साधारण भिन्न के रूप में अनंत आवर्त भिन्न। आवधिक दशमलव

§ 114. अपील सामान्य अंशदशमलव तक.

एक उभयनिष्ठ भिन्न को दशमलव में बदलने का अर्थ है एक दशमलव भिन्न खोजना जो दिए गए उभयनिष्ठ भिन्न के बराबर हो। साधारण भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करते समय, हमारे सामने दो स्थितियाँ आएंगी:

1) जब साधारण भिन्नों को दशमलव में बदला जा सकता है बिल्कुल;

2) जब साधारण भिन्नों को केवल दशमलव में ही बदला जा सकता है लगभग. आइए इन मामलों पर सिलसिलेवार विचार करें.

1. एक साधारण अघुलनशील भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें, या, दूसरे शब्दों में, एक साधारण भिन्न को उसके बराबर दशमलव से कैसे बदलें?

ऐसे मामले में जहां साधारण भिन्न हो सकते हैं बिल्कुलदशमलव में परिवर्तित, वहाँ है दो रास्तेऐसा उपचार.

आइए याद रखें कि एक भिन्न को पहले के बराबर दूसरे भिन्न से कैसे बदला जाए, या पहले के मान को बदले बिना एक भिन्न से दूसरे भिन्न में कैसे जाया जाए। हमने ऐसा तब किया जब हमने भिन्नों को एक सामान्य हर (§86) में घटा दिया। जब हम भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: हम इन भिन्नों के लिए सामान्य हर ढूंढते हैं, प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक की गणना करते हैं, और फिर प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इस कारक से गुणा करते हैं।

इस पर ध्यान देने के बाद, आइए अप्रासंगिक अंश 3/20 लें और इसे दशमलव में बदलने का प्रयास करें। इस भिन्न का हर 20 है, लेकिन आपको इसे किसी अन्य हर में लाना होगा, जिसे शून्य वाले एक द्वारा दर्शाया जाएगा। हम एक के सबसे छोटे हर और उसके बाद शून्य की तलाश करेंगे।

पहला तरीकाभिन्न को दशमलव में परिवर्तित करना हर को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने पर आधारित है।

आपको यह पता लगाना होगा कि 20 को किस संख्या से गुणा करना है ताकि उत्पाद को एक के बाद शून्य के रूप में व्यक्त किया जा सके। यह पता लगाने के लिए, आपको सबसे पहले यह याद रखना होगा कि एक और शून्य द्वारा प्रदर्शित संख्याएँ किन अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होती हैं। ये विघटन हैं:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

हम देखते हैं कि शून्य के साथ दर्शाई गई संख्या केवल दो और पाँच में विघटित होती है, और विस्तार में कोई अन्य कारक नहीं होते हैं। इसके अलावा, दो और पांच को एक ही संख्या में विस्तार में शामिल किया गया है। और, अंत में, उन और अन्य कारकों की अलग-अलग संख्या किसी दिए गए संख्या की छवि में एक के बाद शून्य की संख्या के बराबर होती है।

अब आइए देखें कि 20 को अभाज्य गुणनखंडों में कैसे विघटित किया जाता है: 20 = 2 2 5. इससे यह स्पष्ट है कि संख्या 20 के अपघटन में दो दो और एक पांच होते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि हम इन कारकों में एक पांच जोड़ दें, तो हमें शून्य के साथ एक द्वारा दर्शाई गई संख्या प्राप्त होगी। दूसरे शब्दों में, हर के लिए 20 के बजाय शून्य के साथ एक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, आपको 20 को 5 से गुणा करना होगा, और ताकि भिन्न का मान न बदले, आपको इसके अंश को 5 से गुणा करना होगा , अर्थात।

इस प्रकार, एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको इस साधारण भिन्न के हर को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा और फिर इसमें दो और पांच की संख्या को बराबर करना होगा, इसमें (और, निश्चित रूप से, अंश में) शामिल करना होगा ) आवश्यक संख्या में लुप्त गुणनखंड।

आइए इस निष्कर्ष को कुछ भिन्नों पर लागू करें।

3/50 को दशमलव में बदलें. इस भिन्न के हर का विस्तार इस प्रकार किया जाता है:

इसका मतलब है कि इसमें एक ड्यूस की कमी है। आइए इसे जोड़ें:

7/40 को दशमलव में बदलें.

