पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

पाठ मकसद:

अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके हल की गई समस्याओं के बारे में छात्रों के विचारों का विस्तार और गहनता; अंकगणितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग के सूत्र की व्युत्पत्ति में छात्रों की खोज गतिविधि का संगठन;
नए ज्ञान को स्वतंत्र रूप से प्राप्त करने के लिए कौशल का विकास, निर्धारित कार्य को प्राप्त करने के लिए पहले से अर्जित ज्ञान का उपयोग करना;
प्राप्त तथ्यों को सामान्य बनाने की इच्छा और आवश्यकता का विकास, स्वतंत्रता का विकास।

कार्य:

"अंकगणित प्रगति" विषय पर मौजूदा ज्ञान को सामान्य और व्यवस्थित करने के लिए;
अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें;
विभिन्न समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों को कैसे लागू किया जाए, यह सिखाने के लिए;
संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करते समय छात्रों का ध्यान क्रियाओं के क्रम की ओर आकर्षित करने के लिए।

उपकरण:

समूहों और जोड़ियों में काम करने के लिए असाइनमेंट वाले कार्ड;
मूल्यांकन पत्र;
प्रस्तुतीकरण"अंकगणितीय प्रगति"।

I. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

1. जोड़े में स्वतंत्र कार्य।

पहला विकल्प:

अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा दीजिए। आवर्ती सूत्र लिखिए जो अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करता है। नमस्ते अंकगणितीय प्रगति का उदाहरण और इसके अंतर को इंगित करें।

दूसरा विकल्प:

समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र लिखिए। समांतर श्रेणी का 100वाँ पद ज्ञात कीजिए ( एक}: 2, 5, 8 …
इस समय, बोर्ड के पीछे दो छात्र समान प्रश्नों के उत्तर तैयार करते हैं।
छात्र बोर्ड के खिलाफ पार्टनर के काम का मूल्यांकन करते हैं। (उत्तरों के साथ पत्रक सौंपे जाते हैं)।

2. खेल पल।

अभ्यास 1।

शिक्षक।मैंने कुछ अंकगणितीय प्रगति की कल्पना की है। बस मुझसे दो प्रश्न पूछें ताकि उत्तर के बाद आप इस प्रगति के ७वें पद को शीघ्रता से नाम दे सकें। (१, ३, ५, ७, ९, ११, १३, १५ ...)

छात्र प्रश्न।

प्रगति में छठा पद क्या है और क्या अंतर है?
प्रगति में आठवां पद क्या है और क्या अंतर है?

यदि कोई और प्रश्न नहीं हैं, तो शिक्षक उन्हें उत्तेजित कर सकता है - d (अंतर) पर "प्रतिबंध", अर्थात यह पूछने की अनुमति नहीं है कि अंतर क्या है। आप प्रश्न पूछ सकते हैं: प्रगति का ६वाँ पद क्या है और प्रगति का ८वाँ पद क्या है?

कार्य २.

बोर्ड पर 20 नंबर लिखे हैं: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

शिक्षक अपनी पीठ के साथ ब्लैकबोर्ड पर खड़ा है। छात्र उस नंबर पर कॉल करते हैं, और शिक्षक तुरंत नंबर पर ही कॉल करता है। समझाएं कि मैं इसे कैसे करता हूं?

शिक्षक को nवें पद का सूत्र याद है ए एन = 3एन - 2और, n के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, संबंधित मान पाता है एक।

द्वितीय. शैक्षिक समस्या का विवरण।

मैं मिस्र के पपीरी में पाई जाने वाली दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की एक प्राचीन समस्या को हल करने का प्रस्ताव करता हूं।

कार्य:"आप से कहा जाए: जौ के 10 उपायों को 10 लोगों के बीच विभाजित करें, प्रत्येक व्यक्ति और उसके पड़ोसी के बीच का अंतर माप के 1/8 के बराबर है।"

यह कार्य अंकगणितीय प्रगति के विषय से कैसे संबंधित है? (प्रत्येक अगले व्यक्ति को माप का 1/8 अधिक मिलता है, जिसका अर्थ है कि अंतर d = 1/8, 10 लोग, जिसका अर्थ है n = 10.)
आपको क्या लगता है संख्या 10 का क्या अर्थ है? (प्रगति के सभी सदस्यों का योग।)
कार्य की स्थिति के अनुसार जौ को विभाजित करना आसान और सरल बनाने के लिए आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? (प्रगति में पहला कार्यकाल।)

पाठ उद्देश्य- प्रगति के सदस्यों के योग की निर्भरता उनकी संख्या, पहले पद और अंतर पर प्राप्त करना और यह जाँचना कि क्या प्राचीन काल में समस्या को सही ढंग से हल किया गया था।

