Az oszthatósági készségek alkalmazása leegyszerűsíti a számításokat, és arányosan növeli azok végrehajtási sebességét. Elemezzük részletesen a fő jellemzőket oszthatósági jellemzők.
Az oszthatóság legegyszerűbb kritériuma egységek: minden szám osztható eggyel. Ugyanolyan elemi és a vele való oszthatóság jeleivel két, öt, tíz. Egy páros szám osztható kettővel, vagy egy, amelynek utolsó számjegye 0, öttel - egy szám, amelynek utolsó számjegye 5 vagy 0. Csak a 0 utolsó számjegyű számokat osztjuk el tízzel. 100 - csak azok a számok, amelyek két utolsó számjegye nulla, be 1000 - csak azok, amelyeknek három utolsó nullája van.
Például:
A 79516 szám osztható 2-vel, mivel 6-ra, páros számra végződik; A 9651 nem osztható 2-vel, mivel az 1 páratlan számjegy; 1790 osztható 2-vel, mert az utolsó számjegy nulla. 3470 osztva lesz 5-tel (az utolsó számjegy 0); Az 1054 nem osztható 5-tel (az utolsó 4). 7800 el lesz osztva 10-zel és 100-zal; 542000 osztható 10-zel, 100-zal, 1000-el.
Kevésbé ismert, de nagyon könnyen használható jellemző oszthatósági jellemzők a 3 és 9 , 4 , 6 és 8, 25 . A vele való oszthatóságnak is vannak jellegzetes vonásai 7, 11, 13, 17, 19 és így tovább, de a gyakorlatban sokkal ritkábban használják őket.
A 3-mal és 9-cel való osztás jellemző tulajdonsága.
A háromés/vagy tovább kilenc maradék nélkül felosztják azokat a számokat, amelyeknél a számjegyek összeadásának eredménye három és/vagy kilenc többszöröse.
Például:
Az 156321 szám, az 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 összeadás eredménye rendre el lesz osztva 3-mal, illetve osztva 9-cel, maga a szám osztható 3-mal és 9-cel. A 79123 szám nem lesz osztva 3-mal vagy 9-cel, így a számjegyeinek összege (22) nem osztható ezekkel a számokkal.
A 4-gyel, 8-cal, 16-tal stb. való osztás jellemző vonása.
Egy szám maradék nélkül osztható vele négy, ha az utolsó két számjegye nulla vagy 4-gyel osztható szám. Minden más esetben a maradék nélküli osztás nem lehetséges.
Például:
A 75300 szám osztható 4-gyel, mivel az utolsó két számjegy nulla; A 48834 nem osztható 4-gyel, mert az utolsó két számjegy 34-et ad, ami nem osztható 4-gyel; A 35908 osztható 4-gyel, mivel a 08 utolsó két számjegye a 4-gyel osztható 8-at adja.
Hasonló elv érvényesül a vele való oszthatóság ismérvére nyolc. Egy szám osztható nyolccal, ha az utolsó három számjegye nulla, vagy 8-cal osztható számot alkot. Ellenkező esetben az osztásból kapott hányados nem egész szám.
Ugyanazok a tulajdonságok a következővel való osztáshoz 16, 32, 64 stb., de a mindennapi számításokban nem használják őket.
A 6-tal oszthatóság jellemző vonása.
A szám osztható vele hat, ha kettővel és hárommal is osztható, az összes többi lehetőséggel, maradék nélkül nem lehet osztani.
Például:
A 126 osztható 6-tal, mivel osztható 2-vel (a végső páros szám 6) és 3-mal (az 1 + 2 + 6 = 9 számjegyek összege osztható hárommal)
A 7-tel oszthatóság jellemző vonása.
A szám osztható vele hét ha a dupla utolsó szám és az "utolsó számjegy nélkül maradt szám" különbsége osztható héttel, akkor maga a szám osztható héttel.
Például:
A szám 296492. Vegyük az utolsó „2” számjegyet, duplázzuk meg, így 4 jön ki. Vonjuk ki a 29649-et - 4 = 29645. Problémás annak megállapítása, hogy osztható-e 7-tel, ezért elemezzük újra. Ezután megduplázzuk az utolsó "5" számjegyet, így 10 jön ki. Kivonjuk a 2964-et - 10 = 2954. Az eredmény ugyanaz, nem világos, hogy osztható-e 7-tel, ezért folytatjuk az elemzést. A "4" utolsó számjegyével elemezzük a dupláját, 8 jön ki. Kivonjuk a 295-öt - 8 = 287. Összehasonlítunk kétszáznyolcvanhetet - nem osztható 7-tel, ezzel kapcsolatban folytatjuk a keresést. Analógia szerint az utolsó számjegy, a „7”, megduplázva, 14-et kap. Vonjuk ki a 28-14-et \u003d 14. A 14-es szám osztható 7-tel, tehát az eredeti szám osztható 7-tel.
A 11-gyel oszthatóság jellemző vonása.
A tizenegy csak azok a számok oszthatók, amelyeknél a páratlan helyekre elhelyezett számjegyek összeadásának eredménye vagy egyenlő a páros helyekre elhelyezett számjegyek összegével, vagy eltér egy tizeneggyel osztható számmal.
Például:
A 103 785 szám osztható 11-gyel, mivel a páratlan helyeken lévő számjegyek összege, 1 + 3 + 8 = 12, egyenlő a páros helyeken lévő számjegyek összegével, 0 + 7 + 5 = 12. A 9 163 627 szám osztható 11-gyel, mivel a páratlan helyeken lévő számjegyek összege 9 + 6 + 6 + 7 = 28, a páros helyeken lévő számjegyek összege pedig 1 + 3 + 2 = 6; a 28 és 6 számok különbsége 22, és ez a szám osztható 11-gyel. A 461 025 szám nem osztható 11-gyel, mivel a 4 + 1 + 2 = 7 és a 6 + 0 + 5 = 11 számok nem egyenlőek egymást, és a 11 - 7 = 4 különbségük nem osztható 11-gyel.
A 25-tel oszthatóság jellemző vonása.
