Két szám legkisebb közös többszöröse. Osztók és többszörösek

Tekintsünk három módszert a legkisebb közös többszörös megtalálására.

Megkeresés faktoringgal

Az első módszer az, hogy megtaláljuk a legkisebb közös többszöröst úgy, hogy ezeket a számokat prímtényezőkké alakítjuk.

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 99, 30 és 28 számok LCM-jét. Ehhez a számokat prímtényezőkre bontjuk:

Ahhoz, hogy a kívánt szám osztható legyen 99-cel, 30-cal és 28-cal, szükséges és elegendő, hogy ezen osztók összes prímtényezője bekerüljön abba. Ehhez a számok összes prímtényezőjét a lehető legnagyobb hatványra kell venni, és össze kell szorozni:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Tehát az LCM (99, 30, 28) = 13 860. A 13 860-nál kisebb számok nem oszthatók 99-cel, 30-cal vagy 28-cal.

E számok legkisebb közös többszörösének megtalálásához prímtényezőkbe kell őket beszámítani, majd minden egyes prímtényezőt a legnagyobb kitevőjével kell megszorozni, és össze kell szorozni ezeket a tényezőket.

Mivel a koprímszámoknak nincs közös prímtényezője, a legkisebb közös többszörösük egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával. Például három szám: 20, 49 és 33 kölcsönösen prímszám. Így

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Ugyanezt kell tenni a különböző prímszámok legkisebb közös többszörösének keresésekor is. Például LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Keresés kiválasztással

A második módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása illesztéssel.

1. példa Ha a megadott számok közül a legnagyobbat teljesen elosztjuk a többi megadott számmal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je megegyezik a nagyobbik számmal. Például adott négy szám: 60, 30, 10 és 6. Mindegyik osztható 60-al, ezért:

LCM (60, 30, 10, 6) = 60

Ellenkező esetben a következő eljárást alkalmazzuk a legkisebb közös többszörös megtalálásához:

1. Határozza meg a megadott számok legnagyobb számát!
2. Ezután megkeressük azokat a számokat, amelyek a legnagyobb szám többszörösei, megszorozzuk a természetes számokkal növekvő sorrendben, és ellenőrizzük, hogy a fennmaradó adott számok oszthatók-e a kapott szorzattal.

2. példa Adott három szám: 24, 3 és 18. Határozza meg közülük a legnagyobbat – ez a 24. Ezután keresse meg azokat a számokat, amelyek 24 többszörösei, és ellenőrizze, hogy mindegyik osztható-e 18-mal és 3-mal:

24 1 = 24 - osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.

24 2 = 48 - osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.

24 3 = 72 – osztható 3-mal és 18-cal.

Tehát az LCM (24, 3, 18) = 72.

Megkeresés az LCM szekvenciális megkeresésével

A harmadik módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása az LCM szekvenciális megkeresésével.

Két adott szám LCM-je egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával, osztva a legnagyobb közös osztóval.

Példa 1. Határozzuk meg két adott szám LCM-jét: 12 és 8. Határozzuk meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (12, 8) = 4. Szorozzuk meg ezeket a számokat:

A munkát a GCD-jükre osztjuk:

Így az LCM (12, 8) = 24.

A három vagy több szám LCM-jének megkereséséhez kövesse az alábbi eljárást:

1. Először keresse meg a megadott számok közül bármelyik kettő LCM-jét.
2. Ezután a talált legkisebb közös többszörös és a harmadik megadott szám LCM-je.
3. Ezután a kapott legkisebb közös többszörös és a negyedik szám LCM-je stb.
4. Így az LCM keresése addig tart, amíg vannak számok.

2. példa Keressük meg a három megadott szám LCM-jét: 12, 8 és 9. A 12 és 8 számok LCM-jét már megtaláltuk az előző példában (ez a 24-es szám). Meg kell találni a 24 legkisebb közös többszörösét és a harmadik adott számot - 9. Határozzuk meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (24, 9) = 3. Szorozzuk meg az LCM-et 9-cel:

A munkát a GCD-jükre osztjuk:

Tehát az LCM (12, 8, 9) = 72.

