A gyerekek az iskolában 6. osztályban tanulják meg a törtek kicsinyítésének szabályait. Ebben a cikkben először elmondjuk, mit jelent ez a művelet, majd elmagyarázzuk, hogyan lehet egy redukálható törtet redukálhatatlan törtté alakítani. A következő pont a törtek csökkentésének szabályai lesznek, majd fokozatosan eljutunk a példákhoz.
Mit jelent „töredék csökkentése”?
Szóval ezt mindannyian tudjuk közönséges törtek két csoportra oszthatók: redukálható és irreducibilis. Már a nevekből is megérthető, hogy ami összehúzható, az össze van kötve, és ami nem csökkenthető, az nem.
- Egy tört redukálása azt jelenti, hogy a nevezőt és a számlálót elosztjuk a (egytől eltérő) pozitív osztójukkal. Az eredmény természetesen egy új tört, kisebb nevezővel és számlálóval. A kapott tört egyenlő lesz az eredeti törttel.
Érdemes megjegyezni, hogy a „tört csökkentése” feladattal rendelkező matematikai könyvekben ez azt jelenti, hogy az eredeti törtet le kell redukálnia erre a redukálhatatlan alakra. Ha beszélünk egyszerű szavakkal, majd osszuk el a nevezőt és a számlálót a legnagyobbjukkal közös osztóés van csökkentés.
Hogyan csökkentsük a töredéket. A frakciók csökkentésére vonatkozó szabályok (6. osztály)
Tehát itt csak két szabály van.
- A törtek csökkentésének első szabálya, hogy először meg kell találni a tört nevezőjének és számlálójának legnagyobb közös tényezőjét.
- A második szabály: osszuk el a nevezőt és a számlálót a legnagyobb közös osztóval, így végül egy redukálhatatlan törtet kapunk.
Hogyan lehet csökkenteni a nem megfelelő törtet?
A törtek csökkentésére vonatkozó szabályok megegyeznek a nem megfelelő törtek csökkentésére vonatkozó szabályokkal.
A nem megfelelő tört csökkentése érdekében először a nevezőt és a számlálót kell prímtényezőkbe venni, és csak ezután kell csökkenteni a közös tényezőket.
Vegyes frakciók redukálása
A frakciók redukálására vonatkozó szabályok vonatkoznak a vegyes frakciók redukálására is. Csak egy kis különbség van: nem érinthetjük meg az egész részt, hanem csökkentjük a törtet, vagy a kevert frakciót alakítjuk át nem megfelelő törtté, majd csökkentjük, és ismét megfelelő törtté alakítjuk.
A kevert frakciók csökkentésének két módja van.
Először: írja be a tört részt prímtényezőkbe, majd hagyja békén az egész részt.
A második módszer: először alakítsuk át nem megfelelő törtté, írjuk közönséges tényezőkbe, majd csökkentsük a törtet. A már kapott nem megfelelő törtet alakítsa át megfelelő törtté.
Példák a fenti képen láthatók.
Nagyon reméljük, hogy tudtunk segíteni Önnek és gyermekeinek. Hiszen az órán gyakran figyelmetlenek, így otthon, önállóan kell intenzívebben tanulniuk.
Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk, hogyan redukáló frakciók. Először beszéljük meg az úgynevezett törtcsökkentést. Ezek után beszéljünk egy redukálható tört redukálhatatlan formára való redukálásáról. Ezután megkapjuk a törtek redukálására vonatkozó szabályt, és végül példákat tekintünk ennek a szabálynak az alkalmazására.
Oldalnavigáció.
Mit jelent a töredék csökkentése?
Tudjuk, hogy a közönséges törteket redukálható és irreducibilis törtekre osztják. A nevekből sejthető, hogy a redukálható törtek csökkenthetők, de az irreducibilis törtek nem.
Mit jelent a töredék csökkentése? Csökkentse a frakciót- ez azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt el kell osztani pozitívukkal, amelyek különböznek az egységtől. Jól látható, hogy egy tört redukálása eredményeként egy új tört keletkezik kisebb számlálóval és nevezővel, és a tört alaptulajdonsága miatt a kapott tört megegyezik az eredetivel.