A huszonöt osztja azokat a számokat, amelyek két utolsó számjegye nulla, vagy olyan számot alkot, amely osztható huszonöttel (vagyis 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződő számokat). Más esetekben a szám nem osztható teljesen 25-tel.
Például:
9450 osztható 25-tel (50-re végződik); Az 5085 nem osztható 25-tel.
A természetes számok felosztásának egyszerűsítése érdekében levezették az első tíz számmal, valamint a 11-es, 25-ös számokkal való osztás szabályait, amelyeket egy szakaszba vonnak össze. természetes számok oszthatóságának jelei. Az alábbiakban bemutatjuk azokat a szabályokat, amelyek alapján egy szám elemzése anélkül, hogy azt egy másik természetes számmal osztanánk, választ ad arra a kérdésre, hogy a természetes szám többszöröse-e a 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 és egy bit egység?
Azokat a természetes számokat, amelyeknek az első számjegye 2,4,6,8,0-ra végződik, párosnak nevezzük.
A számok 2-vel való oszthatóságának jele
Minden páros természetes szám osztható 2-vel, például: 172, 94,67 838, 1670.
A számok 3-mal való oszthatóságának jele
Minden olyan természetes szám, amelynek számjegyeinek összege 3 többszöröse, osztható 3-mal. Például:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
A számok 4-gyel való oszthatóságának jele
Minden természetes szám osztható 4-gyel, amelyek utolsó két számjegye nulla vagy 4 többszöröse. Például:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
A számok 5-tel való oszthatóságának jele
A számok 6-tal való oszthatóságának jele
Azok a természetes számok, amelyek egyszerre oszthatók 2-vel és 3-mal, oszthatók 6-tal (minden páros szám, amely osztható 3-mal). Például: 126 (b - páros, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
A számok 9-cel való oszthatóságának jele
Azok a természetes számok oszthatók 9-cel, amelyek számjegyeinek összege 9 többszöröse. Például:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
A számok 10-zel való oszthatóságának jele
A számok 11-gyel való oszthatóságának jele
Csak azok a természetes számok oszthatók 11-gyel, amelyekben a páros helyeket elfoglaló számjegyek összege egyenlő a páratlan helyeket elfoglaló számjegyek összegével, vagy a páratlan helyek számjegyeinek összege és a páros helyek számjegyeinek összege közötti különbséggel a 11 többszöröse. Például:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 és 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 és 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
A számok 25-tel való oszthatóságának jele
Azok a természetes számok oszthatók 25-tel, amelyek utolsó két számjegye nulla vagy 25 többszöröse. Például:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
A számok bitegységgel való oszthatóságának jele
Azokat a természetes számokat egy bitegységre osztjuk, amelyben a nullák száma nagyobb vagy egyenlő, mint a bitegység nulláinak száma. Például: 12 000 osztható 10-zel, 100-zal és 1000-zel.
Folytatódik az oszthatóság jeleiről szóló cikksorozat 3-mal oszthatóság jele. Ez a cikk először a 3-mal oszthatóság feltételének megfogalmazását adja meg, és példákat ad ennek a kritériumnak annak meghatározására, hogy a megadott egész számok közül melyek oszthatók 3-mal és melyek nem. Továbbá megadjuk a 3-mal való oszthatósági próba bizonyítását. Valamely kifejezés értékeként megadott számok 3-mal való oszthatóságának megállapítására szolgáló megközelítéseket is figyelembe kell venni.
Oldalnavigáció.
3-mal oszthatóság jele, példák
Kezdjük azzal a 3-mal osztható teszt megfogalmazásai: egy egész szám osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor maga a szám nem osztható 3-mal.
A fenti megfogalmazásból világosan látszik, hogy a 3-mal oszthatóság jele nem használható természetes számok összeadása nélkül. A 3-mal való oszthatóság jelének sikeres alkalmazásához tudnia kell, hogy az összes egyjegyű természetes szám közül a 3, 6 és 9 osztható 3-mal, az 1, 2, 4, 5 számok pedig oszthatók 3-mal, 7 és 8 nem osztható 3-mal.
Most tekinthetjük a legegyszerűbbet Példák a 3-mal osztható teszt alkalmazására. Nézzük meg, hogy a szám osztható-e 3-mal? 42. Ehhez kiszámoljuk a 42-es szám számjegyeinek összegét, ez egyenlő 4+2=6. Mivel a 6 osztható 3-mal, ezért a 3-mal való oszthatóság előjele alapján vitatható, hogy a 42-es szám is osztható 3-mal. De a 71 pozitív egész nem osztható 3-mal, mivel számjegyeinek összege 7+1=8, a 8 pedig nem osztható 3-mal.
0 osztható 3-mal? A kérdés megválaszolásához nincs szükség a 3-mal való oszthatóság kritériumára, itt fel kell idéznünk az oszthatóság megfelelő tulajdonságát, amely szerint a nulla bármely egész számmal osztható. Tehát a 0 osztható 3-mal.
Bizonyos esetekben annak bizonyítására, hogy egy adott szám osztható-e 3-mal, a 3-mal osztható tesztet egymás után többször is alkalmazni kell. Vegyünk egy példát.
Mutassuk meg, hogy a 907444812 szám osztható 3-mal.
A 907444812 számjegyeinek összege 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Annak megállapításához, hogy 39 osztható-e 3-mal, kiszámítjuk a számjegyek összegét: 3+9=12 . És hogy megtudjuk, hogy 12 osztható-e 3-mal, akkor a 12 számjegyeinek összegét kapjuk, 1+2=3. Mivel megkaptuk a 3-mal osztható 3-at, így a 3-mal osztható előjel miatt a 12-es szám osztható 3-mal. Ezért a 39 osztható 3-mal, mivel a számjegyeinek összege 12, a 12 pedig osztható 3-mal. Végül a 907333812 osztható 3-mal, mert számjegyeinek összege 39, a 39 pedig osztható 3-mal.
Az anyag egységesítése érdekében egy másik példa megoldását elemezzük.
A szám osztható 3-mal? 543 205?