A többszörös olyan szám, amely egyenletesen osztható egy adott számmal. Egy számcsoport legkisebb közös többszöröse (LCM) az a legkisebb szám, amely egyenletesen osztható a csoport minden számával. A legkisebb közös többszörös megtalálásához meg kell találni az adott számok prímtényezőit. Az LCM számos más módszerrel is kiszámítható, amelyek két vagy több számból álló csoportokra alkalmazhatók.

Lépések

Többszörösök sorozata

Nézd meg a megadott számokat. Az itt leírt módszer a legjobb, ha két számot ad meg, amelyek mindegyike kisebb, mint 10. Ha a számok nagyok, használjon más módszert.

• Például keresse meg 5 és 8 legkisebb közös többszörösét. Ezek kis számok, így használhatja ezt a módszert.

1. A többszörös olyan szám, amely egyenletesen osztható egy adott számmal. A szorzótáblában több szám is megtalálható.

   • Például azok a számok, amelyek 5 többszörösei: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Írjon fel egy olyan számsort, amely az első szám többszöröse. Tegye ezt az első szám többszörösei alatt két számsorozat összehasonlításához.

   • Például azok a számok, amelyek a 8 többszörösei: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 és 64.

3. Keresse meg a legkisebb számot, amely a többszörösek mindkét sorában szerepel. Lehetséges, hogy hosszú többszörös sorozatot kell írnia az összeg meghatározásához. A legkisebb szám, amely a többszörösek mindkét sorában megjelenik, a legkisebb közös többszörös.

   • Például az 5 és 8 többszöröseinek sorozatában a legkisebb szám a 40. Ezért a 40 az 5 és 8 legkisebb közös többszöröse.

   Prímfaktorizálás

   1. Nézd meg a megadott számokat. Az itt leírt módszert akkor célszerű használni, ha két számot adunk meg, amelyek mindegyike nagyobb 10-nél. Ha a megadott számok kisebbek, használjunk más módszert.

      • Például keresse meg 20 és 84 legkisebb közös többszörösét. Mindegyik szám nagyobb 10-nél, így használhatja ezt a módszert.

   2. Tényező az első számot. Vagyis olyan prímszámokat kell találni, amelyek szorzásakor a megadott számot kapjuk. Miután megtalálta a prímtényezőket, írja le őket egyenlőségként.

      • Például, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ × 10 = 20)és 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times (\ mathbf (5)) = 10)... Így a 20 prímtényezői 2, 2 és 5. Írd le kifejezésként:.

   3. Tényező a második számot. Tegye ezt ugyanúgy, ahogy az első számot faktorizálta, azaz keresse meg azokat a prímszámokat, amelyek szorzásakor az adott számot kapják.

      • Például, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ szor 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ 6 = 42)és 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ times (\ mathbf (2)) = 6)... Így a 84 prímtényezői 2, 7, 3 és 2. Írd le kifejezésként:.

   4. Írja le mindkét számban közös tényezőket!Írja fel ezeket a tényezőket szorzási műveletként. Miközben az egyes tényezőket felírja, húzza át mindkét kifejezésben (a prímtényezőket leíró kifejezésekben).

      • Például mindkét szám közös tényezője 2, ezért írjon 2 × (\ displaystyle 2 \ times)és mindkét kifejezésben áthúzzuk a 2-t.
      • Mindkét számban közös még egy 2-es tényező, ezért írjon 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2)és mindkét kifejezésben húzd át a második 2-t.

   5. Adja hozzá a fennmaradó tényezőket a szorzási művelethez. Ezek olyan tényezők, amelyek nincsenek áthúzva mindkét kifejezésben, vagyis olyan tényezők, amelyek nem közösek mindkét számban.

      • Például a kifejezésben 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ × 2 \ × 5) mindkét 2 (2) át van húzva, mert közös tényezők. Az 5-ös tényező nincs áthúzva, ezért írja le a szorzási műveletet így: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ × 2 × 5 × 5)
      • A kifejezésben 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ × 7 \ × 3 × 2) mindkét 2-es szintén át van húzva (2). A 7-es és a 3-as tényező nincs áthúzva, ezért írja le a szorzási műveletet így: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ × 2 × 5 × 5 × 7 × 3).

   6. Számítsa ki a legkisebb közös többszöröst! Ehhez szorozza meg a rögzített szorzási műveletben szereplő számokat.

      • Például, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ × 2 × 5 × 5 × 7 × 3 = 420)... Tehát 20 és 84 legkisebb közös többszöröse 420.

