A gyakorlati feladatok megoldása során ősidők óta szükséges volt a mennyiségek és mennyiségek összehasonlítása. Ugyanakkor megjelentek a homogén mennyiségek összehasonlításának eredményeit jelző szavak, mint például több és kevesebb, magasabb és alacsonyabb, könnyebb és nehezebb, halkabb és hangosabb, olcsóbb és drágább stb.
A több és a kevesebb fogalma a tárgyszámlálás, a mennyiségek mérése, összehasonlítása kapcsán merült fel. Például az ókori Görögország matematikusai tudták, hogy bármely háromszög oldala kisebb, mint a másik két oldal összege, és hogy a nagyobb oldal a háromszög nagyobb szögével szemben helyezkedik el. Arkhimédész a kerület kiszámítása során megállapította, hogy bármely kör kerülete megegyezik az átmérő háromszorosával, amelynek többlete kisebb, mint az átmérő hetede, de több mint tízhetvenszerese az átmérőnek.
Írjon szimbolikusan kapcsolatokat a számok és mennyiségek között a > és b jelek segítségével. Rekordok, amelyekben két számot az egyik jel köt össze: > (nagyobb, mint), Alsó tagozaton is találkoztál számszerű egyenlőtlenségekkel. Tudod, hogy az egyenlőtlenségek lehetnek igazak, de lehetnek hamisak is. Például a \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) egy helyes numerikus egyenlőtlenség, a 0,23 > 0,235 pedig egy helytelen numerikus egyenlőtlenség.
Az ismeretleneket magában foglaló egyenlőtlenségek igazak lehetnek az ismeretlenek egyes értékeire, és hamisak másokra. Például a 2x+1>5 egyenlőtlenség igaz x = 3 esetén, de hamis x = -3 esetén. Egy ismeretlennel való egyenlőtlenség esetén beállíthatja a feladatot: oldja meg az egyenlőtlenséget. Az egyenlőtlenségek gyakorlati megoldásának problémáit nem ritkábban vetik fel és oldják meg, mint az egyenletek megoldásának problémáit. Például sok gazdasági probléma a lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek tanulmányozására és megoldására vezethető vissza. A matematika számos ágában az egyenlőtlenségek gyakoribbak, mint az egyenletek.
Néhány egyenlőtlenség az egyetlen kiegészítő, amely lehetővé teszi egy bizonyos objektum létezésének bizonyítását vagy cáfolatát, például egy egyenlet gyökerét.
Numerikus egyenlőtlenségek
Össze tudod hasonlítani az egész számokat? tizedesjegyek. Ismered az összehasonlítás szabályait? közönséges törtek ugyanazokkal a nevezőkkel, de különböző számlálókkal; ugyanazokkal a számlálókkal, de különböző nevezők. Itt megtudhatja, hogyan lehet összehasonlítani bármely két számot a különbség előjelének megtalálásával.
A számok összehasonlítását széles körben alkalmazzák a gyakorlatban. Például egy közgazdász összehasonlítja a tervezett mutatókat a ténylegesekkel, az orvos összehasonlítja a páciens hőmérsékletét a normál értékkel, egy esztergályos egy megmunkált alkatrész méreteit egy szabványhoz. Minden ilyen esetben néhány számot összehasonlítanak. A számok összehasonlítása eredményeként numerikus egyenlőtlenségek keletkeznek.
Meghatározás. Szám a több szám b, ha különbség a-b pozitív. Szám a kevesebb szám b, ha az a-b különbség negatív.
Ha a nagyobb, mint b, akkor ezt írják: a > b; ha a kisebb, mint b, akkor azt írják: a Így az a > b egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az a - b különbség pozitív, azaz. a - b > 0. Egyenlőtlenség a Tetszőleges két a és b számra a következő három összefüggésből a > b, a = b, a Az a és b számok összehasonlítása azt jelenti, hogy megtudjuk, melyik előjelek közül melyik >, = vagy Tétel. Ha a > b és b > c, akkor a > c.
Tétel. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot adjuk, az egyenlőtlenség előjele nem változik.
Következmény. Bármely tag áthelyezhető az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba, ha ennek a tagnak az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk.
Tétel. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal megszorozzuk, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanannyival szorozzuk negatív szám, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.
Következmény. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele nem változik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.
Tudja, hogy a numerikus egyenlőségeket tagonként lehet összeadni és szorozni. Ezután megtanulja, hogyan kell hasonló cselekvéseket végrehajtani egyenlőtlenségekkel. A gyakorlatban gyakran használják az egyenlőtlenségek tagonkénti összeadásának és szorzásának képességét. Ezek a műveletek segítenek megoldani a kifejezések jelentésének értékelésével és összehasonlításával kapcsolatos problémákat.
