Példák a négyzetgyök különbségére. A négyzetgyökök hozzáadásának szabálya

Téma kb négyzetgyök ben kötelező iskolai tananyag matematika tanfolyam. A másodfokú egyenletek megoldása során nem nélkülözheti őket. És később szükségessé válik nemcsak a gyökerek kinyerése, hanem más műveletek elvégzése is velük. Köztük meglehetősen összetettek: hatványozás, szorzás és osztás. De vannak egészen egyszerűek is: a gyökök kivonása és összeadása. Mellesleg csak első pillantásra tűnnek annak. Nem mindig könnyű ezeket hibamentesen végrehajtani annak, aki csak most kezdi ismerkedni velük.

Mi az a matematikai gyök?

Ez az akció a hatványozás ellenében jött létre. A matematika két ellentétes műveletet javasol. Az összeadáshoz van kivonás. A szorzás ellentétes az osztással. Egy fok fordított művelete a megfelelő gyökér kinyerése.

Ha a fokszám kettő, akkor a gyök négyzetes lesz. Ez a leggyakoribb a iskolai matematika. Még csak nincs is rajta jelzés, hogy négyzet, vagyis nincs mellette 2. Ennek az operátornak (gyöknek) a matematikai jelölése látható az ábrán.

Meghatározása simán a leírt műveletből következik. Egy szám négyzetgyökének kivonásához meg kell találnia, hogy mit ad a gyök kifejezés, ha megszorozzuk önmagával. Ez a szám lesz a négyzetgyök. Ha ezt matematikailag felírjuk, a következőt kapjuk: x*x=x 2 =y, ami azt jelenti, hogy √y=x.

Milyen műveleteket végezhetsz velük?

A gyökér lényegében egy törthatvány, amelynek számlálója egy. A nevező pedig bármi lehet. Például a négyzetgyöknek kettő van. Ezért minden hatalommal végrehajtható művelet a gyökérre is érvényes lesz.

És ezeknek a műveleteknek a követelményei ugyanazok. Ha a szorzás, osztás és hatványozás nem okoz nehézséget a tanulóknak, akkor a gyökök összeadása, akárcsak a kivonás, néha zavart okoz. És mindezt azért, mert ezeket a műveleteket a gyökér jele nélkül akarom végrehajtani. És itt kezdődnek a hibák.

Mik az összeadás és a kivonás szabályai?

Először is emlékeznie kell két kategorikus „nem”-re:

• lehetetlen a gyökök összeadását és kivonását végrehajtani, mint a prímszámoknál, vagyis lehetetlen az összeg gyöknyi kifejezéseit egy jel alá írni és matematikai műveleteket végrehajtani velük;
• Nem adhat hozzá és vonhat ki különböző kitevőkkel rendelkező gyököket, például négyzetet és köböst.

Világos példa az első tilalomra: √6 + √10 ≠ √16, de √(6 + 10) = √16.

A második esetben jobb, ha a gyökerek egyszerűsítésére korlátozzuk magunkat. Az összegüket pedig hagyd a válaszban.

Most pedig a szabályokhoz

1. Keresse meg és csoportosítsa a hasonló gyökereket. Vagyis azok, akiknek nemcsak ugyanazok a számok a radikális alatt, hanem ők maguk is ugyanazt a mutatót.
2. Az első műveletben hajtsa végre az egy csoportba egyesített gyökerek hozzáadását. Könnyen megvalósítható, mert csak a gyökök előtt megjelenő értékeket kell hozzáadni.
3. Vonja ki azoknak a kifejezéseknek a gyökereit, amelyekben a gyök kifejezés egy egész négyzetet alkot. Más szóval, ne hagyj semmit a radikális jele alatt.
4. A radikális kifejezések egyszerűsítése. Ehhez prímtényezőkbe kell őket beszámítani, és meg kell nézni, hogy megadják-e bármely szám négyzetét. Nyilvánvaló, hogy ez igaz, ha négyzetgyökről beszélünk. Ha a kitevő három vagy négy, akkor a prímtényezőknek meg kell adniuk a kockát vagy a szám negyedik hatványát.
5. Távolítsuk el a radikális jele alól azt a tényezőt, amely a teljes erőt adja.
6. Nézze meg, megjelennek-e még hasonló kifejezések. Ha igen, hajtsa végre újra a második lépést.

Olyan helyzetben, amikor a feladat nem igényel pontos érték gyökér, számológéppel ki lehet számolni. Végtelen decimális, amely megjelenik az ablakában, kerekítse felfelé. Leggyakrabban ez századrészekre történik. Ezután hajtsa végre az összes műveletet a tizedes törtekre.

