Travaillons avec équations du second degré... Ce sont des équations très populaires ! Dans sa forme la plus générale, l'équation quadratique ressemble à ceci :
Par exemple:
Ici une =1; b = 3; c = -4
Ici une =2; b = -0,5; c = 2,2
Ici une =-3; b = 6; c = -18
Eh bien, vous voyez l'idée...
Comment résoudre des équations quadratiques ? Si vous avez une équation quadratique sous cette forme, alors tout est déjà simple. Se souvenir du mot magique discriminant ... Un rare lycéen n'a pas entendu ce mot ! L'expression « décider par le discriminant » est rassurante et rassurante. Parce qu'il n'y a pas besoin d'attendre les sales coups du discriminant ! Il est simple et sans problème à utiliser. Ainsi, la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :
L'expression sous le signe racine est la même discriminant... Comme vous pouvez le voir, pour trouver x, nous utilisons seulement a, b et c... Celles. coefficients de l'équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c dans cette formule et compter. Remplacer avec vos signes ! Par exemple, pour la première équation une =1; b = 3; c= -4. On écrit donc :
L'exemple est pratiquement résolu :
C'est tout.
Quels cas sont possibles en utilisant cette formule ? Il n'y a que trois cas.
1. Le discriminant est positif. Cela signifie que vous pouvez en extraire la racine. La bonne racine est extraite, ou la mauvaise - une autre question. Il est important ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.
2. Le discriminant est zéro. Ensuite, vous avez une solution. À proprement parler, ce n'est pas une racine, mais deux identiques... Mais cela joue un rôle dans les inégalités, nous y étudierons la question plus en détail.
3. Le discriminant est négatif. Aucune racine carrée n'est tirée d'un nombre négatif. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.
Tout est très simple. Et que pensez-vous qu'il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...
Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les signes de signification. a, b et c... Plutôt, pas avec leurs signes (où se confondre ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ici, une notation détaillée de la formule avec des nombres spécifiques enregistre. S'il y a des problèmes de calcul, le faire!
Supposons que vous deviez résoudre cet exemple :
Ici a = -6 ; b = -5 ; c = -1
Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses la première fois.
Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire. Et le nombre d'erreurs va fortement diminuer... Nous écrivons donc en détail, avec toutes les parenthèses et tous les signes :
Il semble incroyablement difficile de peindre si soigneusement. Mais il semble seulement être. Essayez-le. Eh bien, ou choisissez. Qu'est-ce qui est mieux, rapide ou correct ? En plus, je vais te faire plaisir. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout peindre avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez les techniques pratiques décrites ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d'inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !
Alors, comment résoudre des équations quadratiques nous nous sommes souvenus à travers le discriminant. Ou avoir appris, ce qui n'est pas mal non plus. Savoir identifier correctement a, b et c... Tu sais comment avec attention les remplacer dans la formule racine et avec attention lire le résultat. Vous avez l'idée que le mot clé ici est avec attention?
Cependant, les équations quadratiques semblent souvent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :
Cette équations quadratiques incomplètes ... Ils peuvent également être résolus par le discriminant. Vous avez juste besoin de comprendre correctement à quoi ils sont égaux a, b et c.
L'as-tu compris? Dans le premier exemple a = 1 ; b = -4 ; une c? Il n'est pas du tout là ! Eh bien, oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est tout. Remplacer zéro dans la formule au lieu de c, et nous réussirons. Il en est de même pour le deuxième exemple. Seulement zéro nous avons ici pas Avec, une b !
Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus facilement. Sans aucun discriminant. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire là-bas sur le côté gauche? Vous pouvez mettre le x hors des parenthèses ! Sortons-le.
Et qu'en est-il ? Et le fait que le produit soit égal à zéro si et seulement si l'un des facteurs est égal à zéro ! Ne me croyez pas ? Eh bien, alors pensez à deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça ...
Par conséquent, nous pouvons écrire en toute confiance : x = 0, ou x = 4
Tout. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En substituant l'un d'eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple qu'avec le discriminant.
La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On a:
Il reste à extraire la racine de 9, et c'est tout. Il s'avérera :
Aussi deux racines ... x = +3 et x = -3.
C'est ainsi que toutes les équations quadratiques incomplètes sont résolues. Soit en plaçant le x entre parenthèses, soit en déplaçant simplement le nombre vers la droite puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine du x, ce qui est quelque peu incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à mettre entre parenthèses...
Pour l'instant, prenez note des meilleures pratiques qui réduiront considérablement les erreurs. Ceux-là mêmes qui sont dus à l'inattention. ... Pour qui alors ça fait mal et insulte ...
Première réception... Ne soyez pas paresseux pour l'amener à la forme standard avant de résoudre l'équation quadratique. Qu'est-ce que ça veut dire?
Disons qu'après quelques transformations, vous obtenez l'équation suivante :
Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous allez presque certainement mélanger les chances. a, b et c. Construisez l'exemple correctement. Tout d'abord, le X est au carré, puis sans le carré, puis le terme libre. Comme ça:
Et encore, ne vous précipitez pas ! Le moins devant le x dans le carré peut vous rendre vraiment triste. C'est facile de l'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Vous devez multiplier toute l'équation par -1. On a:
Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et compléter l'exemple. Fais le toi-même. Vous devriez avoir les racines 2 et -1.