   Közös osztók keresése

   1. Rajzolja meg a rácsot, mint egy tic-tac-toe játéknál. Egy ilyen rács két párhuzamos egyenesből áll, amelyek (derékszögben) metszik a másik két párhuzamos egyenest. Ez három sort és három oszlopot hoz létre (a rács nagyon hasonlít a # jelre). Írja be az első számot az első sorba és a második oszlopba! Írja a második számot az első sorba és a harmadik oszlopba!

      • Például keresse meg a 18 és 30 legkisebb közös többszörösét. Írjon 18-at az első sorba és a második oszlopba, és írjon 30-at az első sorba és a harmadik oszlopba.

   2. Keresse meg mindkét szám közös osztóját!Írja le az első sorba és az első oszlopba. Jobb, ha elsődleges tényezőket keresünk, de ez nem követelmény.

      • Például 18 és 30 páros számok, így közös osztójuk 2. Írjon tehát 2-t az első sorba és az első oszlopba.

   3. Minden számot el kell osztani az első osztóval.Írjon minden hányadost a megfelelő szám alá! A hányados két szám elosztásának eredménye.

      • Például, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9) szóval írj 9-et 18 alá.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) szóval írj 15-öt 30 alá.

   4. Keresse meg a mindkét hányadosra közös osztót! Ha nincs ilyen osztó, hagyja ki a következő két lépést. Ellenkező esetben írja be az osztót a második sorba és az első oszlopba.

      • Például a 9 és a 15 osztható 3-mal, ezért írjon 3-at a második sorba és az első oszlopba.

   5. Minden hányadost el kell osztani a második tényezővel.Írja be az egyes osztási eredményeket a megfelelő hányados alá!

      • Például, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3) szóval 9 alá írj 3-at.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) szóval írj 5-öt 15 alá.

   6. Ha szükséges, egészítse ki a rácsot további cellákkal. Addig ismételjük a leírt lépéseket, amíg a hányadosoknak közös osztója nem lesz.

   7. Karikázd be a rács első oszlopában és utolsó sorában lévő számokat! Ezután szorzási műveletként írja le a kiválasztott számokat.

      • Például a 2-es és 3-as számok az első oszlopban, a 3-as és 5-ös számok az utolsó sorban találhatók, ezért írja be a szorzási műveletet a következőképpen: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ × 3 \ × 3 × 5 ).

   8. Keresse meg a számok szorzásának eredményét! Ez kiszámítja a két megadott szám legkisebb közös többszörösét.

      • Például, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ × 3 × 3 × 3 × 5 × 90)... Tehát 18 és 30 legkisebb közös többszöröse 90.

   Euklidész algoritmusa

   1. Ne feledje az osztási művelethez kapcsolódó terminológiát. Az osztalék az a szám, amelyet felosztanak. Az osztó a szám osztva. A hányados két szám elosztásának eredménye. A maradék az a szám, amely két szám felosztása után marad.

      • Például a kifejezésben 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 osztalék
        6 az osztó
        2 a hányados
        3 a maradék.

Legnagyobb közös osztó

2. definíció

Ha egy a természetes szám osztható egy $ b $ természetes számmal, akkor a $ b $-t $ a $ osztójának, az $ a $-t pedig a $ b $ többszörösének nevezzük.

Legyenek $ a $ és $ b $ természetes számok. A $ c $ számot a $ a $ és a $ b $ közös osztójának nevezzük.

A $ a $ és a $ b $ közös osztóinak halmaza véges, mivel ezen osztók egyike sem lehet nagyobb $ a $-nál. Ez azt jelenti, hogy ezen osztók között van egy legnagyobb, amelyet a $ a $ és a $ b $ számok legnagyobb közös osztójának neveznek, és ezt a jelölést használják:

$ Gcd \ (a; b) \ vagy \ D \ (a; b) $

Két szám legnagyobb közös osztójának megtalálásához a következőket kell tennie:

1. Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös tényező.

1. példa

Keresse meg a $ 121 $ és $ 132. $ számok gcd-jét

242 USD = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 USD

132 dollár = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Válassza ki azokat a számokat, amelyek szerepelnek e számok bontásában

242 USD = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 USD

132 dollár = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös tényező.

