Identités trigonométriques. Identités trigonométriques de base : leurs formulations et dérivation

secα lire : « alpha sécant ». C'est l'inverse du cosinus alpha.

cosecα lire : « cosécant alpha ». C'est l'inverse du sinus alpha.

Exemples. Simplifiez l'expression :

UN) 1 – péché 2 α ; b) cos 2α – 1 ; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα ; d) sin 2 α+1+cos 2 α;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; et) tg 2 α – péché 2 αtg 2 α ; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α ; Et) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

UN) 1 – sin 2 α = cos 2 α selon la formule 1) ;

b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α a également appliqué la formule 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Tout d’abord, nous avons appliqué la formule de la différence des carrés de deux expressions : (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, puis la formule 1) ;

G) péché 2 αcosα – cosα. Sortons le facteur commun des parenthèses.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Bien sûr, vous avez déjà remarqué que puisque 1 – sin 2 α = cos 2 α, alors sin 2 α – 1 = -cos 2 α. De la même manière, si 1 – cos 2 α = sin 2 α, alors cos 2 α – 1 = -sin 2 α.

d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2 ;

e) péché 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. On a : le carré de l'expression sin 2 α plus le double produit de sin 2 α par cos 2 α et plus le carré de la deuxième expression cos 2 α. Appliquons la formule du carré de la somme de deux expressions : a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Ensuite, nous appliquons la formule 1) . On obtient : sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1 ;

et) tg 2 α – péché 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – péché 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = péché 2 α. Appliquer la formule 1) , puis la formule 2) .

Souviens-toi: tgα ∙ parce queα = péchéα.

De même, en utilisant la formule 3) disponible: CTGα ∙ péchéα = parce queα. Souviens-toi!

h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

Et) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Nous avons d'abord sorti le facteur commun des parenthèses et simplifié le contenu des parenthèses en utilisant la formule 7).

Convertir l'expression :

Nous avons appliqué la formule 7) et obtenu le produit de la somme de deux expressions par le carré incomplet de la différence de ces expressions - la formule de la somme des cubes de deux expressions.

L'article décrit en détail les identités trigonométriques de base. Ces égalités établissent la relation entre sin, cos, t g, c t g d'un angle donné. Si une fonction est connue, une autre peut être trouvée grâce à elle.

Identités trigonométriques à considérer dans cet article. Ci-dessous, nous montrons un exemple de leur dérivation avec une explication.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

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Parlons d'une identité trigonométrique importante, considérée comme la base de la trigonométrie.

péché 2 α + cos 2 α = 1

Les égalités données t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α sont dérivées de la principale en divisant les deux parties par sin 2 α et cos 2 α. Après quoi nous obtenons t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α et t g α · c t g α = 1 - c'est une conséquence des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

L'égalité sin 2 α + cos 2 α = 1 est la principale identité trigonométrique. Pour le prouver, il faut aborder le sujet du cercle unité.

Soit donnée les coordonnées du point A (1, 0), qui après rotation d'un angle α devient le point A 1. Par définition de sin et cos, le point A 1 recevra des coordonnées (cos α, sin α). Puisque A 1 est situé à l'intérieur du cercle unité, cela signifie que les coordonnées doivent satisfaire la condition x 2 + y 2 = 1 de ce cercle. L'expression cos 2 α + sin 2 α = 1 devrait être valide. Pour ce faire, il est nécessaire de prouver l’identité trigonométrique principale pour tous les angles de rotation α.

En trigonométrie, l'expression sin 2 α + cos 2 α = 1 est utilisée comme théorème de Pythagore en trigonométrie. Pour ce faire, considérons une preuve détaillée.

À l’aide d’un cercle unité, nous faisons pivoter le point A de coordonnées (1, 0) autour du point central O d’un angle α. Après rotation, le point change de coordonnées et devient égal à A 1 (x, y). On abaisse la droite perpendiculaire A 1 H à O x à partir du point A 1.

