Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
Il existe deux types d'addition de fractions :
- Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
- Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :
Exemple 2. Ajoutez des fractions et .
La réponse n'était pas fraction propre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas partie entière se démarque facilement - deux divisé par deux égale un :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :
Exemple 3. Ajoutez des fractions et .
Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :
Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression 
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;
Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.
Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.
Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.
L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.
Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, des fractions ayant des dénominateurs différents se transforment en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.
Exemple 1. Additionnons les fractions et
Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.
LCM (2 et 3) = 6
Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.
Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.
Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :
La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).
Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).
Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. DANS les établissements d'enseignement Il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :
Mais il y a aussi face arrière médailles. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.
Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :
- Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
- Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
- Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
- Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression 
.
Utilisons les instructions données ci-dessus.
Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions
Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4
Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction
Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :
Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires
On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :
Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :
L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.
Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière
Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :
Nous avons reçu une réponse
Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
Il existe deux types de soustraction de fractions :
- Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
- Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.
Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.
Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression 
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.
Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.
Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.
Exemple 1. Trouvez le sens de l'expression :
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).
Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.
LCM (3 et 4) = 12
Revenons maintenant aux fractions et
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :
On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :
Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Nous avons reçu une réponse
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza
Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :
La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :
La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression 
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).
Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.
Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au-dessus de la deuxième fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :
Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.
La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Ce qui peut être fait? Vous pouvez raccourcir cette fraction.
Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.
On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :
Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10
Nous avons reçu une réponse
Multiplier une fraction par un nombre
Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction donnée par ce nombre et laisser le dénominateur identique.
Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.
Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1
L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza
Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :
Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la fraction par 4
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières
Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :
Multiplier des fractions
Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.
Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.
Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :
L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :
Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :
Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :
Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :
En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.
Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :
Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15
Représenter un nombre entier sous forme de fraction
Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :
Nombres réciproques
Maintenant, nous allons faire connaissance avec très sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des « numéros inversés ».
Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.
Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :
Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.
Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :
Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :
Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :
Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.
L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.
Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.
Diviser une fraction par un nombre
Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?
On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.
La division des fractions se fait à l'aide d'inverses. Les nombres réciproques vous permettent de remplacer la division par la multiplication.
Pour diviser une fraction par un nombre, vous devez multiplier la fraction par l’inverse du diviseur.
En utilisant cette règle, nous écrirons la division de notre moitié de pizza en deux parties.
Vous devez donc diviser la fraction par le nombre 2. Ici, le dividende est la fraction et le diviseur est le nombre 2.
Pour diviser une fraction par le nombre 2, vous devez multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur 2. L'inverse du diviseur 2 est la fraction. Il faut donc multiplier par
) et dénominateur par dénominateur (on obtient le dénominateur du produit).
Formule pour multiplier des fractions :
Par exemple:
Avant de commencer à multiplier les numérateurs et les dénominateurs, vous devez vérifier si la fraction peut être réduite. Si vous parvenez à réduire la fraction, il vous sera plus facile de faire d'autres calculs.
Diviser une fraction commune par une fraction.
Division de fractions impliquant des nombres naturels.
Ce n'est pas aussi effrayant qu'il y paraît. Comme dans le cas de l’addition, on convertit l’entier en une fraction avec un au dénominateur. Par exemple:
Multiplier des fractions mixtes.
Règles de multiplication des fractions (mixtes) :
- convertir des fractions mixtes en fractions impropres ;
- multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions ;
- réduire la fraction;
- Si vous obtenez une fraction impropre, nous convertissons la fraction impropre en fraction mixte.
Note! Pour multiplier une fraction mixte par une autre fraction mixte, vous devez d'abord les convertir sous forme de fractions impropres, puis multiplier selon la règle de multiplication des fractions ordinaires.
La deuxième façon de multiplier une fraction par un nombre naturel.
Il peut être plus pratique d'utiliser la deuxième méthode pour multiplier une fraction commune par un nombre.
Note! Multiplier une fraction par entier naturel Il faut diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre, et laisser le numérateur inchangé.
D'après l'exemple donné ci-dessus, il est clair que cette option est plus pratique à utiliser lorsque le dénominateur d'une fraction est divisé sans reste par un nombre naturel.
Fractions à plusieurs étages.
Au lycée, on rencontre souvent des fractions de trois étages (ou plus). Exemple:
Pour ramener une telle fraction à sa forme habituelle, utilisez la division par 2 points :
Note! Lors de la division de fractions, l’ordre de division est très important. Attention, il est facile de se tromper ici.
Note, Par exemple:
En divisant un par n'importe quelle fraction, le résultat sera la même fraction, seulement inversée :
Conseils pratiques pour multiplier et diviser des fractions :
1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention. Effectuez tous les calculs avec soin et précision, de manière concentrée et claire. Il vaut mieux écrire quelques lignes supplémentaires dans son brouillon plutôt que de se perdre dans des calculs mentaux.