सूत्र का निष्कर्ष निकालने से पहले, आइए देखें कि प्राचीन मिस्रियों ने समस्या का समाधान कैसे किया।

और उन्होंने इसे इस प्रकार हल किया:

१) १० उपाय: १० = १ उपाय - औसत हिस्सा;
२) १ माप = २ माप - दुगना औसतसाझा करना।
दोगुनी औसतशेयर 5 वें और 6 वें लोगों के शेयरों का योग है।
3) 2 उपाय - 1/8 उपाय = 1 7/8 उपाय - पांचवें व्यक्ति के हिस्से का दोगुना।
४) १ ७/८: २ = ५/१६ - पाँचवे हिस्से का हिस्सा; और इसी तरह, आप प्रत्येक पिछले और बाद के व्यक्ति का हिस्सा पा सकते हैं।

हमें अनुक्रम मिलता है:

III. समस्या का समाधान।

1. समूहों में काम करना

समूह I: 20 क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए : एस 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210।

सामान्य रूप में

द्वितीय समूह: 1 से 100 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए (द लेजेंड ऑफ द लिटिल गॉस)।

एस १०० = (1 + १००) ५० = ५०५०

आउटपुट:

तृतीय समूह: 1 से 21 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

आउटपुट:

चतुर्थ समूह: 1 से 101 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

आउटपुट:

माना समस्याओं को हल करने के लिए इस पद्धति को "गॉस विधि" कहा जाता है।

2. प्रत्येक समूह बोर्ड पर समस्या का समाधान प्रस्तुत करता है।

3. एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति के लिए प्रस्तावित समाधानों का सामान्यीकरण:

ए 1, ए 2, ए 3, ..., एन-2, एन-1, ए एन।
एस एन = ए 1 + ए 2 + ए 3 + ए 4 +… + ए एन -3 + ए एन -2 + ए एन -1 + ए एन।

आइए हम इस राशि को इसी तरह तर्क द्वारा ज्ञात करें:

4. क्या हमने काम को हल कर लिया है?(हां।)

चतुर्थ। समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों की प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग।

1. एक सूत्र का उपयोग करके किसी पुरानी समस्या के समाधान की जाँच करना।

2. विभिन्न समस्याओं को हल करने में सूत्र का अनुप्रयोग।

3. समस्याओं को हल करते समय सूत्र को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए व्यायाम करें।

ए) नंबर 613

दिया गया: ( एक) -अंकगणितीय प्रगति;

(ए एन): 1, 2, 3, ..., 1500

पाना: एस 1500

समाधान: , ए १ = १, १ १५०० = १५००,

बी) दिया गया: ( एक) -अंकगणितीय प्रगति;
(ए एन): 1, 2, 3, ...
एस एन = 210

पाना: एन
समाधान:

V. आपसी सत्यापन के साथ स्वतंत्र कार्य।

डेनिस एक कूरियर के रूप में काम करने गया था। पहले महीने में, उनका वेतन 200 रूबल था, बाद के प्रत्येक महीने में 30 रूबल की वृद्धि हुई। उसने एक साल में कितना कमाया?

दिया गया: ( एक) -अंकगणितीय प्रगति;
ए 1 = 200, डी = 30, एन = 12
पाना: एस 12
समाधान:

उत्तर: डेनिस को एक साल में 4380 रूबल मिले।

वी.आई. होमवर्क ब्रीफिंग।

पृष्ठ 4.3 - सूत्र की व्युत्पत्ति सीखें।
№№ 585, 623 .
एक समस्या बनाएँ जिसे अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके हल किया जाएगा।

vii. पाठ को सारांशित करना।

1. मूल्यांकन पत्रक

2. वाक्य जारी रखें

आज के पाठ में मैंने सीखा ...
सीखे सूत्र...
मुझे लगता है कि …

3. क्या आप 1 से 500 तक की संख्याओं का योग ज्ञात कर सकते हैं? इस समस्या को हल करने के लिए आप किस विधि का प्रयोग करेंगे?

