Plus petit commun multiple de deux nombres. Diviseurs et multiples

Considérez trois façons de trouver le plus petit commun multiple.

Recherche par affacturage

La première consiste à trouver le plus petit commun multiple en factorisant ces nombres en facteurs premiers.

Disons que nous devons trouver le LCM des nombres : 99, 30 et 28. Pour ce faire, nous décomposons chacun de ces nombres en facteurs premiers :

Pour que le nombre désiré soit divisible par 99, 30 et 28, il faut et il suffit que tous les facteurs premiers de ces diviseurs y entrent. Pour ce faire, nous devons prendre tous les facteurs premiers de ces nombres à la plus grande puissance possible et les multiplier ensemble :

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Donc le LCM (99, 30, 28) = 13 860. Aucun autre nombre inférieur à 13 860 n'est divisible par 99, 30 ou 28.

Pour trouver le plus petit commun multiple de ces nombres, vous devez les factoriser en facteurs premiers, puis prendre chaque facteur premier avec le plus grand exposant qu'il rencontre et multiplier ces facteurs ensemble.

Comme les nombres premiers entre eux n'ont pas de facteurs premiers communs, leur plus petit multiple commun est égal au produit de ces nombres. Par exemple, trois nombres : 20, 49 et 33 sont premiers entre eux. C'est pourquoi

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

La même chose devrait être faite lors de la recherche du plus petit commun multiple de différents nombres premiers. Par exemple, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Recherche par sélection

La deuxième méthode consiste à trouver le plus petit commun multiple par ajustement.

Exemple 1. Lorsque le plus grand des nombres donnés est entièrement divisé par les autres nombres donnés, alors le LCM de ces nombres est égal au plus grand d'entre eux. Par exemple, étant donné quatre nombres : 60, 30, 10 et 6. Chacun d'eux est divisible par 60, donc :

LCM (60, 30, 10, 6) = 60

Sinon, la procédure suivante est utilisée pour trouver le plus petit commun multiple :

  1. Déterminer le plus grand nombre des nombres donnés.
  2. Ensuite, nous trouvons des nombres multiples du plus grand nombre, le multipliant par des nombres naturels dans l'ordre croissant et vérifiant si les nombres donnés restants sont divisibles par le produit résultant.

Exemple 2. Étant donné trois nombres 24, 3 et 18. Déterminez le plus grand d'entre eux - c'est le nombre 24. Ensuite, trouvez des nombres multiples de 24, en vérifiant si chacun d'eux est divisible par 18 et 3 :

24 1 = 24 - divisible par 3, mais pas divisible par 18.

24 2 = 48 - divisible par 3, mais pas divisible par 18.

24 3 = 72 - divisible par 3 et 18.

Donc le LCM (24, 3, 18) = 72.

Recherche par recherche séquentielle du LCM

La troisième méthode consiste à trouver le plus petit commun multiple en trouvant séquentiellement le LCM.

Le LCM de deux nombres donnés est égal au produit de ces nombres divisé par leur plus grand diviseur commun.

Exemple 1. Trouvons le LCM de deux nombres donnés : 12 et 8. Déterminez leur plus grand commun diviseur : PGCD (12, 8) = 4. Multipliez ces nombres :

Nous divisons le travail dans leur GCD :

Ainsi, LCM (12, 8) = 24.

Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, utilisez la procédure suivante :

  1. Tout d'abord, trouvez le LCM de deux des nombres donnés.
  2. Ensuite, le LCM du plus petit commun multiple trouvé et du troisième nombre donné.
  3. Ensuite, le LCM du plus petit commun multiple résultant et du quatrième nombre, etc.
  4. Ainsi, la recherche du LCM se poursuit tant qu'il y a des numéros.

Exemple 2. Trouvons le LCM des trois nombres donnés : 12, 8 et 9. Le LCM des nombres 12 et 8 que nous avons déjà trouvé dans l'exemple précédent (c'est le nombre 24). Il reste à trouver le plus petit commun multiple de 24 et le troisième nombre donné - 9. Déterminer leur plus grand commun diviseur : PGCD (24, 9) = 3. Multiplier le LCM par le nombre 9 :

Nous divisons le travail dans leur GCD :

Donc le LCM (12, 8, 9) = 72.

