साइन कोसाइन टेन्जेंट कोटैंजेंट किसके बराबर होता है? साइन और कोसाइन क्या हैं

साइन और कोसाइन मूल रूप से समकोण त्रिभुजों में मात्राओं की गणना करने की आवश्यकता से उत्पन्न हुए। यह देखा गया कि यदि किसी समकोण त्रिभुज में कोणों की डिग्री माप नहीं बदली जाती है, तो पहलू अनुपात, चाहे इन भुजाओं की लंबाई में कितना भी परिवर्तन हो, हमेशा वही रहता है।

इस प्रकार साइन और कोसाइन की अवधारणाएँ पेश की गईं। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है, और कोज्या कर्ण के आसन्न भुजा का अनुपात है।

कोज्या और ज्या के प्रमेय

लेकिन कोसाइन और साइन का उपयोग केवल समकोण त्रिभुजों से अधिक के लिए किया जा सकता है। किसी त्रिभुज के अधिक कोण या न्यून कोण या भुजा का मान ज्ञात करने के लिए, कोसाइन और साइन के प्रमेय को लागू करना पर्याप्त है।

कोज्या प्रमेय काफी सरल है: "त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें उन भुजाओं के गुणनफल का दोगुना और उनके बीच के कोण की कोज्या को घटाया जाता है।"

साइन प्रमेय की दो व्याख्याएँ हैं: छोटी और विस्तारित। नाबालिग के अनुसार: "एक त्रिभुज में, कोण विपरीत भुजाओं के समानुपाती होते हैं।" इस प्रमेय को अक्सर त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त के गुण के कारण विस्तारित किया जाता है: "एक त्रिभुज में, कोण विपरीत भुजाओं के समानुपाती होते हैं, और उनका अनुपात परिबद्ध वृत्त के व्यास के बराबर होता है।"

संजात

व्युत्पन्न एक गणितीय उपकरण है जो दर्शाता है कि कोई फ़ंक्शन अपने तर्क में परिवर्तन के सापेक्ष कितनी तेज़ी से बदलता है। डेरिवेटिव का उपयोग ज्यामिति और कई तकनीकी विषयों में किया जाता है।

समस्याओं को हल करते समय, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्नों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानना होगा: साइन और कोसाइन। साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है, और कोसाइन एक साइन है, लेकिन एक ऋण चिह्न के साथ।

गणित में अनुप्रयोग

हल करते समय साइन और कोसाइन का विशेष रूप से अक्सर उपयोग किया जाता है समकोण त्रिभुजऔर उनसे जुड़े कार्य।

साइन और कोसाइन की सुविधा प्रौद्योगिकी में भी परिलक्षित होती है। जटिल आकृतियों और वस्तुओं को "सरल" त्रिकोणों में तोड़कर, कोसाइन और साइन प्रमेय का उपयोग करके कोणों और भुजाओं का मूल्यांकन करना आसान था। जो इंजीनियर अक्सर पहलू अनुपात और डिग्री माप की गणना करते हैं, उन्होंने गैर-सारणीबद्ध कोणों की कोसाइन और साइन की गणना करने में बहुत समय और प्रयास खर्च किया।

तब ब्रैडिस तालिकाएँ बचाव के लिए आईं, जिनमें विभिन्न कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के हजारों मूल्य शामिल थे। में सोवियत कालकुछ शिक्षकों ने अपने छात्रों को ब्रैडिस तालिकाओं के पन्ने याद करने के लिए मजबूर किया।

रेडियन एक चाप का कोणीय मान है जिसकी लंबाई त्रिज्या या 57.295779513° डिग्री के बराबर होती है।

डिग्री (ज्यामिति में) - वृत्त का 1/360वाँ भाग या समकोण का 1/90वाँ भाग।

π = 3.141592653589793238462… (पीआई का अनुमानित मान)।

कोणों के लिए कोसाइन तालिका: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

कोण x (डिग्री में)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
कोण x (रेडियन में)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 एक्स π
क्योंकि x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

साइन कैसे खोजें?

ज्यामिति का अध्ययन सोच विकसित करने में मदद करता है। यह विषय स्कूली प्रशिक्षण में आवश्यक रूप से शामिल है। रोजमर्रा की जिंदगी में, इस विषय का ज्ञान उपयोगी हो सकता है - उदाहरण के लिए, एक अपार्टमेंट की योजना बनाते समय।

इतिहास से

ज्यामिति पाठ्यक्रम में त्रिकोणमिति भी शामिल है, जो त्रिकोणमितीय कार्यों का अध्ययन करता है। त्रिकोणमिति में हम कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा और कोट स्पर्श रेखा का अध्ययन करते हैं।

लेकिन पर इस पलआइए सबसे सरल चीज़ से शुरू करें - साइन। आइए सबसे पहली अवधारणा पर करीब से नज़र डालें - ज्यामिति में एक कोण की ज्या। साइन क्या है और इसे कैसे खोजें?