इस भिन्न का हर इस प्रकार विघटित होता है: 40 = 2 2 2 5, अर्थात इसमें दो पाँच गायब हैं। आइए उन्हें अंश और हर में गुणनखंड के रूप में प्रस्तुत करें:

जो कहा गया है, उससे यह निष्कर्ष निकालना मुश्किल नहीं है कि कौन सी साधारण भिन्नें बिल्कुल दशमलव में बदल जाती हैं। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि एक अपरिवर्तनीय साधारण अंश, जिसके हर में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है, बिल्कुल दशमलव में परिवर्तित हो जाता है। एक दशमलव भिन्न, जो किसी साधारण भिन्न को उलट कर प्राप्त किया जाता है, में उतने ही दशमलव स्थान होंगे जितने बार साधारण भिन्न के हर में कमी के बाद संख्यात्मक रूप से प्रमुख कारक 2 या 5 शामिल होगा।

यदि हम अंश 9/40 लेते हैं, तो, सबसे पहले, यह दशमलव में बदल जाएगा, क्योंकि इसके हर में गुणनखंड 2 2 2 5 शामिल हैं, और दूसरे, परिणामी दशमलव अंश में 3 दशमलव स्थान होंगे, क्योंकि संख्यात्मक रूप से प्रमुख गुणनखंड 2 तीन बार विस्तार में प्रवेश करता है। वास्तव में:

दूसरा तरीका(अंश को हर से विभाजित करके)।

मान लीजिए आप 3/4 को दशमलव भिन्न में बदलना चाहते हैं। हम जानते हैं कि 3/4, 3 का भागफल 4 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। हम 3 को 4 से विभाजित करके यह भागफल ज्ञात कर सकते हैं। आइए ऐसा करें:

इस प्रकार, 3/4 = 0.75.

दूसरा उदाहरण: 5/8 को दशमलव भिन्न में बदलें।

तो 5/8 = 0.625.

तो, किसी भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको बस भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा।

2. आइए अब पैराग्राफ की शुरुआत में बताए गए दूसरे मामले पर विचार करें, यानी वह मामला जब एक साधारण अंश को सटीक दशमलव में नहीं बदला जा सकता है।

एक साधारण अघुलनशील भिन्न जिसके हर में 2 और 5 के अलावा कोई भी अभाज्य गुणनखंड हो, उसे सटीक रूप से दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। वास्तव में, उदाहरण के लिए, अंश 8/15 को दशमलव में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इसका हर 15 दो कारकों में विघटित होता है: 3 और 5।

हम हर से त्रिगुण को हटा नहीं सकते हैं और ऐसे पूर्णांक का चयन नहीं कर सकते हैं, जिससे दिए गए हर को गुणा करने के बाद, उत्पाद को एक के बाद शून्य के रूप में व्यक्त किया जाता है।

ऐसे में हम सिर्फ बात ही कर सकते हैं सन्निकटनसाधारण भिन्न से दशमलव तक.

यह कैसे किया है? यह सामान्य भिन्न के अंश को हर से विभाजित करके किया जाता है, यानी इस मामले में, सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलने की दूसरी विधि का उपयोग किया जाता है। इसका मतलब यह है कि इस पद्धति का उपयोग सटीक और अनुमानित दोनों प्रकार के प्रबंधन के लिए किया जाता है।

यदि किसी भिन्न को बिल्कुल दशमलव में परिवर्तित किया जाता है, तो विभाजन से अंतिम दशमलव भिन्न उत्पन्न होता है।

यदि एक साधारण अंश सटीक दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है, तो विभाजन एक अनंत दशमलव अंश उत्पन्न करता है।

चूँकि हम एक अंतहीन विभाजन प्रक्रिया को अंजाम नहीं दे सकते, इसलिए हमें विभाजन को किसी दशमलव स्थान पर रोकना होगा, यानी अनुमानित विभाजन करना होगा। उदाहरण के लिए, हम पहले दशमलव स्थान पर विभाजित करना बंद कर सकते हैं, यानी खुद को दसवें तक सीमित कर सकते हैं; यदि आवश्यक हो, तो हम दूसरे दशमलव स्थान पर रुक सकते हैं, सौवां भाग प्राप्त कर सकते हैं, आदि। इन मामलों में, हम कहते हैं कि हम एक अनंत दशमलव अंश को पूर्णांकित कर रहे हैं। इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सटीकता के साथ गोलाई की जाती है।

§ 115. आवर्त भिन्न की अवधारणा।

एक सतत दशमलव अंश जिसमें एक या अधिक अंक हमेशा एक ही क्रम में दोहराए जाते हैं, आवधिक दशमलव अंश कहलाता है। उदाहरण के लिए:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

दोहराई जाने वाली संख्याओं के समूह को कहा जाता है अवधियह अंश. ऊपर लिखे अंशों में से पहले अंश की अवधि 3 है, दूसरे अंश की अवधि 12 है, तीसरे अंश की अवधि 234 है। इसका मतलब है कि अवधि में कई अंक हो सकते हैं - एक, दो, तीन, आदि। दोहराए जाने वाले अंकों के पहले सेट को पहली अवधि कहा जाता है, दूसरे को समग्रता - दूसरी अवधि, आदि, यानी।