ग्रंथ सूची।

1. बीजगणित, 9वीं कक्षा। शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.वी. डोरोफीवा।एम।: "शिक्षा", 2009।

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि यह दिया गया है संख्यात्मक अनुक्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 कहा जाता है अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — दूसरी अवधि , संख्या ए 3 — तीसरा आदि। संख्या एक कहा जाता है अनुक्रम का वां पद , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों में से एक तथा एक +1 अनुक्रम सदस्य एक +1 कहा जाता है बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

एक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम के सदस्य को खोजने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम के साथ दिया जाता है nth टर्म फॉर्मूला , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको किसी अनुक्रम के सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सकारात्मक विषम संख्याओं का एक क्रम सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक= 2एन - 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 तथा -1 - सूत्र द्वारा

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

अनुक्रम निर्धारित किया जा सकता है पुनरावर्ती सूत्र, अर्थात्, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तो संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को निम्नानुसार सेट किया जाता है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम तथा अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम यदि उसके सदस्यों की सीमित संख्या है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से कई सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

प्राइम का एक क्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है कम होनेवाला यदि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से कम है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . - बढ़ते क्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . - एक अवरोही क्रम। ◄

एक अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ कम नहीं होते हैं, या, इसके विपरीत, नहीं बढ़ते हैं, कहलाते हैं नीरस अनुक्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, आरोही क्रम और अवरोही क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें समान संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

एक समांतर श्रेणी है यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहां डी - कुछ संख्या।

इस प्रकार, दी गई अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और अंतर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पांच सदस्य निम्नानुसार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसके एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

एक=	ए एन -1 + ए एन + 1
	2

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है।

संख्या ए, बी और सी कुछ अंकगणितीय प्रगति के लगातार सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन - 1) - 7 = 2एन- 9,

एक एन + 1 = 2(एन + 1) - 7 = 2एन- 5.

अत,

ए एन + 1 + ए एन -1	=	2एन- 5 + 2एन- 9	= 2एन- 7 = एक,
2		2

◄

ध्यान दें कि एन अंकगणितीय प्रगति का -वाँ पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला एक को

एक = एक को + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिये ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-को + केडी,

एक = एक एन + के - केडी,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-को + ए एन + के
	2

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के आधे योग के बराबर होता है, जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, चूंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस नहीं= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। ... ...+ एक,

सबसे पहला एन अंकगणितीय प्रगति के सदस्य शब्दों की संख्या से चरम पदों के आधे योग के उत्पाद के बराबर हैं:

इसलिए, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि शर्तों को जोड़ना आवश्यक है

एक को, एक को +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना को बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक अंकगणितीय प्रगति दी जाती है, तो मान ए 1 , एक, डी, एनतथाएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी नहीं, . . .

एक ज्यामितीय प्रगति है यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

बी नहीं +1 = बी नहीं · क्यू,

कहां क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या।

इस प्रकार, किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का पिछले एक से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी नहीं +1 / बी नहीं = क्यू.

संख्या क्यू कहा जाता है ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पांच सदस्य निम्नानुसार पाए जाते हैं:

ख 1 = 1,

बी 2 = ख 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

ख ३ = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = ख ३ · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और भाजक क्यू उसके एन वें शब्द सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

बी नहीं = बी 1 · क्यू नहीं -1 .

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = १ २ ६ = ६४. ◄

बी एन-1 = ख 1 · क्यू नहीं -2 ,

बी नहीं = ख 1 · क्यू नहीं -1 ,

बी नहीं +1 = बी 1 · क्यू नहीं,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

एक ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर होता है।

चूँकि विलोम कथन भी सत्य है, निम्नलिखित कथन में निहित है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया अनुक्रम बी नहीं= -3 2 एन , एक घातीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी नहीं= -3 2 एन,

बी नहीं -1 = -3 2 एन -1 ,

बी नहीं +1 = -3 2 एन +1 .

अत,

बी नहीं 2 = (-3 2 एन) २ = (-3 २ .) एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

जो आवश्यक कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन -ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 लेकिन किसी भी पिछले शब्द बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क.

उदाहरण के लिए,

के लिये बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = ख 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · क्यू ३,

ख 5 = ख ३ · क्यू 2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क,

बी नहीं = बी नहीं - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं - क· बी नहीं + क

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, दूसरे से शुरू होता है, इस प्रगति के सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी नहीं= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ मैं.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , चूंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी नहीं

सबसे पहला एन हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और कब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस नहीं= नायब 1

ध्यान दें कि यदि आपको शर्तों का योग करना है

बी के, बी के +1 , . . . , बी नहीं,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एस नहीं- एस को -1 = बी के + बी के +1 + . . . + बी नहीं = बी के ·	1 - क्यू नहीं - क +1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है, तो मान बी 1 , बी नहीं, क्यू, एनतथा एस नहीं दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जो दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त होते हैं।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और भाजक क्यू निम्नलिखित मोनोटोनिक गुण :

यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति आरोही हो रही है:

बी 1 > 0 तथा क्यू> 1;

बी 1 < 0 तथा 0 < क्यू< 1;

यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति घट रही है:

बी 1 > 0 तथा 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 तथा क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति बारी-बारी से होती है: इसके विषम-संख्या वाले सदस्यों का चिन्ह इसके पहले पद के समान होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों का विपरीत चिन्ह होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का काम एन एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी न= ख 1 · बी 2 · ख ३ · . . . · बी नहीं = (ख 1 · बी नहीं) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है, जिसके हर का मापांक . से कम होता है 1 , अर्थात्

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटती क्रम नहीं हो सकती है। यह मामला फिट बैठता है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम बारी-बारी से होता है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग वह संख्या है जिसमें पहले का योग है एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति के सदस्य एन ... यह संख्या हमेशा परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

एस= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . =	बी 1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए सिर्फ दो उदाहरण देखें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , फिर

बी 0 ए 0 1 , बी 0 ए 0 2 , बी 0 ए 0 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 तथा

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति क्यू , फिर

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 6 तथा

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

संख्यात्मक अनुक्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ नंबर लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। हम चाहे कितनी भी संख्याएँ लिख लें, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें संख्या दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक अनुक्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन सेकंड की संख्या नहीं है। दूसरा नंबर (जैसे -th नंबर) हमेशा एक होता है।
संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य एक ही अक्षर है जिसमें इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक होता है:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस संख्या अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" 6 वीं शताब्दी में रोमन लेखक बोथियस द्वारा पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थों में एक अंतहीन संख्या अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से लिया गया था, जिस पर प्राचीन यूनानियों का कब्जा था।

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या में जोड़ा जाता है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझा? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
एकअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम प्रगति की संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य बराबर है।

2. विधि

क्या होगा यदि हमें प्रगति के वें पद का मूल्य ज्ञात करना है? सारांश में हमें एक घंटे से अधिक समय लगेगा, और यह एक तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमसे गलती नहीं होगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर पर करीब से नज़र डालें ... निश्चित रूप से आप पहले से ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दे चुके हैं, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के वें सदस्य का मान कैसे जोड़ा जाता है:

दूसरे शब्दों में:

किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के सदस्य के मूल्य को स्वतंत्र रूप से इस तरह से खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? अपने नोट्स की तुलना उत्तर से करें:

कृपया ध्यान दें कि आपको ठीक वैसी ही संख्या मिली है जैसी पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे सामान्य रूप में लाएंगे और प्राप्त करेंगे:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणित की प्रगति आरोही और कभी-कभी घट रही है।

आरोही- प्रगति जिसमें सदस्यों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से अधिक होता है।
उदाहरण के लिए:

घटाना- प्रगति जिसमें सदस्यों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों में पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है: आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति की th संख्या क्या होगी यदि हम इसकी गणना करने के लिए अपने सूत्र का उपयोग करते हैं:

तब से:

इस प्रकार, हमने सुनिश्चित किया कि यह सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के वें और वें पदों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए प्राप्त परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करेंगे।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात कीजिए।
आसान, आप कहते हैं और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और हम जो खोज रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन यदि हमें इस स्थिति में संख्याएँ दी जाती हैं? इसे स्वीकार करें, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब सोचो, क्या किसी सूत्र का उपयोग करके इस समस्या को एक क्रिया में हल करना संभव है? बेशक, हाँ, और यह वह है जिसे हम अब वापस लेने का प्रयास करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के आवश्यक पद को निरूपित करें, जैसा कि हम इसे खोजने के लिए सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जो हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, फिर:

प्रगति का पिछला सदस्य है:
प्रगति का अगला सदस्य है:

आइए प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य का दोगुना मूल्य है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ प्रगति के सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को ठीक करें। प्रगति के लिए मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत बढ़िया! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! सीखने के लिए केवल एक ही सूत्र बचा है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तो अन्य ग्रेड में छात्रों के काम की जाँच में लगे एक शिक्षक ने पाठ में निम्नलिखित समस्या पूछी: "सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी।" शिक्षक के आश्चर्य की कल्पना करें जब उनके एक छात्र (वह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट में समस्या का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने, लंबी गणना के बाद, गलत परिणाम प्राप्त किया ...

यंग कार्ल गॉस ने एक निश्चित पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास -वें सदस्यों से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति है: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग ज्ञात करना है। बेशक, हम सभी मूल्यों को मैन्युअल रूप से जोड़ सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि कार्य में इसके सदस्यों का योग खोजना आवश्यक है, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को करने का प्रयास करें।

या तुमने कोशिश की? आपने क्या गौर किया? सही! उनकी राशि बराबर है

अब मुझे बताओ, दी गई प्रगति में ऐसे कितने जोड़े हैं? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि समांतर श्रेणी के दो सदस्यों का योग बराबर है, और समान समान जोड़े हैं, हम पाते हैं कि कुल योग है:
.
इस प्रकार, किसी समांतर श्रेणी के प्रथम पदों के योग का सूत्र इस प्रकार होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति में अंतर जानते हैं। योग के सूत्र में, वें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुमने क्या किया?

