Untuk beberapa waktu sekarang, di TheBat (tidak jelas untuk alasan apa), database sertifikat bawaan untuk SSL tidak lagi berfungsi dengan benar.

Saat memeriksa pos, kesalahan muncul:

Sertifikat CA tidak dikenal
Server tidak menampilkan sertifikat root dalam sesi dan sertifikat root yang sesuai tidak ditemukan di buku alamat.
Hubungan ini tidak bisa dirahasiakan. Silahkan
hubungi administrator server Anda.

Dan ditawarkan pilihan jawaban - YA / TIDAK. Dan setiap kali Anda menembak surat.

Larutan

Dalam hal ini, Anda perlu mengganti standar implementasi S/MIME dan TLS dengan Microsoft CryptoAPI di TheBat!

Karena saya perlu menggabungkan semua file menjadi satu, pertama-tama saya mengonversi semua file doc menjadi satu file pdf (menggunakan program Acrobat), dan kemudian mentransfernya ke fb2 melalui konverter online. Anda juga dapat mengonversi file satu per satu. Format dapat benar-benar apa saja (sumber) dan dokumen, dan jpg, dan bahkan arsip zip!

Nama situs sesuai dengan esensi :) Photoshop Online.

Pembaruan Mei 2015

Saya menemukan situs hebat lainnya! Bahkan lebih nyaman dan fungsional untuk membuat kolase yang sepenuhnya sewenang-wenang! Situs ini adalah http://www.fotor.com/ru/collage/ . Gunakan pada kesehatan. Dan saya akan menggunakannya sendiri.

Dihadapkan dalam hidup dengan perbaikan kompor listrik. Saya sudah melakukan banyak hal, belajar banyak, tetapi entah bagaimana saya tidak banyak berhubungan dengan ubin. Itu perlu untuk mengganti kontak pada regulator dan pembakar. Timbul pertanyaan - bagaimana menentukan diameter pembakar pada kompor listrik?

Jawabannya ternyata sederhana. Tidak perlu mengukur apa pun, Anda dapat dengan tenang menentukan dengan mata ukuran apa yang Anda butuhkan.

Pembakar terkecil adalah 145 milimeter (14,5 sentimeter)

Pembakar sedang adalah 180 milimeter (18 sentimeter).

Dan akhirnya yang paling pembakar besar adalah 225 milimeter (22,5 sentimeter).

Cukup menentukan ukuran dengan mata dan memahami diameter pembakar yang Anda butuhkan. Ketika saya tidak tahu ini, saya melonjak dengan ukuran ini, saya tidak tahu bagaimana mengukur, tepi mana yang harus dinavigasi, dll. Sekarang saya bijak :) Saya harap ini membantu Anda juga!

Dalam hidup saya, saya menghadapi masalah seperti itu. Saya pikir saya bukan satu-satunya.

Jika dalam masalah perlu melakukan studi lengkap fungsi f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 dengan konstruksi grafiknya, maka kami akan mempertimbangkan prinsip ini secara rinci.

Untuk memecahkan masalah jenis ini, seseorang harus menggunakan sifat dan grafik dari fungsi dasar utama. Algoritma penelitian mencakup langkah-langkah berikut:

Menemukan domain definisi

Karena penelitian dilakukan pada domain fungsi, maka perlu untuk memulai dengan langkah ini.

Contoh 1

Contoh yang diberikan melibatkan menemukan nol penyebut untuk mengecualikannya dari DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 x - ; - 1 2 - 1 2 ; 1 2 1 2 ; +∞

Hasilnya, Anda bisa mendapatkan akar, logaritma, dan sebagainya. Kemudian ODZ dapat dicari akar derajat genap bertipe g (x) 4 dengan pertidaksamaan g (x) ≥ 0 , untuk logaritma log a g (x) dengan pertidaksamaan g (x) > 0 .

Investigasi batas ODZ dan menemukan asimtot vertikal

Ada asimtot vertikal pada batas-batas fungsi, ketika batas satu sisi pada titik-titik tersebut tidak terbatas.

Contoh 2

Sebagai contoh, perhatikan titik-titik perbatasan yang sama dengan x = ± 1 2 .