आवधिक अंश शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। एक आवर्त भिन्न को शुद्ध कहा जाता है यदि उसका आवर्त दशमलव बिंदु के तुरंत बाद शुरू होता है। इसका मतलब यह है कि ऊपर लिखी आवर्त भिन्नें शुद्ध होंगी। ख़िलाफ़, आवधिक अंशमिश्रित कहा जाता है यदि इसमें दशमलव बिंदु और पहली अवधि के बीच एक या अधिक गैर-दोहराए जाने वाले अंक हों, उदाहरण के लिए:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

अक्षर को छोटा करने के लिए आप आवर्त संख्याओं को कोष्ठक में एक बार लिख सकते हैं और कोष्ठक के बाद दीर्घवृत्त न लगाएं, यानी 0.33 के स्थान पर... आप 0,(3) लिख सकते हैं; 2.515151 के स्थान पर... आप 2,(51) लिख सकते हैं; 0.2333 के स्थान पर... आप 0.2(3) लिख सकते हैं; 0.8333... के स्थान पर आप 0.8(3) लिख सकते हैं।

आवर्त भिन्नों को इस प्रकार पढ़ा जाता है:

0,(3) - 0 पूर्णांक, 3 आवर्त में।

7,2(3) - 7 पूर्णांक, 2 आवर्त से पहले, 3 आवर्त में।

5.00(17) - 5 पूर्णांक, आवर्त से पहले दो शून्य, आवर्त में 17।

आवर्ती भिन्न कैसे उत्पन्न होते हैं? हम पहले ही देख चुके हैं कि भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करते समय दो स्थितियाँ हो सकती हैं।

पहले तो, एक साधारण अघुलनशील भिन्न के हर में 2 और 5 के अलावा कोई गुणनखंड नहीं होता है; इस स्थिति में, साधारण भिन्न अंतिम दशमलव बन जाता है।

दूसरी बात,एक साधारण अघुलनशील भिन्न के हर में 2 और 5 के अलावा कोई भी अभाज्य गुणनखंड होता है; इस स्थिति में, साधारण अंश अंतिम दशमलव में नहीं बदलता है। इस बाद वाले मामले में, अंश को हर से विभाजित करके अंश को दशमलव में बदलने का प्रयास करने पर एक अनंत अंश प्राप्त होता है जो हमेशा आवधिक होगा।

इसे देखने के लिए आइए एक उदाहरण देखें। आइए भिन्न 18/7 को दशमलव में बदलने का प्रयास करें।

निःसंदेह, हम पहले से जानते हैं कि ऐसे हर वाले भिन्न को अंतिम दशमलव में नहीं बदला जा सकता है, और हम केवल अनुमानित रूपांतरण के बारे में बात कर रहे हैं। अंश 18 को हर 7 से विभाजित करें।

हमें भागफल में आठ दशमलव स्थान प्राप्त हुए। विभाजन को आगे जारी रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह किसी भी तरह समाप्त नहीं होगा। लेकिन इससे यह स्पष्ट है कि विभाजन को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है और इस प्रकार भागफल में नई संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं। ये नई संख्याएँ उत्पन्न होंगी क्योंकि हमारे पास हमेशा बचा हुआ रहेगा; लेकिन कोई भी शेषफल भाजक से बड़ा नहीं हो सकता, जो हमारे लिए 7 है।

आइए देखें कि हमारे पास क्या संतुलन था: 4; 5; 1; 3; 2; बी, यानी ये 7 से कम संख्याएँ थीं। जाहिर है, उनमें से छह से अधिक नहीं हो सकते हैं, और विभाजन को आगे जारी रखने के साथ उन्हें दोहराया जाना होगा, और उनके बाद भागफल के अंक दोहराए जाएंगे। उपरोक्त उदाहरण इस विचार की पुष्टि करता है: भागफल में दशमलव स्थान इस क्रम में हैं: 571428, और उसके बाद संख्या 57 फिर से दिखाई दी। इसका मतलब है कि पहली अवधि समाप्त हो गई है और दूसरी शुरू होती है।

इस प्रकार, एक सामान्य भिन्न को उल्टा करके प्राप्त अनंत दशमलव अंश हमेशा आवर्त होगा।

यदि किसी समस्या को हल करते समय एक आवधिक अंश का सामना करना पड़ता है, तो इसे समस्या की स्थितियों (दसवें, सौवें, हजारवें, आदि) के लिए आवश्यक सटीकता के साथ लिया जाता है।

§ 116. साधारण और दशमलव भिन्नों के साथ संयुक्त क्रियाएँ।

विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, हम ऐसे मामलों का सामना करेंगे जहां समस्या में सामान्य और दोनों शामिल हैं दशमलव.