Például csökkentsük a 8/24 közös törtet úgy, hogy a számlálóját és a nevezőjét elosztjuk 2-vel. Más szóval, csökkentsük a 8/24 törtet 2-vel. Mivel 8:2=4 és 24:2=12, ez a csökkentés a 4/12-t eredményezi, ami megegyezik az eredeti 8/24 törttel (lásd egyenlő és egyenlőtlen tört). Ennek eredményeként van .
A közönséges törtek redukálása redukálhatatlan formára
Jellemzően a tört csökkentésének végső célja egy olyan irreducibilis tört elérése, amely megegyezik az eredeti redukálható törttel. Ezt a célt úgy érhetjük el, hogy az eredeti csökkenthető tört számlálójával és nevezőjével csökkentjük. Az ilyen redukció eredményeként mindig egy redukálhatatlan törtet kapunk. Valóban, töredéke 
redukálhatatlan, mivel ez ismert 
És 
- . Itt azt fogjuk mondani, hogy a tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója a a legnagyobb számban, amellyel ez a tört csökkenthető.
Így, egy közönséges tört redukálhatatlan formává történő redukálása abból áll, hogy az eredeti redukálható tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel.
Nézzünk egy példát, amelyre visszatérünk a 8/24 törthez, és csökkentjük a 8 és 24 számok legnagyobb közös osztójával, amely egyenlő 8-cal. Mivel 8:8=1 és 24:8=3, elérkeztünk az 1/3 irreducibilis törthez. Így, .
Vegye figyelembe, hogy a „töredék csökkentése” kifejezés gyakran azt jelenti, hogy az eredeti töredéket redukálhatatlan formájára redukálják. Más szóval, a tört redukálása nagyon gyakran azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt el kell osztani a legnagyobb közös tényezővel (nem pedig bármilyen közös tényezővel).
Hogyan lehet töredéket csökkenteni? A törtek csökkentésére vonatkozó szabályok és példák
Nincs más hátra, mint megnézni a törtek csökkentésére vonatkozó szabályt, amely elmagyarázza, hogyan kell egy adott törtet csökkenteni.
A törtek csökkentésére vonatkozó szabály két lépésből áll:
- először megtaláljuk a tört számlálójának és nevezőjének gcd-jét;
- másodszor, a tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel, ami az eredetivel megegyező irreducibilis törtet ad.
Tegyük rendbe példa a tört csökkentésére a megállapított szabály szerint.
Példa.
Csökkentse a törtet 182/195-re.
Megoldás.
Végezzük el a törtcsökkentési szabály által előírt mindkét lépést.
Először megtaláljuk a GCD(182, 195) . A legkényelmesebb az Euklidész algoritmus használata (lásd): 195=182·1+13, 182=13·14, azaz GCD(182, 195)=13.
Most elosztjuk a 182/195 tört számlálóját és nevezőjét 13-mal, és megkapjuk az irreducibilis tört 14/15-öt, amely megegyezik az eredeti törttel. Ezzel befejeződik a frakció csökkentése.
Röviden a megoldást a következőképpen írhatjuk fel: .
Válasz:
Itt fejezhetjük be a frakciók csökkentését. De hogy teljes legyen a kép, nézzünk meg még két módszert a törtek csökkentésére, amelyeket általában egyszerű esetekben használnak.
Néha a csökkentendő tört számlálója és nevezője nem nehéz. A tört csökkentése ebben az esetben nagyon egyszerű: csak el kell távolítania az összes gyakori tényezőt a számlálóból és a nevezőből.
Érdemes megjegyezni, hogy ez a módszer közvetlenül következik a törtek redukálásának szabályából, mivel a számláló és a nevező összes közös prímtényezőjének szorzata egyenlő a legnagyobb közös osztójukkal.
Nézzük a példa megoldását.
Példa.
Csökkentse a törtet 360/2 940-re.
Megoldás.
Tegyük a számlálót és a nevezőt egyszerű tényezőkre: 360=2·2·2·3·3·5 és 2,940=2·2·3·5·7·7. És így, 
.
Most megszabadulunk a számlálóban és a nevezőben előforduló közös tényezőktől, a kényelem kedvéért egyszerűen áthúzzuk őket: 
.
Végül megszorozzuk a fennmaradó tényezőket: , és a tört redukciója kész.