Maka perlu mempelajari fungsi untuk menemukan batas satu sisi. Maka diperoleh: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = +

Hal ini menunjukkan bahwa batas satu sisi adalah tak hingga, yang berarti bahwa garis x = ± 1 2 adalah asimtot vertikal dari grafik.

Investigasi fungsi dan untuk genap atau ganjil

Jika kondisi y (- x) = y (x) terpenuhi, fungsi tersebut dianggap genap. Hal ini menunjukkan bahwa grafik terletak simetris terhadap O y. Ketika kondisi y (- x) = - y (x) terpenuhi, fungsi tersebut dianggap ganjil. Ini berarti bahwa simetri berjalan sehubungan dengan asal koordinat. Jika setidaknya satu pertidaksamaan gagal, kita memperoleh fungsi bentuk umum.

Pemenuhan persamaan y (- x) = y (x) menunjukkan bahwa fungsi tersebut genap. Saat membangun, perlu diperhitungkan bahwa akan ada simetri terhadap O y.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, interval kenaikan dan penurunan digunakan dengan kondisi f "(x) 0 dan f" (x) 0, berturut-turut.

Definisi 1

Titik stasioner adalah titik yang mengubah turunan menjadi nol.

Poin kritis adalah titik interior dari domain di mana turunan fungsi sama dengan nol atau tidak ada.

Saat membuat keputusan, poin-poin berikut harus dipertimbangkan:

• untuk interval kenaikan dan penurunan pertidaksamaan bentuk f "(x) > 0, titik kritis tidak termasuk dalam solusi;
• titik di mana fungsi didefinisikan tanpa turunan hingga harus dimasukkan dalam interval kenaikan dan penurunan (misalnya, y \u003d x 3, di mana titik x \u003d 0 membuat fungsi terdefinisi, turunan memiliki nilai tak terhingga pada titik ini, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = , x = 0 termasuk dalam interval kenaikan);
• untuk menghindari perbedaan pendapat, disarankan untuk menggunakan literatur matematika, yang direkomendasikan oleh Departemen Pendidikan.

Pencantuman titik kritis dalam interval naik dan turun jika memenuhi domain fungsi.

Definisi 2

Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi, perlu untuk menemukan:

• turunan;
• titik kritis;
• pecahkan domain definisi dengan bantuan titik-titik kritis ke dalam interval;
• tentukan tanda turunan pada setiap interval, di mana + adalah kenaikan dan - adalah penurunan.

Contoh 3

Cari turunan pada domain f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Larutan

Untuk memecahkan Anda perlu:

• temukan titik stasioner, contoh ini memiliki x = 0 ;
• carilah nol penyebutnya, contoh mengambil nilai nol pada x = ± 1 2 .

Kami mengekspos titik pada sumbu numerik untuk menentukan turunan pada setiap interval. Untuk melakukan ini, cukup mengambil titik mana pun dari interval dan membuat perhitungan. Jika hasilnya positif, kita menggambar + pada grafik, yang berarti peningkatan fungsi, dan - berarti penurunannya.

Misalnya, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, yang berarti bahwa interval pertama di sebelah kiri memiliki tanda +. Pertimbangkan nomornya garis.

Menjawab:

• ada peningkatan fungsi pada interval - ; - 1 2 dan (- 1 2 ; 0 ] ;
• ada penurunan pada interval [ 0 ; 1 2) dan 1 2 ; + .

Dalam diagram, menggunakan + dan -, fungsi positif dan negatif digambarkan, dan panah menunjukkan penurunan dan peningkatan.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik di mana fungsi didefinisikan dan melalui mana turunannya berubah tanda.

Contoh 4

Jika kita mempertimbangkan contoh di mana x \u003d 0, maka nilai fungsi di dalamnya adalah f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Ketika tanda turunan berubah dari + ke - dan melewati titik x \u003d 0, maka titik dengan koordinat (0; 0) dianggap sebagai titik maksimum. Ketika tanda diubah dari - ke +, kita mendapatkan titik minimum.

Kecembungan dan kecekungan ditentukan dengan memecahkan pertidaksamaan bentuk f "" (x) 0 dan f "" (x) 0 . Lebih jarang mereka menggunakan nama bulge down bukannya concavity, dan bulge up bukannya bulge.

