Les nombres sont également arrondis à d'autres chiffres - dixièmes, centièmes, dizaines, centaines, etc.

Si le nombre est arrondi à un certain chiffre, tous les chiffres suivant ce chiffre sont remplacés par des zéros, et s'ils sont après la virgule décimale, ils sont supprimés.

Règle 1. Si le premier des chiffres supprimés est supérieur ou égal à 5, alors le dernier des chiffres mémorisés est amplifié, c'est-à-dire augmenté de un.

Exemple 1. Soit le nombre 45.769, qui doit être arrondi au dixième. Le premier chiffre supprimé est 6 5. Par conséquent, le dernier des chiffres stockés (7) est amplifié, c'est-à-dire augmenté de un. Et ainsi, le nombre arrondi serait de 45,8.

Exemple 2. Soit le nombre 5.165, qui doit être arrondi au centième près. Le premier chiffre supprimé est 5 = 5. Par conséquent, le dernier des chiffres stockés (6) est amplifié, c'est-à-dire qu'il est augmenté de un. Et ainsi, le nombre arrondi serait - 5,17.

Règle n°2. Si le premier des chiffres supprimés est inférieur à 5, aucune amplification n'est effectuée.

Exemple : On vous donne le nombre 45.749, qui doit être arrondi au dixième près. Le premier chiffre ignoré est 4

Règle n°3. Si le chiffre supprimé est 5 et qu'il n'y a pas de chiffres significatifs derrière, l'arrondi est effectué au nombre pair le plus proche. C'est-à-dire que le dernier chiffre reste inchangé s'il est pair et est amplifié s'il est impair.

Exemple 1 : en arrondissant 0,0465 à la troisième décimale, nous écrivons - 0,046. On n'amplifie pas, puisque le dernier chiffre stocké (6) est pair.

Exemple 2. En arrondissant le nombre 0,0415 à la troisième décimale, nous écrivons - 0,042. Nous faisons des gains, puisque le dernier chiffre enregistré (1) est impair.

Introduction ................................................. .................................................................. ..........
PROBLÈME N° 1. Rangées de numéros préférés ................................................ .. ....
PROBLÈME N°2. Arrondissement des résultats de mesure ................................................
PROBLÈME N°3. Traitement des résultats de mesure ................................................
PROBLÈME N°4. Tolérances et ajustages des joints cylindriques lisses...
PROBLÈME N° 5. Tolérances de forme et d'emplacement ................................................ .. ...
PROBLÈME N° 6. Rugosité de surface ................................................. . .....
PROBLÈME N°7. Chaînes dimensionnelles ................................................. .................................
Bibliographie................................................. . ...............................................

Tâche numéro 1. Arrondissement des résultats de mesure

Lors de la réalisation des mesures, il est important de respecter certaines règles pour arrondir et consigner leurs résultats dans la documentation technique, car si ces règles ne sont pas respectées, des erreurs importantes dans l'interprétation des résultats de mesure sont possibles.

Règles d'écriture des nombres

1. Les chiffres significatifs d'un nombre donné sont tous les chiffres du premier à gauche, différent de zéro, jusqu'au dernier à droite. Dans ce cas, les zéros consécutifs au facteur 10 ne sont pas pris en compte.

Exemples.

un numéro 12,0a trois chiffres significatifs.

b) Nombre 30a deux chiffres significatifs.

c) Nombre 12010 8 a trois chiffres significatifs.

G) 0,51410 -3 a trois chiffres significatifs.

e) 0,0056a deux chiffres significatifs.

2. S'il est nécessaire d'indiquer que le nombre est exact, le mot "exactement" est indiqué après le nombre, ou le dernier chiffre significatif est imprimé en gras. Par exemple : 1 kWh = 3600 J (exact) ou 1 kWh = 360 0 J .

