0 को 5 से विभाजित करने पर वही प्राप्त होता है। उच्च गणित के बारे में क्या? गुणन का क्रमविनिमेय नियम

स्कूल अंकगणित पाठ्यक्रम में, सभी गणितीय संक्रियाएँ वास्तविक संख्याओं के साथ की जाती हैं। इन संख्याओं के समुच्चय (या एक निरंतर क्रमित फ़ील्ड) में कई गुण (स्वयंसिद्ध) होते हैं: गुणन और जोड़ की क्रमविनिमेयता और साहचर्यता, शून्य, एक, विपरीत और व्युत्क्रम तत्वों का अस्तित्व। इसके अलावा क्रम और निरंतरता के सिद्धांत भी लागू होते हैं तुलनात्मक विश्लेषण, आपको वास्तविक संख्याओं के सभी गुणों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

चूँकि विभाजन गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया है, वास्तविक संख्याओं को शून्य से विभाजित करने पर दो अघुलनशील समस्याएँ अनिवार्य रूप से उत्पन्न होती हैं। सबसे पहले, गुणन का उपयोग करके शून्य से भाग के परिणाम की जाँच करने पर कोई संख्यात्मक अभिव्यक्ति नहीं होती है। भागफल चाहे कोई भी संख्या हो, यदि उसे शून्य से गुणा किया जाए तो लाभांश प्राप्त करना असंभव है। दूसरे, उदाहरण 0:0 में उत्तर बिल्कुल कोई भी संख्या हो सकता है, जिसे भाजक से गुणा करने पर हमेशा शून्य हो जाता है।

उच्च गणित में शून्य से विभाजन

के अनुसार, शून्य से विभाजित करने की सूचीबद्ध कठिनाइयों के कारण इस ऑपरेशन पर प्रतिबंध लगा दिया गया कम से कम, एक स्कूल पाठ्यक्रम के भाग के रूप में। हालाँकि, उच्च गणित में वे इस निषेध को दूर करने के तरीके खोजते हैं।

उदाहरण के लिए, परिचित संख्या रेखा से भिन्न, एक अलग बीजगणितीय संरचना का निर्माण करके। ऐसी संरचना का एक उदाहरण एक पहिया है। यहां कानून और नियम हैं. विशेष रूप से, विभाजन गुणन से बंधा नहीं है और एक बाइनरी ऑपरेशन (दो तर्कों के साथ) से एक यूनरी ऑपरेशन (एक तर्क के साथ) में बदल जाता है, जिसे प्रतीक /x द्वारा दर्शाया जाता है।

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का विस्तार हाइपररियल संख्याओं की शुरूआत के कारण होता है, जो असीम रूप से बड़ी और अनंत मात्राओं को कवर करता है। यह दृष्टिकोण हमें "अनंत" शब्द को एक निश्चित संख्या के रूप में मानने की अनुमति देता है। इसके अलावा, जब संख्या रेखा का विस्तार होता है, तो यह संख्या अपना चिह्न खो देती है, और इस रेखा के दोनों सिरों को जोड़ने वाले एक आदर्श बिंदु में बदल जाती है। इस दृष्टिकोण की तुलना दिनांक रेखा से की जा सकती है, जब दो समय क्षेत्रों UTC+12 और UTC-12 के बीच चलते समय आप स्वयं को इसमें पा सकते हैं अगले दिनया पिछले वाले में. इस स्थिति में, किसी भी x≠0 के लिए कथन x/0=∞ सत्य हो जाता है।

अनिश्चितता 0/0 को खत्म करने के लिए, पहिये के लिए एक नया तत्व ⏊=0/0 पेश किया गया है। साथ ही, इस बीजगणितीय संरचना की अपनी बारीकियाँ हैं: 0 x≠0; x-x≠0 वी सामान्य मामला. इसके अलावा x·/x≠1, क्योंकि भाग और गुणा को अब व्युत्क्रम संक्रिया नहीं माना जाता है। लेकिन पहिये की इन विशेषताओं को वितरण कानून की पहचान का उपयोग करके अच्छी तरह से समझाया गया है, जो ऐसी बीजगणितीय संरचना में कुछ अलग तरीके से संचालित होता है। अधिक विस्तृत स्पष्टीकरण विशेष साहित्य में पाए जा सकते हैं।

बीजगणित, जिसका हर कोई आदी है, वास्तव में, अधिक का एक विशेष मामला है जटिल प्रणालियाँ, उदाहरण के लिए, वही पहिया। जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्च गणित में शून्य से भाग देना संभव है। इसके लिए संख्याओं, बीजीय संक्रियाओं और उन कानूनों के बारे में पारंपरिक विचारों की सीमाओं से परे जाने की आवश्यकता है जिनका वे पालन करते हैं। हालाँकि ये काफी है प्राकृतिक प्रक्रिया, नए ज्ञान की किसी भी खोज के साथ।

वे कहते हैं कि यदि आप विभाजन का परिणाम शून्य से निर्धारित करते हैं तो आप शून्य से भाग दे सकते हैं। आपको बस बीजगणित का विस्तार करने की आवश्यकता है। एक अजीब संयोग से, ऐसे विस्तार के कम से कम कुछ, या बेहतर समझने योग्य और सरल उदाहरण ढूंढना संभव नहीं है। इंटरनेट को ठीक करने के लिए, आपको या तो ऐसे विस्तार के तरीकों में से किसी एक के प्रदर्शन की आवश्यकता है, या यह संभव क्यों नहीं है इसका विवरण।

लेख प्रवृत्ति की निरंतरता में लिखा गया था:

अस्वीकरण

इस लेख का उद्देश्य यह समझाना है कि " मानव भाषा", गणित के मूलभूत सिद्धांत कैसे काम करते हैं, ज्ञान की संरचना करते हैं और गणित की शाखाओं के बीच छूटे हुए कारण-और-प्रभाव संबंधों को पुनर्स्थापित करते हैं। सभी तर्क दार्शनिक हैं; कुछ निर्णयों में, वे आम तौर पर स्वीकृत निर्णयों से भिन्न होते हैं (इसलिए, वे गणितीय रूप से कठोर होने का दिखावा नहीं करते हैं)। यह लेख उस पाठक के स्तर के लिए डिज़ाइन किया गया है जिसने "कई साल पहले टावर को पार किया था।"