Definisi 3

Untuk menentukan celah kecekungan dan kecembungan diperlukan:

• temukan turunan kedua;
• temukan nol dari fungsi turunan kedua;
• pecahkan domain definisi dengan titik-titik yang muncul menjadi interval;
• menentukan tanda kesenjangan.

Contoh 5

Temukan turunan kedua dari domain definisi.

Larutan

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Kami menemukan nol dari pembilang dan penyebut, di mana, menggunakan contoh kami, kami memiliki bahwa nol penyebut x = ± 1 2

Sekarang Anda perlu meletakkan titik pada garis bilangan dan menentukan tanda turunan kedua dari setiap interval. Kami mengerti

Menjawab:

• fungsinya cembung dari interval - 1 2 ; 12 ;
• fungsinya cekung dari celah - ; - 1 2 dan 1 2 ; + .

Definisi 4

titik belok adalah titik dalam bentuk x 0 ; f(x0) . Ketika memiliki garis singgung pada grafik fungsi, maka ketika melewati x 0, fungsi berubah tanda ke kebalikannya.

Dengan kata lain, ini adalah titik yang dilalui turunan kedua dan berubah tanda, dan pada titik itu sendiri sama dengan nol atau tidak ada. Semua titik dianggap sebagai domain fungsi.

Pada contoh terlihat bahwa tidak ada titik belok, karena turunan kedua berubah tanda saat melewati titik x = ± 1 2 . Mereka, pada gilirannya, tidak termasuk dalam domain definisi.

Menemukan asimtot horizontal dan miring

Ketika mendefinisikan suatu fungsi di tak hingga, kita harus mencari asimtot horizontal dan miring.

Definisi 5

Asimtot miring digambar menggunakan garis yang diberikan oleh persamaan y = k x + b, di mana k = lim x → f (x) x dan b = lim x → f (x) - k x .

Untuk k = 0 dan b tidak sama dengan tak terhingga, kami menemukan bahwa asimtot miring menjadi horisontal.

Dengan kata lain, asimtot adalah garis-garis yang mendekati grafik fungsi di tak hingga. Ini berkontribusi pada pembangunan grafik fungsi yang cepat.

Jika tidak ada asimtot, tetapi fungsi terdefinisi pada kedua tak hingga, perlu untuk menghitung limit fungsi pada tak hingga ini untuk memahami bagaimana grafik fungsi akan berperilaku.

Contoh 6

Sebagai contoh, pertimbangkan bahwa

k = lim x → f (x) x = lim x → x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → (f (x) - k x) = lim x → x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 y = 1 4

adalah asimtot horizontal. Setelah meneliti fungsinya, Anda dapat mulai membangunnya.

Menghitung nilai suatu fungsi pada titik-titik perantara

Untuk membuat plot paling akurat, disarankan untuk menemukan beberapa nilai fungsi pada titik perantara.

Contoh 7

Dari contoh yang telah kami pertimbangkan, perlu untuk menemukan nilai fungsi pada titik x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Karena fungsinya genap, kami mendapatkan bahwa nilai-nilai bertepatan dengan nilai-nilai pada titik-titik ini, yaitu, kami mendapatkan x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Mari kita tulis dan selesaikan:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 - 0,08

Untuk menentukan maxima dan minima dari fungsi, titik belok, titik antara, perlu membangun asimtot. Untuk penunjukan yang nyaman, interval kenaikan, penurunan, kecembungan, kecekungan ditetapkan. Perhatikan gambar di bawah ini.

Penting untuk menggambar garis grafik melalui titik-titik yang ditandai, yang akan memungkinkan Anda untuk lebih dekat ke asimtot, mengikuti panah.

Ini menyimpulkan studi lengkap fungsi. Ada kasus membangun beberapa fungsi dasar yang transformasi geometris digunakan.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Bagaimana cara menyelidiki suatu fungsi dan memplot grafiknya?

Sepertinya saya mulai memahami wajah penuh perasaan pemimpin proletariat dunia, penulis kumpulan karya dalam 55 jilid .... Perjalanan panjang dimulai dengan informasi dasar tentang fungsi dan grafik, dan sekarang mengerjakan topik yang melelahkan berakhir dengan hasil yang alami - sebuah artikel tentang studi fungsi penuh. Tugas yang telah lama ditunggu-tunggu dirumuskan sebagai berikut:

Selidiki fungsi dengan metode kalkulus diferensial dan, berdasarkan hasil penelitian, buat grafiknya

Atau singkatnya: periksa fungsi dan plotnya.

