A szinusz és a koszinusz eredetileg a mennyiségek derékszögű háromszögben történő kiszámításának szükségességéből keletkezett. Észrevettük, hogy ha egy derékszögű háromszögben a szögek mértékét nem változtatjuk meg, akkor a méretarány, függetlenül attól, hogy ezek az oldalak hosszában változnak, mindig ugyanaz marad.
Így került bevezetésre a szinusz és a koszinusz fogalma. A derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti oldal és az alsó oldal aránya, a koszinusz pedig a befogóval szomszédos oldal aránya.
Koszinusz és szinusz tételei
A koszinuszokat és szinuszokat azonban nem csak derékszögű háromszögekre lehet használni. Bármely háromszög tompa vagy hegyesszögének vagy oldalának értékének meghatározásához elegendő a koszinuszok és szinuszok tételét alkalmazni.
A koszinusztétel meglehetősen egyszerű: „Egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak és a köztük lévő szög koszinuszának szorzata.”
A szinusztételnek két értelmezése van: kicsi és kiterjesztett. A moll szerint: "Egy háromszögben a szögek arányosak a szemközti oldalakkal." Ezt a tételt gyakran kiterjesztik a háromszög körülírt körének tulajdonsága miatt: „Egy háromszögben a szögek arányosak a szemközti oldalakkal, és arányuk megegyezik a körülírt kör átmérőjével.”
Származékok
A derivált egy matematikai eszköz, amely megmutatja, hogy egy függvény milyen gyorsan változik az argumentumában bekövetkezett változáshoz képest. A származékokat a geometriában és számos műszaki tudományágban használják.
A feladatok megoldása során ismernie kell a trigonometrikus függvények deriváltjainak táblázatos értékeit: szinusz és koszinusz. A szinusz származéka koszinusz, a koszinusz pedig szinusz, de mínusz előjellel.
Alkalmazás a matematikában
A megoldás során különösen gyakran használnak szinuszokat és koszinuszokat derékszögű háromszögekés a hozzájuk kapcsolódó feladatokat.
A szinuszok és koszinuszok kényelme a technológiában is megmutatkozik. A szögeket és oldalakat könnyű volt kiértékelni a koszinusz- és szinusztételek segítségével, az összetett alakzatokat és tárgyakat „egyszerű” háromszögekre bontva. Azok a mérnökök, akik gyakran foglalkoznak a képarányok és fokmértékek számításaival, sok időt és erőfeszítést fordítottak a nem táblázatos szögek koszinuszainak és szinuszainak kiszámítására.
Ezután a Bradis táblák jöttek a segítségre, amelyek több ezer szinusz, koszinusz, érintő és különböző szögű kotangens értékét tartalmazták. BAN BEN szovjet idő néhány tanár arra kényszerítette diákjait, hogy memorizálják a Bradis-táblázatok oldalait.
A radián egy olyan ív szögértéke, amelynek hossza egyenlő a sugárral vagy 57,295779513°.
Fok (geometriában) - a kör 1/360-a vagy a derékszög 1/90-a része.
π = 3,141592653589793238462… (Pi hozzávetőleges értéke).
Koszinusz táblázat szögekhez: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| x szög (fokban) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x szög (radiánban) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Hogyan lehet megtalálni a szinust?
A geometria tanulása segíti a gondolkodás fejlesztését. Ez a tantárgy szükségszerűen szerepel az iskolai képzésben. A mindennapi életben e tárgy ismerete hasznos lehet – például lakástervezéskor.
A történelemből
A geometria tantárgy része a trigonometria is, amely trigonometrikus függvényeket tanulmányoz. A trigonometriában a szögek szinuszait, koszinuszait, érintőit és kotangenseit vizsgáljuk.
De tovább Ebben a pillanatban Kezdjük a legegyszerűbb dologgal - a sinusszal. Nézzük meg közelebbről a legelső fogalmat – a szög szinuszát a geometriában. Mi az a szinusz és hogyan lehet megtalálni?
A „szinuszszög” és a szinuszosok fogalma
A szög szinusza a derékszögű háromszög szemközti oldalának és befogójának az aránya. Ez egy közvetlen trigonometrikus függvény, amelyet „sin (x)”-ként írunk le, ahol (x) a háromszög szöge.
A grafikonon egy szög szinuszát a saját jellemzőivel rendelkező szinuszhullám jelöli. A szinuszhullám úgy néz ki, mint egy folytonos hullámvonal, amely a koordinátasíkon bizonyos határokon belül helyezkedik el. A függvény páratlan, ezért a koordinátasíkon 0 körül szimmetrikus (a koordináták origójából jön ki).
Ennek a függvénynek a definíciós tartománya a -1 és +1 közötti tartományban van a derékszögű koordinátarendszerben. A szinuszszögfüggvény periódusa 2 Pi. Ez azt jelenti, hogy minden 2 Pi-nél a minta megismétlődik, és a szinuszhullám egy teljes cikluson megy keresztül.