Különböző problémák megoldása során gyakran szükséges az egyenlőtlenségek bal és jobb oldalát tagonként összeadni vagy szorozni. Ugyanakkor néha azt mondják, hogy az egyenlőtlenségek összeadódnak vagy megsokszorozódnak. Például, ha egy turista több mint 20 km-t gyalogolt az első napon, és több mint 25 km-t a másodikon, akkor azt mondhatjuk, hogy két nap alatt több mint 45 km-t gyalogolt. Hasonlóképpen, ha egy téglalap hossza kisebb, mint 13 cm, és a szélessége kisebb, mint 5 cm, akkor azt mondhatjuk, hogy ennek a téglalapnak a területe kisebb, mint 65 cm2.
E példák mérlegelésekor a következőket használták: tételek az egyenlőtlenségek összeadásáról és szorzásáról:
Tétel. Azonos előjelű egyenlőtlenségek összeadásakor azonos előjelű egyenlőtlenséget kapunk: ha a > b és c > d, akkor a + c > b + d.
Tétel. Azonos előjelű egyenlőtlenségek szorzásakor, amelyeknek bal és jobb oldala pozitív, azonos előjelű egyenlőtlenséget kapunk: ha a > b, c > d és a, b, c, d pozitív számok, akkor ac > bd.
Egyenlőtlenségek > (nagyobb, mint) és 1/2, 3/4 b, c előjelekkel együtt a szigorú egyenlőtlenségek > és jeleivel Ugyanígy az \(a \geq b \) egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az a szám nagyobb vagy egyenlő b-vel, azaz .és nem kisebb b.
A \(\geq \) vagy \(\leq \) jelet tartalmazó egyenlőtlenségeket nem szigorúnak nevezzük. Például a \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nem szigorú egyenlőtlenségek.
A szigorú egyenlőtlenségek minden tulajdonsága érvényes a nem szigorú egyenlőtlenségekre is. Sőt, ha szigorú egyenlőtlenségek esetén az előjeleket > ellentétesnek tekintettük, és tudja, hogy számos alkalmazott probléma megoldásához matematikai modellt kell készíteni egyenlet vagy egyenletrendszer formájában. Ezután megtudhatja, hogy a matematikai modellek számos probléma megoldására az ismeretlenekkel való egyenlőtlenségek. Bemutatjuk az egyenlőtlenség megoldásának fogalmát, és megmutatjuk, hogyan ellenőrizhető-e adott szám konkrét egyenlőtlenség megoldása.
A forma egyenlőtlenségei
\(ax > b, \quad ax, amelyben a és b adott számok, és x egy ismeretlen, nevezzük lineáris egyenlőtlenségek egy ismeretlennel.
Meghatározás. Az ismeretlennel való egyenlőtlenség megoldása az ismeretlennek az az értéke, amelynél ez az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé válik. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldást, vagy megállapítjuk, hogy nincs ilyen.
Az egyenleteket úgy oldotta meg, hogy a legegyszerűbb egyenletekre redukálta őket. Hasonlóképpen, az egyenlőtlenségek megoldása során megpróbáljuk azokat tulajdonságok segítségével egyszerű egyenlőtlenségek formájára redukálni.
Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása egy változóval
A forma egyenlőtlenségei
\(ax^2+bx+c >0 \) és \(ax^2+bx+c ahol x egy változó, a, b és c néhány szám és \(a \neq 0 \), ún. másodfokú egyenlőtlenségek egy változóval.
Megoldás az egyenlőtlenségre
\(ax^2+bx+c >0 \) vagy \(ax^2+bx+c) olyan intervallumok keresésének tekinthető, amelyekben az \(y= ax^2+bx+c \) függvény pozitív vagy negatív értékek Ehhez elegendő elemezni, hogy az \(y= ax^2+bx+c\) függvény grafikonja hogyan helyezkedik el a koordinátasíkban: hova irányulnak a parabola ágai - felfelé vagy lefelé, a parabola metszi az x tengelyt, és ha igen, akkor milyen pontokban.
