Comment calculer la racine d'un nombre manuellement. Mémoire de recherche sur le thème : "Extraction de racines carrées à partir de grands nombres sans calculatrice"

Lors de la résolution de divers problèmes du cours de mathématiques et de physique, les élèves et étudiants sont souvent confrontés à la nécessité d'extraire les racines du deuxième, troisième ou n-ième degré. Bien sûr, à l'ère des technologies de l'information, il ne sera pas difficile de résoudre un tel problème à l'aide d'une calculatrice. Cependant, il existe des situations où il est impossible d'utiliser un assistant électronique.

Par exemple, il est interdit d'apporter de l'électronique à de nombreux examens. De plus, la calculatrice peut ne pas être à portée de main. Dans de tels cas, il est utile de connaître au moins quelques méthodes de calcul manuel des radicaux.

L'une des façons les plus simples de calculer les racines est à l'aide d'une table spéciale... Qu'est-ce que c'est et comment l'utiliser correctement?

En utilisant le tableau, vous pouvez trouver le carré de n'importe quel nombre de 10 à 99. Dans ce cas, les lignes du tableau contiennent les valeurs des dizaines, dans les colonnes - les valeurs des unités. La cellule à l'intersection d'une ligne et d'une colonne contient un carré à deux chiffres. Pour calculer le carré 63, vous devez trouver une ligne avec une valeur de 6 et une colonne avec une valeur de 3. À l'intersection, nous trouvons une cellule avec le numéro 3969.

Puisqu'extraire une racine est le contraire de la quadrature, pour effectuer cette action, vous devez faire l'inverse : d'abord, trouvez la cellule avec le nombre dont vous voulez calculer le radical, puis déterminez la réponse par les valeurs de la colonne et de la ligne . À titre d'exemple, considérons le calcul de la racine carrée de 169.

Nous trouvons une cellule avec ce nombre dans le tableau, horizontalement nous définissons des dizaines - 1, verticalement nous trouvons des unités - 3. Réponse : √169 = 13.

De même, vous pouvez calculer les racines du degré cubique et n-ième, en utilisant les tables appropriées.

L'avantage de cette méthode est sa simplicité et l'absence de calculs supplémentaires. Les inconvénients sont évidents : la méthode ne peut être utilisée que pour une plage de nombres limitée (le nombre dont la racine est localisée doit être compris entre 100 et 9801). De plus, cela ne fonctionnera pas si le numéro donné n'est pas dans le tableau.

Factorisation en nombres premiers

Si la table des carrés n'est pas à portée de main ou s'il s'avère impossible de trouver la racine avec son aide, vous pouvez essayer factoriser le nombre sous la racine en facteurs premiers... Les facteurs premiers sont ceux qui peuvent être complètement (sans reste) divisibles seulement par eux-mêmes ou par un. Les exemples seraient 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Considérons le calcul de la racine en utilisant l'exemple de √576. Décomposons-le en facteurs premiers. On obtient le résultat suivant : √576 = √ (2 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √ (2 ∙ 2 ∙ 2) ² ∙ √3². En utilisant la propriété de base des racines √a² = a, nous nous débarrassons des racines et des carrés, après quoi nous calculons la réponse : 2 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Que faire si l'un des facteurs n'a pas de paire ? Par exemple, considérons le calcul de √54. Après factorisation, on obtient le résultat sous la forme suivante : √54 = √ (2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √ (2 ∙ 3) = 3√6. La partie irrécupérable peut être laissée sous la racine. Pour la plupart des problèmes de géométrie et d'algèbre, cette réponse sera considérée comme définitive. Mais s'il est nécessaire de calculer des valeurs approximatives, vous pouvez utiliser les méthodes qui seront discutées ci-dessous.

La méthode du héron

Que faire quand on a besoin de savoir au moins approximativement quelle est la racine extraite (s'il est impossible d'obtenir une valeur entière) ? Un résultat rapide et assez précis est fourni par l'application de la méthode de Heron... Son essence réside dans l'utilisation d'une formule approximative :

√R = √a + (R - a) / 2√a,

où R est le nombre dont la racine doit être calculée, a est le nombre le plus proche dont la valeur de racine est connue.

Examinons comment la méthode fonctionne dans la pratique et évaluons sa précision. Calculons ce qui est égal à √111. Le nombre le plus proche de 111, dont la racine est connue - 121. Ainsi, R = 111, a = 121. Remplacez les valeurs dans la formule :

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Vérifions maintenant l'exactitude de la méthode:

10,55² = 111,3025.

