bilangan irasional- ini bilangan asli, yang tidak rasional, yaitu, tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana adalah bilangan bulat, . Bilangan irasional dapat direpresentasikan sebagai desimal tak berulang tak berhingga.
Himpunan bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital yang dicetak tebal tanpa arsiran. Jadi: , yaitu himpunan bilangan irasional adalah perbedaan himpunan bilangan real dan rasional.
Tentang keberadaan bilangan irasional, lebih tepatnya segmen, tidak dapat dibandingkan dengan segmen satuan panjang, sudah diketahui oleh matematikawan kuno: mereka tahu, misalnya, ketidakterbandingan diagonal dan sisi bujur sangkar, yang setara dengan irasionalitas angka.
Properti
- Setiap bilangan real dapat ditulis sebagai pecahan desimal tak terbatas, sedangkan bilangan irasional dan hanya mereka ditulis sebagai pecahan desimal tak terbatas non-periodik.
- Bilangan irasional mendefinisikan pemotongan Dedekind pada himpunan bilangan rasional yang tidak memiliki bilangan terbesar di kelas bawah dan tidak ada bilangan terkecil di kelas atas.
- Setiap bilangan transendental nyata adalah irasional.
- Setiap bilangan irasional adalah aljabar atau transendental.
- Himpunan bilangan irasional padat di mana-mana pada garis nyata: di antara dua bilangan ada bilangan irasional.
- Orde pada himpunan bilangan irasional adalah isomorfik terhadap orde pada himpunan bilangan transendental real.
- Himpunan bilangan irasional tak terhitung, merupakan himpunan golongan kedua.
Contoh
| Bilangan irasional - (3) - 2 - 3 - 5 - - - - - |
irasional adalah:
Contoh Bukti Irasionalitas
Akar dari 2
Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, itu direpresentasikan sebagai pecahan yang tidak dapat direduksi, di mana adalah bilangan bulat, dan merupakan bilangan asli. Mari kita kuadratkan persamaan yang seharusnya:
.Dari sini dapat disimpulkan bahwa genap, oleh karena itu, genap dan . Biarkan di mana keseluruhan. Kemudian
Oleh karena itu, genap, oleh karena itu, genap dan . Kami telah memperoleh itu dan genap, yang bertentangan dengan ireduksibilitas pecahan . Oleh karena itu, asumsi awal salah, dan merupakan bilangan irasional.
Logaritma biner dari angka 3
Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat diambil positif. Kemudian
Tapi yang jelas, itu aneh. Kami mendapatkan kontradiksi.
e
Sejarah
Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manawa (± 750 SM - ± 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit.
Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi, yang merupakan bilangan bulat yang dimasukkan ke dalam segmen mana pun. Namun, Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang tunggal, karena asumsi keberadaannya mengarah pada kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring dari segitiga siku-siku sama kaki berisi sejumlah bilangan bulat dari unit segmen, maka jumlah ini harus genap dan ganjil pada saat yang sama. Buktinya terlihat seperti ini:
- Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai Sebuah:B, di mana Sebuah Dan B dipilih sekecil mungkin.
- Menurut teorema Pythagoras: Sebuah² = 2 B².
- Karena Sebuah² genap, Sebuah harus genap (karena kuadrat dari bilangan ganjil akan menjadi ganjil).
- Sejauh Sebuah:B tidak dapat direduksi B harus ganjil.
- Karena Sebuah genap, menunjukkan Sebuah = 2kamu.
- Kemudian Sebuah² = 4 kamu² = 2 B².
- B² = 2 kamu², oleh karena itu B genap, maka B bahkan.
- Namun, telah terbukti bahwa B aneh. Kontradiksi.
Matematikawan Yunani menyebut rasio jumlah yang tidak dapat dibandingkan ini logos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak dihormati. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh Pythagoras lainnya "karena menciptakan elemen alam semesta, yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya. " Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi yang mendasari seluruh teori bahwa bilangan dan benda-benda geometris adalah satu dan tak terpisahkan.
Bilangan irasional telah dikenal orang sejak zaman kuno. Beberapa abad sebelum zaman kita, matematikawan India Manava menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan (misalnya, 2) tidak dapat dinyatakan secara eksplisit.
Artikel ini adalah semacam pelajaran pengantar dalam topik "Bilangan irasional". Mari kita berikan definisi dan contoh bilangan irasional beserta penjelasannya, dan juga cari tahu cara menentukan apakah suatu bilangan irasional.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Bilangan irasional. Definisi
Nama "bilangan irasional" tampaknya memberikan definisi bagi kita. Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak rasional. Dengan kata lain, bilangan seperti itu tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan m n , di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli.
Definisi. Bilangan irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang, dalam notasi desimal, merupakan pecahan desimal tak berulang tak berhingga.
Bilangan irasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan non-periodik tak terbatas. Himpunan bilangan irasional dilambangkan dengan $I$ dan sama dengan: $I=R / Q$ .
