Il y a des triangles dans les coins. Triangle. Leçons complètes

Triangle - définition et concepts généraux

Un triangle est un polygone simple, composé de trois côtés et ayant le même nombre d'angles. Ses plans sont limités par 3 points et 3 segments reliant ces points deux à deux.

Tous les sommets d'un triangle, quel que soit son type, sont indiqués par des lettres majuscules. avec des lettres latines, et ses côtés sont représentés par les désignations correspondantes des sommets opposés, mais pas majuscules, mais petit. Ainsi, par exemple, un triangle avec des sommets étiquetés A, B et C a des côtés a, b, c.

Si nous considérons un triangle dans l'espace euclidien, alors c'est tel figure géométrique, qui a été formé à l'aide de trois segments reliant trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite.

Regardez attentivement l'image ci-dessus. Sur celui-ci, les points A, B et C sont les sommets de ce triangle, et ses segments sont appelés les côtés du triangle. Chaque sommet de ce polygone forme des coins à l'intérieur.

Types de triangles

Selon la taille, les angles des triangles, ils sont divisés en variétés telles que : Rectangulaires ;
Angle aigu ;
obtus.

Les triangles rectangles sont des triangles qui ont un angle droit et les deux autres des angles aigus.

Les triangles à angle aigu sont ceux dont tous les angles sont aigus.

Et si un triangle a un angle obtus et que les deux autres angles sont aigus, alors un tel triangle appartient aux angles obtus.

Chacun de vous comprend parfaitement que tous les triangles n'ont pas côtés égaux. Et selon la longueur de ses côtés, les triangles peuvent être divisés en :

Isocèle;
Équilatéral;
Polyvalent.

Tâche : Dessinez différents types de triangles. Donnez-leur une définition. Quelle différence voyez-vous entre eux ?

Propriétés de base des triangles

Bien que ces polygones simples puissent différer les uns des autres par la taille des angles ou des côtés, mais dans chaque triangle, il existe des propriétés de base caractéristiques de cette figure.

Dans n'importe quel triangle :

La somme de tous ses angles est de 180º.
S'il appartient à l'équilatéral, alors chacun de ses angles est égal à 60º.
Un triangle équilatéral a des angles identiques et égaux entre eux.
Plus le côté du polygone est petit, plus l'angle opposé est petit et vice versa, plus l'angle est opposé au côté le plus grand.
Si les côtés sont égaux, alors en face d'eux sont situés angles égaux, et vice versa.
Si nous prenons un triangle et prolongeons son côté, nous formerons finalement un angle externe. Il est égal à la somme des angles intérieurs.
Dans tout triangle, son côté, quel que soit celui que vous choisissez, sera toujours inférieur à la somme des 2 autres côtés, mais supérieur à leur différence :

1.a< b + c, a >avant JC;
2.b< a + c, b >a-c ;
3.c< a + b, c >un B.

Exercer

Le tableau montre les deux angles déjà connus du triangle. Connaissant la somme totale de tous les angles, trouvez à quoi est égal le troisième angle du triangle et inscrivez dans le tableau :

1. Combien de degrés a le troisième angle ?
2. À quel genre de triangles appartient-il ?

Triangles d'équivalence

je signe

signe II

Signe III

Hauteur, bissectrice et médiane d'un triangle

La hauteur d'un triangle - la perpendiculaire tracée du haut de la figure à son côté opposé, s'appelle la hauteur du triangle. Toutes les hauteurs d'un triangle se coupent en un point. Le point d'intersection des 3 hauteurs d'un triangle est son orthocentre.

Un segment tiré d'un sommet donné et le reliant au milieu du côté opposé est la médiane. Les médianes, ainsi que les hauteurs d'un triangle, ont un point d'intersection commun, appelé centre de gravité du triangle ou centroïde.

La bissectrice d'un triangle est un segment qui relie le sommet d'un angle et un point du côté opposé, et divise également cet angle en deux. Toutes les bissectrices d'un triangle se coupent en un point, appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.

Le segment qui relie les milieux des 2 côtés du triangle s'appelle la ligne médiane.