L'erreur de méthode était d'environ 0,3. Si la précision de la méthode doit être augmentée, vous pouvez répéter les étapes décrites précédemment :

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Vérifions l'exactitude du calcul :

10,536² = 111,0073.

Après avoir réappliqué la formule, l'erreur est devenue très insignifiante.

Calcul de la racine par division longue

Cette méthode pour trouver la valeur de la racine carrée est légèrement plus difficile que les précédentes. Cependant, c'est la plus précise parmi les autres méthodes de calcul sans calculatrice..

Disons que vous voulez trouver la racine carrée avec 4 décimales. Analysons l'algorithme de calcul en utilisant l'exemple d'un nombre arbitraire 1308.1912.

1. Divisez la feuille de papier en 2 parties avec une ligne verticale, puis tracez une autre ligne à partir de celle-ci vers la droite, légèrement en dessous du bord supérieur. Écrivons le nombre sur le côté gauche, en le divisant en groupes de 2 chiffres, en nous déplaçant vers les côtés droit et gauche de la virgule. Le tout premier chiffre à gauche peut être sans paire. S'il manque le signe à droite du nombre, alors vous devez ajouter 0. Dans notre cas, nous obtenons 13 08.19 12.
2. Choisissons le plus grand nombre dont le carré sera inférieur ou égal au premier groupe de nombres. Dans notre cas, c'est 3. Écrivons-le en haut à droite ; 3 est le premier chiffre du résultat. En bas à droite, nous indiquons 3 × 3 = 9 ; cela sera nécessaire pour les calculs ultérieurs. Soustrayez 9 de 13 dans une colonne, nous obtenons un reste de 4.
3. Ajoutons la prochaine paire de nombres au reste de 4 ; nous obtenons 408.
4. Le nombre en haut à droite est multiplié par 2 et écrit en bas à droite, en y ajoutant _ x _ =. Nous obtenons 6_ x _ =.
5. Au lieu de tirets, vous devez substituer le même nombre inférieur ou égal à 408. Nous obtenons 66 × 6 = 396. Écrivez 6 en haut à droite, puisqu'il s'agit du deuxième chiffre du résultat. Soustrayez 396 de 408 pour obtenir 12.
6. Répétons les étapes 3 à 6. Les chiffres reportés étant dans la partie fractionnaire du nombre, il faut mettre un point décimal en haut à droite après 6. Notons le résultat doublé avec des tirets : 72_ x _ =. Un nombre approprié serait 1 : 721 × 1 = 721. Écrivons-le en réponse. Soustraire 1219 - 721 = 498.
7. Exécutons la séquence d'actions donnée dans le paragraphe précédent trois fois de plus pour obtenir le nombre requis de décimales. S'il n'y a pas assez de signes pour d'autres calculs, deux zéros doivent être ajoutés au nombre actuel sur la gauche.

En conséquence, nous obtenons la réponse : 1308.1912 ≈36.1689. Si vous vérifiez l'action avec une calculatrice, vous pouvez vous assurer que tous les signes ont été identifiés correctement.

Calcul au niveau du bit de la valeur de la racine carrée

La méthode est très précise... De plus, il est tout à fait compréhensible et ne nécessite pas de mémoriser des formules ou un algorithme d'actions complexe, car l'essence de la méthode est de sélectionner le bon résultat.

Prenons la racine du nombre 781. Considérons en détail la séquence d'actions.

1. Voyons quel bit de la valeur de la racine carrée sera le plus significatif. Pour ce faire, nous allons carrér 0, 10, 100, 1000, etc. et découvrir entre lesquels d'entre eux se situe le nombre radical. Nous obtenons que 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Choisissons la valeur des dizaines. Pour ce faire, nous monterons à tour de rôle à la puissance 10, 20, ..., 90, jusqu'à obtenir un nombre dépassant 781. Pour notre cas, nous obtenons 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Le la valeur du résultat n sera dans les 20< n <30.
3. Comme à l'étape précédente, la valeur du chiffre des unités est sélectionnée. Carré 21.22, ..., 29 : 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. On obtient que 27< n < 28.
4. Chaque chiffre suivant (dixièmes, centièmes, etc.) est calculé de la même manière que ci-dessus. Les calculs sont effectués jusqu'à ce que la précision requise soit atteinte.

