არითმეტიკული მეთოდი. მათემატიკის გაკვეთილი „ ამოცანების ამოხსნის ალგებრული და არითმეტიკული მეთოდები“. მოსწავლეთა ამოხსნის სწავლების მეთოდები

ამ პრობლემების გაანალიზება, დაკვირვება, რა საერთო აქვთ ამოცანებს მათემატიკის თვალსაზრისით, რა განსხვავებებია, იპოვნეთ პრობლემების გადაჭრის არაჩვეულებრივი გზა, შექმენით პრობლემის გადაჭრის ტექნიკის ყულაბა, ისწავლეთ როგორ გადაჭრას ერთი პრობლემა. სხვადასხვა გზები.პრობლემების სიმულატორი, რომლებიც დაჯგუფებულია იმავე თემაზე "პრობლემების გადაჭრის არითმეტიკული მეთოდები", ამოცანები ჯგუფში მუშაობისთვის და ინდივიდუალური სამუშაო.

"დავალებები სიმულატორის სახელმძღვანელოსთვის"

ტრენერი: „პრობლემების გადაჭრის არითმეტიკული მეთოდები“

"რიცხვების შედარება ჯამისა და სხვაობის მიხედვით."

ორ კალათაში 80 ბოლეტუსის სოკოა. პირველი კალათა შეიცავს 10-ით ნაკლებ ბოლეტუსს, ვიდრე მეორე. რამდენი ბოლტუსის სოკოა თითოეულ კალათაში?

სამკერვალო სტუდიამ მიიღო 480 მ ჯინსი და ფარდა. ჯინსის ქსოვილი 140 მ-ით მეტი იყო მოწოდებული, ვიდრე ფარდა. რამდენი მეტრიანი ჯინსი მიიღო სტუდიამ?

სატელევიზიო კოშკის მოდელი შედგება ორი ბლოკისგან. ქვედა ბლოკი 130 სმ-ით მოკლეა ზედაზე. როგორია ზედა და ქვედა ბლოკის სიმაღლეები, თუ კოშკის სიმაღლეა 4 მ 70 სმ?

ორი ყუთი შეიცავს 16 კგ ნამცხვარს. იპოვეთ ფუნთუშების მასა თითოეულ ყუთში, თუ რომელიმე მათგანი შეიცავს 4 კგ-ზე მეტ ფუნთუშას.

პრობლემა L.N. ტოლსტოის "არითმეტიკიდან".

ა) ორ კაცს ჰყავს 35 ცხვარი. ერთს მეორეზე 9 ცხვარი მეტი ჰყავს. რამდენი ცხვარი ჰყავს თითოეულ ადამიანს?

ბ) ორ კაცს ჰყავს 40 ცხვარი, ერთს კი მეორეზე 6 ცხვარი ნაკლები. რამდენი ცხვარი ჰყავს თითოეულ კაცს?

ავტოფარეხში იდგა 23 მანქანა და მოტოციკლი გვერდითი კარებით. მანქანებსა და მოტოციკლებს აქვთ 87 ბორბალი. რამდენი მოტოციკლი არის ავტოფარეხში, თუ თითოეულ ბორბალს აქვს სათადარიგო ბორბალი?

"ევლერიანის წრეები".

სახლს 120 მოსახლე ჰყავს, ზოგს ძაღლები და კატები ჰყავს. სურათზე არის წრე თან გამოსახავს მაცხოვრებლებს ძაღლებით, წრე TO – მაცხოვრებლები კატებთან ერთად. რამდენი მოიჯარე ჰყავს როგორც ძაღლი, ასევე კატა? რამდენ მოიჯარეს ჰყავს მხოლოდ ძაღლი? რამდენ მოიჯარეს ჰყავს მხოლოდ კატა? რამდენი მოიჯარე ჰყავს არც ძაღლი და არც კატა?

52 სკოლის მოსწავლედან 23 თამაშობს ფრენბურთს და 35 კალათბურთს, ხოლო 16 თამაშობს ფრენბურთსაც და კალათბურთსაც. დანარჩენები არცერთ ამ სპორტს არ თამაშობენ. რამდენი სკოლის მოსწავლე არ თამაშობს არცერთ ამ სპორტს?