Mengapa menjelajah? Dalam kasus sederhana, tidak akan sulit bagi kita untuk berurusan dengan fungsi dasar, menggambar grafik yang diperoleh dengan menggunakan transformasi geometri dasar dll. Namun, sifat dan representasi grafis dari fungsi yang lebih kompleks masih jauh dari jelas, itulah sebabnya diperlukan studi menyeluruh.

Langkah-langkah utama dari solusi dirangkum dalam bahan referensi Skema Studi Fungsi, ini adalah panduan bagian Anda. Dummies membutuhkan penjelasan topik langkah demi langkah, beberapa pembaca tidak tahu harus mulai dari mana dan bagaimana mengatur studi, dan siswa tingkat lanjut mungkin hanya tertarik pada beberapa poin. Tetapi siapa pun Anda, pengunjung yang terhormat, ringkasan yang diusulkan dengan petunjuk ke berbagai pelajaran akan mengarahkan dan mengarahkan Anda ke arah minat dalam waktu sesingkat mungkin. Robot meneteskan air mata =) Manual dibuat dalam bentuk file pdf dan mengambil tempat yang seharusnya di halaman Rumus dan tabel matematika.

Saya biasa membagi studi fungsi menjadi 5-6 poin:

6) Tambahan poin dan grafik berdasarkan hasil penelitian.

Adapun tindakan terakhir, saya pikir semua orang mengerti segalanya - akan sangat mengecewakan jika dalam hitungan detik dicoret dan tugas dikembalikan untuk direvisi. GAMBAR YANG BENAR DAN AKURAT adalah hasil utama dari solusi! Sangat mungkin untuk "menutupi" kelalaian analitis, sementara jadwal yang salah dan/atau ceroboh akan menyebabkan masalah bahkan dengan studi yang dilakukan dengan sempurna.

Perlu dicatat bahwa di sumber lain, jumlah item penelitian, urutan implementasinya, dan gaya desainnya mungkin berbeda secara signifikan dari skema yang saya usulkan, tetapi dalam banyak kasus itu sudah cukup. Versi paling sederhana dari masalah ini hanya terdiri dari 2-3 langkah dan dirumuskan seperti ini: "eksplorasi fungsi menggunakan turunan dan plot" atau "eksplorasi fungsi menggunakan turunan ke-1 dan ke-2, plot".

Secara alami, jika algoritma lain dianalisis secara rinci dalam manual pelatihan Anda atau guru Anda benar-benar mengharuskan Anda untuk mematuhi ceramahnya, maka Anda harus membuat beberapa penyesuaian pada solusinya. Tidak lebih sulit daripada mengganti garpu dengan sendok gergaji.

Mari kita periksa fungsinya untuk genap / ganjil:

Ini diikuti oleh template berhenti berlangganan:
, jadi fungsi ini bukan genap maupun ganjil.

Karena fungsi kontinu pada , tidak ada asimtot vertikal.

Tidak ada asimtot miring juga.

Catatan : Saya mengingatkan Anda bahwa semakin tinggi urutan pertumbuhan dari , jadi limit akhirnya adalah tepat " sebuah tambahan ketakterbatasan."

Mari kita cari tahu bagaimana fungsi berperilaku di tak terhingga:

Dengan kata lain, jika kita ke kanan, maka grafiknya naik sangat jauh, jika kita ke kiri, jauh ke bawah. Ya, ada juga dua batasan dalam satu entri. Jika Anda mengalami kesulitan mengartikan tanda-tanda, silakan kunjungi pelajaran tentang fungsi sangat kecil.

Jadi fungsinya tidak terbatas dari atas dan tidak terbatas dari bawah. Menimbang bahwa kita tidak memiliki break point, menjadi jelas dan rentang fungsi: juga sembarang bilangan real.