Réception en second. Vérifiez les racines! Par le théorème de Vieta. Ne vous inquiétez pas, je vais tout vous expliquer ! Vérification dernière chose l'équation. Celles. celui par lequel nous avons écrit la formule pour les racines. Si (comme dans cet exemple) le coefficient a = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Vous devriez obtenir un membre gratuit, c'est-à-dire dans notre cas, -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec mon signe
... Si cela n'a pas fonctionné, c'est que c'est déjà foutu quelque part. Recherchez l'erreur. Si cela fonctionne, vous devez plier les racines. Le dernier et dernier contrôle. Vous devriez obtenir un coefficient b Avec opposé
familier. Dans notre cas, -1 + 2 = +1. Et le coefficient b qui est avant le x est -1. Alors, tout est correct !
C'est dommage que ce ne soit si simple que pour les exemples où le x au carré est pur, avec un coefficient a = 1. Mais au moins dans de telles équations, vérifiez ! Il y aura moins d'erreurs.
Troisième réception... Si vous avez des coefficients fractionnaires dans votre équation, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par le dénominateur commun comme décrit dans la section précédente. Lorsque vous travaillez avec des fractions, pour une raison quelconque, des erreurs ont tendance à apparaître ...
Au fait, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. Je vous en prie! C'est ici.
Afin de ne pas se tromper dans les moins, nous multiplions l'équation par -1. On a:
C'est tout! C'est un plaisir de décider!
Donc, pour résumer le sujet.
Conseils pratiques :
1. Avant de résoudre, nous apportons l'équation quadratique à la forme standard, construisons-la à droite.
2. S'il y a un coefficient négatif devant le x dans le carré, nous l'éliminons en multipliant l'équation entière par -1.
3. Si les coefficients sont fractionnaires, nous éliminons les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur approprié.
4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par le théorème de Vieta. Fais le!
Équations fractionnaires. ODZ.
Nous continuons à maîtriser les équations. Nous savons déjà travailler avec des équations linéaires et quadratiques. Le dernier regard reste - équations fractionnaires... Ou ils sont aussi appelés beaucoup plus solidement - équations rationnelles fractionnaires... C'est la même chose.
Équations fractionnaires.
Comme son nom l'indique, les fractions sont toujours présentes dans ces équations. Mais pas seulement des fractions, mais des fractions qui ont inconnu au dénominateur... Au moins un. Par exemple:
Permettez-moi de vous rappeler que si les dénominateurs ne contiennent que les nombres, ce sont des équations linéaires.
Comment résoudre équations fractionnaires? Tout d'abord, débarrassez-vous des fractions ! Après cela, l'équation, le plus souvent, devient linéaire ou quadratique. Et puis on sait quoi faire... Dans certains cas, cela peut se transformer en une identité, comme 5 = 5, ou une expression incorrecte, comme 7 = 2. Mais cela arrive rarement. Je vais le mentionner ci-dessous.
Mais comment se débarrasser des fractions !? Très simple. En appliquant toutes les mêmes transformations identiques.
Nous devons multiplier toute l'équation par la même expression. Pour que tous les dénominateurs soient réduits ! Tout deviendra plus facile à la fois. Laissez-moi vous expliquer avec un exemple. Supposons que nous ayons besoin de résoudre l'équation :
Comment avez-vous enseigné dans les classes inférieures? Nous transférons tout dans un sens, amenons à un dénominateur commun, etc. Oubliez ça comme un mauvais rêve ! Cela doit être fait lorsque vous ajoutez ou soustrayez des expressions fractionnaires. Ou travailler avec les inégalités. Et dans les équations, nous multiplions immédiatement les deux côtés par une expression qui nous donnera la possibilité de réduire tous les dénominateurs (c'est-à-dire, en substance, par un dénominateur commun). Et quelle est cette expression ?
Du côté gauche, pour annuler le dénominateur, multipliez par x + 2... Et à droite, il faut multiplier par 2. Par conséquent, l'équation doit être multipliée par 2 (x + 2)... On multiplie :
C'est la multiplication habituelle des fractions, mais je vais l'écrire en détail :
Veuillez noter que je ne développe pas encore la parenthèse. (x + 2)! Alors, dans son intégralité, je l'écris :
Sur le côté gauche, il est entièrement réduit (x + 2), et à droite 2. Ce qui est obligatoire ! Après réduction, on obtient linéaire l'équation:
Et tout le monde résoudra cette équation ! x = 2.
Résolvons un autre exemple, un peu plus compliqué :
Si on se souvient que 3 = 3/1, et 2x = 2x / 1, vous pouvez écrire :
Et encore une fois, nous nous débarrassons de ce que nous n'aimons pas vraiment - les fractions.
On voit que pour annuler le dénominateur avec x, il faut multiplier la fraction par (x - 2)... Quelques-uns ne sont pas un obstacle pour nous. Eh bien, nous multiplions. La totalité côté gauche et la totalité côté droit:
Encore des parenthèses (x - 2) Je ne divulgue pas. Je travaille avec la parenthèse dans son ensemble, comme s'il s'agissait d'un seul nombre ! Cela devrait toujours être fait, sinon rien ne sera réduit.