Számítsuk ki ennek a számnak a számjegyeinek összegét: 5+4+3+2+0+5=19 . Viszont a 19-es szám számjegyeinek összege 1+9=10 , a 10-es számjegyeinek összege pedig 1+0=1 . Mivel az 1-et kaptuk, ami nem osztható 3-mal, ezért a 3-mal való oszthatóság kritériumából következik, hogy a 10 nem osztható 3-mal. Ezért a 19 nem osztható 3-mal, mert számjegyeinek összege 10, a 10 pedig nem osztható 3-mal. Ezért az eredeti szám?543205 nem osztható 3-mal, mivel a számjegyeinek összege, amely 19, nem osztható 3-mal.
Érdemes megjegyezni, hogy egy adott szám 3-mal való közvetlen osztása arra is enged következtetni, hogy az adott szám osztható-e 3-mal vagy sem. Ezzel azt akarjuk mondani, hogy az osztást nem szabad elhanyagolni a 3-mal oszthatóság jele javára. Az utolsó példában 543 205-öt osztva 3-mal egy oszloppal, megbizonyosodnánk arról, hogy 543 205 nem osztható 3-mal, amiből azt mondhatnánk, hogy 543 205 sem osztható 3-mal.
A 3-mal osztható teszt bizonyítása
Az a szám következő ábrázolása segít igazolni a 3-mal való oszthatóság előjelét. Tetszőleges a természetes számot felbonthatunk számjegyekre, ami után a 10-zel, 100-zal, 1000-zel és így tovább való szorzás szabálya lehetővé teszi, hogy a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ alakú reprezentációt kapjunk. a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , ahol a n , a n?1 , …, a 0 az a szám balról jobbra haladó számjegyei. Az érthetőség kedvéért adunk egy példát egy ilyen ábrázolásra: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
Most írjunk fel néhány meglehetősen nyilvánvaló egyenlőséget: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 és így tovább.
Az a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 egyenletbe behelyettesítve 10, 100, 1 000 és így tovább kifejezések helyett a 3 3+1, 33 3 kifejezéseket +1 , 999+1=333 3+1 és így tovább, kapjuk
.
A természetes számok összeadásának és a természetes számok szorzásának tulajdonságai lehetővé teszik a kapott egyenlőség következőképpen történő átírását:
Kifejezés 
az a számjegyeinek összege. A rövidség és az egyszerűség kedvéért jelöljük A betűvel, vagyis elfogadjuk. Ekkor megkapjuk az alak a számának reprezentációját, amelyet a 3-mal való oszthatóság bizonyítására használunk.
A 3-mal való oszthatóság tesztjének bizonyításához a következő oszthatósági tulajdonságokra van szükségünk:
- hogy az a egész szám osztható b egész számmal, szükséges és elegendő ahhoz, hogy az a szám modulusa osztható legyen a b szám modulusával;
- ha az a=s+t egyenlőségben minden tag, egy kivételével, osztható valamilyen b egész számmal, akkor ez az egy tag is osztható b-vel.
Most teljesen felkészültünk és végre tudjuk hajtani a 3-mal való oszthatóság bizonyítása, a kényelem kedvéért ezt a tulajdonságot a 3-mal oszthatóság szükséges és elégséges feltételeként fogalmazzuk meg.
Ahhoz, hogy egy a egész szám osztható legyen 3-mal, szükséges és elegendő, hogy számjegyeinek összege osztható 3-mal.
A=0 esetén a tétel nyilvánvaló.
Ha a különbözik nullától, akkor a modulusa természetes szám, akkor lehetséges az ábrázolás, ahol az a számjegyeinek összege.
Mivel az egész számok összege és szorzata egész szám, akkor egész szám, ezért az oszthatóság definíciója szerint a szorzat osztható 3-mal bármely a 0 , a 1 , …, a n esetén.
Ha az a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, azaz A osztható 3-mal, akkor a tétel előtt jelzett oszthatósági tulajdonság miatt osztható 3-mal, ezért a osztható 3-mal. Ez bizonyítja az elégségességet.
Ha a osztható 3-mal, akkor osztható 3-mal is, akkor az A szám osztható 3-mal, vagyis az a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal. Ez bizonyítja a szükségességet.
A 3-mal osztható egyéb esetek
Néha az egész számokat nem explicit módon adjuk meg, hanem valamilyen kifejezés értékeként a változó adott értékéhez tartozó változóval. Például valamely természetes n kifejezésének értéke természetes szám. Nyilvánvaló, hogy ezzel a szám-hozzárendeléssel a 3-mal való közvetlen osztás nem segít a 3-mal való oszthatóság megállapításában, és a 3-mal való oszthatóság jele nem mindig alkalmazható. Most több megközelítést is megvizsgálunk az ilyen problémák megoldására.
Ezeknek a megközelítéseknek a lényege, hogy az eredeti kifejezést több tényező szorzataként ábrázolják, és ha legalább az egyik tényező osztható 3-mal, akkor a megfelelő oszthatósági tulajdonság miatt arra a következtetésre juthatunk, hogy a teljes szorzat osztható 3-mal.
Néha ez a megközelítés Newton-binomiális használatával is megvalósítható. Nézzünk egy példamegoldást.
Osztható-e a kifejezés értéke 3-mal bármely természetes n esetén?
Az egyenlőség nyilvánvaló. Használjuk Newton binomiális képletét: 
Az utolsó kifejezésben kivehetünk 3-at a zárójelekből, és megkapjuk. A kapott szorzat osztható 3-mal, mivel 3-as tényezőt tartalmaz, és a természetes n zárójelben lévő kifejezés értéke természetes szám. Ezért osztható 3-mal bármely természetes n esetén.
A 3-mal való oszthatóság sok esetben a matematikai indukció módszerével igazolható. Elemezzük alkalmazását egy példa megoldásában.
Bizonyítsuk be, hogy bármely természetes n esetén a kifejezés értéke osztható 3-mal.
A bizonyításhoz a matematikai indukció módszerét használjuk.
n=1 esetén a kifejezés értéke , a 6 pedig osztható 3-mal.
Tegyük fel, hogy a kifejezés értéke osztható 3-mal, ha n=k, azaz osztható 3-mal.