სურათზე არის წრე ა გამოსახულია უნივერსიტეტის ყველა თანამშრომელი, ვინც იცის ინგლისური ენა, წრე ნ – ვინც გერმანული იცის და წრე ფ - ფრანგული. უნივერსიტეტის რამდენმა თანამშრომელმა იცის: ა) 3 ენა; ბ) ინგლისური და გერმანული; გ) ფრანგული? უნივერსიტეტის რამდენი თანამშრომელია? რამდენი მათგანი არ საუბრობს ფრანგულად?

საერთაშორისო კონფერენციას 120 ადამიანი ესწრებოდა. აქედან 60 საუბრობს რუსულად, 48 საუბრობს ინგლისურად, 32 საუბრობს გერმანულად, 21 საუბრობს რუსულად და გერმანულად, 19 საუბრობს ინგლისურად და გერმანულად, 15 საუბრობს რუსულად და ინგლისურად, ხოლო 10 ადამიანი საუბრობს სამივე ენაზე. კონფერენციის რამდენი მონაწილე არ ფლობს რომელიმე ამ ენას?

82 მოსწავლე მღერის გუნდში და ვარჯიშობს ცეკვაში. რიტმული ტანვარჯიში 32 მოსწავლე სწავლობს, გუნდში კი 78 მოსწავლე მღერის და რიტმულ ტანვარჯიშს აკეთებს. რამდენი მოსწავლე მღერის გუნდში, ცეკვავს და აკეთებს რიტმულ ტანვარჯიშს ცალკე, თუ ცნობილია, რომ თითოეული მოსწავლე მხოლოდ ერთ რამეს აკეთებს?

ჩვენს სახლში მცხოვრები ყველა ოჯახი იწერს გაზეთს ან ჟურნალს, ან ორივეს. 75 ოჯახი იწერს გაზეთს, ხოლო 27 ოჯახი იწერს ჟურნალს და მხოლოდ 13 ოჯახი იწერს როგორც ჟურნალს, ასევე გაზეთს. რამდენი ოჯახი ცხოვრობს ჩვენს სახლში?

"მონაცემთა კორექტირების მეთოდი".

არის 29 ყვავილი 3 პატარა და 4 დიდ თაიგულში, ხოლო 35 ყვავილი 5 პატარა და 4 დიდ თაიგულში. რამდენი ყვავილია თითოეულ თაიგულში ცალკე?

2 შოკოლადის ფილა - დიდი და პატარა - მასა 120გრ, ხოლო 3 დიდი და 2 პატარა - 320გრ რა არის თითოეული ფილის მასა?

5 ვაშლი და 3 მსხალი იწონის 810 გ-ს, ხოლო 3 ვაშლი და 5 მსხალი 870 გ-ს, რამდენს იწონის ერთი ვაშლი? ერთი მსხალი?

ოთხი იხვის ჭუკი და ხუთი ღორი იწონის 4 კგ 100 გ, ხუთი იხვის ჭუკი და ოთხი გოჭი იწონის 4 კგ. რამდენს იწონის ერთი იხვის ჭუკი?

ერთ ცხენზე და ორ ძროხზე დღეში 34 კგ თივას აძლევენ, ხოლო ორ ცხენსა და ერთ ძროხას - 35 კგ თივას. რამდენ თივას აძლევენ ერთ ცხენს და რამდენი ძროხას?

3 წითელი კუბი და 6 ლურჯი კუბი ღირს 165 ტენგე რუბლი. უფრო მეტიც, ხუთი წითელი 95 ტენგეით უფრო ძვირია, ვიდრე ორი ლურჯი. რა ღირს თითოეული კუბიკი?

2 ესკიზის წიგნი და 3 მარკის ალბომი ერთად ღირს 160 მანეთი, ხოლო 3 ესკიზის წიგნი 45 მანეთი. უფრო ძვირი ვიდრე ორი მარკის ალბომი.

"ითვლის".