Íme egy rövid összefoglaló a megoldásról: 
.
Válasz:
Nézzünk egy másik módszert a tört csökkentésére, amely szekvenciális redukcióból áll. Itt minden lépésben a törtet a számláló és a nevező valamilyen közös osztójával csökkentjük, ami vagy nyilvánvaló, vagy könnyen meghatározható
Sok diák követi el ugyanazokat a hibákat, amikor törtekkel dolgozik. És mindezt azért, mert elfelejtik az alapvető szabályokat számtan. Ma megismételjük ezeket a szabályokat konkrét feladatoknál, amelyeket az óráimon adok.
Íme a feladat, amit mindenkinek ajánlok, aki egységes matematika államvizsgára készül:
Feladat. Egy barna delfin naponta 150 gramm táplálékot eszik meg. De felnőtt, és 20%-kal többet kezdett enni. Hány gramm takarmányt eszik most a malac?
Nem helyes megoldás. Ez egy százalékos probléma, amely a következő egyenletre vezethető vissza:
Sokan (nagyon sokan) csökkentik a 100-as számot a tört számlálójában és nevezőjében:
Ezt a hibát követte el tanítványom a cikk megírásának napján. A csonkolt számok pirossal vannak jelölve.
Mondanom sem kell, rossz volt a válasz. Ítélje meg maga: a malac 150 grammot evett, de 3150 grammot kezdett enni. A növekedés nem 20%-os, hanem 21-szeres, i.e. 2000%-kal.
Az ilyen félreértések elkerülése érdekében emlékezzen az alapvető szabályra:
Csak a szorzók csökkenthetők. A feltételek nem csökkenthetők!
Így az előző probléma helyes megoldása így néz ki:
A számlálóban és a nevezőben rövidített számok piros színnel vannak jelölve. Mint látható, a számláló szorzat, a nevező pedig egy közönséges szám. Ezért a csökkentés teljesen törvényes.
Az arányokkal való munka
Egy másik problémás terület — arányokat. Főleg, ha a változó mindkét oldalon van. Például:
Feladat. Oldja meg az egyenletet:
Rossz megoldás - egyesek szó szerint viszketnek, hogy mindent lerövidítsenek m-rel:
A csökkentett változók piros színnel jelennek meg. Az 1/4 = 1/5 kifejezés teljes nonszensznek bizonyul, ezek a számok soha nem egyenlők.
És most - a helyes döntés. Lényegében közönséges lineáris egyenlet. Megoldható az összes elem egy oldalra mozgatásával, vagy az arányosság alapvető tulajdonságával:
Sok olvasó tiltakozik: „Hol a hiba az első megoldásban?” Nos, derítsük ki. Emlékezzünk az egyenletekkel való munka szabályára:
Bármely egyenlet tetszőleges számmal osztható és szorozható, nem nulla.
Lemaradtál a trükkről? Csak számokkal lehet osztani nem nulla. Konkrétan csak akkor oszthat m változóval, ha m != 0. De mi van, ha m = 0? Cseréljük le és ellenőrizzük:
Megkaptuk a helyes számszerű egyenlőséget, i.e. m = 0 az egyenlet gyöke. A maradék m != 0-ra 1/4 = 1/5 alakú kifejezést kapunk, ami természetesen hibás. Így nincsenek nullától eltérő gyökök.
Következtetések: mindent összerakva
Tehát a tört racionális egyenletek megoldásához emlékezzen három szabályra:
- Csak a szorzók csökkenthetők. A kiegészítések nem lehetségesek. Ezért tanulja meg a számláló és a nevező tényezőjét;
- Az arányosság fő tulajdonsága: a szélső elemek szorzata egyenlő a középsők szorzatával;
- Az egyenleteket csak a nullától eltérő k számokkal lehet szorozni és osztani. A k = 0 esetet külön kell ellenőrizni.
Ne felejtse el ezeket a szabályokat, és ne hibázz.
Osztályés a tört számlálója és nevezője az övéken közös osztó, az egyiktől eltérő, az úgynevezett töredékének csökkentése.
Lerövidíteni közönséges tört, el kell osztania a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a természetes számmal.
Ez a szám az adott tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója.