इन मामलों में, आप विभिन्न तरीकों से जा सकते हैं।

1. सभी भिन्नों को दशमलव में बदलें।यह सुविधाजनक है क्योंकि दशमलव भिन्नों की गणना सामान्य भिन्नों की तुलना में आसान होती है। उदाहरण के लिए,

आइए भिन्नों 3/4 और 1 1/5 को दशमलव में बदलें:

2. सभी भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें।यह अक्सर उन मामलों में किया जाता है जहां सामान्य भिन्न होते हैं जो अंतिम दशमलव में नहीं बदलते हैं।

उदाहरण के लिए,

आइए दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:

3. कुछ भिन्नों को दूसरे भिन्नों में परिवर्तित किए बिना गणनाएँ की जाती हैं।

यह विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब उदाहरण में केवल गुणा और भाग शामिल हो। उदाहरण के लिए,

आइए उदाहरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

4. कुछ मामलों में सभी भिन्नों को दशमलव में बदलें(यहां तक ​​कि वे भी जो आवधिक में बदल जाते हैं) और एक अनुमानित परिणाम पाते हैं। उदाहरण के लिए,

आइए 2/3 को दशमलव अंश में बदलें, स्वयं को हज़ारवें भाग तक सीमित रखें।

याद रखें कि दशमलव के बारे में पहले पाठ में मैंने कैसे कहा था कि ऐसे संख्यात्मक अंश हैं जिन्हें दशमलव के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है (पाठ "दशमलव" देखें)? हमने यह भी सीखा कि भिन्नों के हरों का गुणनखंड कैसे किया जाए ताकि यह देखा जा सके कि 2 और 5 के अलावा कोई संख्या है या नहीं।

तो: मैंने झूठ बोला. और आज हम सीखेंगे कि किसी भी संख्यात्मक भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाता है। साथ ही, हम अनंत सार्थक भाग वाले भिन्नों के एक पूरे वर्ग से परिचित होंगे।

आवधिक दशमलव कोई भी दशमलव है जो:

1. महत्वपूर्ण भाग में अनंत संख्या में अंक होते हैं;
2. निश्चित अंतराल पर, महत्वपूर्ण भाग की संख्याएँ दोहराई जाती हैं।

महत्वपूर्ण भाग को बनाने वाले दोहराए जाने वाले अंकों के समूह को भिन्न का आवर्त भाग कहा जाता है, और इस सेट में अंकों की संख्या को भिन्न का आवर्त कहा जाता है। महत्वपूर्ण भाग का शेष भाग, जिसकी पुनरावृत्ति न हो, अआवधिक भाग कहलाता है।

चूँकि कई परिभाषाएँ हैं, इसलिए इनमें से कुछ अंशों पर विस्तार से विचार करना उचित है:

यह अंश अक्सर समस्याओं में दिखाई देता है। गैर-आवधिक भाग: 0; आवधिक भाग: 3; अवधि की लंबाई: 1.

गैर-आवधिक भाग: 0.58; आवधिक भाग: 3; अवधि की लंबाई: पुनः 1.

गैर-आवधिक भाग: 1; आवधिक भाग: 54; अवधि की लंबाई: 2.

गैर-आवधिक भाग: 0; आवधिक भाग: 641025; अवधि की लंबाई: 6. सुविधा के लिए, दोहराए जाने वाले हिस्सों को एक दूसरे से एक स्थान से अलग किया जाता है - इस समाधान में यह आवश्यक नहीं है।

गैर-आवधिक भाग: 3066; आवधिक भाग: 6; अवधि की लंबाई: 1.

जैसा कि आप देख सकते हैं, आवर्त भिन्न की परिभाषा अवधारणा पर आधारित है किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग. इसलिए, यदि आप भूल गए हैं कि यह क्या है, तो मैं इसे दोहराने की सलाह देता हूं - पाठ "" देखें।

आवधिक दशमलव अंश में संक्रमण

ए/बी फॉर्म के एक साधारण अंश पर विचार करें। आइए इसके हर को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें। दो विकल्प हैं:

1. विस्तार में केवल गुणनखंड 2 और 5 शामिल हैं। ये भिन्न आसानी से दशमलव में परिवर्तित हो जाते हैं - पाठ "दशमलव" देखें। हमें ऐसे लोगों में कोई दिलचस्पी नहीं है;
2. विस्तार में 2 और 5 के अलावा कुछ और भी है। इस स्थिति में, अंश को दशमलव के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे आवधिक दशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है।

एक आवधिक दशमलव भिन्न को परिभाषित करने के लिए, आपको इसके आवर्ती और गैर-आवधिक भागों को खोजने की आवश्यकता है। कैसे? भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें, और फिर एक कोने का उपयोग करके अंश को हर से विभाजित करें।

निम्नलिखित घटित होगा:

1. पहले बंटेंगे संपूर्ण भाग , यदि यह मौजूद है;
2. दशमलव बिंदु के बाद कई संख्याएँ हो सकती हैं;
3. थोड़ी देर बाद नंबर आना शुरू हो जाएंगे दोहराना.