სერიოჟამ გადაწყვიტა, რომ დაბადების დღეზე დედას ყვავილების თაიგული (ვარდები, ტიტები ან მიხაკები) აჩუქოს და ისინი ვაზაში ან დოქში ჩაეტანა. რამდენი გზით შეუძლია მას ამის გაკეთება?

რამდენი სამნიშნა რიცხვის დადგენა შეიძლება 0, 1, 3, 5 ციფრებისგან, თუ რიცხვში ციფრები არ მეორდება?

ოთხშაბათს მე-5 კლასში არის ხუთი გაკვეთილი: მათემატიკა, ფიზიკური აღზრდა, ისტორია, რუსული და მეცნიერება. Რამდენი სხვადასხვა ვარიანტებიშეგიძლიათ ოთხშაბათის განრიგი შეადგინოთ?

”უძველესი გზა ნივთიერებების შერევასთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად.”

როგორ ავურიოთ ზეთები?ვიღაცას ორი სახის ზეთი ჰქონდა გასაყიდად: ერთი ვედროში 10 გრივნა, მეორე ვედროში 6 გრივნა. მას სურდა ამ ორი ზეთისგან ზეთის დამზადება, მათი შერევა, თითო ვედრო 7 გრივნა ღირდა. ამ ორი ზეთის რა ნაწილები უნდა აიღოთ 7 გრივნას ღირებულების ვედრო ზეთის მისაღებად?

რამდენი კარამელი უნდა აიღო 1 კგ-ზე 260 ტენგეზე და 1 კგ-ზე 190 ტენგეზე, რომ 21 კგ ნარევი გააკეთოთ 210 ტენგე კილოგრამზე?

ვიღაცას სამი სახეობის ჩაი აქვს - ცეილონი 5 გრივნა ფუნტზე, ინდური 8 გრივნა ფუნტზე და ჩინური 12 გრივნა ფუნტზე. რა პროპორციებით უნდა ავურიოთ ეს სამი ჯიში, რომ მივიღოთ ჩაი 6 გრივნა თითო ფუნტზე?

ვიღაცას აქვს სხვადასხვა სტანდარტის ვერცხლი: ერთი მე-12 სტანდარტია, მეორე მე-10 სტანდარტი, მესამე არის მე-6 სტანდარტი. რამდენი ვერცხლი უნდა აიღოთ 1 ფუნტი მე-9 სტანდარტული ვერცხლის მისაღებად?

ვაჭარმა იყიდა 138 არშინი შავი და ლურჯი ქსოვილი 540 მანეთად. საკითხავია, რამდენი არშინი იყიდა ორივესთვის, თუ ლურჯი 5 მანეთი ღირდა? არშინისთვის და შავი - 3 მანეთი?

სხვადასხვა დავალებები.

საახალწლო საჩუქრებისთვის 87 კგ ხილი ვიყიდეთ, ფორთოხალზე 17 კგ-ით მეტი ვაშლი იყო. რამდენი ვაშლი და რამდენი ფორთოხალი იყიდე?

საახალწლო ნაძვის ხესთან საკარნავალო კოსტიუმებში ბავშვებისთვის 3-ჯერ მეტი ფიფქი იყო, ვიდრე ოხრახუშის კოსტიუმებში. რამდენი ბავშვი იყო ოხრახუშის კოსტიუმებში, თუ 12-ით ნაკლები იყო?

მაშამ 2-ჯერ ნაკლები მიიღო საახალწლო მილოცვებივიდრე კოლია. რამდენი მილოცვა მიიღო თითოეულმა ადამიანმა, თუ სულ 27 იყო? (9 და 18).

საახალწლო პრიზებისთვის 28 კგ ტკბილეული შეიძინეს. კანფეტები "მერცხალი" შედგებოდა 2 ნაწილისგან, "მუზა" - 3 ნაწილი, "რომაშკა" - 2 ნაწილი. რამდენი ტკბილეული იყიდეთ თითოეული სახეობიდან? (8, 8, 12).

საწყობში 2004 კგ ფქვილია. შესაძლებელია თუ არა მისი ჩადება 9 კგ და 18 კგ წონით ჩანთებში?