"साइन कोण" और साइनसोइड्स की अवधारणा

किसी कोण की ज्या एक समकोण त्रिभुज की विपरीत भुजा और कर्ण के मान का अनुपात है। यह एक सीधा त्रिकोणमितीय फलन है, जिसे "sin (x)" के रूप में लिखा जाता है, जहां (x) त्रिभुज का कोण है।

ग्राफ़ पर, किसी कोण की ज्या को अपनी विशेषताओं के साथ एक ज्या तरंग द्वारा दर्शाया जाता है। साइन तरंग एक सतत लहरदार रेखा की तरह दिखती है जो समन्वय तल पर कुछ सीमाओं के भीतर स्थित होती है। फ़ंक्शन विषम है, इसलिए यह निर्देशांक तल पर 0 के बारे में सममित है (यह निर्देशांक की उत्पत्ति से निकलता है)।

इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पर -1 से +1 तक की सीमा में है। ज्या कोण फलन की अवधि 2 Pi है। इसका मतलब है कि हर 2 पाई में पैटर्न दोहराता है और साइन तरंग एक पूर्ण चक्र से गुजरती है।

साइन तरंग समीकरण

• पाप x = ए/सी
• जहां a त्रिभुज के कोण के विपरीत पैर है
• सी - एक समकोण त्रिभुज का कर्ण

किसी कोण की ज्या के गुण

1. पाप(x) = - पाप(x). यह सुविधा दर्शाती है कि फ़ंक्शन सममित है, और यदि x और (-x) मान दोनों दिशाओं में समन्वय प्रणाली पर प्लॉट किए जाते हैं, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक विपरीत होंगे। वे एक-दूसरे से समान दूरी पर होंगे।
2. इस फ़ंक्शन की एक अन्य विशेषता यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ खंड [- P/2 + 2 Pn] पर बढ़ता है; [पी/2 + 2पीएन], जहां एन कोई पूर्णांक है। कोण की ज्या के ग्राफ में कमी खंड पर देखी जाएगी: [पी/2 + 2पीएन]; [3पी/2 + 2पीएन]।
3. पाप(x) > 0 जब x (2Пn, П + 2Пn) की सीमा में हो
4. (एक्स)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

कोण की ज्याओं का मान विशेष तालिकाओं का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। जटिल सूत्रों और समीकरणों की गणना की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए ऐसी तालिकाएँ बनाई गई हैं। इसका उपयोग करना आसान है और इसमें न केवल पाप (x) फ़ंक्शन के मान शामिल हैं, बल्कि अन्य फ़ंक्शन के मान भी शामिल हैं।

इसके अलावा, इन कार्यों के मानक मूल्यों की एक तालिका गुणन तालिका की तरह अनिवार्य स्मृति अध्ययन में शामिल है। यह भौतिक और गणितीय पूर्वाग्रह वाली कक्षाओं के लिए विशेष रूप से सच है। तालिका में आप त्रिकोणमिति में प्रयुक्त मुख्य कोणों के मान देख सकते हैं: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 और 360 डिग्री।

गैर-मानक कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को परिभाषित करने वाली एक तालिका भी है। लाभ उठा अलग-अलग टेबल, आप कुछ कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की आसानी से गणना कर सकते हैं।

समीकरण त्रिकोणमितीय फलनों से बनाये जाते हैं। यदि आप सरल समीकरणों को जानते हैं तो इन समीकरणों को हल करना आसान है त्रिकोणमितीय पहचानऔर कार्यों की कटौती, उदाहरण के लिए, जैसे कि पाप (पी/2 + एक्स) = कॉस (एक्स) और अन्य। ऐसी कटौती के लिए एक अलग तालिका भी संकलित की गई है।

किसी कोण की ज्या कैसे ज्ञात करें

जब कार्य किसी कोण की ज्या ज्ञात करना है, और शर्त के अनुसार हमारे पास केवल कोण की कोज्या, स्पर्शज्या, या कोटैंजेंट है, तो हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके आसानी से गणना कर सकते हैं कि हमें क्या चाहिए।

• पाप 2 एक्स + क्योंकि 2 एक्स = 1

इस समीकरण से, हम साइन और कोसाइन दोनों पा सकते हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन सा मान अज्ञात है। हमें एक अज्ञात के साथ एक त्रिकोणमितीय समीकरण मिलता है:

• पाप 2 एक्स = 1 - क्योंकि 2 एक्स
• पाप x = ± √ 1 - cos 2 x
• खाट 2 एक्स + 1 = 1 / पाप 2 एक्स

इस समीकरण से आप कोण के कोटैंजेंट का मान जानकर, ज्या का मान ज्ञात कर सकते हैं। सरल बनाने के लिए, पाप 2 x = y को प्रतिस्थापित करें और आपके पास एक सरल समीकरण होगा। उदाहरण के लिए, कोटैंजेंट मान 1 है, तो:

• 1 + 1 = 1/वर्ष
• 2 = 1/वर्ष
• 2यू = 1
• y = 1/2

अब हम प्लेयर का रिवर्स रिप्लेसमेंट करते हैं:

• पाप 2 एक्स = ½
• पाप x = 1 / √2

चूँकि हमने मानक कोण (45 0) के लिए कोटैंजेंट मान लिया है, प्राप्त मानों को तालिका में जांचा जा सकता है।

यदि आपको स्पर्शरेखा का मान दिया गया है और आपको ज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो एक अन्य त्रिकोणमितीय पहचान मदद करेगी:

• टीजी एक्स * सीटीजी एक्स = 1

यह इस प्रकार है कि:

• खाट x = 1 / tan x

किसी गैर-मानक कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए, उदाहरण के लिए, 240 0, आपको कोण न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। हम जानते हैं कि π 180 0 से मेल खाता है। इस प्रकार, हम विस्तार द्वारा मानक कोणों का उपयोग करके अपनी समानता व्यक्त करते हैं।

• 240 0 = 180 0 + 60 0

हमें निम्नलिखित खोजना होगा: पाप (180 0 + 60 0)। त्रिकोणमिति में न्यूनीकरण सूत्र होते हैं इस मामले मेंकाम आएगा. यह सूत्र है:

• पाप(π + x) = - पाप(x)

इस प्रकार, 240 डिग्री के कोण की ज्या बराबर होती है:

• पाप (180 0 + 60 0) = - पाप (60 0) = - √3/2

हमारे मामले में, x = 60, और P, क्रमशः 180 डिग्री। हमने मानक कोणों के फलनों के मानों की तालिका से मान (-√3/2) पाया।

इस प्रकार, गैर-मानक कोणों का विस्तार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: 210 = 180 + 30.

त्रिकोणमितीय पहचान- ये समानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, जो आपको इनमें से किसी भी फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती है, बशर्ते कि कोई अन्य ज्ञात हो।

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

टीजी \अल्फा \सीडॉट सीटीजी \अल्फा = 1

यह पहचान कहती है कि एक कोण की ज्या के वर्ग और एक कोण की कोज्या के वर्ग का योग एक के बराबर होता है, जो व्यवहार में एक कोण की ज्या की गणना करना संभव बनाता है जब इसकी कोज्या ज्ञात होती है और इसके विपरीत .

त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, इस पहचान का उपयोग अक्सर किया जाता है, जो आपको एक कोण के कोसाइन और साइन के वर्गों के योग को एक के साथ बदलने की अनुमति देता है और रिवर्स ऑर्डर में प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी करता है।

साइन और कोसाइन का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट ज्ञात करना

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ये पहचान साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं से बनती हैं। आख़िरकार, यदि आप इसे देखें, तो परिभाषा के अनुसार कोटि y एक ज्या है, और भुज x एक कोज्या है। तब स्पर्शरेखा अनुपात के बराबर होगी \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), और अनुपात \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- एक कोटैंजेंट होगा.

आइए हम जोड़ते हैं कि केवल ऐसे कोणों \alpha के लिए, जिन पर उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण होते हैं, सर्वसमिकाएँ मान्य होंगी, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

उदाहरण के लिए: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)उन कोणों \alpha के लिए मान्य है जो इससे भिन्न हैं \frac(\pi)(2)+\pi z, ए ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z के अलावा किसी अन्य कोण \alpha के लिए, z एक पूर्णांक है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

टीजी \alpha \cdot ctg \alpha=1

यह पहचान केवल उन कोणों \alpha के लिए मान्य है जो इससे भिन्न हैं \frac(\pi)(2) z. अन्यथा, कोटैंजेंट या टैन्जेंट निर्धारित नहीं किया जाएगा।

