गुणों और पदनामों का सही पिरामिड। ज्यामितीय आंकड़े। पिरामिड

• एपोथेम- नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो नियमित बहुभुज के मध्य से इसके 1 तरफ कम हो जाती है);
• साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिभुज जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
• पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सी , डी एस ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
• पिरामिड के ऊपर (टी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
• ऊंचाई ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ऐ बी सी डी) - एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी पार्श्व पसलियां समान आकार की हों, तब:

• पिरामिड के आधार के निकट एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अलावा, विलोम भी सत्य है, अर्थात। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है, तो पिरामिड के सभी किनारों पर एक समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान परिमाण के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:

• पिरामिड के आधार के निकट एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
• पार्श्व सतह क्षेत्र पार्श्व चेहरे की ऊंचाई से आधार परिधि के उत्पाद का आधा है।

3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि एक बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

सबसे सरल पिरामिड।

कोणों की संख्या से, पिरामिड का आधार त्रिभुजाकार, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित होता है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।

एक त्रिभुजाकार पिरामिड एक पिरामिड होता है जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है। इस पिरामिड की ऊंचाई लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से इसके आधार तक नीचे है।

पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करना

पिरामिड की ऊंचाई कैसे पता करें? बहुत सरल! किसी भी त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आप आयतन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: V = (1/3) Sh, जहाँ S आधार का क्षेत्रफल है, V पिरामिड का आयतन है, h इसकी ऊँचाई है। इस सूत्र से ऊंचाई सूत्र प्राप्त करें: त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई खोजने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन को 3 से गुणा करना होगा, और फिर परिणामी मान को आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करना होगा, यह होगा: h = (3वी) / एस. चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक त्रिभुज है, आप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम जानते हैं: त्रिभुज S का क्षेत्रफल और उसकी भुजा z, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा S = (1/2) h: h = (2S) / , जहाँ h पिरामिड की ऊँचाई है, है त्रिकोण के किनारे; त्रिभुज की भुजाओं और दो भुजाओं के बीच का कोण, फिर निम्न सूत्र द्वारा: S = (1/2) sinQ, जहाँ γ, त्रिभुज की भुजाएँ हैं, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। कोण Q की ज्या का मान इंटरनेट पर उपलब्ध ज्या तालिका में पाया जाना चाहिए। अगला, हम क्षेत्र मान को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: h = (2S) / । यदि कार्य को त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है, तो पिरामिड का आयतन पहले से ही ज्ञात है।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, अर्थात् एक ऐसा पिरामिड जिसके सभी फलक समबाहु त्रिभुज हों, किनारे का मान ज्ञात हो। इस मामले में, पिरामिड के किनारे समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई होगी: h = (2/3), जहाँ एक समबाहु त्रिभुज का किनारा है, h पिरामिड की ऊँचाई है। यदि आधार (एस) का क्षेत्र अज्ञात है, और केवल किनारे की लंबाई (γ) और पॉलीहेड्रॉन की मात्रा (वी) दी गई है, तो पिछले चरण से सूत्र में आवश्यक चर को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए इसके समकक्ष द्वारा, जिसे किनारे की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। एक त्रिभुज (नियमित) का क्षेत्रफल 3 के वर्गमूल द्वारा वर्ग इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई के गुणनफल के 1/4 के बराबर होता है। पिछला सूत्र, और हमें निम्न सूत्र मिलता है: h = 3V4 / (γ 2 3) = 12V / (γ 2 √3)। टेट्राहेड्रोन का आयतन इसके किनारे की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, फिर आकृति की ऊंचाई की गणना के लिए सूत्र से सभी चर को हटाया जा सकता है और केवल आकृति के त्रिकोणीय चेहरे का पक्ष छोड़ा जा सकता है। इस तरह के पिरामिड के आयतन की गणना गुणनफल के 2 से 12 के वर्गमूल द्वारा इसके फलक की घन लंबाई को विभाजित करके की जा सकती है।