Figyelembe véve, hogy osztható 3-mal, megmutatjuk, hogy az n=k+1 kifejezés értéke osztható 3-mal, azaz megmutatjuk, hogy 
osztható 3-mal.
Végezzünk néhány átalakítást: 
A kifejezés osztva 3-mal és a kifejezéssel 
osztható 3-mal, így az összegük osztható 3-mal.
Tehát a matematikai indukció módszere 3-mal oszthatónak bizonyult bármely természetes n esetén.
Mutassunk még egy megközelítést a 3-mal oszthatóság bizonyítására. Ha megmutatjuk, hogy n=3 m, n=3 m+1 és n=3 m+2 esetén, ahol m tetszőleges egész szám, valamely (n változójú) kifejezés értéke osztható 3-mal, akkor ez bebizonyosodik a kifejezés oszthatósága 3-mal bármely n egész számra. Vegye figyelembe ezt a megközelítést az előző példa megoldása során.
Mutasd meg, mi osztható 3-mal bármely természetes n esetén.
N=3 m-re van. A kapott szorzat osztható 3-mal, mert 3-mal osztható 3-at tartalmaz.
A kapott szorzat szintén osztható 3-mal.
És ez a szorzat osztható 3-mal.
Ezért osztható 3-mal bármely természetes n esetén.
Befejezésül még egy példa megoldását mutatjuk be.
A kifejezés értéke osztható-e 3-mal? 
néhány természetes n .
n=1-re van. A kapott szám számjegyeinek összege 3, tehát a 3-mal való oszthatóság előjele lehetővé teszi, hogy azt állítsuk, hogy ez a szám osztható 3-mal.
n=2-re van. A számjegyek és ennek a számnak az összege 3, tehát osztható 3-mal.
Nyilvánvaló, hogy bármely más természetes n esetén olyan számok lesznek, amelyek számjegyeinek összege 3, ezért ezek a számok oszthatók 3-mal.
Ily módon mert bármely természetes n osztható 3-mal.
www.cleverstudents.ru
Matematika, 6. évfolyam, tankönyv oktatási szervezetek tanulói számára, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014
Matematika, 6. évfolyam, tankönyv oktatási szervezetek tanulói számára, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
A tankönyvben szereplő elméleti anyag úgy kerül bemutatásra, hogy a tanár problémaalapú megközelítést tudjon alkalmazni a tanításban. A jelölési rendszer segítségével négy összetettségi szintű gyakorlatot különböztetünk meg. Az egyes bekezdésekben ellenőrzési feladatok fogalmazódnak meg az alapján, hogy a tanulóknak mit kell tudniuk és el kell tudniuk érni a matematikai oktatás színvonalának eléréséhez. A tankönyv végén házi tesztek és válaszok találhatók. A színes illusztrációk (rajzok és diagramok) az oktatási anyagok magas szintű áttekinthetőségét biztosítják.
Megfelel a GEF LLC követelményeinek.
Feladatok.
4. Rajzolj egy ABC háromszöget, és jelölj ki rajta egy O pontot (mint a 11. ábrán). Szerkesszünk az ABC háromszögre szimmetrikus ábrát az O ponthoz képest.
5. Rajzolja meg a KMN háromszöget, és alkosson erre a háromszögre szimmetrikus ábrát:
a) csúcsai - M pontok;
b) O pontok - az MN oldal felezőpontjai.
6. Építs egy szimmetrikus figurát:
a) OM sugár az O ponthoz képest; írja le, hogy melyik pont szimmetrikus az O pontra;
b) az OM sugár egy tetszőleges A ponthoz képest, amely nem tartozik ehhez a sugárhoz;
c) AB egyenes az O ponthoz képest, amely nem tartozik ehhez az egyeneshez;
d) az AB egyenes az ehhez az egyeneshez tartozó O ponthoz képest; Írd le, hogy melyik pont szimmetrikus az O pontra.
Minden esetben írja le a központilag szimmetrikus alakzatok egymáshoz viszonyított helyzetét!
Tartalomjegyzék
I. fejezet Pozitív és negatív számok. Koordináták
§ 1. Forgás és központi szimmetria
2. § Pozitív és negatív számok. Koordináta vonal
3. § Számmodulus. Ellentétes számok
4. § Számok összehasonlítása
5. § Vonalak párhuzamossága
6. § A "+", "-" jeleket tartalmazó numerikus kifejezések
7. § Algebrai összeg és tulajdonságai
8. § Két szám algebrai összege értékének kiszámításának szabálya
§ 9. A koordinátavonal pontjai közötti távolság
§ 10. Tengelyszimmetria
11. § Számhézagok
12. § Pozitív és negatív számok szorzása és osztása
13. § Koordináták
14. § Koordinátasík
15. § Közönséges törtek szorzása és osztása
16. § Szorzási szabály kombinatorikus feladatokhoz
fejezet II. Szó szerinti kifejezések konvertálása
17. § Konzol bővítése
18. § A kifejezések egyszerűsítése
19. § Egyenletek megoldása
20. § Feladatok megoldása egyenletek összeállításához
21. § Két fő probléma a törtekkel
22. § Kör. Körméret
23. § Kör. Egy kör területe
24. § Bál. Szféra
fejezet III. Természetes számok oszthatósága
25. § Osztók és szorzók
26. § A mű oszthatósága
27. § A számok összegének és különbségének oszthatósága
28. § A 2, 5, 10, 4 és 25 oszthatóság jelei
29. § A 3-mal és 9-cel oszthatóság jelei
30. § Prímszámok. Szám bontása prímtényezőkre
31. § Legnagyobb közös osztó
32. § Második prímszámok. A szorzattal való oszthatóság jele. Legkisebb közös többszörös
fejezet IV. A matematika körülöttünk
33. § Két szám aránya
34. § Diagramok
35. § Mennyiségek arányossága
36. § Feladatok megoldása arányok használatával
37. § Vegyes feladatok
38. § A "valószínűség" fogalmának első megismerése
39. § Első ismerkedés a valószínűségszámítással
Otthoni tesztek
Projekttevékenységek témái
Válaszok
Ingyenesen letölthető e-könyv kényelmes formátumban, és olvassa el:
Matematika
AZ 1-6. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA AZ 1-6.