अंकगणित, प्रारंभिक, सामान्य और रैखिक बीजगणित, गणितीय और गैर-मानक विश्लेषण, सेट सिद्धांत, सामान्य टोपोलॉजी, प्रक्षेप्य और एफ़िन ज्यामिति के सिद्धांतों की समझ वांछनीय है, लेकिन आवश्यक नहीं है।

प्रयोगों के दौरान किसी भी अनन्तता को नुकसान नहीं पहुँचाया गया।

प्रस्ताव

"सीमाओं से परे" जाना नए ज्ञान की खोज की एक स्वाभाविक प्रक्रिया है। लेकिन हर खोज नया ज्ञान नहीं लाती और इसलिए लाभ नहीं लाती।

1. दरअसल, हमसे पहले ही सब कुछ बंट चुका है!

1.1 संख्या रेखा का विस्तार विस्तार

आइए वहां से शुरू करें जहां सभी साहसी संभवतः शून्य से विभाजित करते समय शुरू करते हैं। आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ याद रखें .

शून्य के बायीं और दायीं ओर फ़ंक्शन जाता है अलग-अलग पक्ष"अस्तित्व" सबसे नीचे एक सामान्य "पूल" है और कुछ भी दिखाई नहीं देता है।

पूल में सिर के बल दौड़ने के बजाय, आइए देखें कि इसमें क्या बहता है और इससे क्या निकलता है। ऐसा करने के लिए, हम गणितीय विश्लेषण के मुख्य उपकरण - सीमा का उपयोग करेंगे। मुख्य "ट्रिक" यह है कि सीमा आपको किसी दिए गए बिंदु पर जितना संभव हो उतना करीब जाने की अनुमति देती है, लेकिन "उस पर कदम रखने" की नहीं। "पूल" के सामने ऐसी "बाड़"।

मूल

ठीक है, "बाड़" खड़ी कर दी गई है। यह अब इतना डरावना नहीं है. हमारे पास पूल तक जाने के दो रास्ते हैं। आइए बायीं ओर चलें - खड़ी उतराई, दायीं ओर - खड़ी चढ़ाई। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप "बाड़" की ओर कितना चलते हैं, यह करीब नहीं आता है। निचले और ऊपरी "शून्यता" को पार करने का कोई रास्ता नहीं है। संदेह पैदा होता है: शायद हम चक्कर लगा रहे हैं? हालाँकि नहीं, संख्याएँ बदलती रहती हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक घेरे में नहीं हैं। आइए गणितीय विश्लेषण उपकरणों के भंडार को कुछ और खंगालें। "बाड़" की सीमाओं के अलावा, किट में सकारात्मक और नकारात्मक अनन्तताएँ शामिल हैं। मात्राएँ पूरी तरह से अमूर्त हैं (संख्या नहीं), अच्छी तरह से औपचारिक और उपयोग के लिए तैयार! यह हमारे अनुकूल है. आइए अपने "अस्तित्व" (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) को दो हस्ताक्षरित अनन्तताओं के साथ पूरक करें।

गणितीय भाषा में:

यह वह एक्सटेंशन है जो आपको एक सीमा लेने की अनुमति देता है जब तर्क अनंत की ओर जाता है और सीमा लेने के परिणामस्वरूप अनंत प्राप्त होता है।

गणित की दो शाखाएँ हैं जो अलग-अलग शब्दावली का उपयोग करके एक ही चीज़ का वर्णन करती हैं।

आइए संक्षेप में बताएं:

आधार - रेखा है की। पुराने दृष्टिकोण अब काम नहीं करते. सिस्टम की जटिलता, "अगर", "सभी के लिए लेकिन", आदि के समूह के रूप में बढ़ गई है। हमारे पास केवल दो अनिश्चितताएँ थीं 1/0 और 0/0 (हमने बिजली संचालन पर विचार नहीं किया), इसलिए पाँच थीं। एक अनिश्चितता के रहस्योद्घाटन ने और भी अधिक अनिश्चितताएँ पैदा कर दीं।

1.2 पहिया

यह अहस्ताक्षरित अनंत की शुरूआत के साथ नहीं रुका। अनिश्चितताओं से बाहर निकलने के लिए आपको दूसरी हवा की जरूरत है।

तो हमारे पास वास्तविक संख्याओं का एक सेट और दो अनिश्चितताएं 1/0 और 0/0 हैं। पहले को खत्म करने के लिए, हमने संख्या रेखा का एक प्रक्षेपी विस्तार किया (अर्थात्, हमने अहस्ताक्षरित अनंत का परिचय दिया)। आइए फॉर्म 0/0 की दूसरी अनिश्चितता से निपटने का प्रयास करें। आइये ऐसा ही करें. आइए संख्याओं के सेट में एक नया तत्व जोड़ें, जो दूसरी अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है।

विभाजन संक्रिया की परिभाषा गुणन पर आधारित है। ये हमें शोभा नहीं देता. आइए संक्रियाओं को एक-दूसरे से अलग करें, लेकिन वास्तविक संख्याओं के लिए सामान्य व्यवहार बनाए रखें। आइए एक यूनरी डिवीजन ऑपरेशन को परिभाषित करें, जिसे "/" चिह्न द्वारा दर्शाया गया है।

आइए संचालन को परिभाषित करें।

इस संरचना को "पहिया" कहा जाता है। यह शब्द संख्या रेखा के प्रक्षेप्य विस्तार और 0/0 बिंदु के टोपोलॉजिकल चित्र के साथ समानता के कारण लिया गया था।

सब कुछ अच्छा लग रहा है, लेकिन शैतान विवरण में है:

सभी विशेषताओं को स्थापित करने के लिए, तत्वों के समूह के विस्तार के अलावा, एक नहीं, बल्कि दो पहचानों के रूप में एक बोनस संलग्न किया जाता है जो वितरण कानून का वर्णन करता है।

गणितीय भाषा में:

सामान्य बीजगणित के दृष्टिकोण से, हमने क्षेत्र के साथ काम किया। और क्षेत्र में, जैसा कि आप जानते हैं, केवल दो संक्रियाएँ परिभाषित हैं (जोड़ और गुणा)। विभाजन की अवधारणा व्युत्क्रम के माध्यम से, और इससे भी अधिक गहराई में, इकाई तत्वों के माध्यम से ली गई है। किए गए परिवर्तन हमारी बीजगणितीय प्रणाली को जोड़ के संचालन (एक तटस्थ तत्व के रूप में शून्य के साथ) और गुणन के संचालन (एक तटस्थ तत्व के रूप में) दोनों के लिए एक मोनोइड में बदल देते हैं।

अग्रदूतों के कार्यों में हमेशा ∞ और ⊥ प्रतीकों का उपयोग नहीं होता है। इसके बजाय, आप फॉर्म /0 और 0/0 में प्रविष्टियाँ पा सकते हैं।

दुनिया अब उतनी अद्भुत नहीं रही, है ना? फिर भी जल्दबाजी करने की जरूरत नहीं है. आइए देखें कि क्या वितरण कानून की नई पहचान हमारे विस्तारित सेट का सामना कर सकती हैं .

इस बार रिजल्ट काफी बेहतर है.

आइए संक्षेप में बताएं:

आधार - रेखा है की। बीजगणित बढ़िया काम करता है. हालाँकि, "अपरिभाषित" की अवधारणा को एक आधार के रूप में लिया गया, जिसे वे मौजूदा चीज़ के रूप में मानने लगे और इसके साथ काम करने लगे। एक दिन कोई कहेगा कि सब कुछ ख़राब है और आपको इस "अपरिभाषित" को कई और "अपरिभाषित" में, लेकिन छोटे भागों में तोड़ने की ज़रूरत है। सामान्य बीजगणित कहेगा: "कोई बात नहीं, भाई!"
यह लगभग इसी प्रकार है कि अतिरिक्त (जे और के) काल्पनिक इकाइयाँ चतुर्भुज टैग में कैसे निर्धारित की जाती हैं

एवगेनी शिर्याव, शिक्षक और पॉलिटेक्निक संग्रहालय की गणित प्रयोगशाला के प्रमुख, शून्य से विभाजन के बारे में AiF.ru को बताया:

1. मुद्दे का क्षेत्राधिकार

सहमत हूँ, जो चीज़ नियम को विशेष रूप से उत्तेजक बनाती है वह है प्रतिबंध। यह कैसे नहीं किया जा सकता? प्रतिबंध किसने लगाया? हमारे नागरिक अधिकारों के बारे में क्या?

न तो रूसी संघ का संविधान, न ही आपराधिक संहिता, न ही आपके स्कूल का चार्टर उस बौद्धिक कार्रवाई पर आपत्ति करता है जिसमें हमारी रुचि है। इसका मतलब कोई प्रतिबंध नहीं है कानूनी बल, और कुछ भी आपको यहीं AiF.ru के पन्नों पर किसी चीज़ को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करने से नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, एक हजार.

2. आइए सिखाए अनुसार विभाजित करें

याद रखें, जब आपने पहली बार विभाजित करना सीखा था, तो पहले उदाहरणों को गुणन की जाँच करके हल किया गया था: भाजक द्वारा गुणा किया गया परिणाम विभाज्य के समान होना चाहिए। यदि यह मेल नहीं खाता, तो उन्होंने निर्णय नहीं लिया।

उदाहरण 1। 1000: 0 =...

आइए एक पल के लिए निषिद्ध नियम को भूल जाएं और उत्तर का अनुमान लगाने के लिए कई प्रयास करें।

गलत वालों का चेक काट दिया जाएगा। निम्नलिखित विकल्प आज़माएँ: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000। उनमें से प्रत्येक के लिए, चेक समान परिणाम देगा:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0

शून्य को गुणा करने से हर चीज़ अपने आप में बदल जाती है, हजार में कभी नहीं। निष्कर्ष निकालना आसान है: कोई भी संख्या परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगी। अर्थात्, किसी गैर-शून्य संख्या को शून्य से विभाजित करने पर कोई भी संख्या प्राप्त नहीं हो सकती। इस तरह का विभाजन निषिद्ध नहीं है, लेकिन इसका कोई परिणाम नहीं है।

3. सूक्ष्मता

हमने प्रतिबंध का खंडन करने का एक अवसर लगभग गँवा दिया। हाँ, हम स्वीकार करते हैं कि एक गैर-शून्य संख्या को 0 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। लेकिन शायद 0 स्वयं कर सकता है?

उदाहरण 2. 0: 0 = ...

निजी तौर पर आपके क्या सुझाव हैं? 100? कृपया: 100 के भागफल को भाजक 0 से गुणा करने पर लाभांश 0 के बराबर होता है।

अधिक विकल्प! 1? फिट भी बैठता है. और -23, और 17, और बस इतना ही। इस उदाहरण में, परीक्षण किसी भी संख्या के लिए सकारात्मक होगा। और ईमानदारी से कहें तो, इस उदाहरण में समाधान को एक संख्या नहीं, बल्कि संख्याओं का एक समूह कहा जाना चाहिए। सब लोग। और इस बात पर सहमत होने में देर नहीं लगती कि ऐलिस ऐलिस नहीं है, बल्कि मैरी एन है, और वे दोनों एक खरगोश का सपना हैं।

4. उच्च गणित के बारे में क्या?