TEKNIK YANG BERMANFAAT

Setiap langkah tugas membawa informasi baru tentang grafik fungsi, jadi dalam penyelesaiannya akan lebih mudah untuk menggunakan semacam LAYOUT. Mari kita menggambar sistem koordinat Cartesian pada draft. Apa yang diketahui dengan pasti? Pertama, grafik tidak memiliki asimtot, oleh karena itu, tidak perlu menggambar garis lurus. Kedua, kita tahu bagaimana fungsi berperilaku di tak hingga. Menurut analisis, kami menggambar perkiraan pertama:

Perhatikan bahwa berlaku kontinuitas fungsi dan fakta bahwa , grafik harus melintasi sumbu setidaknya sekali. Atau mungkin ada beberapa titik persimpangan?

3) Nol fungsi dan interval tanda konstan.

Pertama, cari titik potong grafik dengan sumbu y. Itu mudah. Penting untuk menghitung nilai fungsi ketika:

Setengah di atas permukaan laut.

Untuk menemukan titik persimpangan dengan sumbu (nol fungsi), Anda perlu menyelesaikan persamaan, dan di sini kejutan yang tidak menyenangkan menanti kita:

Pada akhirnya, anggota gratis mengintai, yang secara signifikan memperumit tugas.

Persamaan seperti itu memiliki setidaknya satu akar real, dan paling sering akar ini tidak rasional. Dalam dongeng terburuk, tiga babi kecil sedang menunggu kita. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan apa yang disebut Rumus Cardano, tetapi kerusakan kertas sebanding dengan hampir seluruh penelitian. Dalam hal ini, lebih bijaksana secara lisan atau draft untuk mencoba mengambil setidaknya satu utuh akar. Mari kita periksa apakah angka-angka ini adalah:
- tidak muat;
- ada!

Ini beruntung di sini. Dalam kasus kegagalan, Anda juga dapat menguji dan, dan jika angka-angka ini tidak cocok, maka saya khawatir ada sangat sedikit peluang untuk solusi persamaan yang menguntungkan. Maka lebih baik untuk melewatkan titik penelitian sepenuhnya - mungkin sesuatu akan menjadi lebih jelas pada langkah terakhir, ketika poin tambahan akan menerobos. Dan jika akar (akar) jelas "buruk", maka lebih baik tetap diam tentang interval keteguhan tanda dan untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat.

Namun, kami memiliki akar yang indah, jadi kami membagi polinomial tanpa sisa:

Algoritma untuk membagi polinomial dengan polinomial dibahas secara rinci dalam contoh pertama pelajaran. Batas Kompleks.

Akibatnya, sisi kiri persamaan asli berkembang menjadi produk:

Dan sekarang sedikit tentang gaya hidup sehat. Tentu saja saya mengerti itu persamaan kuadrat perlu diselesaikan setiap hari, tetapi hari ini kita akan membuat pengecualian: persamaan memiliki dua akar real.

Pada garis bilangan, kami memplot nilai yang ditemukan dan metode interval tentukan tanda-tanda fungsi :


og Jadi, pada interval grafik terletak
di bawah sumbu x, dan pada interval - di atas sumbu ini.

Temuan yang dihasilkan memungkinkan kami untuk menyempurnakan tata letak kami, dan perkiraan kedua dari grafik terlihat seperti ini:

Harap dicatat bahwa fungsi harus memiliki setidaknya satu maksimum pada interval, dan setidaknya satu minimum pada interval. Tapi kita tidak tahu berapa kali, di mana dan kapan jadwal akan "berputar". Omong-omong, suatu fungsi dapat memiliki banyak tak terhingga ekstrim.

4) Naik, turun, dan ekstrem dari fungsi.

Mari kita temukan poin-poin kritisnya:

Persamaan ini memiliki dua akar real. Mari kita letakkan mereka pada garis bilangan dan tentukan tanda-tanda turunannya:


Oleh karena itu, fungsinya bertambah sebesar dan berkurang sebesar .
Pada titik fungsi mencapai maksimum: .
Pada titik fungsi mencapai minimum: .

Fakta yang ada mendorong template kita menjadi kerangka yang agak kaku:

Tak perlu dikatakan, kalkulus diferensial adalah hal yang kuat. Mari kita akhirnya berurusan dengan bentuk grafik:

5) Titik cembung, cekung, dan belok.

Temukan titik kritis dari turunan kedua:

Mari kita definisikan tanda-tanda:


Grafik fungsi cembung dan cekung di . Mari kita hitung ordinat titik belok: .