बस इतना ही! दशमलव बिंदु के बाद दोहराई जाने वाली संख्याओं को आवधिक भाग द्वारा दर्शाया जाता है, और सामने वाली संख्याओं को गैर-आवधिक भाग द्वारा दर्शाया जाता है।

काम। साधारण भिन्नों को आवर्त दशमलव में बदलें:

सभी भिन्नों में पूर्णांक भाग नहीं होता है, इसलिए हम अंश को हर से "कोने" से विभाजित करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, शेषफल दोहराए गए हैं। आइए भिन्न को "सही" रूप में लिखें: 1.733 ... = 1.7(3)।

परिणाम एक भिन्न है: 0.5833 ... = 0.58(3)।

को लिखना सामान्य रूप: 4,0909 ... = 4,(09).

हमें भिन्न प्राप्त होता है: 0.4141 ... = 0.(41)।

आवधिक दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न में संक्रमण

आवर्त दशमलव भिन्न X = abc (a 1 b 1 c 1) पर विचार करें। इसे क्लासिक "दो मंजिला" में बदलना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, चार सरल चरणों का पालन करें:

1. भिन्न का आवर्त ज्ञात कीजिए, अर्थात्। गिनें कि आवर्त भाग में कितने अंक हैं। माना कि यह संख्या k है;
2. व्यंजक X · 10 k का मान ज्ञात कीजिए। यह दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के बराबर है पूर्ण अवधिदाईं ओर - "दशमलव को गुणा और विभाजित करना" पाठ देखें;
3. मूल अभिव्यक्ति को परिणामी संख्या से घटाया जाना चाहिए। इस मामले में, आवधिक भाग "जला" दिया जाता है और बना रहता है सामान्य अंश;
4. परिणामी समीकरण में X ज्ञात कीजिए। हम सभी दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करते हैं।

काम। सामान्य से कम करें अनुचित अंशसंख्याएँ:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

हम पहले भिन्न के साथ काम करते हैं: X = 9,(6) = 9.666...

कोष्ठक में केवल एक अंक है, इसलिए अवधि k = 1 है। इसके बाद, हम इस भिन्न को 10 k = 10 1 = 10 से गुणा करते हैं। हमारे पास है:

10एक्स = 10 9.6666... ​​= 96.666...

मूल भिन्न को घटाएँ और समीकरण हल करें:

10एक्स - एक्स = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9एक्स = 87;
एक्स = 87/9 = 29/3.

अब आइए दूसरे अंश पर नजर डालें। तो एक्स = 32,(39) = 32.393939...

अवधि k = 2, इसलिए प्रत्येक चीज़ को 10 k = 10 2 = 100 से गुणा करें:

100एक्स = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

मूल भिन्न को फिर से घटाएँ और समीकरण हल करें:

100एक्स - एक्स = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99एक्स = 3207;
एक्स = 3207/99 = 1069/33.

चलिए तीसरे अंश पर चलते हैं:

अवधि k = 1 ⇒ प्रत्येक चीज़ को 10 k = 10 1 = 10 से गुणा करें;

10एक्स = 10 0.30555... = 3.05555...
10एक्स − एक्स = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9एक्स = 11/4;
एक्स = (11/4) : 9 = 11/36.

अंत में, अंतिम भिन्न: हमारे पास है:

के = 4 ⇒ 10 के = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000एक्स − एक्स = 2475.2475 ... − 0.2475 2475 ... = 2475;
9999एक्स = 2475;
एक्स = 2475: 9999 = 25/101।

डिवीजन ऑपरेशन में कई मुख्य घटकों की भागीदारी शामिल है। उनमें से पहला तथाकथित लाभांश है, यानी एक संख्या जो विभाजन प्रक्रिया के अधीन है। दूसरा भाजक है, अर्थात वह संख्या जिससे विभाजन किया जाता है। तीसरा भागफल है, अर्थात भाजक द्वारा लाभांश को विभाजित करने की क्रिया का परिणाम।