Référence historique

Une telle figure comme un triangle était connue dans les temps anciens. Cette figure et ses propriétés ont été mentionnées sur des papyrus égyptiens il y a quatre mille ans. Un peu plus tard, grâce au théorème de Pythagore et à la formule de Héron, l'étude de la propriété d'un triangle est passée à plus haut niveau, mais quand même, c'est arrivé il y a plus de deux mille ans.

Aux XVe et XVIe siècles, de nombreuses recherches ont commencé sur les propriétés d'un triangle et, par conséquent, une science telle que la planimétrie est apparue, appelée la "nouvelle géométrie du triangle".

Un scientifique russe N. I. Lobachevsky a apporté une énorme contribution à la connaissance des propriétés des triangles. Ses travaux ont ensuite trouvé une application à la fois en mathématiques, en physique et en cybernétique.

Grâce à la connaissance des propriétés des triangles, une science telle que la trigonométrie est née. Il s'est avéré nécessaire pour une personne dans ses besoins pratiques, car son utilisation est simplement nécessaire lors de la compilation de cartes, de la mesure de zones et même lors de la conception de divers mécanismes.

Et quel est le plus triangle célèbre vous savez? C'est bien sûr le Triangle des Bermudes ! Il a obtenu son nom dans les années 50 à cause de localisation géographique points (sommets du triangle), à l'intérieur desquels, selon la théorie existante, des anomalies qui lui sont associées sont apparues. Les sommets du Triangle des Bermudes sont les Bermudes, la Floride et Porto Rico.

Tâche : Quelles sont les théories sur Triangle des Bermudes as tu entendu?

Savez-vous que dans la théorie de Lobachevsky, lors de l'addition des angles d'un triangle, leur somme a toujours un résultat inférieur à 180º. Dans la géométrie riemannienne, la somme de tous les angles d'un triangle est supérieure à 180º, alors que dans les écrits d'Euclide, elle est égale à 180 degrés.

Devoirs

Résoudre une grille de mots croisés sur un sujet donné

Questions de mots croisés :

1. Comment s'appelle la perpendiculaire tirée du sommet du triangle à la droite située du côté opposé ?
2. Comment, en un mot, peut-on appeler la somme des longueurs des côtés d'un triangle ?
3. Nommez un triangle dont les deux côtés sont égaux ?
4. Nommez un triangle qui a un angle égal à 90° ?
5. Quel est le nom du plus grand des côtés du triangle ?
6. Nom du côté d'un triangle isocèle ?
7. Il y en a toujours trois dans un triangle.
8. Comment s'appelle un triangle dont l'un des angles dépasse 90° ?
9. Le nom du segment reliant le haut de notre figure au milieu du côté opposé ?
10. Dans un simple polygone ABC, lettre capitale Et est...?
11. Quel est le nom du segment qui divise l'angle du triangle en deux.

Questions sur les triangles :

1. Donnez une définition.
2. Combien de hauteurs a-t-il ?
3. Combien de bissectrices a un triangle ?
4. Quelle est sa somme des angles ?
5. Quels types de ce polygone simple connaissez-vous ?
6. Nommez les points des triangles qui sont appelés merveilleux.
7. Quel instrument peut mesurer l'angle ?
8. Si les aiguilles de l'horloge indiquent 21 heures. Quel angle forment les aiguilles des heures ?
9. Sous quel angle une personne tourne-t-elle si on lui donne la commande "vers la gauche", "autour" ?
10. Quelles autres définitions connaissez-vous qui sont associées à une figure qui a trois angles et trois côtés ?

Matières > Mathématiques > Mathématiques 7e année Signes d'égalité des triangles rectangles

Formes triangulaires

Considérez trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite et trois segments reliant ces points (Fig. 1).

Un triangle est appelé une partie du plan délimité par ces segments, les segments sont appelés les côtés du triangle et les extrémités des segments (trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite) sont appelées les sommets du triangle.

Le tableau 1 répertorie tous les types de triangles possibles en fonction de la taille de leurs angles .