A következők lehetségesek döntési rögzítési űrlapok Példák a közönséges törtek csökkentésére.
A hallgatónak joga van bármilyen rögzítési formát választani.
Példák. Törtszámok egyszerűsítése.
Csökkentse a törtet 3-mal (ossza el a számlálót 3-mal;
ossza el a nevezőt 3-mal).
Csökkentse a törtet 7-tel.
A jelzett műveleteket a tört számlálójában és nevezőjében hajtjuk végre.
A kapott frakciót 5-tel csökkentjük.
Csökkentsük ezt a törtet 4)
tovább 5·7³- a számláló és a nevező legnagyobb közös osztója (GCD), amely a számláló és a nevező közös tényezőiből áll, a legkisebb kitevőjű hatványra véve.
Tekintsük ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét prímtényezőkbe.
Kapunk: 756=2²·3³·7És 1176=2³·3·7².
Határozzuk meg a tört számlálójának és nevezőjének GCD-jét (legnagyobb közös osztóját) 5) .
Ez a legalacsonyabb kitevővel vett közös tényezők szorzata.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel, azaz 2²·3·7 redukálhatatlan törtet kapunk 9/14
.
Vagy lehetséges volt a számláló és a nevező felosztását prímtényezők szorzataként felírni, a hatvány fogalmának használata nélkül, majd a törtet csökkenteni úgy, hogy a számlálóban és a nevezőben ugyanazokat a tényezőket áthúzzuk. Ha már nem marad egyforma tényező, a fennmaradó tényezőket külön a számlálóban és külön a nevezőben megszorozzuk, és kiírjuk a kapott törtet 9/14 .
És végül sikerült ezt a töredéket csökkenteni 5) fokozatosan alkalmazva a számok osztójeleit a tört számlálójára és nevezőjére egyaránt. Gondolkodjunk így: számok 756 És 1176 páros számra végződik, ami azt jelenti, hogy mindkettő osztható vele 2 . Ezzel csökkentjük a törtet 2 . Az új tört számlálója és nevezője számok 378 És 588 is osztva 2 . Ezzel csökkentjük a törtet 2 . Észrevesszük, hogy a szám 294 - még, és 189 páratlan, és a 2-vel való csökkentés már nem lehetséges. Vizsgáljuk meg a számok oszthatóságát 189 És 294 tovább 3 .
Az (1+8+9)=18 osztható 3-mal, a (2+9+4)=15 pedig osztható 3-mal, tehát maguk a számok 189 És 294 részre vannak osztva 3 . Ezzel csökkentjük a törtet 3 . További, 63 osztható 3-mal és 98 - Nem. Nézzünk más elsődleges tényezőket. Mindkét szám osztható vele 7 . Ezzel csökkentjük a törtet 7 és megkapjuk a redukálhatatlan törtet 9/14 .
A törtek csökkentésének megértéséhez először nézzünk meg egy példát.
A tört csökkentése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a dologgal osztjuk el. Mind a 360, mind a 420 számjegyre végződik, így ezt a törtet 2-vel csökkenthetjük. Az új törtben a 180 és a 210 is osztható 2-vel, így ezt a törtet 2-vel csökkentjük. A 90 és 105 számokban az összeg számjegye osztható 3-mal, tehát mindkét szám osztható 3-mal, a törtet 3-mal csökkentjük. Az új törtben 30 és 35 0-ra és 5-re végződik, ami azt jelenti, hogy mindkét szám osztható 5-tel, ezért csökkentjük a tört 5-tel. A kapott hat heted törtrésze irreducibilis. Ez a végső válasz.
Ugyanarra a válaszra más módon is eljuthatunk.
Mind a 360, mind a 420 nullára végződik, ami azt jelenti, hogy oszthatóak 10-zel. Csökkentjük a törtet 10-zel. Az új törtben a 36 számlálót és a 42 nevezőt is osztjuk 2-vel. Csökkentjük a törtet 2-vel. Következő tört, mind a 18 számláló, mind a 21 nevező el van osztva 3-mal, ami azt jelenti, hogy a törtet 3-mal csökkentjük. Megérkeztünk az eredményhez - hat heted.
És még egy megoldás.
Legközelebb a törtek csökkentésére nézünk példákat.
Betöltés...