika" kandus üle pidevate proportsioonide teooriast, mida kasutasid vanad kreeklased.

See on arvuline jada, mille iga liige on võrdne eelmisega, mis on lisatud samale numbrile. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja seda tähistatakse.

Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:

a)
b)
c)
d)

Sai aru? Võrdleme oma vastuseid:
Kas an aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.

Pöördume tagasi antud progressiooni () juurde ja proovime leida selle th liikme väärtust. Olemas kaks viis selle leidmiseks.

1. Meetod

Saame lisada progressiooni arvu eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et kokkuvõtte tegemiseks pole enam palju jäänud – ainult kolm väärtust:

Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni liige võrdne.

2. Meetod

Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine võtaks meil rohkem kui ühe tunni ja pole tõsiasi, et me arvude liitmisel ei eksiks.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust pole vaja eelmisele väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti lähemalt ... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:

Näiteks vaatame, kuidas selle aritmeetilise progressiooni th liikme väärtus liidetakse:

Teisisõnu:

Proovige sel viisil iseseisvalt leida antud aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.

Arvutatud? Võrrelge oma märkmeid vastusega:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu kui eelmise meetodi puhul, kui lisasime järjestikku aritmeetilise progressiooni liikmed eelmisele väärtusele.
Proovime seda valemit "depersonaliseerida" - viime selle üldisesse vormi ja saame:

Aritmeetilise progressiooni võrrand.

Aritmeetilised progressioonid on kasvavad ja mõnikord kahanevad.

Kasvav- progressioonid, milles iga järgnev liikmete väärtus on suurem kui eelmine.
Näiteks:

Väheneb- progressioonid, milles iga järgnev liikmete väärtus on eelmisest väiksem.
Näiteks:

Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete terminite arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmistest arvudest: Kontrollime, milline on selle aritmeetilise progressiooni nn arv, kui kasutame selle arvutamiseks meie valemit:

Sellest ajast:

Seega veendusime, et valem toimib nii kahanevas kui ka kasvavas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni th ja th liiget.

Võrdleme saadud tulemusi:

Aritmeetilise progressiooni omadus

Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
Lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:

Olgu siis a:

Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progressi kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga kui tingimuses on meile antud numbrid? Tunnistage, et arvutustes on võimalus eksida.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe toiminguga mis tahes valemi abil lahendada? Muidugi, jah, ja just tema püüame praegu tagasi võtta.

Tähistame aritmeetilise progressiooni nõutavat liiget kui, me teame selle leidmise valemit - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, siis:

edenemise eelmine liige on:
progressi järgmine liige on:

Teeme kokkuvõtte edenemise varasematest ja järgnevatest liikmetest:

Selgub, et progressiooni eelmiste ja järgnevate liikmete summa on nende vahel paikneva progressiooni liikme kahekordistunud väärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooni liikme väärtuse leidmiseks on vaja need liita ja jagada.

Täpselt nii, meil on sama number. Parandame materjali. Arvutage progresseerumise väärtus ise, sest see pole üldse keeruline.

Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Õppida on jäänud vaid üks valem, mille legendi järgi tuletas kergesti enda jaoks üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss ...

Kui Karl Gauss oli 9-aastane, esitas teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega tegelev õpetaja tunnis järgmise ülesande: "Arvutage kõigi naturaalarvude summa alates kuni (teistel andmetel kuni) kaasa arvatud." Kujutage ette õpetaja üllatust, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis ülesandele minutiga õige vastuse, samal ajal kui enamik uljaspea klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse ...

Noor Karl Gauss märkas teatud mustrit, mida on lihtne märgata.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ndast liikmest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni antud liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi summeerida, aga mis siis, kui ülesandes on vaja leida selle liikmete summa, nagu Gauss otsis?

Joonistame etteantud progressiooni. Vaadake tähelepanelikult esiletõstetud numbreid ja proovige nendega teha erinevaid matemaatilisi tehteid.