Hampir semuanya terhapus.

6) Tetap menemukan poin tambahan yang akan membantu membangun grafik dan melakukan tes mandiri dengan lebih akurat. Dalam hal ini, jumlahnya sedikit, tetapi kami tidak akan mengabaikan:

Mari kita jalankan gambarnya:

Titik belok ditandai dengan warna hijau, titik tambahan ditandai dengan salib. Grafik fungsi kubik simetris terhadap titik beloknya, yang selalu terletak tepat di tengah antara maksimum dan minimum.

Selama tugas, saya memberikan tiga gambar perantara hipotetis. Dalam praktiknya, cukup menggambar sistem koordinat, menandai titik-titik yang ditemukan, dan setelah setiap titik studi, secara mental mencari tahu seperti apa grafik fungsi tersebut. Tidak akan sulit bagi siswa dengan tingkat persiapan yang baik untuk melakukan analisis semacam itu hanya dalam pikiran mereka tanpa melibatkan konsep.

Untuk solusi mandiri:

Contoh 2

Jelajahi fungsi dan buat grafiknya.

Semuanya lebih cepat dan lebih menyenangkan di sini, contoh perkiraan penyelesaian di akhir pelajaran.

Banyak rahasia terungkap oleh studi fungsi rasional fraksional:

Contoh 3

Dengan menggunakan metode kalkulus diferensial, selidiki fungsinya dan, berdasarkan hasil penelitian, buat grafiknya.

Larutan: tahap pertama penelitian tidak berbeda dalam hal yang luar biasa, kecuali lubang di area definisi:

1) Fungsi didefinisikan dan kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali titik , domain: .

, jadi fungsi ini bukan genap maupun ganjil.

Jelas, fungsinya tidak periodik.

Grafik fungsi terdiri dari dua cabang kontinu yang terletak di setengah bidang kiri dan kanan - ini mungkin kesimpulan terpenting dari paragraf ke-1.

2) Asimtot, perilaku suatu fungsi di tak hingga.

a) Dengan bantuan batas satu sisi, kami mempelajari perilaku fungsi di dekat titik yang mencurigakan, di mana asimtot vertikal harus jelas:

Memang, fungsinya bertahan celah tak berujung pada intinya
dan garis lurus (sumbu) adalah asimtot vertikal seni grafis.

b) Periksa apakah ada asimtot miring:

Ya, garisnya adalah asimtot miring grafik jika .

Tidak masuk akal untuk menganalisis batas, karena sudah jelas bahwa fungsi dalam pelukan dengan asimtot miringnya tidak terbatas dari atas dan tidak terbatas dari bawah.

Poin kedua dari penelitian ini membawa banyak informasi penting tentang fungsi tersebut. Mari kita buat sketsa kasar:

Kesimpulan No. 1 menyangkut interval keteguhan tanda. Pada "minus infinity" grafik fungsi secara unik terletak di bawah sumbu x, dan pada "plus infinity" di atas sumbu ini. Selain itu, batas satu sisi memberi tahu kita bahwa baik ke kiri dan ke kanan titik, fungsinya juga lebih besar dari nol. Harap dicatat bahwa di setengah bidang kiri, grafik harus melintasi sumbu x setidaknya sekali. Di setengah bidang kanan, mungkin tidak ada nol dari fungsi tersebut.

Kesimpulan No. 2 adalah bahwa fungsi meningkat pada dan ke kiri titik (bergerak "dari bawah ke atas"). Di sebelah kanan titik ini, fungsinya berkurang (berjalan "dari atas ke bawah"). Cabang kanan grafik pasti harus memiliki setidaknya satu minimum. Di sebelah kiri, ekstrem tidak dijamin.

Kesimpulan No. 3 memberikan informasi yang dapat dipercaya tentang kecekungan grafik di sekitar titik. Kami belum dapat mengatakan apa pun tentang kecembungan/cekung di tak hingga, karena garis dapat ditekan terhadap asimtotnya baik dari atas maupun dari bawah. Secara umum, ada cara analitis untuk mencari tahu ini sekarang, tetapi bentuk grafik "tidak ada apa-apa" akan menjadi lebih jelas di tahap selanjutnya.