Un multiple est un nombre qui est divisible par un nombre donné. Le plus petit commun multiple (LCM) d'un groupe de nombres est le plus petit nombre qui est également divisible par chaque nombre du groupe. Pour trouver le plus petit commun multiple, vous devez trouver les facteurs premiers des nombres donnés. Le LCM peut également être calculé à l'aide d'un certain nombre d'autres méthodes applicables aux groupes de deux nombres ou plus.

Pas

Une série de multiples

    Regardez les nombres donnés. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsque deux nombres sont donnés, chacun étant inférieur à 10. Si les nombres sont grands, utilisez une méthode différente.

    • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 5 et 8. Ce sont de petits nombres, vous pouvez donc utiliser cette méthode.

  1. Un multiple est un nombre qui est divisible par un nombre donné. Plusieurs nombres peuvent être trouvés dans la table de multiplication.

    • Par exemple, les nombres qui sont des multiples de 5 sont : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Écrivez une série de nombres qui sont des multiples du premier nombre. Faites cela sous les multiples du premier nombre pour comparer deux rangées de nombres.

    • Par exemple, les nombres qui sont des multiples de 8 sont : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 et 64.

  3. Trouvez le plus petit nombre qui apparaît dans les deux rangées de multiples. Vous devrez peut-être écrire de longues séries de multiples pour trouver le total. Le plus petit nombre qui apparaît dans les deux rangées de multiples est le plus petit multiple commun.

    • Par exemple, le plus petit nombre qui apparaît dans une série de multiples de 5 et 8 est 40. Par conséquent, 40 est le plus petit multiple commun de 5 et 8.

    Factorisation en nombres premiers

    1. Regardez les nombres donnés. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsque deux nombres sont donnés, chacun étant supérieur à 10. Si les nombres donnés sont plus petits, utilisez une méthode différente.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 20 et 84. Chacun des nombres est supérieur à 10, vous pouvez donc utiliser cette méthode.

    2. Factorisez le premier nombre. C'est-à-dire que vous devez trouver de tels nombres premiers, lors de la multiplication, vous obtenez le nombre donné. Une fois que vous avez trouvé les facteurs premiers, notez-les sous forme d'égalités.

      • Par exemple, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ fois 10 = 20) et 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ fois (\ mathbf (5)) = 10)... Ainsi, les facteurs premiers de 20 sont 2, 2 et 5. Écrivez-les sous forme d'expression :.

    3. Factorisez le deuxième nombre. Faites cela de la même manière que vous avez factorisé le premier nombre, c'est-à-dire trouvez les nombres premiers qui, une fois multipliés, donneront le nombre donné.

      • Par exemple, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ fois 6 = 42) et 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ fois (\ mathbf (2)) = 6)... Ainsi, les facteurs premiers de 84 sont 2, 7, 3 et 2. Écrivez-les sous forme d'expression :.

    4. Notez les facteurs communs aux deux nombres.Écrivez ces facteurs sous forme de multiplication. Au fur et à mesure que vous écrivez chaque facteur, rayez-le dans les deux expressions (expressions qui décrivent des factorisations premières).

      • Par exemple, le facteur commun aux deux nombres est 2, alors écrivez 2 × (\ displaystyle 2 \ fois) et rayez 2 dans les deux expressions.
      • Commun aux deux nombres est un autre facteur de 2, alors écrivez 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2) et rayez le deuxième 2 dans les deux expressions.

    5. Ajoutez les facteurs restants à l'opération de multiplication. Ce sont des facteurs qui ne sont pas barrés dans les deux expressions, c'est-à-dire des facteurs qui ne sont pas communs aux deux nombres.

      • Par exemple, dans l'expression 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ fois 2 \ fois 5) les deux (2) sont barrés car ce sont des facteurs communs. Le facteur 5 n'est pas barré, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ fois 2 \ fois 5)
      • Dans l'expression 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ fois 7 \ fois 3 \ fois 2) les deux 2 sont également barrés (2). Les facteurs 7 et 3 ne sont pas barrés, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3).