Algoritmus egy változós másodfokú egyenlőtlenségek megoldására:
1) keresse meg a \(ax^2+bx+c\) négyzetes trinom diszkriminánsát, és nézze meg, hogy van-e gyöke a trinomnak;
2) ha a trinomiálisnak vannak gyökerei, akkor jelölje meg azokat az x tengelyen, és a megjelölt pontokon keresztül rajzoljon egy sematikus parabolát, amelynek ágai > 0 esetén felfelé, 0 esetén lefelé, 3 esetén pedig alulra irányulnak. keresse meg azokat az intervallumokat az x tengelyen, amelyeknél a pontparabolák az x tengely felett (ha megoldják az \(ax^2+bx+c >0\) egyenlőtlenséget) vagy az x tengely alatt (ha megoldják a egyenlőtlenség
\(ax^2+bx+c Egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel
Vegye figyelembe a funkciót
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)
Ennek a függvénynek a tartománya az összes szám halmaza. A függvény nullái a -2, 3, 5 számok. Ezek a függvény definíciós tartományát \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) és \( (5; +\infty)\)
Nézzük meg, milyen előjelei vannak ennek a függvénynek az egyes jelzett intervallumokban.
Az (x + 2)(x - 3)(x - 5) kifejezés három tényező szorzata. Ezen tényezők mindegyikének előjele a vizsgált intervallumokban a táblázatban látható:
Általában a függvényt a képlet adja meg
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
ahol x egy változó, x 1, x 2, ..., x n pedig egymással nem egyenlő számok. Az x 1 , x 2 , ..., x n számok a függvény nullái. Minden olyan intervallumban, amelyre a definíciós tartományt a függvény nullai osztják, a függvény előjele megmarad, és nullán áthaladva az előjele megváltozik.
Ezt a tulajdonságot az alaki egyenlőtlenségek megoldására használják
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ahol x 1, x 2, ..., x n egymással nem egyenlő számok
Megfontolt módszer Az egyenlőtlenségek megoldását intervallummódszernek nevezzük.
Mondjunk példákat az egyenlőtlenségek intervallummódszerrel történő megoldására.
Az egyenlőtlenség megoldása:
\(x(0,5-x)(x+4) Nyilvánvalóan az f(x) = x(0,5-x)(x+4) függvény nullai pontjai a \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)A függvény nulláit ábrázoljuk a számtengelyen, és kiszámítjuk az előjelet minden intervallumon:
Kiválasztjuk azokat az intervallumokat, amelyeknél a függvény nullánál kisebb vagy egyenlő, és felírjuk a választ.
Válasz:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
A matematikai egyenlőtlenség fogalma az ókorban keletkezett. Ez akkor történt, amikor a primitív embernek szüksége volt a mennyiségük és a méretük összehasonlítására, amikor különféle tárgyakat számol és kezel. Ősidők óta Archimedes, Euklidész és más híres tudósok: matematikusok, csillagászok, tervezők és filozófusok egyenlőtlenségeket használtak érvelésük során.
De általában verbális terminológiát használtak munkáikban. Először Angliában találták ki és alkalmazták a modern jeleket, amelyek a „több” és a „kevesebb” fogalmát jelölik olyan formában, ahogyan azokat ma minden iskolás ismeri. Thomas Harriot matematikus nyújtott ilyen szolgáltatást leszármazottainak. És ez körülbelül négy évszázaddal ezelőtt történt.
Az egyenlőtlenségeknek sok fajtája ismert. Vannak köztük egyszerűek, amelyek egy, két vagy több változót, másodfokú, tört, összetett arányokat, sőt kifejezésrendszerrel ábrázoltak is tartalmaznak. Az egyenlőtlenségek megoldásának megértésének legjobb módja a különféle példák használata.
Ne maradj le a vonatról
Kezdésként képzeljük el, hogy egy lakos vidéki területek siet hozzá vasútállomás, amely falujától 20 km-re található. Annak érdekében, hogy ne késse le a 11 órakor induló vonatot, időben el kell hagynia a házat. Mikor kell ezt megtenni, ha a sebessége 5 km/h? Ennek a gyakorlati problémának a megoldása a következő kifejezés feltételeinek teljesítésében rejlik: 5 (11 - X) ≥ 20, ahol X az indulási idő.
Ez érthető, mert az a távolság, amelyet egy falusi embernek meg kell tennie az állomásig, egyenlő a mozgási sebesség és az úton töltött órák számának szorzatával. Az ember korán érkezhet, de nem késhet. Ha ismeri az egyenlőtlenségek megoldásának módját, és készségeit a gyakorlatban alkalmazza, akkor X ≤ 7 lesz, ami a válasz. Ez azt jelenti, hogy a falusi ember reggel hétkor vagy valamivel korábban menjen a vasútállomásra.
