चलो साथ काम करते हैं द्विघातीय समीकरण... ये बहुत लोकप्रिय समीकरण हैं! अपने सबसे सामान्य रूप में, द्विघात समीकरण इस तरह दिखता है:
उदाहरण के लिए:
यहां ए =1; बी = 3; सी = -4
यहां ए =2; बी = -0,5; सी = 2,2
यहां ए =-3; बी = 6; सी = -18
खैर, आप विचार समझ गए ...
द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें?यदि आपके पास इस रूप में द्विघात समीकरण है, तो सब कुछ पहले से ही सरल है। जादू शब्द याद रखना विभेदक ... हाई स्कूल के एक दुर्लभ छात्र ने यह शब्द नहीं सुना है! वाक्यांश "विभेदक के माध्यम से निर्णय लेना" आश्वस्त करने वाला और आश्वस्त करने वाला है। क्योंकि विवेचक से गंदी चाल का इंतजार करने की जरूरत नहीं है! यह उपयोग करने के लिए सरल और परेशानी मुक्त है। तो, द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने का सूत्र इस तरह दिखता है:
मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक वही है विभेदक... जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और सी... वे। द्विघात समीकरण से गुणांक। बस मूल्यों को ध्यान से बदलें ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। विकल्प अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, पहले समीकरण के लिए ए =1; बी = 3; सी= -4। तो हम लिखते हैं:
उदाहरण लगभग हल हो गया है:
बस इतना ही।
इस सूत्र का उपयोग करते समय कौन से मामले संभव हैं? केवल तीन मामले हैं।
1. विवेचक सकारात्मक है। इसका मतलब है कि आप इससे जड़ निकाल सकते हैं। अच्छी जड़ निकाली जाती है, या खराब - एक और सवाल। यह महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में क्या निकाला जाता है। तब आपके द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। दो अलग समाधान।
2. विवेचक शून्य है। तो आपके पास एक ही उपाय है। कड़ाई से बोलते हुए, यह एक जड़ नहीं है, बल्कि दो समान... लेकिन यह असमानताओं में एक भूमिका निभाता है, वहां हम इस मुद्दे का अधिक विस्तार से अध्ययन करेंगे।
3. विवेचक ऋणात्मक है। ऋणात्मक संख्या से कोई वर्गमूल नहीं निकाला जाता है। चलो ठीक है। इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।
सब कुछ बहुत सरल है। और क्या, आपको लगता है, गलत होना असंभव है? अच्छा, हाँ, कैसे...
अर्थ संकेतों के साथ सबसे आम गलतियाँ भ्रम हैं। ए, बी और सी... बल्कि, उनके संकेतों के साथ नहीं (कहां भ्रमित होना है?), लेकिन जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मूल्यों के प्रतिस्थापन के साथ। यहां, विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र का विस्तृत अंकन सहेजता है। यदि कम्प्यूटेशनल समस्याएं हैं, ऐसा करो!
मान लीजिए कि आपको इस उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:
यहां ए = -6; बी = -5; सी = -1
मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपको शायद ही पहली बार उत्तर मिलते हैं।
खैर, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त लाइन लिखने में 30 सेकंड का समय लगेगा और त्रुटियों की संख्या तेजी से घटेगा... इसलिए हम सभी कोष्ठकों और चिह्नों के साथ विस्तार से लिखते हैं:
इतनी सावधानी से पेंट करना अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है। लेकिन ऐसा लगता ही है। इसे अजमाएं। अच्छा, या चुनें। कौन सा बेहतर है, तेज, या सही? इसके अलावा, मैं तुम्हें खुश कर दूंगा। थोड़ी देर बाद, सब कुछ इतनी सावधानी से पेंट करने की आवश्यकता नहीं होगी। यह अपने आप ठीक हो जाएगा। खासकर यदि आप नीचे वर्णित व्यावहारिक तकनीकों का उपयोग करते हैं। कमियों के एक समूह के साथ यह बुरा उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल किया जा सकता है!
इसलिए, द्विघात समीकरणों को कैसे हल करेंहमने विवेचक के माध्यम से याद किया। या सीखा, जो बुरा भी नहीं है। जानिए कैसे करें सही पहचान ए, बी और सी... तुम्हे पता है कैसै ध्यान सेउन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें और ध्यान सेपरिणाम पढ़ें। आपको यह विचार आता है कि यहाँ मुख्य शब्द है ध्यान से?
हालाँकि, द्विघात समीकरण अक्सर थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:
यह अपूर्ण द्विघात समीकरण ... उन्हें विवेचक के माध्यम से भी हल किया जा सकता है। आपको बस सही ढंग से यह पता लगाने की जरूरत है कि वे किसके बराबर हैं ए, बी और सी.
क्या आपने इसका पता लगा लिया? पहले उदाहरण में ए = 1; बी = -4;ए सी? वह वहाँ बिल्कुल नहीं है! अच्छा, हाँ, यह सही है। गणित में, इसका अर्थ है कि सी = 0 ! बस इतना ही। के स्थान पर सूत्र में शून्य रखिए सी,और हम सफल होंगे। दूसरे उदाहरण के साथ भी ऐसा ही है। केवल शून्य हमारे यहाँ नहीं है साथ, ए बी !
लेकिन अधूरे द्विघात समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। बिना किसी भेदभाव के। पहले अपूर्ण समीकरण पर विचार करें। आप वहां बाईं ओर क्या कर सकते हैं? आप x को कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें।
और इसका क्या? और तथ्य यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर है, और केवल तभी, जब कोई भी कारक शून्य के बराबर हो! मेरा विश्वास मत करो? खैर, फिर दो गैर-शून्य संख्याओं के बारे में सोचें, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा!
काम नहीं करता? इतना ही ...
इसलिए, हम विश्वास के साथ लिख सकते हैं: एक्स = 0, या एक्स = 4
हर चीज़। ये हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। दोनों फिट। उनमें से किसी को भी मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही पहचान 0 = 0 प्राप्त होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की तुलना में समाधान बहुत सरल है।
दूसरा समीकरण भी सरलता से हल किया जा सकता है। 9 को दाईं ओर ले जाएं। हम पाते हैं:
यह 9 से जड़ निकालने के लिए बनी हुई है, और बस। यह निकलेगा:
साथ ही दो जड़ें ... एक्स = +3 और एक्स = -3.
इस प्रकार सभी अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है। या तो x को कोष्ठकों में रखकर, या केवल संख्या को दाईं ओर ले जाकर और फिर रूट निकालकर।
इन तकनीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। सिर्फ इसलिए कि पहले मामले में आपको एक्स से रूट निकालना होगा, जो किसी भी तरह समझ से बाहर है, और दूसरे मामले में ब्रैकेट से बाहर निकलने के लिए कुछ भी नहीं है ...