Kas olete seda proovinud? Mida olete märganud? Õige! Nende summad on võrdsed

Ütle nüüd, kui palju selliseid paare antud progressis on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnaste võrdsete paaride summa, saame, et kogusumma on:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:

Mõnes ülesandes me ei tea th liiget, kuid me teame progresseerumise erinevust. Proovige valemis asendada summa, th liikme valem.
Mida sa tegid?

Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Karl Gaussile antud ülesande juurde: arvutage ise välja, mis on -ndast algavate arvude ja -ndast algavate arvude summa.

Kui palju sa said?
Gauss leidis, et liikmete summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?

Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit 3. sajandil Vana-Kreeka teadlane Diophantus ja kogu selle aja jooksul kasutasid vaimukad inimesed aritmeetilise progressiooni omadusi maksimaalselt ära.
Kujutage näiteks ette Vana-Egiptust ja tolleaegset kõige ambitsioonikamat ehitusplatsi - püramiidi ehitamist... Pildil on selle üks pool.

Kus siin areng on, ütlete? Vaadake tähelepanelikult ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvu muster.

Kas see pole mitte aritmeetiline progressioon? Arvutage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusesse asetada klotsid. Loodan, et te ei loe näpuga üle monitori ajades, kas mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?

Sel juhul näeb progresseerumine välja järgmine:.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (loendame plokkide arvu kahel viisil).

1. meetod.

2. meetod.

Ja nüüd saate monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Kas see tuli kokku? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni liikmete summa.
Püramiidi ei saa muidugi aluse plokkidest ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:

Treening

Ülesanded:

Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda Maša nädalate jooksul kükib, kui esimeses treeningus tegi ta kükke.
Mis on kõigi selles sisalduvate paaritute arvude summa.
Palkide ladustamisel laovad metsamehed need nii, et iga pealmine kiht sisaldab ühe palgi vähem kui eelmises. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise aluseks on palgid.

Vastused:

Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
(nädalad = päevad).
Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha kükitama kord päevas.
Esimene paaritu number, viimane number.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Paaritute arvude arv on pooleks, kuid seda fakti kontrollime aritmeetilise progressiooni -nda liikme leidmise valemiga:
Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
Asendage saadaolevad andmed valemiga:
Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.
Meenutagem püramiidi probleemi. Meie puhul a, kuna iga pealmine kiht väheneb ühe palgi võrra, siis ainult kihtidena, see tähendab.
Asendame andmed valemiga:
Vastus: Müüritises on palgid.

Teeme kokkuvõtte

- numbriline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See võib olla nii tõusev kui kahanev.
Valemi leidmine-aritmeetilise progressiooni liige kirjutatakse valemiga -, kus on arvude arv progressioonis.
Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus on progressi arvude arv.
Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:

, kus on väärtuste arv.

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE

Numbriline jada

Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Aga alati saab öelda, kumb on esimene, kumb teine ja nii edasi, ehk saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.

Numbriline jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Teisisõnu, iga arvu saab seostada teatud naturaalarvuga ja ainsa. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.

Numbriga arvu nimetatakse jada liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga:.

On väga mugav, kui jada th liikme saab määrata mõne valemiga. Näiteks valem

määrab järjestuse:

Ja valem on järgmine jada:

Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus). Või (, erinevus).

N-nda termini valem

Korduvaks nimetame valemit, milles liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelmist:

Et leida sellise valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:

Noh, mis on nüüd valem?

Igal real, mille me lisame, korrutatuna mõne arvuga. Milleks? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:

Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:

Otsustage ise:

Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.

Lahendus:

Esimene tähtaeg on võrdne. Mis vahe on? Ja siin on see, mis:

(see on sellepärast, et seda nimetatakse erinevuseks, mis on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).

Nii et valem on järgmine:

Siis on sajas liige:

Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?

