Untuk menyederhanakan pembagian bilangan asli, aturan untuk membagi dengan angka sepuluh pertama dan angka 11, 25 diturunkan, yang digabungkan menjadi satu bagian. tanda-tanda pembagian bilangan asli. Di bawah ini adalah aturan bagaimana analisis suatu bilangan tanpa membaginya dengan bilangan asli lain akan menjawab pertanyaan, apakah bilangan asli kelipatan dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 dan sedikit satuan?
Bilangan asli yang memiliki angka (berakhiran) 2,4,6,8,0 pada angka pertama disebut genap.
Tanda pembagian bilangan dengan 2
Semua bilangan asli genap habis dibagi 2, contoh: 172, 94,67 838, 1670.
Tanda pembagian bilangan dengan 3
Semua bilangan asli habis dibagi 3, jumlah angka-angkanya merupakan kelipatan 3. Contoh:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Tanda pembagian bilangan dengan 4
Semua bilangan asli habis dibagi 4, dua digit terakhirnya adalah nol atau kelipatan 4. Contoh:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Tanda pembagian bilangan dengan 5
Tanda pembagian bilangan dengan 6
Bilangan asli yang habis dibagi 2 dan 3 sekaligus habis dibagi 6 (semua bilangan genap yang habis dibagi 3). Misalnya: 126 (b - genap, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Tanda pembagian bilangan dengan 9
Bilangan asli itu habis dibagi 9, jumlah angka-angkanya merupakan kelipatan 9. Contoh:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Tanda pembagian bilangan dengan 10
Tanda pembagian bilangan dengan 11
Hanya bilangan asli yang habis dibagi 11, yaitu jumlah angka-angka yang menempati tempat genap sama dengan jumlah angka-angka yang menempati tempat-tempat ganjil, atau selisih antara jumlah angka-angka tempat ganjil dan jumlah angka-angka tempat genap adalah kelipatan 11. Contoh:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 dan 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 dan 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Tanda pembagian bilangan dengan 25
Bilangan asli itu habis dibagi 25, dua angka terakhirnya adalah nol atau kelipatan 25. Contoh:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Tanda pembagian bilangan dengan satuan bit
Bilangan asli tersebut dibagi menjadi satuan bit, di mana jumlah nol lebih besar dari atau sama dengan jumlah nol dari satuan bit. Contoh: 12.000 habis dibagi 10, 100, dan 1000.
Serangkaian artikel tentang tanda-tanda perpecahan terus berlanjut tanda habis dibagi 3. Artikel ini pertama-tama memberikan rumusan kriteria untuk habis dibagi 3, dan memberikan contoh penerapan kriteria ini dalam mencari tahu bilangan bulat mana yang habis dibagi 3 dan mana yang tidak. Selanjutnya, bukti uji keterbagian dengan 3 diberikan. Pendekatan untuk menetapkan pembagian dengan 3 angka yang diberikan sebagai nilai dari beberapa ekspresi juga dipertimbangkan.
Navigasi halaman.
Tanda habis dibagi 3, contoh
Mari kita mulai dengan formulasi tes untuk dapat dibagi oleh 3: suatu bilangan bulat habis dibagi 3 jika jumlah angka - angkanya habis dibagi 3 , jika jumlah angka - angkanya tidak habis dibagi 3 , maka bilangan itu sendiri tidak habis dibagi 3 .
Dari rumusan di atas jelas bahwa tanda habis dibagi 3 tidak dapat digunakan tanpa kemampuan untuk melakukan penjumlahan bilangan asli. Juga, untuk keberhasilan penerapan tanda habis dibagi 3, Anda perlu tahu bahwa dari semua bilangan asli satu digit, angka 3, 6 dan 9 habis dibagi 3, dan angka 1, 2, 4, 5, 7 dan 8 tidak habis dibagi 3.
Sekarang kita dapat mempertimbangkan yang paling sederhana contoh penerapan tes untuk pembagian oleh 3. Mari kita cari tahu apakah bilangan tersebut habis dibagi 3?42. Untuk melakukan ini, kami menghitung jumlah digit angka? 42, itu sama dengan 4+2=6. Karena 6 habis dibagi 3, maka berdasarkan tanda habis dibagi 3, dapat dikatakan bahwa bilangan? 42 juga habis dibagi 3. Tetapi bilangan bulat positif 71 tidak habis dibagi 3, karena jumlah angka-angkanya adalah 7+1=8, dan 8 tidak habis dibagi 3.
Apakah 0 habis dibagi 3? Untuk menjawab pertanyaan ini, kriteria untuk dapat dibagi dengan 3 tidak diperlukan, di sini kita perlu mengingat properti yang sesuai untuk dapat dibagi, yang menyatakan bahwa nol dapat dibagi oleh bilangan bulat apa pun. Jadi 0 habis dibagi 3 .
Dalam beberapa kasus, untuk menunjukkan bahwa suatu bilangan memiliki atau tidak memiliki kemampuan untuk habis dibagi 3, pengujian untuk dapat dibagi 3 harus diterapkan beberapa kali berturut-turut. Mari kita ambil contoh.
Tunjukkan bahwa bilangan 907444812 habis dibagi 3.
Jumlah angka dari 907444812 adalah 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Untuk mengetahui apakah 39 habis dibagi 3 , kita hitung jumlah digitnya: 3+9=12 . Dan untuk mengetahui apakah 12 habis dibagi 3, kita cari jumlah angka 12, kita punya 1+2=3. Karena kita mendapatkan bilangan 3 yang habis dibagi 3, maka karena tanda habis dibagi 3, bilangan 12 habis dibagi 3. Jadi, 39 habis dibagi 3, karena jumlah angka-angkanya adalah 12, dan 12 habis dibagi 3. Akhirnya, 907333812 habis dibagi 3 karena jumlah angka-angkanya adalah 39 dan 39 habis dibagi 3.
Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi dari contoh lain.
Apakah bilangan tersebut habis dibagi 3?543 205?