इस व्यंजक को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करते हैं: h = 12 (γ 3 2 / 12) / (γ 2 3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = (2/3) = (1/3) 6। इसके अलावा, एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म को एक गोले में अंकित किया जा सकता है, और केवल गोले की त्रिज्या (R) को जानकर, आप टेट्राहेड्रोन की बहुत ऊंचाई पा सकते हैं। चतुष्फलक के किनारे की लंबाई है: = 4R / √6। पिछले सूत्र में चर γ को इस व्यंजक से बदलें और सूत्र प्राप्त करें: h = (1/3) 6 (4R) / √6 = (4R) / 3। एक चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या (R) को जानकर भी यही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, त्रिभुज के किनारे की लंबाई 6 के वर्गमूल और त्रिज्या की 12 गुना होगी। हम इस व्यंजक को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और हमारे पास है: h = (1/3) 6 = (1/3) 6 (12R) / √6 = 4R।

एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड की ऊँचाई की लंबाई कैसे ज्ञात की जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको एक सौ ऐसे नियमित पिरामिड को जानना होगा। एक चतुर्भुज पिरामिड एक पिरामिड है जिसके आधार पर एक चतुर्भुज होता है। यदि समस्या की स्थितियों में हमारे पास है: आयतन (V) और पिरामिड के आधार (S) का क्षेत्रफल, तो पॉलीहेड्रॉन (h) की ऊंचाई की गणना करने का सूत्र इस प्रकार होगा - विभाजित करें आयतन 3 से क्षेत्र S: h = (3V) / S से गुणा किया जाता है। ज्ञात के साथ पिरामिड के एक वर्ग आधार के साथ: दी गई मात्रा (वी) और पक्ष की लंबाई γ, पिछले सूत्र में क्षेत्र (एस) को पक्ष की लंबाई के वर्ग के साथ बदलें: एस = γ 2; एच = 3वी / 2. नियमित पिरामिड की ऊंचाई h = SO वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, जिसका वर्णन आधार के पास किया गया है। चूँकि इस पिरामिड का आधार एक वर्ग है, बिंदु O विकर्ण AD और BC का प्रतिच्छेदन है। हमारे पास है: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6। इसके अलावा, हम एक समकोण त्रिभुज SOC (पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा) में पाते हैं: SO = (SC 2 -OC 2)। अब आप जानते हैं कि सही पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें।

ज्यामिति के अध्ययन से बहुत पहले छात्रों को पिरामिड की अवधारणा का सामना करना पड़ता है। यह दुनिया के प्रसिद्ध महान मिस्र के अजूबों के कारण है। इसलिए, इस अद्भुत पॉलीहेड्रॉन का अध्ययन शुरू करते समय, अधिकांश छात्र पहले से ही इसकी स्पष्ट रूप से कल्पना करते हैं। उपरोक्त सभी स्थलों का आकार सही है। क्या सही पिरामिड, और इसके क्या गुण हैं और इस पर आगे चर्चा की जाएगी।

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परिभाषा

पिरामिड की कई परिभाषाएँ हैं। प्राचीन काल से, इसने बहुत लोकप्रियता हासिल की है।

उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने इसे एक शारीरिक आकृति के रूप में परिभाषित किया, जिसमें ऐसे विमान होते हैं, जो एक से शुरू होकर एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण करते हैं।

बगुला ने अधिक सटीक सूत्रीकरण प्रदान किया। उन्होंने जोर देकर कहा कि यह एक ऐसा आंकड़ा है जो त्रिभुज के रूप में एक आधार और तल है,एक बिंदु पर अभिसरण।

आधुनिक व्याख्या के आधार पर, पिरामिड को एक स्थानिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें एक निश्चित के-गॉन और त्रिकोणीय आकार के के फ्लैट आंकड़े होते हैं, जिसमें एक सामान्य बिंदु होता है।

आइए इसे और अधिक विस्तार से समझते हैं, इसमें कौन से तत्व शामिल हैं:

• के-गॉन को आकृति का आधार माना जाता है;
• 3-पक्षीय आंकड़े पार्श्व भाग के पक्ष हैं;
• ऊपरी भाग, जिससे पार्श्व तत्व उत्पन्न होते हैं, शीर्ष कहलाता है;
• एक शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंडों को किनारे कहा जाता है;
• यदि एक सीधी रेखा को ऊपर से आकृति के तल तक 90 डिग्री के कोण पर उतारा जाता है, तो इसका भाग, आंतरिक स्थान में संलग्न, पिरामिड की ऊंचाई है;
• किसी भी पार्श्व तत्व में, हमारे पॉलीहेड्रॉन के किनारे पर एक लंबवत खींचा जा सकता है, जिसे एपोथेम कहा जाता है।

