कोनों में त्रिकोण हैं। त्रिभुज। संपूर्ण पाठ - ज्ञान हाइपरमार्केट

त्रिभुज - परिभाषा और सामान्य अवधारणाएँ

त्रिभुज एक साधारण बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ और कोणों की संख्या समान होती है। इसके तल इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले 3 बिंदुओं और 3 रेखा खंडों द्वारा सीमित हैं।

किसी भी त्रिभुज के सभी शीर्ष, उसके प्रकार की परवाह किए बिना, बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं, और इसके पक्षों को विपरीत शीर्षों के संगत पदनामों द्वारा दर्शाया जाता है, न केवल बड़े अक्षरों में, बल्कि छोटे अक्षरों में। तो, उदाहरण के लिए, ए, बी और सी अक्षरों द्वारा नामित शिखर वाले त्रिभुज में ए, बी, सी पक्ष होते हैं।

यदि हम यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक त्रिकोण पर विचार करते हैं, तो यह एक ऐसी ज्यामितीय आकृति है जो तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों की मदद से बनाई गई है जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं।

ऊपर की तस्वीर को ध्यान से देखिए। इस पर बिंदु A, B और C इस त्रिभुज के शीर्ष हैं और इसके खंड त्रिभुज की भुजाएँ कहलाते हैं। इस बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष इसके अंदर के कोने बनाता है।

त्रिभुजों के प्रकार

आकार के अनुसार, त्रिभुजों के कोण, उन्हें इस प्रकार की किस्मों में विभाजित किया जाता है: आयताकार;
तीव्र-कोण;
मोटे।

आयताकार त्रिभुज वे होते हैं जिनमें एक समकोण होता है, और अन्य दो में न्यून कोण होते हैं।

न्यूनकोण त्रिभुज वे होते हैं जिनमें इसके सभी कोने नुकीले होते हैं।

और यदि किसी त्रिभुज में एक अधिक कोण है, और अन्य दो कोण न्यून हैं, तो ऐसा त्रिभुज अधिक कोणों का होता है।

आप में से प्रत्येक यह भली-भांति समझता है कि सभी त्रिभुजों की भुजाएँ समान नहीं होती हैं। और इसकी भुजाओं की लंबाई के अनुसार त्रिभुजों को विभाजित किया जा सकता है:

समद्विबाहु;
समबाहु;
बहुमुखी।

कार्य: विभिन्न प्रकार के त्रिभुज बनाएं। उन्हें एक परिभाषा दें। आप उनमें क्या अंतर देखते हैं?

त्रिभुजों के मूल गुण

यद्यपि ये साधारण बहुभुज कोणों या भुजाओं के परिमाण में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं, प्रत्येक त्रिभुज में मूल गुण होते हैं जो इस आकृति की विशेषता होते हैं।

किसी भी त्रिभुज में:

इसके सभी कोणों का योग 180º है।
यदि यह समबाहु के अंतर्गत आता है, तो इसका प्रत्येक कोण 60º है।
एक समबाहु त्रिभुज में एक दूसरे के समान और सम कोण होते हैं।
बहुभुज की भुजा जितनी छोटी होगी, उसके विपरीत कोण उतना ही छोटा होगा, और इसके विपरीत, बड़ी भुजा के विपरीत बड़ा कोण होगा।
यदि भुजाएँ समान हैं, तो समान कोण उनके विपरीत स्थित हैं, और इसके विपरीत।
यदि हम एक त्रिभुज लेते हैं और उसकी भुजा बढ़ाते हैं, तो हम एक बाहरी कोने के साथ समाप्त होते हैं। यह आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।
किसी भी त्रिभुज में, इसकी भुजा, चाहे आप किसी भी एक को चुनें, फिर भी अन्य 2 भुजाओं के योग से कम होगी, लेकिन उनके अंतर से अधिक होगी:

1.ए< b + c, a >बी - सी;
2.बी< a + c, b >एसी;
3.सी< a + b, c >ए - बी।

व्यायाम

तालिका त्रिभुज के पहले से ज्ञात दो कोणों को दर्शाती है। सभी कोणों का कुल योग जानने के बाद, त्रिभुज का तीसरा कोण किसके बराबर है और तालिका में दर्ज करें:

1. तीसरे कोण के कितने अंश होते हैं?
2. यह किस प्रकार के त्रिभुजों से संबंधित है?

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

मैं हस्ताक्षर करता हूँ

द्वितीय संकेत

तृतीय संकेत

त्रिभुज की ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका

त्रिभुज की ऊँचाई - आकृति के शीर्ष से उसकी विपरीत भुजा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज की ऊँचाई कहलाता है। त्रिभुज की सभी ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। त्रिभुज की सभी 3 ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु इसका लंबकेन्द्र है।

इस शीर्ष से खींचा गया खंड और इसे विपरीत दिशा के बीच में जोड़ने वाला खंड माध्यिका है। माध्यिकाएँ, साथ ही त्रिभुज की ऊँचाई, में एक समान प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, जिसे त्रिभुज या केन्द्रक के गुरुत्वाकर्षण का तथाकथित केंद्र कहा जाता है।

त्रिभुज का द्विभाजक एक कोण के शीर्ष और विपरीत दिशा में एक बिंदु को जोड़ने वाला एक खंड है, और इस कोण को आधा में विभाजित भी करता है। त्रिभुज के सभी समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र कहते हैं।

त्रिभुज की दोनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले खंड को मध्य रेखा कहते हैं।

