Utasítás

Meghatározzuk a görbe érintőjének szögegyütthatóját az M pontban.
Az y = f(x) függvény grafikonját ábrázoló görbe az M pont bizonyos környezetében folytonos (beleértve magát az M pontot is).

Ha az f‘(x0) érték nem létezik, akkor vagy nincs érintő, vagy függőlegesen fut. Ennek fényében a függvény deriváltjának jelenléte az x0 pontban abból adódik, hogy az (x0, f(x0) pontban a függvény grafikonjának nem függőleges érintője létezik). Ebben az esetben az érintő szögegyütthatója egyenlő lesz f "(x0). Így világossá válik a derivált geometriai jelentése - az érintő szögegyütthatójának kiszámítása.

Keresse meg az „a” betűvel jelölt érintőpont abszcissza értékét. Ha egybeesik egy adott érintőponttal, akkor "a" lesz az x-koordinátája. Határozza meg az értéket funkciókat f(a) behelyettesítéssel az egyenletbe funkciókat abszcissza érték.

Határozzuk meg az egyenlet első deriváltját! funkciókat f’(x) és behelyettesítjük az „a” pont értékét.

Vegyük az y = f(a) = f(a)(x – a) általános érintőegyenletet, és cseréljük be az a, f(a), f "(a) talált értékeit. Ennek eredményeként a gráf megoldása megtalálható és érintő lesz.

Oldja meg a feladatot másképp, ha az adott érintőpont nem esik egybe az érintőponttal. Ebben az esetben az érintőegyenletben számok helyett „a”-t kell helyettesíteni. Ezt követően az „x” és „y” betűk helyett helyettesítsük az adott pont koordinátáinak értékét. Oldja meg a kapott egyenletet, amelyben „a” az ismeretlen! Illessze be a kapott értéket az érintőegyenletbe.

Írjon egyenletet egy „a” betűs érintőre, ha a problémameghatározás megadja az egyenletet funkciókatés a kívánt érintőhöz viszonyított párhuzamos egyenes egyenlete. Ezek után szükségünk van a deriváltra funkciókat, az „a” pont koordinátájára. Helyettesítse be a megfelelő értéket az érintőegyenletbe, és oldja meg a függvényt!

Egy függvény grafikonjának érintőjének egyenlete

P. Romanov, T. Romanova,
Magnyitogorszk,
Cseljabinszki régió

Egy függvény grafikonjának érintőjének egyenlete

A cikk az ITAKA+ Szállodakomplexum támogatásával jelent meg. Ha a hajóépítők Severodvinsk városában tartózkodik, akkor nem találkozik az ideiglenes lakhatás megtalálásának problémájával. , az „ITHAKA+” szállodakomplexum honlapján http://itakaplus.ru egyszerűen és gyorsan bérelhet lakást a városban, bármilyen időszakra, napi fizetéssel.

Tovább modern színpad az oktatás fejlesztése, egyik fő feladata a kreatívan gondolkodó személyiség kialakítása. A tanulók kreativitási képessége csak akkor fejleszthető, ha szisztematikusan bevonják őket a kutatási tevékenységek alapjaiba. A tanulók alkotóerejének, képességeinek és tehetségének hasznosításának alapja a teljes értékű tudás és készségek kialakítása. Ebben a tekintetben nem kis jelentőségű az alapismeretek és készségek rendszerének kialakítása az iskolai matematika kurzus egyes témáihoz. Ugyanakkor a teljes értékű készségek nem az egyes feladatok didaktikai célja kell, hogy legyenek, hanem azok gondosan átgondolt rendszere. A legtágabb értelemben a rendszert egymáshoz kapcsolódó, kölcsönhatásban álló elemek összességeként értjük, amelyek integritással és stabil szerkezettel rendelkeznek.

Tekintsünk egy technikát, amellyel megtaníthatjuk a tanulóknak, hogyan írjanak egyenletet egy függvény grafikonjának érintőjére. Lényegében az érintőegyenlet megtalálásának minden problémája abból adódik, hogy a vonalak halmazából (kötegből, családból) ki kell választani azokat, amelyek egy bizonyos követelményt kielégítenek - egy bizonyos függvény grafikonját érintik. Ebben az esetben a sorok halmaza, amelyből kiválasztásra kerül sor, kétféleképpen határozható meg:

a) az xOy síkon fekvő pont (vonalak középső ceruza);
b) szögegyüttható (egyenesek párhuzamos nyalábja).