बहुत बढ़िया! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस को दी गई थी: स्वयं की गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि सदस्यों का योग बराबर होता है और सदस्यों का योग। क्या आपने ऐसा फैसला किया है?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, मजाकिया लोग अंकगणितीय प्रगति के गुणों का अधिकतम उपयोग कर रहे थे।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे महत्वाकांक्षी निर्माण स्थल की कल्पना करें - पिरामिड का निर्माण ... आकृति इसका एक पक्ष दिखाती है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? बारीकी से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।

क्या यह एक अंकगणितीय प्रगति नहीं है? गणना करें कि एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता है यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा गया है। मुझे आशा है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली चलाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है वह सब कुछ याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:।
अंकगणितीय प्रगति का अंतर।
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या की गणना करेंगे)।

विधि १।

विधि २।

और अब आप मॉनिटर पर गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह एक साथ आया? अच्छा किया, आपने अंकगणितीय प्रगति की शर्तों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉक से पिरामिड नहीं बना सकते हैं, लेकिन कहां से? इस स्थिति के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

व्यायाम

कार्य:

गर्मियों तक माशा आकार में आ रहा है। वह हर दिन स्क्वैट्स की संख्या में वृद्धि करती है। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी, अगर पहली कसरत में उसने स्क्वाट किया।
में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
लॉग को स्टोर करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से स्टैक करते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले वाले की तुलना में एक लॉग कम होता है। एक चिनाई में कितने लॉग होते हैं, यदि लॉग चिनाई के आधार के रूप में काम करते हैं।

उत्तर:

आइए अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
(सप्ताह = दिन)।
उत्तर:दो सप्ताह के बाद, माशा को दिन में एक बार बैठना चाहिए।
पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
अंकगणितीय प्रगति का अंतर।
में विषम संख्याओं की संख्या आधी है, तथापि, हम एक अंकगणितीय प्रगति का -वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करेंगे:
संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
उपलब्ध डेटा को सूत्र में बदलें:
उत्तर:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर होता है।
आइए पिरामिड समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, फिर केवल परतों के एक समूह में, यानी।
आइए डेटा को सूत्र में बदलें:
उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

आइए संक्षेप करें

- एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह आरोही और घट सकता है।
सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है -, प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।
एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति- - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।
एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:

, जहां मूल्यों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्यात्मक अनुक्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं। लेकिन आप हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, दूसरा कौन सा है, और इसी तरह, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक अनुक्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जोड़ा जा सकता है, और केवल एक ही। और हम इस नंबर को इस सेट से किसी अन्य नंबर को असाइन नहीं करेंगे।

संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का वां पद किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम निर्दिष्ट करता है:

और सूत्र निम्नलिखित अनुक्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

वां टर्म फॉर्मूला

हम आवर्तक एक सूत्र कहते हैं जिसमें वें सदस्य का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले वाले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस तरह के सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

अच्छा, अब सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किस लिए? बहुत आसान: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब बहुत अधिक सुविधाजनक है, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

एक समान्तर श्रेणी में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है। क्या अंतर है? और यहाँ क्या है:

(ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे अंतर कहा जाता है, जो प्रगति के लगातार सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल का लड़का होने के कारण कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उन्होंने देखा कि पहली और आखिरी संख्याओं का योग बराबर है, दूसरी और आखिरी का योग है लेकिन एक समान है, तीसरे और तीसरे का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े होंगे? यह सही है, सभी संख्याओं की आधी संख्या, यानी। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले सदस्यों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसी पहली संख्या है। प्रत्येक अगला पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस प्रगति का वां पद सूत्र है:

कितने सदस्य प्रगति में हैं यदि उन सभी को दोहरे अंक में होना है?

बहुत आसान: ।

प्रगति में अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय लें:

हर दिन, एथलीट पिछले दिन की तुलना में अधिक मीटर दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ता है तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
एक साइकिल चालक हर दिन पिछले वाले की तुलना में अधिक किलोमीटर ड्राइव करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. किमी को तय करने के लिए उसे कितने दिनों की यात्रा करने की आवश्यकता है? यात्रा के अंतिम दिन में वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
एक स्टोर में एक रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि हर साल एक रेफ्रिजरेटर की कीमत कितनी कम हो गई है, अगर रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा गया है, तो छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले सदस्यों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
.
उत्तर:
यह यहाँ दिया गया है: इसे खोजना आवश्यक है।
जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
.
मानों को प्रतिस्थापित करें:
जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, तो जवाब है।
आइए th टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके अंतिम दिन के लिए तय की गई दूरी की गणना करें:
(किमी)।
उत्तर:
दिया गया:। पाना: ।
यह आसान नहीं हो सकता:
(रगड़)।
उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति आरोही () और घटती () हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