Tableau 1 - Types de triangles selon la taille des angles

Dessin	forme triangulaire	Définition
	Triangle aigu	Le triangle qui a tous les coins sont nets , est dit aigu
	Triangle rectangle	Le triangle qui a un des angles droits , est dit rectangulaire
	triangle obtus	Le triangle qui a un des coins est obtus , est dit obtus

Triangle aigu

Définition:

Le triangle qui a tous les coins sont nets , est dit aigu

Triangle rectangle

Définition:

Le triangle qui a un des angles droits , est dit rectangulaire

triangle obtus

Définition:

Le triangle qui a un des coins est obtus , est dit obtus

Selon la longueur des côtés Il existe deux types importants de triangles.

Tableau 2 - Triangles isocèles et équilatéraux

Dessin	forme triangulaire	Définition
	Triangle isocèle	côtés, et le troisième côté est appelé la base d'un triangle isocèle
	Équilatéral (correct) Triangle	Un triangle dont les trois côtés sont égaux est appelé triangle équilatéral ou triangle rectangle.

Triangle isocèle

Définition:

Un triangle qui a deux côtés égaux est appelé un triangle isocèle. Dans ce cas, deux côtés égaux sont appelés côtés, et le troisième côté est appelé la base d'un triangle isocèle

Triangle équilatéral (régulier)

Définition:

Un triangle dont les trois côtés sont égaux est appelé triangle équilatéral ou triangle rectangle.

Signes d'égalité des triangles

Les triangles sont dits égaux s'ils peut être combiné avec une superposition .

Le tableau 3 montre signes d'égalité des triangles.

Tableau 3 - Signes d'égalité des triangles

Dessin	Nom de la fonctionnalité	Formulation de fonctionnalités
	au deux côtés et l'angle entre eux
	Le signe de l'égalité des triangles au côté et deux coins adjacents
	Le signe de l'égalité des triangles au trois partis

Le signe de l'égalité des triangles sur deux côtés et l'angle entre eux

Formulation de fonctionnalités.
Si deux côtés d'un triangle et l'angle entre eux sont respectivement égaux à deux côtés d'un autre triangle et l'angle entre eux, alors ces triangles sont égaux

Le signe de l'égalité des triangles le long d'un côté et de deux coins adjacents

Formulation de fonctionnalités.
Si un côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux à un côté et deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux

Le signe de l'égalité des triangles sur trois côtés

Formulation de fonctionnalités.
Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents

Signes d'égalité des triangles rectangles

Pour les fêtes triangles rectangles les noms suivants sont utilisés.

L'hypoténuse est le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit (Fig. 2), les deux autres côtés sont appelés jambes.

Tableau 4 - Signes d'égalité des triangles rectangles

Dessin	Nom de la fonctionnalité	Formulation de fonctionnalités
	au deux jambes
	Signe d'égalité des triangles rectangles au jambe et angle aigu adjacent
	Signe d'égalité des triangles rectangles au jambe et angle aigu opposé	Si la jambe et l'angle aigu opposé d'un triangle rectangle sont respectivement égaux à la jambe et à l'angle aigu opposé d'un autre triangle rectangle, alors ces triangles rectangles sont égaux
	Signe d'égalité des triangles rectangles au hypoténuse et angle aigu	Si l'hypoténuse et l'angle aigu d'un triangle rectangle sont respectivement égaux à l'hypoténuse et à l'angle aigu d'un autre triangle rectangle, alors ces triangles rectangles sont égaux
	Signe d'égalité des triangles rectangles au jambe et hypoténuse	Si la jambe et l'hypoténuse d'un triangle rectangle sont respectivement égales à la jambe et à l'hypoténuse d'un autre triangle rectangle, alors ces triangles rectangles sont égaux

Signe d'égalité de triangles rectangles sur deux jambes

Formulation de fonctionnalités.
Si deux jambes d'un triangle rectangle sont respectivement égales à deux jambes d'un autre triangle rectangle, alors ces triangles rectangles sont égaux

Signe d'égalité des triangles rectangles le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent

Formulation de fonctionnalités.
Si la jambe et l'angle aigu qui lui est adjacent d'un triangle rectangle sont respectivement égaux à la jambe et à l'angle aigu qui lui est adjacent d'un autre triangle rectangle, alors ces triangles rectangles sont égaux

Signe d'égalité des triangles rectangles le long de la jambe et angle aigu opposé

Notation standard

Triangle avec des sommets UNE, B et C noté comme (voir Fig.). Le triangle a trois côtés :

Les longueurs des côtés d'un triangle sont indiquées par des lettres latines minuscules (a, b, c) :

Le triangle a les angles suivants :

Les valeurs des angles aux sommets correspondants sont traditionnellement notées lettres grecques (α, β, γ).