अभी के लिए, उन सर्वोत्तम प्रथाओं पर ध्यान दें जो त्रुटियों को बहुत कम कर देंगी। वही जो असावधानी के कारण होते हैं। ... जिसके लिए फिर दुख और अपमान होता है ...
पहला स्वागत... द्विघात समीकरण को हल करने से पहले इसे मानक रूप में लाने में आलस न करें। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, कुछ परिवर्तनों के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिला:
मूल सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे। ए, बी और सी।उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, X को चुकता किया जाता है, फिर बिना वर्ग के, फिर मुक्त सदस्य को। इस कदर:
और फिर, जल्दी मत करो! वर्ग में x के सामने का माइनस आपको सचमुच दुखी कर सकता है। इसे भूलना आसान है ... माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हाँ, जैसा कि पिछले विषय में पढ़ाया गया था! आपको पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना है। हम पाते हैं:
लेकिन अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं। यह अपने आप करो। आपकी जड़ें 2 और -1 होनी चाहिए।
दूसरे का स्वागत।जड़ों की जाँच करें! विएटा के प्रमेय द्वारा। घबराओ मत, मैं सब कुछ समझा दूंगा! चेकिंग आखिरी बातसमीकरण। वे। जिसके द्वारा हमने जड़ों के लिए सूत्र लिखा था। अगर (इस उदाहरण में) गुणांक ए = 1, जड़ों की जाँच करना आसान है। उन्हें गुणा करने के लिए पर्याप्त है। आपको एक मुफ्त सदस्य मिलना चाहिए, यानी। हमारे मामले में, -2। ध्यान दें, 2 नहीं, बल्कि -2! स्वतंत्र सदस्य मेरे संकेत के साथ
... अगर यह काम नहीं करता है, तो यह पहले से ही कहीं खराब हो गया है। एक बग की तलाश करें। यदि यह काम करता है, तो आपको जड़ों को मोड़ना होगा। अंतिम और अंतिम जांच। आपको एक गुणांक मिलना चाहिए बीसाथ विलोम
परिचित। हमारे मामले में, -1 + 2 = +1। और गुणांक बीजो x से पहले -1 है। तो, सब कुछ सही है!
यह अफ़सोस की बात है कि यह केवल उन उदाहरणों के लिए इतना सरल है जहाँ x वर्ग शुद्ध है, एक गुणांक के साथ ए = 1.लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों में, जाँच करें! कम गलतियाँ होंगी।
रिसेप्शन तीसरा... यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! पिछले अनुभाग में वर्णित सामान्य भाजक द्वारा समीकरण को गुणा करें। भिन्नों के साथ काम करते समय, किसी कारण से, त्रुटियां सामने आती हैं ...
वैसे, मैंने बुरे उदाहरण को विपक्ष के एक समूह के साथ सरल बनाने का वादा किया था। कृपया! यही पर है।
Minuses में भ्रमित न होने के लिए, हम समीकरण को -1 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:
बस इतना ही! निर्णय लेना खुशी की बात है!
तो, विषय को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए।
प्रायोगिक उपकरण:
1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं अधिकार.
2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक है, तो हम पूरे समीकरण को -1 से गुणा करके इसे समाप्त करते हैं।
3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करके भिन्नों को हटा देते हैं।
4. यदि x वर्ग शुद्ध है, उस पर गुणांक एक के बराबर है, तो समाधान को Vieta के प्रमेय द्वारा आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। कर दो!
भिन्नात्मक समीकरण। ओडीजेड.
हम समीकरणों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि रैखिक और द्विघात समीकरणों के साथ कैसे काम करना है। आखिरी नज़र बाकी है - भिन्नात्मक समीकरण... या उन्हें बहुत अधिक ठोस भी कहा जाता है - भिन्नात्मक परिमेय समीकरण... यह बिल्कुल वैसा है।
भिन्नात्मक समीकरण।
जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि इन समीकरणों में भिन्न हमेशा मौजूद होते हैं। लेकिन केवल भिन्न ही नहीं, बल्कि वे भिन्न जिनमें हर में अज्ञात... कम से कम एक। उदाहरण के लिए:
मैं आपको याद दिला दूं कि यदि हर में केवल संख्या, ये रैखिक समीकरण हैं।
कैसे हल करें भिन्नात्मक समीकरण? सबसे पहले, भिन्नों से छुटकारा पाएं! उसके बाद, समीकरण, सबसे अधिक बार, रैखिक या द्विघात में बदल जाता है। और फिर हम जानते हैं कि क्या करना है ... कुछ मामलों में, यह एक पहचान में बदल सकता है, जैसे कि 5 = 5 या गलत अभिव्यक्ति, जैसे कि 7 = 2। लेकिन ऐसा कम ही होता है। मैं नीचे इसका उल्लेख करूंगा।
लेकिन अंशों से कैसे छुटकारा पाएं! बहुत सरल। सभी समान परिवर्तनों को लागू करना।
हमें पूरे समीकरण को उसी व्यंजक से गुणा करना होगा। ताकि सभी भाजक कम हो जाएं! सब कुछ एक बार में आसान हो जाएगा। एक उदाहरण से समझाता हूँ। मान लीजिए कि हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:
आपने निम्न ग्रेड में कैसे पढ़ाया? हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित करते हैं, एक सामान्य भाजक को लाते हैं, आदि। इसे एक बुरे सपने की तरह भूल जाओ! यह तब किया जाना चाहिए जब आप भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ते या घटाते हैं। या असमानताओं के साथ काम करना। और समीकरणों में, हम तुरंत दोनों पक्षों को एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो हमें सभी हरों को कम करने का अवसर देगा (अर्थात, संक्षेप में, एक सामान्य हर द्वारा)। और यह अभिव्यक्ति क्या है?
बाईं ओर, से गुणा करना एक्स + 2... और दाईं ओर, 2 से गुणा करना आवश्यक है। इसलिए, समीकरण को से गुणा किया जाना चाहिए 2 (एक्स + 2)... हम गुणा करते हैं:
यह भिन्नों का सामान्य गुणन है, लेकिन मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:
कृपया ध्यान दें कि मैं अभी तक कोष्ठक का विस्तार नहीं कर रहा हूं। (एक्स + 2)! तो, इसकी संपूर्णता में, मैं इसे लिखता हूं:
बाईं ओर, यह पूरी तरह से कम हो गया है (एक्स + 2), और दाईं ओर 2. जो आवश्यक है! कमी के बाद, हम प्राप्त करते हैं रैखिकसमीकरण:
और हर कोई इस समीकरण को हल करेगा! एक्स = 2.