Ezzel kapcsolatban a „Függvény grafikonjának érintője” témakör tanulmányozásakor a rendszer elemeinek elkülönítése érdekében kétféle problémát azonosítottunk:

1) problémák azon érintőn, amelyet az a pont adja, amelyen áthalad;
2) problémák a meredeksége által megadott érintőn.

A tangens problémák megoldására vonatkozó képzést az A.G. által javasolt algoritmus segítségével végeztük. Mordkovich. Alapvető különbsége a már ismertektől, hogy az érintőpont abszcisszáját a betűvel jelöljük (x0 helyett), és ezért az érintőegyenlet alakját veszi fel.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(hasonlítsa össze: y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)) Ez a módszertani technika véleményünk szerint lehetővé teszi a tanulók számára, hogy gyorsan és egyszerűen megértsék, hol vannak az aktuális pont koordinátái. az általános érintőegyenlet, és hol vannak az érintkezési pontok.

Algoritmus az y = f(x) függvény grafikonjának érintőegyenletének összeállításához

1. Jelölje az érintőpont abszcisszáját a betűvel!
2. Keresse meg f(a).
3. Keresse meg f "(x) és f "(a).
4. Helyettesítsük be a talált a, f(a), f "(a) számokat az y = f(a) = f "(a)(x – a) általános érintőegyenletbe!

Ez az algoritmus összeállítható a hallgatók által a műveletek önálló azonosítása és végrehajtásuk sorrendje alapján.

A gyakorlat azt mutatja, hogy az egyes kulcsproblémák algoritmussal történő szekvenciális megoldása lehetővé teszi a függvény grafikonjához tartozó érintő egyenletének szakaszos felírásának képességét, és az algoritmus lépései referenciapontként szolgálnak a műveletekhez. . Ez a megközelítés megfelel a P.Ya által kidolgozott, a mentális cselekvések fokozatos kialakulásának elméletének. Galperin és N.F. Talyzina.

Az első típusú feladatokban két kulcsfontosságú feladatot azonosítottak:

• az érintő átmegy a görbén fekvő ponton (1. feladat);
• az érintő egy olyan ponton halad át, amely nem a görbén fekszik (2. feladat).

Feladat 1. Írjon egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére! az M(3; – 2) pontban.

Megoldás. Az M(3; – 2) pont érintőpont, mivel

1. a = 3 – az érintőpont abszcisszája.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – érintő egyenlet.

2. Feladat. Írjuk fel az M(– 3; 6) ponton átmenő y = – x 2 – 4x + 2 függvény grafikonjára az összes érintő egyenletét!

Megoldás. Az M(– 3; 6) pont nem érintőpont, mivel f(– 3) 6 (2. ábra).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – érintő egyenlet.

Az érintő átmegy az M(– 3; 6) ponton, ezért koordinátái kielégítik az érintőegyenletet.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ha a = – 4, akkor az érintőegyenlet y = 4x + 18.

Ha a = – 2, akkor az érintőegyenlet alakja y = 6.

A második típusban a legfontosabb feladatok a következők lesznek:

• az érintő valamilyen egyenessel párhuzamos (3. feladat);
• az érintő egy bizonyos szögben átmegy az adott egyeneshez (4. feladat).

3. feladat Írja fel az y = x 3 – 3x 2 + 3 függvény grafikonjára az összes érintő egyenletét, párhuzamosan az y = 9x + 1 egyenessel!

Megoldás.

1. a – az érintőpont abszcisszája.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

De ezzel szemben f "(a) = 9 (párhuzamossági feltétel). Ez azt jelenti, hogy meg kell oldanunk a 3a 2 – 6a = 9 egyenletet. Gyökei a = – 1, a = 3 (3. ábra). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – érintőegyenlet;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – érintő egyenlet.

4. feladat Írja fel az y = 0,5x 2 – 3x + 1 függvény grafikonjára az érintő egyenletét, amely 45°-os szöget zár be az y = 0 egyenessel (4. ábra).

Megoldás. Az f "(a) = tan 45° feltételből a következőt kapjuk: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – az érintőpont abszcisszája.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – érintő egyenlet.