Avant l'avènement des calculatrices, les élèves et les enseignants calculaient les racines carrées à la main. Il existe plusieurs façons de calculer manuellement la racine carrée d'un nombre. Certains d'entre eux n'offrent qu'une solution approximative, d'autres apportent une réponse précise.

Pas

Factorisation en nombres premiers

Factoriser le nombre radical qui est carré. Selon le nombre de racine, vous obtiendrez une réponse approximative ou exacte. Les nombres carrés sont des nombres à partir desquels une racine carrée entière peut être extraite. Les facteurs sont des nombres qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs de 8 sont 2 et 4, puisque 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 sont des nombres carrés, puisque √25 = 5, 36 = 6, √49 = 7. Les facteurs carrés sont des facteurs qui sont nombres carrés. Tout d'abord, essayez de mettre la racine au carré.

• Par exemple, calculez la racine carrée de 400 (à la main). Essayez d'abord de carré 400. 400 est un multiple de 100, c'est-à-dire divisible par 25 - c'est un nombre carré. Si vous divisez 400 par 25, vous obtenez 16. 16 est également un nombre carré. Ainsi, 400 peut être factorisé en facteurs carrés de 25 et 16, c'est-à-dire 25 x 16 = 400.
• Il peut s'écrire comme suit : √400 = √ (25 x 16).

1. La racine carrée du produit de certains termes est égale au produit des racines carrées de chaque terme, c'est-à-dire √ (a x b) = √a x √b. Utilisez cette règle et prenez la racine carrée de chaque facteur carré et multipliez les résultats pour trouver votre réponse.

   • Dans notre exemple, extrayez la racine de 25 et 16.
     • (25 x 16)
     • 25 x √16
     • 5x4 = 20

2. Si le nombre radical ne se décompose pas en deux facteurs carrés (et cela arrive dans la plupart des cas), vous ne pourrez pas trouver la réponse exacte sous la forme d'un entier. Mais vous pouvez simplifier le problème en factorisant la racine du nombre en un facteur carré et un facteur ordinaire (un nombre dont la racine carrée entière ne peut pas être extraite). Ensuite, vous prendrez la racine carrée du facteur carré et vous prendrez la racine du facteur ordinaire.

   • Par exemple, calculez la racine carrée du nombre 147. Le nombre 147 ne peut pas être factorisé en deux facteurs carrés, mais il peut être factorisé en les facteurs suivants : 49 et 3. Résolvez le problème comme suit :
     • = (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Si nécessaire, évaluez la valeur de la racine. Vous pouvez maintenant estimer la valeur de la racine (trouver une valeur approximative) en la comparant aux valeurs des racines des nombres carrés les plus proches (des deux côtés sur la droite numérique) de la racine du nombre. Vous obtiendrez la valeur racine sous forme de fraction décimale, qui doit être multipliée par le nombre derrière le signe racine.

   • Revenons à notre exemple. Le nombre radical 3. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 1 (√1 = 1) et 4 (√4 = 2). Ainsi, la valeur de √3 est comprise entre 1 et 2. Puisque la valeur de √3 est probablement plus proche de 2 que de 1, notre estimation est : √3 = 1,7. Nous multiplions cette valeur par le nombre à la racine du signe : 7 x 1,7 = 11,9. Si vous faites les calculs sur une calculatrice, vous obtenez 12,13, ce qui est assez proche de notre réponse.
     • Cette méthode fonctionne également avec de grands nombres. Par exemple, considérons √35. La racine du nombre est 35. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 25 (√25 = 5) et 36 (√36 = 6). Donc √35 est compris entre 5 et 6. Puisque √35 est beaucoup plus proche de 6 que de 5 (parce que 35 est seulement 1 inférieur à 36), on peut dire que √35 est légèrement inférieur à 6. Vérifier avec une calculatrice nous donne une réponse de 5,92 - nous avions raison.

4. Une autre façon est de factoriser le nombre radical en facteurs premiers. Les facteurs premiers sont des nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Écrivez les facteurs premiers d'affilée et trouvez des paires des mêmes facteurs. De tels facteurs peuvent être retirés au-delà du signe racine.

   • Par exemple, calculez la racine carrée de 45. Nous décomposons le nombre radical en facteurs premiers : 45 = 9 x 5 et 9 = 3 x 3. Ainsi, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 peut être pris en dehors du signe racine : √45 = 3√5. Vous pouvez maintenant estimer √5.
   • Prenons un autre exemple : √88.
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11). Vous avez trois multiplicateurs de 2 ; prenez-en quelques-uns et placez-les en dehors du signe racine.
     • = 2√ (2 x 11) = 2√2 x √11. Vous pouvez maintenant évaluer √2 et √11 et trouver une réponse approximative.