आइए एक और उदाहरण हल करें, थोड़ा और जटिल:
अगर हमें याद है कि 3 = 3/1, और 2x = 2x / 1, आप लिख सकते हैं:
और फिर से हम उस चीज़ से छुटकारा पा लेते हैं जो हमें वास्तव में पसंद नहीं है - भिन्न।
हम देखते हैं कि x से हर को रद्द करने के लिए, आपको भिन्न को से गुणा करना होगा (एक्स - 2)... कुछ हमारे लिए बाधा नहीं हैं। खैर, हम गुणा करते हैं। पूराबाईं ओर और पूरादाईं ओर:
फिर से कोष्ठक (एक्स - 2)मैं खुलासा नहीं करता। मैं पूरी तरह से कोष्ठक के साथ काम करता हूं, जैसे कि यह एक संख्या थी! ऐसा हमेशा करते रहना चाहिए, नहीं तो कुछ भी कम नहीं होगा।
गहरी संतुष्टि की भावना के साथ, हम काटते हैं (एक्स - 2)और हमें एक रूलर में बिना किसी भिन्न के समीकरण प्राप्त होता है!
और अब हम कोष्ठक खोलते हैं:
हम समान देते हैं, सब कुछ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
शास्त्रीय द्विघात समीकरण। लेकिन आगे माइनस अच्छा नहीं है। आप इसे -1 से गुणा या भाग करके हमेशा छुटकारा पा सकते हैं। लेकिन अगर आप उदाहरण को करीब से देखें, तो आप देखेंगे कि इस समीकरण को -2 से विभाजित करना सबसे अच्छा है! एक झटके में, माइनस गायब हो जाएगा, और ऑड्स सुंदर हो जाएगा! -2 से विभाजित करें। बाईं ओर - पद से पद, और दाईं ओर - बस शून्य को -2, शून्य से विभाजित करें और प्राप्त करें:
हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं और वीटा के प्रमेय द्वारा जांचते हैं। हम पाते हैं एक्स = 1 और एक्स = 3... दो जड़ें।
जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले मामले में, परिवर्तन के बाद का समीकरण रैखिक हो गया, लेकिन यहाँ यह द्विघात है। ऐसा होता है कि भिन्नों से छुटकारा पाने के बाद, सभी x कम हो जाते हैं। 5=5 जैसा कुछ रहता है। इसका मतलब है कि x कुछ भी हो सकता है... जो कुछ भी है, वह अभी भी सिकुड़ जाएगा। और आपको सच्चा सच मिलता है, ५ = ५। लेकिन, भिन्नों से छुटकारा पाने के बाद, यह पूरी तरह से असत्य हो सकता है, जैसे 2 = 7। इस का मतलब है कि कोई समाधान नहीं! किसी भी x के साथ, यह असत्य हो जाता है।
मुख्य समाधान का एहसास हुआ भिन्नात्मक समीकरण? यह सरल और तार्किक है। हम मूल अभिव्यक्ति को बदल देते हैं ताकि जो कुछ हमें पसंद नहीं है वह गायब हो जाए। या हस्तक्षेप करता है। इस मामले में, ये अंश हैं। हम लघुगणक, ज्या और अन्य भयावहता के साथ सभी प्रकार के जटिल उदाहरणों के साथ भी ऐसा ही करेंगे। हम हमेशाहम इस सब से छुटकारा पायेंगे।
हालाँकि, हमें मूल अभिव्यक्ति को उस दिशा में बदलने की आवश्यकता है जिसकी हमें आवश्यकता है। नियमों के अनुसार, हाँ ... मास्टरींग जो गणित में परीक्षा की तैयारी है। तो हम इसमें महारत हासिल करते हैं।
अब हम सीखेंगे कि इनमें से किसी एक को कैसे बायपास किया जाए परीक्षा पर मुख्य घात! लेकिन पहले, देखते हैं कि आप इसमें शामिल होते हैं या नहीं?
आइए एक सरल उदाहरण देखें:
मामला पहले से ही परिचित है, हम दोनों भागों को गुणा करते हैं (एक्स - 2), हम पाते हैं:
मैं आपको याद दिलाता हूं, कोष्ठक के साथ (एक्स - 2)हम एक पूरी अभिव्यक्ति के साथ काम करते हैं!
यहाँ मैंने अब हर में 1 नहीं लिखा है, यह अशोभनीय है ... और मैंने हर में कोष्ठक नहीं खींचा, सिवाय इसके कि एक्स - 2कुछ भी नहीं है, आपको आकर्षित करने की आवश्यकता नहीं है। हम छोटा करते हैं:
हम कोष्ठक खोलते हैं, सब कुछ बाईं ओर ले जाते हैं, समान देते हैं:
हम हल करते हैं, हम जांचते हैं, हमें दो जड़ें मिलती हैं। एक्स = 2तथा एक्स = 3... जुर्माना।
मान लीजिए कि कार्य एक से अधिक जड़ होने पर मूल, या उनका योग लिखने के लिए कहता है। हम क्या लिखने जा रहे हैं?
यदि आप तय करते हैं कि उत्तर 5 है, तो आप घात लगाए हुए थे... और कार्य आपके लिए नहीं गिना जाएगा। उन्होंने व्यर्थ काम किया ... सही उत्तर 3.
क्या बात है?! और आप एक चेक बनाने की कोशिश करते हैं। अज्ञात के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें मूलउदाहरण। और अगर एक्स = 3हमारे साथ सब कुछ एक साथ आश्चर्यजनक रूप से बढ़ेगा, हमें 9 = 9 मिलता है, फिर साथ एक्स = 2शून्य से विभाजन! स्पष्ट रूप से क्या नहीं किया जा सकता है। माध्यम एक्स = 2समाधान नहीं है, और उत्तर में इस पर ध्यान नहीं दिया जाता है। यह तथाकथित बाहरी या अतिरिक्त जड़ है। हम इसे अभी गिराते हैं। अंतिम जड़ एक है। एक्स = 3.
ऐसा कैसे ?! - मैं नाराज विस्मयादिबोधक सुनता हूँ। हमें सिखाया गया था कि एक समीकरण को एक व्यंजक से गुणा किया जा सकता है! यह एक समान परिवर्तन है!
हाँ, समान। एक छोटी सी शर्त के साथ - वह व्यंजक जिससे हम गुणा (विभाजित) करते हैं - अशून्य... ए एक्स - 2पर एक्स = 2शून्य के बराबर है! तो सब जायज है।
और अब मैं क्या कर सकता हूँ?! व्यंजक से गुणा न करें? क्या आपको हर बार जांच करने की ज़रूरत है? फिर से यह स्पष्ट नहीं है!
शांति से! घबराओ मत!
इस कठिन परिस्थिति में तीन जादुई अक्षर हमें बचाएंगे। मुझे पता है कि आप क्या सोच रहे हैं। सही! यह ओडीजेड ... अनुमत मूल्यों की सीमा।
इस गणित कार्यक्रम के साथ, आप कर सकते हैं द्विघात समीकरण हल करें.
कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को दो तरीकों से प्रदर्शित करता है:
- विवेचक का उपयोग करना
- विएटा के प्रमेय (यदि संभव हो) का उपयोग करना।
इसके अलावा, उत्तर सटीक प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) के लिए, उत्तर इस रूप में प्रदर्शित होता है:
गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए माता-पिता के लिए परीक्षा से पहले ज्ञान की जाँच करते समय, परीक्षा और परीक्षा की तैयारी में माध्यमिक विद्यालयों के वरिष्ठ छात्रों के लिए यह कार्यक्रम उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।
इस प्रकार आप अपने स्वयं के शिक्षण का संचालन कर सकते हैं और / या अपने छोटे भाइयों या बहनों को पढ़ा सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।
यदि आप वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनसे स्वयं को परिचित कर लें।
वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम
किसी भी लैटिन अक्षर को एक चर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।
संख्याओं को पूर्ण या भिन्नात्मक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।
दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, पूर्ण से भिन्नात्मक भाग को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप इस तरह दशमलव दर्ज कर सकते हैं: 2.5x - 3.5x ^ 2
साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
अंश, हर और भिन्न के पूरे भाग के रूप में केवल एक पूर्णांक का उपयोग किया जा सकता है।
भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।
एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
एम्परसेंड द्वारा पूरे भाग को भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3 और 1/3 - 5 और 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
परिणाम: \ (3 \ फ़्रेक (1) (3) - 5 \ फ़्रेक (6) (5) z + \ फ़्रेक (1) (7) z ^ 2 \)
व्यंजक दर्ज करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है... इस मामले में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 और 1/2)
निर्णय करना
यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
शायद आपके पास एडब्लॉक सक्षम है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।
समाधान के प्रकट होने के लिए, आपको जावास्क्रिप्ट सक्षम करने की आवश्यकता है।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने के निर्देश यहां दिए गए हैं।
चूंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या को हल करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड ...
अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप तय करें और क्या खेतों में प्रवेश करें.
हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:
थोड़ा सिद्धांत।
द्विघात समीकरण और इसकी जड़ें। अपूर्ण द्विघात समीकरण
प्रत्येक समीकरण
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ क्वाड 8x ^ 2-7x = 0, \ क्वाड x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
रूप है
\ (कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी = 0, \)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a = -1, b = 6 और c = 1.4, दूसरे में a = 8, b = -7 और c = 0, तीसरे में a = 1, b = 0 और c = 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.
परिभाषा।
द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और \ (a \ neq 0 \) हैं।
संख्याएँ a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b - दूसरा गुणांक, और संख्या c - मुक्त पद।
ax 2 + bx + c = 0 के रूप के प्रत्येक समीकरण में, जहाँ \ (a \ neq 0 \), चर x की सबसे बड़ी घात वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण।
ध्यान दें कि द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसका बायां भाग दूसरी डिग्री का बहुपद है।
एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 होता है, कहलाता है कम द्विघात समीकरण... उदाहरण के लिए, कम द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ क्वाड x ^ 2-6x = 0, \ क्वाड x ^ 2-8 = 0 \)
यदि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 में से कम से कम एक गुणांक b या c शून्य के बराबर है, तो ऐसा समीकरण कहलाता है अधूरा द्विघात समीकरण... अतः समीकरण -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं। उनमें से पहले में b = 0, दूसरे में c = 0, तीसरे में b = 0 और c = 0.
अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) कुल्हाड़ी 2 + सी = 0, जहां \ (सी \ neq 0 \);
2) कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स = 0, जहां \ (बी \ neq 0 \);
3) कुल्हाड़ी 2 = 0।
आइए इनमें से प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के हल पर विचार करें।
\ (c \ neq 0 \) के लिए ax 2 + c = 0 रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इसके मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित करें और समीकरण के दोनों पक्षों को a से विभाजित करें:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ दायां तीर x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)
चूँकि \ (c \ neq 0 \), तब \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
यदि \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), तो समीकरण के दो मूल हैं।
यदि \ (- \ फ्रैक (सी) (ए) फॉर्म के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स = 0 \ (बी \ neq 0 \) के साथ इसके बाईं ओर कारक है और समीकरण प्राप्त करें
\ (एक्स (कुल्हाड़ी + बी) = 0 \ दायां तीर \ बाएं \ (\ प्रारंभ (सरणी) (एल) एक्स = 0 \\ कुल्हाड़ी + बी = 0 \ अंत (सरणी) \ दायां। \ दायां तीर \ बाएं \ (\ शुरू (सरणी) (एल) x = 0 \\ x = - \ फ्रैक (बी) (ए) \ अंत (सरणी) \ सही। \)
इसलिए, \ (b \ neq 0 \) के लिए ax 2 + bx = 0 के रूप में अपूर्ण द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं।
कुल्हाड़ी 2 = 0 के रूप का एक अधूरा द्विघात समीकरण समीकरण x 2 = 0 के बराबर है और इसलिए इसका एक अद्वितीय मूल 0 है।
द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र
आइए अब विचार करें कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद दोनों अशून्य होते हैं।
आइए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में हल करें और परिणामस्वरूप हमें जड़ों के लिए सूत्र मिलता है। फिर इस सूत्र को किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।
द्विघात समीकरण को हल करें ax 2 + bx + c = 0
इसके दोनों भागों को a से विभाजित करने पर, हम समतुल्य घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
\ (एक्स ^ 2 + \ फ़्रेक (बी) (ए) एक्स + \ फ़्रेक (सी) (ए) = 0 \)
हम द्विपद का वर्ग चुनकर इस समीकरण को रूपांतरित करते हैं:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ बाएँ (\ frac (b) (2a) \ दाएँ) ^ 2- \ बाएँ (\ frac (b) (2a) \ दाएँ) ^ 2 + \ फ़्रेक (सी) (ए) = 0 \ दायां तीर \)
कट्टरपंथी अभिव्यक्ति कहा जाता है द्विघात समीकरण का विवेचककुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 (लैटिन "विभेदक" एक विवेचक है)। इसे अक्षर D द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, अर्थात।
\ (डी = बी ^ 2-4ac \)
अब, विवेचक के संकेतन का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), जहां \ (D = b ^ 2-4ac \)
यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D> 0 है, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2) यदि D = 0 है, तो द्विघात समीकरण का एक मूल \ (x = - \ frac (b) (2a) \) है।
3) यदि डी इस प्रकार, विवेचक के मूल्य के आधार पर, द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं (डी> 0 के लिए), एक मूल (डी = 0 के लिए) या जड़ें नहीं हैं (डी के लिए इसका उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय सूत्र, निम्नानुसार आगे बढ़ना उचित है:
1) विवेचक की गणना करें और इसकी तुलना शून्य से करें;
2) यदि विवेचक धनात्मक है या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का प्रयोग करें, यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो लिख लें कि कोई मूल नहीं है।
विएटा का प्रमेय
दिए गए द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 -7x + 10 = 0 के मूल 2 और 5 हैं। मूलों का योग 7 है और गुणनफल 10 है। हम देखते हैं कि मूलों का योग विपरीत के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है। चिन्ह है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है। किसी भी दिए गए द्विघात समीकरण के मूल में यह गुण होता है।
दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है।
वे। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि कम द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल x 1 और x 2 में गुण हैं:
\ (\ बाएँ \ (\ शुरू (सरणी) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ अंत (सरणी) \ दाएँ। \)
भौतिकी और गणित में विभिन्न समस्याओं को हल करते समय द्विघात समीकरण अक्सर दिखाई देते हैं। इस लेख में हम देखेंगे कि इन समानताओं को "विवेकशील के माध्यम से" सार्वभौमिक तरीके से कैसे हल किया जाए। प्राप्त ज्ञान का उपयोग करने के उदाहरण भी लेख में दिए गए हैं।
हम किस समीकरण के बारे में बात कर रहे हैं?
