Les enfants de l'école apprennent les règles de réduction des fractions en 6e année. Dans cet article, nous allons d’abord vous expliquer ce que signifie cette action, puis nous vous expliquerons comment convertir une fraction réductible en fraction irréductible. Le point suivant concernera les règles de réduction des fractions, puis nous passerons progressivement aux exemples.
Que signifie « réduire une fraction » ?
Donc nous le savons tous fractions ordinaires sont divisés en deux groupes : réductibles et irréductibles. Déjà par les noms on peut comprendre que ceux qui sont contractables sont contractés, et que ceux qui sont irréductibles ne sont pas contractés.
- Réduire une fraction signifie diviser son dénominateur et son numérateur par leur diviseur positif (autre qu'un). Le résultat, bien sûr, est une nouvelle fraction avec un dénominateur et un numérateur plus petits. La fraction résultante sera égale à la fraction originale.
Il convient de noter que dans les livres de mathématiques avec la tâche « réduire une fraction », cela signifie que vous devez réduire la fraction originale à cette forme irréductible. Si nous parlons en mots simples, puis divisez le dénominateur et le numérateur par leur plus grand diviseur commun et il y a une réduction.
Comment réduire une fraction. Règles de réduction des fractions (6e année)
Il n'y a donc que deux règles ici.
- La première règle de réduction des fractions est de trouver d’abord le plus grand commun diviseur du dénominateur et du numérateur de votre fraction.
- La deuxième règle : diviser le dénominateur et le numérateur par le plus grand diviseur commun, pour obtenir au final une fraction irréductible.
Comment réduire une fraction impropre ?
Les règles de réduction des fractions sont identiques aux règles de réduction des fractions impropres.
Afin de réduire une fraction impropre, vous devrez d’abord factoriser le dénominateur et le numérateur en facteurs premiers, puis réduire les facteurs communs.
Réduire les fractions mixtes
Les règles de réduction des fractions s'appliquent également à la réduction des fractions mixtes. Il n'y a qu'une petite différence : on ne peut pas toucher la partie entière, mais réduire la fraction ou convertir la fraction mixte en une fraction impropre, puis la réduire et la convertir à nouveau en une fraction propre.
Il existe deux façons de réduire les fractions mélangées.
Premièrement : écrivez la partie fractionnaire en facteurs premiers, puis laissez la partie entière tranquille.
La deuxième façon : convertissez-la d’abord en une fraction impropre, écrivez-la en facteurs ordinaires, puis réduisez la fraction. Convertissez la fraction impropre déjà obtenue en une fraction propre.
Des exemples peuvent être vus sur la photo ci-dessus.
Nous espérons vraiment avoir pu vous aider, vous et vos enfants. Après tout, ils sont souvent inattentifs en classe et doivent donc étudier seuls à la maison de manière plus intensive.
Dans cet article, nous verrons en détail comment fractions réductrices. Tout d’abord, parlons de ce qu’on appelle réduire une fraction. Après cela, parlons de la réduction d'une fraction réductible à une forme irréductible. Nous obtiendrons ensuite la règle de réduction des fractions et, enfin, considérerons des exemples d'application de cette règle.
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Que signifie réduire une fraction ?
Nous savons que les fractions ordinaires sont divisées en fractions réductibles et irréductibles. Vous pouvez deviner à partir des noms que les fractions réductibles peuvent être réduites, mais pas les fractions irréductibles.
Que signifie réduire une fraction ? Réduire la fraction- cela signifie diviser son numérateur et son dénominateur par leur unité positive et différente de l'unité. Il est clair qu'en raison de la réduction d'une fraction, une nouvelle fraction est obtenue avec un numérateur et un dénominateur plus petits et, en raison de la propriété fondamentale de la fraction, la fraction résultante est égale à l'originale.
Par exemple, réduisons la fraction commune 8/24 en divisant son numérateur et son dénominateur par 2. Autrement dit, réduisons la fraction 8/24 de 2. Puisque 8:2=4 et 24:2=12, cette réduction donne la fraction 4/12, qui est égale à la fraction originale 8/24 (voir fractions égales et inégales). En conséquence, nous avons .
Réduire des fractions ordinaires à une forme irréductible
En règle générale, le but ultime de la réduction d’une fraction est d’obtenir une fraction irréductible égale à la fraction réductible d’origine. Cet objectif peut être atteint en réduisant la fraction réductible originale par son numérateur et son dénominateur. Grâce à une telle réduction, une fraction irréductible est toujours obtenue. En effet, une fraction 
est irréductible, puisqu'on sait que 
Et 
- . Nous dirons ici que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction est le plus grand nombre, par lequel cette fraction peut être réduite.
Donc, réduire une fraction commune à une forme irréductible consiste à diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction réductible originale par leur pgcd.
Regardons un exemple, pour lequel on revient à la fraction 8/24 et on la réduit du plus grand diviseur commun des nombres 8 et 24, qui est égal à 8. Puisque 8:8=1 et 24:8=3, on arrive à la fraction irréductible 1/3. Donc, .