მაღაზია "ყველაფერი ჩაისთვის" არის 5 სხვადასხვა ფინჯანი და 3 განსხვავებული თეფში, რამდენი ხერხით შეიძლება ფინჯანი და თეფშის შეძენა?

ცხენი თივის ღეროს ჭამს 2 დღეში, ძროხა 3-ში, ცხვარი 6-ში. რამდენი დღე დასჭირდება მათ თივის ჭამას, თუ ერთად შეჭამენ?

დოკუმენტის შინაარსის ნახვა
"გაკვეთილის შეჯამება arif sp"

„სიტყვის ამოცანების ამოხსნის არითმეტიკული მეთოდები“.

მათემატიკის სტუდენტისთვის ხშირად უფრო სასარგებლოა ერთი და იგივე ამოცანის სამი განსხვავებული გზით გადაჭრა, ვიდრე სამი ან ოთხი განსხვავებული ამოცანის ამოხსნა. ერთი პრობლემის სხვადასხვა გზით გადაჭრით, შედარებით შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელია უფრო მოკლე და ეფექტური. ასე ვითარდება გამოცდილება.

W.W. სოიერი

გაკვეთილის მიზანი: გამოიყენე წინა გაკვეთილებზე მიღებული ცოდნა, გამოავლინე ფანტაზია, ინტუიცია, ფანტაზია და გამომგონებლობა სატესტო ამოცანების სხვადასხვა გზით გადასაჭრელად.

გაკვეთილის მიზნები: საგანმანათლებლო: ამ ამოცანების გაანალიზებით, დაკვირვებით, რა საერთო აქვთ ამოცანებს მათემატიკოსის თვალსაზრისით, რა განსხვავებებია, ამოცანების გადაჭრის არაჩვეულებრივი გზის პოვნა, ამოცანების გადაჭრის ტექნიკის ყულაბის შექმნა, ერთი პრობლემის გადაჭრის სწავლა. სხვადასხვა გზით.

განმავითარებელი: იგრძენით თვითრეალიზაციის მოთხოვნილება, როდესაც აღმოჩნდებით გარკვეულ როლურ სიტუაციაში.

საგანმანათლებლო:განავითაროს პიროვნული თვისებები, ჩამოაყალიბოს კომუნიკაციური კულტურა.

განათლების საშუალებები: ამოცანების სიმულატორი, რომლებიც დაჯგუფებულია იმავე თემაზე "პრობლემების გადაჭრის არითმეტიკული მეთოდები", ამოცანები ჯგუფში მუშაობისთვის და ინდივიდუალური სამუშაოსთვის.

გაკვეთილების დროს.

ᲛᲔ. ორგანიზების დრო

Გამარჯობათ ბიჭებო. Დაჯექი. დღეს გვაქვს გაკვეთილი თემაზე „სიტყვის ამოცანების ამოხსნის არითმეტიკული მეთოდები“.

II. ცოდნის განახლება.

მათემატიკა ერთ-ერთი უძველესია და მნიშვნელოვანი მეცნიერებები. ადამიანები უამრავ მათემატიკურ ცოდნას იყენებდნენ ძველ დროში - ათასობით წლის წინ. ისინი საჭირო იყო ვაჭრებისა და მშენებლებისთვის, მეომრებისთვის და მიწის ამზომველებისთვის, მღვდლებისთვის და მოგზაურებისთვის.

და დღესდღეობით ვერც ერთი ადამიანი ვერ ახერხებს ცხოვრებას მათემატიკის კარგი ცოდნის გარეშე. საფუძველი კარგი გაგებამათემატიკა - დათვლის, აზროვნების, მსჯელობის, პრობლემების წარმატებული გადაწყვეტის პოვნის უნარი.

დღეს ჩვენ გადავხედავთ სიტყვების ამოცანების გადაჭრის არითმეტიკულ მეთოდებს, გავაანალიზებთ უძველეს ამოცანებს, რომლებიც ჩვენამდე მოვიდა სხვა და სხვა ქვეყნებიდა ჯერ, ამოცანები გათანაბრებაზე, შედარება ჯამით და სხვაობით და სხვა.