Mari kita hitung jumlah digit angka ini: 5+4+3+2+0+5=19 . Selanjutnya, jumlah digit angka 19 adalah 1+9=10 , dan jumlah digit angka 10 adalah 1+0=1 . Karena kita mendapatkan bilangan 1 yang tidak habis dibagi 3, maka dari kriteria habis dibagi 3, maka 10 tidak habis dibagi 3. Jadi, 19 tidak habis dibagi 3, karena jumlah angka-angkanya adalah 10, dan 10 tidak habis dibagi 3. Jadi, bilangan asli?543205 tidak habis dibagi 3, karena jumlah angka-angkanya, sama dengan 19, tidak habis dibagi 3.
Perlu dicatat bahwa pembagian langsung dari angka tertentu dengan 3 juga memungkinkan kita untuk menyimpulkan apakah angka yang diberikan habis dibagi 3 atau tidak. Dengan ini kami ingin mengatakan bahwa pembagian tidak boleh diabaikan demi tanda pembagian dengan 3. Dalam contoh terakhir, membagi 543 205 dengan 3 dengan kolom, kita akan memastikan bahwa 543 205 tidak habis dibagi 3, dari mana kita dapat mengatakan bahwa 543 205 juga tidak habis dibagi 3.
Bukti tes untuk dapat dibagi oleh 3
Representasi bilangan a berikut akan membantu kita membuktikan tanda habis dibagi 3. Kita dapat menguraikan bilangan asli apa pun menjadi angka, setelah itu aturan perkalian dengan 10, 100, 1000 dan seterusnya memungkinkan kita untuk mendapatkan representasi dari bentuk a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , dimana a n , a n?1 , …, a 0 adalah angka dari kiri ke kanan pada bilangan a . Untuk kejelasan, kami memberikan contoh representasi seperti itu: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
Sekarang mari kita tulis sejumlah persamaan yang cukup jelas: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 dan seterusnya.
Substitusi ke persamaan a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 bukannya 10 , 100 , 1 000 dan seterusnya ekspresi 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 dan seterusnya, kita peroleh
.
Sifat-sifat penjumlahan bilangan asli dan sifat-sifat perkalian bilangan asli memungkinkan persamaan yang dihasilkan untuk ditulis ulang sebagai berikut:
Ekspresi 
adalah jumlah dari angka-angka dari a. Mari kita tentukan untuk singkatnya dan kenyamanan dengan huruf A, yaitu, kami menerima . Kemudian kita mendapatkan representasi dari bilangan a dari bentuk tersebut, yang akan kita gunakan dalam membuktikan uji pembagian dengan 3.
Selain itu, untuk membuktikan uji keterbagian dengan 3, kita memerlukan sifat-sifat pembagian berikut:
- agar bilangan bulat a habis dibagi oleh bilangan bulat b, modulus a dapat dibagi dengan modulus b;
- jika dalam persamaan a=s+t semua suku, kecuali satu suku, habis dibagi beberapa bilangan bulat b, maka suku yang satu ini juga habis dibagi b.
Sekarang kami sepenuhnya siap dan dapat melaksanakan bukti habis dibagi 3, untuk kenyamanan, kami merumuskan fitur ini sebagai kondisi perlu dan cukup untuk dapat dibagi 3 .
Agar bilangan bulat a habis dibagi 3, perlu dan cukup bahwa jumlah digit-digitnya habis dibagi 3.
Untuk a=0 teoremanya jelas.
Jika a berbeda dari nol, maka modulus a adalah bilangan asli, maka representasi dimungkinkan, di mana adalah jumlah digit dari a.
Karena jumlah dan produk bilangan bulat adalah bilangan bulat, maka adalah bilangan bulat, maka menurut definisi dapat dibagi, produk habis dibagi 3 untuk setiap a 0 , a 1 , …, a n .
Jika jumlah digit angka a habis dibagi 3, yaitu A habis dibagi 3, maka, karena sifat habis dibagi yang ditunjukkan sebelum teorema, itu habis dibagi 3, oleh karena itu, a habis dibagi 3. Ini membuktikan kecukupan.
Jika a habis dibagi 3, maka a juga habis dibagi 3, maka karena sifat habis dibagi yang sama, bilangan A habis dibagi 3, yaitu jumlah digit-digit bilangan a habis dibagi 3. Ini membuktikan perlunya.
Kasus lain dari pembagian oleh 3
Terkadang bilangan bulat ditentukan tidak secara eksplisit, tetapi sebagai nilai dari beberapa ekspresi dengan variabel untuk nilai variabel yang diberikan. Misalnya, nilai ekspresi untuk beberapa n alami adalah bilangan asli. Jelas bahwa dengan spesifikasi angka seperti itu, pembagian langsung dengan 3 tidak akan membantu untuk menetapkan pembagiannya dengan 3, dan tanda pembagian dengan 3 tidak akan selalu dapat diterapkan. Sekarang kita akan mempertimbangkan beberapa pendekatan untuk memecahkan masalah seperti itu.
Inti dari pendekatan ini adalah untuk mewakili ekspresi asli sebagai produk dari beberapa faktor, dan jika setidaknya salah satu faktor habis dibagi 3, maka, karena sifat dapat dibagi yang sesuai, akan mungkin untuk menyimpulkan bahwa seluruh produk habis dibagi 3.
Terkadang pendekatan ini dapat diimplementasikan dengan menggunakan binomial Newton. Mari kita pertimbangkan sebuah contoh solusi.
Apakah nilai ekspresi habis dibagi 3 untuk setiap n natural?
Kesetaraan itu jelas. Mari kita gunakan rumus binomial Newton: 
Dalam ekspresi terakhir, kita dapat mengambil 3 dari tanda kurung, dan kita dapatkan. Produk yang dihasilkan habis dibagi 3, karena mengandung faktor 3, dan nilai ekspresi dalam tanda kurung untuk n alami adalah bilangan asli. Oleh karena itu, habis dibagi 3 untuk setiap n alami.
Dalam banyak kasus, pembagian dengan 3 dapat dibuktikan dengan metode induksi matematika. Mari kita menganalisis penerapannya dalam memecahkan sebuah contoh.
Buktikan bahwa untuk sembarang n nilai ekspresi habis dibagi 3 .
Untuk pembuktiannya, kami menggunakan metode induksi matematika.
Untuk n=1, nilai ekspresinya adalah , dan 6 habis dibagi 3 .
Misalkan nilai ekspresi habis dibagi 3 ketika n=k , yaitu habis dibagi 3 .