Szinuszhullám egyenlet
- sin x = a/c
- ahol a a háromszög szögével ellentétes láb
- c - derékszögű háromszög hipotenusza
Egy szög szinuszának tulajdonságai
- sin(x) = - sin(x). Ez a tulajdonság azt mutatja, hogy a függvény szimmetrikus, és ha az x és (-x) értékeket mindkét irányban a koordinátarendszeren ábrázoljuk, akkor ezeknek a pontoknak az ordinátái ellentétesek lesznek. Egyenlő távolságra lesznek egymástól.
- A függvény másik jellemzője, hogy a függvény grafikonja növekszik a [- P/2 + 2 Pn] szakaszon; [P/2 + 2Pn], ahol n tetszőleges egész szám. A szög szinuszának grafikonjának csökkenése figyelhető meg a szakaszon: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
- sin(x) > 0, ha x a (2Пn, П + 2Пn) tartományban van
- (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)
A szög szinuszainak értékeit speciális táblázatok segítségével határozzák meg. Ilyen táblázatokat azért hoztak létre, hogy megkönnyítsék az összetett képletek és egyenletek kiszámításának folyamatát. Könnyen használható, és nem csak a sin(x) függvény értékeit tartalmazza, hanem más függvények értékeit is.
Ezenkívül ezeknek a függvényeknek a standard értékeinek táblázata szerepel a kötelező memóriatanulmányban, mint egy szorzótábla. Ez különösen igaz a fizikai és matematikai torzítású osztályokra. A táblázatban láthatja a trigonometriában használt fő szögek értékeit: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 és 360 fok.
Van egy táblázat is, amely meghatározza a nem szabványos szögek trigonometrikus függvényeinek értékeit. Kihasználva különböző táblázatok, könnyen kiszámíthatja egyes szögek szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét.
Az egyenletek trigonometrikus függvényekkel készülnek. Ezeket az egyenleteket könnyű megoldani, ha ismeri az egyszerűeket trigonometrikus azonosságokés a függvények redukciói, például, mint például sin (P/2 + x) = cos (x) és mások. Az ilyen csökkentésekről külön táblázat is készült.
Hogyan találjuk meg a szög szinuszát
Ha egy szög szinuszának megkeresése a feladat, és a feltételnek megfelelően csak a szög koszinusza, érintője vagy kotangense van, akkor a trigonometrikus azonosságok segítségével könnyen kiszámíthatjuk, hogy mire van szükségünk.
- sin 2 x + cos 2 x = 1
Ebből az egyenletből találhatunk szinust és koszinust is, attól függően, hogy melyik érték ismeretlen. Kapunk egy trigonometrikus egyenletet egy ismeretlennel:
- sin 2 x = 1 - cos 2 x
- sin x = ± √ 1 - cos 2 x
- kiságy 2 x + 1 = 1 / bűn 2 x
Ebből az egyenletből megtalálhatja a szinusz értékét, ismerve a szög kotangensének értékét. Az egyszerűsítés kedvéért cserélje ki a sin 2 x = y-t, és egy egyszerű egyenletet kap. Például a kotangens értéke 1, akkor:
- 1 + 1 = 1/év
- 2 = 1/év
- 2u = 1
- y = 1/2
Most végrehajtjuk a lejátszó fordított cseréjét:
- sin 2 x = ½
- sin x = 1 / √2
Mivel a standard szög kotangens értékét (45 0) vettük, a kapott értékek a táblázatban ellenőrizhetők.
Ha van érintőértéke, és meg kell találnia a szinust, egy másik trigonometrikus azonosság segít:
- tg x * ctg x = 1
Ebből következik, hogy:
- kiságy x = 1 / barna x
Egy nem szabványos szög, például 240 0 szinuszának megtalálásához szögcsökkentési képleteket kell használnia. Tudjuk, hogy π 180 0-nak felel meg. Így az egyenlőségünket szabványos szögekkel fejezzük ki kiterjesztéssel.
- 240 0 = 180 0 + 60 0
Meg kell találnunk a következőket: sin (180 0 + 60 0). A trigonometriában vannak olyan redukciós képletek, amelyek ebben az esetben jól fog jönni. Ez a képlet:
- sin (π + x) = - sin (x)
Így a 240 fokos szög szinusza egyenlő:
- sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2
Esetünkben x = 60, P pedig 180 fok. Az értéket (-√3/2) a standard szögek függvényeinek értéktáblázatából találtuk meg.
Ily módon a nem szabványos szögek bővíthetők, például: 210 = 180 + 30.