Kedves Szülők! Ha matematika tanárt keres gyermeke számára, akkor ez a hirdetés Önnek szól. Skype korrepetálást kínálok: OGE felkészítés, Egységes Államvizsgára, tudáshiányok megszüntetése. Az előnyei egyértelműek:
1) Gyermeke otthon van, és nyugodt lehet neki;
2) Az órákat a gyermek számára megfelelő időpontban tartják, és ezeken az órákon Ön is részt vehet. Egyszerűen és érthetően elmagyarázom a szokásos iskolatáblán.
3) A Skype órák egyéb fontos előnyeire magad is gondolhatsz!
Írjon nekem a: vagy azonnal vegyen fel Skype-on, és mindenben megegyezünk. Az árak megfizethetőek.
P.S. Az órák 2-4 fős csoportokban vehetők igénybe.
Üdvözlettel, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko a szerzője ennek az oldalnak.
Kedves barátaim!
Örömmel ajánlom Önnek ingyenes matematikai referenciaanyagok letöltését 5. osztály. Töltse le itt!
Kedves barátaim!
Nem titok, hogy egyes gyerekeknek nehézségei vannak a szorzásban és a hosszú osztásban. Ennek oka leggyakrabban a szorzótábla elégtelen ismerete. Javaslom a szorzótábla megtanulását loto segítségével. Lásd még itt. Töltse le a lottót innen.
Kedves barátaim! Hamarosan szembe kell néznie (vagy már szembesült) a döntés szükségességével érdeklődési feladatokat. Az ilyen problémákat az 5. osztályban kezdik megoldani és befejezni. de nem fejezik be százalékos problémák megoldását! Ezek a feladatok mind az ellenőrzőben, mind a vizsgákon megtalálhatók: mind az átruházható, mind az OGE és az Egységes Államvizsgán. Mit kell tenni? Meg kell tanulnunk, hogyan oldjuk meg ezeket a problémákat. Ebben segít a Hogyan oldjunk meg problémákat százalékokkal című könyvem. Részletek itt!
Számok összeadása.
- a+b=c, ahol a és b tagok, c az összeg.
- Az ismeretlen tag megkereséséhez vonja ki az ismert tagot az összegből.
Számok kivonása.
- a-b=c, ahol a a minuend, b a részfej, c a különbség.
- Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez.
- Az ismeretlen részösszeg megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből.
Számok szorzása.
- a b=c, ahol a és b tényezők, c a szorzat.
- Az ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztani a terméket az ismert tényezővel.
A számok felosztása.
- a:b=c, ahol a az osztó, b az osztó, c a hányados.
- Az ismeretlen osztalék meghatározásához meg kell szorozni az osztót a hányadossal.
- Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal.
Az összeadás törvényei.
- a+b=b+a(elmozdulás: az összeg nem változik a feltételek átrendeződésétől).
- (a+b)+c=a+(b+c)(asszociatív: ahhoz, hogy két tag összegéhez egy harmadik számot adjunk, hozzáadhatjuk a második és a harmadik összegét az első számhoz).
Kiegészítő táblázat.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
A szorzás törvényei.
- a b=b a(elmozdulás: a tényezők permutációja nem változtatja meg a szorzatot).
- (a b) c=a (b c)(kombinatív: két szám szorzatának egy harmadik számmal való szorzásához az első számot megszorozhatja a második és a harmadik szorzatával).
- (a+b) c=a c+b c(a szorzás eloszlási törvénye az összeadásra vonatkozóan: ahhoz, hogy két szám összegét megszorozzuk egy harmadik számmal, minden tagot megszorozhatunk ezzel a számmal, és összeadhatjuk az eredményeket).
- (a-b) c=a c-b c(a szorzás eloszlási törvénye a kivonás tekintetében: ahhoz, hogy két szám különbségét megszorozzuk egy harmadik számmal, ezzel a csökkentett és külön kivont számmal szorozhatunk, és az első eredményből kivonhatjuk a másodikat).
Szorzótábla.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
Osztók és többszörösek.
- osztó természetes szám a nevezd meg azt a természetes számot, amellyel a maradék nélkül osztva. (Az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 számok osztói a 24-nek, mivel a 24 mindegyikkel osztható maradék nélkül) Bármely természetes szám 1 osztója. Bármely szám legnagyobb osztója maga a szám.
- Többszörös természetes szám b egy természetes szám, amely maradék nélkül osztható vele b. (A 24, 48, 72, ... számok a 24 többszörösei, mivel maradék nélkül oszthatók 24-gyel). Bármely szám legkisebb többszöröse maga a szám.
A természetes számok oszthatóságának jelei.
- Az objektumok számlálásakor használt számokat (1, 2, 3, 4, ...) természetes számoknak nevezzük. A természetes számok halmazát betűvel jelöljük N.
- Számok 0, 2, 4, 6, 8 hívott még számok. A páros számjegyekre végződő számokat páros számoknak nevezzük.
- Számok 1, 3, 5, 7, 9 hívott páratlan számok. A páratlan számjegyekre végződő számokat páratlan számoknak nevezzük.
- 2-es számmal való oszthatóság jele. Minden páros számjegyre végződő természetes szám osztható 2-vel.
- Az 5-ös számmal való oszthatóság jele. Minden 0-ra vagy 5-re végződő természetes szám osztható 5-tel.
- A 10-es számmal való oszthatóság jele. Minden 0-ra végződő természetes szám osztható 10-zel.
- 3-as számmal való oszthatóság jele. Ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor maga a szám osztható 3-mal.
- A 9-es számmal való oszthatóság jele. Ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor maga a szám osztható 9-cel.
- 4-es számmal való oszthatóság jele. Ha egy adott szám utolsó két számjegyéből álló szám osztható 4-gyel, akkor maga az adott szám osztható 4-gyel.
- A 11-es számmal való oszthatóság jele. Ha a páratlan helyeken lévő számjegyek és a páros helyeken lévő számjegyek összege közötti különbség osztható 11-gyel, akkor maga a szám osztható 11-gyel.