Signes d'égalité des triangles

Un triangle sur le plan euclidien peut être défini de manière unique (jusqu'à la congruence) par les triplets suivants d'éléments de base :

a, b, γ (l'égalité des deux côtés et l'angle qui les sépare) ;
a, β, γ (égalité du côté et de deux angles adjacents) ;
a, b, c (égalité sur trois côtés).

Signes d'égalité des triangles rectangles :

le long de la jambe et de l'hypoténuse;
sur deux jambes;
le long de la jambe et de l'angle aigu ;
hypoténuse et angle aigu.

Certains points du triangle sont "appariés". Par exemple, il y a deux points dont tous les côtés sont visibles soit sous un angle de 60°, soit sous un angle de 120°. Ils s'appellent Points Torricelli. Il y a aussi deux points dont les projections sur les côtés se situent aux sommets triangle rectangle. Cette - pointes d'Apollonius. Points et tels qu'on les appelle Pointes Brocard.

Direct

Dans tout triangle, le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont situés sur une même droite, appelée Ligne d'Euler.

La droite passant par le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine est appelée L'axe de Brokar. Des pointes d'Apollonius se trouvent dessus. Les points de Torricelli et le point de Lemoine se trouvent également sur la même droite. Les bases des bissectrices extérieures des angles d'un triangle se trouvent sur la même droite, appelée axe des bissectrices externes. Les points d'intersection des lignes contenant les côtés de l'orthotriangle avec les lignes contenant les côtés du triangle se trouvent également sur la même ligne. Cette ligne s'appelle axe orthocentrique, elle est perpendiculaire à la droite d'Euler.

Si nous prenons un point sur le cercle circonscrit d'un triangle, alors ses projections sur les côtés du triangle se trouveront sur une droite, appelée La droite de Simson point donné. Les lignes de Simson de points diamétralement opposés sont perpendiculaires.

Triangles

Un triangle avec des sommets aux bases de cevians passant par un point donné est appelé triangle cévien ce point.
Un triangle avec des sommets dans les projections d'un point donné sur les côtés est appelé sous la peau ou triangle de pédale ce point.
Un triangle avec des sommets aux deuxièmes points d'intersection des lignes passant par les sommets et le point donné, avec le cercle circonscrit, est appelé triangle cévien. Un triangle cevian est similaire à un triangle sous-cutané.

cercles

Cercle inscrit- un cercle tangent à tout trois côtés Triangle. Elle est la seule. Le centre du cercle inscrit est appelé au centre.
Cercle circonscrit- un cercle passant par les trois sommets du triangle. Le cercle circonscrit est également unique.
Excercer- un cercle tangent à un côté d'un triangle et le prolongement des deux autres côtés. Il y a trois cercles de ce type dans un triangle. Leur centre radical est le centre du cercle inscrit du triangle médian, appelé Point de Spieker.

Les milieux des trois côtés d'un triangle, les bases de ses trois hauteurs et les milieux des trois segments de droite reliant ses sommets à l'orthocentre reposent sur un seul cercle appelé cercle de neuf points ou Cercle d'Euler. Le centre du cercle à neuf points se trouve sur la droite d'Euler. Un cercle de neuf points touche un cercle inscrit et trois excercles. Le point de contact entre un cercle inscrit et un cercle de neuf points est appelé Pointe Feuerbach. Si à partir de chaque sommet nous posons des triangles sur des lignes droites contenant des côtés, des orthèses de longueur égale aux côtés opposés, alors les six points résultants se trouvent sur un cercle - Cercles de Conway. Dans tout triangle, trois cercles peuvent être inscrits de manière à ce que chacun d'eux touche deux côtés du triangle et deux autres cercles. Ces cercles sont appelés Cercles de Malfatti. Les centres des cercles circonscrits des six triangles dans lesquels le triangle est divisé par les médianes se trouvent sur un cercle, appelé Cercle de Lamoun.