3. Les enregistrements de nombres approximatifs se distinguent par le nombre de chiffres significatifs. Par exemple, les nombres 2.4 et 2.40 sont distingués. Écrire 2.4 signifie que seuls les entiers et les dixièmes sont corrects, la vraie valeur du nombre peut être, par exemple, 2,43 et 2,38. Écrire 2,40 signifie que les centièmes sont également corrects : la vraie valeur d'un nombre peut être 2,403 et 2,398, mais pas 2,41 ou 2,382. L'enregistrement 382 signifie que tous les chiffres sont corrects : si le dernier chiffre ne peut pas être confirmé, alors le nombre doit être écrit 3,810 2. Si dans le nombre 4720 seuls les deux premiers chiffres sont corrects, il faut l'écrire sous la forme : 4710 2 ou 4,710 3.

4. Le nombre pour lequel l'écart admissible est indiqué doit avoir le dernier chiffre significatif du même ordre que le dernier chiffre significatif de l'écart.

Exemples.

a) Correct : 17,0 + 0,2... Pas vrai: 17 + 0,2ou 17,00 + 0,2.

b) Correct : 12,13+ 0,17... Pas vrai: 12,13+ 0,2.

c) Correct : 46,40+ 0,15... Pas vrai: 46,4+ 0,15ou 46,402+ 0,15.

5. Il est conseillé d'écrire les valeurs numériques de la quantité et ses erreurs (écarts) avec l'indication de la même unité de quantité. Par exemple : (80.555 + 0,002) kg.

6. Il est parfois conseillé d'écrire les intervalles entre les valeurs numériques des quantités sous forme de texte, puis la préposition "de" signifie "", la préposition "à" - "", la préposition "au-dessus" - ​​">", la préposition "moins" - "<":

"ré prend des valeurs de 60 à 100 "signifie" 60 ré100",

"ré prend des valeurs supérieures à 120 inférieures à 150 "signifie" 120<ré< 150",

"ré prend des valeurs supérieures à 30 à 50 "signifie" 30<ré50".

Règles d'arrondi

1. L'arrondi d'un nombre est la coulée de chiffres significatifs vers la droite d'un certain chiffre avec un changement possible du chiffre de ce chiffre.

2. Si le premier des chiffres supprimés (en comptant de gauche à droite) est inférieur à 5, le dernier chiffre enregistré n'est pas modifié.

Exemple : Arrondir un nombre 12,23jusqu'à trois chiffres significatifs donne 12,2.

3. Si le premier des chiffres supprimés (en comptant de gauche à droite) est égal à 5, le dernier chiffre enregistré est augmenté de un.

Exemple : Arrondir un nombre 0,145jusqu'à deux chiffres donne 0,15.

Noter ... Dans les cas où les résultats des arrondis précédents doivent être pris en compte, procédez comme suit.

4. Si le chiffre supprimé est obtenu à la suite d'un arrondi à l'inférieur, le dernier chiffre restant est augmenté de un (avec transition, si nécessaire, vers les chiffres suivants), sinon - vice versa. Cela s'applique à la fois aux nombres fractionnaires et aux nombres entiers.

Exemple : Arrondir un nombre 0,25(obtenu à la suite de l'arrondissement précédent du nombre 0,252) donne 0,3.

4. Si le premier des chiffres supprimés (en comptant de gauche à droite) est supérieur à 5, le dernier chiffre enregistré est augmenté de un.

Exemple : Arrondir un nombre 0,156à deux chiffres significatifs donne 0,16.

5. L'arrondi est effectué immédiatement au nombre souhaité de chiffres significatifs, et non par étapes.

Exemple : Arrondir un nombre 565,46jusqu'à trois chiffres significatifs donne 565.

6. Les nombres entiers sont arrondis selon les mêmes règles que les nombres fractionnaires.

Exemple : Arrondir un nombre 23456à deux chiffres significatifs donne 2310 3

La valeur numérique du résultat de la mesure doit se terminer par un chiffre du même chiffre que la valeur d'erreur.

Exemple:Nombre 235,732 + 0,15doit être arrondi à 235,73 + 0,15mais pas avant 235,7 + 0,15.

7. Si le premier des chiffres supprimés (en comptant de gauche à droite) est inférieur à cinq, les chiffres restants ne changent pas.