समांतर श्रेणी का n-वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र

सूत्र द्वारा लिखा गया है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति

यह आपको आसानी से प्रगति के सदस्य को खोजने की अनुमति देता है यदि इसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हैं - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योग

राशि खोजने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

निर्देश

एक समांतर श्रेणी a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d के रूप का अनुक्रम है। डी चरणों में प्रगतियह स्पष्ट है कि अंकगणित के एक मनमाना n-वें पद का योग प्रगतिका रूप है: An = A1 + (n-1) d। फिर सदस्यों में से एक को जानना प्रगति, सदस्य प्रगतिऔर कदम प्रगति, आप कर सकते हैं, यानी प्रगति के सदस्य की संख्या। जाहिर है, यह सूत्र n = (An-A1 + d) / d द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

अब mth पद ज्ञात करें प्रगतिऔर एक अन्य सदस्य प्रगति- n-वें, लेकिन n, जैसा कि पिछले मामले में है, लेकिन यह ज्ञात है कि n और m संपाती नहीं हैं। प्रगतिसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है: d = (An-Am) / (n-m)। फिर एन = (एन-एएम + एमडी) / डी।

यदि अंकगणित के कई तत्वों का योग ज्ञात हो प्रगति, साथ ही इसके पहले और अंतिम, फिर इन तत्वों की संख्या भी निर्धारित की जा सकती है। प्रगतिके बराबर होगा: S = ((A1 + An) / 2) n। तब n = 2S / (A1 + An) - chdenov प्रगति... इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि An = A1 + (n-1) d, इस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: n = 2S / (2A1 + (n-1) d)। इससे कोई द्विघात समीकरण को हल करके n को व्यक्त कर सकता है।

एक अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा क्रमबद्ध सेट है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, पहले को छोड़कर, पिछले एक से समान मात्रा में भिन्न होता है। इस स्थिर मान को प्रगति या उसके चरण का अंतर कहा जाता है और इसकी गणना अंकगणितीय प्रगति के ज्ञात सदस्यों से की जा सकती है।

निर्देश

यदि समस्या की स्थितियों से पहले और दूसरे या पड़ोसी शब्दों के किसी अन्य जोड़े के मूल्यों को जाना जाता है, तो अंतर (डी) की गणना करने के लिए, बस पिछले एक को अगले पद से घटाएं। परिणामी मूल्य या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रगति बढ़ रही है या नहीं। सामान्य रूप में, प्रगति के आसन्न सदस्यों की एक मनमानी जोड़ी (aᵢ और aᵢ₊₁) के लिए समाधान इस प्रकार लिखें: d = aᵢ₊₁ - aᵢ।

ऐसी प्रगति की शर्तों की एक जोड़ी के लिए, जिनमें से एक पहला (ए₁) है, और दूसरा किसी अन्य मनमाने ढंग से चुना गया है, अंतर (डी) खोजने के लिए एक सूत्र बनाना भी संभव है। हालांकि, इस मामले में, अनुक्रम के एक मनमाने ढंग से चयनित सदस्य की अनुक्रम संख्या (i) ज्ञात होनी चाहिए। अंतर की गणना करने के लिए, दोनों संख्याओं को जोड़ें, और परिणाम को एक मनमाना शब्द की क्रमिक संख्या से विभाजित करें, जो एक से कम हो। सामान्य तौर पर, इस सूत्र को इस प्रकार लिखें: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1)।

यदि, क्रमसूचक i के साथ अंकगणितीय प्रगति के एक मनमाना सदस्य के अलावा, क्रमसूचक u वाला कोई अन्य सदस्य ज्ञात है, तो पिछले चरण से सूत्र को तदनुसार बदलें। इस मामले में, प्रगति का अंतर (डी) इन दो शब्दों के योग को उनकी क्रमिक संख्याओं के अंतर से विभाजित किया जाएगा: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v)।

अंतर (डी) की गणना के लिए सूत्र कुछ अधिक जटिल हो जाएगा यदि अंकगणितीय अनुक्रम के पहले सदस्यों के पहले पद (ए₁) और योग (एसᵢ) का मान अंकगणितीय अनुक्रम के पहले सदस्यों की शर्तों में दिया गया हो समस्या का। वांछित मूल्य प्राप्त करने के लिए, राशि को बनाने वाले सदस्यों की संख्या से विभाजित करें, अनुक्रम में पहली संख्या के मान को घटाएं, और परिणाम को दोगुना करें। परिणामी मान को उन सदस्यों की संख्या से विभाजित करें जो योग बनाते हैं, एक से घटाकर। सामान्य तौर पर, विवेचक की गणना के लिए सूत्र इस प्रकार लिखें: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1)।