Avec un sentiment de profonde satisfaction, nous coupons (x - 2) et nous obtenons l'équation sans fractions, dans une règle !
Et maintenant nous ouvrons les crochets :
Nous en donnons des similaires, transférons tout sur le côté gauche et obtenons :
Équation quadratique classique. Mais le moins devant n'est pas bon. Vous pouvez toujours vous en débarrasser, en multipliant ou en divisant par -1. Mais si vous regardez attentivement l'exemple, vous remarquerez qu'il est préférable de diviser cette équation par -2 ! D'un seul coup, le moins disparaîtra et les chances deviendront plus jolies ! Divisez par -2. Sur le côté gauche - terme par terme, et sur la droite - divisez simplement zéro par -2, zéro et obtenez :
Nous résolvons par le discriminant et vérifions par le théorème de Vieta. On a x = 1 et x = 3... Deux racines.
Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, l'équation après la transformation est devenue linéaire, mais ici elle est quadratique. Il se trouve qu'après s'être débarrassé des fractions, tous les x sont réduits. Reste quelque chose comme 5 = 5. Cela signifie que x peut être n'importe quoi... Quoi qu'il en soit, il va encore rétrécir. Et vous obtenez la vérité honnête, 5 = 5. Mais, après s'être débarrassé des fractions, cela peut s'avérer complètement faux, comme 2 = 7. Cela signifie que pas de solution! Avec n'importe quel x, il s'avère être faux.
Réalisé la solution principale équations fractionnaires? C'est simple et logique. Nous modifions l'expression originale pour que tout ce que nous n'aimons pas disparaisse. Ou interfère. Dans ce cas, ce sont des fractions. Nous ferons de même avec toutes sortes d'exemples complexes avec des logarithmes, des sinus et d'autres horreurs. Nous toujours nous allons nous débarrasser de tout cela.
Cependant, nous devons modifier l'expression d'origine dans le sens dont nous avons besoin. selon les règles, oui... La maîtrise qui est la préparation à l'examen de mathématiques. Alors on le maîtrise.
Nous allons maintenant apprendre à contourner l'un des principales embuscades à l'examen! Mais d'abord, voyons si vous vous y lancez ou non ?
Regardons un exemple simple :
La chose est déjà familière, nous multiplions les deux parties par (x - 2), on a:
je vous rappelle, entre parenthèses (x - 2) nous travaillons comme avec une seule expression !
Ici je n'ai plus écrit 1 dans les dénominateurs, c'est indigne... Et je n'ai pas mis de parenthèses dans les dénominateurs, sauf pour x - 2 il n'y a rien, vous n'avez pas à dessiner. On raccourcit :
Nous ouvrons les parenthèses, déplaçons tout vers la gauche, donnons des similaires:
On résout, on vérifie, on obtient deux racines. x = 2 et x = 3... Amende.
Supposons que la tâche indique d'écrire la racine, ou leur somme, s'il y a plus d'une racine. Qu'allons-nous écrire ?
Si vous décidez que la réponse est 5, vous ont été pris en embuscade... Et la tâche ne sera pas comptée pour vous. Ils ont travaillé en vain... Bonne réponse 3.
Quel est le problème?! Et vous essayez de faire un chèque. Substituer les valeurs de l'inconnu en original Exemple. Et si à x = 3 tout va grandir ensemble à merveille avec nous, nous obtenons 9 = 9, puis avec x = 2 division par zéro! Ce qui ne peut être fait catégoriquement. Veux dire x = 2 n'est pas une solution, et n'est pas pris en compte dans la réponse. C'est ce qu'on appelle la racine étrangère ou extra. Nous le laissons tomber. La racine finale est une. x = 3.
Comment ?! - J'entends des exclamations outrées. On nous a appris qu'une équation peut être multipliée par une expression ! C'est une transformation identique !
Oui, identique. Avec une petite condition - l'expression par laquelle nous multiplions (divisons) - non nul... UNE x - 2à x = 2 est égal à zéro ! Donc tout est juste.
Et maintenant qu'est-ce que je peux faire ?! Ne pas multiplier par expression ? Avez-vous besoin de vérifier à chaque fois? Encore une fois ce n'est pas clair !
Calmement! Ne paniquez pas !
Dans cette situation difficile, trois lettres magiques nous sauveront. Je sais ce que vous pensez. À droite! Cette ODZ ... Plage de valeurs autorisées.
Avec ce programme de mathématiques, vous pouvez résoudre une équation quadratique.
Le programme donne non seulement une réponse au problème, mais affiche également le processus de solution de deux manières :
- en utilisant le discriminant
- en utilisant le théorème de Vieta (si possible).
De plus, la réponse est affichée précise, pas approximative.
Par exemple, pour l'équation \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), la réponse s'affiche sous cette forme :
Ce programme peut être utile aux élèves de terminale des écoles secondaires en préparation aux tests et aux examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen, aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être est-ce trop cher pour vous d'engager un tuteur ou d'acheter de nouveaux manuels ? Ou voulez-vous simplement faire vos devoirs de mathématiques ou d'algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec une solution détaillée.
De cette façon, vous pouvez mener votre propre enseignement et/ou l'enseignement de vos frères et sœurs plus jeunes, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.
Si vous n'êtes pas familiarisé avec les règles de saisie d'un polynôme carré, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.