   Calculer la racine carrée manuellement

   Division longue

   1. Cette méthode implique un processus similaire à la division longue et donne la réponse exacte. Tout d'abord, tracez une ligne verticale divisant la feuille en deux moitiés, puis, à droite et légèrement en dessous du bord supérieur de la feuille, tracez une ligne horizontale jusqu'à la ligne verticale. Divisez maintenant le nombre radicalisé en paires de nombres, en commençant par la partie fractionnaire après la virgule décimale. Ainsi, le nombre 79520789182.47897 s'écrit "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Par exemple, calculons la racine carrée de 780,14. Tracez deux lignes (comme indiqué sur l'image) et en haut à gauche écrivez ce nombre sous la forme "7 80, 14". Il est normal que le premier chiffre en partant de la gauche soit un chiffre non apparié. La réponse (la racine du nombre donné) sera écrite en haut à droite.

   2. Pour la première paire de nombres (ou un nombre) à gauche, trouvez le plus grand entier n dont le carré est inférieur ou égal à la paire de nombres (ou un nombre) en question. En d'autres termes, trouvez le nombre carré le plus proche mais inférieur à la première paire de nombres (ou un nombre) sur la gauche, et extrayez la racine carrée de ce nombre carré ; vous obtenez le numéro n. Écrivez le n trouvé en haut à droite et écrivez le carré n en bas à droite.

      • Dans notre cas, le premier chiffre à gauche sera le chiffre 7. Ensuite, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Soustrayez le carré du nombre n que vous venez de trouver de la première paire de nombres à gauche (ou un nombre).Écrivez le résultat du calcul sous le soustrait (le carré du nombre n).

      • Dans notre exemple, soustrayez 4 de 7 pour obtenir 3.

   4. Déroulez la deuxième paire de nombres et notez-la près de la valeur obtenue à l'étape précédente. Doublez ensuite le nombre en haut à droite et écrivez votre résultat en bas à droite avec "_ × _ =" ajouté.

      • Dans notre exemple, la deuxième paire de nombres est "80". Écrivez "80" après 3. Ensuite, doublez le nombre en haut à droite donne 4. Écrivez "4_ × _ =" en bas à droite.

   5. Remplissez les tirets à droite.

      • Dans notre cas, si au lieu de tirets nous mettons le chiffre 8, alors 48 x 8 = 384, ce qui est plus que 380. Par conséquent, 8 est un nombre trop grand, mais 7 fera l'affaire. Écrivez 7 au lieu de tirets et obtenez : 47 x 7 = 329. Écrivez 7 en partant du haut à droite - c'est le deuxième chiffre de la racine carrée requise de 780,14.

   6. Soustraire le nombre résultant du nombre actuel sur la gauche. Enregistrez le résultat de l'étape précédente sous le nombre actuel sur la gauche, trouvez la différence et notez-le sous le nombre soustrait.

      • Dans notre exemple, soustrayez 329 de 380, soit 51.

   7. Répétez l'étape 4. Si la paire de nombres démolie est la partie fractionnaire du nombre d'origine, placez le séparateur (virgule) des parties entière et fractionnaire dans la racine carrée souhaitée en haut à droite. Sur la gauche, faites glisser la paire de nombres suivante vers le bas. Doublez le nombre en haut à droite et notez votre résultat en bas à droite avec "_ × _ =" ajouté.

      • Dans notre exemple, la prochaine paire de nombres à démolir sera la partie fractionnaire du nombre 780.14, placez donc le séparateur des parties entière et fractionnaire dans la racine carrée souhaitée en haut à droite. Enlevez 14 et notez en bas à gauche. Le nombre doublé en haut à droite (27) est 54, alors écrivez "54_ × _ =" en bas à droite.

   8. Répétez les étapes 5 et 6. Trouvez par exemple le plus grand nombre à la place des tirets à droite (au lieu de tirets, vous devez substituer le même nombre) de sorte que le résultat de la multiplication soit inférieur ou égal au nombre actuel à gauche.

      • Dans notre exemple, 549 x 9 = 4941, ce qui est inférieur au nombre actuel sur la gauche (5114). Écrivez 9 en haut à droite et soustrayez la multiplication du nombre actuel à gauche : 5114 - 4941 = 173.