- A prímszám olyan szám, amelynek csak két osztója van: egy és maga a szám.
- Az összetett szám olyan szám, amelynek kettőnél több osztója van.
- Az 1-es szám nem prímszám és nem is összetett szám.
- Ha egy összetett számot csak prímszámok szorzataként írunk fel, az összetett szám prímtényezőkké alakítását nevezzük. Bármely összetett szám egyedileg reprezentálható prímtényezők szorzataként.
- Adott természetes számok legnagyobb közös osztója az a legnagyobb természetes szám, amellyel ezek a számok oszthatók.
- Ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója egyenlő a közös prímtényezők szorzatával ezeknek a számoknak a kiterjesztésében. Példa. GCD(24, 42)=2 3=6, mivel 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, közös prímtényezőik a 2 és a 3.
- Ha a természetes számoknak csak egy közös osztójuk van - egy, akkor ezeket a számokat koprímnek nevezzük.
- Adott természetes számok legkisebb közös többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely az egyes számok többszöröse. Példa. LCM(24,42)=168. Ez a legkisebb szám, amely 24-gyel és 42-vel is osztható.
- Több adott természetes szám LCM-jének meghatározásához szükséges: 1) az egyes számokat prímtényezőkre bontani; 2) írja ki a számok közül a legnagyobb kiterjesztését, és szorozza meg más számok bővítéséből a hiányzó tényezőkkel!
- Két koprímszám legkisebb többszöröse egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával.
b- tört nevezője, megmutatja, hány egyenlő rész van osztva;
a-a tört számlálója, megmutatja, hogy hány ilyen részt vettek fel. A törtsáv az osztásjelet jelenti.
Néha a vízszintes törtvonal helyett perjelet tesznek, és egy közönséges tört így írják: a/b.
- Nál nél megfelelő tört a számláló kisebb, mint a nevező.
- Nál nél helytelen tört a számláló nagyobb, mint a nevező, vagy egyenlő a nevezővel.
Ha egy tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a természetes számmal, akkor a vele megegyező törtet kapjuk.
Törtredukciónak nevezzük a tört számlálójának és nevezőjének elosztását az egytől eltérő közös osztójukkal.
- Az egész részből és egy tört részből álló számot vegyes számnak nevezzük.
- Ahhoz, hogy egy helytelen törtet vegyes számként ábrázolhassunk, el kell osztani a tört számlálóját a nevezővel, ekkor a hiányos hányados lesz a vegyes szám egész része, a maradék pedig a tört rész számlálója , és a nevező ugyanaz marad.
- A vegyes szám helytelen törtként való ábrázolásához meg kell szorozni a vegyes szám egész részét a nevezővel, az eredményhez hozzá kell adni a tört rész számlálóját, és be kell írni a nem megfelelő tört számlálójába, és meg kell hagyni a nevezőt. ugyanaz.
- Sugár Ó pontban eredővel O, amelyen egyetlen vágás hogy és irány, hívott koordináta nyaláb.
- A koordináta-sugár pontjának megfelelő számot hívjuk koordináta ez a pont. Például , A(3). Olvassa el: A pont 3 koordinátával.
- A legkisebb közös nevező ( NOZ) ezeknek az irreducibilis törteknek a legkisebb közös többszöröse ( NEM C) e törtek nevezői.
- Ha a törteket a legkisebb közös nevezőre szeretné hozni, akkor: 1) meg kell találnia e törtek nevezőinek legkisebb közös többszörösét, ez lesz a legkisebb közös nevező. 2) keressünk minden törthez egy további tényezőt, amelyre az új nevezőt elosztjuk az egyes törtek nevezőjével. 3) szorozza meg minden tört számlálóját és nevezőjét további tényezőjével.
- Két azonos nevezővel rendelkező tört közül a nagyobb számlálóval rendelkező a nagyobb, a kisebb számlálójú a kisebb.
- Két azonos számlálójú tört közül a kisebb nevezővel rendelkező a nagyobb, a nagyobb nevezővel rendelkező a kisebb.
- A különböző számlálókkal és különböző nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlításához csökkentse a törteket a legkisebb közös nevezőre, majd hasonlítsa össze az azonos nevezőkkel rendelkező törteket.
Műveletek közönséges törtekkel.
- Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.
- Ha különböző nevezőjű törteket kell összeadnia, akkor először csökkentse a törteket a legkisebb közös nevezőre, majd adja hozzá az azonos nevezőjű törteket.
- Az azonos nevezőjű törtek kivonásához a második tört számlálóját kivonjuk az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak hagyjuk.
- Ha különböző nevezőjű törteket kell kivonnia, akkor először közös nevezőre kell őket hozni, majd az azonos nevezővel rendelkező törteket ki kell vonni.
- Vegyes számok összeadására vagy kivonására vonatkozó műveletek végrehajtása során ezeket a műveleteket külön hajtjuk végre az egész részeknél és a tört részeknél, majd az eredményt vegyes számként írjuk fel.
- Két közönséges tört szorzata egyenlő egy törttel, amelynek számlálója megegyezik a számlálók szorzatával, a nevező pedig az adott törtek nevezőinek szorzata.
- Egy közönséges tört természetes számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.
- Két olyan számot, amelyek szorzata eggyel egyenlő, kölcsönösen reciprok számoknak nevezzük.
- A vegyes számok szorzásakor először nem megfelelő törtekké alakulnak át.
- Egy szám törtrészének megtalálásához meg kell szoroznia a számot ezzel a törttel.
- Egy közönséges tört közös törttel való osztásához meg kell szorozni az osztalékot az osztó reciprokával.
- Vegyes számok osztásakor először nem megfelelő törtekké alakítják át őket.
- Egy közönséges tört természetes számmal való osztásához meg kell szoroznia a tört nevezőjét ezzel a természetes számmal, és a számlálót változatlannak kell hagynia. ((2/7):5=2/(75)=2/35).
- Ahhoz, hogy egy számot törtével találjunk meg, el kell osztanunk ezzel a törttel a hozzá tartozó számot.