विभाजन का परिणाम

सबसे सरल विकल्पजब दो धनात्मक पूर्णांकों को लाभांश और भाजक के रूप में उपयोग किया जाता है तो जो परिणाम प्राप्त किया जा सकता है वह एक अन्य धनात्मक पूर्णांक होता है। उदाहरण के लिए, 6 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 3 के बराबर होगा। यह स्थिति तब संभव है जब लाभांश भाजक हो, अर्थात इसे बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाए।

हालाँकि, ऐसे अन्य विकल्प भी हैं जब शेष के बिना विभाजन ऑपरेशन करना असंभव है। इस स्थिति में, एक गैर-पूर्णांक संख्या भागफल बन जाती है, जिसे पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 5 को 2 से विभाजित करने पर भागफल 2.5 होता है।

अवधि में संख्या

यदि लाभांश विभाजक का गुणज नहीं है तो परिणाम देने वाले विकल्पों में से एक तथाकथित अवधि में संख्या है। यह विभाजन के परिणामस्वरूप उत्पन्न हो सकता है यदि भागफल संख्याओं का एक अंतहीन दोहराव वाला सेट बन जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 2 को 3 से विभाजित करने पर किसी अवधि में एक संख्या प्रकट हो सकती है। इस स्थिति में, परिणाम, दशमलव अंश के रूप में, दशमलव बिंदु के बाद 6 अंकों की अनंत संख्या के संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाएगा।

इस तरह के विभाजन के परिणाम को इंगित करने के लिए, किसी अवधि में संख्याओं को लिखने का एक विशेष तरीका ईजाद किया गया: ऐसी संख्या को कोष्ठक में दोहराए जाने वाले अंक को रखकर दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 2 को 3 से विभाजित करने का परिणाम इस विधि का उपयोग करके 0,(6) के रूप में लिखा जाएगा। यह अंकन तब भी लागू होता है जब विभाजन से उत्पन्न संख्या का केवल एक भाग ही दोहराया जा रहा हो।

उदाहरण के लिए, 5 को 6 से विभाजित करने पर परिणाम 0.8(3) के रूप की एक आवधिक संख्या होगी। इस पद्धति का उपयोग करना, सबसे पहले, किसी संख्या के सभी या उसके कुछ अंकों को एक अवधि में लिखने की कोशिश की तुलना में अधिक प्रभावी है, और दूसरी बात, ऐसी संख्याओं को प्रसारित करने की एक अन्य विधि की तुलना में इसमें अधिक सटीकता है - पूर्णांकन, और इसके अलावा, यह आपको इन संख्याओं के परिमाण की तुलना करते समय संबंधित मान के साथ सटीक दशमलव अंश से अवधि में संख्याओं को अलग करने की अनुमति देता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि 0.(6) 0.6 से काफी अधिक है।

जैसा कि ज्ञात है, परिमेय संख्याओं के समुच्चय (Q) में पूर्णांकों (Z) का समुच्चय शामिल होता है, जिसके बदले में प्राकृतिक संख्याओं (N) का समुच्चय शामिल होता है। पूर्ण संख्याओं के अतिरिक्त, परिमेय संख्याओं में भिन्न भी शामिल होते हैं।

फिर तर्कसंगत संख्याओं के पूरे सेट को कभी-कभी अनंत आवधिक दशमलव अंश क्यों माना जाता है? दरअसल, भिन्नों के अलावा, उनमें पूर्णांक, साथ ही गैर-आवधिक भिन्न भी शामिल होते हैं।

तथ्य यह है कि सभी पूर्णांक, साथ ही किसी भी अंश को अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। अर्थात्, सभी परिमेय संख्याओं के लिए आप समान रिकॉर्डिंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

एक अनंत आवर्त दशमलव को कैसे दर्शाया जाता है? इसमें दशमलव बिंदु के बाद दोहराई जाने वाली संख्याओं का समूह कोष्ठक में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, 1.56(12) एक भिन्न है जिसमें अंक 12 का समूह दोहराया जाता है, अर्थात भिन्न का मान 1.561212121212 है... और इसी प्रकार अनंत काल तक। संख्याओं के दोहराए जाने वाले समूह को आवर्त कहा जाता है।

हालाँकि, हम इस रूप में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं यदि हम इसकी अवधि को संख्या 0 मानते हैं, जो अंतहीन रूप से दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए, संख्या 2, 2.00000 के समान है... इसलिए, इसे एक अनंत आवधिक भिन्न, यानी 2,(0) के रूप में लिखा जा सकता है।

ऐसा ही किसी भी परिमित भिन्न के साथ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

हालाँकि, व्यवहार में वे एक परिमित अंश को अनंत आवधिक अंश में बदलने का उपयोग नहीं करते हैं। इसलिए, वे परिमित भिन्नों और अनंत आवर्त भिन्नों को अलग करते हैं। इस प्रकार, यह कहना अधिक सही है कि तर्कसंगत संख्याओं में शामिल हैं

• सभी पूर्णांक
• अंतिम अंश,
• अनंत आवर्त भिन्न.