Un triangle a trois cercles qui touchent deux côtés du triangle et le cercle circonscrit. Ces cercles sont appelés semi-inscrit ou Cercles de Verrier. Les segments reliant les points de contact des cercles de Verrier avec le cercle circonscrit se coupent en un point, appelé Pointe Verrier. Il sert de centre de l'homothétie, qui amène le cercle circonscrit au cercle inscrit. Les points de tangence des cercles de Verrier avec les côtés sont situés sur une droite passant par le centre du cercle inscrit.

Les segments de droite reliant les points tangents du cercle inscrit aux sommets se coupent en un point, appelé Pointe Gergonne, et les segments reliant les sommets aux points de contact des excercles - dans Pointe Nagel.

Ellipses, paraboles et hyperboles

Conique inscrite (ellipse) et sa perspective

Un nombre infini de coniques (ellipses, paraboles ou hyperboles) peuvent s'inscrire dans un triangle. Si nous inscrivons une conique arbitraire dans un triangle et connectons les points de contact avec des sommets opposés, alors les lignes résultantes se croiseront en un point, appelé la perspective coniques. Pour tout point du plan qui ne se situe pas sur un côté ou sur son prolongement, il existe une conique inscrite avec une perspective en ce point.

Ellipse de Steiner circonscrite et cevians passant par ses foyers

Une ellipse peut être inscrite dans un triangle qui touche les côtés au milieu. Une telle ellipse s'appelle Ellipse inscrite de Steiner(sa perspective sera le centre de gravité du triangle). L'ellipse décrite, qui est tangente aux lignes passant par des sommets parallèles aux côtés, est appelée circonscrit par l'ellipse de Steiner. Si une transformation affine ("skew") traduit le triangle en un triangle régulier, alors son ellipse de Steiner inscrite et circonscrite ira dans un cercle inscrit et circonscrit. Les Cevians tracés à travers les foyers de l'ellipse de Steiner décrite (points de Skutin) sont égaux (théorème de Skutin). De toutes les ellipses circonscrites, l'ellipse de Steiner circonscrite a la plus petite zone, et de toutes les ellipses inscrites, l'ellipse inscrite de Steiner a la plus grande surface.

Ellipse de Brocard et son perspecteur - Point de Lemoine

Une ellipse avec des foyers aux points de Brokar est appelée Ellipse de Brocard. Sa perspective est le point de Lemoine.

Propriétés d'une parabole inscrite

Parabole de Kiepert

Les perspectives des paraboles inscrites reposent sur l'ellipse circonscrite de Steiner. Le foyer d'une parabole inscrite se trouve sur le cercle circonscrit et la directrice passe par l'orthocentre. Une parabole inscrite dans un triangle dont la directrice est la droite d'Euler est appelée Parabole de Kiepert. Sa perspective est le quatrième point d'intersection du cercle circonscrit et de l'ellipse de Steiner circonscrite, appelée Pointe Steiner.

L'hyperbole de Cypert

Si l'hyperbole décrite passe par le point d'intersection des hauteurs, alors elle est équilatérale (c'est-à-dire que ses asymptotes sont perpendiculaires). Le point d'intersection des asymptotes d'une hyperbole équilatérale se trouve sur un cercle de neuf points.

Transformations

Si les lignes passant par les sommets et un point ne se trouvant pas sur les côtés et leurs extensions sont réfléchies par rapport aux bissectrices correspondantes, alors leurs images se croiseront également en un point, appelé conjugué isogonalement l'original (si le point se trouve sur le cercle circonscrit, alors les lignes résultantes seront parallèles). De nombreux couples de points remarquables sont isogonalement conjugués : le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre, le barycentre et le point de Lemoine, les points de Brocard. Les points d'Apollonius sont isogonalement conjugués aux points de Torricelli, et le centre du cercle inscrit est isogonalement conjugué à lui-même. Sous l'action de la conjugaison isogonale, les droites passent en coniques circonscrites, et les coniques circonscrites en droites. Ainsi, l'hyperbole de Kiepert et l'axe de Brocard, l'hyperbole d'Enzhabek et la droite d'Euler, l'hyperbole de Feuerbach et la droite des centres du cercle inscrit sont isogonalement conjuguées. Les cercles circonscrits des triangles sous-cutanés de points isogonalement conjugués coïncident. Les foyers des ellipses inscrites sont isogonalement conjugués.