- A tizedes tört olyan szám, amely tizedestört rendszerben van írva, és egynél kisebb számjegyekből áll. (3,25; 0,1457 stb.)
- A tizedespont utáni tizedesjegyeket tizedesjegyeknek nevezzük.
- A tizedes tört nem változik, ha nullákat adunk hozzá vagy eldobjuk a tizedes tört végén.
Tizedes törtek hozzáadásához: 1) ki kell egyenlítenie a tizedesjegyek számát ezekben a törtekben; 2) írja le őket egymás alá úgy, hogy a vessző a vessző alá kerüljön; 3) hajtsa végre az összeadást, figyelmen kívül hagyva a vesszőt, és tegyen vesszőt az összegbe a vesszők alá a törtek kifejezésében.
A tizedes törtek kivonásának végrehajtásához: 1) ki kell egyenlítenie a tizedesjegyek számát a minuendben és a részfejben; 2) a csökkentett alá írja alá a kivonót úgy, hogy a vessző a vessző alá kerüljön; 3) hajtsa végre a kivonást a vessző figyelmen kívül hagyásával, és az eredményben tegye a vesszőt a minuend és a részfej vesszője alá.
- Egy tizedes tört természetes számmal való szorzásához meg kell szorozni ezzel a számmal, figyelmen kívül hagyva a vesszőt, és a kapott szorzatban annyi számjegyet kell elválasztani a jobb oldalon, amennyi az adott törtben a tizedespont után volt.
- Egy tizedes tört egy másikkal való szorzásához el kell végezni a szorzást, figyelmen kívül hagyva a vesszőket, és a kapott eredményben annyi számjegyet kell elválasztani vesszővel a jobb oldalon, amennyi a vessző után volt mindkét tényezőben együtt.
- A tizedesjegy 10, 100, 1000 stb. számmal való szorzásához a tizedesvesszőt jobbra kell mozgatnia 1, 2, 3 stb. számjeggyel.
- Egy tizedesjegy szorzata 0,1-gyel; 0,01; 0,001 stb., a vesszőt balra kell mozgatni 1, 2, 3 stb. számjeggyel.
- Egy tizedes tört természetes számmal való osztásához el kell osztania a törtet ezzel a számmal, mivel a természetes számokat a rendszer elosztja és privát vesszőbe teszi, amikor a teljes rész felosztása véget ért.
- A tizedesjegy 10, 100, 1000 stb. számmal való osztásához a vesszőt balra kell mozgatni 1, 2, 3 stb. számjeggyel.
- Ha egy számot tizedessel szeretne osztani, a vesszőt az osztó és osztó mezőben annyi számjegyet kell jobbra mozgatnia, amennyi az osztó tizedespontja után van, majd el kell osztania egy természetes számmal.
- Egy tizedesjegy elosztása 0,1-gyel; 0,01; 0,001 stb., a vesszőt jobbra kell mozgatni 1, 2, 3 stb. számjeggyel. (Egy tizedesjegy elosztása 0,1-gyel; 0,01-gyel; 0,001-gyel stb. ugyanaz, mintha ezt a tizedesjegyet megszoroznánk 10-zel, 100-zal, 1000-el stb.)
Egy számnak egy bizonyos számjegyre kerekítéséhez ennek a számjegynek a számjegyét aláhúzzuk, majd az aláhúzott mögötti összes számjegyet nullára cseréljük, és ha a tizedesvessző után vannak, akkor eldobjuk. Ha az első nullával helyettesített vagy elvetett számjegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor az aláhúzott számjegy változatlan marad. Ha a nullára cserélt vagy elvetett első számjegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor az aláhúzott számjegy 1-gyel nő.
Több szám számtani közepe.
Több szám számtani közepe az a hányados, amikor ezeknek a számoknak az összegét elosztjuk a tagok számával.
Egy számsorozat tartománya.
Az adatsorok legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbséget a számsor tartományának nevezzük.
Számsorozat divat.
Azt a számot, amely a sorozat adott számai közül a legnagyobb gyakorisággal fordul elő, a számsor módusának nevezzük.
- A századot százaléknak nevezzük. Vásároljon egy könyvet, amely megtanítja "Hogyan oldjunk meg százalékos problémákat".
- A százalékok törtként vagy természetes számként történő kifejezéséhez a százalékot el kell osztani 100%-kal. (4%=0,04; 32%=0,32).
- Egy szám százalékos kifejezéséhez meg kell szoroznia 100%-kal. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
- Egy szám százalékának meghatározásához a százalékot közönséges vagy tizedes törtként kell kifejezni, és a kapott törtet meg kell szorozni a megadott számmal.
- Egy szám százalékos meghatározásához a százalékot közönséges vagy tizedes törtként kell kifejeznie, és el kell osztania a megadott számot ezzel a törttel.
- Az első szám százalékos arányának meghatározásához a másodiktól el kell osztania az első számot a másodikkal, és meg kell szoroznia az eredményt 100%-kal.
- Két szám hányadosát e számok arányának nevezzük. a:b vagy a/b az a és b számok aránya, ráadásul a az előző tag, b a következő tag.
- Ha ennek a relációnak a feltételeit átrendezzük, akkor a kapott relációt a reláció inverzének nevezzük. A b/a és a/b összefüggések kölcsönösen inverzek.
- Az arány nem változik, ha az arány mindkét tagját ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk.
- Két arány egyenlőségét aránynak nevezzük.
- a:b=c:d. Ez az arány. Olvas: aígy vonatkozik b, hogyan c utal rá d. Az a és d számokat az arány szélső tagjainak, a b és c számokat pedig az arány középső tagjainak nevezzük.
- Egy arány szélső tagjának szorzata egyenlő a középső tagok szorzatával. Az arányért a:b=c:d vagy a/b=c/d a fő tulajdonság így van írva: a d=b c.
- Az arány ismeretlen szélső tagjának megtalálásához el kell osztani az arány átlagtagjainak szorzatát az ismert szélső taggal.
- Az arány ismeretlen középső tagjának megtalálásához el kell osztani az arány szélső tagjának szorzatát az ismert középtaggal. Arányosítási feladatok.