उपरोक्त बिन्दुओं के आधार पर हमें वह प्राप्त होता है tg \alpha = \frac(y)(x), ए ctg \alpha=\frac(x)(y). यह इस प्रकार है कि tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. इस प्रकार, एक ही कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट, जिस पर वे समझ में आते हैं, परस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ हैं।

स्पर्शरेखा और कोज्या, कोटैंजेंट और ज्या के बीच संबंध

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- कोण \alpha और 1 की स्पर्श रेखा के वर्ग का योग इस कोण की कोज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \alpha के अलावा सभी के लिए मान्य है \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 का योग और कोण \alpha के कोटैंजेंट का वर्ग दिए गए कोण की ज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \pi z से भिन्न किसी भी \alpha के लिए मान्य है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

यदि \sin \alpha और tg \alpha खोजें \cos \alpha=-\frac12और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

समाधान दिखाओ

समाधान

फ़ंक्शन \sin \alpha और \cos \alpha सूत्र द्वारा संबंधित हैं \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. इस सूत्र में प्रतिस्थापित करना \cos \alpha = -\frac12, हम पाते हैं:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

इस समीकरण के 2 समाधान हैं:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

शर्त से \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में साइन पॉजिटिव है, इसलिए \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tan \alpha ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

उदाहरण 2

\cos \alpha और ctg \alpha खोजें यदि और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

समाधान दिखाओ

समाधान

सूत्र में प्रतिस्थापित करना \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1दिया गया नंबर \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), हम पाते हैं \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. इस समीकरण के दो समाधान हैं \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

शर्त से \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में कोज्या ऋणात्मक है, इसलिए \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Ctg \alpha खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). हम संगत मान जानते हैं।

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

स्पर्शरेखा (टीजी x) और कोटैंजेंट (सीटीजी x) के लिए संदर्भ डेटा। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, ग्राफ़, सूत्र। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट, व्युत्पन्न, अभिन्न, श्रृंखला विस्तार की तालिका। जटिल चरों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध.

ज्यामितीय परिभाषा

|बीडी| - बिंदु A पर केंद्र वाले वृत्त के चाप की लंबाई।
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

स्पर्शरेखा ( टैन α) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| .

कोटैंजेंट ( सीटीजी α) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| .

स्पर्शरेखा

कहाँ एन- साबुत।

पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
;
;
.

स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़, y = tan x

कोटैंजेंट

कहाँ एन- साबुत।

पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
निम्नलिखित नोटेशन भी स्वीकार किए जाते हैं:
;
;
.

कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = ctg x

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण

दौरा

फ़ंक्शंस y = टीजी एक्सऔर y = सीटीजी एक्सअवधि π के साथ आवर्ती हैं।

समानता

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य विषम हैं।

परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, बढ़ते, घटते

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- साबुत)।

	य = टीजी एक्स	य = सीटीजी एक्स
दायरा और निरंतरता
मूल्यों की श्रृंखला	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
की बढ़ती		-
अवरोही	-
चरम	-	-
शून्य, y = 0
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0	य = 0	-

सूत्रों

साइन और कोसाइन का उपयोग करते हुए अभिव्यक्तियाँ

; ;
; ;
;

योग और अंतर से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के सूत्र

उदाहरण के लिए, शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है

स्पर्शरेखाओं का गुणनफल

स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान प्रस्तुत करती है।

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

;
;

संजात

; .

.
फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्र व्युत्पन्न करना > > > ; कोटैंजेंट के लिए > > >

अभिन्न

शृंखला विस्तार

x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए घात श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगे पाप एक्सऔर क्योंकि xऔर इन बहुपदों को एक दूसरे से विभाजित करें। इससे निम्नलिखित सूत्र तैयार होते हैं।

पर ।

पर ।
कहाँ बटालियन- बर्नौली संख्याएँ। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
;
;
कहाँ ।
या लाप्लास के सूत्र के अनुसार:

उलटा कार्य

स्पर्शज्या और कोटैंजेंट के व्युत्क्रम फलन क्रमशः चापस्पर्शज्या और चापस्पर्शज्या हैं।

आर्कटिक, आर्कटेंजेंट

, कहाँ एन- साबुत।

आर्ककोटैंजेंट, आर्कसीटीजी

, कहाँ एन- साबुत।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
जी कॉर्न, गणित की पुस्तिका वैज्ञानिक कार्यकर्ताऔर इंजीनियर, 2012.

हम त्रिकोणमिति का अपना अध्ययन समकोण त्रिभुज से शुरू करेंगे। आइए परिभाषित करें कि साइन और कोसाइन क्या हैं, साथ ही एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं। यह त्रिकोणमिति की मूल बातें है.