समस्या का समाधान हो गया है, बारीकियों को ध्यान में रखा गया है, बिंदु लगाए गए हैं, सब कुछ स्पष्ट हो गया है - शून्य से विभाजन वाले उदाहरण का उत्तर एक एकल संख्या नहीं हो सकता है। ऐसी समस्याओं का समाधान निराशाजनक एवं असंभव है। यानी... दिलचस्प! टेक टू।

उदाहरण 3. जानें कि 1000 को 0 से कैसे विभाजित किया जाए।

लेकिन कोई रास्ता नहीं. लेकिन 1000 को अन्य संख्याओं से आसानी से विभाजित किया जा सकता है। ठीक है, आइए कम से कम वह करें जो हम कर सकते हैं, भले ही हम हाथ में लिया गया कार्य बदल दें। और फिर, आप देखिए, हम बहक जाते हैं, और उत्तर अपने आप सामने आ जाएगा। आइए एक मिनट के लिए शून्य को भूल जाएं और सौ से भाग दें:

शतक शून्य से बहुत दूर है. आइए भाजक को कम करके इस ओर एक कदम बढ़ाएं:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

गतिशीलता स्पष्ट है: भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। इस प्रवृत्ति को भिन्नों की ओर ले जाकर और अंश को कम करना जारी रखकर आगे भी देखा जा सकता है:

यह ध्यान रखना बाकी है कि हम जितना चाहें शून्य के करीब पहुंच सकते हैं, भागफल को जितना चाहें उतना बड़ा बना सकते हैं।

इस प्रक्रिया में कोई शून्य नहीं है और कोई अंतिम भागफल नहीं है। जिस संख्या में हम रुचि रखते हैं, उसमें परिवर्तित होने वाले अनुक्रम के साथ संख्या को प्रतिस्थापित करके हमने उनकी ओर आंदोलन का संकेत दिया:

इसका तात्पर्य लाभांश के लिए एक समान प्रतिस्थापन से है:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

यह अकारण नहीं है कि तीर दो तरफा हैं: कुछ अनुक्रम संख्याओं में परिवर्तित हो सकते हैं। तब हम अनुक्रम को उसकी संख्यात्मक सीमा के साथ जोड़ सकते हैं।

आइए भागफल के क्रम पर नजर डालें:

यह असीमित रूप से बढ़ता है, किसी संख्या के लिए प्रयास नहीं करता और न ही किसी से आगे निकल जाता है। गणितज्ञ संख्याओं में प्रतीक जोड़ते हैं ∞ ऐसे क्रम के आगे दो तरफा तीर लगाने में सक्षम होने के लिए:

उन अनुक्रमों की संख्या के साथ तुलना जिनकी एक सीमा है, हमें तीसरे उदाहरण का समाधान प्रस्तावित करने की अनुमति देती है:

जब 1000 में परिवर्तित होने वाले अनुक्रम को 0 में परिवर्तित होने वाली सकारात्मक संख्याओं के अनुक्रम से तत्ववार विभाजित किया जाता है, तो हमें ∞ में परिवर्तित होने वाला एक अनुक्रम प्राप्त होता है।

5. और यहां दो शून्य के साथ बारीकियां हैं

शून्य पर मिलने वाली सकारात्मक संख्याओं के दो अनुक्रमों को विभाजित करने का परिणाम क्या है? यदि वे समान हैं, तो इकाई समान है। यदि लाभांश अनुक्रम तेजी से शून्य में परिवर्तित हो जाता है, तो भागफल में अनुक्रम की शून्य सीमा होती है। और जब भाजक के तत्व लाभांश की तुलना में बहुत तेजी से घटते हैं, तो भागफल का क्रम बहुत बढ़ जाएगा:

अनिश्चित स्थिति. और इसे ही कहा जाता है: प्रकार की अनिश्चितता 0/0 . जब गणितज्ञ ऐसे अनुक्रम देखते हैं जो ऐसी अनिश्चितता के अनुकूल होते हैं, तो वे दो समान संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करने में जल्दबाजी नहीं करते हैं, बल्कि यह पता लगाते हैं कि कौन सा अनुक्रम तेजी से शून्य तक चलता है और वास्तव में कितना। और प्रत्येक उदाहरण का अपना विशिष्ट उत्तर होगा!

6. जीवन में

ओम का नियम किसी सर्किट में करंट, वोल्टेज और प्रतिरोध से संबंधित है। इसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है:

आइए हम स्वयं को स्पष्ट भौतिक समझ की उपेक्षा करने दें और औपचारिक रूप से दाईं ओर को दो संख्याओं के भागफल के रूप में देखें। आइए कल्पना करें कि हम बिजली पर एक स्कूल की समस्या का समाधान कर रहे हैं। स्थिति वोल्ट में वोल्टेज और ओम में प्रतिरोध देती है। प्रश्न स्पष्ट है, समाधान एक क्रिया में है।

अब आइए अतिचालकता की परिभाषा देखें: यह कुछ धातुओं का शून्य विद्युत प्रतिरोध होने का गुण है।

खैर, आइए सुपरकंडक्टिंग सर्किट की समस्या का समाधान करें? बस इसे सेट करें आर= 0 यह काम नहीं करेगा, भौतिकी ख़राब है दिलचस्प कार्य, जो स्पष्ट रूप से पीछे खड़ा है वैज्ञानिक खोज. और जो लोग इस स्थिति में शून्य से विभाजित करने में कामयाब रहे उन्हें प्राप्त हुआ नोबेल पुरस्कार. किसी भी निषेध को दरकिनार करने में सक्षम होना उपयोगी है!