Règles de saisie d'un polynôme carré
N'importe quelle lettre latine peut être utilisée comme variable.
Par exemple : \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.
De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous la forme d'un nombre décimal, mais également sous la forme d'une fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire du tout peut être séparée par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir des fractions décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x ^ 2
Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un entier peut être utilisé comme numérateur, dénominateur et partie entière d'une fraction.
Le dénominateur ne peut pas être négatif.
Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
La partie entière est séparée de la fraction par une esperluette : &
Entrée : 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Résultat : \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
Lors de la saisie d'une expression les parenthèses peuvent être utilisées... Dans ce cas, lors de la résolution d'une équation quadratique, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2 (a-1) (a + 1) - (5a-10 & 1/2)
Décider
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Un peu de théorie.
Équation quadratique et ses racines. Équations quadratiques incomplètes
Chacune des équations
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
a la forme
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
où x est une variable, a, b et c sont des nombres.
Dans la première équation a = -1, b = 6 et c = 1,4, dans la seconde a = 8, b = -7 et c = 0, dans la troisième a = 1, b = 0 et c = 4/9. De telles équations sont appelées équations du second degré.
Définition.
Équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres, et \ (a \ neq 0 \).
Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique. Le nombre a est appelé le premier coefficient, le nombre b - le deuxième coefficient et le nombre c - le terme libre.
Dans chacune des équations de la forme ax 2 + bx + c = 0, où \ (a \ neq 0 \), la plus grande puissance de la variable x est le carré. D'où le nom : équation quadratique.
Notez qu'une équation quadratique est aussi appelée équation du second degré, puisque son côté gauche est un polynôme du second degré.
Une équation quadratique dans laquelle le coefficient en x 2 est 1 est appelée équation quadratique réduite... Par exemple, les équations quadratiques réduites sont les équations
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)
Si dans l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0 au moins un des coefficients b ou c est égal à zéro, alors une telle équation est appelée équation quadratique incomplète... Ainsi, les équations -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 sont des équations quadratiques incomplètes. Dans le premier b = 0, dans le second c = 0, dans le troisième b = 0 et c = 0.
Les équations quadratiques incomplètes sont de trois types :
1) ax 2 + c = 0, où \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, où \ (b \ neq 0 \);
3) axe 2 = 0.
Considérons la solution des équations de chacun de ces types.
Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 pour \ (c \ neq 0 \), transférez son terme libre au membre de droite et divisez les deux membres de l'équation par a :
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)
Puisque \ (c \ neq 0 \), alors \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Si \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), alors l'équation a deux racines.
Si \ (- \ frac (c) (a) Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + bx = 0 avec \ (b \ neq 0 \) factoriser son côté gauche et obtenir l'équation
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)
Cela signifie qu'une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + bx = 0 pour \ (b \ neq 0 \) a toujours deux racines.
Une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 = 0 est équivalente à l'équation x 2 = 0 et a donc une unique racine 0.
La formule pour les racines d'une équation quadratique
Considérons maintenant comment sont résolues les équations quadratiques dans lesquelles les coefficients des inconnues et du terme libre sont non nuls.
Résolvons l'équation quadratique sous sa forme générale et nous obtenons ainsi la formule des racines. Ensuite, cette formule peut être appliquée pour résoudre n'importe quelle équation quadratique.
Résoudre l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0
En divisant ses deux parties par a, on obtient l'équation quadratique réduite équivalente
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)
On transforme cette équation en sélectionnant le carré du binôme :
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ gauche (\ frac (b) (2a) \ droite) ^ 2- \ gauche (\ frac (b) (2a) \ droite) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Flèche droite \)
L'expression radicale s'appelle le discriminant de l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0 ("discriminant" en latin - discriminateur). Il est désigné par la lettre D, c'est-à-dire
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Maintenant, en utilisant la notation du discriminant, nous réécrivons la formule pour les racines de l'équation quadratique :
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), où \ (D = b ^ 2-4ac \)
Il est évident que:
1) Si D> 0, alors l'équation quadratique a deux racines.
2) Si D = 0, alors l'équation quadratique a une racine \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Si D Ainsi, selon la valeur du discriminant, l'équation quadratique peut avoir deux racines (pour D > 0), une racine (pour D = 0) ou ne pas avoir de racines (pour D Lors de la résolution d'une équation quadratique avec cette formule, il est conseillé de procéder de la manière suivante :
1) calculer le discriminant et le comparer à zéro ;
2) si le discriminant est positif ou égal à zéro, alors utilisez la formule de racine, si le discriminant est négatif, alors notez qu'il n'y a pas de racines.
Le théorème de Vieta
L'équation quadratique donnée ax 2 -7x + 10 = 0 a les racines 2 et 5. La somme des racines est 7, et le produit est 10. On voit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient pris avec le contraire signe, et le produit des racines est égal au terme libre. Toute équation quadratique donnée avec des racines possède cette propriété.
La somme des racines de l'équation quadratique donnée est égale au deuxième coefficient, pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.
Celles. Le théorème de Vieta stipule que les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0 ont la propriété :
\ (\ left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)
Les équations quadratiques apparaissent souvent lors de la résolution de divers problèmes de physique et de mathématiques. Dans cet article, nous allons voir comment résoudre ces égalités de manière universelle « par le discriminant ». Des exemples d'utilisation des connaissances acquises sont également donnés dans l'article.