Exemple: 442,749+ 0,4tours à 442,7+ 0,4.

8. Si le premier des chiffres supprimés est supérieur ou égal à cinq, le dernier chiffre enregistré est augmenté de un.

Exemple: 37,268 + 0,5tours à 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 doit être arrondiavant 37,3 + 0,5.

9. L'arrondi doit être effectué immédiatement jusqu'au nombre souhaité de chiffres significatifs, l'arrondi progressif peut entraîner des erreurs.

Exemple : Arrondi pas à pas d'un résultat de mesure 220,46+ 4donne au premier stade 220,5+ 4et le deuxième 221+ 4, tandis que le résultat d'arrondi correct est 220+ 4.

10. Si l'erreur des instruments de mesure n'est indiquée qu'avec un ou deux chiffres significatifs et que la valeur d'erreur calculée est obtenue avec un grand nombre de chiffres, seuls le premier ou les deux premiers chiffres significatifs doivent être laissés dans la valeur finale de la valeur calculée. erreur, respectivement. De plus, si le numéro reçu commence par les chiffres 1 ou 2, le rejet du deuxième caractère entraîne une très grande erreur (jusqu'à 30-50%), ce qui est inacceptable. Si le numéro reçu commence par le chiffre 3 ou plus, par exemple par le chiffre 9, alors le deuxième chiffre est enregistré, c'est-à-dire spécifier une erreur, par exemple, 0,94 au lieu de 0,9, est de la désinformation, puisque les données d'origine ne fournissent pas une telle précision.

Sur cette base, en pratique, la règle suivante a été établie : si le numéro reçu commence par un chiffre significatif égal ou supérieur à 3, alors un seul y est stocké ; s'il commence par des chiffres significatifs inférieurs à 3, c'est-à-dire avec les chiffres 1 et 2, puis deux chiffres significatifs y sont stockés. Conformément à cette règle, les valeurs normalisées des erreurs des instruments de mesure sont également établies: dans les nombres 1,5 et 2,5%, deux chiffres significatifs sont indiqués, mais dans les nombres 0,5; 4 ; 6 % n'indiquent qu'un seul chiffre significatif.

Exemple:Sur un voltmètre de classe de précision 2,5avec une limite de mesures x À = 300 Dans, une lecture de la tension mesurée a été obtenue x = 267,5Q. Sous quelle forme le résultat de la mesure doit-il être enregistré dans le rapport ?

Il est plus pratique de calculer l'erreur dans l'ordre suivant: vous devez d'abord trouver l'erreur absolue, puis - l'erreur relative. Erreur absolue N.-É. =  0 N.-É. À/ 100, pour l'erreur réduite du voltmètre  0 = 2,5% et les limites de mesure (plage de mesure) de l'appareil N.-É. À= 300 V : N.-É.= 2.5300/100 = 7.5V ~ 8V; erreur relative =  N.-É.100/N.-É. = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

Étant donné que le premier chiffre significatif de la valeur d'erreur absolue (7,5 V) est supérieur à trois, cette valeur doit être arrondie selon les règles d'arrondi habituelles à 8 V, mais dans la valeur d'erreur relative (2,81 %), le premier chiffre significatif est inférieur que 3, donc ici deux décimales doivent être stockées dans la réponse et  = 2,8% indiqué. La valeur résultante N.-É.= 267,5 V doit être arrondi à la même décimale qui termine l'erreur absolue arrondie, c'est-à-dire jusqu'à des unités entières de volts.

Ainsi, la réponse finale doit indiquer : « La mesure a été faite avec une erreur relative = 2,8%. La tension mesurée N.-É.= (268+ 8) B ".

Dans ce cas, il s'agit plus clairement d'indiquer les limites de l'intervalle d'incertitude de la valeur mesurée sous la forme N.-É.= (260276) V ou 260 VX276 V.