Ez az összes információ a gyökerek hozzáadásával kapcsolatban. Az alábbi példák illusztrálják a fentieket.

Első feladat

Számítsa ki a kifejezések értékét:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ha követi a fenti algoritmust, láthatja, hogy ebben a példában nincs semmi az első két művelethez. De leegyszerűsíthet néhány radikális kifejezést.

Például bontsa fel a 32-t két tényezőre: 2 és 16; 18 egyenlő lesz 9 és 2 szorzatával; A 128 2 a 64-hez képest. Ennek alapján a kifejezés így lesz írva:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Most el kell távolítania a gyökjel alól azokat a tényezőket, amelyek a szám négyzetét adják. Ez 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. A kifejezés a következő formában lesz:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Kicsit le kell egyszerűsítenünk a felvételt. Ehhez szorozza meg az együtthatókat a gyökérjelek előtt:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Ebben a kifejezésben minden kifejezés hasonlónak bizonyult. Ezért csak össze kell hajtania őket. A válasz: 5√2.

b) Az előző példához hasonlóan a gyökök hozzáadása az egyszerűsítéssel kezdődik. A 75, 147, 48 és 300 gyökkifejezések a következő párokban jelennek meg: 5 és 25, 3 és 49, 3 és 16, 3 és 100. Mindegyik tartalmaz egy-egy számot, amely a gyökjel alól kivehető. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Egyszerűsítés után a válasz: 5√5 - 5√3. Meghagyható ebben a formában, de jobb, ha az 5-ös közös tényezőt zárójelből kivesszük: 5 (√5 - √3).

c) És ismét a faktorizálás: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Miután eltávolítottuk a faktorokat a gyökérjel alól, a következőt kapjuk:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Hasonló kifejezések hozása után a következő eredményt kapjuk: 7√11.

Példa törtkifejezésekkel

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

A következő számokat kell faktorálnia: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. A már tárgyalthoz hasonlóan el kell távolítania a gyökérjel alól a tényezőket. és egyszerűsítse a kifejezést:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Ez a kifejezés megköveteli, hogy a nevezőben megszabaduljunk az irracionalitástól. Ehhez meg kell szoroznia a második tagot √2/√2-vel:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

A műveletek befejezéséhez ki kell választania a tényezők teljes részét a gyökerek előtt. Az elsőnél 1, a másodiknál ​​2.

Gyökérképletek. A négyzetgyökök tulajdonságai.

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Az előző leckében kitaláltuk, mi az a négyzetgyök. Ideje kitalálni, hogy melyek léteznek képletek a gyökerekhez mik a gyökerek tulajdonságai, és mit lehet kezdeni mindezzel.

A gyökerek képlete, a gyökerek tulajdonságai és a gyökerekkel való munka szabályai- ez lényegében ugyanaz. Meglepően kevés képlet létezik négyzetgyökre. Ami biztosan boldoggá tesz! Illetve sokféle képletet írhat, de a gyakorlatias és magabiztos gyökerekkel végzett munkához csak három elegendő. Minden más ebből a háromból fakad. Bár sokan összezavarodnak a három gyökképletben, igen...

Kezdjük a legegyszerűbbel. Itt is van:

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Az x szám négyzetgyöke egy a szám, amelyet önmagával megszorozva x számot kapunk: a * a = a^2 = x, ?x = a. Mint minden számnál, itt is elvégezheti az összeadás és a kivonás aritmetikai műveleteit négyzetgyökökkel.

Utasítás

1. Először is, ha négyzetgyököket ad hozzá, próbálja meg kivonni ezeket a gyökereket. Ez akkor elfogadható, ha a gyökjel alatti számok tökéletes négyzetek. Tegyük fel, hogy a megadott kifejezés ?4 + ?9. Az első 4-es szám a 2-es négyzete. A második 9-es szám a 3-as szám négyzete. Így kiderül, hogy: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ha nincsenek teljes négyzetek a gyökérjel alatt, akkor próbálja meg a szám szorzóját áthelyezni a gyökérjel alól. Tegyük fel, hogy a kifejezés adott?24 +?54. Tényezőzd a számokat: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. A 24-es szám 4-es tényezője, a négyzetgyök jel alól átvihető tényező. Az 54-es szám tényezője 9. Így kiderül, hogy: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Ebben a példában a gyökjel alól a szorzó eltávolítása eredményeként lehetőség nyílt az adott kifejezés egyszerűsítésére.