ऐतिहासिक संदर्भ

त्रिभुज जैसी आकृति को प्राचीन काल से जाना जाता है। चार हजार साल पहले मिस्र के पपीरी पर इस आकृति और इसके गुणों का उल्लेख किया गया था। थोड़ी देर बाद, पाइथागोरस प्रमेय और हेरॉन के सूत्र के लिए धन्यवाद, त्रिभुज के गुणों का अध्ययन उच्च स्तर पर चला गया, लेकिन फिर भी, यह दो हजार साल पहले हुआ था।

XV-XVI सदियों में, त्रिभुज के गुणों पर कई अध्ययन किए जाने लगे, और परिणामस्वरूप, प्लैनिमेट्री जैसा विज्ञान उत्पन्न हुआ, जिसे "त्रिकोण की नई ज्यामिति" कहा गया।

रूस के एक वैज्ञानिक एन.आई. लोबचेवस्की ने त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान में बहुत बड़ा योगदान दिया। उनके कार्यों को बाद में गणित और भौतिकी और साइबरनेटिक्स दोनों में आवेदन मिला।

त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान के लिए धन्यवाद, त्रिकोणमिति जैसे विज्ञान का उदय हुआ। यह किसी व्यक्ति के लिए उसकी व्यावहारिक आवश्यकताओं के लिए आवश्यक हो गया, क्योंकि इसका उपयोग केवल मानचित्र बनाने, क्षेत्रों को मापने और विभिन्न तंत्रों के डिजाइन में आवश्यक है।

आप सबसे प्रसिद्ध त्रिकोण क्या जानते हैं? यह निश्चित रूप से बरमूडा ट्रायंगल है! इसे 50 के दशक में बिंदुओं की भौगोलिक स्थिति (त्रिकोण के कोने) के कारण प्राप्त हुआ, जिसके भीतर, मौजूदा सिद्धांत के अनुसार, इससे जुड़ी विसंगतियाँ उत्पन्न हुईं। बरमूडा त्रिभुज की चोटियाँ बरमूडा, फ्लोरिडा और प्यूर्टो रिको हैं।

असाइनमेंट: बरमूडा ट्रायंगल के बारे में आपने कौन से सिद्धांत सुने हैं?

और क्या आप जानते हैं कि लोबचेवस्की के सिद्धांत में, त्रिभुज के कोणों को जोड़ने पर, उनके योग का परिणाम हमेशा 180º से कम होता है। रीमैन की ज्यामिति में, त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होता है, और यूक्लिड के लेखन में, यह 180 डिग्री के बराबर होता है।

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पहेली पहेली के लिए प्रश्न:

1. त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में स्थित सीधी रेखा पर खींचे गए लंब का क्या नाम है?
2. आप एक शब्द में त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के योग को कैसे कह सकते हैं?
3. एक त्रिभुज क्या है जिसकी दो भुजाएँ बराबर हैं?
4. उस त्रिभुज का नाम क्या है जिसका कोण 90° है?
5. त्रिभुज की बड़ी भुजा का नाम क्या है?
6. एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा का नाम?
7. किसी भी त्रिभुज में हमेशा तीन होते हैं।
8. उस त्रिभुज का क्या नाम है जिसमें एक कोण 90° से अधिक है?
9. हमारी आकृति के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाले रेखाखंड का नाम?
10. साधारण बहुभुज ABC में, पूंजी A है...?
11. त्रिभुज के कोण को आधे में विभाजित करने वाले खंड का नाम क्या है।

त्रिकोण के बारे में प्रश्न:

1. परिभाषा दीजिए।
2. इसकी कितनी ऊँचाई है?
3. त्रिभुज में कितने समद्विभाजक होते हैं?
4. इसके कोणों का योग क्या है?
5. आप किस प्रकार के इस साधारण बहुभुज को जानते हैं?
6. त्रिभुजों के उन बिन्दुओं के नाम लिखिए जिन्हें अद्भुत कहा जाता है।
7. कोण को मापने के लिए किस उपकरण का उपयोग किया जा सकता है?
8. अगर घड़ी की सूइयां 21 बजे दिखाती हैं। घंटे के हाथों का कोण क्या है?
9. यदि व्यक्ति को "बाईं ओर", "चारों ओर" आदेश दिया जाता है, तो व्यक्ति किस कोण पर मुड़ता है?
10. आप किन अन्य परिभाषाओं को जानते हैं जो तीन कोनों और तीन भुजाओं वाली आकृति से जुड़ी हैं?

विषय> गणित> ग्रेड 7 गणित समकोण त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण

त्रिभुजों के प्रकार

तीन बिंदुओं पर विचार करें जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं, और इन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंड (चित्र 1)।

त्रिभुज इन खण्डों से घिरे समतल का वह भाग होता है, खंड त्रिभुज की भुजाएँ कहलाते हैं, और खंडों के सिरे (तीन बिंदु जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं) त्रिभुज के शीर्ष कहलाते हैं।

तालिका 1 सभी संभावित प्रकार के त्रिभुजों को सूचीबद्ध करती है उनके कोणों के परिमाण के आधार पर .