साथ ही, बस यह याद रखें कि पूर्णांक और परिमित भिन्न सिद्धांत में अनंत आवधिक भिन्न के रूप में दर्शाए जा सकते हैं।

दूसरी ओर, परिमित और अनंत भिन्नों की अवधारणाएँ दशमलव भिन्नों पर लागू होती हैं। जब भिन्नों की बात आती है, तो परिमित और अनंत दशमलव दोनों को भिन्न के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि साधारण भिन्नों की दृष्टि से आवर्त और परिमित भिन्न एक ही चीज़ हैं। इसके अतिरिक्त, पूर्ण संख्याओं को यह कल्पना करके भिन्न के रूप में भी दर्शाया जा सकता है कि हम संख्या को 1 से विभाजित कर रहे हैं।

दशमलव अनंत आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में कैसे निरूपित करें? सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला एल्गोरिदम कुछ इस प्रकार है:

1. अंश को कम करें ताकि दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अवधि हो।
2. एक अनंत आवर्त भिन्न को 10 या 100 या... से गुणा करें ताकि दशमलव बिंदु एक आवर्त से दाईं ओर चला जाए (अर्थात, पूरे भाग में एक आवर्त समाप्त हो जाए)।
3. मूल अंश (ए) को चर x के बराबर करें, और अंश (बी) को संख्या N से Nx से गुणा करके प्राप्त करें।
4. Nx से x घटाएँ. बी से मैं ए घटाता हूं। अर्थात्, वे समीकरण Nx – x = b – a बनाते हैं।
5. किसी समीकरण को हल करते समय, परिणाम एक साधारण भिन्न होता है।

एक अनंत आवर्त दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में बदलने का एक उदाहरण:
एक्स = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x *10 = 11.33333... *10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
एक्स =

आवधिक अंश

एक अनंत दशमलव अंश जिसमें, एक निश्चित बिंदु से शुरू होकर, केवल समय-समय पर दोहराए जाने वाले अंकों का एक निश्चित समूह होता है। उदाहरण के लिए, 1.3181818...; संक्षेप में, इस अंश को इस प्रकार लिखा जाता है: 1.3(18), यानी, वे अवधि को कोष्ठक में रखते हैं (और कहते हैं: "अवधि में 18")। पी. को शुद्ध कहा जाता है यदि अवधि दशमलव बिंदु के तुरंत बाद शुरू होती है, उदाहरण के लिए 2(71) = 2.7171..., और मिश्रित यदि दशमलव बिंदु के बाद अवधि से पहले की संख्याएं हैं, उदाहरण के लिए 1.3(18)। अंकगणित में दशमलव भिन्नों की भूमिका इस तथ्य के कारण है कि जब परिमेय संख्याओं, अर्थात् साधारण (सरल) भिन्नों को दशमलव भिन्नों द्वारा दर्शाया जाता है, तो हमेशा परिमित या आवधिक भिन्न प्राप्त होते हैं। अधिक सटीक रूप से: एक अंतिम दशमलव अंश तब प्राप्त होता है जब एक अपरिवर्तनीय सरल अंश के हर में 2 और 5 के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं; अन्य सभी मामलों में, परिणाम एक पी. अंश है, और, इसके अलावा, यह शुद्ध है यदि किसी दिए गए अघुलनशील अंश के हर में कारक 2 और 5 बिल्कुल शामिल नहीं हैं, और मिश्रित है यदि इनमें से कम से कम एक कारक शामिल है हर में. किसी भी भिन्नात्मक भिन्न को साधारण भिन्न में बदला जा सकता है (अर्थात यह किसी परिमेय संख्या के बराबर होता है)। एक शुद्ध भिन्न एक साधारण भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश आवर्त होता है, और हर को संख्या 9 द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे आवर्त में जितनी बार अंक होते हैं उतनी बार लिखा जाता है; मिश्रित भिन्न को साधारण भिन्न में परिवर्तित करते समय, अंश दूसरी अवधि से पहले की संख्याओं द्वारा दर्शाई गई संख्या और पहली अवधि से पहले की संख्याओं द्वारा दर्शाई गई संख्या के बीच का अंतर होता है; हर की रचना करने के लिए, आपको संख्या 9 को उतनी बार लिखना होगा जितनी बार आवर्त में संख्याएँ हों, और दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़ने होंगे जितने आवर्त से पहले संख्याएँ हों। ये नियम मानते हैं कि दिया गया P. सही है, अर्थात इसमें संपूर्ण इकाइयाँ शामिल नहीं हैं; अन्यथा पूरे भाग पर विशेष ध्यान दिया जाता है।