3. Legyen 2 négyzetgyök összege egy tört nevezője, mondjuk A / (?a + ?b). És legyen a feladata, hogy „megszabaduljon az irracionalitástól a nevezőben”. Ezután használhatja a következő módszert. Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét az ?a - ?b kifejezéssel. Így a nevező a rövidített szorzási képletet tartalmazza: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Hasonlóan, ha a nevező tartalmazza a gyökök közötti különbséget: ?a - ?b, akkor a tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni az ?a + ?b kifejezéssel. Például legyen a 4 / (?3 + ?5) tört = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2* (?5 - ?3).

4. Tekintsünk egy bonyolultabb példát a nevező irracionalitásától való megszabadulásra. Legyen megadva a 12 / (?2 + ?3 + ?5) tört. A tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 +?5) * (?2 + ?3-?5)) = 12 * (?2 + ?3-?5) / (2 *?6) =?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. És végül, ha csak hozzávetőleges értékre van szüksége, akkor számológép segítségével kiszámolhatja a négyzetgyököket. Számítsa ki az értékeket a teljes számra külön-külön, és írja le a kívánt pontossággal (mondjuk két tizedesjegyig). És ezt követően hajtsa végre a szükséges számtani műveleteket, mint a közönséges számoknál. Tegyük fel, hogy meg kell találnia a ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Videó a témáról

Jegyzet!
Semmilyen esetben sem adható hozzá négyzetgyök primitív számként, azaz. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Hasznos tanács
Ha egy számot faktorál, hogy a négyzetet a gyökjel alól mozgassa, akkor végezze el a fordított ellenőrzést - szorozza meg az összes kapott tényezőt, és kapja meg az eredeti számot.

Tartalom:

A matematikában a gyökök lehetnek négyzetesek, köbösek, vagy bármilyen más kitevővel (hatékonysággal) rendelkeznek, amelyet a gyökjel fölé balra írunk. A gyökérjel alatti kifejezést radikális kifejezésnek nevezzük. A gyökök hozzáadása hasonló egy algebrai kifejezéshez, azaz hasonló gyökök meghatározását igényli.

Lépések

1. rész A gyökerek meghatározása

1. 1 A gyökerek kijelölése. A gyökérjel (√) alatti kifejezés azt jelenti, hogy ebből a kifejezésből ki kell vonni a gyökér bizonyos fokát.
   • A gyökeret a √ jel jelöli.
   • A gyök kitevőjét (fokát) a gyökérjel fölé balra írjuk. Például a 27 kockagyöke így van írva: 3 √(27)
   • Ha a gyök kitevője (fokozata) hiányzik, akkor a kitevőt 2-vel egyenlőnek tekintjük, azaz négyzetgyökről (vagy másodfokú gyökről) van szó.
   • A gyökjel elé írt számot szorzónak nevezzük (vagyis ezt a számot megszorozzuk a gyökérrel), például 5√(2)
   • Ha a gyök előtt nincs tényező, akkor az egyenlő 1-gyel (ne felejtsük el, hogy bármely szám 1-gyel szorozva egyenlő önmagával).
   • Ha ez az első alkalom, amikor gyökérekkel dolgozik, készítsen megfelelő megjegyzéseket a szorzóról és a gyökérkitevőről, hogy elkerülje a félreértést és jobban megértse a céljukat.
2. 2 Ne feledje, mely gyökereket lehet hajtogatni, és melyeket nem. Ahogyan egy kifejezéshez nem adhat hozzá különböző kifejezéseket, például 2a + 2b ≠ 4ab, úgy nem adhat hozzá különböző gyököket sem.
   • Nem adhat hozzá gyökereket különböző gyök kifejezésekkel, például √(2) + √(3) ≠ √(5). De hozzáadhat számokat ugyanazon gyök alatt, például √(2 + 3) = √(5) (a 2 négyzetgyöke körülbelül 1,414, a 3 négyzetgyöke körülbelül 1,732, az 5 négyzetgyöke pedig körülbelül 2,236) .
   • Nem adhatunk hozzá gyököket azonos gyökkifejezésekkel, hanem különböző kitevőket, például √(64) + 3 √(64) (ez az összeg nem egyenlő 5 √(64), mivel 64 négyzetgyöke 8, a a 64 kockagyöke 4 , 8 + 4 = 12, ami sokkal nagyobb, mint a 64 ötödik gyöke, ami megközelítőleg 2,297).