तालिका 1 - कोणों के आकार के आधार पर त्रिभुजों के प्रकार

चित्रकारी	त्रिभुज प्रकार	परिभाषा
	न्यूनकोण त्रिभुज	के साथ एक त्रिभुज सभी कोने नुकीले हैं , तीव्र कोण कहा जाता है
	सही त्रिकोण	के साथ एक त्रिभुज एक सीधी रेखा के कोनों में से एक , आयताकार . कहा जाता है
	अधिक त्रिभुज	के साथ एक त्रिभुज कोनों में से एक मोटा है , कुंठित . कहा जाता है

न्यूनकोण त्रिभुज

परिभाषा: के साथ एक त्रिभुज सभी कोने नुकीले हैं , तीव्र कोण कहा जाता है

सही त्रिकोण

परिभाषा: के साथ एक त्रिभुज एक सीधी रेखा के कोनों में से एक , आयताकार . कहा जाता है

अधिक त्रिभुज

परिभाषा: के साथ एक त्रिभुज कोनों में से एक मोटा है , कुंठित . कहा जाता है

पक्षों की लंबाई के आधार पर त्रिभुज के दो महत्वपूर्ण प्रकार हैं।

तालिका 2 - समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज

चित्रकारी	त्रिभुज प्रकार	परिभाषा
	समद्विबाहु त्रिकोण	पार्श्व पक्ष, और तीसरी भुजा को समद्विबाहु त्रिभुज का आधार कहा जाता है
	समबाहु (सही)त्रिकोण	जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान हों, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

समद्विबाहु त्रिकोण

परिभाषा: एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर हों समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है। इस स्थिति में, दो समान भुजाएँ कहलाती हैं पार्श्व पक्ष, और तीसरी भुजा को समद्विबाहु त्रिभुज का आधार कहा जाता है

समबाहु (नियमित) त्रिभुज

परिभाषा: जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान हों, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण

त्रिभुज समान कहलाते हैं यदि वे मढ़ा जा सकता है .

तालिका 3 दिखाता है त्रिभुजों के लिए समानता मानदंड.

तालिका 3 - त्रिभुजों की समानता के चिन्ह

चित्रकारी	फ़ीचर का नाम	फ़ीचर फॉर्मूलेशन
	पर दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण
	त्रिभुजों की समानता पर पक्ष और दो आसन्न कोने
	त्रिभुजों की समानता पर तीन पक्ष

त्रिभुजों की समानता दोनों पक्षों और उनके बीच के कोण पर

फ़ीचर फॉर्मूलेशन. यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समान होते हैं

त्रिभुजों की समानता किनारे और दो आसन्न कोनों के साथ

फ़ीचर फॉर्मूलेशन. यदि एक त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और दो आसन्न कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं

त्रिभुजों की समानता तीन तरफ

फ़ीचर फॉर्मूलेशन. यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं

समकोण त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण

समकोण त्रिभुजों की भुजाओं के लिए आमतौर पर निम्नलिखित नामों का उपयोग किया जाता है।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (चित्र 2), अन्य दो भुजाएँ टाँगें कहलाती हैं।

तालिका 4 - समकोण त्रिभुजों की समता के चिह्न

चित्रकारी	फ़ीचर का नाम	फ़ीचर फॉर्मूलेशन
	पर दो पैर
	समकोण त्रिभुजों की समानता पर पैर और आसन्न तीव्र कोण
	समकोण त्रिभुजों की समानता पर पैर और विपरीत तीव्र कोण	यदि एक समकोण त्रिभुज का पैर और विपरीत न्यून कोण क्रमशः दूसरे समकोण त्रिभुज के पैर और विपरीत न्यून कोण के बराबर हों, तो ऐसे समकोण त्रिभुज समान होते हैं
	समकोण त्रिभुजों की समानता पर कर्ण और न्यून कोण	यदि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण और न्यून कोण क्रमशः दूसरे समकोण त्रिभुज के कर्ण और न्यून कोण के बराबर हों, तो ऐसे समकोण त्रिभुज समान होते हैं
	समकोण त्रिभुजों की समानता पर पैर और कर्ण	यदि एक समकोण त्रिभुज का पैर और कर्ण क्रमशः दूसरे समकोण त्रिभुज के पैर और कर्ण के बराबर हों, तो ऐसे समकोण त्रिभुज समान होते हैं

दो पैरों पर समकोण त्रिभुजों की समानता का चिन्ह

फ़ीचर फॉर्मूलेशन. यदि एक समकोण त्रिभुज के दो पैर क्रमशः दूसरे समकोण त्रिभुज के दो पैरों के बराबर हों, तो ऐसे समकोण त्रिभुज बराबर होते हैं

समकोण त्रिभुजों की समानता पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ

फ़ीचर फॉर्मूलेशन. यदि एक समकोण त्रिभुज का टांग और आसन्न न्यून कोण क्रमशः दूसरे समकोण त्रिभुज के पैर और आसन्न न्यून कोण के बराबर हों, तो ऐसे समकोण त्रिभुज बराबर होते हैं

समकोण त्रिभुजों की समानता पैर के साथ और विपरीत तीव्र कोण

मानक पदनाम

शीर्षों वाला त्रिभुज ए, बीतथा सीके रूप में दर्शाया गया है (अंजीर देखें।) त्रिभुज में तीन भुजाएँ होती हैं:

त्रिभुज के किनारों की लंबाई लोअरकेस लैटिन अक्षरों (ए, बी, सी) द्वारा इंगित की जाती है:

त्रिभुज में निम्नलिखित कोण होते हैं:

संबंधित शीर्षों पर कोणों को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षरों (α, β, γ) द्वारा निरूपित किया जाता है।

त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण

यूक्लिडियन तल पर एक त्रिभुज को मूल तत्वों के निम्नलिखित त्रिगुणों द्वारा विशिष्ट रूप से (सर्वांगसमता तक) निर्धारित किया जा सकता है:

1. ए, बी, (दो पक्षों पर समानता और उनके बीच स्थित कोण);
2. ए, β, (पक्ष और दो आसन्न कोणों में समानता);
3. ए, बी, सी (तीन तरफ समानता)।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

1. पैर और कर्ण के साथ;
2. दो पैरों पर;
3. पैर और तेज कोने के साथ;
4. कर्ण और न्यून कोण से।

त्रिभुज में कुछ बिंदु "युग्मित" हैं। उदाहरण के लिए, दो बिंदु हैं जिनसे सभी पक्ष या तो 60 ° या 120 ° पर दिखाई देते हैं। उन्हें कहा जाता है टोरिसेली अंक... ऐसे दो बिंदु भी हैं जिनकी भुजाओं के प्रक्षेपण एक नियमित त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित हैं। यह - अपोलोनियस अंक... अंक और जैसे कहलाते हैं ब्रोकार्ड अंक.