    6. Calculer le plus petit commun multiple. Pour ce faire, multipliez les nombres dans l'opération de multiplication enregistrée.

      • Par exemple, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3 = 420)... Le plus petit commun multiple de 20 et 84 est donc 420.

    Trouver des diviseurs communs

    1. Dessinez la grille comme pour un jeu de morpion. Une telle grille est constituée de deux droites parallèles qui se coupent (à angle droit) avec les deux autres droites parallèles. Cela se terminera par trois lignes et trois colonnes (la grille est très similaire au signe #). Écrivez le premier nombre dans la première ligne et la deuxième colonne. Écrivez le deuxième nombre dans la première ligne et la troisième colonne.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 18 et 30. Écrivez 18 dans la première ligne et la deuxième colonne, et écrivez 30 dans la première ligne et la troisième colonne.

    2. Trouvez le diviseur commun aux deux nombres.Écrivez-le sur la première ligne et la première colonne. Il est préférable de rechercher des facteurs premiers, mais ce n'est pas une exigence.

      • Par exemple, 18 et 30 sont des nombres pairs, leur diviseur commun est donc 2. Écrivez donc 2 dans la première ligne et la première colonne.

    3. Divisez chaque nombre par le premier diviseur.Écris chaque quotient sous le nombre correspondant. Le quotient est le résultat de la division de deux nombres.

      • Par exemple, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9) alors écrivez 9 moins de 18 ans.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) alors écrivez 15 sous 30.

    4. Trouvez le diviseur commun aux deux quotients. S'il n'y a pas un tel diviseur, sautez les deux étapes suivantes. Sinon, écrivez le diviseur dans la deuxième ligne et la première colonne.

      • Par exemple, 9 et 15 sont divisibles par 3, alors écrivez 3 dans la deuxième ligne et la première colonne.

    5. Divisez chaque quotient par le deuxième facteur.Écrivez chaque résultat de division sous le quotient correspondant.

      • Par exemple, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3) alors écrivez 3 sous 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) alors écrivez 5 sous 15.

    6. Si nécessaire, complétez la grille avec des cellules supplémentaires. Répétez les étapes décrites jusqu'à ce que les quotients aient un diviseur commun.

    7. Encerclez les nombres dans la première colonne et la dernière ligne de la grille. Ensuite, notez les nombres sélectionnés comme une opération de multiplication.

      • Par exemple, les nombres 2 et 3 sont dans la première colonne et les nombres 3 et 5 sont dans la dernière ligne, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5).

    8. Trouvez le résultat de la multiplication des nombres. Cela calculera le plus petit commun multiple des deux nombres donnés.

      • Par exemple, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 = 90)... Le plus petit commun multiple de 18 et 30 est donc 90.

    L'algorithme d'Euclide

    1. Rappelez-vous la terminologie associée à l'opération de division. Le dividende est le nombre qui est divisé. Le diviseur est le nombre divisé par. Le quotient est le résultat de la division de deux nombres. Le reste est le nombre restant lorsque deux nombres sont divisés.

      • Par exemple, dans l'expression 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 est un dividende
        6 est le diviseur
        2 est le quotient
        3 est le reste.

Plus grand diviseur commun

Définition 2

Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $ b $, alors $ b $ est appelé diviseur de $ a $ et $ a $ est appelé multiple de $ b $.

Soient $ a $ et $ b $ des entiers naturels. Le nombre $ c $ est appelé diviseur commun pour $ a $ et $ b $.

L'ensemble des diviseurs communs pour $ a $ et $ b $ est fini, car aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $ a $. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y a un plus grand, qui est appelé le plus grand commun diviseur des nombres $ a $ et $ b $, et la notation est utilisée pour le désigner :

$ Gcd \ (a; b) \ ou \ D \ (a; b) $

Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, il faut :

  1. Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.

Exemple 1

Trouvez le pgcd des nombres 121 $ et 132 $. $

    242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

    132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

    Choisissez des nombres qui sont inclus dans la décomposition de ces nombres

    242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

    132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

    Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand facteur commun souhaité.

    $ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

Exemple 2

Trouvez le PGCD des monômes 63 $ et 81 $.