Si, au lieu d'un cevian symétrique, nous prenons un cevian dont la base est aussi éloignée du milieu du côté que la base de l'original, alors ces cevians se croiseront également en un point. La transformation résultante est appelée conjugaison isotomique. Il mappe également des lignes sur des coniques circonscrites. Les points de Gergonne et de Nagel sont isotomiquement conjugués. Sous transformations affines, les points isotomiquement conjugués passent en points isotomiquement conjugués. A la conjugaison de l'isotomie, l'ellipse de Steiner décrite passe dans la droite à l'infini.

Si dans les segments coupés par les côtés du triangle du cercle circonscrit, des cercles sont inscrits qui touchent les côtés à la base des cevians tracés par un certain point, puis les points de contact de ces cercles sont reliés au cercle circonscrit cercle avec des sommets opposés, alors ces lignes se croiseront en un point. La transformation du plan, faisant correspondre le point d'origine à celui résultant, est appelée transformation isocirculaire. La composition des conjugaisons isogonales et isotomiques est la composition de la transformation isocirculaire avec elle-même. Cette composition est une transformation projective qui laisse les côtés du triangle en place et traduit l'axe des bissectrices extérieures en une ligne droite à l'infini.

Si nous continuons les côtés du triangle de Cevian d'un point et prenons leurs points d'intersection avec les côtés correspondants, alors les points d'intersection résultants se trouveront sur une ligne droite, appelée polaire trilinéaire point de départ. Axe orthocentrique - polaire trilinéaire de l'orthocentre ; la polaire trilinéaire du centre du cercle inscrit est l'axe des bissectrices extérieures. Les polaires trilinéaires des points situés sur la conique circonscrite se coupent en un point (pour le cercle circonscrit c'est le point de Lemoine, pour l'ellipse de Steiner circonscrite c'est le centroïde). La composition de la conjugaison isogonale (ou isotomique) et de la polaire trilinéaire est une transformation de dualité (si le point conjugué isogonalement (isotomiquement) au point se trouve sur la polaire trilinéaire du point , alors la polaire trilinéaire du point isogonalement (isotomiquement) conjugué au point se trouve sur la polaire trilinéaire du point ).

Cubes

Relations dans un triangle

Noter: v cette section, , sont les longueurs des trois côtés du triangle, et , , sont les angles opposés respectivement à ces trois côtés (angles opposés).

inégalité triangulaire

Dans un triangle non dégénéré, la somme des longueurs de ses deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté ; dans un triangle dégénéré, elle est égale. Autrement dit, les longueurs des côtés d'un triangle sont liées par les inégalités suivantes :

L'inégalité triangulaire est l'un des axiomes des métriques.

Théorème de la somme des angles du triangle

Théorème des sinus

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle. Il résulte du théorème que si un< b < c, то α < β < γ.

Théorème du cosinus

Théorème de tangente

Autres rapports

Les rapports métriques dans un triangle sont donnés pour :

Résolution de triangles

Le calcul des côtés et des angles inconnus d'un triangle, basé sur ceux connus, a été historiquement appelé "solutions triangulaires". Dans ce cas, les théorèmes trigonométriques généraux ci-dessus sont utilisés.

Aire d'un triangle

Cas particuliers Notation

Les inégalités suivantes sont valables pour l'aire :

Calcul de l'aire d'un triangle dans l'espace à l'aide de vecteurs

Soit les sommets du triangle aux points , , .

Introduisons le vecteur d'aire . La longueur de ce vecteur est égale à l'aire du triangle, et il est dirigé le long de la normale au plan du triangle :

Soit , où , , sont les projections du triangle sur les plans de coordonnées. Où

et également

L'aire du triangle est .

Une alternative consiste à calculer les longueurs des côtés (en utilisant le théorème de Pythagore) puis en utilisant la formule de Heron.

Théorèmes triangulaires

Théorème de Desargues: si deux triangles sont en perspective (les lignes passant par les sommets correspondants des triangles se coupent en un point), alors leurs côtés respectifs se coupent sur une droite.