De quelles équations parle-t-on ?
La figure ci-dessous montre une formule dans laquelle x est une variable inconnue et les symboles latins a, b, c représentent des nombres connus.
Chacun de ces symboles est appelé un coefficient. Comme vous pouvez le voir, le nombre "a" est devant la variable carrée x. C'est la puissance maximale de l'expression présentée, c'est pourquoi on l'appelle une équation quadratique. Son autre nom est souvent utilisé : équation du second ordre. La valeur a elle-même est le coefficient carré (pour la variable au carré), b est le coefficient linéaire (il est à côté de la variable élevée à la première puissance), et enfin, le nombre c est le terme libre.
Notez que la forme de l'équation montrée dans la figure ci-dessus est une expression carrée classique commune. En plus de cela, il existe d'autres équations du second ordre dans lesquelles les coefficients b, c peuvent être nuls.
Lorsque le problème est posé pour résoudre l'égalité considérée, cela signifie qu'il faut trouver de telles valeurs de la variable x qui la satisferaient. Ici, la première chose à retenir est la chose suivante : le degré maximum de x étant 2, ce type d'expression ne peut pas avoir plus de 2 solutions. Cela signifie que si, lors de la résolution de l'équation, 2 valeurs de x étaient trouvées qui la satisfaisaient, alors vous pouvez être sûr qu'il n'y a pas de troisième nombre, remplaçant lequel au lieu de x, l'égalité serait également vraie. Les solutions à une équation en mathématiques sont appelées racines.
Méthodes de résolution des équations du second ordre
La résolution d'équations de ce type nécessite la connaissance d'une certaine théorie à leur sujet. Dans le cours d'algèbre scolaire, 4 méthodes différentes de résolution sont envisagées. Listons-les :
- en utilisant la factorisation ;
- en utilisant la formule d'un carré plein ;
- en appliquant le graphe de la fonction quadratique correspondante ;
- en utilisant l'équation discriminante.
L'avantage de la première méthode réside dans sa simplicité, cependant, elle ne peut pas être appliquée à toutes les équations. La deuxième méthode est universelle, mais quelque peu lourde. La troisième méthode se distingue par sa clarté, mais elle n'est pas toujours pratique et applicable. Et, enfin, l'utilisation de l'équation discriminante est un moyen universel et assez simple de trouver les racines d'absolument n'importe quelle équation du second ordre. Par conséquent, dans l'article, nous ne le considérerons que.
Formule pour obtenir les racines de l'équation
Passons à la forme générale de l'équation quadratique. Écrivons-le : a * x² + b * x + c = 0. Avant d'utiliser la méthode de résolution « par le discriminant », l'égalité doit toujours être réduite à la forme écrite. C'est-à-dire qu'il doit être composé de trois termes (ou moins si b ou c est égal à 0).
Par exemple, s'il existe une expression : x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², alors vous devez d'abord déplacer tous ses termes d'un côté de l'égalité et ajouter les termes contenant la variable x dans le mêmes pouvoirs.
Dans ce cas, cette opération conduira à l'expression suivante : -6 * x²-4 * x + 8 = 0, ce qui équivaut à l'équation 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (ici on a multiplié la gauche et côtés droits de l'égalité par -1) ...
Dans l'exemple ci-dessus, a = 6, b = 4, c = -8. Notez que tous les termes de l'égalité considérée sont toujours sommés entre eux, donc si le signe "-" apparaît, cela signifie que le coefficient correspondant est négatif, comme le nombre c dans ce cas.
Après avoir examiné ce point, passons maintenant à la formule elle-même, qui permet d'obtenir les racines d'une équation quadratique. Il a la forme montrée sur la photo ci-dessous.
Comme vous pouvez le voir sur cette expression, cela vous permet d'obtenir deux racines (vous devez faire attention au signe "±"). Pour ce faire, il suffit d'y substituer les coefficients b, c et a.
Notion discriminante
Dans le paragraphe précédent, une formule a été donnée qui vous permet de résoudre rapidement n'importe quelle équation du second ordre. Dans celui-ci, l'expression radicale est appelée le discriminant, c'est-à-dire D = b²-4 * a * c.
Pourquoi cette partie de la formule est-elle mise en évidence, et a-t-elle même son propre nom ? Le fait est que le discriminant relie les trois coefficients de l'équation en une seule expression. Ce dernier fait signifie qu'il porte pleinement des informations sur les racines, qui peuvent être exprimées par la liste suivante :
- D> 0 : l'égalité a 2 solutions différentes, qui sont toutes deux des nombres réels.
- D = 0 : L'équation n'a qu'une racine et est un nombre réel.
La tâche de déterminer le discriminant
Donnons un exemple simple de la façon de trouver le discriminant. Soit l'égalité suivante : 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
On le ramène à la forme standard, on obtient : (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, d'où l'on vient au égalité : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Ici a = -2, b = 2, c = -11.
Vous pouvez maintenant utiliser la formule nommée pour le discriminant : D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Le nombre résultant est la réponse à la tâche. Puisque le discriminant dans l'exemple est inférieur à zéro, alors nous pouvons dire que cette équation quadratique n'a pas de racines réelles. Seuls les nombres complexes seront sa solution.