Trigonometrikus azonosságok- ezek olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, amely lehetővé teszi ezen függvények bármelyikének megtalálását, feltéve, hogy bármely másik ismert.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ez az azonosság azt mondja, hogy egy szög szinuszának négyzetének és egy szög koszinuszának négyzetének összege egyenlő eggyel, ami a gyakorlatban lehetővé teszi egy szög szinuszának kiszámítását, ha ismerjük a koszinuszát és fordítva. .
A trigonometrikus kifejezések konvertálásakor nagyon gyakran használják ezt az azonosságot, amely lehetővé teszi, hogy egy szög koszinusza és szinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítse, és a csereműveletet fordított sorrendben hajtsa végre.
Érintő és kotangens keresése szinusz és koszinusz segítségével
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ezek az azonosságok a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból alakulnak ki. Hiszen ha megnézzük, akkor értelemszerűen az y ordináta szinusz, az x abszcissza pedig koszinusz. Ekkor az érintő egyenlő lesz az aránnyal \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), és az arány \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangens lesz.
Tegyük hozzá, hogy csak olyan \alpha szögek esetén érvényesek az azonosságok, amelyeknél a bennük szereplő trigonometrikus függvényeknek van értelme, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Például: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha szögekre érvényes, amelyek különböznek a \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- a \pi z-től eltérő \alpha szög esetén z egész szám.
Az érintő és a kotangens kapcsolata
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ez az azonosság csak azokra az \alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2) z. Ellenkező esetben sem a kotangens, sem az érintő nem kerül meghatározásra.
A fenti pontok alapján azt kapjuk, hogy tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Ebből következik, hogy tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Így ugyanannak a szögnek az érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, kölcsönösen inverz számok.
Az érintő és a koszinusz, a kotangens és a szinusz összefüggései
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- az \alpha és 1 szög érintőjének négyzetének összege egyenlő ennek a szögnek a koszinuszának fordított négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, kivéve \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 összege és az \alpha szög kotangensének négyzete egyenlő az adott szög szinuszának inverz négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, amely különbözik a \pi z-től.
Példák problémák megoldására trigonometrikus identitások használatával
1. példa
Keresse meg a \sin \alpha és a tg \alpha if függvényeket \cos \alpha=-\frac12És \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Megoldás megjelenítése
Megoldás
A \sin \alpha és \cos \alpha függvényeket a képlet kapcsolja össze \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Behelyettesítve ebbe a képletbe \cos \alpha = -\frac12, kapunk:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ennek az egyenletnek 2 megoldása van:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedben a szinusz pozitív, így \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
A tan \alpha megtalálásához a képletet használjuk tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2. példa
Keresse meg a \cos \alpha és a ctg \alpha függvényt, ha és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Megoldás megjelenítése
Megoldás
Behelyettesítés a képletbe \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 adott szám \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kapunk \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ennek az egyenletnek két megoldása van \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedévben a koszinusz negatív, tehát \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
A ctg \alpha megtalálásához a képletet használjuk ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ismerjük a megfelelő értékeket.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Az érintő (tg x) és kotangens (ctg x) referenciaadatai. Geometriai definíció, tulajdonságok, grafikonok, képletek. Érintő- és kotangensek, deriváltak, integrálok, sorozatbővítések táblázata. Kifejezések összetett változókon keresztül. Kapcsolat hiperbolikus függvényekkel.
Geometriai meghatározás
|BD| - egy körív hossza, amelynek középpontja az A pontban van.
α a radiánban kifejezett szög.
Érintő ( tan α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb hosszára |AB| .
Kotangens ( ctg α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .
Tangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.
Az érintőfüggvény grafikonja, y = tan x
Kotangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelöléseket is elfogadjuk:
;
;
.
A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x
Az érintő és a kotangens tulajdonságai
Periodikaság
Függvények y = tg xés y = ctg xπ periódusúak.
Paritás
Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.
Meghatározási és értékterületek, növekvő, csökkenő
Az érintő és a kotangens függvények definíciós tartományukban folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Hatály és folytonosság | ||
| Értéktartomány | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Növekvő | - | |
| Csökkenő | - | |
| Extrémek | - | - |
| Nullák, y = 0 | ||
| Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0 | y = 0 | - |
Képletek
Szinuszos és koszinuszos kifejezések
;
;
;
;
;
Összegből és különbségből származó érintő és kotangens képlete
A többi képlet például könnyen beszerezhető
Érintők szorzata
Az érintők összegének és különbségének képlete
Ez a táblázat az érv bizonyos értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja be. 
Komplex számokat használó kifejezések
Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül
;
;
Származékok
; .
.
Az n-edrendű származéka a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Levezetési képletek az érintőre > > > ; kotangensre >>>
Integrálok
Sorozatbővítések
Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xÉs cos xés osztjuk el ezeket a polinomokat egymással, . Ez a következő képleteket állítja elő.
Nál nél .
nál nél .
Ahol Bn- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
Ahol .