La figure montre clairement qu'il s'est formé un triangle rectangle O A 1 N. Les modules des branches O A 1 N et O N sont égaux, l'entrée prendra la forme suivante : | Une 1H | = | y | , | O N | = | X | . L'hypoténuse O A 1 a une valeur égale au rayon du cercle unité, | O UNE 1 | = 1 . En utilisant cette expression, nous pouvons écrire l'égalité en utilisant le théorème de Pythagore : | Un 1 N | 2 + | O N | 2 = | O UNE 1 | 2. Écrivons cette égalité sous la forme | y | 2 + | X | 2 = 1 2, ce qui signifie y 2 + x 2 = 1.

En utilisant la définition de sin α = y et cos α = x, nous substituons les données d'angle aux coordonnées des points et passons à l'inégalité sin 2 α + cos 2 α = 1.

Le lien fondamental entre le péché et le cos d’un angle est possible grâce à cette identité trigonométrique. Ainsi, on peut calculer le sin d'un angle de cosinus connu et vice versa. Pour ce faire, il faut résoudre sin 2 α + cos 2 = 1 par rapport à sin et cos, on obtient alors des expressions de la forme sin α = ± 1 - cos 2 α et cos α = ± 1 - sin 2 α , respectivement. La grandeur de l'angle α détermine le signe devant la racine de l'expression. Pour une explication détaillée, vous devez lire la section sur le calcul du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente à l'aide de formules trigonométriques.

Le plus souvent, la formule de base est utilisée pour transformer ou simplifier des expressions trigonométriques. Il est possible de remplacer la somme des carrés du sinus et du cosinus par 1. La substitution d'identité peut être soit directe, soit ordre inverse: l'unité est remplacée par l'expression de la somme des carrés du sinus et du cosinus.

Tangente et cotangente par sinus et cosinus

D'après la définition du cosinus et du sinus, de la tangente et de la cotangente, il est clair qu'ils sont interconnectés les uns aux autres, ce qui vous permet de convertir séparément les quantités nécessaires.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

D'après la définition, le sinus est l'ordonnée de y et le cosinus est l'abscisse de x. La tangente est la relation entre l'ordonnée et l'abscisse. Ainsi nous avons :

t g α = y x = sin α cos α , et l'expression cotangente a la signification opposée, c'est-à-dire

c t g α = x y = cos α sin α .

Il s'ensuit que les identités résultantes t g α = sin α cos α et c t g α = cos α sin α sont spécifiées à l'aide des angles sin et cos. La tangente est considérée comme le rapport du sinus au cosinus de l'angle qui les sépare, et la cotangente est l'opposé.

Notez que t g α = sin α cos α et c t g α = cos α sin α sont vrais pour toute valeur de l'angle α, dont les valeurs sont incluses dans la plage. De la formule t g α = sin α cos α la valeur de l'angle α est différente de π 2 + π · z, et c t g α = cos α sin α prend la valeur de l'angle α différente de π · z, z prend la valeur de n’importe quel entier.

Relation entre tangente et cotangente

Il existe une formule qui montre la relation entre les angles par tangente et cotangente. Cette identité trigonométrique est importante en trigonométrie et est notée t g α · c t g α = 1. Cela a du sens pour α avec n'importe quelle valeur autre que π 2 · z, sinon les fonctions ne seront pas définies.

La formule t g α · c t g α = 1 a ses propres particularités dans la preuve. De la définition, nous avons que t g α = y x et c t g α = x y, nous obtenons donc t g α · c t g α = y x · x y = 1. En transformant l'expression et en substituant t g α = sin α cos α et c t g α = cos α sin α, nous obtenons t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.

Alors l’expression de tangente et cotangente a le sens de quand nous obtenons finalement des nombres mutuellement inverses.

Tangente et cosinus, cotangente et sinus

Après avoir transformé les identités principales, nous arrivons à la conclusion que la tangente est liée par le cosinus, et la cotangente par le sinus. Cela peut être vu à partir des formules t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.