Könnyű megmutatni, hogy bármely más probléma megoldása egy vagy több kulcsprobléma megoldásán múlik. Tekintsük példaként a következő két problémát.

1. Írja fel az y = 2x 2 – 5x – 2 parabola érintőinek egyenleteit, ha az érintők derékszögben metszik egymást, és az egyik a 3. abszcissza pontban érinti a parabolát (5. ábra).

Megoldás. Mivel az érintőpont abszcisszája adott, a megoldás első része az 1. kulcsfeladatra redukálódik.

1. a = 3 – a derékszög egyik oldalának érintőpontjának abszcisszája.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – az első érintő egyenlete.

Legyen a – az első érintő dőlésszöge. Mivel az érintők merőlegesek, akkor a második érintő dőlésszöge. Az első érintő y = 7x – 20 egyenletéből tg-t kapunk a = 7. Keressük

Ez azt jelenti, hogy a második érintő meredeksége egyenlő .

A további megoldás a 3. kulcsfeladaton múlik.

Legyen tehát B(c; f(c)) a második egyenes érintési pontja

1. – a második érintési pont abszcisszája.
2.
3.
4.
– a második érintő egyenlete.

Jegyzet. Az érintő szögegyütthatója könnyebben megkereshető, ha a tanulók ismerik a k 1 k 2 = – 1 merőleges egyenesek együtthatóinak arányát.

2. Írja fel az összes közös érintő egyenletét a függvények grafikonjaira!

Megoldás. A feladat a közös érintők érintési pontjainak abszcisszájának megkeresésében, azaz az 1. kulcsprobléma általános formában történő megoldásában, egy egyenletrendszer felállításában, majd megoldásában áll (6. ábra).

1. Legyen a az y = x 2 + x + 1 függvény grafikonján fekvő érintőpont abszcisszája.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Legyen c a függvény grafikonján található érintőpont abszcisszája
2.
3. f "(c) = c.
4.

Mivel az érintők általánosak, akkor

Tehát y = x + 1 és y = – 3x – 3 közös érintők.

A vizsgált feladatok fő célja, hogy a hallgatókat felkészítse a kulcsprobléma típusának önálló felismerésére az összetettebb, bizonyos kutatási készségeket igénylő problémák (elemzési, összehasonlítási, általánosítási, hipotézisfelállítási képesség stb.) megoldása során. Ilyen feladatok közé tartozik minden olyan feladat, amelyben a kulcsfeladat komponensként szerepel. Tekintsük példaként azt a problémát (az 1. feladat fordítottja), hogy egy függvényt találjunk az érintők családjából.

3. Milyen b és c esetén érintik az y = x és y = – 2x egyenesek az y = x 2 + bx + c függvény grafikonját?

Megoldás.

Legyen t az y = x egyenes érintési pontjának abszcisszája az y = x 2 + bx + c parabolával; p az y = – 2x egyenes érintési pontjának abszcisszája az y = x 2 + bx + c parabolával. Ekkor az y = x érintőegyenlet y = (2t + b)x + c – t 2, az y = – 2x érintőegyenlet pedig y = (2p + b)x + c – p 2 alakot ölt. .

Állítsunk össze és oldjunk meg egyenletrendszert

Válasz:

Önállóan megoldandó problémák

1. Írja fel az y = 2x 2 – 4x + 3 függvény grafikonjára húzott érintők egyenleteit a gráf y = x + 3 egyenessel való metszéspontjaiban!

Válasz: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Milyen a értékei esetén megy át az M(2; 3) ponton az y = x 2 – ax függvény grafikonjára húzott érintő a gráf x 0 = 1 abszcissza pontjában?

Válasz: a = 0,5.

3. Milyen p értékeinél érinti az y = px – 5 egyenes az y = 3x 2 – 4x – 2 görbét?

Válasz: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Keresse meg az y = 3x – x 3 függvény grafikonjának összes közös pontját és a gráfhoz a P(0; 16) ponton keresztül húzott érintőjét!

Válasz: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Határozza meg a legrövidebb távolságot az y = x 2 + 6x + 10 parabola és az egyenes között

Válasz:

6. Az y = x 2 – x + 1 görbén keressük meg azt a pontot, ahol a grafikon érintője párhuzamos az y – 3x + 1 = 0 egyenessel.

Válasz: M(2; 3).