एक सामान्य शिक्षा स्कूल (ग्रेड 9) में बीजगणित का अध्ययन करते समय, महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणित। इस लेख में, हम अंकगणितीय प्रगति और समाधान के साथ उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, मानी गई प्रगति की परिभाषा देना आवश्यक है, साथ ही उन बुनियादी सूत्रों को भी देना है जिनका उपयोग आगे समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

अंकगणित या क्रमित परिमेय संख्याओं का एक समूह है, जिसका प्रत्येक पद पिछले एक से कुछ स्थिर राशि से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है। अर्थात्, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला के किसी भी सदस्य और अंतर को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

आइए एक उदाहरण देते हैं। संख्याओं का निम्नलिखित क्रम एक समांतर श्रेणी होगा: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) है। लेकिन संख्या ३, ५, ८, १२, १७ के समुच्चय को अब प्रगति के माने जाने वाले प्रकार के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (५ - ३ ८ - ५ १२ - ८ १७ - 12)।

महत्वपूर्ण सूत्र

आइए अब हम मूल सूत्र दें जिनकी आवश्यकता अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए होगी। आइए हम अनुक्रम के n-वें सदस्य को n द्वारा निरूपित करें, जहां n एक पूर्णांक है। अंतर को लैटिन अक्षर d द्वारा दर्शाया गया है। तब निम्नलिखित भाव मान्य हैं:

nवें पद का मान निर्धारित करने के लिए, सूत्र उपयुक्त है: a n = (n-1) * d + a 1.
पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए: S n = (a n + a 1) * n/2.

कक्षा 9 में एक समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि विचाराधीन प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर निर्मित होती है। आपको यह भी याद रखना चाहिए कि प्रगति में अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1।

उदाहरण # 1: किसी अज्ञात सदस्य को ढूंढना

आइए एक अंकगणितीय प्रगति और सूत्रों का एक सरल उदाहरण दें जिनका उपयोग हल करने के लिए किया जाना चाहिए।

मान लीजिए कि अनुक्रम 10, 8, 6, 4, ... दिया गया है, इसमें पाँच पद ज्ञात करना आवश्यक है।

यह पहले से ही समस्या कथन का अनुसरण करता है कि पहले 4 शब्द ज्ञात हैं। पांचवें को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है:

आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: डी = 8 - 10 = -2। इसी तरह, कोई भी दो अन्य सदस्यों को एक दूसरे के बगल में खड़ा कर सकता है। उदाहरण के लिए, डी = 4 - 6 = -2। चूँकि यह ज्ञात है कि d = a n - a n-1, तो d = a 5 - a 4, जहाँ से हमें मिलता है: a 5 = a 4 + d। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित कीजिए: a ५ = ४ + (-२) = २।
दूसरी विधि को भी माना प्रगति के अंतर को जानने की आवश्यकता है, इसलिए पहले आपको इसे निर्धारित करने की आवश्यकता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है (डी = -2)। यह जानते हुए कि पहला पद a 1 = 10, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: ए एन = (एन -1) * डी + ए 1 = (एन -1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * एन। n = 5 को अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान के दोनों तरीकों ने एक ही परिणाम दिया। ध्यान दें कि इस उदाहरण में, प्रगति का अंतर d ऋणात्मक है। ऐसे अनुक्रमों को घटते हुए कहा जाता है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले एक से छोटा होता है।

उदाहरण # 2: प्रगति अंतर

अब आइए कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं, हम एक उदाहरण देंगे कि अंकगणितीय प्रगति के अंतर को कैसे खोजा जाए।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजीय प्रगति में पहला पद 6 के बराबर है, और 7 वां पद 18 के बराबर है। अंतर को खोजना और इस क्रम को 7वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1. हम इसमें ज्ञात डेटा को स्थिति से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात, संख्याएँ a 1 और a 7, हमारे पास है: 18 = 6 + 6 * d। इस व्यंजक से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, हमने समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया है।

7 शब्दों तक के अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको एक बीजीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: एक 1 = 6, एक 2 = 6 + 2 = 8, एक 3 = 8 + 2 = 10, एक 4 = 10 + 2 = 12, एक 5 = 12 + 2 = 14 , ए ६ = १४ + २ = १६, ए ७ = १८।