Mengapa begitu banyak kata? Untuk mengontrol poin penelitian selanjutnya dan menghindari kesalahan! Perhitungan lebih lanjut tidak boleh bertentangan dengan kesimpulan yang ditarik.

3) Titik potong grafik dengan sumbu koordinat, interval tanda konstan fungsi.

Grafik fungsi tidak memotong sumbu.

Dengan menggunakan metode interval, kami menentukan tanda-tanda:

, jika ;
, jika .

Hasil paragraf sepenuhnya konsisten dengan Kesimpulan No. 1. Setelah setiap langkah, lihat draf, rujuk secara mental ke studi, dan selesaikan menggambar grafik fungsi.

Dalam contoh ini, pembilang dibagi suku demi suku dengan penyebut, yang sangat bermanfaat untuk diferensiasi:

Sebenarnya, ini sudah dilakukan ketika menemukan asimtot.

- titik penting.

Mari kita definisikan tanda-tanda:

meningkat sebesar dan berkurang menjadi

Pada titik fungsi mencapai minimum: .

Juga tidak ada perbedaan dengan Kesimpulan No. 2, dan, kemungkinan besar, kami berada di jalur yang benar.

Ini berarti bahwa grafik fungsi cekung di seluruh domain definisi.

Luar biasa - dan Anda tidak perlu menggambar apa pun.

Tidak ada titik belok.

Kecekungan tersebut sesuai dengan Kesimpulan No. 3, selain itu menunjukkan bahwa pada tak hingga (baik di sana maupun di sana) grafik fungsi terletak di atas asimtotnya yang miring.

6) Kami akan dengan hati-hati menyematkan tugas dengan poin tambahan. Di sini kita harus bekerja keras, karena kita hanya tahu dua poin dari penelitian.

Dan gambar yang, mungkin, sudah lama disajikan oleh banyak orang:

Selama penugasan, perhatian harus diberikan untuk memastikan bahwa tidak ada kontradiksi antara tahap-tahap penelitian, tetapi kadang-kadang situasinya mendesak atau bahkan sangat buntu. Di sini analitik "tidak menyatu" - dan hanya itu. Dalam hal ini, saya merekomendasikan teknik darurat: kami menemukan sebanyak mungkin titik milik grafik (berapa banyak kesabaran yang cukup), dan menandainya pada bidang koordinat. Analisis grafis dari nilai-nilai yang ditemukan dalam banyak kasus akan memberi tahu Anda di mana kebenaran dan di mana kebohongan. Selain itu, grafik dapat dibuat sebelumnya menggunakan beberapa program, misalnya, di Excel yang sama (jelas bahwa ini membutuhkan keterampilan).

Contoh 4

Dengan menggunakan metode kalkulus diferensial, selidiki fungsi dan bangun grafiknya.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Di dalamnya, pengendalian diri ditingkatkan dengan kemerataan fungsi - grafiknya simetris terhadap sumbu, dan jika ada sesuatu dalam penelitian Anda yang bertentangan dengan fakta ini, carilah kesalahannya.

Fungsi genap atau ganjil hanya dapat diselidiki untuk , dan kemudian simetri grafik dapat digunakan. Solusi ini optimal, tetapi terlihat, menurut saya, sangat tidak biasa. Secara pribadi, saya mempertimbangkan seluruh sumbu numerik, tetapi saya masih menemukan poin tambahan hanya di sebelah kanan:

Contoh 5

Lakukan studi lengkap tentang fungsi dan plot grafiknya.

Larutan: bergegas keras:

1) Fungsi didefinisikan dan kontinu pada seluruh garis nyata: .

Ini berarti bahwa fungsi ini ganjil, grafiknya simetris terhadap titik asal.

Jelas, fungsinya tidak periodik.

2) Asimtot, perilaku suatu fungsi di tak hingga.

Karena fungsi kontinu pada , tidak ada asimtot vertikal

Untuk fungsi yang mengandung eksponen, biasanya memisahkan studi tentang "plus" dan "minus infinity", namun, hidup kita difasilitasi hanya oleh simetri grafik - baik ada asimtot di kiri dan di kanan, atau tidak. Oleh karena itu, kedua batas tak hingga dapat diatur dalam satu entri. Dalam penyelesaiannya, kami menggunakan Aturan L'Hopital:

Garis lurus (sumbu) adalah asimtot horizontal dari grafik di .