Dengan mempertimbangkan bahwa itu habis dibagi 3 , kami akan menunjukkan bahwa nilai ekspresi untuk n=k+1 habis dibagi 3 , yaitu, kami akan menunjukkan bahwa 
habis dibagi 3.
Mari kita membuat beberapa transformasi: 
Ekspresi dibagi 3 dan ekspresi 
habis dibagi 3, jadi jumlahnya habis dibagi 3.
Jadi metode induksi matematika terbukti habis dibagi 3 untuk setiap n alami.
Mari kita tunjukkan satu pendekatan lagi untuk bukti pembagian dengan 3 . Jika kita tunjukkan bahwa untuk n=3 m , n=3 m+1 dan n=3 m+2 , di mana m adalah bilangan bulat arbitrer, nilai suatu ekspresi (dengan variabel n) habis dibagi 3 , maka ini akan membuktikan pembagian ekspresi dengan 3 untuk sembarang bilangan bulat n . Pertimbangkan pendekatan ini ketika memecahkan contoh sebelumnya.
Tunjukkan apa yang habis dibagi 3 untuk setiap n alami .
Untuk n = 3 m kita miliki. Produk yang dihasilkan habis dibagi 3 karena mengandung faktor 3 yang habis dibagi 3 .
Produk yang dihasilkan juga habis dibagi 3.
Dan hasil kali ini habis dibagi 3.
Oleh karena itu, habis dibagi 3 untuk setiap n alami.
Sebagai kesimpulan, kami menyajikan solusi dari satu contoh lagi.
Apakah nilai ekspresi habis dibagi 3 
untuk beberapa n alami.
Untuk n=1 kita punya. Jumlah digit angka yang dihasilkan adalah 3, jadi tanda habis dibagi 3 memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa angka ini habis dibagi 3.
Untuk n=2 kita punya. Jumlah angka dan angka ini adalah 3 , jadi habis dibagi 3 .
Jelas bahwa untuk n alami lainnya kita akan memiliki bilangan yang jumlah digitnya adalah 3, oleh karena itu, bilangan-bilangan ini habis dibagi 3.
Lewat sini, untuk setiap n alami habis dibagi 3.
www.cleversstudents.ru
Matematika, kelas 6, buku teks untuk siswa organisasi pendidikan, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014
Matematika, kelas 6, buku teks untuk siswa organisasi pendidikan, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
Materi teori dalam buku teks disajikan sedemikian rupa sehingga guru dapat menerapkan pendekatan berbasis masalah dalam mengajar. Dengan bantuan sistem notasi, latihan empat tingkat kompleksitas dibedakan. Dalam setiap paragraf, tugas kontrol dirumuskan berdasarkan apa yang perlu diketahui dan dapat dicapai siswa untuk mencapai tingkat standar pendidikan matematika. Ada tes rumah dan jawaban di akhir buku teks. Ilustrasi warna (gambar dan diagram) memberikan tingkat kejelasan materi pendidikan yang tinggi.
Mematuhi persyaratan GEF LLC.
Tugas.
4. Gambarlah sebuah segitiga ABC dan tandai sebuah titik O di luarnya (seperti pada Gambar 11). Buatlah bangun datar yang simetris dengan segitiga ABC terhadap titik O.
5. Gambarlah segitiga KMN dan buat bangun yang simetris dengan segitiga ini dengan memperhatikan:
a) simpulnya - titik M;
b) titik O - titik tengah sisi MN.
6. Bangun bangun yang simetris:
a) sinar OM relatif terhadap titik O; tuliskan titik mana yang simetris dengan titik O;
b) sinar OM terhadap titik sembarang A yang bukan milik sinar ini;
c) garis lurus AB terhadap titik O, bukan milik garis ini;
d) garis AB terhadap titik O milik garis ini; tuliskan titik mana yang simetris dengan titik O.
Dalam setiap kasus, gambarkan posisi relatif dari angka-angka yang simetris terpusat.
Daftar Isi
Bab I. Bilangan positif dan negatif. Koordinat
1. Rotasi dan simetri pusat
2. Bilangan positif dan negatif. Garis koordinat
3. Modulus bilangan. Angka berlawanan
4. Perbandingan angka
5. Paralelisme garis
6. Ekspresi numerik yang mengandung tanda "+", "-"
7. Jumlah aljabar dan sifat-sifatnya
8. Aturan untuk menghitung nilai jumlah aljabar dua angka
9. Jarak antar titik pada garis koordinat
10. Simetri aksial
11. Kesenjangan angka
12. Perkalian dan pembagian bilangan positif dan negatif
13. Koordinat
14. Bidang koordinat
15. Perkalian dan pembagian pecahan biasa
16. Aturan perkalian untuk masalah kombinatorial
Bab II. Mengonversi ekspresi literal
17. Ekspansi braket
18. Penyederhanaan ekspresi
19. Solusi persamaan
20. Memecahkan masalah untuk menyusun persamaan
21. Dua masalah utama pada pecahan
22. Lingkaran. Lingkar
23. Lingkaran. Luas lingkaran
24. Bola. Bola
Bab III. Pembagian bilangan asli
25. Pembagi dan kelipatan
26. Pembagian pekerjaan
27. Pembagian jumlah dan selisih angka
28. Tanda-tanda habis dibagi 2, 5, 10, 4 dan 25
29. Tanda-tanda habis dibagi 3 dan 9
30. Bilangan prima. Menguraikan bilangan menjadi faktor prima
31. Pembagi Persekutuan Terbesar
32. Bilangan koprima. Tanda dapat dibagi oleh suatu produk. Kelipatan persekutuan terkecil
Bab IV. Matematika di sekitar kita
33. Perbandingan dua bilangan
34. Diagram
35. Proporsionalitas kuantitas
36. Memecahkan masalah menggunakan proporsi
37. Tugas lain-lain
38. Kenalan pertama dengan konsep "probabilitas"
39. Kenalan pertama dengan perhitungan probabilitas
Tes rumah
Topik untuk kegiatan proyek
jawaban
Unduh e-book gratis dalam format yang nyaman dan baca:
Matematika
MATERI REFERENSI MATEMATIKA KELAS 1-6.