नीचे दिया गया आंकड़ा एक सूत्र दिखाता है जिसमें x एक अज्ञात चर है, और लैटिन प्रतीक a, b, c कुछ ज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
इनमें से प्रत्येक प्रतीक को गुणांक कहा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या "a" चुकता चर x के सामने है। यह प्रस्तुत व्यंजक की अधिकतम घात है, इसलिए इसे द्विघात समीकरण कहते हैं। इसका दूसरा नाम अक्सर प्रयोग किया जाता है: दूसरे क्रम समीकरण। स्वयं का मान वर्ग गुणांक है (चर वर्ग के लिए खड़ा है), b रैखिक गुणांक है (यह पहली शक्ति के लिए उठाए गए चर के बगल में है), और अंत में, संख्या c मुक्त शब्द है।
ध्यान दें कि ऊपर की आकृति में दिखाया गया समीकरण का रूप एक सामान्य शास्त्रीय वर्ग अभिव्यक्ति है। इसके अतिरिक्त, दूसरे क्रम के अन्य समीकरण भी हैं जिनमें गुणांक b, c शून्य हो सकते हैं।
जब समस्या को माना समानता को हल करने के लिए प्रस्तुत किया जाता है, तो इसका मतलब है कि चर x के ऐसे मूल्यों को खोजने की जरूरत है जो इसे संतुष्ट करेंगे। यहाँ, सबसे पहले याद रखने वाली बात निम्नलिखित है: चूँकि x की अधिकतम घात 2 है, तो इस प्रकार के व्यंजक के 2 से अधिक हल नहीं हो सकते। इसका मतलब यह है कि अगर, समीकरण को हल करते समय, x के 2 मान पाए गए जो इसे संतुष्ट करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि कोई तीसरी संख्या नहीं है, जिसे x के बजाय, समानता भी सत्य होगी। गणित में किसी समीकरण के हल को मूल कहते हैं।
दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने के तरीके
इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए उनके बारे में कुछ सिद्धांत के ज्ञान की आवश्यकता होती है। स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में हल करने के 4 अलग-अलग तरीकों पर विचार किया जाता है। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:
- गुणनखंडन का उपयोग करना;
- एक पूर्ण वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करना;
- संबंधित द्विघात फलन का ग्राफ लगाने पर;
- विभेदक समीकरण का उपयोग करना।
पहली विधि का लाभ इसकी सादगी में निहित है, हालांकि, इसे सभी समीकरणों पर लागू नहीं किया जा सकता है। दूसरी विधि सार्वभौमिक है, लेकिन कुछ हद तक बोझिल है। तीसरी विधि इसकी स्पष्टता के लिए उल्लेखनीय है, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक और लागू नहीं होती है। और, अंत में, किसी भी दूसरे क्रम के समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए विवेचक समीकरण का उपयोग एक सार्वभौमिक और काफी सरल तरीका है। इसलिए, लेख में हम केवल इस पर विचार करेंगे।
समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र
आइए द्विघात समीकरण के सामान्य रूप की ओर मुड़ें। आइए इसे लिख लें: a * x² + b * x + c = 0। इसे "विभेदक के माध्यम से" हल करने की विधि का उपयोग करने से पहले, समानता को हमेशा लिखित रूप में कम किया जाना चाहिए। अर्थात्, इसमें तीन पद होने चाहिए (या कम यदि b या c 0 है)।
उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यंजक है: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², तो आपको पहले इसके सभी पदों को समानता के एक तरफ ले जाना होगा और चर x वाले पदों को जोड़ना होगा। समान शक्तियां।
इस मामले में, यह ऑपरेशन निम्नलिखित अभिव्यक्ति की ओर ले जाएगा: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, जो समीकरण 6 * x² + 4 * x-8 = 0 के बराबर है (यहां हमने बाईं ओर गुणा किया है और समानता के दाहिने पक्ष -1) ...
ऊपर के उदाहरण में, a = 6, b = 4, c = -8। ध्यान दें कि विचाराधीन समानता की सभी शर्तों को हमेशा आपस में जोड़ा जाता है, इसलिए यदि "-" चिन्ह दिखाई देता है, तो इसका मतलब है कि संबंधित गुणांक ऋणात्मक है, जैसे इस मामले में संख्या c।
इस बिंदु की जांच करने के बाद, अब हम स्वयं सूत्र की ओर मुड़ते हैं, जिससे द्विघात समीकरण के मूल प्राप्त करना संभव हो जाता है। इसका फॉर्म नीचे फोटो में दिखाया गया है।
जैसा कि आप इस अभिव्यक्ति से देख सकते हैं, यह आपको दो जड़ें प्राप्त करने की अनुमति देता है (आपको "±" चिह्न पर ध्यान देना चाहिए)। ऐसा करने के लिए, गुणांक बी, सी, और ए को इसमें प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है।
भेदभावपूर्ण अवधारणा
पिछले पैराग्राफ में, एक सूत्र दिया गया था जो आपको किसी भी दूसरे क्रम के समीकरण को जल्दी से हल करने की अनुमति देता है। इसमें मूलक व्यंजक को विवेचक कहा जाता है, अर्थात् D = b²-4 * a * c।
सूत्र के इस भाग को क्यों हाइलाइट किया गया है, और इसका अपना नाम भी है? तथ्य यह है कि विवेचक समीकरण के सभी तीन गुणांकों को एक ही व्यंजक में जोड़ता है। उत्तरार्द्ध तथ्य का अर्थ है कि यह जड़ों के बारे में पूरी तरह से जानकारी रखता है, जिसे निम्नलिखित सूची में व्यक्त किया जा सकता है:
- डी> 0: समानता के 2 अलग-अलग समाधान हैं, जिनमें से दोनों वास्तविक संख्याएं हैं।
- D = 0: समीकरण का केवल एक मूल है और यह एक वास्तविक संख्या है।
विभेदक का निर्धारण करने का कार्य
आइए एक सरल उदाहरण दें कि विवेचक को कैसे खोजा जाए। निम्नलिखित समानता दी जाए: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
हम इसे मानक रूप में लाते हैं, हमें मिलता है: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, जहां से हम समानता पर पहुंचते हैं : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. यहाँ a = -2, b = 2, c = -11।
अब आप विभेदक के लिए नामित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: डी = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84। परिणामी संख्या कार्य का उत्तर है। चूँकि उदाहरण में विवेचक शून्य से कम है, तो हम कह सकते हैं कि इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है। केवल सम्मिश्र संख्याएँ ही उसका हल होंगी।
भेदभाव के माध्यम से असमानता का एक उदाहरण
आइए कुछ अलग प्रकार की समस्याओं को हल करें: समानता -3 * x²-6 * x + c = 0 को देखते हुए। c के ऐसे मानों को खोजना आवश्यक है जिनके लिए D> 0.