Perhatikan bagaimana saya dengan cerdik menghindari algoritme lengkap untuk menemukan asimtot miring: batasnya cukup legal dan mengklarifikasi perilaku fungsi pada tak terhingga, dan asimtot horizontal ditemukan "seolah-olah pada waktu yang sama."

Dari kontinuitas dan keberadaan asimtot horizontal maka fungsi terbatas dari atas dan terbatas dari bawah.

3) Titik perpotongan grafik dengan sumbu koordinat, interval keteguhan.

Di sini kami juga mempersingkat solusinya:
Grafik melewati titik asal.

Tidak ada titik potong lain dengan sumbu koordinat. Selain itu, interval kekonstanan jelas, dan sumbu tidak dapat ditarik: , yang berarti bahwa tanda fungsi hanya bergantung pada "x":
, jika ;
, jika .

4) Peningkatan, penurunan, ekstrem dari fungsi.


adalah titik kritis.

Titik-titiknya simetris tentang nol, sebagaimana mestinya.

Mari kita tentukan tanda-tanda turunannya:


Fungsi meningkat pada interval dan menurun pada interval

Pada titik fungsi mencapai maksimum: .

Karena properti (keanehan fungsi) minimum dapat dihilangkan:

Karena fungsi menurun pada interval , maka, jelas, grafik terletak di "minus tak terhingga" dibawah dengan asimtotnya. Pada interval, fungsinya juga berkurang, tetapi di sini kebalikannya benar - setelah melewati titik maksimum, garis mendekati sumbu dari atas.

Hal ini juga mengikuti dari atas bahwa grafik fungsi cembung di "minus tak terhingga" dan cekung di "plus tak terhingga".

Setelah titik studi ini, luas nilai fungsi juga ditarik:

Jika Anda memiliki kesalahpahaman tentang poin apa pun, saya sekali lagi mendorong Anda untuk menggambar sumbu koordinat di buku catatan Anda dan, dengan pensil di tangan Anda, analisis ulang setiap kesimpulan tugas.

5) Kecembungan, kecekungan, infleksi grafik.

adalah titik kritis.

Simetri poin dipertahankan, dan, kemungkinan besar, kami tidak salah.

Mari kita definisikan tanda-tanda:


Grafik fungsi cembung pada dan cekung pada .

Cembung / cekung pada interval ekstrim dikonfirmasi.

Pada semua titik kritis terdapat infleksi pada grafik. Mari kita cari ordinat titik belok, sambil sekali lagi mengurangi jumlah perhitungan, menggunakan keanehan fungsi:

Reshebnik Kuznetsov.
III Grafik

Tugas 7. Melakukan studi lengkap fungsi dan membangun grafiknya.

        Sebelum Anda mulai mengunduh opsi, coba selesaikan masalah sesuai dengan contoh di bawah untuk opsi 3. Beberapa opsi diarsipkan dalam format .rar

        7.3 Lakukan studi lengkap tentang fungsi dan plotnya

Larutan.

        1) Cakupan:         atau         yaitu        .
.
Jadi:         .

        2) Tidak ada titik potong dengan sumbu Ox. Memang, persamaan         tidak memiliki solusi.
Tidak ada titik potong dengan sumbu Oy karena        .

        3) Fungsinya bukan genap maupun ganjil. Tidak ada simetri terhadap sumbu y. Tidak ada simetri tentang asal juga. Karena
.
Kami melihat bahwa         dan        .

        4) Fungsi ini kontinu dalam domain
.

; .

; .
Oleh karena itu, titik         merupakan titik diskontinuitas jenis kedua (diskontinuitas tak berhingga).

5) asimtot vertikal:       

Temukan asimtot miring        . Di Sini

;
.
Oleh karena itu, kami memiliki asimtot horizontal: y=0. Tidak ada asimtot miring.

        6) Temukan turunan pertama. Turunan pertama:
.
Dan itulah kenapa
.
Mari kita cari titik stasioner di mana turunannya sama dengan nol, yaitu
.

        7) Temukan turunan kedua. Turunan kedua:
.
Dan ini mudah untuk diverifikasi, karena