   9. Si vous avez besoin de trouver plus de décimales pour la racine carrée, écrivez quelques zéros à gauche du nombre actuel et répétez les étapes 4, 5 et 6. Répétez les étapes jusqu'à ce que vous obteniez la précision souhaitée (le nombre de décimales ).

   Comprendre le processus

   Pour maîtriser cette méthode, imaginez le nombre dont la racine carrée se trouve comme l'aire d'un carré S. Dans ce cas, vous chercherez la longueur du côté L d'un tel carré. On calcule la valeur de L pour laquelle L² = S.

   Donnez une lettre pour chaque chiffre de la réponse. Désignons par A le premier chiffre de la valeur de L (la racine carrée requise). B sera le deuxième chiffre, C sera le troisième, et ainsi de suite.

   Spécifiez une lettre pour chaque paire de premiers chiffres. Nous désignons par S a la première paire de chiffres dans la valeur de S, par S b - la deuxième paire de chiffres, et ainsi de suite.

   Comprenez la relation entre cette méthode et la division longue. Comme dans l'opération de division, où chaque fois que l'on s'intéresse à un seul chiffre suivant du nombre à diviser, lors du calcul de la racine carrée, on travaille séquentiellement avec une paire de chiffres (pour obtenir un chiffre suivant dans la valeur du racine carrée).

   1. Considérez la première paire de chiffres Sa du nombre S (Sa = 7 dans notre exemple) et trouvez sa racine carrée. Dans ce cas, le premier chiffre A de la valeur de racine carrée désirée sera un tel chiffre dont le carré est inférieur ou égal à S a (c'est-à-dire que nous recherchons un A tel que l'inégalité A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Disons que vous voulez diviser 88962 par 7 ; ici, la première étape sera similaire : nous considérons le premier chiffre du numéro de dividende 88962 (8) et sélectionnons le plus grand nombre qui, multiplié par 7, donne une valeur inférieure ou égale à 8. C'est-à-dire que nous recherchons un nombre d pour lequel l'inégalité est vraie : 7 × d 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imaginez un carré dont vous devez calculer l'aire. Vous cherchez L, c'est-à-dire la longueur du côté d'un carré dont l'aire est S. A, B, C sont des chiffres du nombre L. Vous pouvez l'écrire différemment : 10A + B = L (pour un nombre de chiffres) ou 100A + 10B + C = L (pour un nombre à trois chiffres) et ainsi de suite.

      • Laisser (10A + B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²... N'oubliez pas que 10A + B est un nombre où B représente des unités et A des dizaines. Par exemple, si A = 1 et B = 2, alors 10A + B est égal à 12. (10A + B)² est l'aire de tout le carré, 100A²- l'aire du grand carré intérieur, B²- l'aire du petit carré intérieur, 10A × B est l'aire de chacun des deux rectangles. En ajoutant les aires des formes décrites, vous retrouverez l'aire du carré d'origine.

Qu'est-ce que la racine carrée ?

Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui sont "très égaux...")

Ce concept est très simple. Naturel, je dirais. Les mathématiciens essaient de trouver une réaction pour chaque action. S'il y a addition, il y a aussi soustraction. Il y a multiplication - il y a aussi division. Il y a un quadrillage... Donc il y a extraction de la racine carrée ! C'est tout. Cette action ( extraction de racine carrée) en mathématiques est indiqué par cette icône :

L'icône elle-même s'appelle un beau mot " radical".

Comment extraire la racine ? Il vaut mieux considérer à exemples.

Quelle est la racine carrée de 9 ? Quel nombre au carré nous donnera 9 ? 3 au carré nous donne 9 ! Celles:

Mais combien vaut la racine carrée de zéro ? Aucun problème! Quel nombre au carré donne zéro ? Oui, ça donne zéro lui-même ! Veux dire:

ont attrapé qu'est-ce que la racine carrée ? On considère alors exemples:

Réponses (dans le désarroi) : 6 ; un; 4 ; 9 ; 5.

Décidé? En effet, c'est beaucoup plus facile ?!

Mais... Que fait une personne quand elle voit une tâche avec des racines ?

L'homme commence à aspirer... Il ne croit pas à la simplicité et à la légèreté des racines. Même s'il semble qu'il sache qu'est-ce que la racine carrée...

C'est parce que la personne a ignoré plusieurs points importants lors de l'étude des racines. Puis ces modes se vengeront cruellement des tests et des examens...