Un exemple d'inégalité par le discriminant
Résolvons des problèmes d'un type légèrement différent : étant donné l'égalité -3 * x²-6 * x + c = 0. Il faut trouver de telles valeurs de c pour lesquelles D> 0.
Dans ce cas, seuls 2 coefficients sur 3 sont connus, il ne sera donc pas possible de calculer la valeur exacte du discriminant, mais on sait qu'il est positif. On utilise le dernier fait pour dresser l'inégalité : D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. La solution de l'inégalité obtenue conduit au résultat : c> -3.
Vérifions le numéro reçu. Pour cela, calculez D pour 2 cas : c = -2 et c = -4. Le nombre -2 satisfait le résultat obtenu (-2> -3), le discriminant correspondant aura la valeur : D = 12> 0. À son tour, le nombre -4 ne satisfait pas l'inégalité (-4 Ainsi, tout nombre c supérieur à -3 satisfera à la condition.
Exemple de résolution d'une équation
Présentons un problème qui consiste non seulement à trouver le discriminant, mais aussi à résoudre l'équation. Vous devez trouver les racines de l'égalité -2 * x² + 7-9 * x = 0.
Dans cet exemple, le discriminant est égal à la valeur suivante : D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Alors les racines de l'équation sont définies comme suit : x = (9 ± √137) / (- 4). Ce sont les valeurs exactes des racines, si vous calculez la racine approximative, alors vous obtenez les nombres : x = -5,176 et x = 0,676.
Problème géométrique
Résolvons un problème qui nécessitera non seulement la capacité de calculer le discriminant, mais également l'utilisation de compétences de pensée abstraite et la connaissance de la façon de faire des équations quadratiques.
Bob avait une couette de 5 x 4 mètres. Le garçon voulait coudre une bande continue de beau tissu autour du périmètre. Quelle sera l'épaisseur de cette bande si Bob est connu pour avoir 10 m² de tissu.
Laissez la bande avoir une épaisseur de xm, alors la zone du tissu le long du côté long de la couverture sera (5 + 2 * x) * x, et puisqu'il y a 2 côtés longs, nous avons : 2 * x * (5 + 2 * x). Du côté court, la surface du tissu cousu sera de 4*x, puisqu'il y a 2 de ces côtés, on obtient la valeur 8*x. Notez que 2 * x a été ajouté au côté long car la longueur de la couverture a augmenté de ce nombre. La surface totale du tissu cousu à la couverture est de 10 m². On obtient donc l'égalité : 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
Pour cet exemple, le discriminant est : D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Sa racine est 22. En utilisant la formule, on trouve les racines recherchées : x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5 ; 0,5). De toute évidence, des deux racines, seul le nombre 0,5 convient à l'énoncé du problème.
Ainsi, la bande de tissu que Bob va coudre à sa couverture fera 50 cm de large.
D'une manière plus simple. Pour ce faire, retirez z des parenthèses. Vous recevrez : z (аz + b) = 0. Les facteurs peuvent s'écrire : z = 0 et аz + b = 0, puisque les deux peuvent donner zéro. Dans la notation az + b = 0, on déplace le second vers la droite avec un signe différent. On obtient donc z1 = 0 et z2 = -b / a. Ce sont les racines de l'original.
S'il existe une équation incomplète de la forme аz² + с = 0, dans ce cas, elles sont trouvées en transférant simplement le terme libre du côté droit de l'équation. Changez également son signe en faisant cela. Le résultat sera az² = -с. Exprimez z² = -c / a. Prenez la racine et notez deux solutions - racine carrée positive et négative.
Remarque
S'il y a des coefficients fractionnaires dans l'équation, multipliez l'équation entière par le facteur approprié afin de vous débarrasser des fractions.
La connaissance de la résolution des équations du second degré est nécessaire aussi bien pour les écoliers que pour les étudiants, elle peut parfois aussi aider un adulte dans la vie de tous les jours. Il existe plusieurs méthodes de résolution spécifiques.
Résolution d'équations du second degré
Une équation quadratique de la forme a * x ^ 2 + b * x + c = 0. Le coefficient x est la variable recherchée, a, b, c sont des coefficients numériques. N'oubliez pas que le signe "+" peut se transformer en signe "-".Pour résoudre cette équation, il faut utiliser le théorème de Vieta ou trouver le discriminant. Le moyen le plus courant est de trouver le discriminant, car pour certaines valeurs de a, b, c il n'est pas possible d'utiliser le théorème de Vieta.
Pour trouver le discriminant (D), vous devez écrire la formule D = b ^ 2 - 4 * a * c. La valeur D peut être supérieure, inférieure ou égale à zéro. Si D est supérieur ou inférieur à zéro, alors il y aura deux racines, si D = 0, alors il ne reste qu'une seule racine, plus précisément, on peut dire que D dans ce cas a deux racines équivalentes. Branchez les coefficients connus a, b, c dans la formule et calculez la valeur.
Après avoir trouvé le discriminant, pour trouver x, utilisez les formules : x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, où sqrt est une fonction pour extraire la racine carrée d'un nombre donné. Après avoir calculé ces expressions, vous trouverez deux racines de votre équation, après quoi l'équation est considérée comme résolue.