Sebagai contoh. Bilangan irasional adalah:
Operasi bilangan irasional
Pada himpunan bilangan irasional, empat operasi aritmatika dasar dapat diperkenalkan: penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian; tetapi untuk tidak satu pun dari operasi yang terdaftar, himpunan bilangan irasional memiliki properti penutupan. Misalnya, jumlah dua bilangan irasional dapat menjadi bilangan rasional.
Sebagai contoh. Hitung jumlah dua bilangan irasional $0,1010010001 \ldots$ dan $0,010111110 \ldots$ . Yang pertama dari angka-angka ini dibentuk oleh urutan angka, masing-masing dipisahkan oleh satu nol, dua nol, tiga nol, dll., Yang kedua - oleh urutan nol, di antaranya satu, dua, tiga, dll. ditempatkan:
$$0.11010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Jadi, jumlah dua bilangan irasional yang diberikan adalah bilangan $\frac(1)(9)$ , yang rasional.
Contoh
Tugas. Buktikan bahwa bilangan $\sqrt(3)$ irasional.
Bukti. Kami akan menggunakan metode pembuktian dengan kontradiksi. Misalkan $\sqrt(3)$ adalah bilangan rasional, yaitu dapat direpresentasikan sebagai pecahan $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli koprima.
Kami kuadratkan kedua sisi persamaan, kami mendapatkan
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Panah kiri kanan 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Bilangan 3$\cdot n^(2)$ habis dibagi 3. Oleh karena itu $m^(2)$ dan karenanya $m$ habis dibagi 3. Putuskan $m=3 \cdot k$, persamaan $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ dapat ditulis sebagai
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Dari persamaan terakhir didapat bahwa $n^(2)$ dan $n$ habis dibagi 3, jadi pecahan $\frac(m)(n)$ bisa dikurangi 3. Tapi dengan asumsi, pecahan $\ frac(m)( n)$ tidak dapat direduksi. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan bahwa bilangan $\sqrt(3)$ tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan $\frac(m)(n)$ dan, oleh karena itu, irasional.
Q.E.D.
Semua bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Ini berlaku untuk bilangan bulat (misalnya, 12, -6, 0), dan pecahan desimal akhir (misalnya, 0,5; -3,8921), dan pecahan desimal periodik tak terbatas (misalnya, 0,11(23); -3 ,(87 )).
tetapi desimal tak berulang tak terhingga tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa. Itulah mereka bilangan irasional(yaitu tidak rasional). Contoh bilangan tersebut adalah , yang kira-kira sama dengan 3,14. Namun, apa yang persis sama tidak dapat ditentukan, karena setelah angka 4 ada serangkaian angka lain yang tak ada habisnya di mana periode berulang tidak dapat dibedakan. Pada saat yang sama, meskipun angka tidak dapat dinyatakan secara tepat, angka tersebut memiliki arti geometris tertentu. Bilangan adalah perbandingan panjang suatu lingkaran dengan panjang diameternya. Jadi bilangan irasional memang ada di alam, seperti halnya bilangan rasional.
Contoh lain dari bilangan irasional adalah akar kuadrat dari bilangan positif. Mengekstraksi akar dari beberapa angka memberikan nilai rasional, dari yang lain - irasional. Misalnya, 4 = 2, yaitu akar dari 4 adalah bilangan rasional. Tetapi 2, 5, 7 dan banyak lainnya menghasilkan bilangan irasional, yaitu, mereka hanya dapat diekstraksi dengan pendekatan, dibulatkan ke tempat desimal tertentu. Dalam hal ini, fraksi diperoleh non-periodik. Artinya, tidak mungkin untuk mengatakan dengan tepat dan pasti apa akar dari angka-angka ini.
Jadi 5 adalah bilangan antara 2 dan 3, karena 4 = 2, dan 9 = 3. Kita juga dapat menyimpulkan bahwa 5 lebih dekat ke 2 daripada 3, karena 4 lebih dekat ke 5 daripada 9 ke 5. Memang, 5 2.23 atau 5 2.24.
Bilangan irasional juga diperoleh dalam perhitungan lain (dan tidak hanya saat mengekstraksi akar), mereka negatif.
Sehubungan dengan bilangan irasional, kita dapat mengatakan bahwa tidak peduli apa satuan segmen yang kita ambil untuk mengukur panjang yang dinyatakan oleh bilangan tersebut, kita tidak dapat mengukurnya dengan pasti.
Dalam operasi aritmatika, bilangan irasional dapat berpartisipasi bersama dengan bilangan rasional. Pada saat yang sama, ada sejumlah keteraturan. Misalnya, jika hanya bilangan rasional yang terlibat dalam operasi aritmatika, maka hasilnya selalu bilangan rasional. Jika hanya yang irasional yang berpartisipasi dalam operasi, maka tidak mungkin untuk mengatakan dengan tegas apakah bilangan rasional atau irasional akan muncul.
Misalnya, jika Anda mengalikan dua bilangan irasional 2 * 2, Anda mendapatkan 2 - ini adalah bilangan rasional. Di sisi lain, 2 * 3 = 6 adalah bilangan irasional.