2. Dans les tâches avec différents types fractions - passez à la forme de fractions ordinaires.
3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de les réduire.
4. Nous transformons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux en expressions ordinaires en utilisant la division par 2 points.
5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.
Actions avec des fractions. Dans cet article, nous examinerons des exemples, le tout en détail avec des explications. Nous considérerons les fractions ordinaires. Nous examinerons les décimales plus tard. Je recommande de regarder le tout et de l’étudier séquentiellement.
1. Somme des fractions, différence des fractions.
Règle : lors de l'addition de fractions de dénominateurs égaux, le résultat est une fraction dont le dénominateur reste le même et son numérateur sera égal à la somme des numérateurs des fractions.
Règle : lors du calcul de la différence entre des fractions avec les mêmes dénominateurs, nous obtenons une fraction - le dénominateur reste le même et le numérateur de la seconde est soustrait du numérateur de la première fraction.
Notation formelle pour la somme et la différence de fractions de dénominateurs égaux :
Exemples (1) :
Il est clair que lorsque des fractions ordinaires sont données, alors tout est simple, mais que se passe-t-il si elles sont mélangées ? Rien de compliqué...
Option 1– vous pouvez les convertir en ordinaires puis les calculer.
Option 2– vous pouvez « travailler » séparément avec les parties entières et fractionnaires.
Exemples (2) :
Plus:
Que se passe-t-il si la différence de deux fractions mixtes est donnée et que le numérateur de la première fraction est inférieur au numérateur de la seconde ? Vous pouvez également agir de deux manières.
Exemples (3) :
*Converti en fractions ordinaires, calculé la différence, converti la fraction impropre résultante en fraction mixte.
*Nous l'avons décomposé en parties entières et fractionnaires, avons obtenu un trois, puis avons présenté 3 comme la somme de 2 et 1, dont un représenté par 11/11, puis avons trouvé la différence entre 11/11 et 7/11 et calculé le résultat. . Le sens des transformations ci-dessus est de prendre (sélectionner) une unité et de la présenter sous la forme d'une fraction avec le dénominateur dont nous avons besoin, puis nous pouvons en soustraire une autre à cette fraction.
Un autre exemple:
Conclusion : il existe une approche universelle - afin de calculer la somme (différence) de fractions mixtes avec des dénominateurs égaux, elles peuvent toujours être converties en fractions impropres, puis effectuer les mesures nécessaires. Après cela, si le résultat est une fraction impropre, nous la convertissons en fraction mixte.
Ci-dessus, nous avons examiné des exemples de fractions ayant des dénominateurs égaux. Et si les dénominateurs sont différents ? Dans ce cas, les fractions sont réduites au même dénominateur et l'action spécifiée est effectuée. Pour changer (transformer) une fraction, la propriété de base de la fraction est utilisée.
Regardons des exemples simples :
Dans ces exemples, on voit immédiatement comment l'une des fractions peut être transformée pour obtenir des dénominateurs égaux.
Si nous désignons des moyens de réduire des fractions au même dénominateur, alors nous appellerons celle-ci PREMIÈRE MÉTHODE.
Autrement dit, immédiatement lors de « l'évaluation » d'une fraction, vous devez déterminer si cette approche fonctionnera - nous vérifions si le plus grand dénominateur est divisible par le plus petit. Et s'il est divisible, nous effectuons une transformation - nous multiplions le numérateur et le dénominateur pour que les dénominateurs des deux fractions deviennent égaux.
Regardez maintenant ces exemples :
Cette approche ne leur est pas applicable. Il existe également des moyens de réduire des fractions à un dénominateur commun ; considérons-les.
Méthode DEUX.
On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première :
*En fait, on réduit les fractions pour se former lorsque les dénominateurs deviennent égaux. Ensuite, nous utilisons la règle pour additionner des fractions avec des dénominateurs égaux.
Exemple:
*Cette méthode peut être qualifiée d’universelle et elle fonctionne toujours. Le seul inconvénient est qu'après les calculs, vous risquez de vous retrouver avec une fraction qu'il faudra encore réduire.
Regardons un exemple :
On voit que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 5 :
Méthode TROIS.
Vous devez trouver le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs. Ce sera le dénominateur commun. De quel genre de numéro s'agit-il ? Il s'agit du plus petit nombre naturel divisible par chacun des nombres.