Théorème de Sond: si deux triangles sont perspectifs et orthologues (perpendiculaires tombant des sommets d'un triangle aux côtés opposés aux sommets correspondants du triangle, et vice versa), alors les deux centres d'orthologie (les points d'intersection de ces perpendiculaires) et le centre de perspective reposent sur une droite perpendiculaire à l'axe de la perspective (droite du théorème de Desargues).

Le polygone le plus simple étudié à l'école est un triangle. Il est plus compréhensible pour les élèves et rencontre moins de difficultés. Malgré le fait qu'il existe différentes sortes triangles qui ont des propriétés particulières.

Quelle forme s'appelle un triangle?

Formé par trois points et segments de ligne. Les premiers sont appelés sommets, les seconds sont appelés côtés. De plus, les trois segments doivent être connectés de sorte que des coins se forment entre eux. D'où le nom de la figure "triangle".

Différences dans les noms dans les coins

Puisqu'ils peuvent être pointus, obtus et droits, les types de triangles sont déterminés par ces noms. En conséquence, il existe trois groupes de ces chiffres.

D'abord. Si tous les angles d'un triangle sont aigus, alors on l'appellera un triangle aigu. Tout est logique.

Seconde. Un des angles est obtus, donc le triangle est obtus. Plus facile nulle part.

Troisième. Il existe un angle égal à 90 degrés, appelé angle droit. Le triangle devient rectangulaire.

Différences de noms sur les côtés

Selon les caractéristiques des côtés, on distingue les types de triangles suivants:

le cas général est polyvalent, dans lequel tous les côtés ont une longueur arbitraire ;

isocèle, dont les deux côtés ont les mêmes valeurs numériques ;

équilatéral, les longueurs de tous ses côtés sont les mêmes.

Si la tâche ne spécifie pas un type de triangle spécifique, vous devez en dessiner un arbitraire. Dans lequel tous les angles sont aigus et les côtés ont des longueurs différentes.

Propriétés communes à tous les triangles

Si vous additionnez tous les angles d'un triangle, vous obtenez un nombre égal à 180º. Et peu importe de quel type il s'agit. Cette règle s'applique toujours.
La valeur numérique de n'importe quel côté du triangle est inférieure aux deux autres additionnées. De plus, il est supérieur à leur différence.
Chaque coin extérieur a une valeur obtenue en ajoutant deux coins intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. De plus, il est toujours plus grand que l'interne adjacent.
Le plus petit côté d'un triangle est toujours opposé au plus petit angle. Inversement, si le côté est grand, alors l'angle sera le plus grand.

Ces propriétés sont toujours valables, quels que soient les types de triangles considérés dans les problèmes. Tout le reste découle de caractéristiques spécifiques.

Propriétés d'un triangle isocèle

Les angles adjacents à la base sont égaux.
La hauteur qui est dessinée à la base est aussi la médiane et la bissectrice.
Les hauteurs, les médianes et les bissectrices, qui sont respectivement construites sur les côtés du triangle, sont égales les unes aux autres.

Propriétés d'un triangle équilatéral

S'il existe un tel chiffre, toutes les propriétés décrites un peu ci-dessus seront vraies. Parce qu'un équilatéral sera toujours isocèle. Mais pas l'inverse, un triangle isocèle ne sera pas forcément équilatéral.

Tous ses angles sont égaux entre eux et ont une valeur de 60º.
Toute médiane d'un triangle équilatéral est sa hauteur et sa bissectrice. Et ils sont tous égaux les uns aux autres. Pour déterminer leurs valeurs, il existe une formule qui consiste en le produit du côté et de la racine carrée de 3 divisé par 2.

Propriétés d'un triangle rectangle

Deux angles aigus totalisent 90º.
La longueur de l'hypoténuse est toujours supérieure à celle de l'une des jambes.
La valeur numérique de la médiane tracée à l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci.
La jambe est égale à la même valeur si elle fait face à un angle de 30º.
La hauteur, qui est tirée du haut avec une valeur de 90º, a une certaine dépendance mathématique des jambes: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / in 2. Ici : a, c - jambes, n - hauteur.

Problèmes avec différents types de triangles

N° 1. Soit un triangle isocèle. Son périmètre est connu et est égal à 90 cm, il est nécessaire de connaître ses côtés. Comme condition supplémentaire: le côté latéral est 1,2 fois plus petit que la base.