सीधे

किसी भी त्रिभुज में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, लंबकेन्द्र और परिबद्ध वृत्त का केंद्र एक सीधी रेखा पर स्थित होता है, जिसे कहा जाता है यूलर की सीधी रेखा.

परिबद्ध वृत्त के केंद्र और लेमोइन बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है ब्रोकार्ड अक्ष... अपोलोनियस के बिंदु इस पर स्थित हैं। साथ ही, Torricelli बिंदु और Lemoine बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। किसी त्रिभुज के कोणों के बाह्य समद्विभाजक के आधार एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बाहरी द्विभाजक की धुरी... त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के साथ समकोण त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु भी एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। इस लाइन को कहा जाता है ऑर्थोसेंट्रिक अक्ष, यह यूलर रेखा के लंबवत है।

यदि हम किसी त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त पर एक बिंदु लेते हैं, तो त्रिभुज की भुजाओं पर उसका प्रक्षेपण एक सीधी रेखा पर होगा, जिसे कहा जाता है सिमसन का सीधाइस बिंदु। सिमसन के व्यास के विपरीत बिंदुओं की रेखाएं लंबवत हैं।

त्रिभुज

• किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से खींचे गए चीवियों के आधार पर शिखर वाले त्रिभुज को कहा जाता है चीवियन त्रिकोणइस बिंदु।
• एक त्रिभुज जिसकी भुजाओं पर दिए गए बिंदु के प्रक्षेपणों में शीर्ष होते हैं, कहलाते हैं चालाकीपूर्णया पेडल त्रिकोणइस बिंदु।
• शीर्षों के माध्यम से खींची गई सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदुओं पर शीर्षों पर त्रिभुज और यह बिंदु, परिबद्ध वृत्त के साथ, कहलाता है गोलाकार चेवियन त्रिभुज... परिधि-चेवियन त्रिभुज पॉडडर्नी के समान है।

मंडलियां

• अंकित वृत्त- त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर स्पर्शरेखा वाला वृत्त। वह अकेली है। उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र को कहते हैं इन्सेंट्रम.
• परिचालित वृत्त- त्रिभुज के तीनों शीर्षों से गुजरने वाला एक वृत्त। परिचालित वृत्त भी अद्वितीय है।
• बहिवृत्त- त्रिभुज की एक भुजा की स्पर्श रेखा और अन्य दो भुजाओं की निरंतरता। एक त्रिभुज में ऐसे तीन वृत्त होते हैं। इनका मूलक केंद्र माध्यिका त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होता है, जिसे कहा जाता है स्पाइकर की बात.

त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिंदु, इसकी तीन ऊँचाइयों के आधार और इसके शीर्षों को लंबकेन्द्र से जोड़ने वाले तीन खंडों के मध्य बिंदु, एक वृत्त पर स्थित होते हैं, जिन्हें कहा जाता है नौ बिंदुओं का एक चक्रया यूलर का चक्र... नौ बिंदुओं वाले वृत्त का केंद्र यूलर रेखा पर स्थित होता है। नौ बिंदुओं का वृत्त अंतःवृत्त और तीन पूर्व-बिंदुओं को स्पर्श करता है। खुदा हुआ वृत्त और नौ-बिंदु वाले वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहलाता है फ़्यूअरबैक पॉइंट... यदि, प्रत्येक शीर्ष से, हम त्रिभुज के बाहरी भाग को भुजाओं वाली सीधी रेखाओं पर, विपरीत भुजाओं की लंबाई के बराबर ऑर्थोसिस बिछाते हैं, तो परिणामी छह बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं - कॉनवे का चक्र... किसी भी त्रिभुज में तीन वृत्त इस प्रकार अंकित किए जा सकते हैं कि उनमें से प्रत्येक त्रिभुज की दो भुजाओं और दो अन्य वृत्तों को स्पर्श करे। ऐसे वृत्त कहलाते हैं मंडलियां मालफट्टी... छह त्रिभुजों के परिबद्ध वृत्तों के केंद्र, जिनमें त्रिभुज को माध्यिकाओं द्वारा विभाजित किया जाता है, एक वृत्त पर स्थित होते हैं, जिसे कहते हैं लामुन का चक्र.

एक त्रिभुज में तीन वृत्त होते हैं जो त्रिभुज की दो भुजाओं और परिवृत्त को स्पर्श करते हैं। ऐसे वृत्त कहलाते हैं आधा लिखाया वेरियर सर्कल... वेरिएर सर्कल के स्पर्शरेखा बिंदुओं को परिचालित वृत्त से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं वेरियर पॉइंट... यह समरूपता के केंद्र के रूप में कार्य करता है, जो परिवृत्त को एक उत्कीर्ण वृत्त में बदल देता है। वेरिएर सर्कल के पक्षों के साथ स्पर्शरेखा बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं जो खुदा हुआ सर्कल के केंद्र से होकर गुजरता है।

उत्कीर्ण वृत्त की स्पर्शरेखा के बिंदुओं को शीर्षों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं प्वाइंट गेर्गोन, और वृत्तों की स्पर्शरेखा के बिंदुओं के साथ शीर्षों को जोड़ने वाले खंड में हैं बिंदु नागेल.

दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय

खुदा हुआ शंकु (दीर्घवृत्त) और उसका दृष्टिकोण

एक त्रिभुज में अनंत संख्या में शंकु (दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) अंकित किए जा सकते हैं। यदि आप एक मनमाना शंकु को एक त्रिभुज में अंकित करते हैं और स्पर्शरेखा के बिंदुओं को विपरीत शीर्षों से जोड़ते हैं, तो परिणामी सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे कहा जाता है परिप्रेक्ष्यशंकु समतल के किसी भी बिंदु के लिए जो किनारे पर या उसके विस्तार पर नहीं है, इस बिंदु पर एक परिप्रेक्ष्य के साथ एक खुदा हुआ शंकु है।

स्टीनर और शेवियनों का वर्णित दीर्घवृत्त उनके फोकस से गुजर रहा है

एक दीर्घवृत्त को एक त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है जो बीच में भुजाओं को स्पर्श करता है। ऐसे दीर्घवृत्त को कहते हैं खुदा स्टीनर दीर्घवृत्त(इसका परिप्रेक्ष्य त्रिभुज केन्द्रक होगा)। वर्णित दीर्घवृत्त, जो भुजाओं के समांतर शीर्षों से गुजरने वाली रेखाओं को स्पर्श करता है, कहलाता है स्टीनर दीर्घवृत्त द्वारा वर्णित... यदि एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन ("स्क्यू") द्वारा एक त्रिकोण को नियमित रूप से बदल दिया जाता है, तो इसका खुदा हुआ और परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त खुदा हुआ और परिचालित सर्कल में चला जाएगा। वर्णित स्टीनर अंडाकार (स्कुटिन अंक) के फॉसी के माध्यम से तैयार किए गए चेवियन बराबर हैं (स्कुटिन के प्रमेय)। सभी वर्णित दीर्घवृत्तों में, वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे छोटा है, और सभी उत्कीर्ण दीर्घवृत्तों में, उत्कीर्ण स्टीनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है।

ब्रोकार्ड का दीर्घवृत्त और उसका दृष्टिकोण - लेमोइन बिंदु

ब्रोकार्ड बिंदुओं पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त कहलाता है ब्रोकार्ड का दीर्घवृत्त... लेमोइन बिंदु इसके परिप्रेक्ष्य के रूप में कार्य करता है।

अंकित परवलय गुण

परबोला किपर्ट

उत्कीर्ण परवलयों के दृष्टिकोण वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त पर स्थित हैं। खुदा हुआ परवलय का फोकस परिवृत्त पर होता है, और डायरेक्ट्रिक्स ऑर्थोसेंटर से होकर गुजरता है। एक त्रिभुज में अंकित एक परवलय जिसमें यूलर की रेखा एक डायरेक्ट्रिक्स के रूप में होती है, कहलाती है कीपर्ट परवलय... इसका परिप्रेक्ष्य परिचालित वृत्त और परिबद्ध स्टेनर दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन का चौथा बिंदु है, जिसे कहा जाता है स्टेनर पॉइंट.

किपर्ट का अतिशयोक्ति

यदि वर्णित हाइपरबोला ऊंचाइयों के चौराहे के बिंदु से गुजरता है, तो यह समबाहु है (अर्थात इसके स्पर्शोन्मुख लंबवत हैं)। समबाहु अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन बिंदु नौ बिंदुओं के वृत्त पर स्थित होता है।

परिवर्तनों

यदि शीर्षों से गुजरने वाली सीधी रेखाएं और कुछ बिंदु जो भुजाओं पर न हों और उनके विस्तार संबंधित समद्विभाजक के सापेक्ष परावर्तित हों, तो उनके प्रतिबिम्ब भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे, जिसे कहते हैं समकोणीय संयुग्मीमूल (यदि बिंदु परिचालित वृत्त पर स्थित है, तो परिणामी रेखाएँ समानांतर होंगी)। उल्लेखनीय बिंदुओं के कई जोड़े समकोणीय रूप से संयुग्मित होते हैं: परिबद्ध वृत्त का केंद्र और ऑर्थोसेंटर, सेंट्रोइड और लेमोइन का बिंदु, ब्रोकार्ड के बिंदु। अपोलोनियस अंक समकोणिक रूप से टोरिसेली बिंदुओं के साथ संयुग्मित होते हैं, और खुदा हुआ चक्र का केंद्र समस्थानिक रूप से अपने आप में संयुग्मित होता है। आइसोगोनल संयुग्मन की कार्रवाई के तहत, सीधी रेखाएं वर्णित शंकुओं में गुजरती हैं, और वर्णित शंकु - सीधी रेखाओं में। तो, किपर्ट हाइपरबोला और ब्रोकार्ड अक्ष, एनज़बेक हाइपरबोला और यूलर लाइन, फ़्यूअरबैक हाइपरबोला और परिचालित सर्कल के बारे में खुदा के केंद्रों की रेखा आइसोगोनली संयुग्मित हैं। समद्विबाहु संयुग्म बिंदुओं के हाइपोडर्मिक त्रिभुजों के परिचालित वृत्त मेल खाते हैं। उत्कीर्ण दीर्घवृत्त के फोकस समकोणीय रूप से संयुग्मित होते हैं।