7. Írja fel az érintő egyenletét az y = x 2 + 2x – | 4x |, amely két ponton érinti. Készítsen rajzot.

Válasz: y = 2x – 4.

8. Bizonyítsuk be, hogy az y = 2x – 1 egyenes nem metszi az y = x 4 + 3x 2 + 2x görbét. Keresse meg a távolságot a legközelebbi pontjaik között.

Válasz:

9. Az y = x 2 parabolán két pontot veszünk fel x 1 = 1, x 2 = 3 abszcisszákkal. Ezeken a pontokon egy szekánst húzunk. A parabola melyik pontján lesz párhuzamos a szekánssal az érintője? Írja fel a szekáns és érintő egyenleteket!

Válasz: y = 4x – 3 – szekáns egyenlet; y = 4x – 4 – érintő egyenlet.

10. Keresse meg a q szöget! az y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 függvény grafikonjának érintői között, a 0 és 1 abszcisszákkal megrajzolt pontokban.

Válasz: q = 45°.

11. Mely pontokon zár be a függvény grafikonjának érintője az Ox tengellyel 135°-os szöget?

Válasz: A(0; – 1), B(4; 3).

12. A görbe A(1; 8) pontjában érintőt húzunk. Határozza meg a koordinátatengelyek közötti érintőszakasz hosszát.

Válasz:

13. Írja fel az y = x 2 – x + 1 és y = 2x 2 – x + 0,5 függvények grafikonjaira az összes közös érintő egyenletét!

Válasz: y = – 3x és y = x.

14. Határozza meg a függvény grafikonjának érintőinek távolságát! párhuzamos az x tengellyel.

Válasz:

15. Határozza meg, hogy az y = x 2 + 2x – 8 parabola milyen szögekben metszi az x tengelyt!

Válasz: q 1 = arctán 6, q 2 = arctán (– 6).

16. Függvénygráf keresse meg az összes pontot, amelyek mindegyikénél ennek a gráfnak az érintője metszi a koordináták pozitív féltengelyeit, és egyenlő szakaszokat vág le belőlük.

Válasz: A(– 3; 11).

17. Az y = 2x + 7 egyenes és az y = x 2 – 1 parabola M és N pontban metszi egymást. Keresse meg a parabolát érintő egyenesek K metszéspontját az M és N pontokban!

Válasz: K(1; – 9).

18. Mely b értékeire érinti az y = 9x + b egyenes az y = x 3 – 3x + 15 függvény grafikonját?

Válasz: – 1; 31.

19. Milyen k értékei esetén az y = kx – 10 egyenesnek csak egy közös pontja van az y = 2x 2 + 3x – 2 függvény grafikonjával? A k talált értékéhez határozza meg a pont koordinátáit.

Válasz: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Milyen b értékei esetén megy át az M(1; 8) ponton az y = bx 3 – 2x 2 – 4 függvény grafikonjára az x 0 = 2 abszcissza pontban húzott érintője?

Válasz: b = – 3.

21. Egy Ox tengelyű csúcsú parabola érinti az A(1; 2) és B(2; 4) pontokon átmenő egyenest a B pontban. Határozzuk meg a parabola egyenletét!

Válasz:

22. A k együttható mekkora értékénél érinti az y = x 2 + kx + 1 parabola az Ox tengelyt?

Válasz: k = d 2.

23. Határozza meg az y = x + 2 egyenes és az y = 2x 2 + 4x – 3 görbe közötti szögeket!

29. Határozza meg a távolságot a függvény grafikonjának érintői és az Ox tengely pozitív irányú generátorai között 45°-os szögben!

Válasz:

30. Határozzuk meg az y = x 2 + ax + b alakú parabolák csúcsainak lokuszát, amelyek érintik az y = 4x – 1 egyenest!

Válasz: y egyenes = 4x + 3.

Irodalom

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra és az elemzés kezdetei: 3600 feladat iskolásoknak és egyetemre jelentkezőknek. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Négyes szeminárium fiatal tanárok számára. Téma: Származékos alkalmazások. – M., „Matematika”, 21/94. sz.
3. A mentális cselekvések fokozatos asszimilációjának elméletén alapuló ismeretek és készségek kialakítása. / Szerk. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moszkvai Állami Egyetem, 1968.