वे कहते हैं कि यदि आप विभाजन का परिणाम शून्य से निर्धारित करते हैं तो आप शून्य से भाग दे सकते हैं। आपको बस बीजगणित का विस्तार करने की आवश्यकता है। एक अजीब संयोग से, ऐसे विस्तार के कम से कम कुछ, या बेहतर समझने योग्य और सरल उदाहरण ढूंढना संभव नहीं है। इंटरनेट को ठीक करने के लिए, आपको या तो ऐसे विस्तार के तरीकों में से किसी एक के प्रदर्शन की आवश्यकता है, या यह संभव क्यों नहीं है इसका विवरण।

लेख प्रवृत्ति की निरंतरता में लिखा गया था:

अस्वीकरण

इस लेख का उद्देश्य "मानव भाषा" में यह समझाना है कि गणित के मूलभूत सिद्धांत कैसे काम करते हैं, ज्ञान की संरचना करना और गणित की शाखाओं के बीच छूटे कारण-और-प्रभाव संबंधों को बहाल करना है। सभी तर्क दार्शनिक हैं; कुछ निर्णयों में, वे आम तौर पर स्वीकृत निर्णयों से भिन्न होते हैं (इसलिए, वे गणितीय रूप से कठोर होने का दिखावा नहीं करते हैं)। यह लेख उस पाठक के स्तर के लिए डिज़ाइन किया गया है जिसने "कई साल पहले टावर को पार किया था।"

अंकगणित, प्रारंभिक, सामान्य और रैखिक बीजगणित, गणितीय और गैर-मानक विश्लेषण, सेट सिद्धांत, सामान्य टोपोलॉजी, प्रक्षेप्य और एफ़िन ज्यामिति के सिद्धांतों की समझ वांछनीय है, लेकिन आवश्यक नहीं है।

प्रयोगों के दौरान किसी भी अनन्तता को नुकसान नहीं पहुँचाया गया।

प्रस्ताव

"सीमाओं से परे" जाना नए ज्ञान की खोज की एक स्वाभाविक प्रक्रिया है। लेकिन हर खोज नया ज्ञान नहीं लाती और इसलिए लाभ नहीं लाती।

1. दरअसल, हमसे पहले ही सब कुछ बंट चुका है!

1.1 संख्या रेखा का विस्तार विस्तार

आइए वहां से शुरू करें जहां सभी साहसी संभवतः शून्य से विभाजित करते समय शुरू करते हैं। आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ याद रखें .

शून्य के बाएँ और दाएँ, फ़ंक्शन "अस्तित्व" की विभिन्न दिशाओं में जाता है। सबसे नीचे एक सामान्य "पूल" है और कुछ भी दिखाई नहीं देता है।

पूल में सिर के बल दौड़ने के बजाय, आइए देखें कि इसमें क्या बहता है और इससे क्या निकलता है। ऐसा करने के लिए, हम गणितीय विश्लेषण के मुख्य उपकरण - सीमा का उपयोग करेंगे। मुख्य "ट्रिक" यह है कि सीमा आपको किसी दिए गए बिंदु पर जितना संभव हो उतना करीब जाने की अनुमति देती है, लेकिन "उस पर कदम रखने" की नहीं। "पूल" के सामने ऐसी "बाड़"।

मूल

ठीक है, "बाड़" खड़ी कर दी गई है। यह अब इतना डरावना नहीं है. हमारे पास पूल तक जाने के दो रास्ते हैं। आइए बायीं ओर चलें - खड़ी उतराई, दायीं ओर - खड़ी चढ़ाई। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप "बाड़" की ओर कितना चलते हैं, यह करीब नहीं आता है। निचले और ऊपरी "शून्यता" को पार करने का कोई रास्ता नहीं है। संदेह पैदा होता है: शायद हम चक्कर लगा रहे हैं? हालाँकि नहीं, संख्याएँ बदलती रहती हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक घेरे में नहीं हैं। आइए गणितीय विश्लेषण उपकरणों के भंडार को कुछ और खंगालें। "बाड़" की सीमाओं के अलावा, किट में सकारात्मक और नकारात्मक अनन्तताएँ शामिल हैं। मात्राएँ पूरी तरह से अमूर्त हैं (संख्या नहीं), अच्छी तरह से औपचारिक और उपयोग के लिए तैयार! यह हमारे अनुकूल है. आइए अपने "अस्तित्व" (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) को दो हस्ताक्षरित अनन्तताओं के साथ पूरक करें।

गणितीय भाषा में:

यह वह एक्सटेंशन है जो आपको एक सीमा लेने की अनुमति देता है जब तर्क अनंत की ओर जाता है और सीमा लेने के परिणामस्वरूप अनंत प्राप्त होता है।

गणित की दो शाखाएँ हैं जो अलग-अलग शब्दावली का उपयोग करके एक ही चीज़ का वर्णन करती हैं।

आइए संक्षेप में बताएं:

आधार - रेखा है की। पुराने दृष्टिकोण अब काम नहीं करते. सिस्टम की जटिलता, "अगर", "सभी के लिए लेकिन", आदि के समूह के रूप में बढ़ गई है। हमारे पास केवल दो अनिश्चितताएँ थीं 1/0 और 0/0 (हमने बिजली संचालन पर विचार नहीं किया), इसलिए पाँच थीं। एक अनिश्चितता के रहस्योद्घाटन ने और भी अधिक अनिश्चितताएँ पैदा कर दीं।

1.2 पहिया

यह अहस्ताक्षरित अनंत की शुरूआत के साथ नहीं रुका। अनिश्चितताओं से बाहर निकलने के लिए आपको दूसरी हवा की जरूरत है।

तो हमारे पास वास्तविक संख्याओं का एक सेट और दो अनिश्चितताएं 1/0 और 0/0 हैं। पहले को खत्म करने के लिए, हमने संख्या रेखा का एक प्रक्षेपी विस्तार किया (अर्थात्, हमने अहस्ताक्षरित अनंत का परिचय दिया)। आइए फॉर्म 0/0 की दूसरी अनिश्चितता से निपटने का प्रयास करें। आइये ऐसा ही करें. आइए संख्याओं के सेट में एक नया तत्व जोड़ें, जो दूसरी अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है।

विभाजन संक्रिया की परिभाषा गुणन पर आधारित है। ये हमें शोभा नहीं देता. आइए संक्रियाओं को एक-दूसरे से अलग करें, लेकिन वास्तविक संख्याओं के लिए सामान्य व्यवहार बनाए रखें। आइए एक यूनरी डिवीजन ऑपरेशन को परिभाषित करें, जिसे "/" चिह्न द्वारा दर्शाया गया है।