यदि, एक सममित चेवियाना के बजाय, हम एक चेवियाना लेते हैं, जिसका आधार मूल के आधार के समान ही पक्ष के बीच से हटा दिया जाता है, तो ऐसे चीवियन भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। परिणामी परिवर्तन कहा जाता है समस्थानिक संयुग्मन... यह सीधी रेखाओं को भी वर्णित शांकवों में बदल देता है। Gergonne और Nagel के बिंदु आइसोटोमिक रूप से संयुग्मित हैं। एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन के तहत, आइसोटोमिकली कॉन्जुगेट पॉइंट्स को आइसोटोमिकली कॉन्जुगेट पॉइंट्स में बदल दिया जाता है। समस्थानिक संयुग्मन के साथ, वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त असीम रूप से दूर की रेखा पर जाएगा।

यदि परिचालित वृत्त से त्रिभुज की भुजाओं द्वारा काटे गए खंडों में, हम एक निश्चित बिंदु के माध्यम से खींची गई चीवियों के आधार पर पक्षों की स्पर्शरेखा को वृत्तों में अंकित करते हैं, और फिर इन वृत्तों की स्पर्शरेखा के बिंदुओं को परिबद्ध वृत्त से जोड़ते हैं विपरीत शीर्षों के साथ, तो ऐसी सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। परिणामी बिंदु से मूल बिंदु से मेल खाने वाले समतल का परिवर्तन कहलाता है आइसो-सर्कुलर ट्रांसफॉर्मेशन... आइसोगोनल और आइसोटोमिक संयुग्मन रचना स्वयं के साथ आइसोकिरकुलर परिवर्तन संरचना है। यह रचना एक प्रक्षेपी परिवर्तन है जो त्रिभुज के किनारों को जगह में छोड़ देता है, और बाहरी द्विभाजक की धुरी को एक असीम रूप से दूर की सीधी रेखा में बदल देता है।

यदि हम किसी बिंदु के चेवियन त्रिभुज की भुजाओं को जारी रखते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को संगत भुजाओं के साथ लेते हैं, तो प्राप्त प्रतिच्छेदन बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे, जिसे कहा जाता है त्रिरेखीय ध्रुवीयप्रस्थान बिंदू। ऑर्थोसेन्ट्रिक अक्ष - ऑर्थोसेंटर का त्रिरेखीय ध्रुवीय; बाहरी द्विभाजक की धुरी उत्कीर्ण वृत्त केंद्र के त्रिरेखीय ध्रुवीय के रूप में कार्य करती है। एक बिंदु पर परिचालित शंकु प्रतिच्छेद पर स्थित बिंदुओं के त्रिरेखीय ध्रुव (परिक्रमित वृत्त के लिए यह लेमोइन बिंदु है, परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त के लिए - केन्द्रक)। एक आइसोगोनल (या आइसोटोमिक) संयुग्म और एक त्रिरेखीय ध्रुवीय की संरचना द्वैत का परिवर्तन है (यदि एक बिंदु समस्थानिक (आइसोटोमिक रूप से) एक बिंदु के लिए एक बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुवीय पर स्थित है, तो एक बिंदु का एक त्रिरेखीय ध्रुवीय आइसोगोनली (आइसोटोमिक रूप से) ) एक संयुग्म बिंदु के लिए एक बिंदु के एक त्रिरेखीय ध्रुवीय पर स्थित है)।

क्यूब्स

त्रिकोण में संबंध

ध्यान दें:इस खंड में, त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ हैं, और, इन तीनों भुजाओं (विपरीत कोणों) के विपरीत क्रमशः कोण हैं।

असमानित त्रिकोण

एक गैर-पतित त्रिभुज में, इसकी दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है, एक पतित त्रिभुज में यह बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ निम्नलिखित असमानताओं से संबंधित हैं:

त्रिभुज असमानता मीट्रिक के स्वयंसिद्धों में से एक है।

त्रिभुज के कोणों का योग

ज्या प्रमेय

,

जहाँ R त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है। यह प्रमेय से इस प्रकार है कि यदि a< b < c, то α < β < γ.

कोसाइन प्रमेय

स्पर्शरेखा प्रमेय

अन्य अनुपात

त्रिभुज में मीट्रिक अनुपात निम्न के लिए दिए गए हैं:

त्रिभुजों को हल करना

ज्ञात पक्षों के आधार पर अज्ञात पक्षों और त्रिभुज के कोणों की गणना को ऐतिहासिक रूप से "त्रिभुजों का समाधान" नाम मिला है। इस मामले में, उपरोक्त सामान्य त्रिकोणमितीय प्रमेयों का उपयोग किया जाता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

विशेष मामले पदनाम

निम्नलिखित असमानताएँ क्षेत्र के लिए मान्य हैं:

सदिशों का उपयोग करके अंतरिक्ष में त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना

माना त्रिभुज के शीर्ष बिन्दुओं पर हैं,,।

आइए क्षेत्र वेक्टर का परिचय दें। इस सदिश की लंबाई त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, और इसे त्रिभुज के तल की ओर सामान्य दिशा में निर्देशित किया जाता है:

हम डालते हैं, कहाँ, - निर्देशांक विमानों पर त्रिभुज का प्रक्षेपण। जिसमें

और इसी तरह

त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

एक विकल्प यह है कि भुजाओं की लंबाई की गणना की जाए (पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार) और फिर हेरॉन के सूत्र के अनुसार।

त्रिभुज प्रमेय

Desargues की प्रमेय: यदि दो त्रिभुज परिप्रेक्ष्य हैं (त्रिभुजों के संबंधित शीर्षों से गुजरने वाली सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं), तो उनकी संबंधित भुजाएँ एक सीधी रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं।

सोंडा की प्रमेय: यदि दो त्रिभुज परिप्रेक्ष्य और ऑर्थोलॉजिक हैं (लंबवत एक त्रिभुज के कोने से त्रिभुज के संगत शीर्षों के विपरीत पक्षों पर गिराए गए हैं, और इसके विपरीत), तो ऑर्थोलॉजी के दोनों केंद्र (इन लंबवत के चौराहे के बिंदु) और केंद्र परिप्रेक्ष्य की एक सीधी रेखा पर स्थित होती है जो परिप्रेक्ष्य अक्ष के लंबवत होती है (देसर्गेस प्रमेय से सीधी रेखा)।

स्कूल में पढ़ाया जाने वाला सबसे सरल बहुभुज त्रिभुज है। यह छात्रों के लिए अधिक समझ में आता है और इसमें कम कठिनाइयाँ होती हैं। इस तथ्य के बावजूद कि विभिन्न प्रकार के त्रिभुज हैं जिनमें विशेष गुण हैं।

त्रिभुज किसे कहते हैं?