Le premier point. Les racines doivent être reconnues à vue !

Combien vaut la racine carrée de 49 ? Sept? À droite! Comment as-tu su que sept ? Avez-vous mis le 7 au carré et obtenu 49 ? À droite! Veuillez noter que extraire la racine sur 49 nous avons dû faire l'opération inverse - à la case 7 ! Et assurez-vous que nous ne manquons pas. Ou ils auraient pu manquer...

C'est la difficulté extraction de racines. Carré n'importe quel nombre peut être fait sans trop de peine. Multipliez le nombre par lui-même dans une colonne - et c'est tout. Mais pour extraire la racine il n'y a pas de technologie aussi simple et sans problème. Doit Récupérer répondez et vérifiez la quadrature.

Ce processus créatif complexe - le choix d'une réponse - est grandement simplifié si vous rappelles toi carrés de nombres populaires. Comme une table de multiplication. Si, disons, vous devez multiplier 4 par 6 - vous n'ajoutez pas 4 6 fois, n'est-ce pas ? La réponse apparaît immédiatement 24. Bien que tous ne la proposent pas, oui ...

Pour un travail libre et réussi avec les racines, il suffit de connaître les carrés des nombres de 1 à 20. De plus là et retour. Celles. vous devriez facilement nommer à la fois, disons, 11 au carré, et la racine carrée de 121. Il y a deux façons d'accomplir cette mémorisation. La première consiste à apprendre la table des carrés. C'est très bien pour résoudre des exemples. La seconde est de résoudre plus d'exemples. Cela vous aidera grandement à vous souvenir du tableau des carrés.

Et pas de calculatrices ! À des fins de vérification seulement. Sinon, vous ralentirez impitoyablement l'examen...

Alors, qu'est-ce que la racine carrée Et comment extraire les racines- Je pense que c'est compréhensible. Voyons maintenant de quoi vous pouvez les extraire.

Le deuxième point. Racine, je ne te connais pas !

De quels nombres pouvez-vous obtenir des racines carrées ? Oui, presque n'importe lequel. Il est plus facile de comprendre ce c'est interdit les extraire.

Essayons de calculer la racine suivante :

Pour ce faire, vous devez choisir un nombre qui au carré nous donnera -4. Nous sélectionnons.

Qu'est-ce qui n'est pas sélectionné ? 2 2 donne +4. (-2) 2 donne encore +4 ! C'est tout... Il n'y a pas de nombres qui, mis au carré, nous donneront un nombre négatif ! Bien que je connaisse de tels chiffres. Mais je ne vous le dirai pas). Allez à l'université - vous le découvrirez par vous-même.

La même histoire sera avec n'importe quel nombre négatif. D'où la conclusion :

Une expression avec un nombre négatif sous le signe de la racine carrée - n'a pas de sens! C'est une opération interdite. Aussi interdite que la division par zéro. Souvenez-vous ironiquement de ce fait ! Ou, en d'autres termes :

Les racines carrées ne peuvent pas être extraites de nombres négatifs !

Mais de tous les autres - vous le pouvez. Par exemple, il est tout à fait possible de calculer

À première vue, c'est très difficile. Ramassez les fractions et mettez-les au carré... Ne vous inquiétez pas. Lorsque nous traiterons des propriétés des racines, de tels exemples seront réduits à la même table de carrés. La vie deviendra plus facile !

Eh bien, d'accord les fractions. Mais nous rencontrons toujours des expressions comme :

Rien de mal. Tous les mêmes. La racine carrée de deux est le nombre qui, une fois mis au carré, nous donnera deux. Seul le nombre est complètement impair... Le voici :

Fait intéressant, cette fraction ne se termine jamais ... De tels nombres sont appelés irrationnels. En racines carrées, c'est la chose la plus courante. À propos, c'est pourquoi les expressions avec des racines sont appelées irrationnel... Il est clair qu'il n'est pas pratique d'écrire une telle fraction infinie tout le temps. Par conséquent, au lieu d'une fraction infinie, ils la laissent comme ceci :

Si, en résolvant l'exemple, vous vous retrouvez avec quelque chose d'irrécupérable, tel que :

alors nous laissons de cette façon. Ce sera la réponse.

Vous devez clairement comprendre que sous les icônes

Bien sûr, si la racine du nombre est extraite lisse, Tu dois le faire. La réponse à la tâche sous la forme, par exemple

une réponse assez complète.