Yang terhormat orang tua! Jika Anda sedang mencari guru les matematika untuk anak Anda, maka iklan ini cocok untuk Anda. Saya menawarkan les Skype: persiapan untuk OGE, Unified State Examination, penghapusan kesenjangan dalam pengetahuan. Manfaat Anda jelas:
1) Anak Anda ada di rumah, dan Anda bisa tenang untuknya;
2) Kelas diadakan pada waktu yang nyaman bagi anak, dan Anda bahkan dapat menghadiri kelas-kelas ini. Saya menjelaskan dengan sederhana dan jelas di papan sekolah biasa.
3) Anda dapat memikirkan sendiri keuntungan penting lainnya dari kelas Skype!
Tulis kepada saya di: atau segera tambahkan saya di Skype, dan kami akan menyetujui semuanya. Harga terjangkau.
P.S. Pelajaran tersedia dalam kelompok yang terdiri dari 2-4 siswa.
Hormat kami, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko adalah penulis situs ini.
Teman-teman!
Saya senang menawarkan Anda untuk mengunduh materi referensi matematika gratis untuk kelas 5. Unduh disini!
Teman-teman!
Bukan rahasia lagi bahwa beberapa anak mengalami kesulitan perkalian dan pembagian panjang. Paling sering ini disebabkan oleh kurangnya pengetahuan tentang tabel perkalian. Saya mengusulkan untuk mempelajari tabel perkalian dengan bantuan loto. Lihat selengkapnya di sini. Unduh lotre di sini.
Teman-teman! Segera Anda akan menghadapi (atau sudah menghadapi) kebutuhan untuk memutuskan tugas minat. Masalah seperti itu mulai diselesaikan di kelas 5 dan selesai. tetapi mereka tidak menyelesaikan pemecahan masalah untuk persentase! Tugas-tugas ini ditemukan baik dalam kontrol dan ujian: keduanya dapat dipindahtangankan, dan OGE dan Unified State Examination. Apa yang harus dilakukan? Kita perlu belajar bagaimana memecahkan masalah ini. Buku saya Bagaimana Memecahkan Masalah dengan Persentase akan membantu Anda dalam hal ini. Detail di sini!
Penambahan angka.
- a+b=c, di mana a dan b adalah suku, c adalah jumlah.
- Untuk menemukan suku yang tidak diketahui, kurangi suku yang diketahui dari jumlah.
Pengurangan angka.
- a-b=c, di mana a adalah minuend, b adalah subtrahend, c adalah selisihnya.
- Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan pada selisihnya.
- Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangi selisihnya dengan minuend.
Perkalian angka.
- a b = c, di mana a dan b adalah faktor, c adalah produk.
- Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan faktor yang diketahui.
Pembagian angka.
- a:b=c, di mana a adalah dividen, b adalah pembagi, c adalah hasil bagi.
- Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan pembagi dengan hasil bagi.
- Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, Anda perlu membagi dividen dengan hasil bagi.
Hukum penjumlahan.
- a+b=b+a(perpindahan: jumlah tidak berubah dari penataan ulang istilah).
- (a+b)+c=a+(b+c)(asosiatif: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua suku, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama).
Tabel tambahan.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Hukum perkalian.
- a b = b a(perpindahan: permutasi faktor tidak mengubah produk).
- (a b) c = a (b c)(kombinatif: untuk mengalikan produk dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan angka pertama dengan produk kedua dan ketiga).
- (a+b) c=a c+b c(hukum distributif perkalian sehubungan dengan penambahan: untuk mengalikan jumlah dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan setiap istilah dengan angka ini dan menambahkan hasilnya).
- (a-b) c=a c-b c(hukum distributif perkalian sehubungan dengan pengurangan: untuk mengalikan selisih dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan dengan angka ini dikurangi dan dikurangi secara terpisah dan mengurangi yang kedua dari hasil pertama).
tabel perkalian.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
Pembagi dan kelipatan.
- pembagi bilangan asli sebuah sebutkan bilangan asli yang digunakan sebuah dibagi tanpa sisa. (Bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 adalah pembagi dari bilangan 24, karena 24 habis dibagi oleh masing-masingnya tanpa sisa) 1-pembagi bilangan asli apa pun. Pembagi terbesar dari bilangan apa pun adalah bilangan itu sendiri.
- beberapa bilangan asli b adalah bilangan asli yang habis dibagi tanpa sisa oleh b. (Bilangan 24, 48, 72, ... adalah kelipatan dari 24, karena habis dibagi 24 tanpa sisa). Kelipatan terkecil dari suatu bilangan adalah bilangan itu sendiri.
Tanda-tanda pembagian bilangan asli.
- Bilangan yang digunakan untuk menghitung benda (1, 2, 3, 4, ...) disebut bilangan asli. Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf N.
- angka 0, 2, 4, 6, 8 ditelepon bahkan angka. Bilangan yang berakhiran angka genap disebut bilangan genap.
- angka 1, 3, 5, 7, 9 ditelepon aneh angka. Bilangan yang berakhiran angka ganjil disebut bilangan ganjil.
- Tanda dapat dibagi dengan nomor 2. Semua bilangan asli yang berakhiran angka genap habis dibagi 2.
- Tanda habis dibagi dengan angka 5. Semua bilangan asli yang berakhiran 0 atau 5 habis dibagi 5.
- Tanda dapat dibagi dengan angka 10. Semua bilangan asli yang berakhiran 0 habis dibagi 10.
- Tanda dapat dibagi dengan nomor 3. Jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 3.
- Tanda dapat dibagi dengan angka 9. Jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 9.
- Tanda dapat dibagi dengan nomor 4. Jika bilangan yang terdiri dari dua angka terakhir suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan tersebut habis dibagi 4.
- Tanda dapat dibagi dengan angka 11. Jika selisih jumlah angka-angka di tempat ganjil dan jumlah angka-angka di tempat genap habis dibagi 11, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 11.
- Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua pembagi: satu dan bilangan itu sendiri.
- Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki lebih dari dua pembagi.
- Bilangan 1 bukanlah bilangan prima maupun bilangan komposit.
- Menuliskan bilangan komposit sebagai produk dari bilangan prima saja disebut memfaktorkan bilangan komposit menjadi faktor prima. Setiap bilangan komposit dapat secara unik direpresentasikan sebagai produk dari faktor prima.