इस मामले में, 3 में से केवल 2 गुणांक ज्ञात हैं, इसलिए विवेचक के सटीक मूल्य की गणना करना संभव नहीं होगा, लेकिन यह ज्ञात है कि यह सकारात्मक है। असमानता को चित्रित करते समय हम अंतिम तथ्य का उपयोग करते हैं: डी = (-6) ²-4 * (- 3) * सी> 0 => 36 + 12 * सी> 0। प्राप्त असमानता का समाधान परिणाम की ओर जाता है: c> -3।
आइए प्राप्त संख्या की जांच करें। ऐसा करने के लिए, 2 मामलों के लिए डी की गणना करें: सी = -2 और सी = -4। संख्या -2 प्राप्त परिणाम (-2> -3) को संतुष्ट करती है, संबंधित विवेचक का मान होगा: D = 12> 0। बदले में, संख्या -4 असमानता को संतुष्ट नहीं करती है (-4 इस प्रकार, कोई भी संख्या c जो -3 से बड़ी है, शर्त को पूरा करेगी।
समीकरण हल करने का एक उदाहरण
आइए हम एक ऐसी समस्या प्रस्तुत करते हैं, जिसमें न केवल विवेचक का पता लगाना शामिल है, बल्कि समीकरण को हल करना भी शामिल है। आपको समानता -2 * x² + 7-9 * x = 0 के मूल ज्ञात करने होंगे।
इस उदाहरण में, विवेचक निम्न मान के बराबर है: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. फिर समीकरण की जड़ों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: x = (9 ± 137) / (- 4))। ये जड़ों के सटीक मान हैं, यदि आप अनुमानित मूल की गणना करते हैं, तो आपको संख्याएँ मिलती हैं: x = -5.176 और x = 0.676।
ज्यामितीय समस्या
आइए एक ऐसी समस्या को हल करें जिसमें न केवल विवेचक की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होगी, बल्कि अमूर्त सोच कौशल और द्विघात समीकरण बनाने के ज्ञान के उपयोग की भी आवश्यकता होगी।
बॉब के पास 5 x 4 मीटर का डुवेट था। लड़का परिधि के चारों ओर सुंदर कपड़े की एक सतत पट्टी सिलना चाहता था। यह पट्टी कितनी मोटी होगी यदि बॉब के पास 10 वर्ग मीटर का कपड़ा है।
मान लें कि पट्टी की मोटाई xm है, तो कंबल के लंबे किनारे के साथ कपड़े का क्षेत्र होगा (5 + 2 * x) * x, और चूंकि 2 लंबी भुजाएँ हैं, हमारे पास: 2 * x * (5 + 2 * एक्स)। छोटी तरफ, सिलने वाले कपड़े का क्षेत्रफल 4 * x होगा, क्योंकि इनमें से 2 पक्ष हैं, हमें 8 * x का मान मिलता है। ध्यान दें कि 2 * x को लंबे पक्ष में जोड़ा गया है क्योंकि कंबल की लंबाई उस संख्या से बढ़ गई है। कंबल से सिलने वाले कपड़े का कुल क्षेत्रफल 10 वर्ग मीटर है। इसलिए, हमें समानता मिलती है: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0।
इस उदाहरण के लिए, विवेचक है: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484। इसका मूल 22 है। सूत्र का उपयोग करके, हम आवश्यक मूल ज्ञात करते हैं: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0.5)। स्पष्ट है कि दो मूलों में से केवल 0.5 ही समस्या कथन के लिए उपयुक्त है।
इस प्रकार, बॉब जिस कपड़े की पट्टी को अपने कंबल से सिलेगा वह 50 सेमी चौड़ा होगा।
सरल तरीके से। ऐसा करने के लिए, कोष्ठक में से z निकालें। आपको मिलेगा: z (аz + b) = 0. कारकों को लिखा जा सकता है: z = 0 और аz + b = 0, क्योंकि दोनों का परिणाम शून्य हो सकता है। संकेतन az + b = 0 में, हम दूसरे को एक भिन्न चिह्न के साथ दाईं ओर ले जाते हैं। इसलिए हम z1 = 0 और z2 = -b / a प्राप्त करते हैं। ये मूल की जड़ें हैं।
यदि аz² + с = 0 के रूप का कोई अपूर्ण समीकरण है, तो इस स्थिति में वे केवल मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करके पाए जाते हैं। ऐसा करते समय उसका चिन्ह भी बदल लें। परिणाम az² = -с होगा। एक्सप्रेस z² = -सी / ए। मूल लें और दो समाधान लिखें - सकारात्मक और नकारात्मक वर्गमूल।
ध्यान दें
यदि समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो पूरे समीकरण को उपयुक्त कारक से गुणा करें ताकि आप भिन्नों से छुटकारा पा सकें।
द्विघात समीकरणों को हल करने का ज्ञान स्कूली बच्चों और छात्रों दोनों के लिए आवश्यक है, कभी-कभी यह दैनिक जीवन में एक वयस्क की भी मदद कर सकता है। कई विशिष्ट समाधान विधियां हैं।
द्विघात समीकरणों को हल करना
a * x ^ 2 + b * x + c = 0 के रूप का द्विघात समीकरण। गुणांक x वांछित चर है, a, b, c संख्यात्मक गुणांक हैं। याद रखें कि "+" चिन्ह "-" चिन्ह में बदल सकता है।इस समीकरण को हल करने के लिए, विएटा के प्रमेय का उपयोग करना या विवेचक का पता लगाना आवश्यक है। सबसे आम तरीका है विवेचक को खोजना, क्योंकि a, b, c के कुछ मानों के लिए Vieta के प्रमेय का उपयोग करना संभव नहीं है।
विभेदक (डी) को खोजने के लिए, आपको सूत्र डी = बी ^ 2 - 4 * ए * सी लिखना होगा। D मान शून्य से अधिक, उससे कम या उसके बराबर हो सकता है। यदि डी शून्य से बड़ा या कम है, तो दो मूल होंगे, यदि डी = 0, तो केवल एक जड़ शेष है, अधिक सटीक रूप से, हम कह सकते हैं कि इस मामले में डी की दो समकक्ष जड़ें हैं। ज्ञात गुणांक a, b, c को सूत्र में प्लग करें और मान की गणना करें।
विभेदक मिल जाने के बाद, x को खोजने के लिए, सूत्रों का उपयोग करें: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, जहाँ sqrt किसी दिए गए नंबर का वर्गमूल निकालने के लिए एक फ़ंक्शन है। इन व्यंजकों की गणना करने पर आपको अपने समीकरण के दो मूल मिलेंगे, जिसके बाद समीकरण को हल माना जाता है।