Ebben a cikkben minden típusú problémát megvizsgálunk

Emlékezzünk származék geometriai jelentése: ha egy függvény grafikonjára egy pontban érintőt húzunk, akkor az érintő meredekségi együtthatója ( egyenlő az érintővel az érintő és a tengely pozitív iránya közötti szög) egyenlő a függvény deriváltjával a pontban.

Vegyünk egy tetszőleges pontot az érintőn koordinátákkal:

És vegyünk egy derékszögű háromszöget:

Ebben a háromszögben

Innen

Ez a függvény grafikonjára a pontban húzott érintő egyenlete.

Az érintőegyenlet felírásához csak a függvény egyenletét és azt a pontot kell ismernünk, ahol az érintőt megrajzoljuk. Akkor megtaláljuk és .

Az érintőegyenlet-problémáknak három fő típusa van.

1. Adott egy érintkezési pont

2. Adott az érintő meredekségi együttható, vagyis a függvény deriváltjának értéke a pontban.

3. Adottak annak a pontnak a koordinátái, amelyen keresztül az érintő meghúzódik, de amely nem az érintési pont.

Nézzük meg az egyes feladattípusokat.

1 . Írja fel a függvény grafikonjára az érintő egyenletét! azon a ponton .

.

b) Keresse meg a derivált értékét a pontban. Először keressük meg a függvény deriváltját

Helyettesítsük be a talált értékeket az érintőegyenletbe:

Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet jobb oldalán. Kapunk:

Válasz: .

2. Határozzuk meg azon pontok abszcisszáját, amelyekben a függvények érintik a gráfot! párhuzamos az x tengellyel.

Ha az érintő párhuzamos az x tengellyel, akkor az érintő és a tengely pozitív iránya közötti szög nulla, ezért az érintőszög érintője nulla. Ez azt jelenti, hogy a függvény deriváltjának értéke az érintkezési pontokon nulla.

a) Keresse meg a függvény deriváltját! .

b) Tegyük egyenlővé a derivált nullával, és keressük meg azokat az értékeket, amelyekben az érintő párhuzamos a tengellyel:

Ha minden tényezőt nullával egyenlővé teszünk, a következőt kapjuk:

Válasz: 0;3;5

3. Írjon egyenleteket egy függvény grafikonjának érintőire! , párhuzamos egyenes .

Az érintő párhuzamos egy egyenessel. Ennek az egyenesnek a meredeksége -1. Mivel az érintő párhuzamos ezzel az egyenessel, ezért az érintő meredeksége is -1. Azaz ismerjük az érintő meredekségét, és ezáltal, derivált értéke az érintési ponton.

Ez a második típusú probléma az érintőegyenlet megtalálásához.

Tehát megkapjuk a függvényt és a derivált értékét az érintési ponton.

a) Keresse meg azokat a pontokat, amelyekben a függvény deriváltja egyenlő -1-gyel!

Először keressük meg a derivált egyenletet.

Tegyük egyenlővé a derivált a -1 számmal.

Keressük meg a függvény értékét a pontban.

(feltétel szerint)

.

b) Határozzuk meg a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét a pontban!

Keressük meg a függvény értékét a pontban.

(feltétel szerint).

Helyettesítsük be ezeket az értékeket az érintőegyenletbe:

.

Válasz:

4. Írja fel a görbe érintőjének egyenletét! , ponton áthaladva

Először is ellenőrizzük, hogy a pont érintőpont-e. Ha egy pont érintőpont, akkor a függvény grafikonjához tartozik, és koordinátáinak ki kell elégíteniük a függvény egyenletét. Helyettesítsük be a pont koordinátáit a függvény egyenletébe.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negatív szám, az egyenlőség nem igaz, és a pont nem tartozik az és függvény grafikonjához nem érintkezési pont.

Ez az utolsó típusú probléma az érintőegyenlet megtalálásához. Első dolog meg kell találnunk az érintőpont abszcisszáját.

Keressük az értéket.

Legyen az érintkezési pont. A pont a függvény grafikonjának érintőjéhez tartozik. Ha ennek a pontnak a koordinátáit behelyettesítjük az érintőegyenletbe, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk:

.

A függvény értéke egy pontban a .

Keressük meg a függvény deriváltjának értékét a pontban.

Először keressük meg a függvény deriváltját. Ezt .

A derivált egy pontban egyenlő .