Regardez, voici deux nombres : 3 et 4, il y a beaucoup de nombres qui sont divisibles par eux - ce sont 12, 24, 36, ... Le plus petit d'entre eux est 12. Ou 6 et 15, ils sont divisibles par 30, 60, 90.... Le plus petit est 30. La question est : comment déterminer ce plus petit commun multiple ?
Il existe un algorithme clair, mais cela peut souvent être fait immédiatement, sans calculs. Par exemple, selon les exemples ci-dessus (3 et 4, 6 et 15), aucun algorithme n'est nécessaire, nous avons pris de grands nombres (4 et 15), les avons doublés et vu qu'ils sont divisibles par le deuxième nombre, mais des paires de nombres peuvent être d'autres, par exemple 51 et 119.
Algorithme. Afin de déterminer le plus petit commun multiple de plusieurs nombres, il faut :
- décomposer chaque nombre en facteurs SIMPLES
— notez la décomposition du PLUS GRAND d'entre eux
- multipliez-le par les facteurs MANQUANTS d'autres nombres
Regardons des exemples :
50 et 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
en décomposition plus il manque un cinq
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 et 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
dans l'expansion d'un nombre plus grand, il manque deux et trois
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Le plus petit commun multiple de deux nombres premiers est leur produit
Question! Pourquoi est-il utile de trouver le plus petit commun multiple, puisque vous pouvez utiliser la deuxième méthode et simplement réduire la fraction résultante ? Oui, c'est possible, mais ce n'est pas toujours pratique. Regardez le dénominateur des nombres 48 et 72 si vous les multipliez simplement par 48∙72 = 3456. Vous conviendrez qu'il est plus agréable de travailler avec des nombres plus petits.
Regardons des exemples :
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
il manque un triple à l'expansion d'un plus grand nombre
=> CNP(51 119) = 3∙7∙17
Utilisons maintenant la première méthode :
*Regardez la différence dans les calculs, dans le premier cas il y en a un minimum, mais dans le second vous devez travailler séparément sur un morceau de papier, et même la fraction que vous avez reçue doit être réduite. Trouver le LOC simplifie considérablement le travail.
Plus d'exemples :
*Dans le deuxième exemple, il est clair que le plus petit nombre divisible par 40 et 60 est 120.
RÉSULTAT! ALGORITHME INFORMATIQUE GÉNÉRAL !
— on réduit les fractions aux fractions ordinaires s'il y a une partie entière.
- on ramène les fractions à un dénominateur commun (on regarde d'abord si un dénominateur est divisible par un autre ; s'il est divisible, alors on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette autre fraction ; s'il n'est pas divisible, on agit par les autres méthodes indiqué ci-dessus).
- Après avoir reçu des fractions de dénominateurs égaux, nous effectuons des opérations (addition, soustraction).
- si nécessaire, on réduit le résultat.
- si nécessaire, sélectionnez alors la pièce entière.
2. Produit de fractions.
La règle est simple. Lors de la multiplication de fractions, leurs numérateurs et dénominateurs sont multipliés :
Exemples:
Dans cet article, un professeur de mathématiques et de physique explique comment effectuer des opérations de base avec fractions ordinaires: addition et soustraction, multiplication et division. Apprenez à représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre et vice versa, ainsi qu'à réduire des fractions.
Additionner et soustraire des fractions communes
Rappelons que dénominateur la fraction est le nombre qui est par le bas, UN numérateur- le numéro qui se trouve au-dessus de de la ligne fractionnaire. Par exemple, dans une fraction, le nombre est le numérateur et le nombre est le dénominateur.
Dénominateur commun est le plus petit nombre possible divisible à la fois par le dénominateur de la première fraction et par le dénominateur de la deuxième fraction.
Exemple 1. Ajoutez deux fractions : .
Utilisons l'algorithme décrit ci-dessus :
1) Le plus petit nombre, qui est divisible à la fois par le dénominateur de la première fraction et par le dénominateur de la deuxième fraction, est égal à . Ce nombre sera le dénominateur commun. Vous devez maintenant ramener les deux fractions à un dénominateur commun.
2) Ajoutez les fractions obtenues : 
.
Multiplier des fractions communes
En d’autres termes, pour tous les nombres réels , , , , l’égalité suivante est vraie :
Exemple 2. Multiplier des fractions : .
Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule présentée ci-dessus : 
.
Diviser des fractions
En d’autres termes, pour tous les nombres réels , , , , , l’égalité suivante est vraie :
Exemple 3. Diviser des fractions : .
Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule ci-dessus : 
.
Représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre
Voyons maintenant quoi faire si vous devez effectuer une opération avec des fractions présentées sous forme de nombres fractionnaires. Dans ce cas, vous devez d'abord représenter les nombres fractionnaires sous forme de fractions impropres, puis effectuer l'opération nécessaire.