გაკვეთილის მიზანია თქვენი ჩართვა საოცარი სამყაროსილამაზე, სიმდიდრე და მრავალფეროვნება - სამყარო საინტერესო ამოცანები. და, შესაბამისად, წარმოგიდგენთ რამდენიმე არითმეტიკულ მეთოდს, რომელიც იწვევს ძალიან ელეგანტურ და ინსტრუქციულ გადაწყვეტილებებს.

ამოცანა თითქმის ყოველთვის არის ძიება, ზოგიერთი თვისებისა და ურთიერთობის აღმოჩენა, ხოლო მისი ამოხსნის საშუალებაა ინტუიცია და ვარაუდი, ერუდიცია და მათემატიკური მეთოდების დაუფლება.

მათემატიკაში მთავარია ამოცანების ამოხსნის არითმეტიკული და ალგებრული მეთოდები.

არითმეტიკული მეთოდით ამოცანის ამოხსნა ნიშნავს ამოცანის მოთხოვნაზე პასუხის პოვნას რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესრულებით.

ალგებრული მეთოდით ამოცანის კითხვაზე პასუხი დგება განტოლების შედგენისა და ამოხსნის შედეგად.

საიდუმლო არ არის, რომ ადამიანი, რომელიც ფლობს სხვადასხვა იარაღს და იყენებს მათ შესრულებული სამუშაოს ბუნებიდან გამომდინარე, აღწევს მნიშვნელოვნად უკეთეს შედეგს, ვიდრე ადამიანი, რომელიც ფლობს მხოლოდ ერთ უნივერსალურ ხელსაწყოს.

პრობლემების გადაჭრის მრავალი არითმეტიკული მეთოდი და არასტანდარტული ტექნიკა არსებობს. დღეს მინდა წარმოგიდგინოთ რამდენიმე მათგანი.

1.სიტყვითი ამოცანების ამოხსნის მეთოდი „რიცხვების შედარება ჯამისა და სხვაობის მიხედვით“.

დავალება : ბებიამ შემოდგომაზე თავისი აგარაკიდან 51 კგ სტაფილო და კომბოსტო შეაგროვა. სტაფილოზე 15 კგ-ით მეტი კომბოსტო იყო. რამდენი კილოგრამი სტაფილო და რამდენი კილოგრამი კომბოსტო მოაგროვა ბებიამ?

კითხვები, რომლებიც შეესაბამება პრობლემის გადაჭრის ალგორითმის პუნქტებს ამ კლასის.

1. გაარკვიეთ რა რაოდენობითაა განხილული პრობლემაში

სტაფილოსა და კომბოსტოს რაოდენობის შესახებ, რომელიც ბებიამ შეაგროვა, ერთად და ცალ-ცალკე.

2. მიუთითეთ ის მნიშვნელობები, რომელთა რაოდენობაც უნდა მოიძებნოს პრობლემაში.

რამდენი კილოგრამი სტაფილო და რამდენი კილოგრამი კომბოსტო მოაგროვა ბებიამ?

3. დაასახელეთ პრობლემაში არსებულ სიდიდეებს შორის ურთიერთობა.

პრობლემა საუბარია რაოდენობათა ჯამს და განსხვავებაზე.

4. დაასახელეთ რაოდენობების მნიშვნელობების ჯამი და განსხვავება.

ჯამი – 51 კგ, სხვაობა – 15 კგ.

5. რაოდენობების გათანაბრების გზით იპოვეთ უფრო მცირე რაოდენობის ორმაგი მნიშვნელობა (რაოდენობების ჯამს გამოაკლეთ რაოდენობების სხვაობა).

51 – 15 = 36 (კგ) – სტაფილოს ორმაგი რაოდენობა.

6. გაორმაგებული მნიშვნელობის ცოდნა, იპოვე უფრო მცირე მნიშვნელობა (გაორმაგებული მნიშვნელობა გაყავი ორზე).

36: 2 = 18 (კგ) - სტაფილო.

7. რაოდენობებსა და მცირე რაოდენობის სიდიდეს შორის სხვაობის გამოყენებით იპოვეთ უფრო დიდი რაოდენობის მნიშვნელობა.