यदि डी शून्य से कम है, तो इसकी जड़ें अभी भी हैं। स्कूल में, इस खंड का व्यावहारिक रूप से अध्ययन नहीं किया जाता है। विश्वविद्यालय के छात्रों को पता होना चाहिए कि मूल में एक नकारात्मक संख्या दिखाई देती है। वे काल्पनिक भाग को उजागर करके इससे छुटकारा पाते हैं, अर्थात -1 जड़ के नीचे हमेशा काल्पनिक तत्व "i" के बराबर होता है, जिसे उसी सकारात्मक संख्या के साथ मूल से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि D = sqrt (-20), रूपांतरण के बाद यह D = sqrt (20) * i निकलता है। इस परिवर्तन के बाद, समीकरण का हल मूलों के समान खोज में कम हो जाता है, जैसा कि ऊपर वर्णित है।
विएटा की प्रमेय x (1) और x (2) के मानों का चयन करना है। दो समान समीकरणों का उपयोग किया जाता है: x (1) + x (2) = -b; एक्स (1) * एक्स (2) = सी। इसके अलावा, एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु गुणांक b के सामने का चिन्ह है, याद रखें कि यह चिन्ह समीकरण के विपरीत है। पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि x (1) और x (2) की गणना करना बहुत आसान है, लेकिन हल करते समय आपको इस तथ्य का सामना करना पड़ेगा कि संख्याओं का चयन करना होगा।
द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए तत्व
गणित के नियमों के अनुसार, कुछ को कारकों में विघटित किया जा सकता है: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, यदि आप गणित के सूत्रों का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को इस तरह से बदलने में कामयाब रहे, तो उत्तर लिखने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। x (1) और x (2) कोष्ठक में आसन्न गुणांक के बराबर होंगे, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ।इसके अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरणों के बारे में मत भूलना। हो सकता है कि आप कुछ पदों को याद कर रहे हों, यदि ऐसा है, तो इसके सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं। यदि x ^ 2 या x के सामने कुछ भी नहीं है, तो गुणांक a और b 1 के बराबर हैं।
कई कठिन फ़ार्मुलों के कारण यह विषय पहली बार में जटिल लग सकता है। द्विघात समीकरणों के न केवल लंबे रिकॉर्ड होते हैं, बल्कि विवेचक के माध्यम से जड़ें भी पाई जाती हैं। कुल तीन नए सूत्र हैं। याद रखना आसान नहीं है। यह ऐसे समीकरणों के बार-बार हल करने के बाद ही संभव है। तब सारे सूत्र अपने आप याद आ जाएंगे।
द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य
यहां, उनकी स्पष्ट रिकॉर्डिंग प्रस्तावित है, जब उच्चतम डिग्री पहले दर्ज की जाती है, और फिर अवरोही क्रम में। अक्सर ऐसी स्थितियां होती हैं जब शर्तें क्रम से बाहर हो जाती हैं। फिर समीकरण को चर की डिग्री के घटते क्रम में फिर से लिखना बेहतर होता है।
आइए हम संकेतन का परिचय दें। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।
यदि हम इन पदनामों को स्वीकार करते हैं, तो सभी द्विघात समीकरण निम्न रिकॉर्ड में कम हो जाते हैं।
इसके अलावा, गुणांक a 0. मान लें कि इस सूत्र को नंबर एक द्वारा दर्शाया गया है।
जब समीकरण दिया जाता है, तो यह स्पष्ट नहीं होता है कि उत्तर में कितने मूल होंगे। क्योंकि तीन विकल्पों में से एक हमेशा संभव है:
- विलयन में दो जड़ें होंगी;
- उत्तर एक संख्या है;
- समीकरण की कोई जड़ नहीं होगी।
और जब तक निर्णय को अंत तक नहीं लाया जाता, तब तक यह समझना मुश्किल है कि किसी विशेष मामले में कौन से विकल्प बाहर हो जाएंगे।
द्विघात समीकरणों के अभिलेखों के प्रकार
कार्यों में उनके अलग-अलग रिकॉर्ड हो सकते हैं। वे हमेशा एक सामान्य द्विघात समीकरण की तरह नहीं दिखेंगे। कभी-कभी इसमें कुछ शर्तों की कमी होगी। ऊपर जो लिखा गया था वह एक पूर्ण समीकरण है। अगर आप इसमें दूसरा या तीसरा टर्म हटा दें तो आपको कुछ अलग ही मिलता है। इन अभिलेखों को द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, केवल अपूर्ण।
इसके अलावा, केवल वे पद जिनमें गुणांक "बी" और "सी" गायब हो सकते हैं। संख्या "ए" किसी भी परिस्थिति में शून्य के बराबर नहीं हो सकती। क्योंकि इस मामले में, सूत्र एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है। अपूर्ण समीकरणों के सूत्र इस प्रकार होंगे:
तो, केवल दो प्रकार हैं, पूर्ण के अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं। बता दें कि पहला फॉर्मूला नंबर दो और दूसरा नंबर तीन है।
विभेदक और इसके मूल्य पर जड़ों की संख्या की निर्भरता
समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए आपको इस संख्या को जानना होगा। द्विघात समीकरण का सूत्र चाहे जो भी हो, इसकी गणना हमेशा की जा सकती है। विवेचक की गणना करने के लिए, आपको नीचे लिखी गई समानता का उपयोग करना होगा, जिसकी संख्या चार होगी।
गुणांकों के मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने के बाद, आप विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं। यदि उत्तर हाँ है, तो समीकरण का उत्तर दो भिन्न मूल होंगे। यदि संख्या ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण के मूल अनुपस्थित रहेंगे। यदि यह शून्य के बराबर है, तो उत्तर एक होगा।
पूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?