- Pembagi persekutuan terbesar dari bilangan asli yang diberikan adalah bilangan asli terbesar dimana masing-masing bilangan ini habis dibagi.
- Pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan ini sama dengan hasil kali faktor-faktor prima persekutuan dalam perluasan bilangan-bilangan ini. Contoh. KPK(24, 42)=2 3=6, karena 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, faktor prima persekutuannya adalah 2 dan 3.
- Jika bilangan asli hanya memiliki satu pembagi yang sama - satu, maka bilangan ini disebut koprima.
- Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan asli yang diberikan adalah bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan dari setiap bilangan yang diberikan. Contoh. KPK(24, 42)=168. Ini adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 24 dan 42.
- Untuk menemukan KPK dari beberapa bilangan asli yang diberikan, perlu: 1) untuk menguraikan setiap bilangan yang diberikan menjadi faktor prima; 2) tuliskan pemuaian bilangan terbesar dan kalikan dengan faktor-faktor yang hilang dari pemuaian bilangan lain.
- Kelipatan terkecil dari dua bilangan koprima sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.
b- penyebut pecahan, menunjukkan berapa banyak bagian yang sama dibagi;
sebuah-pembilang pecahan, menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil. Bilah pecahan berarti tanda pembagian.
Terkadang, alih-alih garis fraksional horizontal, mereka memberi garis miring, dan pecahan biasa ditulis seperti ini: a/b.
- Pada pecahan biasa pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya.
- Pada fraksi yang tidak tepat pembilangnya lebih besar dari penyebutnya atau sama dengan penyebutnya.
Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka akan diperoleh pecahan yang sama dengannya.
Membagi pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan pembagi persekutuannya selain satu disebut pengurangan pecahan.
- Bilangan yang terdiri dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan disebut bilangan campuran.
- Untuk menyatakan pecahan biasa sebagai bilangan campuran, pembilang pecahan harus dibagi dengan penyebutnya, kemudian hasil bagi yang tidak lengkap akan menjadi bagian bilangan bulat dari bilangan campuran, sisanya akan menjadi pembilang bagian pecahan , dan penyebutnya akan tetap sama.
- Untuk menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dari bilangan campuran dengan penyebut, menambahkan pembilang bagian pecahan ke hasil dan menuliskannya dalam pembilang dari pecahan biasa, dan meninggalkan penyebut sama.
- sinar Oh dengan asal pada titik HAI, di mana potongan tunggal untuk dan arah, ditelepon balok koordinat.
- Bilangan yang sesuai dengan titik sinar koordinat disebut koordinat titik ini. Sebagai contoh , A(3). Baca: titik A dengan koordinat 3.
- Penyebut persekutuan terkecil ( NOZ) dari pecahan yang tidak dapat disederhanakan ini adalah kelipatan persekutuan terkecil ( NOC) penyebut pecahan tersebut.
- Untuk membawa pecahan ke penyebut persekutuan terkecil, Anda harus: 1) menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan-pecahan ini, itu akan menjadi penyebut persekutuan terkecil. 2) temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang penyebutnya kita bagi dengan penyebut masing-masing pecahan. 3) kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.
- Dari dua pecahan yang penyebutnya sama, yang lebih besar pembilangnya lebih besar, dan yang lebih kecil pembilangnya lebih kecil.
- Dari dua pecahan dengan pembilang yang sama, yang penyebutnya lebih kecil adalah yang lebih besar, dan yang penyebutnya lebih besar adalah yang lebih kecil.
- Untuk membandingkan pecahan dengan pembilang dan penyebut yang berbeda, Anda perlu mengurangi pecahan ke penyebut yang paling rendah, dan kemudian membandingkan pecahan dengan penyebut yang sama.
Operasi pada pecahan biasa.
- Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
- Jika Anda perlu menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, maka pertama-tama kurangi pecahan tersebut ke penyebut yang paling rendah, lalu tambahkan pecahan dengan penyebut yang sama.
- Untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, pembilang dari pecahan kedua dikurangi dengan pembilang dari pecahan pertama, dan penyebutnya tetap sama.
- Jika Anda perlu mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, maka mereka terlebih dahulu dibawa ke penyebut yang sama, dan kemudian pecahan dengan penyebut yang sama dikurangi.
- Saat melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan bilangan campuran, operasi ini dilakukan secara terpisah untuk bagian bilangan bulat dan bagian pecahan, dan kemudian hasilnya ditulis sebagai bilangan campuran.
- Hasil kali dua pecahan biasa sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebut pecahan tersebut.
- Untuk mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan dengan bilangan ini, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
- Dua bilangan yang hasilkalinya sama dengan satu disebut bilangan timbal balik.
- Saat mengalikan bilangan campuran, mereka terlebih dahulu dikonversi menjadi pecahan biasa.
- Untuk menemukan pecahan dari suatu bilangan, Anda perlu mengalikan bilangan tersebut dengan pecahan tersebut.
- Untuk membagi pecahan biasa dengan pecahan biasa, Anda perlu mengalikan dividen dengan kebalikan dari pembagi.
- Saat membagi bilangan campuran, mereka terlebih dahulu diubah menjadi pecahan biasa.
- Untuk membagi pecahan biasa dengan bilangan asli, Anda perlu mengalikan penyebut pecahan dengan bilangan asli ini, dan membiarkan pembilangnya tetap sama. ((2/7)::5=2/(7 5)=2/35).
- Untuk menemukan angka dengan pecahannya, Anda perlu membagi dengan pecahan ini angka yang sesuai dengannya.
- Pecahan desimal adalah angka yang ditulis dalam sistem desimal dan memiliki angka kurang dari satu. (3,25; 0,1457 dll.)
- Tempat desimal setelah titik desimal disebut tempat desimal.
- Pecahan desimal tidak akan berubah jika nol ditambahkan atau dibuang di akhir pecahan desimal.
Untuk menjumlahkan pecahan desimal, Anda perlu: 1) menyamakan jumlah tempat desimal dalam pecahan ini; 2) tuliskan satu di bawah yang lain sehingga koma ditulis di bawah koma; 3) melakukan penjumlahan, mengabaikan koma, dan menempatkan koma di bawah koma pada pecahan hasil penjumlahan.