किनारों की संख्या की गणना सूत्र 2 * k द्वारा की जाती है, जहाँ k k-गॉन की भुजाओं की संख्या है। एक पिरामिड जैसे बहुफलक के कितने फलक k+1 व्यंजक द्वारा निर्धारित किए जा सकते हैं।

जरूरी!एक नियमित आकार का पिरामिड एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति है, जिसका आधार तल समान भुजाओं वाला k-gon है।

मूल गुण

सही पिरामिड कई गुण हैं,जो उसके लिए अद्वितीय हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

1. आधार नियमित आकार की एक आकृति है।
2. पिरामिड के किनारों, जो पार्श्व तत्वों को बांधते हैं, में समान संख्यात्मक मान होते हैं।
3. पार्श्व तत्व समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
4. आकृति की ऊंचाई का आधार बहुभुज के केंद्र में पड़ता है, साथ ही यह खुदा हुआ और वर्णित का केंद्र बिंदु है।
5. सभी पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार के तल की ओर झुकी होती हैं।
6. आधार के संबंध में सभी पार्श्व सतहों का झुकाव कोण समान होता है।

ये सभी गुण सदस्य गणना करना बहुत आसान बनाते हैं। उपरोक्त गुणों के आधार पर, हम ध्यान आकर्षित करते हैं दो संकेत:

1. उस स्थिति में जब बहुभुज एक वृत्त में फिट हो जाता है, पार्श्व फलकों के आधार के साथ समान कोण होंगे।
2. बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते समय, शीर्ष से बाहर जाने वाले पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई और आधार के साथ समान कोण होंगे।

यह एक वर्ग पर आधारित है

नियमित चतुर्भुज पिरामिड - एक वर्ग पर आधारित एक बहुफलक।

इसके चार पार्श्व फलक हैं, जो दिखने में समद्विबाहु हैं।

एक समतल पर, एक वर्ग को दर्शाया गया है, लेकिन वे एक नियमित चतुर्भुज के सभी गुणों पर आधारित हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आपको किसी वर्ग की भुजा को उसके विकर्ण से जोड़ने की आवश्यकता है, तो निम्न सूत्र का उपयोग करें: विकर्ण वर्ग की भुजा के गुणनफल और दो के वर्गमूल के बराबर होता है।

यह एक नियमित त्रिभुज पर आधारित है

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके आधार पर नियमित 3-गॉन होता है।

यदि आधार एक नियमित त्रिभुज है, और भुजाएँ आधार के किनारों के बराबर हैं, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाता है।

एक चतुष्फलक के सभी फलक समबाहु 3-गॉन होते हैं। इस मामले में, आपको कुछ बिंदुओं को जानने की जरूरत है और गणना करते समय उन पर समय बर्बाद नहीं करना चाहिए:

• किसी भी आधार पर पसलियों के झुकाव का कोण 60 डिग्री है;
• सभी भीतरी किनारों का आकार भी 60 डिग्री है;
• कोई भी पहलू आधार के रूप में कार्य कर सकता है;
• आकृति के अंदर खींचे गए समान तत्व हैं।

एक बहुफलक के खंड

किसी भी बहुफलक में होते हैं कई प्रकार के खंडविमान। अक्सर स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में दो काम करते हैं:

• अक्षीय;
• समानांतर आधार।

एक अक्षीय खंड प्राप्त होता है जब एक पॉलीहेड्रॉन विमान एक शीर्ष, पार्श्व किनारों और एक अक्ष को काटता है। इस मामले में, अक्ष ऊपर से खींची गई ऊंचाई है। काटने वाला विमान सभी चेहरों के साथ चौराहे की रेखाओं से सीमित होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक त्रिभुज होता है।

ध्यान!एक नियमित पिरामिड में, अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।

यदि कटिंग प्लेन आधार के समानांतर चलता है, तो परिणाम दूसरा विकल्प है। इस मामले में, हमारे पास आधार के समान एक क्रॉस-अनुभागीय आकृति है।

उदाहरण के लिए, यदि आधार पर एक वर्ग है, तो आधार के समानांतर अनुभाग भी एक वर्ग होगा, केवल छोटे आकार का।

इस स्थिति के तहत समस्याओं को हल करते समय, आंकड़ों की समानता के संकेतों और गुणों का उपयोग किया जाता है, थेल्स के प्रमेय पर आधारित... सबसे पहले, समानता के गुणांक को निर्धारित करना आवश्यक है।