La définition est la suivante : la somme du carré de la tangente d'un angle et 1 est assimilée à une fraction, où au numérateur on a 1, et au dénominateur le carré du cosinus d'un angle donné, et la somme du carré de la cotangente de l'angle est l'opposé. Grâce à l'identité trigonométrique sin 2 α + cos 2 α = 1, on peut diviser les côtés correspondants par cos 2 α et obtenir t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, où la valeur de cos 2 α ne doit pas être égale à zéro. En divisant par sin 2 α, nous obtenons l'identité 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, où la valeur de sin 2 α ne doit pas être égale à zéro.

À partir des expressions ci-dessus, nous avons constaté que l'identité t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α est vraie pour toutes les valeurs de l'angle α n'appartenant pas à π 2 + π · z, et 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α pour les valeurs de α n'appartenant pas à l'intervalle π · z.

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Identités trigonométriques de base.

secα lire : « alpha sécant ». C'est l'inverse du cosinus alpha.

cosecα lire : « cosécant alpha ». C'est l'inverse du sinus alpha.

Exemples. Simplifiez l'expression :

UN) 1 – péché 2 α ; b) cos 2α – 1 ; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα ; d) sin 2 α+1+cos 2 α;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; et) tg 2 α – péché 2 αtg 2 α ; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α ; Et) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

UN) 1 – sin 2 α = cos 2 α selon la formule 1) ;

b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α a également appliqué la formule 1) ;

G) péché 2 αcosα – cosα. Sortons le facteur commun des parenthèses.

d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2 ;

et) tg 2 α – péché 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – péché 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = péché 2 α. Appliquer la formule 1) , puis la formule 2) .

Souviens-toi: tgα ∙ parce queα = péchéα.

De même, en utilisant la formule 3) disponible: CTGα ∙ péchéα = parce queα. Souviens-toi!

h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

Et) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Nous avons d'abord sorti le facteur commun des parenthèses et simplifié le contenu des parenthèses en utilisant la formule 7).

Convertir l'expression :

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Les relations entre les fonctions trigonométriques de base - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont données formules trigonométriques. Et comme il existe de nombreuses connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - des fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent de réduire le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.

Dans cet article, nous listerons dans l'ordre tous les principaux formules trigonométriques, qui suffisent à résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons par objectif et les saisirons dans des tableaux.

Navigation dans les pages.

Identités trigonométriques de base

Identités trigonométriques de base définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique par rapport à une autre.

Pour une description détaillée de ces formules trigonométriques, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.

Formules de réduction

Formules de réduction découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage d'un angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.

La justification de ces formules, une règle mnémotechnique pour leur mémorisation et des exemples de leur application peuvent être étudiées dans l'article.

Formules d'addition

Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.

Formules pour double, triple, etc. angle

Formules pour double, triple, etc. L'angle (on les appelle aussi formules d'angles multiples) montre comment les fonctions trigonométriques du double, du triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur calcul est basé sur des formules d'addition.

Des informations plus détaillées sont collectées dans l'article formules pour double, triple, etc. angle

Formules demi-angle

Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en termes de cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.

Leur conclusion et des exemples d'application peuvent être trouvés dans l'article.

Formules de réduction de diplôme

Formules trigonométriques pour réduire les degrés sont conçus pour faciliter la transition des puissances naturelles des fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. Autrement dit, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques au premier.

Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques

L'objectif principal formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier des expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques, car elles permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.

Formules pour le produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus

Le passage du produit de fonctions trigonométriques à une somme ou une différence s'effectue à l'aide des formules du produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus.

Bashmakov M.I. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel. pour les classes 10-11. moy. école - 3e éd. - M. : Éducation, 1993. - 351 p. : ill. - ISBN5-09-004617-4.

Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov. - 14e éd. - M. : Education, 2004. - 384 pp. : ill. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

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