Nous allons trouver selon l'algorithme présenté. Pour ça:

    Décomposer les nombres en facteurs premiers

    63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

    81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

    Nous choisissons des nombres qui sont inclus dans la décomposition de ces nombres

    63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

    81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

    Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.

    $ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

Vous pouvez trouver le PGCD de deux nombres d'une autre manière, en utilisant l'ensemble des diviseurs de nombres.

Exemple 3

Trouvez le PGCD des nombres $ 48 $ et $ 60 $.

Solution:

Trouver l'ensemble des diviseurs du nombre $ 48 $ : $ \ left \ ((\ rm 1,2,3.4.6.8,12,16,24,48) \ right \) $

On trouve maintenant l'ensemble des diviseurs du nombre $ 60 $ : $ \ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ right \ ) $

Trouvons l'intersection de ces ensembles : $ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $ 48 $ et 60 $ $. Le plus grand élément de l'ensemble donné sera le nombre $ 12 $. Ainsi, le plus grand commun diviseur des nombres 48 $ et 60 $ sera 12 $.

Définition du LCM

Définition 3

Multiple commun de nombres naturels$ a $ et $ b $ est un nombre naturel multiple de $ a $ et $ b $.

Les multiples communs de nombres sont des nombres divisibles par l'original sans reste. Par exemple, pour les nombres 25 $ et 50 $, les multiples communs seront les nombres 50 100 150 200 $, etc.

Le plus petit commun multiple sera appelé le plus petit commun multiple et noté LCM $ (a; b) $ ou K $ (a; b).

Pour trouver le LCM de deux nombres, il vous faut :

  1. Nombres de facteurs
  2. Écrivez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-leur les facteurs qui font partie du second et n'entrent pas dans le premier

Exemple 4

Trouvez le LCM des nombres 99$ et 77$.

Nous allons trouver selon l'algorithme présenté. Pour ça

    Nombres de facteurs

    99 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

    Écrivez les facteurs inclus dans le premier

    ajoutez-leur les facteurs qui font partie du second et n'entrent pas dans le premier

    Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le multiple le moins commun souhaité

    $ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

    La compilation de listes de diviseurs de nombres prend souvent beaucoup de temps. Il existe un moyen de trouver le GCD appelé algorithme d'Euclide.

    Les énoncés sur lesquels repose l'algorithme d'Euclide :

    Si $ a $ et $ b $ sont des nombres naturels, et $ a \ vdots b $, alors $ D (a; b) = b $

    Si $ a $ et $ b $ sont des entiers naturels tels que $ b

En utilisant $ D (a; b) = D (a-b; b) $, nous pouvons successivement diminuer les nombres considérés jusqu'à ce que nous atteignions une telle paire de nombres que l'un d'eux est divisible par l'autre. Ensuite, le plus petit de ces nombres sera le plus grand commun diviseur souhaité pour les nombres $ a $ et $ b $.

Propriétés de GCD et LCM

  1. Tout multiple commun de $ a $ et $ b $ est divisible par K $ (a; b) $
  2. Si $ a \ vdots b $, alors K $ (a; b) = a $

    3. Si K $ (a; b) = k $ et $ m $ est un nombre naturel, alors K $ (am; bm) = km $

    Si $ d $ est un diviseur commun pour $ a $ et $ b $, alors K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

    Si $ a \ vdots c $ et $ b \ vdots c $, alors $ \ frac (ab) (c) $ est un multiple commun de $ a $ et $ b $

    Pour tout nombre naturel $ a $ et $ b $, l'égalité

    $ D (a; b) \ cdot (a; b) = ab $

    Tout diviseur commun des nombres $ a $ et $ b $ est un diviseur du nombre $ D (a; b) $

Les expressions et les problèmes mathématiques nécessitent beaucoup de connaissances supplémentaires. NOC est l'un des principaux, particulièrement souvent utilisé dans Le sujet est étudié au lycée, alors qu'il n'est pas particulièrement difficile de comprendre le matériel, une personne familière avec les diplômes et la table de multiplication n'aura pas de difficulté à sélectionner le nécessaire nombres et trouver le résultat.