Notez que l’expression « réduire une fraction » signifie souvent réduire la fraction originale à sa forme irréductible. En d’autres termes, réduire une fraction consiste très souvent à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (plutôt que par un quelconque diviseur commun).
Comment réduire une fraction ? Règles et exemples de fractions réductrices
Il ne reste plus qu'à regarder la règle de réduction des fractions, qui explique comment réduire une fraction donnée.
Règle de réduction des fractions se compose de deux étapes :
- tout d'abord, le pgcd du numérateur et du dénominateur de la fraction est trouvé ;
- deuxièmement, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par leur pgcd, ce qui donne une fraction irréductible égale à celle d'origine.
Faisons le tri exemple de réduction d'une fraction selon la règle énoncée.
Exemple.
Réduisez la fraction 182/195.
Solution.
Effectuons les deux étapes prescrites par la règle de réduction d'une fraction.
Nous trouvons d’abord GCD(182, 195) . Il est plus pratique d'utiliser l'algorithme d'Euclide (voir) : 195=182·1+13, 182=13·14, c'est-à-dire PGCD(182, 195)=13.
Nous divisons maintenant le numérateur et le dénominateur de la fraction 182/195 par 13, et nous obtenons la fraction irréductible 14/15, qui est égale à la fraction originale. Ceci termine la réduction de la fraction.
Brièvement, la solution peut s'écrire comme suit : .
Répondre:
C’est là que nous pouvons finir de réduire les fractions. Mais pour compléter le tableau, examinons deux autres façons de réduire les fractions, qui sont généralement utilisées dans les cas simples.
Parfois, le numérateur et le dénominateur de la fraction à réduire ne sont pas difficiles. Réduire une fraction dans ce cas est très simple : il suffit de supprimer tous les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.
Il convient de noter que cette méthode découle directement de la règle des fractions réductrices, puisque le produit de tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur est égal à leur plus grand diviseur commun.
Regardons la solution de l'exemple.
Exemple.
Réduisez la fraction 360/2 940.
Solution.
Factorisons le numérateur et le dénominateur en facteurs simples : 360=2·2·2·3·3·5 et 2,940=2·2·3·5·7·7. Ainsi, 
.
Maintenant, nous nous débarrassons des facteurs communs au numérateur et au dénominateur ; pour plus de commodité, nous les barrons simplement : 
.
Enfin, on multiplie les facteurs restants : , et la réduction de la fraction est terminée.
Voici un bref résumé de la solution : 
.
Répondre:
Considérons une autre façon de réduire une fraction, qui consiste en une réduction séquentielle. Ici, à chaque étape, la fraction est réduite par un diviseur commun du numérateur et du dénominateur, qui est soit évident, soit facilement déterminé à l'aide de
De nombreux élèves font les mêmes erreurs lorsqu’ils travaillent avec des fractions. Et tout ça parce qu'ils oublient les règles de base arithmétique. Aujourd'hui, nous allons répéter ces règles sur des tâches spécifiques que je donne dans mes cours.
Voici la tâche que je propose à tous ceux qui se préparent à l'examen d'État unifié de mathématiques :
Tâche. Un marsouin mange 150 grammes de nourriture par jour. Mais elle a grandi et a commencé à manger 20 % de plus. Combien de grammes de nourriture le porc mange-t-il actuellement ?
Pas bonne solution. Il s’agit d’un problème de pourcentage qui se résume à l’équation :
Beaucoup (très nombreux) réduisent le nombre 100 au numérateur et au dénominateur d'une fraction :
C’est l’erreur que mon élève a commise le jour même de la rédaction de cet article. Les nombres tronqués sont marqués en rouge.
Inutile de dire que la réponse était fausse. Jugez par vous-même : le cochon a mangé 150 grammes, mais a commencé à en manger 3150 grammes. L'augmentation n'est pas de 20 %, mais de 21 fois, soit de 2000%.
Pour éviter de tels malentendus, rappelez-vous la règle de base :
Seuls les multiplicateurs peuvent être réduits. Les conditions ne peuvent pas être réduites !
Ainsi, la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :
Les nombres abrégés au numérateur et au dénominateur sont marqués en rouge. Comme vous pouvez le constater, le numérateur est un produit, le dénominateur est un nombre ordinaire. La réduction est donc tout à fait légale.
Travailler avec les proportions
Un autre zone problématique — proportions. Surtout quand la variable est des deux côtés. Par exemple:
Tâche. Résous l'équation:
Mauvaise solution - certaines personnes ont littéralement envie de tout raccourcir de m :
Les variables réduites sont affichées en rouge. L'expression 1/4 = 1/5 s'avère être un non-sens total, ces nombres ne sont jamais égaux.
Et maintenant, la bonne décision. En gros c'est ordinaire équation linéaire. Il peut être résolu soit en déplaçant tous les éléments d’un côté, soit par la propriété fondamentale de proportion :
De nombreux lecteurs objecteront : « Où est l’erreur dans la première solution ? Eh bien, découvrons-le. Rappelons la règle pour travailler avec des équations :
N'importe quelle équation peut être divisée et multipliée par n'importe quel nombre, non nul.