किसी दिए गए साधारण भिन्न के संगत भिन्न की अवधि की लंबाई निर्धारित करने के नियम भी ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, एक अंश के लिए ए/पी, कहाँ आर -अभाज्य संख्या और 1 ≤ ए ≤ पी- 1, अवधि की लंबाई एक भाजक है आर - 1. तो, किसी संख्या के ज्ञात सन्निकटन के लिए (पाई देखें) 22/7 और 355/113 अवधि क्रमशः 6 और 112 के बराबर हैं।

बड़ा सोवियत विश्वकोश. - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

समानार्थी शब्द:

देखें अन्य शब्दकोशों में "आवधिक अंश" क्या है:

उदाहरण के लिए, एक अनंत दशमलव अंश जिसमें एक निश्चित स्थान से शुरू होकर अंकों का एक निश्चित समूह (अवधि) समय-समय पर दोहराया जाता है। 0.373737... शुद्ध आवर्त भिन्न या 0.253737... मिश्रित आवर्त भिन्न... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

भिन्न, अनंत भिन्न रूसी पर्यायवाची शब्दकोष। आवर्त भिन्न संज्ञा, पर्यायवाची शब्दों की संख्या: 2 अनंत भिन्न (2) ... पर्यायवाची शब्दकोष

एक दशमलव अंश जिसमें अंकों की एक श्रृंखला एक ही क्रम में दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए, 0.135135135... एक पीडी है जिसकी अवधि 135 है और जो साधारण अंश 135/999 = 5/37 के बराबर है। रूसी भाषा में शामिल विदेशी शब्दों का शब्दकोश। पावलेनकोव एफ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

दशमलव एक भिन्न है जिसका हर 10n है, जहाँ n है प्राकृतिक संख्या. यह है विशेष आकारप्रविष्टियाँ: दशमलव संख्या प्रणाली में एक पूर्णांक भाग, फिर एक अल्पविराम और फिर दशमलव संख्या प्रणाली में एक भिन्नात्मक भाग, और भिन्नात्मक भाग के अंकों की संख्या ... विकिपीडिया

एक अनंत दशमलव अंश जिसमें एक निश्चित बिंदु से शुरू होकर अंकों का एक निश्चित समूह (अवधि) समय-समय पर दोहराया जाता है; उदाहरण के लिए, 0.373737... शुद्ध आवर्त भिन्न या 0.253737... मिश्रित आवर्त भिन्न। * * *आवधिक… … विश्वकोश शब्दकोश

एक अंतहीन दशमलव अंश जिसमें एक निश्चित स्थान से प्रारंभ करके परिभाषा को समय-समय पर दोहराया जाता है। अंकों का समूह (अवधि); उदाहरण के लिए, 0.373737...शुद्ध पी.डी. या 0.253737...मिश्रित पी.डी.... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

भाग देखें... रूसी पर्यायवाची और समान अभिव्यक्तियों का शब्दकोश। अंतर्गत। ईडी। एन. अब्रामोवा, एम.: रशियन डिक्शनरीज़, 1999. फ्रैक्शन ट्रिफ़ल, भाग; डंस्ट, बॉल, मील, बकशॉट; एक भिन्नात्मक संख्यारूसी पर्यायवाची शब्दकोष... पर्यायवाची शब्दकोष

आवधिक दशमलव- - [एल.जी. सुमेंको। सूचना प्रौद्योगिकी पर अंग्रेजी-रूसी शब्दकोश। एम.: राज्य उद्यम TsNIIS, 2003.] विषय सूचान प्रौद्योगिकीसामान्यतः EN परिसंचारी दशमलव आवर्ती दशमलव आवर्ती दशमलव आवर्त दशमलव आवर्ती दशमलव ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

यदि कुछ पूर्णांक a को किसी अन्य पूर्णांक b से विभाजित किया जाता है, यानी, एक संख्या x मांगी जाती है जो शर्त bx = a को संतुष्ट करती है, तो दो मामले उत्पन्न हो सकते हैं: या तो पूर्णांकों की श्रृंखला में एक संख्या x है जो इस शर्त को संतुष्ट करती है, या यह पता चला है ,… … विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रॉकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

एक भिन्न जिसका हर है पूरी डिग्रीसंख्याएँ 10. D. को हर के बिना लिखा जाता है, दाईं ओर अंश में उतने अंकों को अल्पविराम से अलग किया जाता है जितने हर में शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे रिकॉर्ड में, बाईं ओर का भाग... ... महान सोवियत विश्वकोश