तीन बिंदुओं और रेखाखंडों द्वारा निर्मित। पूर्व को शिखर कहा जाता है, बाद वाले को पक्ष कहा जाता है। इसके अलावा, सभी तीन खंडों को जोड़ा जाना चाहिए ताकि उनके बीच कोने बन जाएं। इसलिए आकृति का नाम "त्रिकोण"।

कॉर्नर नामकरण मतभेद

चूँकि वे नुकीले, कुंद और सीधे हो सकते हैं, इसलिए इन नामों से त्रिभुजों के प्रकार निर्धारित होते हैं। तदनुसार, ऐसे आंकड़ों के तीन समूह हैं।

• प्रथम। यदि किसी त्रिभुज के सभी कोने न्यूनकोण हों, तो उसका नाम न्यूनकोण होगा। सब कुछ तार्किक है।

• दूसरा। कोनों में से एक अधिक है, इसलिए त्रिभुज अधिक है। यह आसान नहीं हो सकता।

• तीसरा। इसमें 90 अंश का कोण होता है, जिसे समकोण कहते हैं। त्रिभुज आयताकार हो जाता है।

पक्षों के नामों में अंतर

भुजाओं की विशेषताओं के आधार पर, निम्न प्रकार के त्रिभुजों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

सामान्य मामला बहुमुखी है, जिसमें सभी पक्षों की मनमानी लंबाई होती है;

समद्विबाहु, जिसके दो पक्ष समान संख्यात्मक मान रखते हैं;

समबाहु, इसकी सभी भुजाओं की लंबाई समान है।

यदि कार्य एक विशिष्ट प्रकार के त्रिभुज को इंगित नहीं करता है, तो आपको एक मनमाना बनाने की आवश्यकता है। जिसमें सभी कोने नुकीले होते हैं, और भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है।

सभी त्रिभुजों के लिए सामान्य गुण

1. यदि आप त्रिभुज के सभी कोणों को जोड़ दें, तो आपको 180º के बराबर एक संख्या प्राप्त होती है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह किस तरह का है। यह नियम हमेशा लागू होता है।
2. त्रिभुज की दोनों भुजाओं का संख्यात्मक मान अन्य दो को एक साथ जोड़ने से कम है। इसके अलावा, यह उनके अंतर से अधिक है।
3. प्रत्येक बाहरी कोने का एक मान होता है जो दो आंतरिक कोनों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जो इससे सटे नहीं होते हैं। इसके अलावा, यह हमेशा आसन्न आंतरिक से अधिक होता है।
4. सबसे छोटा कोना हमेशा त्रिभुज की छोटी भुजा के विपरीत होता है। इसके विपरीत, यदि भुजा बड़ी है, तो कोण सबसे बड़ा होगा।

ये गुण हमेशा सत्य होते हैं, चाहे समस्याओं में किसी भी प्रकार के त्रिभुजों को क्यों न माना जाए। अन्य सभी विशिष्ट विशेषताओं से अनुसरण करते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज गुण

• आधार से सटे कोण बराबर होते हैं।
• आधार तक खींची गई ऊँचाई भी माध्यिका और समद्विभाजक होती है।
• त्रिभुज की भुजाओं पर अंकित ऊँचाई, माध्यिकाएँ और समद्विभाजक क्रमशः एक दूसरे के बराबर होते हैं।

समबाहु त्रिभुज गुण

यदि ऐसी कोई आकृति है, तो थोड़ा ऊपर वर्णित सभी गुण सत्य होंगे। क्योंकि एक समबाहु हमेशा समद्विबाहु होता है। लेकिन इसके विपरीत नहीं, एक समद्विबाहु त्रिभुज का समबाहु होना आवश्यक नहीं है।

• इसके सभी कोण एक दूसरे के बराबर हैं और इनका मान 60º है।
• समबाहु त्रिभुज की कोई भी माध्यिका उसकी ऊँचाई और समद्विभाजक होती है। इसके अलावा, वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं। उनके मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, एक सूत्र है जिसमें पक्ष का गुणनफल और 3 का वर्गमूल होता है, जिसे 2 से विभाजित किया जाता है।

समकोण त्रिभुज गुण

• दो न्यून कोणों का योग 90º तक होता है।
• कर्ण की लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है।
• कर्ण तक खींची गई माध्यिका का संख्यात्मक मान उसके आधे के बराबर होता है।
• यदि पैर 30º के कोण के विपरीत स्थित हो तो पैर उसी मान के बराबर होता है।
• ऊँचाई, जो ऊपर से 90º के मान के साथ खींची जाती है, की पैरों पर एक निश्चित गणितीय निर्भरता होती है: 1 / n 2 = 1 / a 2 + 1 / 2 में। यहां: ए, बी - पैर, एन - ऊंचाई।

विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों की समस्या

# 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया गया है। इसका परिमाप ज्ञात है और 90 सेमी के बराबर है इसकी भुजाओं को जानना आवश्यक है। एक अतिरिक्त शर्त के रूप में: पार्श्व पक्ष आधार से 1.2 गुना कम है।

परिधि का मूल्य सीधे उन मूल्यों पर निर्भर करता है जिन्हें आपको खोजने की आवश्यकता है। तीनों भुजाओं का योग 90 सेमी देगा।अब आपको एक त्रिभुज का चिन्ह याद रखना होगा जिसके साथ यह समद्विबाहु है। यानी दोनों पक्ष बराबर हैं। आप दो अज्ञात के साथ एक समीकरण बना सकते हैं: 2a + b = 90. यहाँ a भुजा है, b आधार है।

अतिरिक्त शर्त की बारी आ गई है। इसके बाद, दूसरा समीकरण प्राप्त होता है: в = 1.2а। आप इस अभिव्यक्ति को पहले वाले में बदल सकते हैं। यह पता चला है: 2a + 1.2a = 90. परिवर्तनों के बाद: 3.2a = 90. इसलिए a = 28.125 (cm)। अब आधार का पता लगाना आसान है। दूसरी शर्त से ऐसा करना सबसे अच्छा है: एच = 1.2 * 28.125 = 33.75 (सेमी)।

जाँच करने के लिए, आप तीन मान जोड़ सकते हैं: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (सेमी)। सब कुछ सही है।

उत्तर: त्रिभुज की भुजाएँ 28.125 सेमी, 28.125 सेमी, 33.75 सेमी हैं।

नंबर 2. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। आपको इसकी ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है।

समाधान। उत्तर खोजने के लिए, उस क्षण पर लौटने के लिए पर्याप्त है जहां त्रिभुज के गुणों का वर्णन किया गया था। यह एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक ज्ञात करने का सूत्र है।

n = a * 3 / 2, जहाँ n ऊँचाई है और a भुजा है।

प्रतिस्थापन और गणना निम्नलिखित परिणाम देते हैं: n = 6 3 (सेमी)।

इस फॉर्मूले को याद रखने की जरूरत नहीं है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि ऊंचाई त्रिभुज को दो आयताकारों में विभाजित करती है। इसके अलावा, यह एक पैर निकला, और इसमें कर्ण मूल का पक्ष है, दूसरा पैर ज्ञात पक्ष का आधा है। अब आपको पाइथागोरस प्रमेय को लिखने और ऊंचाई के लिए एक सूत्र प्राप्त करने की आवश्यकता है।

उत्तर: ऊंचाई 6 3 सेमी है।

क्रम 3। Dan MKR एक त्रिभुज है, 90 डिग्री जिसमें कोण K बनाता है। MR और KR की भुजाएँ ज्ञात हैं, वे क्रमशः 30 और 15 सेमी के बराबर हैं। कोण P का मान ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान। यदि आप एक चित्र बनाते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि MP एक कर्ण है। इसके अलावा, यह केआर के पैर से दोगुना बड़ा है। फिर से हमें गुणों को संदर्भित करने की आवश्यकता है। उनमें से एक का संबंध कोणों से है। इससे स्पष्ट है कि सीएमआर का कोण 30º है। इसका अर्थ है कि अभीष्ट कोण P 60º के बराबर होगा। यह एक अन्य गुण से निकलता है, जिसमें कहा गया है कि दो न्यून कोणों का योग 90º के बराबर होना चाहिए।

उत्तर: कोण P 60º है।

संख्या 4. एक समद्विबाहु त्रिभुज के सभी कोने ज्ञात कीजिए। उसके बारे में यह ज्ञात है कि आधार पर कोण से बाह्य कोण 110º है।

समाधान। चूंकि केवल बाहरी कोना दिया गया है, इसलिए इसका उपयोग किया जाना चाहिए। यह एक आंतरिक कोने के साथ एक खुला हुआ बनाता है। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर वे 180º देंगे। अर्थात् त्रिभुज के आधार पर कोण 70º होगा। चूंकि यह समद्विबाहु है, इसलिए दूसरे कोण का एक ही अर्थ है। यह तीसरे कोण की गणना करने के लिए बनी हुई है। सभी त्रिभुजों के उभयनिष्ठ गुण से, कोणों का योग 180º होता है। इसका मतलब है कि तीसरे को 180º - 70º - 70º = 40º के रूप में परिभाषित किया जाएगा।

उत्तर: कोण 70º, 70º, 40º के बराबर हैं।

पाँच नंबर। यह ज्ञात है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के सम्मुख कोण 90º होता है। आधार पर एक बिंदु अंकित है। इसे समकोण से जोड़ने वाला खंड इसे 1 से 4 के अनुपात में विभाजित करता है। आपको छोटे त्रिभुज के सभी कोणों को जानना होगा।

समाधान। कोनों में से एक को तुरंत पहचाना जा सकता है। चूंकि त्रिभुज आयताकार और समद्विबाहु है, जो इसके आधार पर स्थित होंगे वे 45º, यानी 90º / 2 होंगे।

उनमें से दूसरा स्थिति में ज्ञात संबंध को खोजने में मदद करेगा। चूँकि यह 1 से 4 के बराबर है, इसलिए इसे जिन भागों में विभाजित किया गया है, वे केवल 5 हैं। इसलिए, त्रिभुज का छोटा कोण ज्ञात करने के लिए, आपको 90º/5 = 18º की आवश्यकता है। तीसरे का पता लगाना बाकी है। ऐसा करने के लिए, 180º (त्रिभुज के सभी कोणों का योग) में से 45º और 18º घटाएं। गणना सरल है, और आपको मिलता है: 117º।