Et, bien sûr, il faut connaître les valeurs approximatives par cœur :

Cette connaissance aide beaucoup à évaluer la situation dans des tâches difficiles.

Le troisième point. Le plus rusé.

La principale confusion dans le travail avec les racines est apportée par ce point. C'est lui qui donne le manque de confiance en ses propres capacités... Traitons correctement cette lubie !

Pour commencer, reprenons la racine carrée de quatre d'entre eux. Quoi, je t'ai déjà eu avec cette racine ?) Rien, maintenant ça va être intéressant !

Quel est le nombre au carré 4 ? Eh bien, deux, deux - j'entends des réponses mécontentes ...

À droite. Deux. Mais après tout moins deux donnera 4 au carré ... Pendant ce temps, la réponse

correct, et la réponse

erreur grossière. Comme ça.

Alors, quel est le problème ?

En effet, (-2) 2 = 4. Et sous la définition d'une racine carrée de quatre moins deux est tout à fait convenable... C'est aussi la racine carrée de quatre.

Mais! Dans le cours de mathématiques à l'école, il est d'usage de compter comme racines carrées uniquement des nombres non négatifs ! C'est-à-dire zéro et tout positif. Même un terme spécial a été inventé : du nombre une- ce non négatif nombre dont le carré est une... Les résultats négatifs lors de l'extraction de la racine carrée arithmétique sont simplement rejetés. À l'école, toutes les racines carrées sont arithmétique... Bien que cela ne soit pas spécifiquement mentionné à ce sujet.

D'accord, c'est compréhensible. C'est encore mieux de ne pas s'embêter avec des résultats négatifs... Ce n'est pas encore une confusion.

La confusion commence lors de la résolution d'équations quadratiques. Par exemple, vous devez résoudre l'équation suivante.

L'équation est simple, nous écrivons la réponse (comme enseigné):

Cette réponse (complètement correcte, soit dit en passant) n'est qu'une notation abrégée deux réponses:

Stop STOP! Un peu plus haut, j'ai écrit que la racine carrée est un nombre toujours non négatif ! Et voici l'une des réponses - négatif! Désordre. C'est le premier (mais pas le dernier) problème qui provoque la méfiance des racines... Résolvons ce problème. Écrivons les réponses (uniquement pour comprendre !) comme ceci :

Les parenthèses ne changent pas l'essence de la réponse. je viens de séparer entre parenthèses panneauxà partir de racine... Maintenant, vous pouvez clairement voir que la racine elle-même (entre parenthèses) est toujours un nombre non négatif ! Et les signes sont le résultat de la résolution de l'équation... En effet, lors de la résolution d'une équation, il faut écrire tout x, qui, une fois substitué dans l'équation d'origine, donnera le résultat correct. Notre équation correspond à la racine de cinq (positive !) Avec à la fois plus et moins.

Comme ça. Si vous il suffit de prendre la racine carrée hors de rien, vous toujours avoir un non négatif résultat. Par exemple:

Parce qu'il - racine carrée arithmétique.

Mais si vous résolvez une sorte d'équation quadratique comme :

ensuite toujours il s'avère deux réponse (avec plus et moins):

Parce que c'est la solution de l'équation.

Espoir, qu'est-ce que la racine carrée avec vos petits points, vous l'avez compris. Reste maintenant à savoir ce que l'on peut faire avec les racines, quelles sont leurs propriétés. Et que sont les faddles et la croûte sous-marine... pardon, les cailloux !)

Tout cela est dans les leçons suivantes.

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vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Racine m-ième puissance d'un nombre naturel une un tel numéro est appelé, m-ème degré dont est une... La racine est désignée comme suit : Le symbole est appelé signe racine ou signe radical, numéro une - nombre racine, m - exposant racine.

L'action par laquelle la racine d'un degré donné est trouvée est appelée extraction de racine.

Puisque, selon la définition du concept de racine m-ème degré

ensuite extraction de racine- l'action inverse d'élever à une puissance, à l'aide de laquelle, selon un degré donné et selon un exposant donné, on trouve la base du degré.

Racine carrée

Racine carrée d'un nombre une est un nombre dont le carré est égal à une.

Le fait de calculer la racine carrée est appelé racine carrée.

Extraction de la racine carrée- l'action inverse de la quadrature (ou élever un nombre à la puissance 2). Lors de la mise au carré, le nombre est connu, vous devez trouver son carré. Lors de l'extraction de la racine carrée, le carré du nombre est connu ; il est nécessaire d'en trouver le nombre lui-même.