Jika suatu operasi aritmatika melibatkan bilangan rasional dan irasional, maka akan diperoleh hasil yang irasional. Misalnya, 1 + 3,14... = 4,14... ; 17 - 4.
Mengapa 17 - 4 merupakan bilangan irasional? Bayangkan Anda mendapatkan bilangan rasional x. Maka 17 = x + 4. Tetapi x + 4 adalah bilangan rasional, karena kita mengasumsikan bahwa x adalah rasional. Bilangan 4 juga rasional, jadi x + 4 rasional. Namun, bilangan rasional tidak bisa sama dengan 17 irasional. Oleh karena itu, asumsi bahwa 17 - 4 memberikan hasil yang rasional adalah salah. Hasil dari operasi aritmatika akan menjadi irasional.
Namun, ada pengecualian untuk aturan ini. Jika kita mengalikan bilangan irasional dengan 0, kita mendapatkan bilangan rasional 0.
Definisi bilangan irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang, dalam notasi desimal, merupakan pecahan desimal non-periodik tak terhingga.
Jadi, misalnya, bilangan yang diperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari bilangan asli adalah irasional dan bukan kuadrat dari bilangan asli. Tetapi tidak semua bilangan irasional diperoleh dengan mengekstraksi akar kuadrat, karena angka "pi" yang diperoleh dengan membagi juga irasional, dan Anda tidak mungkin mendapatkannya ketika mencoba mengekstrak akar kuadrat dari bilangan asli.
Sifat-sifat bilangan irasional
Tidak seperti bilangan yang ditulis dalam pecahan desimal tak hingga, hanya bilangan irasional yang ditulis dalam pecahan desimal tak terbatas non-periodik.
Jumlah dua bilangan irasional non-negatif akhirnya bisa menjadi bilangan rasional.
Bilangan irasional mendefinisikan bagian Dedekind dalam himpunan bilangan rasional, di kelas bawah yang tidak ada bilangan terbesar, dan di kelas atas tidak ada yang lebih kecil.
Setiap bilangan transendental nyata adalah irasional.
Semua bilangan irasional adalah aljabar atau transendental.
Himpunan bilangan irasional pada garis itu padat, dan di antara dua bilangannya pasti ada bilangan irasional.
Himpunan bilangan irasional tidak terbatas, tidak terhitung dan merupakan himpunan dari kategori ke-2.
Saat melakukan operasi aritmatika pada bilangan rasional, kecuali pembagian dengan 0, hasilnya akan menjadi bilangan rasional.
Ketika menambahkan bilangan rasional ke bilangan irasional, hasilnya selalu merupakan bilangan irasional.
Saat menambahkan bilangan irasional, kita bisa mendapatkan bilangan rasional sebagai hasilnya.
Himpunan bilangan irasional tidak genap.
Angka tidak irasional
Kadang-kadang cukup sulit untuk menjawab pertanyaan apakah suatu bilangan irasional, terutama dalam kasus di mana bilangan tersebut dalam bentuk pecahan desimal atau dalam bentuk ekspresi numerik, akar atau logaritma.
Oleh karena itu, tidak akan berlebihan untuk mengetahui angka mana yang tidak irasional. Jika kita mengikuti definisi bilangan irasional, maka kita sudah mengetahui bahwa bilangan rasional tidak mungkin irasional.
Bilangan irasional bukan:
Pertama, semua bilangan asli;
Kedua, bilangan bulat;
Ketiga, pecahan biasa;
Keempat, nomor campuran yang berbeda;
Kelima, ini adalah pecahan desimal periodik tak terbatas.
Selain semua di atas, setiap kombinasi bilangan rasional yang dilakukan oleh tanda-tanda operasi aritmatika, seperti +, -, , :, tidak dapat menjadi bilangan irasional, karena dalam hal ini hasil dari dua bilangan rasional juga akan menjadi bilangan rasional.
Sekarang mari kita lihat bilangan mana yang irasional:
Tahukah Anda tentang keberadaan klub penggemar di mana penggemar fenomena matematika misterius ini mencari informasi baru tentang Pi, mencoba mengungkap misterinya. Setiap orang yang hafal sejumlah angka Pi setelah titik desimal dapat menjadi anggota klub ini;
Tahukah Anda bahwa di Jerman, di bawah perlindungan UNESCO, ada istana Castadel Monte, berkat proporsinya Anda dapat menghitung Pi. Seluruh istana didedikasikan untuk nomor ini oleh Raja Frederick II.
Ternyata mereka mencoba menggunakan angka Pi dalam pembangunan Menara Babel. Tetapi kami sangat menyesal, hal ini menyebabkan runtuhnya proyek, karena pada saat itu perhitungan yang tepat dari nilai Pi tidak dipelajari secara memadai.
Penyanyi Kate Bush dalam disk barunya merekam sebuah lagu berjudul "Pi", yang terdengar seratus dua puluh empat nomor dari seri nomor terkenal 3, 141 ... ..
Memuat...