Untuk melakukan pengurangan pecahan desimal, Anda perlu: 1) menyamakan jumlah tempat desimal di minuend dan subtrahend; 2) menandatangani yang dikurangi di bawah yang dikurangi sehingga koma berada di bawah koma; 3) lakukan pengurangan, abaikan koma, dan hasilnya, letakkan koma di bawah koma minuend dan subtrahend.
- Untuk mengalikan pecahan desimal dengan bilangan asli, Anda perlu mengalikannya dengan angka ini, mengabaikan koma, dan dalam produk yang dihasilkan, pisahkan sebanyak mungkin digit di sebelah kanan setelah titik desimal dalam pecahan yang diberikan.
- Untuk mengalikan satu pecahan desimal dengan pecahan desimal lainnya, Anda perlu melakukan perkalian, mengabaikan koma, dan dalam hasil yang dihasilkan, pisahkan sebanyak mungkin angka dengan koma di sebelah kanan seperti halnya setelah koma di kedua faktor secara bersamaan.
- Untuk mengalikan desimal dengan 10, 100, 1000, dst., Anda perlu memindahkan titik desimal ke kanan dengan 1, 2, 3, dst. digit.
- Untuk mengalikan desimal dengan 0,1; 0,01; 0,001, dst., Anda perlu memindahkan koma ke kiri sebanyak 1, 2, 3, dst.
- Untuk membagi pecahan desimal dengan bilangan asli, Anda perlu membagi pecahan dengan angka ini, karena bilangan asli dibagi dan dimasukkan ke dalam koma pribadi ketika pembagian seluruh bagian selesai.
- Untuk membagi desimal dengan 10, 100, 1000, dst., Anda perlu memindahkan koma ke kiri dengan 1, 2, 3, dst. digit.
- Untuk membagi angka dengan desimal, Anda perlu memindahkan koma dalam pembagian dan pembagi sebanyak digit ke kanan setelah titik desimal di pembagi, dan kemudian membagi dengan bilangan asli.
- Untuk membagi desimal dengan 0,1; 0,01; 0,001, dst., Anda perlu memindahkan koma ke kanan sebanyak 1, 2, 3, dst. digit. (Membagi desimal dengan 0,1; 0,01; 0,001, dst. sama dengan mengalikan desimal itu dengan 10, 100, 1000, dst.)
Untuk membulatkan angka ke angka tertentu, kami menggarisbawahi digit angka ini, dan kemudian kami mengganti semua angka di belakang angka yang digarisbawahi dengan nol, dan jika mereka setelah titik desimal, kami membuang. Jika digit pertama yang diganti atau dibuang nol adalah 0, 1, 2, 3, atau 4, maka digit yang digarisbawahi dibiarkan tidak berubah. Jika angka pertama diganti dengan nol atau dibuang adalah 5, 6, 7, 8 atau 9, maka angka yang digarisbawahi ditambah 1.
Rata-rata aritmatika dari beberapa angka.
Rata-rata aritmatika dari beberapa angka adalah hasil bagi membagi jumlah angka-angka ini dengan jumlah suku.
Rentang dari serangkaian angka.
Selisih antara nilai terbesar dan terkecil dari deret data tersebut disebut dengan range deret bilangan.
Mode seri angka.
Bilangan yang muncul dengan frekuensi terbesar di antara bilangan-bilangan deret yang diberikan disebut modus deret bilangan.
- Seperseratus disebut persentase. Belilah buku yang mengajarkan "Cara memecahkan masalah persentase".
- Untuk menyatakan persentase sebagai pecahan atau bilangan asli, Anda harus membagi persentase dengan 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
- Untuk menyatakan angka sebagai persentase, Anda harus mengalikannya dengan 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
- Untuk menemukan persentase suatu bilangan, Anda perlu menyatakan persentase sebagai pecahan biasa atau desimal dan mengalikan pecahan yang dihasilkan dengan bilangan yang diberikan.
- Untuk menemukan angka berdasarkan persentasenya, Anda perlu menyatakan persentase sebagai pecahan biasa atau desimal dan membagi angka yang diberikan dengan pecahan ini.
- Untuk menemukan persentase angka pertama dari angka kedua, Anda harus membagi angka pertama dengan angka kedua dan mengalikan hasilnya dengan 100%.
- Hasil bagi dua bilangan disebut perbandingan bilangan-bilangan tersebut. a:b atau a/b adalah perbandingan bilangan a dan b, selain itu, a adalah suku sebelumnya, b adalah suku berikutnya.
- Jika suku-suku dari relasi ini disusun kembali, maka relasi yang dihasilkan disebut invers dari relasi ini. Hubungan b/a dan a/b saling invers.
- Rasio tidak akan berubah jika kedua istilah rasio dikalikan atau dibagi dengan angka bukan nol yang sama.
- Persamaan dua rasio disebut proporsi.
- a:b=c:d. Ini adalah proporsi. Membaca: sebuah jadi berlaku untuk b, bagaimana c mengacu pada d. Bilangan a dan d disebut anggota ekstrem dari proporsi, dan angka b dan c adalah anggota tengah dari proporsi.
- Hasil kali suku-suku ekstrim suatu proporsi sama dengan hasilkali suku-suku tengahnya. Untuk proporsi a:b=c:d atau a/b=c/d properti utama ditulis seperti ini: a d=bc.
- Untuk menemukan suku ekstrem yang tidak diketahui dari proporsi, Anda perlu membagi produk dari suku rata-rata dari proporsi dengan suku ekstrem yang diketahui.
- Untuk menemukan suku tengah proporsi yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali suku ekstrem dari proporsi dengan suku tengah yang diketahui. Tugas proporsi.
Biarkan nilainya kamu tergantung ukurannya X. Jika dengan peningkatan X beberapa kali ukuran pada meningkat dengan faktor yang sama, maka nilai tersebut X dan pada disebut berbanding lurus.
Jika dua kuantitas berbanding lurus, maka rasio dua nilai arbitrer dari kuantitas pertama sama dengan rasio dua nilai yang sesuai dari kuantitas kedua.
Perbandingan panjang ruas pada peta dengan panjang jarak yang bersesuaian di lapangan disebut skala peta.
Biarkan nilainya pada tergantung ukurannya X. Jika dengan peningkatan X beberapa kali ukuran pada berkurang dengan faktor yang sama, maka nilai tersebut X dan pada disebut berbanding terbalik.