आइए संचालन को परिभाषित करें।

इस संरचना को "पहिया" कहा जाता है। यह शब्द संख्या रेखा के प्रक्षेप्य विस्तार और 0/0 बिंदु के टोपोलॉजिकल चित्र के साथ समानता के कारण लिया गया था।

सब कुछ अच्छा लग रहा है, लेकिन शैतान विवरण में है:

सभी विशेषताओं को स्थापित करने के लिए, तत्वों के समूह के विस्तार के अलावा, एक नहीं, बल्कि दो पहचानों के रूप में एक बोनस संलग्न किया जाता है जो वितरण कानून का वर्णन करता है।

गणितीय भाषा में:

सामान्य बीजगणित के दृष्टिकोण से, हमने क्षेत्र के साथ काम किया। और क्षेत्र में, जैसा कि आप जानते हैं, केवल दो संक्रियाएँ परिभाषित हैं (जोड़ और गुणा)। विभाजन की अवधारणा व्युत्क्रम के माध्यम से, और इससे भी अधिक गहराई में, इकाई तत्वों के माध्यम से ली गई है। किए गए परिवर्तन हमारी बीजगणितीय प्रणाली को जोड़ के संचालन (एक तटस्थ तत्व के रूप में शून्य के साथ) और गुणन के संचालन (एक तटस्थ तत्व के रूप में) दोनों के लिए एक मोनोइड में बदल देते हैं।

अग्रदूतों के कार्यों में हमेशा ∞ और ⊥ प्रतीकों का उपयोग नहीं होता है। इसके बजाय, आप फॉर्म /0 और 0/0 में प्रविष्टियाँ पा सकते हैं।

दुनिया अब उतनी अद्भुत नहीं रही, है ना? फिर भी जल्दबाजी करने की जरूरत नहीं है. आइए देखें कि क्या वितरण कानून की नई पहचान हमारे विस्तारित सेट का सामना कर सकती हैं .

इस बार रिजल्ट काफी बेहतर है.

आइए संक्षेप में बताएं:

आधार - रेखा है की। बीजगणित बढ़िया काम करता है. हालाँकि, "अपरिभाषित" की अवधारणा को एक आधार के रूप में लिया गया, जिसे वे मौजूदा चीज़ के रूप में मानने लगे और इसके साथ काम करने लगे। एक दिन कोई कहेगा कि सब कुछ ख़राब है और आपको इस "अपरिभाषित" को कई और "अपरिभाषित" में, लेकिन छोटे भागों में तोड़ने की ज़रूरत है। सामान्य बीजगणित कहेगा: "कोई बात नहीं, भाई!"
यह लगभग इसी प्रकार है कि अतिरिक्त (जे और के) काल्पनिक इकाइयाँ चतुर्भुज टैग में कैसे निर्धारित की जाती हैं

• ट्यूटोरियल

मेरी तीन साल की बेटी सोफिया हाल ही मेंअक्सर "शून्य" का उल्लेख होता है, उदाहरण के लिए, इस संदर्भ में:

- सोन्या, ऐसा लगता है जैसे तुमने पहले नहीं सुनी, लेकिन फिर मान ली, क्या होगा?
- अच्छा... शून्य!

वे। अनुभूति नकारात्मक संख्याएँऔर तटस्थता पहले से ही शून्य है, ओह कैसे। जल्द ही वह पूछेगा: इसे शून्य से विभाजित क्यों नहीं किया जा सकता?
और इसलिए मैंने फैसला किया सरल शब्दों मेंशून्य से विभाजन और उस सब के बारे में जो कुछ भी मुझे अभी भी याद है उसे लिखो।

सामान्य तौर पर, विभाजन को सौ बार सुनने की तुलना में एक बार देखना बेहतर है।
ठीक है, या देखने के लिए एक को x से विभाजित करें...

यहां आप तुरंत देख सकते हैं कि शून्य ही जीवन, ब्रह्मांड और हर चीज का केंद्र है। के जवाब में मुख्य प्रश्नइस सब के बारे में, अपने आप को 42 होने दें, लेकिन केंद्र, किसी भी स्थिति में, 0 है। इसमें कोई चिह्न भी नहीं है, न तो प्लस (मैंने आज्ञा का पालन किया), न ही माइनस (मैंने नहीं सुना), यह वास्तव में शून्य है। और वह सूअर के बच्चों के बारे में बहुत कुछ जानता है।

क्योंकि यदि किसी पिगलेट को शून्य से गुणा किया जाता है, तो पिगलेट को इस गोल ब्लैक होल में चूसा जाता है, और परिणाम फिर से शून्य होता है। जोड़-घटाव से लेकर गुणा-भाग की बात आने पर यह शून्य इतना तटस्थ नहीं होता... वहां, यदि ऊपर का शून्य "0/x" है, तो फिर ब्लैक होल. सब कुछ शून्य हो जाता है. लेकिन अगर विभाजन के दौरान, और यहां तक ​​कि नीचे से भी, "x/0" है, तो यह शुरू होता है... सफेद खरगोश का अनुसरण करें, सोन्या!

स्कूल में वे आपसे कहेंगे "आप शून्य से भाग नहीं दे सकते" और शरमाएंगे नहीं। सबूत के तौर पर, वे कैलकुलेटर पर "1/0=" दबाएंगे और एक साधारण कैलकुलेटर भी, बिना शरमाए, "ई", "त्रुटि" लिखेगा, वे कहते हैं, "यह असंभव है - इसका मतलब है कि यह असंभव है।" हालाँकि आपके पास जो कुछ है उसे एक साधारण कैलकुलेटर माना जाएगा, यह एक और सवाल है। अब, 2014 में, एंड्रॉइड फोन पर एक मानक कैलकुलेटर मुझे पूरी तरह से कुछ अलग बताता है:

वाह अनंत! अपनी निगाहें सरकाएं, वृत्त काटें। तो आप नहीं कर सकते. यह पता चला कि यह संभव है. यदि आप सावधान रहें. क्योंकि सावधानी के बिना, मेरा एंड्रॉइड भी अभी तक सहमत नहीं है: "0/0=त्रुटि", फिर से यह असंभव है। आइए पुनः प्रयास करें: "-1/0 = -∞", ओह कैसे। दिलचस्प राय, लेकिन मैं इससे सहमत नहीं हूं. मैं "0/0=त्रुटि" से भी असहमत हूं।