Si D est inférieur à zéro, alors il a toujours des racines. A l'école, cette section n'est pratiquement pas étudiée. Les étudiants universitaires doivent savoir qu'un nombre négatif apparaît à la racine. Ils s'en débarrassent en mettant en évidence la partie imaginaire, c'est-à-dire que -1 sous la racine est toujours égal à l'élément imaginaire "i", qui est multiplié par la racine avec le même nombre positif. Par exemple, si D = sqrt (-20), après la transformation, D = sqrt (20) * i. Après cette transformation, la solution de l'équation est réduite à la même découverte des racines, comme décrit ci-dessus.
Le théorème de Vieta consiste à sélectionner les valeurs x (1) et x (2). Deux équations identiques sont utilisées : x (1) + x (2) = -b ; x (1) * x (2) = env. De plus, un point très important est le signe devant le coefficient b, rappelez-vous que ce signe est opposé à celui de l'équation. À première vue, il semble qu'il soit très facile de calculer x (1) et x (2), mais lors de la résolution, vous serez confronté au fait que les nombres devront être sélectionnés.
Éléments pour résoudre des équations quadratiques
Selon les règles des mathématiques, certains peuvent être décomposés en facteurs : (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, si vous avez réussi à transformer cette équation quadratique de cette manière en utilisant les formules des mathématiques, alors n'hésitez pas à écrire la réponse. x (1) et x (2) seront égaux aux coefficients adjacents entre parenthèses, mais de signe opposé.N'oubliez pas non plus les équations quadratiques incomplètes. Certains termes vous manquent peut-être, si c'est le cas, alors tous ses coefficients sont simplement égaux à zéro. S'il n'y a rien devant x ^ 2 ou x, alors les coefficients a et b sont égaux à 1.
Ce sujet peut sembler compliqué au premier abord en raison des nombreuses formules difficiles. Non seulement les équations quadratiques elles-mêmes ont de longs enregistrements, mais aussi les racines sont trouvées à travers le discriminant. Il y a trois nouvelles formules au total. Ce n'est pas facile à retenir. Ceci n'est possible qu'après résolution fréquente de telles équations. Ensuite, toutes les formules seront mémorisées d'elles-mêmes.
Vue générale de l'équation quadratique
Ici, leur enregistrement explicite est proposé, lorsque le degré le plus élevé est enregistré en premier, puis par ordre décroissant. Il y a souvent des situations où les termes ne sont pas en ordre. Il est alors préférable de réécrire l'équation dans l'ordre décroissant du degré de la variable.
Introduisons la notation. Ils sont présentés dans le tableau ci-dessous.
Si nous acceptons ces désignations, toutes les équations quadratiques sont réduites à l'enregistrement suivant.
De plus, le coefficient a 0. Soit cette formule désignée par le numéro un.
Lorsque l'équation est donnée, il n'est pas clair combien de racines il y aura dans la réponse. Parce qu'une des trois options est toujours possible :
- il y aura deux racines dans la solution ;
- la réponse est un nombre ;
- l'équation n'aura pas de racines du tout.
Et tant que la décision n'est pas rendue, il est difficile de comprendre laquelle des options tombera dans un cas particulier.
Types d'enregistrements d'équations quadratiques
Les tâches peuvent contenir leurs différents enregistrements. Ils ne ressembleront pas toujours à une équation quadratique générale. Parfois, il manquera certains termes. Ce qui a été écrit ci-dessus est une équation complète. Si vous supprimez le deuxième ou le troisième terme, vous obtenez quelque chose de différent. Ces enregistrements sont également appelés équations quadratiques, mais incomplètes.
De plus, seuls les termes dans lesquels les coefficients "b" et "c" peuvent disparaître. Le nombre "a" ne peut en aucun cas être zéro. Car dans ce cas, la formule se transforme en une équation linéaire. Les formules pour une forme incomplète d'équations seront les suivantes :
Ainsi, il n'y a que deux types, en plus des équations complètes, il existe également des équations quadratiques incomplètes. Que la première formule soit le numéro deux et la seconde le numéro trois.
Discriminant et dépendance du nombre de racines à sa valeur
Vous devez connaître ce nombre pour calculer les racines de l'équation. Il peut toujours être calculé, quelle que soit la formule de l'équation quadratique. Afin de calculer le discriminant, vous devez utiliser l'égalité écrite ci-dessous, qui aura le nombre quatre.
Après avoir substitué les valeurs des coefficients dans cette formule, vous pouvez obtenir des nombres avec des signes différents. Si la réponse est oui, alors la réponse à l'équation sera deux racines différentes. Avec un nombre négatif, les racines de l'équation quadratique seront absentes. S'il est égal à zéro, la réponse sera un.
Comment une équation quadratique complète est-elle résolue ?
En fait, l'examen de cette question a déjà commencé. Parce que vous devez d'abord trouver le discriminant. Après avoir découvert qu'il existe des racines de l'équation quadratique et que leur nombre est connu, vous devez utiliser les formules des variables. S'il y a deux racines, vous devez appliquer la formule suivante.
Puisqu'il contient le signe "±", il y aura deux valeurs. L'expression racine carrée est le discriminant. Par conséquent, la formule peut être réécrite d'une manière différente.