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

2. példa

Keresse meg a 63 dolláros és 81 dolláros monomiális GCD-t.

A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Ezért:

Bontsa fel a számokat prímtényezőkre

63 USD = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 USD

81 dollár = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Olyan számokat választunk, amelyek ezeknek a számoknak a dekompozíciójában szerepelnek

63 USD = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 USD

81 dollár = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Keressük meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös tényező.

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

Két szám GCD-jét más módon is megtalálhatja, a számosztókészlet segítségével.

3. példa

Keresse meg a 48 $ és $ 60 $ számok GCD-jét.

Megoldás:

Keresse meg a $ 48 $ szám osztókészletét: $ \ left \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ right \) $

Most megtaláljuk a $ 60 $ szám osztókészletét: $ \ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ right \ ) $

Keressük meg ezeknek a halmazoknak a metszetét: $ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - ez a halmaz határozza meg a $ 48 $ és a számok közös osztóinak halmazát 60 dollár. A készlet legnagyobb eleme a 12 dolláros szám lesz. Tehát a 48 dollár és a 60 dollár legnagyobb közös osztója 12 dollár lesz.

Az LCM definíciója

3. definíció

Természetes számok közös többszöröse A $ a $ és a $ b $ egy természetes szám, amely mind a $ a $, mind a $ b $ többszöröse.

A számok közös többszörösei olyan számok, amelyek maradék nélkül oszthatók az eredetivel. Például a 25 $ és $ 50 $ számok közös többszörösei az 50 100 150 200 $ stb.

A legkisebb közös többszöröst a legkisebb közös többszörösnek nevezzük, és LCM $ (a; b) $ vagy K $ (a; b) jelöléssel jelöljük. $

Két szám LCM-jének megkereséséhez a következőkre lesz szüksége:

1. Tényezőszámok
2. Írd fel azokat a tényezőket, amelyek az első szám részét képezik, és add hozzá azokat a tényezőket, amelyek a második részei, és nem mennek bele az elsőbe

4. példa

Keresse meg a $ 99 $ és $ 77 $ számok LCM-jét.

A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Ezért

Tényezőszámok

99 USD = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 USD

Írja le az elsőben szereplő tényezőket!

add hozzá azokat a tényezőket, amelyek a második részét képezik, és ne menj bele az elsőbe

Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám a kívánt legkisebb közös többszörös lesz

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

A számosztók listáinak összeállítása gyakran nagyon időigényes. Van mód a GCD megtalálására, az úgynevezett Euklidész algoritmus.

Az euklideszi algoritmus alapjául szolgáló állítások:

Ha $ a $ és $ b $ természetes számok, és $ a \ vdots b $, akkor $ D (a; b) = b $

Ha $ a $ és $ b $ természetes számok, így $ b

A $ D (a; b) = D (a-b; b) $ felhasználásával a figyelembe vett számokat egymás után csökkenthetjük, amíg el nem érünk egy olyan számpárt, hogy az egyik osztható a másikkal. Ekkor ezek közül a számok közül a kisebbik lesz a kívánt legnagyobb közös osztója a $ a $ és a $ b $ számoknak.

A GCD és az LCM tulajdonságai

1. $ a $ és $ b $ bármely közös többszöröse osztható K $-al (a; b) $
2. Ha $ a \ vdots b $, akkor K $ (a; b) = a $

Ha K $ (a; b) = k $ és $ m $ természetes szám, akkor K $ (am; bm) = km $

Ha a $ d $ a $ a $ és a $ b $ közös osztója, akkor K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

Ha $ a \ vdots c $ és $ b \ vdots c $, akkor a $ \ frac (ab) (c) $ a $ a $ és a $ b $ közös többszöröse

Bármely természetes számra $ a $ és $ b $, az egyenlőség

$ D (a; b) \ cdot К (a; b) = ab $

A $ a $ és a $ b $ számok bármely közös osztója a $ D szám osztója (a; b) $

A matematikai kifejezések és feladatok sok további ismeretet igényelnek. A NOC az egyik fő, különösen gyakran használják A témát középiskolában tanulják, miközben az anyagot nem különösebben nehéz megérteni, a diplomákat és a szorzótáblát ismerő embernek nem lesz nehéz kiválasztani a szükséges számokat, és keresse meg az eredményt.