Helyettesítsük be a és az érintőegyenlet kifejezéseit. Megkapjuk az egyenletet:

Oldjuk meg ezt az egyenletet.

Csökkentse a tört számlálóját és nevezőjét 2-vel:

Hozzuk az egyenlet jobb oldalát közös nevezőre. Kapunk:

Egyszerűsítsük a tört számlálóját, és szorozzuk meg mindkét oldalt - ez a kifejezés szigorúan nagyobb, mint nulla.

Megkapjuk az egyenletet

Oldjuk meg. Ehhez négyzetre emeljük mindkét részt, és menjünk tovább a rendszerre.

Title="delim(lbrace)(mátrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Oldjuk meg az első egyenletet.

Döntsük el másodfokú egyenlet, kapunk

A második gyök nem felel meg a title="8-3x_0>=0 feltételnek">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Írjuk fel a pontban a görbe érintőjének egyenletét. Ehhez helyettesítse be az értéket az egyenletbe - Már felvettük.

Válasz:
.

Tekintsük a következő ábrát:

Egy bizonyos y = f(x) függvényt ábrázol, amely az a pontban differenciálható. Az (a; f(a)) koordinátákkal rendelkező M pont ki van jelölve. A gráf tetszőleges P(a + ∆x; f(a + ∆x)) pontján keresztül egy szekáns MR rajzolódik ki.

Ha most a P pontot eltoljuk a grafikon mentén az M pontba, akkor az MR egyenes az M pont körül forog. Ebben az esetben ∆x nullára irányul. Innen megfogalmazhatjuk egy függvény grafikonjának érintőjének definícióját.

Egy függvény grafikonjának érintője

A függvény grafikonjának érintője a szekáns határhelyzete, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik. Meg kell érteni, hogy az f függvény deriváltjának létezése az x0 pontban azt jelenti, hogy a gráf ezen pontján tangens neki.

Ebben az esetben az érintő szögegyütthatója egyenlő lesz a függvény deriváltjával ebben az f’(x0) pontban. Ez a származék geometriai jelentése. Az x0 pontban differenciálható f függvény grafikonjának érintője az (x0;f(x0)) ponton átmenő, f’(x0) szögegyütthatójú egyenes.

Érintőegyenlet

Próbáljuk meg megszerezni valamely f függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az A(x0; f(x0) pontban). A k meredekségű egyenes egyenlete van következő nézet:

Mivel meredekségi együtthatónk egyenlő a deriválttal f’(x0), akkor az egyenlet a következő alakot ölti: y = f’(x0)*x + b.

Most számoljuk ki b értékét. Ehhez azt a tényt használjuk, hogy a függvény áthalad az A ponton.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, innen fejezzük ki b-t és kapjuk, hogy b = f(x0) - f’(x0)*x0.

A kapott értéket behelyettesítjük az érintőegyenletbe:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Tekintsük a következő példát: keressük meg az f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x = 2 pontban.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Helyettesítsük be a kapott értékeket az érintőképletbe, így kapjuk: y = 1 + 4*(x - 2). A zárójeleket kinyitva és hasonló kifejezéseket hozva a következőt kapjuk: y = 4*x - 7.

Válasz: y = 4*x - 7.

Az érintőegyenlet összeállításának általános sémája az y = f(x) függvény grafikonjára:

1. Határozzuk meg az x0-t.

2. Számítsa ki az f(x0) értéket.

3. Számítsa ki az f’(x)

Az érintő egy egyenes , amely egy pontban érinti a függvény grafikonját, és amelynek minden pontja a legrövidebb távolságra van a függvény grafikonjától. Ezért az érintő egy bizonyos szögben érinti a függvény grafikonját, és több különböző szögű érintő nem mehet át az érintőponton. Egy függvény grafikonjának érintőegyenletei és normálegyenletei a derivált segítségével készülnek.

Az érintőegyenlet a vonalegyenletből származik .

Vezessük le az érintő egyenletét, majd a normál egyenletét a függvény grafikonjára.

y = kx + b .

Benne k- szögegyüttható.

Innen a következő bejegyzést kapjuk:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Származékos érték f "(x 0 ) funkciókat y = f(x) azon a ponton x0 egyenlő a lejtővel k= tg φ egy ponton keresztül rajzolt függvény grafikonjának érintője M0 (x 0 , y 0 ) , Ahol y0 = f(x 0 ) . Ez származék geometriai jelentése .