Beaucoup de gens se demandent comment arrondir les nombres. Ce besoin survient souvent pour les personnes qui associent leur vie à la comptabilité ou à d'autres activités nécessitant des calculs. L'arrondi peut être fait à l'entier, aux dixièmes, et ainsi de suite. Et il faut savoir le faire correctement pour que les calculs soient plus ou moins précis.

Et qu'est-ce qu'un nombre rond en général ? C'est celui qui se termine par 0 (pour la plupart). Dans la vie de tous les jours, la possibilité d'arrondir les chiffres facilite grandement les achats. Debout à la caisse, vous pouvez estimer approximativement le coût total des achats, comparer combien coûte un kilogramme d'un produit du même nom dans des emballages de poids différent. Avec des nombres réduits à une forme pratique, il est plus facile de faire des calculs oraux sans recourir à une calculatrice.

Pourquoi les nombres sont-ils arrondis ?

Une personne est encline à arrondir n'importe quel nombre dans les cas où des opérations plus simplifiées doivent être effectuées. Par exemple, un melon pèse 3 150 kilogrammes. Lorsqu'une personne parle à ses amis du nombre de grammes du fruit du sud, elle peut être considérée comme un interlocuteur peu intéressant. Des phrases comme "Ici, j'ai acheté un melon de trois kilogrammes" sonnent beaucoup plus laconiques sans entrer dans des détails inutiles.

Il est intéressant de noter que même en science, il n'est pas nécessaire de toujours traiter les nombres les plus précis. Et si nous parlons de fractions infinies périodiques, qui ont la forme 3.33333333 ... 3, alors cela devient impossible. Par conséquent, l'option la plus logique serait de les arrondir comme d'habitude. En règle générale, le résultat après cela est légèrement déformé. Alors comment arrondir les nombres ?

Quelques règles importantes pour arrondir les nombres

Donc, si vous vouliez arrondir un nombre, est-il important de comprendre les principes de base de l'arrondi ? Il s'agit d'une opération de changement visant à réduire le nombre de décimales. Pour effectuer cette action, vous devez connaître plusieurs règles importantes :

1. Si le nombre du chiffre requis est compris entre 5 et 9, l'arrondi est effectué vers le haut.
2. Si le nombre du chiffre requis est compris entre 1 et 4, un arrondi vers le bas est effectué.

Par exemple, nous avons le nombre 59. Nous devons l'arrondir. Pour ce faire, vous devez prendre le nombre 9 et y ajouter un pour obtenir 60. C'est la réponse à la question de savoir comment arrondir les nombres. Voyons maintenant quelques cas particuliers. En fait, nous avons compris comment arrondir un nombre à la dizaine en utilisant cet exemple. Maintenant, il ne reste plus qu'à utiliser ces connaissances dans la pratique.

Comment arrondir un nombre à des nombres entiers

Il arrive souvent qu'il soit nécessaire d'arrondir, par exemple, le nombre 5.9. Cette procédure n'est pas difficile. Tout d'abord, nous devons omettre la virgule et lors de l'arrondi, le nombre déjà familier 60 apparaît devant nos yeux. Et maintenant, nous mettons la virgule à sa place et nous obtenons 6,0. Et comme les zéros dans les fractions décimales sont généralement omis, nous nous retrouvons avec le nombre 6.

Une opération similaire peut être effectuée avec des nombres plus complexes. Par exemple, comment arrondissez-vous des nombres comme 5,49 à des nombres entiers ? Tout dépend des objectifs que vous vous fixez. En général, selon les règles des mathématiques, 5,49 n'est toujours pas 5,5. Il ne peut donc pas être arrondi. Mais vous pouvez l'arrondir à 5,5, après quoi il devient légal d'arrondir à 6. Mais cette astuce ne fonctionne pas toujours, vous devez donc être extrêmement prudent.

En principe, un exemple d'arrondi correct d'un nombre au dixième a déjà été examiné ci-dessus, il est donc maintenant important de n'afficher que le principe principal. En fait, tout se passe à peu près de la même manière. Si le chiffre qui se trouve en deuxième position après la virgule décimale est compris entre 5 et 9, alors il est complètement supprimé et le chiffre qui le précède est augmenté de un. S'il est inférieur à 5, ce chiffre est supprimé et le précédent reste à sa place.