Vagy Laplace képlete szerint: 
Inverz függvények
Az érintő és a kotangens inverz függvénye az arctangens, illetve az arckotangens.
Arctangens, arctg
, Ahol n- egész.
Arccotangens, arcctg
, Ahol n- egész.
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve számára tudományos dolgozókés mérnökök, 2012.
A trigonometria tanulmányozását a derékszögű háromszöggel kezdjük. Határozzuk meg, mi a szinusz és a koszinusz, valamint egy hegyesszög érintője és kotangense. Ez a trigonometria alapjai.
Hadd emlékeztessük erre derékszög egy 90 fokkal egyenlő szög. Más szóval, fél elfordított szög.
Éles sarok- kevesebb, mint 90 fok.
Tompaszög- 90 foknál nagyobb. Egy ilyen szöghöz képest a „tompa” nem sértés, hanem matematikai kifejezés :-)
Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget. A derékszöget általában jelöli. Felhívjuk figyelmét, hogy a sarokkal szemközti oldalt ugyanaz a betű jelzi, csak kicsi. Így az A szemközti szöget jelöljük.
A szöget a megfelelő jelzi görög levél.
Átfogó derékszögű háromszögnek a derékszöggel ellentétes oldala.
Lábak- hegyesszögekkel ellentétes oldalak.
A szöggel szemben fekvő lábat ún szemben(szöghez viszonyítva). A másik láb, amely a szög egyik oldalán fekszik, ún szomszédos.
Sinus A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti oldal és a hipotenusz aránya:
Koszinusz hegyesszög egy derékszögű háromszögben - a szomszédos láb és a hipotenusz aránya:
Tangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya:
Egy másik (ekvivalens) definíció: egy hegyesszög érintője a szög szinuszának és koszinuszának aránya:
Kotangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya (vagy, ami megegyezik, a koszinusz és a szinusz aránya):
Jegyezze meg az alábbiakban a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens alapvető összefüggéseit. Hasznosak lesznek a problémák megoldása során.
Bizonyítsunk be néhányat közülük.
Oké, megadtuk a definíciókat és felírtuk a képleteket. De miért van szükségünk még mindig szinuszra, koszinuszra, érintőre és kotangensre?
Tudjuk bármely háromszög szögeinek összege egyenlő.
Ismerjük a közti kapcsolatot a felek derékszögű háromszög. Ez a Pitagorasz-tétel: .
Kiderült, hogy egy háromszög két szögének ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Egy derékszögű háromszög két oldalának ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Ez azt jelenti, hogy a szögeknek megvan a saját arányuk, és az oldalaknak megvan a sajátjuk. De mit kell tennie, ha egy derékszögű háromszögben ismeri az egyik szöget (kivéve a derékszöget) és az egyik oldalt, de meg kell találnia a többi oldalt?
Ezzel találkoztak az emberek a múltban, amikor térképeket készítettek a területről és a csillagos égboltról. Végül is nem mindig lehet közvetlenül megmérni a háromszög minden oldalát.
Szinusz, koszinusz és érintő – más néven trigonometrikus szögfüggvények- közötti kapcsolatokat adni a felekÉs sarkok háromszög. A szög ismeretében speciális táblázatok segítségével megtalálhatja az összes trigonometrikus függvényét. És a háromszög és az egyik oldal szögeinek szinuszainak, koszinuszainak és érintőinek ismeretében megtalálhatja a többit.
Rajzolunk egy táblázatot is a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeiről a „jó” szögekhez tól-ig.
Kérjük, vegye figyelembe a két piros kötőjelet a táblázatban. Megfelelő szögértékeknél az érintő és a kotangens nem létezik.
Nézzünk meg néhány trigonometriai problémát a FIPI Feladatbankból.
1. Egy háromszögben a szög , . Megtalálja .
A probléma négy másodperc alatt megoldódik.
Mert a , .
2. Egy háromszögben a szög , , . Megtalálja .
Keressük meg a Pitagorasz-tétel segítségével.
A probléma megoldódott.
A problémákban gyakran vannak háromszögek szögekkel és vagy szögekkel és. Emlékezz fejből az alapvető arányokra!
Egy olyan háromszögnél, amelynek szögei és az at szöggel ellentétes szár egyenlő a hypotenus fele.
Egy háromszög szögekkel és egyenlő szárú. Ebben a hypotenusa szor nagyobb, mint a láb.
Megvizsgáltuk a derékszögű háromszögek megoldásának problémáit – vagyis az ismeretlen oldalak vagy szögek megtalálását. De ez még nem minden! BAN BEN Egységes államvizsga lehetőségek a matematikában sok olyan probléma van, ahol megjelenik egy háromszög külső szögének szinusza, koszinusza, érintője vagy kotangense. Erről bővebben a következő cikkben.
Betöltés...