18 + 15 = 33 (კგ) - კომბოსტო. პასუხი: 18 კგ, 33 კგ. დავალება.გალიაში ხოხობი და კურდღელია. სულ 6 თავი და 20 ფეხია. რამდენი კურდღელი და რამდენი ხოხობია გალიაში ?
მეთოდი 1. შერჩევის მეთოდი:
2 ხოხობი, 4 კურდღელი.
შემოწმება: 2 + 4 = 6 (გოლები); 4 4 + 2 2 = 20 (ფუტი).
ეს არის შერჩევის მეთოდი (სიტყვიდან „არჩევა“). გადაწყვეტის ამ მეთოდის უპირატესობები და უარყოფითი მხარეები (ძნელია არჩევა, თუ რიცხვები დიდია) ამრიგად, არსებობს სტიმული გადაწყვეტის უფრო მოსახერხებელი მეთოდების ძიებაში.
დისკუსიის შედეგები: შერჩევის მეთოდი მოსახერხებელია მცირე რიცხვებთან მუშაობისას, როდესაც მნიშვნელობები იზრდება, ხდება ირაციონალური და შრომატევადი.
მეთოდი 2. დაასრულეთ ვარიანტების ძებნა.

ცხრილი შედგენილია:

პასუხი: 4 კურდღელი, 2 ხოხობი.
ამ მეთოდის სახელია "სრული". დისკუსიის შედეგები: ამომწურავი ძიების მეთოდი მოსახერხებელია, მაგრამ დიდი ღირებულებებისთვის საკმაოდ შრომატევადი.
მეთოდი 3. გამოცნობის მეთოდი.

ავიღოთ ძველი ჩინური პრობლემა:

გალიაში არის უცნობი რაოდენობის ფაროსანა და კურდღელი. ცნობილია, რომ მთლიანი უჯრედი შეიცავს 35 თავსა და 94 ფეხს. გაარკვიეთ ფაროსანა და კურდღლების რაოდენობა.(პრობლემა ჩინური მათემატიკური წიგნიდან „კიუ-ჩანგი“, შედგენილი ძვ.წ. 2600 წ.).

აქ არის დიალოგი, რომელიც გვხვდება მათემატიკის ძველ ოსტატებში. - წარმოვიდგინოთ, სტაფილო დავდეთ გალიაზე, რომელშიც ხოხობი და კურდღელი სხედან. ყველა კურდღელი დადგება უკანა ფეხებზე, რომ მიაღწიოს სტაფილოს. რამდენი ფუტი იქნება ამ მომენტში მიწაზე?

მაგრამ პრობლემის განცხადებაში მოცემულია 94 ფეხი, სად არის დანარჩენი?

დარჩენილი ფეხები არ არის დათვლილი - ეს არის კურდღლების წინა ფეხები.

Რამდენია იქ?

24 (94 – 70 = 24)

რამდენი კურდღელი არსებობს?

12 (24: 2 = 12)

რაც შეეხება ფაროსანას?

23 (35- 12 = 23)

ამ მეთოდის სახელია „დეფიციტის გამოცნობის მეთოდი“. შეეცადეთ თავად ახსნათ ეს სახელი (გალიაში მსხდომებს აქვთ 2 ან 4 ფეხი და ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ ყველას აქვს ამ რიცხვებიდან ყველაზე პატარა - 2 ფეხი).

იგივე პრობლემის გადაჭრის კიდევ ერთი გზა. - ვცადოთ ამ პრობლემის გადაჭრა "ჭარბი ვარაუდის მეთოდით": წარმოვიდგინოთ, რომ ფაროსანას ახლა კიდევ ორი ​​ფეხი აქვს. მაშინ იქნება ყველა ფეხი 35 × 4 = 140.