Legendi järgi arvutas suur matemaatik Karl Gauss, olles 9-aastane poiss, selle summa mõne minutiga välja. Ta märkas, et esimese ja viimase arvu summa on võrdne, teise ja viimase peale ühe summa on sama, kolmanda ja kolmanda summa lõpust on sama jne. Kui palju selliseid paare tuleb? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,

Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem oleks järgmine:

Näide:
Leidke kõigi kahekohaliste kordajate summa.

Lahendus:

Esimene selline number on. Iga järgmine saadakse eelmisele numbrile liitmise teel. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.

Selle progresseerumise termini valem on järgmine:

Mitu liiget on edenemises, kui nad kõik peavad olema kahekohalised?

Väga lihtne: .

Progressiooni viimane liige on võrdne. Siis summa:

Vastus:.

Otsustage nüüd ise:

Iga päev jookseb sportlane rohkem m kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit ta nädalatega jookseb, kui ta jooksis esimesel päeval km m?
Jalgrattur sõidab iga päev rohkem kilomeetreid kui eelmine. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta km läbimiseks sõitma? Mitu kilomeetrit ta reisi viimasel päeval läbib?
Külmiku hind kaupluses langeb igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju on külmiku hind igal aastal langenud, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.

Vastused:

Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progressi esimeste liikmete summa:
.
Vastus:
Siin on antud:, on vaja leida.
Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
.
Asendage väärtused:
Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus on.
Arvutame viimase päeva läbitud vahemaa th termini valemi abil:
(km).
Vastus:
Arvestades:. Leia:.
See ei saaks olla lihtsam:
(hõõruda).
Vastus:

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST

See on arvuline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne.

Aritmeetiline progressioon võib olla tõusev () ja kahanev ().

Näiteks:

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem

kirjutatud valemiga, kus on arvude arv progressis.

Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus

See võimaldab hõlpsasti leida progressiooni liiget, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressi arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Summa leidmiseks on kaks võimalust:

Kus on väärtuste arv.

Juhised

Aritmeetiline progressioon on jada kujul a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. D sammudega progresseerumist On ilmne, et aritmeetika suvalise n-nda liikme summa progresseerumist on kujul: An = A1 + (n-1) d. Siis teades üht liiget progresseerumist, liige progresseerumist ja astuda progresseerumist, saate ehk edenemise liikme number. Ilmselt määratakse see valemiga n = (An-A1 + d) / d.

Nüüd olgu m-s tähtaeg teada progresseerumist ja veel üks liige progresseerumist- n-s, kuid n, nagu ka eelmisel juhul, kuid on teada, et n ja m ei lange kokku. progresseerumist saab arvutada valemiga: d = (An-Am) / (n-m). Siis n = (An-Am + md) / d.

Kui on teada aritmeetika mitme elemendi summa progresseerumist, samuti selle esimene ja viimane, siis saab määrata ka nende elementide arvu. progresseerumist on võrdne: S = ((A1 + An) / 2) n. Siis n = 2S / (A1 + An) - chdenov progresseerumist... Kasutades asjaolu, et An = A1 + (n-1) d, saab selle valemi ümber kirjutada järgmiselt: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). Sellest saab ruutvõrrandi lahendamisega väljendada n.

Aritmeetiline jada on järjestatud arvude hulk, mille iga liige, välja arvatud esimene, erineb eelmisest sama palju. Seda konstantset väärtust nimetatakse progressiooni või selle astme erinevuseks ja seda saab arvutada aritmeetilise progressiooni teadaolevate liikmete põhjal.