वैसे, जावास्क्रिप्ट, जो वर्तमान साइटों को शक्ति प्रदान करती है, एंड्रॉइड कैलकुलेटर से भी सहमत नहीं है: ब्राउज़र कंसोल पर जाएं (अभी भी F12?) और वहां लिखें: "0/0" (इनपुट)। जेएस आपको उत्तर देगा: "NaN"। यह कोई गलती नहीं है. यह "कोई संख्या नहीं" है - अर्थात। किसी प्रकार की चीज़, लेकिन कोई संख्या नहीं। इस तथ्य के बावजूद कि जेएस "1/0" को "अनन्तता" के रूप में भी समझता है। यह पहले से ही करीब है. लेकिन अभी यह केवल गर्म है...

विश्वविद्यालय में - उच्च गणित। सीमाएं, ध्रुव और अन्य शर्मिंदगी हैं। और सब कुछ अधिक से अधिक जटिल हो जाता है, वे इधर-उधर भटकते रहते हैं, लेकिन गणित के क्रिस्टल नियमों का उल्लंघन नहीं करते हैं। लेकिन अगर आप इन मौजूदा कानूनों में शून्य से विभाजन को फिट करने की कोशिश नहीं करते हैं, तो आप इस कल्पना को अपनी उंगलियों पर महसूस कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, आइए विभाजन को फिर से देखें:

अनुसरण करना सही पंक्ति, दांये से बांये तक। X शून्य के जितना करीब होता है, X से विभाजित भाग उतना ही अधिक ऊपर उड़ता है। और कहीं बादलों में "प्लस अनंतता"। वह हमेशा दूर रहती है, क्षितिज की तरह, आप उसे पकड़ नहीं सकते।

अब बायीं रेखा का अनुसरण करें, बायें से दायें। वही कहानी, अब जो विभाजित है वह नीचे की ओर, अंतहीन रूप से, "माइनस इनफिनिटी" में उड़ जाता है। इसलिए यह राय है कि "1/0= +∞", और "-1/0 = 1/-0 = -∞"।

लेकिन चाल यह है कि "0 = -0", शून्य का कोई संकेत नहीं है, यदि आप चीजों को सीमाओं के साथ जटिल नहीं बनाते हैं। और यदि आप एक को बिना किसी चिन्ह के ऐसे "सरल" शून्य से विभाजित करते हैं, तो क्या यह मान लेना तर्कसंगत नहीं है कि आपको अनंत मिलेगा - "सिर्फ" अनंत, बिना किसी चिन्ह के, शून्य की तरह। यह कहाँ है - ऊपर या नीचे? यह हर जगह है - सभी दिशाओं में शून्य से असीम रूप से दूर। यह शून्य है, अंदर से बाहर की ओर निकला हुआ है। शून्य - कुछ भी नहीं है. अनंत ही सब कुछ है. सकारात्मक और नकारात्मक दोनों. बस इतना ही। और तुरंत. निरपेक्ष।

लेकिन "0/0" के बारे में कुछ था, अनंत नहीं, कुछ और... आइए यह ट्रिक करें: "2*0=0", हाँ, स्कूल में शिक्षक कहेंगे। इसके अलावा: "3*0=0" - हाँ फिर से। और अगर हम "आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते" के बारे में परवाह नहीं करते हैं, तो वे कहते हैं, पूरी दुनिया वैसे भी धीरे-धीरे विभाजित हो रही है, हमें मिलता है: "2=0/0" और "3=0/0।" वे इसे किस कक्षा में पढ़ाते हैं, केवल शून्य के बिना, अवश्य।

एक मिनट रुकें, यह "2 = 0/0 = 3", "2=3" निकलेगा?! इसीलिए वे डरते हैं, इसीलिए यह "असंभव" है। "1/0" से अधिक डरावनी एकमात्र चीज़ "0/0" है; यहां तक ​​कि एक एंड्रॉइड कैलकुलेटर भी इससे डरता है।

लेकिन हम डरने वाले नहीं हैं! क्योंकि हमारे पास कल्पना गणित की शक्ति है. हम खुद को सितारों में कहीं अनंत निरपेक्ष के रूप में कल्पना कर सकते हैं, वहां से सीमित संख्याओं और लोगों की पापी दुनिया को देख सकते हैं और समझ सकते हैं कि इस दृष्टिकोण से वे सभी एक जैसे हैं। और "2" के साथ "3", और यहां तक ​​कि "-1", और स्कूल में शिक्षक, शायद, भी।

इसलिए, मैं विनम्रतापूर्वक सुझाव देता हूं कि 0/0 संपूर्ण परिमित दुनिया है, या यों कहें कि वह सब कुछ जो अनंत नहीं है और खाली नहीं है।

मेरी कल्पनाओं में एक्स द्वारा विभाजित शून्य ऐसा दिखता है, जो आधिकारिक गणित से बहुत दूर है। वास्तव में, यह 1/x जैसा दिखता है, केवल विभक्ति बिंदु एक पर नहीं, बल्कि शून्य पर है। वैसे, 2/x में दो पर विभक्ति है, और 0.5/x में 0.5 पर विभक्ति है।

यह पता चलता है कि x=0 पर 0/x सभी परिमित मान लेता है - अनंत नहीं, शून्यता नहीं। ग्राफ में शून्य पर एक छेद है, अक्ष दिखाई दे रहे हैं।

बेशक, कोई यह तर्क दे सकता है कि "0*0 = 0", जिसका अर्थ है कि शून्य (खालीपन) भी 0/0 श्रेणी में आता है। मुझे अपने से थोड़ा आगे निकलने दो - शून्य की डिग्री होंगी और यह आपत्ति टुकड़ों में बिखर जायेगी।

उफ़, अनंत पर एक इकाई को 0/0 के रूप में भी लिखा जा सकता है, जिसका परिणाम (0/0)/0 - अनंत होगा। अब क्रम व्यवस्थित है, सब कुछ शून्य के अनुपात से व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम परिमित को अनंत में जोड़ दें, तो अनंत परिमित को अवशोषित कर लेगा और अनंत ही रहेगा:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

और यदि अनन्तता को शून्यता से गुणा किया जाता है, तो वे एक दूसरे को अवशोषित कर लेते हैं, और परिणाम एक सीमित दुनिया है:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

लेकिन यह सपनों का केवल पहला स्तर है। आप गहरी खुदाई कर सकते हैं.