Jika dua kuantitas berbanding terbalik, maka rasio dua nilai yang diambil secara sewenang-wenang dari satu kuantitas sama dengan rasio terbalik dari nilai yang sesuai dari kuantitas lainnya.
- Himpunan adalah kumpulan dari beberapa objek atau angka yang disusun menurut beberapa sifat atau hukum umum (banyak huruf pada halaman, banyak pecahan biasa dengan penyebut 5, banyak bintang di langit, dll.).
- Himpunan terdiri dari unsur-unsur dan baik terbatas atau tak terbatas. Himpunan yang tidak mengandung unsur apapun disebut himpunan kosong dan dinotasikan Oh
- Banyak PADA disebut himpunan bagian dari himpunan TETAPI jika semua elemen himpunan PADA adalah elemen himpunan TETAPI.
- Tetapkan persimpangan TETAPI dan PADA adalah himpunan yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan TETAPI dan banyak lagi PADA.
- Persatuan himpunan TETAPI dan PADA adalah suatu himpunan yang elemen-elemennya paling sedikit dimiliki oleh salah satu himpunan tertentu TETAPI dan PADA.
Kumpulan angka.
- N– himpunan bilangan asli: 1, 2, 3, 4,…
- Z– himpunan bilangan bulat: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q adalah himpunan bilangan rasional yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan M N, di mana m- utuh, n– alami (-2; 3/5; v9; v25, dll.)
- Garis koordinat adalah garis lurus di mana arah positif, titik referensi (titik O) dan segmen unit diberikan.
- Setiap titik pada garis koordinat sesuai dengan angka tertentu, yang disebut koordinat titik ini. Sebagai contoh, A(5). Baca: titik A dengan koordinat lima. DI 3). Baca: titik B dengan koordinat minus tiga.
- Modulus bilangan a (tulis |a|) disebut jarak dari titik asal ke titik yang sesuai dengan bilangan yang diberikan sebuah. Nilai modulus bilangan apa pun adalah non-negatif. |3|=3; |-3|=3, karena jarak dari titik asal ke angka -3 dan ke angka 3 sama dengan tiga satuan ruas. |0|=0 .
- Dengan definisi modulus angka: |a|=a, jika a?0 dan |a|=-a, jika a b.
- Jika, ketika membandingkan angka a dan b, perbedaannya a-b adalah bilangan negatif, maka a , maka disebut pertidaksamaan tegas.
- Jika ketidaksetaraan ditulis dalam tanda? atau ?, maka disebut pertidaksamaan tidak tegas.
Sifat-sifat pertidaksamaan numerik.
G) 
Pertidaksamaan berbentuk x?a. Menjawab:
Penggunaan keterampilan pembagian menyederhanakan perhitungan, dan secara proporsional meningkatkan kecepatan eksekusi mereka. Mari kita menganalisis secara rinci karakteristik utama fitur pembagian.
Kriteria yang paling mudah untuk dapat dibagi untuk unit: semua bilangan habis dibagi satu. Itu sama mendasarnya dan dengan tanda-tanda dapat dibagi oleh dua, lima, sepuluh. Angka genap dapat dibagi dua, atau satu dengan angka akhir 0, dengan lima - angka dengan angka akhir 5 atau 0. Hanya angka dengan angka akhir 0 yang akan dibagi sepuluh, dengan 100 - hanya angka-angka yang dua digit terakhirnya adalah nol, pada 1000 - hanya mereka yang memiliki tiga angka nol terakhir.
Sebagai contoh:
Angka 79516 dapat dibagi 2, karena berakhir dengan 6, angka genap; 9651 tidak habis dibagi 2, karena 1 adalah angka ganjil; 1790 habis dibagi 2 karena angka terakhirnya nol. 3470 akan dibagi 5 (digit terakhir adalah 0); 1054 tidak habis dibagi 5 (akhir 4). 7800 akan dibagi 10 dan 100; 542000 habis dibagi 10, 100, 1000.
Kurang dikenal secara luas, tetapi karakteristiknya sangat mudah digunakan fitur pembagian pada 3 dan 9 , 4 , 6 dan 8, 25 . Ada juga ciri ciri yang dapat dibagi oleh 7, 11, 13, 17, 19 dan seterusnya, tetapi mereka lebih jarang digunakan dalam praktik.
Ciri khas pembagian dengan 3 dan 9.
pada tiga dan/atau pada sembilan tanpa sisa, bilangan tersebut akan dibagi yang hasil penjumlahan angkanya merupakan kelipatan tiga dan/atau sembilan.
Sebagai contoh:
Bilangan 156321 hasil penjumlahan 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 akan dibagi 3 dan dibagi 9 berturut-turut, bilangan itu sendiri dapat dibagi 3 dan 9. Angka 79123 tidak akan menjadi dibagi dengan 3 atau 9, sehingga jumlah angka-angkanya (22) tidak habis dibagi oleh angka-angka ini.
Ciri khas pembagian dengan 4, 8, 16 dan seterusnya.
Suatu bilangan dapat dibagi tanpa sisa dengan empat, jika dua digit terakhirnya adalah nol atau merupakan bilangan yang dapat dibagi 4. Dalam semua kasus lain, pembagian tanpa sisa tidak dimungkinkan.
Sebagai contoh:
Angka 75300 habis dibagi 4, karena dua digit terakhir adalah nol; 48834 tidak habis dibagi 4 karena dua angka terakhir menghasilkan 34, yang tidak habis dibagi 4; 35908 habis dibagi 4, karena dua angka terakhir dari 08 menghasilkan angka 8 yang habis dibagi 4.
Prinsip yang sama berlaku untuk kriteria dapat dibagi oleh delapan. Suatu bilangan habis dibagi delapan jika tiga angka terakhirnya adalah nol atau membentuk suatu bilangan yang habis dibagi 8. Jika tidak, hasil bagi yang diperoleh dari pembagian tidak akan berupa bilangan bulat.
Sifat yang sama untuk pembagian dengan 16, 32, 64 dll, tetapi mereka tidak digunakan dalam perhitungan sehari-hari.
Ciri khas dari habis dibagi 6.
Bilangan habis dibagi enam, jika habis dibagi dua dan tiga, dengan semua opsi lain, pembagian tanpa sisa tidak mungkin.