Par exemple, entre 4,59 et 4,6, le nombre « 9 » part et un est ajouté au cinq. Mais lors de l'arrondi à 4,41, l'unité est omise et les quatre restent sous une forme sans nom.

Comment les spécialistes du marketing utilisent-ils l'incapacité du consommateur de masse à arrondir les chiffres ?

Il s'avère que la plupart des gens dans le monde n'ont pas l'habitude d'évaluer le coût réel d'un produit, qui est activement exploité par les marketeurs. Tout le monde connaît les slogans des actions comme « Achetez pour seulement 9,99 ». Oui, nous comprenons consciemment qu'il s'agit essentiellement de dix dollars. Néanmoins, notre cerveau est conçu de telle manière qu'il ne perçoit que le premier nombre. Ainsi, la simple opération consistant à mettre un nombre sous une forme pratique devrait devenir une habitude.

Très souvent, l'arrondi permet une meilleure estimation des succès intermédiaires, exprimés sous forme numérique. Par exemple, une personne a commencé à gagner 550 $ par mois. Un optimiste dira que c'est presque 600, un pessimiste - que c'est un peu plus de 500. Il semble qu'il y ait une différence, mais il est plus agréable pour le cerveau de "voir" que l'objet a accompli quelque chose de plus ( ou vice versa).

Il existe d'innombrables exemples où l'habileté à arrondir s'avère incroyablement utile. Il est important d'être créatif et, si possible, de ne pas être chargé d'informations inutiles. Alors le succès sera immédiat.

Regardons des exemples sur la façon d'arrondir au dixième d'un nombre en utilisant les règles d'arrondi.

La règle pour arrondir les nombres au dixième.

Pour arrondir une fraction décimale aux dixièmes, vous devez laisser un seul chiffre après la virgule et supprimer tous les autres chiffres qui la suivent.

Si le premier des chiffres supprimés est 0, 1, 2, 3 ou 4, le chiffre précédent n'est pas modifié.

Si le premier des chiffres supprimés est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors nous augmentons le chiffre précédent de un.

Exemples.

Arrondir au dixième :

Pour arrondir le nombre au dixième, laissez le premier chiffre après la virgule et jetez le reste. Étant donné que le premier chiffre supprimé est 5, nous augmentons le chiffre précédent de un. Ils lisent : "Vingt-trois virgule soixante-quinze centièmes est approximativement égal à vingt-trois virgule huit dixièmes."

Pour arrondir ce nombre aux dixièmes, ne laissez que le premier chiffre après la virgule décimale, jetez le reste. Le premier chiffre supprimé est 1, nous ne modifions donc pas le chiffre précédent. Ils lisent : "Trois cent quarante-huit virgule trente et un centième est approximativement égal à trois cent quarante et un virgule trois."

En arrondissant au dixième, laissez un chiffre après la virgule et jetez le reste. Le premier des chiffres supprimés est 6, ce qui signifie que nous augmentons le précédent d'un. Ils lisent : « Quarante-neuf points, neuf cent soixante-deux millièmes est approximativement égal à cinquante points, zéro dixième.

Nous arrondissons au dixième, donc après la virgule, nous ne laissons que le premier des nombres et jetons le reste. Le premier des chiffres supprimés est 4, ce qui signifie que nous laissons le chiffre précédent inchangé. Ils lisent : « Sept virgule vingt-huit millièmes est approximativement égal à sept virgule zéro dixièmes.

Pour arrondir ce nombre aux dixièmes, laissez un chiffre après la virgule décimale et supprimez tout ce qui le suit. Puisque le premier chiffre supprimé est 7, nous en ajoutons un au précédent. Ils lisent : « Cinquante-six virgule huit mille sept cent six dix millième est approximativement égal à cinquante-six virgule neuf dixièmes.

Et quelques autres exemples pour arrondir au dixième :