Définition

Le multiple commun est un nombre qui peut être complètement divisé en deux nombres à la fois (a et b). Le plus souvent, ce nombre est obtenu en multipliant les nombres originaux a et b. Le nombre doit être divisible par les deux nombres à la fois, sans écarts.

NOC est un nom court adopté pour la désignation, assemblé à partir des premières lettres.

Façons d'obtenir le numéro

Pour trouver le LCM, la méthode de multiplication des nombres n'est pas toujours adaptée ; elle est bien mieux adaptée aux nombres simples à un chiffre ou à deux chiffres. il est d'usage de diviser par facteurs, plus le nombre est grand, plus il y aura de facteurs.

Exemple n°1

Pour l'exemple le plus simple, les écoles utilisent généralement des nombres simples, à un ou deux chiffres. Par exemple, vous devez résoudre le problème suivant, trouver le plus petit commun multiple des nombres 7 et 3, la solution est assez simple, il suffit de les multiplier. En conséquence, il y a un nombre 21, il n'y a tout simplement pas de plus petit nombre.

Exemple n°2

La deuxième variante de la tâche est beaucoup plus difficile. Compte tenu des numéros 300 et 1260, trouver le LCM est obligatoire. Pour résoudre la tâche, les actions suivantes sont supposées :

Décomposition des premier et deuxième nombres en facteurs les plus simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. La première étape est terminée.

La deuxième étape consiste à travailler avec des données déjà reçues. Chacun des numéros obtenus doit participer au calcul du résultat final. Pour chaque facteur, le plus grand nombre d'occurrences est tiré des nombres originaux. Le LCM est le nombre total, de sorte que les facteurs des nombres doivent être répétés à un, même ceux qui sont présents dans une copie. Les deux nombres originaux ont dans leur composition les nombres 2, 3 et 5, à des degrés différents, 7 n'est que dans un cas.

Pour calculer le résultat final, vous devez prendre chaque nombre dans la plus grande des puissances présentées dans l'équation. Il ne reste plus qu'à multiplier et obtenir la réponse, avec le bon remplissage, la tâche se déroule en deux étapes sans explication :

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

C'est tout le problème, si vous essayez de calculer le nombre requis en multipliant, alors la réponse ne sera certainement pas correcte, puisque 300 * 1260 = 378 000.

Examen:

6300/300 = 21 - vrai ;

6300/1260 = 5 - correct.

L'exactitude du résultat est déterminée en vérifiant - en divisant le LCM par les deux nombres initiaux, si le nombre est un entier dans les deux cas, alors la réponse est correcte.

Que signifie LCM en mathématiques

Comme vous le savez, en mathématiques, il n'y a pas une seule fonction inutile, cela ne fait pas exception. L'utilisation la plus courante de ce nombre est d'amener des fractions à un dénominateur commun. Ce qui est généralement enseigné dans les 5e et 6e années du secondaire. C'est aussi en plus un diviseur commun pour tous les multiples, si de telles conditions sont dans le problème. Une expression similaire peut trouver un multiple non seulement de deux nombres, mais aussi d'un nombre beaucoup plus grand - trois, cinq, etc. Plus il y a de nombres - plus il y a d'actions dans la tâche, mais la complexité n'augmente pas à partir de là.

Par exemple, étant donné les nombres 250, 600 et 1500, vous devez trouver leur LCM total :

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - dans cet exemple, la factorisation est décrite en détail, sans annulation.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pour composer une expression, il est nécessaire de mentionner tous les facteurs, dans ce cas 2, 5, 3 sont donnés, - pour tous ces nombres, il est nécessaire de déterminer le degré maximum.

Attention : tous les multiplicateurs doivent être amenés à une simplification complète, si possible, en s'étendant au niveau des non ambigus.

Examen:

1) 3000/250 = 12 - vrai ;

2) 3000/600 = 5 - vrai ;

3) 3000/1500 = 2 - vrai.

Cette méthode ne nécessite aucun gadget ou capacité de génie, tout est simple et direct.