यदि आप पहले से ही "किसी संख्या की शक्ति" और "1/x = x^-1" की अवधारणा को जानते हैं, तो, कुछ विचार के साथ, आप इन सभी विभाजनों और कोष्ठकों (जैसे (0/0)/) से आगे बढ़ सकते हैं 0) केवल शक्तियों के लिए:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

संकेत।
यहां अनंतता और शून्यता के साथ सब कुछ उतना ही सरल है जितना स्कूल में होता है। और सीमित दुनिया इस तरह डिग्री तक जाती है:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

उफ़!

इससे पता चलता है कि शून्य की सकारात्मक शक्तियां शून्य हैं, नकारात्मक शक्तियांशून्य अनंत है, और शून्य की शून्य डिग्री एक सीमित दुनिया है।

इस प्रकार सार्वभौमिक वस्तु "0^x" प्राप्त होती है। ऐसी वस्तुएं एक-दूसरे के साथ पूरी तरह से बातचीत करती हैं, फिर से वे सामान्य रूप से कई कानूनों, सौंदर्य का पालन करती हैं।

गणित के बारे में मेरा मामूली ज्ञान उनसे एक एबेलियन समूह प्राप्त करने के लिए पर्याप्त था, जो शून्य में अलग-थलग था ("सिर्फ अमूर्त वस्तुएं, संकेतन का एक रूप, एक प्रतिपादक की तरह"), यहां तक ​​​​कि सबसे अच्छे गणित शिक्षक की परीक्षा भी पास कर ली। फैसला "दिलचस्प है, लेकिन कुछ भी काम नहीं करेगा।" यदि यहां कुछ काम हुआ होता, तो यह एक वर्जित विषय है - शून्य से विभाजन। सामान्य तौर पर, परेशान मत होइए।

आइए अनंत को एक सीमित संख्या से गुणा करने का प्रयास करें:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

पुनः, अनन्तता ने एक परिमित संख्या को उसी प्रकार अवशोषित कर लिया जिस प्रकार उसका एंटीपोड शून्य परिमित संख्याओं को अवशोषित कर लेता है, वही ब्लैक होल:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

इससे यह भी पता चलता है कि डिग्रियां ताकत की तरह होती हैं। वे। दूसरी डिग्री का शून्य नियमित शून्य (पहली डिग्री, 0^1) से अधिक मजबूत होता है। और अनंत शून्य से दूसरी डिग्री सामान्य अनंत (0^-1) से अधिक मजबूत है।

और जब शून्यता पूर्ण से टकराती है, तो वे अपनी ताकत मापते हैं - जिसके पास अधिक होगा वह जीतेगा:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

यदि वे ताकत में समान हैं, तो वे नष्ट हो जाते हैं और एक सीमित दुनिया रह जाती है:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

वैसे, आधिकारिक गणित पहले से ही पास है। इसके प्रतिनिधि "ध्रुवों" के बारे में जानते हैं और ध्रुवों की अलग-अलग ताकतें (आदेश) हैं, साथ ही "शून्य क्रम k" के बारे में भी। लेकिन वे अभी भी "बगल में" ठोस सतह को रौंदते हैं और ब्लैक होल में कूदने से डरते हैं।

और मेरे लिए आखिरी वाला सपनों का तीसरा स्तर है। उदाहरण के लिए, ये सभी 0^-1 और 0^-2 विभिन्न शक्तियों की अनंतताएं हैं। या 0^1, 0^2 - विभिन्न शक्तियों के शून्य। लेकिन "-1" और "-2" और "+1" और "+2" - बस इतना ही - 0/0, 0^0 के बराबर, पहले ही बीत चुका है। यह पता चलता है कि सपनों के इस स्तर से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे क्या हैं - शून्य, अनंत और यहां तक ​​कि सीमित दुनिया भी कुछ ज्ञानोदय के साथ वहां पहुंचती है। एक बिंदु तक. एक श्रेणी में. इस खुशी को विलक्षणता कहा जाता है।

मुझे स्वीकार करना होगा कि आत्मज्ञान की अवस्था के बाहर मैं एक बिंदु नहीं देखता, बल्कि एक श्रेणी - संघ "0^0 U 0^(0^0)" - काफी पूर्ण है।

इस सब से क्या लाभ हो सकता है? आख़िरकार, थोड़ी कम पागल "काल्पनिक संख्याएँ" भी त्रुटि = √-1 में कैलकुलेटर को फाड़ देती हैं, और वे आधिकारिक गणित बनने में सक्षम थे और अब स्टीलमेकिंग गणनाओं को सरल बनाते हैं।

जैसे किसी पेड़ पर पत्ते दूर से एक जैसे लगते हैं, लेकिन अगर आप उन्हें करीब से देखेंगे तो वे सभी अलग-अलग हैं। और यदि आप इसके बारे में सोचें, तो वे फिर से वही हैं। और आपसे या मुझसे बहुत अलग नहीं है. या यों कहें कि, यदि आप ध्यान से सोचें तो वे बिल्कुल भी अलग नहीं हैं।

यहां लाभ अंतर और अमूर्त दोनों पर ध्यान केंद्रित करने की क्षमता है। यह काम में, जीवन में और यहाँ तक कि मृत्यु के संबंध में भी बहुत उपयोगी है।

खरगोश के बिल के नीचे ऐसी यात्रा, सोन्या!