दरअसल, इस मुद्दे पर विचार शुरू हो चुका है। क्योंकि पहले आपको विवेचक को खोजने की जरूरत है। यह पाया गया है कि द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, और उनकी संख्या ज्ञात है, आपको चर के लिए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि दो जड़ें हैं, तो आपको इस सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है।
चूंकि इसमें "±" चिन्ह है, इसलिए दो मान होंगे। वर्गमूल व्यंजक विभेदक है। इसलिए, सूत्र को एक अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है।
फॉर्मूला नंबर पांच। एक ही रिकॉर्ड से पता चलता है कि यदि विवेचक शून्य है, तो दोनों मूल समान मान लेंगे।
यदि द्विघात समीकरणों का हल अभी तक नहीं निकाला गया है, तो विवेचक और परिवर्तनशील सूत्रों को लागू करने से पहले सभी गुणांकों के मूल्यों को लिख लेना बेहतर है। बाद में, यह क्षण कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। लेकिन शुरुआत में ही कंफ्यूजन होता है।
एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?
यहां सब कुछ बहुत आसान है। अतिरिक्त सूत्रों की भी आवश्यकता नहीं है। और आपको उन लोगों की आवश्यकता नहीं होगी जो पहले से ही भेदभाव करने वाले और अज्ञात के लिए दर्ज किए गए हैं।
सबसे पहले, अपूर्ण समीकरण संख्या दो पर विचार करें। इस समानता में, अज्ञात मात्रा को कोष्ठक से बाहर निकालना और रैखिक समीकरण को हल करना माना जाता है, जो कोष्ठक में रहता है। उत्तर की दो जड़ें होंगी। पहला अनिवार्य रूप से शून्य के बराबर है, क्योंकि एक कारक है जिसमें स्वयं चर शामिल है। दूसरा एक रैखिक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाता है।
अपूर्ण समीकरण संख्या तीन को समीकरण के बाईं ओर से संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके हल किया जाता है। फिर आपको अज्ञात के सामने कारक से विभाजित करने की आवश्यकता है। जो कुछ बचा है वह वर्गमूल निकालना है और इसे दो बार विपरीत संकेतों के साथ लिखना याद रखें।
इसके बाद, द्विघात समीकरणों में बदल जाने वाली सभी प्रकार की समानताओं को हल करने का तरीका सीखने में आपकी मदद करने के लिए कुछ क्रियाएं लिखी जाती हैं। वे छात्र को लापरवाह गलतियों से बचने में मदद करेंगे। व्यापक विषय "द्विघात समीकरण (ग्रेड 8)" का अध्ययन करते समय ये कमियां खराब ग्रेड का कारण हैं। इसके बाद, इन क्रियाओं को लगातार करने की आवश्यकता नहीं होगी। क्योंकि एक स्थिर कौशल दिखाई देगा।
- सबसे पहले, आपको समीकरण को मानक रूप में लिखना होगा। यही है, पहला पद चर की उच्चतम डिग्री के साथ, और फिर - बिना डिग्री और अंतिम - केवल एक संख्या।
- यदि गुणांक "ए" के सामने एक माइनस दिखाई देता है, तो यह शुरुआती के लिए द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने के लिए काम को जटिल कर सकता है। इससे छुटकारा पाना ही बेहतर है। इस प्रयोजन के लिए, सभी समानता को "-1" से गुणा किया जाना चाहिए। इसका अर्थ है कि सभी पद अपने चिन्ह को विपरीत दिशा में बदल देंगे।
- उसी तरह, अंशों से छुटकारा पाने की सिफारिश की जाती है। हर को रद्द करने के लिए बस समीकरण को उपयुक्त कारक से गुणा करें।
के उदाहरण
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है:
एक्स 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
एक्स 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(एक्स + 1) 2 + एक्स + 1 = (एक्स + 1) (एक्स + 2)।
पहला समीकरण: x 2 - 7x = 0. यह अधूरा है, इसलिए इसे सूत्र संख्या दो के लिए वर्णित के अनुसार हल किया जाता है।
कोष्ठक छोड़ने के बाद, यह निकलता है: x (x - 7) = 0।
पहला मूल मान लेता है: x 1 = 0। दूसरा रैखिक समीकरण से मिलेगा: x - 7 = 0। यह देखना आसान है कि x 2 = 7।
दूसरा समीकरण: 5x 2 + 30 = 0. फिर से अधूरा। केवल इसे तीसरे सूत्र के रूप में वर्णित किया गया है।
समानता के दाईं ओर 30 स्थानांतरित करने के बाद: 5x 2 = 30. अब आपको 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह पता चला है: x 2 = 6. उत्तर संख्याएँ होंगी: x 1 = √6, x 2 = - 6.
तीसरा समीकरण: 15 - 2x - x 2 = 0। इसके बाद, द्विघात समीकरणों का समाधान मानक रूप में उन्हें फिर से लिखकर शुरू किया जाएगा: - x 2 - 2x + 15 = 0। अब दूसरी उपयोगी सलाह का उपयोग करने का समय है और हर चीज को माइनस वन से गुणा करें... यह x 2 + 2x - 15 = 0 निकलता है। चौथे सूत्र के अनुसार, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64। यह एक सकारात्मक संख्या है। ऊपर जो कहा गया था, उससे यह पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं। उन्हें पांचवें सूत्र का उपयोग करके गणना करने की आवश्यकता है। यह पता चला है कि x = (-2 ± 64)/2 = (-2 ± 8)/2. फिर x 1 = 3, x 2 = - 5।
चौथा समीकरण x 2 + 8 + 3x = 0 इस में रूपांतरित होता है: x 2 + 3x + 8 = 0। इसका विवेचक इस मान के बराबर है: -23। चूंकि यह संख्या ऋणात्मक है, इस कार्य का उत्तर निम्नलिखित प्रविष्टि होगी: "कोई जड़ें नहीं हैं।"
पाँचवाँ समीकरण १२x + x २ + ३६ = ० को इस प्रकार फिर से लिखा जाना चाहिए: x २ + १२x + ३६ = ०। विवेचक के लिए सूत्र लागू करने के बाद, संख्या शून्य प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि इसकी एक जड़ होगी, अर्थात्: x = -12 / (2 * 1) = -6।
छठे समीकरण (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) को रूपांतरण की आवश्यकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि आपको कोष्ठक खोलने से पहले समान शब्दों को लाने की आवश्यकता है। पहले के स्थान पर, ऐसा व्यंजक होगा: x 2 + 2x + 1. समानता के बाद, यह रिकॉर्ड दिखाई देगा: x 2 + 3x + 2. ऐसे शब्दों की गणना के बाद, समीकरण का रूप लेगा: x 2 - x = 0. अधूरा हो गया... इससे मिलता-जुलता कुछ पहले ही थोड़ा ऊंचा माना जा चुका है। इसका मूल 0 और 1 अंक होगा।
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