यदि विमान आधार के समानांतर है, और यह पॉलीहेड्रॉन के ऊपरी हिस्से को काट देता है, तो निचले हिस्से में एक नियमित रूप से छोटा पिरामिड प्राप्त होता है। तब काटे गए बहुफलक के तनों को समान बहुभुज कहा जाता है। इस मामले में, पार्श्व फलक समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं। अक्षीय खंड भी समद्विबाहु है।

काटे गए पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, अक्षीय खंड में, यानी ट्रेपोजॉइड में ऊंचाई खींचना आवश्यक है।

सतह क्षेत्र

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में हल की जाने वाली मुख्य ज्यामितीय समस्याएं हैं: पिरामिड का क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करना।

सतह क्षेत्र मान दो प्रकार के होते हैं:

• पक्ष तत्वों का क्षेत्र;
• पूरी सतह का क्षेत्रफल।

नाम से ही यह स्पष्ट है कि यह किस बारे में है। पार्श्व सतह में केवल पार्श्व तत्व शामिल हैं। यह इस प्रकार है कि इसे खोजने के लिए, आपको केवल पार्श्व विमानों के क्षेत्रों, यानी समद्विबाहु 3-गॉन के क्षेत्रों को जोड़ना होगा। आइए पार्श्व तत्वों के क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करें:

1. एक समद्विबाहु 3-गॉन का क्षेत्रफल Str = 1/2 (aL) है, जहाँ a आधार की भुजा है, L एपोथेम है।
2. पार्श्व तलों की संख्या आधार पर k-th gon के प्रकार पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में चार पार्श्व तल होते हैं। इसलिए, चार अंकों के क्षेत्रों को जोड़ना आवश्यक है एस पक्ष = 1/2 (एएल) +1/2 (एएल) +1/2 (एएल) +1/2 (एएल) = 1/2 * 4а * एल व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जाता है क्योंकि मान 4a = रोसन, जहाँ रोसन आधार का परिमाप है। और व्यंजक 1/2 * रोसन इसका अर्धपरिमाप है।
3. इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक नियमित पिरामिड के पार्श्व तत्वों का क्षेत्रफल एपोथेम द्वारा आधार अर्ध-परिधि के उत्पाद के बराबर है: Sbok = Rosn * L।

पिरामिड के कुल सतह क्षेत्र में पार्श्व विमानों और आधार के क्षेत्रों का योग होता है: Sp.p. = Sside + Sbase।

जहाँ तक आधार के क्षेत्रफल की बात है, यहाँ सूत्र का प्रयोग बहुभुज के प्रकार के अनुसार किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड का आयतनऊंचाई से आधार तल के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर है, जिसे तीन से विभाजित किया जाता है: V = 1/3 * Sbase * H, जहां H पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई है।

ज्यामिति में सही पिरामिड क्या है

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के गुण

परिभाषा

पिरामिडक्या एक बहुफलक एक बहुभुज \ (A_1A_2 ... A_n \) और \ (n \) त्रिभुजों से बना है जिसमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष \ (P \) (बहुभुज के तल में स्थित नहीं है) और विपरीत भुजाओं के साथ मेल खाते हैं बहुभुज।
पद: \ (PA_1A_2 ... A_n \)।
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \)।

त्रिभुज \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) आदि। कहा जाता है साइड फेसपिरामिड, खंड \ (PA_1, PA_2 \), आदि। - पार्श्व पसलियां, बहुभुज \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - आधार, बिंदु \ (पी \) - सर्वोच्च.

ऊंचाईपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक गिराए गए लंबवत हैं।

एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.

पिरामिड कहा जाता है सहीयदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:

\ ((ए) \) पिरामिड के किनारे बराबर हैं;

\ ((बी) \) पिरामिड की ऊंचाई आधार के पास वर्णित सर्कल के केंद्र से गुजरती है;

\ ((c) \) पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार के तल की ओर झुकी होती हैं।

\ ((d) \) पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार के तल की ओर झुके होते हैं।

नियमित चतुष्फलक- यह एक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।

प्रमेय

शर्तें \ ((ए), (बी), (सी), (डी) \) समकक्ष हैं।

सबूत

आइए पिरामिड की ऊंचाई \ (PH \) बनाएं। मान लीजिए \ (\ alpha \) पिरामिड के आधार का तल है।

1) आइए हम सिद्ध करें कि \ ((a) \) का अर्थ \ ((b) \) है। मान लीजिए \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \)।