आइए हम आपको वो याद दिला दें समकोण 90 डिग्री के बराबर एक कोण है. दूसरे शब्दों में, आधा मुड़ा हुआ कोण।

तेज़ कोने- 90 डिग्री से कम.

अधिक कोण- 90 डिग्री से अधिक. ऐसे कोण के संबंध में, "अस्पष्ट" कोई अपमान नहीं है, बल्कि एक गणितीय शब्द है :-)

आइए एक समकोण त्रिभुज बनाएं। समकोण को आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। कृपया ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को उसी अक्षर से दर्शाया गया है, केवल छोटा। इस प्रकार, कोण A के विपरीत भुजा को निर्दिष्ट किया गया है।

कोण को संगत द्वारा दर्शाया जाता है यूनानी अक्षर.

कर्णएक समकोण त्रिभुज की समकोण के विपरीत भुजा होती है।

पैर- न्यून कोणों के विपरीत स्थित भुजाएँ।

कोण के विपरीत स्थित पैर को कहा जाता है विलोम(कोण के सापेक्ष). दूसरा पैर, जो कोण के एक किनारे पर स्थित होता है, कहलाता है नज़दीक.

साइनसएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात होता है:

कोज्यासमकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात:

स्पर्शरेखासमकोण त्रिभुज में न्यून कोण - विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात:

एक और (समतुल्य) परिभाषा: एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा, कोण की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात है:

कोटैंजेंटएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण - आसन्न भुजा का विपरीत पक्ष से अनुपात (या, जो समान है, कोज्या से ज्या का अनुपात):

नीचे साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बुनियादी संबंधों पर ध्यान दें। समस्याओं का समाधान करते समय वे हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आइये उनमें से कुछ को सिद्ध करें।

ठीक है, हमने परिभाषाएँ दी हैं और सूत्र लिखे हैं। लेकिन हमें अभी भी साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की आवश्यकता क्यों है?

हम वह जानते हैं किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग बराबर होता है.

हम बीच के संबंध को जानते हैं दलोंसही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है: .

इससे पता चलता है कि एक त्रिभुज में दो कोणों को जानकर, आप तीसरा कोण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाओं को जानकर, आप तीसरा ज्ञात कर सकते हैं। इसका मतलब यह है कि कोणों का अपना अनुपात होता है, और भुजाओं का अपना। लेकिन आपको क्या करना चाहिए यदि किसी समकोण त्रिभुज में आपको एक कोण (समकोण को छोड़कर) और एक भुजा पता हो, लेकिन आपको अन्य भुजाएँ खोजने की आवश्यकता हो?

अतीत में लोगों को क्षेत्र और तारों वाले आकाश के मानचित्र बनाते समय इसी का सामना करना पड़ा था। आख़िरकार, किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।

ज्या, कोज्या तथा स्पर्शज्या - इन्हें भी कहा जाता है त्रिकोणमितीय कोण कार्य- बीच संबंध दें दलोंऔर कोनेत्रिकोण. कोण को जानकर, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय कार्य पा सकते हैं। और किसी त्रिभुज और उसकी एक भुजा के कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा को जानकर, आप शेष कोण ज्ञात कर सकते हैं।

हम से लेकर "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के मानों की एक तालिका भी बनाएंगे।

कृपया तालिका में दो लाल डैश नोट करें। उचित कोण मान पर, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मौजूद नहीं हैं।

आइए FIPI टास्क बैंक से कई त्रिकोणमिति समस्याओं को देखें।

1. एक त्रिभुज में कोण , है। खोजो ।

समस्या चार सेकंड में हल हो जाती है.

क्योंकि , ।

2. एक त्रिभुज में कोण , , , होता है। खोजो ।

आइए इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खोजें।

समस्या सुलझ गई है।

अक्सर समस्याओं में कोणों और या कोणों वाले त्रिभुज होते हैं। उनके लिए बुनियादी अनुपात दिल से याद रखें!

एक त्रिभुज के लिए जिसके कोण और पैर विपरीत कोण पर बराबर हैं कर्ण का आधा भाग.

एक त्रिभुज जिसके कोण समद्विबाहु हैं। इसमें कर्ण पैर से कई गुना बड़ा होता है।

हमने समकोण त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं पर ध्यान दिया - अर्थात, अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजना। लेकिन वह सब नहीं है! में एकीकृत राज्य परीक्षा विकल्पगणित में ऐसी कई समस्याएँ हैं जहाँ त्रिभुज के बाहरी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या या कोटैंजेन्ट दिखाई देती है। अगले लेख में इस पर और अधिक जानकारी।