Így pótolhatjuk k tovább f "(x 0 ) és szerezze be a következőket függvény grafikonjának érintőjének egyenlete :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Egy függvény grafikonjának érintője egyenletének összeállításával kapcsolatos feladatoknál (és hamarosan rátérünk) a fenti képletből kapott egyenletet le kell redukálni egyenes egyenlete általános formában. Ehhez át kell vinnie az összes betűt és számot ide bal oldal egyenletet, és hagyjon nullát a jobb oldalon.

Most a normál egyenletről. Normál - ez egy egyenes, amely az érintőre merőleges függvény grafikonjának érintőpontján halad át. Normál egyenlet :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Bemelegítésképpen megkérjük, hogy saját maga oldja meg az első példát, majd nézze meg a megoldást. Minden okunk megvan a reményben, hogy ez a feladat nem lesz „hidegzuhany” olvasóink számára.

0. példa. Hozzunk létre egy érintő egyenletet és egy normál egyenletet egy függvény grafikonjára egy pontban! M (1, 1) .

1. példaÍrjon érintő egyenletet és egy normál egyenletet egy függvény grafikonjára! , ha az abszcissza érintő .

Keressük meg a függvény deriváltját:

Most már minden megvan, amit be kell cserélni az elméleti segédletben megadott bejegyzésbe, hogy megkapjuk az érintőegyenletet. Kapunk

Ebben a példában szerencsénk volt: a meredekség nullának bizonyult, ezért az egyenletet külön-külön redukáljuk Általános megjelenés nem volt szükség. Most létrehozhatjuk a normál egyenletet:

Az alábbi ábrán: egy függvény grafikonja bordó színű, érintővel Zöld szín, narancssárga normál.

A következő példa szintén nem bonyolult: a függvény az előzőhöz hasonlóan szintén polinom, de a meredeksége nem lesz egyenlő nullával, így még egy lépést adunk hozzá - általános formába hozva az egyenletet.

2. példa

Megoldás. Keressük az érintőpont ordinátáját:

Keressük meg a függvény deriváltját:

.

Keressük meg a derivált értékét az érintőpontban, azaz az érintő meredekségét:

Az összes kapott adatot behelyettesítjük az „üres képletbe”, és megkapjuk az érintőegyenletet:

Az egyenletet általános formájába hozzuk (a nullától eltérő betűket és számokat a bal oldalon gyűjtjük, a jobb oldalon pedig nullát hagyunk):

Összeállítjuk a normál egyenletet:

3. példaÍrja fel a függvény grafikonjára az érintő és a normál egyenletét, ha az abszcissza az érintőpont!

Megoldás. Keressük az érintőpont ordinátáját:

Keressük meg a függvény deriváltját:

.

Keressük meg a derivált értékét az érintőpontban, azaz az érintő meredekségét:

.

Megtaláljuk a tangens egyenletet:

Mielőtt az egyenletet általános formájába hozná, kicsit „fésülnie” kell: tagonként szorozzuk meg 4-gyel. Ezt megtesszük, és az egyenletet általános formájába hozzuk:

Összeállítjuk a normál egyenletet:

4. példaÍrja fel a függvény grafikonjára az érintő és a normál egyenletét, ha az abszcissza az érintőpont!

Megoldás. Keressük az érintőpont ordinátáját:

.

Keressük meg a függvény deriváltját:

Keressük meg a derivált értékét az érintőpontban, azaz az érintő meredekségét:

.

Megkapjuk a tangens egyenletet:

Az egyenletet általános alakjába hozzuk:

Összeállítjuk a normál egyenletet:

Az érintő- és normálegyenletek írásakor gyakori hiba, hogy nem veszi észre, hogy a példában megadott függvény összetett, és deriváltját egy egyszerű függvény deriváltjaként számítja ki. A következő példák már innen származnak összetett funkciók(a megfelelő lecke új ablakban nyílik meg).

5. példa.Írja fel a függvény grafikonjára az érintő és a normál egyenletét, ha az abszcissza az érintőpont!

Megoldás. Keressük az érintőpont ordinátáját:

Figyelem! Ez a függvény összetett, mivel az érintő argumentum (2 x) maga is egy függvény. Ezért egy függvény deriváltját egy komplex függvény deriváltjaként találjuk.