चूंकि \ (PH \ perp \ alpha \), तो \ (PH \) इस तल में पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत है, इसलिए त्रिभुज आयताकार हैं। इसलिए, ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पैर \ (PH \) और कर्ण \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \) में बराबर हैं। इसलिए, \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \)। इसका अर्थ है कि बिंदु \ (A_1, A_2, ..., A_n \) बिंदु \ (H \) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \ (A_1H \) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, यह वृत्त बहुभुज \ (A_1A_2 ... A_n \) के चारों ओर परिबद्ध है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि \ ((b) \) का अर्थ \ ((c) \) है।

\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)आयताकार और दो पैरों में बराबर। अत: उनके कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए, \ (\ कोण PA_1H = \ कोण PA_2H = ... = \ कोण PA_nH \).

3) आइए हम सिद्ध करें कि \ ((c) \) का अर्थ \ ((a) \) है।

पहले बिंदु के समान, त्रिभुज \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)आयताकार और पैर और तीव्र कोण के साथ। इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \)।

4) आइए हम सिद्ध करें कि \ ((b) \) का अर्थ \ ((d) \) है।

चूंकि एक नियमित बहुभुज में परिवृत्त और अंतःवृत्त के केंद्र मेल खाते हैं (आमतौर पर, इस बिंदु को नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \ (H \) अंतःवृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \ (H \) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \ (HK_1, HK_2 \), आदि। ये खुदा हुआ वृत्त (परिभाषा के अनुसार) की त्रिज्याएँ हैं। फिर, TTP के अनुसार (\ (PH \) - विमान के लंबवत, \ (HK_1, HK_2 \), आदि। - पक्षों के लंबवत अनुमान) तिरछा \ (PK_1, PK_2 \), आदि। पक्षों के लंबवत \ (A_1A_2, A_2A_3 \), आदि। क्रमश। इसलिए, परिभाषा के अनुसार \ (\ कोण PK_1H, \ कोण PK_2H \)भुजाओं के फलकों और आधार के बीच के कोणों के बराबर। चूंकि त्रिभुज \ (PK_1H, PK_2H, ... \) बराबर हैं (दो पैरों में आयताकार), तो कोण \ (\ कोण PK_1H, \ कोण PK_2H, ... \)बराबर हैं।

5) आइए हम सिद्ध करें कि \ ((d) \) का अर्थ \ ((b) \) है।

इसी प्रकार चौथे बिंदु के समान, त्रिभुज \ (PK_1H, PK_2H, ... \) बराबर हैं (पैर और न्यून कोण में आयताकार के रूप में), इसलिए खंड \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) बराबर हैं। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \ (H \) आधार पर अंकित एक वृत्त का केंद्र है। लेकिन जबसे नियमित बहुभुजों के लिए, अंतःवृत्त और परिवृत्त के केंद्र मेल खाते हैं, तो \ (H \) परिवृत्त का केंद्र है। टीएचटी.डी.

परिणाम

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा

एक नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेम.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलकों के एपोथीम एक दूसरे के बराबर होते हैं और माध्यिका और द्विभाजक भी होते हैं।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई आधार की ऊँचाइयों (या समद्विभाजक, या माध्यिकाएँ) के प्रतिच्छेदन बिंदु पर गिरती है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक वर्ग है)।

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।

4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

परिभाषा

पिरामिड कहा जाता है आयताकारयदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक आयताकार पिरामिड में, आधार से लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात्, \ (SR \) ऊँचाई है।

2. क्योंकि \ (SR \) आधार से किसी भी सीधी रेखा पर लंबवत है, तो \ (\ त्रिकोण एसआरएम, \ त्रिकोण एसआरपी \)- समकोण त्रिभुज।

3. त्रिभुज \ (\ त्रिकोण एसआरएन, \ त्रिकोण एसआरके \)- आयताकार भी।
अर्थात् इस किनारे से बनने वाला कोई भी त्रिभुज और आधार पर स्थित इस किनारे के शीर्ष से निकला विकर्ण आयताकार होगा।

\ [(\ बड़ा (\ पाठ (पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र))) \]

प्रमेय

पिरामिड का आयतन पिरामिड की ऊंचाई के आधार क्षेत्र के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है: \

परिणाम

मान लीजिए \ (a \) आधार की भुजा है, \ (h \) पिरामिड की ऊंचाई है।

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \ (वी _ (\ टेक्स्ट (दायां त्रिकोणीय पीर।)) = \ डीफ़्रैक (\ sqrt3) (12) ए ^ 2 एच \),

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \ (वी _ (\ पाठ (दाएं चार पीर।)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन है \ (वी _ (\ टेक्स्ट (दायां हेक्स)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) ए ^ 2h \).