Juhised

Kui ülesande tingimustest on teada esimese ja teise või mõne muu naaberterminite paari väärtused, lahutage erinevuse (d) arvutamiseks lihtsalt eelmine järgmisest liikmest. Tulemuseks olev väärtus võib olla kas positiivne või negatiivne, olenevalt sellest, kas progresseerumine suureneb. Üldjuhul kirjutage progressiooni külgnevate liikmete suvalise paari (aᵢ ja aᵢ₊₁) lahendus järgmiselt: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Sellise progressi liikmete paari jaoks, millest üks on esimene (a1) ja teine on suvaliselt valitud, on võimalik koostada ka valem erinevuse (d) leidmiseks. Kuid sel juhul peab olema teada jada suvaliselt valitud liikme järjekorranumber (i). Erinevuse arvutamiseks lisage mõlemad arvud ja jagage tulemus suvalise liikme järgarvuga, mida on vähendatud ühega. Üldiselt kirjutage see valem järgmiselt: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Kui lisaks järgarvuga i aritmeetilise progressiooni suvalisele liikmele on teada veel üks järgarvuga u liige, muutke vastavalt eelmise sammu valemit. Sel juhul on progressiooni erinevus (d) nende kahe liikme summa jagatud nende järgarvude erinevusega: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

Vahe (d) arvutamise valem muutub mõnevõrra keerulisemaks, kui ülesandes on antud selle esimese liikme väärtus (a₁) ja aritmeetilise jada esimeste liikmete antud arvu (i) summa (Sᵢ). tingimused. Soovitud väärtuse saamiseks jagage summa selle moodustavate liikmete arvuga, lahutage jada esimese numbri väärtus ja kahekordistage tulemus. Jagage saadud väärtus summa moodustavate liikmete arvuga, mida on vähendatud ühe võrra. Üldiselt kirjutage diskriminandi arvutamise valem järgmiselt: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

Algebra õppimisel üldhariduskoolis (9. klass) on üheks oluliseks teemaks arvjadade õpe, mis hõlmab progresseerumist - geomeetrilist ja aritmeetikat. Selles artiklis käsitleme aritmeetilist progressiooni ja näiteid lahendustega.

Mis on aritmeetiline progressioon?

Selle mõistmiseks on vaja anda vaadeldava progressi definitsioon, samuti põhivalemid, mida edaspidi probleemide lahendamisel kasutatakse.

Aritmeetiline ehk on järjestatud ratsionaalarvude hulk, mille iga liige erineb eelmisest mingi konstantse väärtuse võrra. Seda väärtust nimetatakse erinevuseks. See tähendab, et teades järjestatud arvude jada mis tahes liiget ja erinevust, saate taastada kogu aritmeetilise progressiooni.

Toome näite. Järgmine arvude jada on aritmeetiline progressioon: 4, 8, 12, 16, ..., kuna antud juhul on erinevus 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Kuid arvude komplekti 3, 5, 8, 12, 17 ei saa enam omistada vaadeldavale progressioonitüübile, kuna selle erinevus ei ole konstantne väärtus (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Olulised valemid

Anname nüüd põhivalemid, mida läheb vaja ülesannete lahendamiseks aritmeetilise progressiooni abil. Tähistame a n-ga jada n-ndat liiget, kus n on täisarv. Erinevus on tähistatud ladina tähega d. Siis kehtivad järgmised väljendid:

N-nda liikme väärtuse määramiseks sobib valem: a n = (n-1) * d + a 1.
Esimese n liikme summa määramiseks: S n = (a n + a 1) * n / 2.

9. klassi lahendusega aritmeetilise progressiooni näidete mõistmiseks piisab nende kahe valemi meeldejätmisest, kuna kõik vaadeldavat tüüpi ülesanded on üles ehitatud nende kasutamisele. Samuti peaksite meeles pidama, et progresseerumise erinevus määratakse valemiga: d = a n - a n-1.

Näide nr 1: tundmatu liikme leidmine

Toome lihtsa näite aritmeetilisest progressioonist ja valemitest, mida lahendamiseks tuleb kasutada.

Olgu antud jada 10, 8, 6, 4, ..., sealt on vaja leida viis liiget.