Vous avez raté l'astuce ? Vous ne pouvez diviser que par des nombres non nul. En particulier, vous ne pouvez diviser par la variable m que si m != 0. Mais et si, après tout, m = 0 ? Remplaçons et vérifions :
Nous avons reçu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire m = 0 est la racine de l'équation. Pour le m != 0 restant, nous obtenons une expression de la forme 1/4 = 1/5, ce qui est naturellement incorrect. Il n’y a donc pas de racines non nulles.
Conclusions : tout mettre ensemble
Ainsi, pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, rappelez-vous trois règles :
- Seuls les multiplicateurs peuvent être réduits. Les ajouts ne sont pas possibles. Par conséquent, apprenez à factoriser le numérateur et le dénominateur ;
- La propriété principale de la proportion : le produit des éléments extrêmes est égal au produit des éléments moyens ;
- Les équations ne peuvent être multipliées et divisées que par des nombres k différents de zéro. Le cas k = 0 doit être vérifié séparément.
N'oubliez pas ces règles et ne faites pas d'erreurs.
Division et le numérateur et le dénominateur de la fraction sur leur diviseur commun, différent de un, s'appelle réduire une fraction.
À raccourcir fraction commune, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre naturel.
Ce nombre est le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction donnée.
Les éléments suivants sont possibles formulaires d'enregistrement des décisions Exemples de réduction de fractions communes.
L'étudiant a le droit de choisir n'importe quelle forme d'enregistrement.
Exemples. Simplifiez les fractions.
Réduisez la fraction par 3 (divisez le numérateur par 3 ;
divisez le dénominateur par 3).
Réduisez la fraction de 7.
Nous effectuons les actions indiquées au numérateur et au dénominateur de la fraction.
La fraction résultante est réduite de 5.
Réduisons cette fraction 4)
sur 5·7³- le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur, qui est constitué des facteurs communs du numérateur et du dénominateur, portés à la puissance du plus petit exposant.
Factorisons le numérateur et le dénominateur de cette fraction en facteurs premiers.
On a: 756=2²·3³·7 Et 1176=2³·3·7².
Déterminer le PGCD (plus grand diviseur commun) du numérateur et du dénominateur de la fraction 5) .
C'est le produit de facteurs communs pris avec les exposants les plus bas.
pgcd(756, 1176)= 2²·3·7.
On divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par leur pgcd, c'est-à-dire par 2²·3·7 on obtient une fraction irréductible 9/14
.
Ou il était possible d'écrire la décomposition du numérateur et du dénominateur sous la forme d'un produit de facteurs premiers, sans utiliser la notion de puissance, puis de réduire la fraction en rayant les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Lorsqu'il ne reste plus de facteurs identiques, nous multiplions les facteurs restants séparément au numérateur et séparément au dénominateur et écrivons la fraction résultante 9/14 .
Et finalement, il a été possible de réduire cette fraction 5) progressivement, en appliquant des signes de division des nombres à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction. Pensons ainsi : les chiffres 756 Et 1176 se terminent par un nombre pair, ce qui signifie que les deux sont divisibles par 2 . On réduit la fraction de 2 . Le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction sont des nombres 378 Et 588 également divisé en 2 . On réduit la fraction de 2 . On remarque que le nombre 294 - même, et 189 est étrange, et la réduction par 2 n'est plus possible. Vérifions la divisibilité des nombres 189 Et 294 sur 3 .
(1+8+9)=18 est divisible par 3 et (2+9+4)=15 est divisible par 3, d'où les nombres eux-mêmes 189 Et 294 sont divisées en 3 . On réduit la fraction de 3 . Plus loin, 63 est divisible par 3 et 98 - Non. Regardons d'autres facteurs premiers. Les deux nombres sont divisibles par 7 . On réduit la fraction de 7 et on obtient la fraction irréductible 9/14 .
Pour comprendre comment réduire des fractions, regardons d’abord un exemple.
Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par la même chose. 360 et 420 se terminent par un chiffre, nous pouvons donc réduire cette fraction de 2. Dans la nouvelle fraction, 180 et 210 sont également divisibles par 2, nous réduisons donc cette fraction de 2. Dans les nombres 90 et 105, la somme des chiffres est divisible par 3, donc ces deux nombres sont divisibles par 3, on réduit la fraction par 3. Dans la nouvelle fraction, 30 et 35 se terminent par 0 et 5, ce qui signifie que les deux nombres sont divisibles par 5, donc on réduit la fraction par 5. La fraction résultante de six septièmes est irréductible. C'est la réponse finale.
Nous pouvons arriver à la même réponse d’une manière différente.
360 et 420 se terminent par zéro, ce qui signifie qu'ils sont divisibles par 10. Nous réduisons la fraction de 10. Dans la nouvelle fraction, le numérateur 36 et le dénominateur 42 sont divisés par 2. Nous réduisons la fraction de 2. Dans la fraction suivante, le numérateur 18 et le dénominateur 21 sont divisés par 3, ce qui signifie que nous réduisons la fraction de 3. Nous sommes arrivés au résultat - six septièmes.
Et encore une solution.
La prochaine fois, nous examinerons des exemples de fractions réductrices.
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