उदाहरण # 3: प्रगति करना

आइए हम समस्या की स्थिति को और भी जटिल करते हैं। अब इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाए। आप निम्नलिखित उदाहरण दे सकते हैं: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए - 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और शब्द फिट हों।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याएं किस स्थान पर होंगी। चूँकि उनके बीच तीन और पद होंगे, तो a 1 = -4 और a 5 = 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम समस्या पर आगे बढ़ते हैं, जो पिछले वाले के समान है। फिर से, nवें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें प्राप्त होता है: a 5 = a 1 + 4 * d। कहां से: डी = (ए 5 - ए 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25। यहां हमें अंतर का पूर्णांक मान नहीं मिला, बल्कि यह एक परिमेय संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब पाया गया अंतर 1 में जोड़ें और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करें। हम पाते हैं: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, जो कि समस्या की स्थिति के साथ।

उदाहरण # 4: प्रगति का पहला पद

आइए समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखें। पिछली सभी समस्याओं में, बीजीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक अलग प्रकार की समस्या पर विचार करें: दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ एक 15 = 50 और एक 43 = 37 है। उस संख्या को खोजना आवश्यक है जिससे यह क्रम शुरू होता है।

अब तक प्रयुक्त सूत्र 1 और d का ज्ञान ग्रहण करते हैं। समस्या विवरण में इन संख्याओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। फिर भी, हम प्रत्येक सदस्य के लिए ऐसे व्यंजक लिखते हैं जिनके बारे में जानकारी है: a १५ = a १ + १४ * d और a ४३ = a १ + ४२ * d। दो समीकरण प्राप्त हुए, जिसमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गई है।

इस प्रणाली को हल करने का सबसे आसान तरीका प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करना है, और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करना है। पहला समीकरण: a १ = a १५ - १४ * d = ५० - १४ * d; दूसरा समीकरण: ए 1 = ए 43 - 42 * डी = 37 - 42 * डी। इन व्यंजकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, जहाँ से अंतर d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप उपरोक्त 2 में से किसी एक का उपयोग 1 के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला वाला: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496।

यदि आपको परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति की 43 अवधि निर्धारित करें, जो कि शर्त में निर्दिष्ट है। हम पाते हैं: a ४३ = a १ + ४२ * d = ५६.४९६ + ४२ * (- ०.४६४) = ३७.००८। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना का उपयोग हजारवें हिस्से तक किया जाता है।

उदाहरण # 5: राशि

आइए अब एक अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। आप इन 100 संख्याओं के योग की गणना कैसे करते हैं?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल करना संभव है, अर्थात्, सभी संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ना, जो कंप्यूटर जैसे ही कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाता है, करेगा। हालाँकि, समस्या को मन में हल किया जा सकता है, यदि हम ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के लिए सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S n = n * (a १ + ए) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है, क्योंकि 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, जबकि अभी भी केवल 10 वर्ष का था, कुछ ही सेकंड में इसे अपने सिर में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और इन राशियों में से ठीक 50 (100/2) होगी, तो सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, यह 50 को 101 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण # 6: n से m . तक के सदस्यों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक और विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि 8 से 14 तक के सदस्यों का योग क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना शामिल है, और फिर उनका अनुक्रमिक योग। चूंकि कुछ शब्द हैं, इसलिए यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार m और n के बीच बीजीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है, जहां n> m पूर्णांक हैं। आइए हम दोनों स्थितियों के योग के लिए दो व्यंजक लिखें:

एस एम = एम * (ए एम + ए 1) / 2।
एस एन = एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूंकि n> m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहला शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें शब्द एम जोड़ते हैं (अंतर लेने के मामले में, इसे योग एस एन से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: एस एमएन = एस एन - एस एम + एम = एन * (ए 1 + ए) / 2 - एम * (ए 1 + एम) / 2 + एम = ए 1 * (एन - एम) / 2 + ए * एन/2 + पूर्वाह्न * (1- एम / 2)। इस व्यंजक में n और m के सूत्रों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हम प्राप्त करते हैं: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन -1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम -1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन -1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है; फिर भी, S mn का योग केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S mn = 301।

जैसा कि दिए गए समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएँ nवें पद के व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग के सूत्र पर आधारित हैं। इनमें से किसी भी समस्या के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, शर्त को ध्यान से पढ़ने की सिफारिश की जाती है, स्पष्ट रूप से समझें कि क्या खोजने की आवश्यकता है, और उसके बाद ही समाधान के लिए आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना किसी प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान # 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn = n * (a 1 + a) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, पर रुक सकता है और ब्रेक कर सकता है अलग-अलग उप-कार्यों में सामान्य समस्या (इस मामले में, पहले सदस्यों को खोजें और मैं)।

यदि प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। हमने पता लगाया कि अंकगणितीय प्रगति कैसे प्राप्त करें। यदि आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं है।