Meghatározás

A közös többszörös olyan szám, amely egyidejűleg teljesen felosztható két számra (a és b). Ezt a számot leggyakrabban az eredeti a és b számok szorzásával kapjuk meg. A számnak oszthatónak kell lennie mindkét számmal egyszerre, eltérés nélkül.

A NOC egy rövid név, amelyet az első betűkből állítanak össze.

A szám megszerzésének módjai

Az LCM megtalálásához a számok szorzása nem mindig alkalmas, sokkal jobban megfelel egyszerű egy- vagy kétjegyű számok esetén. faktorokkal szokás osztani, minél nagyobb a szám, annál több tényező lesz.

1. számú példa

A legegyszerűbb példa esetében az iskolák általában egyszerű, egy- vagy kétjegyű számokat használnak. Például meg kell oldania a következő feladatot, keresse meg a 7 és 3 számok legkisebb közös többszörösét, a megoldás meglehetősen egyszerű, csak szorozza meg őket. Ennek eredményeként van egy 21-es szám, egyszerűen nincs kisebb szám.

2. példa

A feladat második változata sokkal nehezebb. A 300 és 1260 számok ismeretében az LCM megkeresése kötelező. A feladat megoldásához a következő műveleteket kell feltételezni:

Az első és a második szám felosztása a legegyszerűbb tényezőkre. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Az első szakasz befejeződött.

A második szakasz a már beérkezett adatokkal való munka. A kapott számok mindegyikének részt kell vennie a végeredmény kiszámításában. Minden tényező esetében a legtöbb előfordulás az eredeti számokból származik. Az LCM a teljes szám, tehát a számokból származó tényezőket meg kell ismételni benne egyig, még azokat is, amelyek egy példányban jelen vannak. Mindkét kezdőszám összetételében a 2, 3 és 5 számok szerepelnek, különböző fokozatokban, csak egy esetben van 7.

A végeredmény kiszámításához minden számot az egyenletben bemutatott hatványok közül a legnagyobbra kell venni. Már csak a szorzás és a válasz megszerzése van hátra, helyes kitöltéssel a feladat magyarázat nélkül két lépésből áll:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

Ez az egész probléma, ha megpróbálja kiszámolni a szükséges számot szorzással, akkor a válasz biztosan nem lesz helyes, mivel 300 * 1260 = 378 000.

Vizsgálat:

6300/300 = 21 - igaz;

6300/1260 = 5 - helyes.

A kapott eredmény helyességét ellenőrzéssel határozzuk meg - elosztjuk az LCM-et mindkét kezdeti számmal, ha a szám mindkét esetben egész, akkor a válasz helyes.

Mit jelent az LCM a matematikában?

Mint tudják, a matematikában nincs egyetlen haszontalan függvény sem, ez sem kivétel. Ennek a számnak a legáltalánosabb használata a törtek közös nevezőre hozása. Amit általában a gimnázium 5-6. osztályában tanulnak. Ezenkívül az összes többszörös közös osztója, ha ilyen feltételek vannak a problémában. Egy hasonló kifejezés nem csak két szám többszörösét találhatja meg, hanem sokkal nagyobb szám többszörösét is - három, öt stb. Minél több szám, annál több művelet van a feladatban, de a bonyolultság ettől nem nő.

Például a 250, 600 és 1500 számok alapján meg kell találnia a teljes LCM-et:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ez a példa részletesen leírja a faktorizálást, törlés nélkül.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Egy kifejezés összeállításához minden tényezőt meg kell említeni, ebben az esetben 2, 5, 3 adott, - mindezen számok esetében meg kell határozni a maximális mértéket.

Figyelem: minden szorzót teljes egyszerűsítésre kell vinni, lehetőség szerint az egyértékűek szintjére bővítve.

Vizsgálat:

1) 3000/250 = 12 - igaz;

2) 3000/600 = 5 - igaz;

3) 3000/1500 = 2 - igaz.

Ez a módszer nem igényel trükköket vagy zseniális szintű képességeket, minden egyszerű és egyértelmű.