Numerikus intervallumok egy koordináta egyenesen
Most nézzük meg, hogyan lehet a leírt összefüggéseket leképezni a A fent kapott egyenlőtlenség nem szigorú. Ez azt jelenti, hogy a változó értéke 7-nél kisebb, vagy egyenlő lehet ezzel a számmal. Mondjunk más példákat is. Ehhez alaposan vegye figyelembe az alábbi négy ábrát.
Az elsőn látható grafikus kép rés [-7; 7]. Egy koordinátavonalon elhelyezett számok halmazából áll, amelyek -7 és 7 között helyezkednek el, beleértve a határokat is. Ebben az esetben a grafikon pontjait kitöltött körökként ábrázolja, és az intervallumot a segítségével rögzíti
A második ábra a szigorú egyenlőtlenség grafikus ábrázolása. Ebben az esetben a szúrt (nem kitöltött) pontokkal jelzett -7 és 7 határvonalszámok nem szerepelnek a megadott halmazban. Magát az intervallumot pedig a következőképpen írjuk zárójelbe: (-7; 7).
Azaz, miután kitaláltuk, hogyan lehet megoldani az ilyen típusú egyenlőtlenségeket, és hasonló választ kaptunk, arra a következtetésre juthatunk, hogy ez olyan számokból áll, amelyek a -7 és 7 kivételével a kérdéses határok között vannak. hasonló módon. A harmadik ábra az intervallumok képeit mutatja (-∞; -7] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)
Másodfokú egyenlőtlenségek negatív és nulla diszkriminánssal
A fenti algoritmus akkor működik, ha a diszkrimináns nagyobb nullánál, azaz \(2\) gyöke van. Mi a teendő más esetekben? Például ezek:
|
\(1) x^2+2x+9>0\) |
\(2) x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4)-x^2-64<0\) |
|
\(D=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Ha \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
Vagyis a kifejezés:
\(x^2+2x+9\) – pozitív bármely \(x\) esetén, mert \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - negatív bármely \(x\), mert \(a=-1<0\)
Ha \(D=0\), akkor a \(x\) értékhez tartozó másodfokú trinom egyenlő nullával, az összes többire pedig állandó előjelű, ami egybeesik a \(a\) együttható előjelével.
Vagyis a kifejezés:
\(x^2+6x+9\) egyenlő nullával \(x=-3\) esetén, és pozitív az összes többi x esetén, mert \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - egyenlő nullával \(x=-2\) esetén és negatív az összes többinél, mert \(a=-1<0\).
Hogyan találjuk meg azt az x-et, amelynél a másodfokú trinom egyenlő nullával? Meg kell oldanunk a megfelelő másodfokú egyenletet.
Ezen információk birtokában oldjuk meg a másodfokú egyenlőtlenségeket:
|
1) \(x^2+2x+9>0\) |
Az egyenlőtlenség, mondhatnánk, felteszi nekünk a kérdést: „melyik \(x\)-nél nagyobb a bal oldali kifejezés nullánál?” Fentebb már megtudtuk, hogy bármelyik. A válaszba írhatod: „bármely \(x\)-hez”, de jobb, ha ugyanazt a gondolatot a matematika nyelvén fejezzük ki. |
|
|
Válasz: \(x∈(-∞;∞)\) |
||
|
2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Kérdés az egyenlőtlenségből: "mely \(x\) esetén a bal oldali kifejezés kisebb vagy egyenlő nullával?" Nem lehet kisebb nullánál, de egyenlő lehet nullával. És hogy megtudjuk, milyen állítás esetén fog ez megtörténni, oldjuk meg a megfelelő másodfokú egyenletet. |
|
|
Állítsuk össze a kifejezésünket \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) szerint. |
||
|
Most az egyetlen dolog, ami megállít minket, az a tér. Gondoljuk együtt – melyik szám négyzetével egyenlő nullával? Nulla! Ez azt jelenti, hogy egy kifejezés négyzete csak akkor egyenlő nullával, ha maga a kifejezés egyenlő nullával. |
||
|
\(x+3=0\) |
Ez a szám lesz a válasz. |
|
|
Válasz: \(-3\) |
||
|
3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Mikor nagyobb a bal oldali kifejezés nullánál? Ahogy fentebb említettük, a bal oldali kifejezés negatív vagy nullával egyenlő; nem lehet pozitív. Tehát a válasz az, hogy soha. Írjuk a „soha” szót a matematika nyelvén, az „üres halmaz” jellel - \(∅\). |
|
|
Válasz: \(x∈∅\) |
||
|
4) \(-x^2-64<0\) |
Amikor a kifejezés a bal oldalon van nullánál kisebb? Mindig. Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség bármely \(x\) esetén érvényes. |
|
|
Válasz: \(x∈(-∞;∞)\) |
Betöltés...