4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन है \ (वी _ (\ टेक्स्ट (दाएं टेट।)) = \ डीफ़्रैक (\ sqrt3) (12) ए ^ 3 \).

प्रमेय

एक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र एपोथेम द्वारा आधार परिधि के आधे उत्पाद के बराबर है।

\ [(\ बड़ा (\ टेक्स्ट (छोटा पिरामिड))) \]

परिभाषा

एक मनमाना पिरामिड \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के किनारे के किनारे पर स्थित एक बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह तल पिरामिड को दो बहुफलकों में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड (\ (PB_1B_2 ... B_n \)) है, और दूसरे को कहा जाता है छोटा पिरामिड(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \))।

काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \ (A_1A_2 ... A_n \) और \ (B_1B_2 ... B_n \), जो एक दूसरे के समान हैं।

काटे गए पिरामिड की ऊंचाई ऊपरी आधार पर किसी बिंदु से निचले आधार के तल तक खींचा गया लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलंब हैं।

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात एक नियमित पिरामिड को काटकर प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड ऊंचाई है।

यहां आप पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी प्राप्त कर सकते हैं। उन सभी को परीक्षा की तैयारी के लिए गणित के ट्यूटर के साथ पढ़ाया जाता है।

एक विमान, एक बहुभुज पर विचार करें इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S इसमें नहीं पड़ा है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से जोड़ें। परिणामी पॉलीहेड्रॉन को पिरामिड कहा जाता है। रेखाखंडों को पार्श्व पसली कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिकोणीय (n = 3), चतुर्भुज (n = 4), पिरामिड (n = 5), आदि कहा जाता है। त्रिकोणीय पिरामिड का एक वैकल्पिक नाम है चतुर्पाश्वीय... पिरामिड की ऊंचाई को लंबवत कहा जाता है, जो इसके शीर्ष से आधार के तल तक कम होता है।

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि एक नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

ट्यूटर टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "सही टेट्राहेड्रोन" की अवधारणा को भ्रमित न करें। एक नियमित पिरामिड में, किनारे के किनारे आधार के किनारों के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में किनारों के सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यह उसकी परिभाषा है। यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का तात्पर्य बहुभुज के केंद्र P के संयोग से है ऊंचाई के आधार के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोथेमा क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व फलक की ऊंचाई है। यदि पिरामिड सही है, तो उसके सभी एपोथेम बराबर हैं। इसका उलट सत्य नहीं है।

अपनी शब्दावली के बारे में गणित में ट्यूटर: पिरामिड के साथ काम 80% दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से बनाया गया है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) एक पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA युक्त

इन त्रिकोणों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित के शिक्षक के लिए उनमें से पहले को कॉल करना अधिक सुविधाजनक होता है एपोथेमिक, और दूसरा तटीय... दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा दर्ज करना होगा।

पिरामिड के आयतन का सूत्र:
1) , पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहाँ है, और पिरामिड की ऊँचाई है
2), उत्कीर्ण गोले की त्रिज्या कहाँ है, और पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों की दूरी है, और चार शेष किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

पिरामिड ऊंचाई आधार संपत्ति:

बिंदु P (आकृति देखें) पिरामिड के आधार पर उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी एपोटेम समान हैं
2) सभी पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई के समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पक्षों के समान रूप से झुकी हुई है

मैथ ट्यूटर कमेंट्री: ध्यान दें कि सभी बिंदुओं में एक समान गुण होता है: एक तरह से या कोई अन्य, हर जगह पार्श्व फलक शामिल होते हैं (एपोथेम्स उनके तत्व हैं)। इसलिए, ट्यूटर कम सटीक, लेकिन याद रखने के निर्माण के लिए अधिक सुविधाजनक प्रदान कर सकता है: बिंदु पी पिरामिड के आधार पर अंकित सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे साबित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी एपोथेमिक त्रिकोण समान हैं।

बिंदु P पिरामिड के आधार के पास वर्णित एक वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है, यदि तीन में से एक स्थिति सत्य है:
1) सभी किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियां आधार की ओर समान रूप से झुकी होती हैं
3) सभी पार्श्व पसलियाँ समान रूप से ऊँचाई की ओर झुकी होती हैं