La valeur du périmètre dépend directement des quantités à trouver. La somme des trois côtés donnera 90 cm.Maintenant, vous devez vous rappeler le signe d'un triangle, selon lequel il est isocèle. C'est-à-dire que les deux côtés sont égaux. Vous pouvez faire une équation à deux inconnues : 2a + b \u003d 90. Ici a est le côté, b est la base.

Il est temps pour une condition supplémentaire. Suite à cela, la deuxième équation est obtenue: b \u003d 1,2a. Vous pouvez substituer cette expression dans la première. Il s'avère: 2a + 1,2a \u003d 90. Après transformations: 3,2a \u003d 90. D'où un \u003d 28,125 (cm). Maintenant, il est facile de trouver la raison. Il est préférable de le faire à partir de la deuxième condition : v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Pour vérifier, vous pouvez additionner trois valeurs : 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Très bien.

Réponse : les côtés du triangle mesurent 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

N° 2. Le côté d'un triangle équilatéral mesure 12 cm, il faut calculer sa hauteur.

Solution. Pour chercher une réponse, il suffit de revenir au moment où les propriétés du triangle ont été décrites. C'est la formule pour trouver la hauteur, la médiane et la bissectrice d'un triangle équilatéral.

n \u003d a * √3 / 2, où n est la hauteur, a est le côté.

La substitution et le calcul donnent le résultat suivant : n = 6 √3 (cm).

Cette formule n'a pas besoin d'être mémorisée. Qu'il suffise de rappeler que la hauteur divise le triangle en deux rectangles. De plus, il s'avère que c'est une jambe, et l'hypoténuse qu'elle contient est le côté de celle d'origine, la deuxième jambe est la moitié du côté connu. Maintenant, vous devez écrire le théorème de Pythagore et en déduire une formule pour la hauteur.

Réponse : la hauteur est de 6 √3 cm.

N ° 3. MKR est donné - un triangle de 90 degrés dans lequel fait un angle K. Les côtés MP et KR sont connus, ils sont respectivement égaux à 30 et 15 cm.Vous devez connaître la valeur de l'angle P.

Solution. Si vous faites un dessin, il devient clair que MP est l'hypoténuse. De plus, il est deux fois plus grand que la patte du CD. Encore une fois, vous devez vous tourner vers les propriétés. L'un d'eux est juste lié aux coins. Il en ressort clairement que l'angle du KMR est de 30º. Ainsi, l'angle souhaité P sera égal à 60º. Cela découle d'une autre propriété qui stipule que la somme de deux angles aigus doit être égale à 90º.

Réponse : l'angle R est de 60º.

Numéro 4. Il faut trouver tous les angles d'un triangle isocèle. On sait de lui que l'angle externe de l'angle à la base est de 110º.

Solution. Étant donné que seul le coin extérieur est donné, il convient de l'utiliser. Il se forme avec un angle interne développé. Donc, ils ajoutent jusqu'à 180º. C'est-à-dire que l'angle à la base du triangle sera égal à 70º. Comme il est isocèle, le deuxième angle a la même valeur. Il reste à calculer le troisième angle. Par une propriété commune à tous les triangles, la somme des angles est de 180º. Ainsi, le troisième est défini comme 180º - 70º - 70º = 40º.

Réponse : les angles sont 70º, 70º, 40º.

N ° 5. On sait qu'en triangle isocèle l'angle opposé à la base est de 90º. Un point est marqué sur la base. Le segment qui le relie à un angle droit le divise dans un rapport de 1 à 4. Vous devez connaître tous les angles du petit triangle.

Solution. L'un des coins peut être déterminé immédiatement. Puisque le triangle est rectangle et isocèle, ceux qui se trouvent à sa base seront de 45º, c'est-à-dire de 90º / 2.

Le second d'entre eux aidera à trouver la relation connue dans la condition. Puisqu'il est égal à 1 à 4, il n'y a que 5 parties dans lesquelles il est divisé.Ainsi, pour trouver le plus petit angle du triangle, vous avez besoin de 90º / 5 = 18º. Reste à découvrir le troisième. Pour ce faire, à partir de 180º (la somme de tous les angles d'un triangle), vous devez soustraire 45º et 18º. Les calculs sont simples, et il s'avère : 117º.