Legyen az érték y méretétől függ x. Ha növekedéssel x többszörös mérete nál nél azonos tényezővel növekszik, akkor az ilyen értékek xés nál nél egyenesen arányosnak nevezzük.
Ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor az első mennyiség két tetszőleges értékének aránya megegyezik a második mennyiség két megfelelő értékének arányával.
A térképen lévő szakasz hosszának és a megfelelő talajtávolság hosszának arányát a térkép léptékének nevezzük.
Legyen az érték nál nél méretétől függ x. Ha növekedéssel x többszörös mérete nál nél azonos tényezővel csökken, akkor az ilyen értékek xés nál nél fordítottan arányosnak nevezzük.
Ha két mennyiség fordítottan arányos, akkor az egyik mennyiség két önkényesen vett értékének aránya megegyezik a másik mennyiség megfelelő értékeinek fordított arányával.
- A halmaz néhány objektum vagy szám gyűjteménye, amelyet bizonyos általános tulajdonságok vagy törvények szerint állítanak össze (sok betű egy oldalon, sok szabályos tört 5-ös nevezővel, sok csillag az égen stb.).
- A halmazok elemekből állnak, és végesek vagy végtelenek. Az elemet nem tartalmazó halmazt üres halmaznak nevezzük és jelöljük Ó
- Sok NÁL NÉL a halmaz részhalmazának nevezzük DE ha a halmaz összes eleme NÁL NÉL a halmaz elemei DE.
- Állítsa be a kereszteződést DEés NÁL NÉL olyan halmaz, amelynek elemei a halmazhoz tartoznak DEés sok NÁL NÉL.
- A halmazok egyesülése DEés NÁL NÉL olyan halmaz, amelynek elemei az adott halmazok legalább egyikéhez tartoznak DEés NÁL NÉL.
Számkészletek.
- N– természetes számok halmaza: 1, 2, 3, 4,…
- Z– egész számok halmaza: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- K a törtként ábrázolható racionális számok halmaza m/n, ahol m- egész, n– természetes (-2; 3/5; v9; v25 stb.)
- A koordinátavonal olyan egyenes, amelyen pozitív irány, referenciapont (O pont) és egységszakasz van megadva.
- A koordinátavonal minden pontja egy bizonyos számnak felel meg, amelyet ennek a pontnak a koordinátájának nevezünk. Például, A(5). Olvassa el: A pont ötös koordinátával. AT 3). Olvassa el: B pont mínusz három koordinátával.
- Az a szám modulusa (írja le |a|) az origó és az adott számnak megfelelő pont közötti távolságot nevezzük a. Bármely szám modulusértéke nem negatív. |3|=3; |-3|=3, mert az origótól a -3-as és a 3-as szám távolsága három egységszegmensnek felel meg. |0|=0 .
- Egy szám modulusának meghatározása szerint: |a|=a, ha a?0és |a|=-a, ha a b.
- Ha az a és b számok összehasonlításakor a különbség a-b akkor negatív szám a , akkor ezeket szigorú egyenlőtlenségeknek nevezzük.
- Ha az egyenlőtlenségeket jelekkel írjuk? vagy ?, akkor ezeket nem szigorú egyenlőtlenségeknek nevezzük.
A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai.
G) 
Egy x?a alakú egyenlőtlenség. Válasz:
oszthatósági jel
Oszthatósági jel- egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy viszonylag gyorsan meghatározza, hogy egy szám többszöröse-e egy előre meghatározott számnak anélkül, hogy tényleges osztást kellene végrehajtania. Általában olyan műveleteken alapul, amelyek a számjegyek egy részével egy pozíciós számrendszerben (általában decimális) találhatók.
Számos egyszerű szabály létezik, amelyek lehetővé teszik egy szám kis osztóinak megtalálását a decimális számrendszerben:
2-vel oszthatóság jele
3-mal oszthatóság jele
Oszthatóság 4 előjellel
5-tel oszthatóság jele
6-tal oszthatóság jele
7-tel oszthatóság jele
8-cal való oszthatóság jele
9-cel oszthatóság jele
10-zel való oszthatóság jele
11-gyel osztható jel
12-vel osztható jel
13-mal osztható jel
14-gyel osztható jel
15-tel osztható jel
17-tel osztható jel
19-cel osztható jel
23-mal osztható jel
25-tel osztható jel
99-cel oszthatóság jele
A számot jobbról balra 2 jegyű csoportokra osztjuk (a bal szélső csoport egyjegyű lehet), és megkeressük ezeknek a csoportoknak az összegét, tekintve őket kétjegyű számoknak. Ez az összeg akkor és csak akkor osztható 99-cel, ha maga a szám osztható 99-cel.
101-gyel osztható jel
A számot jobbról balra 2 jegyű csoportokra osztjuk (a bal szélső csoport egyjegyű lehet), és ezeknek a változó előjelű csoportoknak az összegét kétjegyű számoknak tekintve keressük meg. Ez az összeg akkor és csak akkor osztható 101-gyel, ha maga a szám osztható 101-gyel. Például 590547 osztható 101-gyel, mivel az 59-05+47=101 osztható 101-gyel.
2-vel oszthatóság jele n
Egy szám akkor és csak akkor osztható kettõ n-edik hatványával, ha az utolsó n számjegyébõl alkotott szám osztható ugyanilyen hatvánnyal.
5-tel oszthatóság jele n
Egy szám akkor és csak akkor osztható 5 n-edik hatványával, ha az utolsó n számjegyéből képzett szám osztható ugyanilyen hatványsal.
10-zel való oszthatóság jele n − 1
Osszuk fel a számot n számjegyű csoportokra jobbról balra (a bal szélső csoport 1-től n számjegyig terjedhet), és keressük meg ezeknek a csoportoknak az összegét, tekintve őket n-es számjegyeknek. Ez az összeg osztható 10-zel n− 1 akkor és csak akkor, ha maga a szám osztható 10-zel n − 1 .
10-zel való oszthatóság jele n
Egy szám akkor és csak akkor osztható tíz n-edik hatványával, ha az utolsó n számjegye
Betöltés...