Autrement

En mathématiques, beaucoup sont liés, beaucoup peuvent être résolus de deux manières ou plus, il en va de même pour trouver le plus petit commun multiple, LCM. La méthode suivante peut être utilisée dans le cas de nombres simples à deux chiffres et à un chiffre. Un tableau est compilé dans lequel le multiplicateur est entré verticalement, le multiplicateur horizontalement et le produit est indiqué dans les cellules se croisant de la colonne. Vous pouvez refléter le tableau au moyen d'une ligne, un nombre est pris et les résultats de la multiplication de ce nombre par des nombres entiers, de 1 à l'infini, sont écrits à la suite, parfois 3 à 5 points suffisent, le deuxième nombre et les suivants sont soumis au même processus de calcul. Tout se passe jusqu'à ce que le multiple commun soit trouvé.

Étant donné les nombres 30, 35, 42, vous devez trouver le LCM reliant tous les nombres :

1) Multiples de 30 : 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Multiples de 35 : 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Multiples de 42 : 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Il est à noter que tous les nombres sont assez différents, le seul nombre commun parmi eux est 210, ce sera donc le LCM. Parmi les processus associés à ce calcul, il y a aussi le plus grand diviseur commun, qui est calculé selon des principes similaires et est souvent rencontré dans des problèmes voisins. La différence est petite, mais suffisamment significative, le LCM suppose le calcul d'un nombre qui est divisé par toutes les valeurs initiales données, et le GCD implique le calcul de la plus grande valeur par laquelle les nombres originaux sont divisés.

Le sujet « Multiples » est étudié en 5e année d'une école polyvalente. Son objectif est d'améliorer les compétences écrites et orales des calculs mathématiques. Dans cette leçon, de nouveaux concepts sont introduits - "multiples" et "diviseurs", la technique de recherche de diviseurs et de multiples d'un nombre naturel, la capacité de trouver LCM de différentes manières est en cours d'élaboration.

Ce sujet est très important. Les connaissances à ce sujet peuvent être appliquées lors de la résolution d'exemples avec des fractions. Pour ce faire, vous devez trouver un dénominateur commun en calculant le plus petit multiple commun (LCM).

Un multiple de A est un entier divisible par A sans reste.

Chaque nombre naturel a un nombre infini de multiples de celui-ci. Il est lui-même considéré comme le plus petit. Le multiple ne peut pas être inférieur au nombre lui-même.

Nous devons prouver que 125 est un multiple de 5. Pour ce faire, divisez le premier nombre par le second. Si 125 est divisible par 5 sans reste, alors la réponse est oui.

Cette méthode est applicable pour les petits nombres.

Il existe des cas particuliers lors du calcul du LCM.

1. Si vous avez besoin de trouver un multiple commun pour 2 nombres (par exemple, 80 et 20), où l'un d'eux (80) est divisé sans reste par l'autre (20), alors ce nombre (80) est le plus petit multiple de ces deux nombres.

LCM (80, 20) = 80.

2. Si deux n'ont pas de diviseur commun, alors on peut dire que leur LCM est le produit de ces deux nombres.

LCM (6, 7) = 42.

Regardons le dernier exemple. 6 et 7 par rapport à 42 sont des diviseurs. Ils divisent un multiple sans reste.

Dans cet exemple, 6 et 7 sont des diviseurs appariés. Leur produit est égal au plus multiple du nombre (42).

Un nombre est dit premier s'il n'est divisible que par lui-même ou par 1 (3 : 1 = 3 ; 3 : 3 = 1). Le reste est appelé composite.

Dans un autre exemple, vous devez déterminer si 9 est un diviseur de 42.

42 : 9 = 4 (reste 6)

Réponse : 9 n'est pas un diviseur de 42, car il y a un reste dans la réponse.

Le diviseur diffère du multiple en ce que le diviseur est le nombre par lequel les nombres naturels sont divisés, et le multiple lui-même est divisible par ce nombre.

Plus grand diviseur commun des nombres une et b, multiplié par leur plus petit multiple, donnera le produit des nombres eux-mêmes une et b.

A savoir : PGCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Les multiples communs pour les nombres plus complexes se trouvent de la manière suivante.

Par exemple, trouvez le LCM pour 168, 180, 3024.

On décompose ces nombres en facteurs premiers, on les écrit sous la forme d'un produit de degrés :

168 = 2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

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