Sebagai contoh:
126 habis dibagi 6, karena habis dibagi 2 (bilangan genap terakhir adalah 6) dan 3 (jumlah angka 1 + 2 + 6 = 9 habis dibagi tiga)
Sebuah fitur karakteristik dari pembagian dengan 7.
Bilangan habis dibagi tujuh jika selisih bilangan terakhir ganda dan "bilangan yang tersisa tanpa angka terakhir" habis dibagi tujuh, maka bilangan itu sendiri habis dibagi tujuh.
Sebagai contoh:
Bilangannya adalah 296492. Mari kita ambil angka terakhir "2", gandakan, hasilnya 4. Kurangi 29649 - 4 = 29645. Sulit untuk mengetahui apakah itu habis dibagi 7, oleh karena itu dianalisis lagi. Selanjutnya kita gandakan angka terakhir "5", yang keluar 10. Kita kurangi 2964 - 10 = 2954. Hasilnya sama, tidak jelas habis dibagi 7, oleh karena itu kita lanjutkan analisisnya. Kami menganalisis dengan digit terakhir "4", ganda, hasilnya 8. Kurangi 295 - 8 = 287. Kami membandingkan dua ratus delapan puluh tujuh - tidak habis dibagi 7, sehubungan dengan ini kami melanjutkan pencarian. Dengan analogi, angka terakhir "7", digandakan, keluar 14. Kurangi 28 - 14 \u003d 14. Angka 14 habis dibagi 7, jadi angka aslinya habis dibagi 7.
Sebuah fitur karakteristik dari pembagian oleh 11.
pada sebelas hanya bilangan-bilangan yang dibagi yang hasil penjumlahan angka-angka yang ditempatkan di tempat ganjil sama dengan jumlah angka-angka yang ditempatkan di tempat genap, atau berbeda dengan angka yang habis dibagi sebelas.
Sebagai contoh:
Bilangan 103.785 habis dibagi 11, karena jumlah angka di tempat ganjil 1 + 3 + 8 = 12 sama dengan jumlah angka di tempat genap, 0 + 7 + 5 = 12. Bilangan 9.163.627 adalah habis dibagi 11, karena jumlah angka di tempat ganjil adalah 9 + 6 + 6 + 7 = 28, dan jumlah angka di tempat genap adalah 1 + 3 + 2 = 6; selisih angka 28 dan 6 adalah 22, dan angka ini habis dibagi 11. Angka 461.025 tidak habis dibagi 11, karena angka 4 + 1 + 2 = 7 dan 6 + 0 + 5 = 11 tidak sama dengan satu sama lain, dan selisihnya 11 - 7 = 4 tidak habis dibagi 11.
Sebuah fitur karakteristik dari pembagian oleh 25.
pada dua puluh lima akan membagi angka yang dua digit terakhirnya adalah nol atau membentuk angka yang dapat dibagi dua puluh lima (yaitu, angka yang diakhiri dengan 00, 25, 50, atau 75). Dalam kasus lain, jumlahnya tidak dapat dibagi seluruhnya dengan 25.
Sebagai contoh:
9450 habis dibagi 25 (berakhir 50); 5085 tidak habis dibagi 25.
tanda dapat dibagi
Tanda pembagian- aturan yang memungkinkan Anda untuk secara relatif cepat menentukan apakah suatu bilangan merupakan kelipatan dari bilangan yang telah ditentukan sebelumnya tanpa harus melakukan pembagian yang sebenarnya. Sebagai aturan, ini didasarkan pada tindakan dengan bagian digit dari notasi angka dalam sistem angka posisional (biasanya desimal).
Ada beberapa aturan sederhana yang memungkinkan Anda menemukan pembagi kecil suatu bilangan dalam sistem bilangan desimal:
Tanda habis dibagi 2
Tanda habis dibagi 3
Dapat dibagi dengan 4 tanda
Tanda habis dibagi 5
Tanda habis dibagi 6
Tanda habis dibagi 7
Tanda habis dibagi 8
Tanda habis dibagi 9
Tanda habis dibagi 10
Tanda habis dibagi 11
Tanda habis dibagi 12
Tanda habis dibagi 13
Tanda habis dibagi 14
Tanda habis dibagi 15
Tanda habis dibagi 17
Tanda habis dibagi 19
Tanda habis dibagi 23
Tanda habis dibagi 25
Tanda habis dibagi 99
Kami membagi nomor menjadi kelompok 2 digit dari kanan ke kiri (kelompok paling kiri dapat memiliki satu digit) dan menemukan jumlah dari kelompok-kelompok ini, menganggapnya sebagai angka dua digit. Jumlah ini habis dibagi 99 jika dan hanya jika bilangan itu sendiri habis dibagi 99.
Tanda habis dibagi 101
Kami membagi nomor menjadi kelompok 2 digit dari kanan ke kiri (kelompok paling kiri dapat memiliki satu digit) dan menemukan jumlah dari kelompok-kelompok ini dengan tanda-tanda variabel, menganggapnya sebagai angka dua digit. Jumlah ini habis dibagi 101 jika dan hanya jika bilangan itu sendiri habis dibagi 101. Misalnya, 590547 habis dibagi 101, karena 59-05+47=101 habis dibagi 101).
Tanda habis dibagi 2 n
Suatu bilangan habis dibagi dengan pangkat dua jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh n angka terakhirnya habis dibagi dengan pangkat yang sama.
Tanda habis dibagi 5 n
Suatu bilangan habis dibagi dengan pangkat ke-n dari 5 jika dan hanya jika bilangan yang dibentuk oleh n angka terakhirnya habis dibagi dengan pangkat yang sama.
Tanda habis dibagi 10 n − 1
Kami membagi angka menjadi kelompok n digit dari kanan ke kiri (grup paling kiri dapat berisi dari 1 hingga n digit) dan menemukan jumlah dari grup ini, dengan menganggapnya sebagai bilangan n-digit. Jumlah ini habis dibagi 10 n 1 jika dan hanya jika bilangan itu sendiri habis dibagi 10 n − 1 .
Tanda habis dibagi 10 n
Suatu bilangan habis dibagi dengan pangkat sepuluh jika dan hanya jika n angka terakhirnya adalah
Memuat...