2. rész Gyökerek egyszerűsítése és hozzáadása

1. 1 A hasonló gyökerek azonosítása és csoportosítása. Hasonló gyökök azok a gyökök, amelyeknek ugyanazok a mutatói és ugyanazok a radikális kifejezések. Vegyük például a következő kifejezést:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Először írja át a kifejezést úgy, hogy az azonos indexű gyökök egymás után helyezkedjenek el.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Ezután írja át a kifejezést úgy, hogy az azonos kitevővel és azonos gyökkifejezésű gyökök egymás után helyezkedjenek el.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Egyszerűsítse a gyökereket. Ehhez bontsuk (ahol lehetséges) a gyök kifejezéseket két faktorra, amelyek közül az egyiket a gyökér alól kiemeljük. Ebben az esetben az eltávolított számot és a gyökértényezőt megszorozzuk.
   • A fenti példában az 50-es számot 2*25-re, a 32-t pedig 2*16-ra számítja. 25-ből és 16-ból veheti a négyzetgyököt (5 és 4), és eltávolíthatja az 5-öt és a 4-et a gyök alól, megszorozva őket a 2-es és 1-es tényezőkkel. Így egy egyszerűsített kifejezést kapunk: 10√(2 ) + 4√(2) + 2√(3) + 6√(3) + 3√(81)
   • A 81-es szám 3*27 faktorral számolható, a 27-es számból pedig a 3 kockagyökét vehetjük ki. Ez a 3-as szám a gyökér alól kivehető. Így még egyszerűbb kifejezést kapunk: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Adja hozzá a hasonló gyökerek tényezőit. Példánkban a 2-nek hasonló négyzetgyökei vannak (összeadhatók) és a 3-nak hasonló négyzetgyökei (ezeket is össze lehet adni). A 3 kockagyökének nincsenek ilyen gyökerei.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Végső egyszerűsített kifejezés: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Nincsenek általánosan elfogadott szabályok arra vonatkozóan, hogy a gyökök milyen sorrendben íródnak egy kifejezésbe. Ezért a gyököket mutatóik növekvő sorrendjében és a gyök kifejezések növekvő sorrendjében írhatja.

Az x szám négyzetgyöke egy a szám, amelyet önmagával megszorozva az x számot kapjuk: a * a = a^2 = x, √x = a. Mint minden számnál, itt is elvégezheti az összeadás és a kivonás számtani műveleteit négyzetgyökkel.

Utasítás

• Először is, ha négyzetgyököket ad hozzá, próbálja meg kivonni ezeket a gyökereket. Ez akkor lehetséges, ha a gyökjel alatti számok tökéletes négyzetek. Például legyen adott a √4 + √9 kifejezés. Az első 4-es szám a 2-es négyzete. A második 9-es szám a 3-as szám négyzete. Így kiderül, hogy: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ha a gyökérjel alatt nincsenek teljes négyzetek, akkor próbálja meg eltávolítani a szám szorzóját a gyökérjel alól. Például legyen adott a √24 + √54 kifejezés. Tényezősítsd a számokat: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. A 24-es szám 4-es tényezője, amely a négyzetgyök jelből kivehető. Az 54-es szám tényezője 9. Így kiderül, hogy: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Ebben a példában a gyökjel alól a szorzó eltávolítása eredményeként lehetőség nyílt az adott kifejezés egyszerűsítésére.
• Legyen két négyzetgyök összege egy tört nevezője, például A / (√a + √b). És legyen a feladata, hogy „megszabaduljon az irracionalitástól a nevezőben”. Ezután használhatja a következő módszert. Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét a √a - √b kifejezéssel. Így a nevezőben a rövidített szorzóképletet kapjuk: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Analógia szerint, ha a nevező tartalmazza a gyökök közötti különbséget: √a - √b, akkor a tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a √a + √b kifejezéssel. Például legyen a 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Fontolja meg többet összetett példa megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben. Legyen adott a 12 / (√2 + √3 + √5) tört. A tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a √2 + √3 - √5 kifejezéssel:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Végül, ha csak hozzávetőleges értékre van szüksége, akkor egy számológép segítségével kiszámolhatja a négyzetgyököket. Számítsa ki az értékeket minden számhoz külön-külön, és írja le azokat a kívánt pontossággal (például két tizedesjegyig). Ezután hajtsa végre a szükséges aritmetikai műveleteket, mint a közönséges számoknál. Tegyük fel például, hogy ismernie kell a √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 kifejezés hozzávetőleges értékét.