Juba probleemipüstitusest järeldub, et esimesed 4 terminit on teada. Viiendat saab määratleda kahel viisil:

Kõigepealt arvutame erinevuse. Meil on: d = 8 - 10 = -2. Samamoodi võib võtta kaks teist liiget, kes seisavad üksteise kõrval. Näiteks d = 4 - 6 = -2. Kuna on teada, et d = a n - a n-1, siis d = a 5 - a 4, millest saame: a 5 = a 4 + d. Asendage teadaolevad väärtused: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Teine meetod nõuab ka vaadeldava progressi erinevuse tundmist, nii et kõigepealt peate selle määrama, nagu ülal näidatud (d = -2). Teades, et esimene liige a 1 = 10, kasutame jada n arvu valemit. Meil on: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Asendades viimases avaldises n = 5, saame: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Nagu näete, andsid mõlemad lahendusmeetodid sama tulemuse. Pange tähele, et selles näites on progressiooni erinevus d negatiivne. Selliseid jadasid nimetatakse kahanevateks, kuna iga järgmine liige on väiksem kui eelmine.

Näide nr 2: edenemise erinevus

Teeme nüüd ülesande veidi keerulisemaks, toome näite, kuidas leida aritmeetilise progressiooni erinevust.

On teada, et mõnes algebralises progressioonis võrdub 1. liige 6-ga ja 7. liige 18-ga. On vaja leida erinevus ja taastada see jada 7. liikmeks.

Kasutame tundmatu liikme määramiseks valemit: a n = (n - 1) * d + a 1. Asendame selles tingimusest teadaolevad andmed, see tähendab arvud a 1 ja a 7, meil on: 18 = 6 + 6 * d. Selle avaldise põhjal saate hõlpsalt arvutada erinevuse: d = (18 - 6) / 6 = 2. Seega oleme vastanud ülesande esimesele osale.

Kuni 7-liikmelise jada taastamiseks peaksite kasutama algebralise progressiooni määratlust, st a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d jne. Selle tulemusena taastame kogu jada: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Näide nr 3: edenemine

Teeme probleemi olukorra veelgi keerulisemaks. Nüüd on vaja vastata küsimusele, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Võite tuua järgmise näite: antud kaks arvu, näiteks - 4 ja 5. On vaja teha algebraline progressioon, et nende vahele mahuks veel kolm liiget.

Enne selle probleemi lahendamise alustamist on vaja mõista, millise koha antud numbrid edaspidises progresseerumises hõivavad. Kuna nende vahel on veel kolm liiget, siis a 1 = -4 ja a 5 = 5. Olles selle kindlaks teinud, jätkame ülesandega, mis on sarnane eelmisele. Jällegi, n-nda liikme jaoks kasutame valemit, saame: a 5 = a 1 + 4 * d. Kust: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Siin ei saanud me erinevuse täisarvu, vaid see on ratsionaalne arv, nii et algebralise progressiooni valemid jäävad samaks.

Nüüd lisage leitud erinevus 1-le ja taastage edenemise puuduvad liikmed. Saame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mis langesid kokku koos probleemi olukorraga.

Näide # 4: progresseerumise esimene liige

Jätkame aritmeetilise progressiooni näidete toomist lahendusega. Kõigis eelnevates ülesannetes oli algebralise progressiooni esimene number teada. Vaatleme nüüd teist tüüpi ülesannet: olgu antud kaks arvu, kus a 15 = 50 ja a 43 = 37. Tuleb leida arv, millest see jada algab.

Seni kasutatud valemid eeldavad a 1 ja d tundmist. Probleemi avalduses pole nende numbrite kohta midagi teada. Sellegipoolest kirjutame iga liikme kohta välja avaldised, mille kohta on teavet: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Sai kaks võrrandit, milles 2 tundmatut suurust (a 1 ja d). See tähendab, et ülesanne taandub lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisele.

Lihtsaim viis selle süsteemi lahendamiseks on väljendada igas võrrandis 1 ja seejärel võrrelda saadud avaldisi. Esimene võrrand: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; teine võrrand: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Neid avaldisi võrdsutades saame: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kust erinevus d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (antud on ainult 3 kohta pärast koma).