Par conséquent, pour vérifier l'exactitude de l'action effectuée, vous pouvez élever la racine trouvée à la seconde puissance, et si la puissance est égale au nombre radical, alors la racine a été trouvée correctement.

Jetons un coup d'œil à l'extraction d'une racine carrée et à sa vérification avec un exemple. Calculons ou (l'exposant de la racine avec une valeur de 2 n'est généralement pas écrit, puisque 2 est le plus petit exposant et il faut se rappeler que s'il n'y a pas d'exposant au-dessus du signe de la racine, alors l'exposant 2 est implicite), pour cela nous devons trouver le nombre, en l'élevant à la seconde le degré sera 49. Évidemment, ce nombre est 7, puisque

7 7 = 7 2 = 49.

Calcul de la racine carrée

Si le nombre donné est de 100 ou moins, sa racine carrée peut être calculée à l'aide de la table de multiplication. Par exemple, la racine carrée de 25 est 5, car 5 5 = 25.

Voyons maintenant un moyen de trouver la racine carrée d'un nombre sans utiliser de calculatrice. Par exemple, prenons le nombre 4489 et commençons à le calculer étape par étape.

1. Déterminons de quels bits la racine requise doit être constituée. Puisque 10 2 = 10 10 = 100 et 100 2 = 100 100 = 10000, il devient clair que la racine souhaitée doit être supérieure à 10 et inférieure à 100, c'est-à-dire se composent de dizaines et d'unités.
2. Trouvez le nombre de dizaines de la racine. En multipliant des dizaines, on obtient des centaines, dans notre nombre il y en a 44, donc la racine devrait contenir tellement de dizaines que le carré des dizaines donne environ 44 centaines. Par conséquent, à la racine, il devrait y avoir 6 dizaines, car 60 2 = 3600, et 70 2 = 4900 (c'est trop). Ainsi, nous avons découvert que notre racine contient 6 dizaines et plusieurs unités, puisqu'elle est comprise entre 60 et 70.
3. La table de multiplication aidera à déterminer le nombre d'unités dans la racine. En regardant le nombre 4489, nous voyons que le dernier chiffre est 9. Maintenant, nous regardons la table de multiplication et voyons que 9 unités ne peuvent être obtenues que lorsque les nombres 3 et 7 sont au carré. La racine du nombre sera donc 63 ou 67.
4. Nous vérifions les nombres 63 et 67 que nous avons reçus en les mettant au carré : 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Considérons cet algorithme par exemple. Trouver

1ère étape. Nous divisons le nombre sous la racine en deux chiffres chacun (de droite à gauche):

2ème étape. Nous extrayons la racine carrée de la première face, c'est-à-dire qu'à partir du nombre 65, nous obtenons le nombre 8. Sous la première face, nous écrivons le carré du nombre 8 et soustrayons. On assigne la deuxième facette au reste (59) :

(le numéro 159 est le premier reste).

3ème étape. On double la racine trouvée et on écrit le résultat à gauche :

4ème étape. On sépare dans le reste (159) un chiffre à droite, à gauche on obtient le nombre de dizaines (il est égal à 15). Ensuite, nous divisons 15 par le premier chiffre doublé de la racine, c'est-à-dire par 16, puisque 15 n'est pas divisible par 16, puis dans le quotient, nous obtenons zéro, que nous écrivons comme deuxième chiffre de la racine. Donc, dans le quotient, on a le nombre 80, qu'on double encore, et on démolit la face suivante

(le numéro 15 901 est le deuxième reste).

5ème étape. Séparez dans le deuxième reste un chiffre à droite et divisez le nombre résultant 1590 par 160. Écrivez le résultat (numéro 9) comme troisième chiffre de la racine et attribuez-le au nombre 160. Multipliez le nombre résultant 1609 par 9 et trouvez le reste suivant (1420) :

D'autres actions sont effectuées dans l'ordre indiqué dans l'algorithme (la racine peut être extraite avec le degré de précision requis).

Commenter. Si l'expression radicale est une fraction décimale, sa partie entière est divisée en deux chiffres de droite à gauche, la partie fractionnaire - deux chiffres de gauche à droite, et la racine est extraite selon l'algorithme spécifié.

MATÉRIEL DIDACTIQUE

1. Extraire la racine carrée du nombre : a) 32 ; b) 32,45 ; c) 249,5 ; d) 0,9511.