Rappelons que faux On appelle une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal à son dénominateur.
Rappelons également qu'un nombre mixte a fraction Et partie entière. Par exemple, un nombre fractionnaire a une partie fractionnaire égale à et une partie entière égale à .
Exemple 4. Exprimez un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre.
Utilisons l'algorithme présenté ci-dessus : 
.
Exemple 5. Représente une fraction impropre sous la forme d'un nombre fractionnaire.
Les expressions fractionnaires sont difficiles à comprendre pour un enfant. La plupart des gens ont des difficultés avec. Lorsqu'il étudie le sujet « additionner des fractions avec des nombres entiers », l'enfant tombe dans la stupeur et a du mal à résoudre le problème. Dans de nombreux exemples, avant d’effectuer une action, une série de calculs doit être effectuée. Par exemple, convertissez des fractions ou convertissez une fraction impropre en fraction propre.
Expliquons-le clairement à l'enfant. Prenons trois pommes, dont deux entières, et coupons la troisième en 4 parties. Séparez une tranche de la pomme coupée et placez les trois tranches restantes à côté de deux fruits entiers. On obtient ¼ de pomme d'un côté et 2 ¾ de l'autre. Si nous les combinons, nous obtenons trois pommes. Essayons de réduire 2 ¾ pommes de ¼, c'est-à-dire en retirant une autre tranche, nous obtenons 2 2/4 pommes.
Examinons de plus près les opérations avec des fractions contenant des entiers :
Rappelons d'abord la règle de calcul des expressions fractionnaires avec un dénominateur commun :
À première vue, tout est simple et facile. Mais cela ne s'applique qu'aux expressions qui ne nécessitent pas de conversion.
Comment trouver la valeur d'une expression dont les dénominateurs sont différents
Dans certaines tâches, vous devez trouver le sens d'une expression dont les dénominateurs sont différents. Regardons un cas précis :
3 2/7+6 1/3
Trouvons la valeur de cette expression en trouvant un dénominateur commun à deux fractions.
Pour les nombres 7 et 3, c'est 21. On laisse les parties entières identiques, et on ramène les parties fractionnaires à 21, pour cela on multiplie la première fraction par 3, la seconde par 7, on obtient :
21/06+21/07, n'oubliez pas que des parties entières ne peuvent pas être converties. En conséquence, nous obtenons deux fractions avec le même dénominateur et calculons leur somme :
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Que se passe-t-il si le résultat de l'addition est une fraction impropre qui a déjà une partie entière :
2 1/3+3 2/3
DANS dans ce cas On additionne les parties entières et les parties fractionnaires, on obtient :
5 3/3, comme vous le savez, 3/3 est un, ce qui signifie 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Trouver la somme est clair, regardons la soustraction :
De tout ce qui a été dit, la règle pour les opérations avec des nombres mixtes suit :
- Si vous devez soustraire un entier d'une expression fractionnaire, vous n'avez pas besoin de représenter le deuxième nombre sous forme de fraction, il suffit d'effectuer l'opération uniquement sur les parties entières.
Essayons de calculer nous-mêmes le sens des expressions :
Regardons de plus près l'exemple sous la lettre « m » :
4 5/11-2 8/11, le numérateur de la première fraction est inférieur à celui de la seconde. Pour ce faire, on emprunte un entier à la première fraction, on obtient,
3 5/11+11/11=3 entier 16/11, soustrayez la seconde de la première fraction :
3 16/11-2 8/11=1 entier 8/11
- Soyez prudent lorsque vous accomplissez la tâche, n'oubliez pas de convertir les fractions impropres en fractions mixtes, en mettant en évidence la partie entière. Pour ce faire, il faut diviser la valeur du numérateur par la valeur du dénominateur, puis ce qui se passe prend la place de la partie entière, le reste sera le numérateur, par exemple :
19/4=4 ¾, vérifions : 4*4+3=19, le dénominateur 4 reste inchangé.
Résumer:
Avant de commencer une tâche liée aux fractions, il est nécessaire d'analyser de quel type d'expression il s'agit, quelles transformations doivent être apportées à la fraction pour que la solution soit correcte. Recherchez une solution plus rationnelle. N'allez pas par la voie difficile. Planifiez toutes les actions, résolvez-les d'abord sous forme de brouillon, puis transférez-les sur votre cahier d'écolier.
Pour éviter toute confusion lors de la résolution d'expressions fractionnaires, vous devez suivre la règle de cohérence. Décidez de tout avec soin, sans vous précipiter.
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