Teades d-d, saate 1 jaoks kasutada ükskõik millist kahest ülaltoodud avaldisest. Näiteks esimene: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Kui kahtlete tulemuses, saate seda kontrollida, näiteks määrata progresseerumise 43 tähtaeg, mis on tingimuses määratud. Saame: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Väike viga on tingitud sellest, et arvutustes kasutati ümardamist tuhandikuteni.

Näide nr 5: summa

Vaatame nüüd mõningaid näiteid aritmeetilise progressiooni summa lahendustega.

Olgu antud arvuline progressioon järgmisel kujul: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuidas arvutate nende 100 arvu summa?

Tänu arvutitehnoloogia arengule on võimalik seda probleemi lahendada ehk kõik numbrid järjestikku kokku liita, mida arvuti teeb kohe, kui inimene vajutab sisestusklahvi. Küll aga saab ülesande mõistuses lahendada, kui pöörata tähelepanu sellele, et esitatud arvude jada on algebraline progressioon ja selle erinevus on 1. Rakendades summa valemit, saame: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Huvitav on märkida, et seda probleemi nimetatakse Gaussiks, sest 18. sajandi alguses suutis kuulus sakslane, olles veel vaid 10-aastane, selle mõne sekundiga oma peas lahendada. Poiss ei teadnud algebralise progressiooni summa valemit, kuid ta märkas, et kui liita jada servadel olevad arvud paarikaupa, saad alati ühe tulemuse ehk 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ja kuna nendest summadest on täpselt 50 (100/2), siis õige vastuse saamiseks piisab, kui korrutada 50 101-ga.

Näide # 6: liikmete summa vahemikus n kuni m

Teine tüüpiline näide aritmeetilise progressiooni summa kohta on järgmine: kui on antud arvude jada: 3, 7, 11, 15, ..., peate leidma, millega võrdub selle liikmete summa vahemikus 8 kuni 14.

Probleem lahendatakse kahel viisil. Esimene neist hõlmab tundmatute terminite leidmist vahemikus 8 kuni 14 ja seejärel nende järjestikust lisamist. Kuna termineid on vähe, pole see meetod piisavalt töömahukas. Sellest hoolimata tehakse ettepanek lahendada see probleem teise meetodi abil, mis on universaalsem.

Idee on saada valem terminite m ja n vahelise algebralise progressiooni summa kohta, kus n> m on täisarvud. Kirjutame mõlemal juhul summa jaoks välja kaks avaldist:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kuna n> m, on ilmne, et 2 summa sisaldab esimest. Viimane järeldus tähendab, et kui võtta nende summade vahe, ja lisada sellele liige a m (vahe võtmise korral lahutatakse see summast S n), siis saame ülesandele vajaliku vastuse. Meil on: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). Selles avaldises on vaja asendada valemid n ja a m-ga. Siis saame: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Saadud valem on mõnevõrra tülikas, kuid S mn summa sõltub ainult n-st, m-st, a 1-st ja d-st. Meie puhul a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Nende arvude asendamisel saame: S mn = 301.

Nagu antud lahendustest näha, põhinevad kõik ülesanded n-nda liikme avaldise ja esimeste liikmete hulga summa valemi tundmisel. Enne nende probleemide lahendamise jätkamist on soovitatav tingimus hoolikalt läbi lugeda, mõista selgelt, mida on vaja leida, ja alles seejärel jätkata lahenduse leidmist.

Teine näpunäide on püüelda lihtsuse poole, see tähendab, et kui saate vastata küsimusele ilma keerulisi matemaatilisi arvutusi kasutamata, peate seda tegema, kuna sel juhul on eksimise tõenäosus väiksem. Näiteks aritmeetilise progressiooni näites lahendusega nr 6 võiks peatuda valemiga S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am ja katkestada üldprobleem eraldi alamülesanneteks (sel juhul tuleb kõigepealt leida liikmed an ja am).

Kui saadud tulemuse suhtes on kahtlusi, on soovitatav seda kontrollida, nagu seda tehti mõnes toodud näites. Arutlesime, kuidas leida aritmeetiline progressioon. Kui sa sellest aru saad, pole see nii keeruline.