Egy másik módja

A matematikában sok minden összefügg, sok mindent meg lehet oldani két vagy több módon is, ugyanez vonatkozik a legkisebb közös többszörös, az LCM megtalálására is. Egyszerű kétjegyű és egyjegyű számok esetén a következő módszer használható. Összeállítunk egy táblázatot, amelybe a szorzót függőlegesen, a szorzót vízszintesen írjuk be, és az oszlop metsző celláiban feltüntetjük a szorzatot. A táblázatot egy vonallal tükrözheti, egy számot veszünk, és ennek a számnak az egész számokkal való szorzását, 1-től végtelenig, sorba írjuk, néha 3-5 pont is elegendő, a második és az azt követő számok ugyanannak a számítási folyamatnak van alávetve. Minden addig történik, amíg meg nem találjuk a közös többszöröst.

A 30, 35, 42 számok alapján meg kell találnia az összes számot összekötő LCM-et:

1) 30 többszörösei: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 stb.

2) 35 többszörösei: 70, 105, 140, 175, 210, 245 stb.

3) 42 többszörösei: 84, 126, 168, 210, 252 stb.

Észrevehető, hogy az összes szám meglehetősen eltérő, az egyetlen közös szám közöttük a 210, tehát ez lesz az LCM. Az ehhez a számításhoz kapcsolódó folyamatok között van a legnagyobb közös osztó is, amelyet hasonló elvek szerint számítanak ki, és gyakran találkozunk a szomszédos problémákban. A különbség kicsi, de kellően jelentős, az LCM feltételezi egy olyan szám kiszámítását, amely el van osztva az összes megadott kezdeti értékkel, a GCD pedig a legnagyobb érték kiszámítását, amellyel az eredeti számokat elosztjuk.

A „többszörös” témát egy általános iskola 5. osztályában tanulják. Célja a matematikai számítások írásbeli és szóbeli készségeinek fejlesztése. Ebben a leckében új fogalmakat vezetnek be - "szorosok" és "osztók", a természetes szám osztóinak és többszöröseinek megtalálásának technikáját, az LCM különféle módon történő megtalálásának képességét.

Ez a téma nagyon fontos. Az ezzel kapcsolatos ismereteket a törtjeles példák megoldásánál lehet alkalmazni. Ehhez meg kell találni a közös nevezőt a legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámításával.

A többszöröse olyan egész szám, amely maradék nélkül osztható A-val.

Minden természetes számnak végtelen számú többszöröse van. Magát a legkisebbnek tartják. A többszörös nem lehet kisebb, mint maga a szám.

Be kell bizonyítanunk, hogy 125 többszöröse 5-nek. Ehhez osszuk el az első számot a másodikkal. Ha 125 osztható 5-tel maradék nélkül, akkor a válasz igen.

Ez a módszer kis számoknál alkalmazható.

Vannak speciális esetek az LCM kiszámításakor.

1. Ha meg kell találnia 2 szám közös többszörösét (például 80 és 20), ahol az egyik (80) maradék nélkül el van osztva a másikkal (20), akkor ez a szám (80) a legkisebb ennek a két számnak a többszöröse.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ha kettőnek nincs közös osztója, akkor azt mondhatjuk, hogy az LCM-jük ennek a két számnak a szorzata.

LCM (6, 7) = 42.

Vessünk egy pillantást az utolsó példára. A 6 és 7 a 42-hez képest osztók. Egy többszöröst osztanak maradék nélkül.

Ebben a példában a 6 és 7 páros osztók. A szorzatuk egyenlő a szám (42) legnagyobb többszörösével.

Egy számot prímnek nevezünk, ha csak önmagával vagy 1-gyel osztható (3: 1 = 3; 3: 3 = 1). A többit kompozitnak nevezik.

Egy másik példában meg kell határoznia, hogy 9 osztója-e 42-nek.

42: 9 = 4 (a maradék 6)

Válasz: A 9 nem osztója 42-nek, mert a válaszban van maradék.

Az osztó abban különbözik a többszöröstől, hogy az osztó az a szám, amellyel a természetes számokat osztjuk, és maga a többszörös is osztható ezzel a számmal.

A számok legnagyobb közös osztója aés b, megszorozva a legkisebb többszörösükkel, maguknak a számoknak a szorzatát adja aés b.

Nevezetesen: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Az összetettebb számok közös többszörösei a következő módon találhatók meg.

Például keresse meg a 168, 180, 3024 LCM-jét.

Ezeket a számokat prímtényezőkre bontjuk, felírjuk fokok szorzataként:

168 = 2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.