Formule numéro cinq. Le même enregistrement montre que si le discriminant est zéro, alors les deux racines prendront les mêmes valeurs.
Si la solution des équations quadratiques n'a pas encore été élaborée, il est préférable d'écrire les valeurs de tous les coefficients avant d'appliquer les formules discriminantes et variables. Plus tard, ce moment ne causera pas de difficultés. Mais au tout début, il y a confusion.
Comment résoudre une équation quadratique incomplète ?
Tout est beaucoup plus simple ici. Il n'y a même pas besoin de formules supplémentaires. Et vous n'aurez pas besoin de ceux qui ont déjà été enregistrés pour le discriminant et l'inconnu.
Tout d'abord, considérons l'équation incomplète numéro deux. Dans cette égalité, il est supposé sortir l'inconnue de la parenthèse et résoudre l'équation linéaire, qui reste entre parenthèses. La réponse aura deux racines. Le premier est nécessairement égal à zéro, car il existe un facteur constitué de la variable elle-même. La seconde est obtenue lors de la résolution d'une équation linéaire.
L'équation incomplète numéro trois est résolue en transférant le nombre du côté gauche de l'équation vers la droite. Ensuite, vous devez diviser par le facteur devant l'inconnu. Il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée et penser à l'écrire deux fois avec des signes opposés.
Ensuite, certaines actions sont écrites pour vous aider à apprendre à résoudre toutes sortes d'équations, qui se transforment en équations quadratiques. Ils aideront l'étudiant à éviter les erreurs d'inattention. Ces lacunes sont la raison des mauvaises notes lors de l'étude du vaste sujet « Equations quadratiques (grade 8) ». Par la suite, ces actions n'auront pas besoin d'être constamment effectuées. Car une compétence stable apparaîtra.
- Tout d'abord, vous devez écrire l'équation sous forme standard. C'est-à-dire d'abord le terme avec le degré le plus élevé de la variable, puis - sans le degré et le dernier - juste un nombre.
- Si un moins apparaît devant le coefficient "a", alors cela peut compliquer le travail d'un débutant pour étudier les équations quadratiques. Il vaut mieux s'en débarrasser. A cette fin, toute égalité doit être multipliée par "-1". Cela signifie que tous les termes changeront de signe pour le contraire.
- De la même manière, il est recommandé de se débarrasser des fractions. Il suffit de multiplier l'équation par le facteur approprié pour annuler les dénominateurs.
Exemples de
Il est nécessaire de résoudre les équations quadratiques suivantes :
x 2 - 7x = 0 ;
15 - 2x - x 2 = 0 ;
x 2 + 8 + 3x = 0 ;
12x + x 2 + 36 = 0 ;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
La première équation : x 2 - 7x = 0. Elle est incomplète, elle est donc résolue comme décrit pour la formule numéro deux.
Après avoir laissé les parenthèses, il s'avère : x (x - 7) = 0.
La première racine prend la valeur : x 1 = 0. La seconde sera trouvée à partir de l'équation linéaire : x - 7 = 0. Il est facile de voir que x 2 = 7.
Deuxième équation : 5x 2 + 30 = 0. Encore une fois incomplète. Seulement il est résolu comme décrit pour la troisième formule.
Après avoir transféré 30 sur le côté droit de l'égalité : 5x 2 = 30. Maintenant, vous devez diviser par 5. Il s'avère : x 2 = 6. Les réponses seront les nombres : x 1 = √6, x 2 = - √6.
La troisième équation : 15 - 2x - x 2 = 0. Ci-après, la résolution des équations du second degré commencera par les réécrire sous la forme standard : - x 2 - 2x + 15 = 0. Il est maintenant temps d'utiliser le deuxième conseil utile et multiplie tout par moins un... Il s'avère que x 2 + 2x - 15 = 0. Selon la quatrième formule, vous devez calculer le discriminant : D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. C'est un nombre positif. D'après ce qui a été dit ci-dessus, il s'avère que l'équation a deux racines. Ils doivent être calculés à l'aide de la cinquième formule. Il s'avère que x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Alors x 1 = 3, x 2 = - 5.
La quatrième équation x 2 + 8 + 3x = 0 se transforme en celle-ci : x 2 + 3x + 8 = 0. Son discriminant est égal à cette valeur : -23. Puisque ce nombre est négatif, la réponse à cette tâche sera l'entrée suivante : « Il n'y a pas de racines.
La cinquième équation 12x + x 2 + 36 = 0 doit être réécrite comme suit : x 2 + 12x + 36 = 0. Après avoir appliqué la formule du discriminant, le nombre zéro est obtenu. Cela signifie qu'il aura une racine, à savoir : x = -12 / (2 * 1) = -6.
La sixième équation (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) nécessite des transformations, qui consistent en ce qu'il faut apporter des termes similaires, avant d'ouvrir les parenthèses. A la place du premier, il y aura une telle expression : x 2 + 2x + 1. Après l'égalité, cet enregistrement apparaîtra : x 2 + 3x + 2. Une fois ces termes comptés, l'équation prendra la forme : x 2 - x = 0. C'est devenu incomplet... Quelque chose de similaire a déjà été considéré un peu plus haut. Les racines de ceci seront les nombres 0 et 1.
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