მაგრამ პრობლემის პირობების მიხედვით მხოლოდ 94 ფეხია, ე.ი. 140 – 94= 46 დამატებითი ფეხი, ვისია ისინი?ეს არის ხოხბის ფეხები, მათ აქვთ დამატებითი წყვილი ფეხები. ნიშნავს, ხოხობინება 46: 2 = 23, შემდეგ კურდღლები 35 -23 = 12.
დისკუსიის შედეგები: ვარაუდის მეთოდი აქვს ორი ვარიანტი- მიერ დეფიციტი და ჭარბი; წინა მეთოდებთან შედარებით, უფრო მოსახერხებელია, რადგან ნაკლებად შრომატევადია.
დავალება. აქლემების ქარავანი ნელ-ნელა დადის უდაბნოში, სულ 40-ია, ამ აქლემებზე ყველა კეხი რომ დაითვალოთ, 57 კეხი მიიღებთ. რამდენი აქლემია ამ ქარავანში?1 გზა. ამოხსნა განტოლების გამოყენებით.

კეხების რაოდენობა ერთ ადამიანზე აქლემების რაოდენობა სულ კეხი

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

მეთოდი 2.

- რამდენი კეხი შეიძლება ჰქონდეს აქლემს?

(შეიძლება იყოს ორი ან ერთი)

თითოეულ აქლემის კეხზე ყვავილი მივამაგროთ.

- რამდენი ყვავილი დაგჭირდება? (40 აქლემი - 40 ყვავილი)

- რამდენი კეხი დარჩება ყვავილების გარეშე?

(ისეთი იქნება 57-40=17 . ეს მეორე კეხიბაქტრიული აქლემები).

Რამდენი ბაქტრიული აქლემები? (17)

Რამდენი დრომედარული აქლემები? (40-17=23)

რა არის პასუხი პრობლემაზე? ( 17 და 23 აქლემი).

დავალება.ავტოფარეხში იდგა მანქანები და მოტოციკლები გვერდითი კარებით, აქედან 18 ერთად, მანქანებსა და მოტოციკლებს 65 ბორბალი ჰქონდათ. რამდენი მოტოციკლი იყო გვერდითი კარებით ავტოფარეხში, თუ მანქანებს აქვთ 4 ბორბალი და მოტოციკლებს აქვთ 3 ბორბალი?

1 გზა. განტოლების გამოყენებით:

ბორბლების რაოდენობა 1-ზე მთლიანი ბორბლების რაოდენობა

ბადაგი. 4x 4 x

მოტ. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

მოდით გადავაყალიბოთ პრობლემა : ავტოფარეხში მისულმა მძარცველებმა, სადაც 18 მანქანა და მოტოციკლი იყო გაჩერებული, თითოეულ მანქანას და მოტოციკლს 3 ბორბალი მოაშორეს და წაიყვანეს. რამდენი ბორბალი დარჩა ავტოფარეხში 65 რომ იყოს? ისინი ეკუთვნიან მანქანას თუ მოტოციკლს?

3×18=54 – ამდენი ბორბალი წაართვეს მძარცველებმა,

65- 54 = 11 - დარჩა ამდენი ბორბალი (მანქანები ავტოფარეხში),

18 - 11 = 7 მოტოციკლი.

პასუხი: 7 მოტოციკლი.

Ერთი საკუთარი:

ავტოფარეხში იდგა 23 მანქანა და მოტოციკლი გვერდითი კარებით. მანქანებსა და მოტოციკლებს აქვთ 87 ბორბალი. რამდენი მოტოციკლი არის ავტოფარეხში, თუ თითოეულ ბორბალს აქვს სათადარიგო ბორბალი?

- რამდენი ბორბალი აქვს მანქანას და მოტოციკლს ერთად? (4×23=92)

- რამდენი სათადარიგო ბორბალი ჩადეთ თითოეულ ეტლში? (92 - 87= 5)

- რამდენი მანქანაა ავტოფარეხში? (23 - 5=18).

დავალება.ჩვენს კლასში შეგიძლიათ ისწავლოთ ინგლისური ან ფრანგული ენები(სურვილისამებრ). ცნობილია, რომ ინგლისურს სწავლობს 20, ფრანგულს კი 17, ჯამში კლასში 32 მოსწავლეა. რამდენი სტუდენტი სწავლობს ინგლისურს და ფრანგულს?

დავხატოთ ორი წრე. ერთში ჩავწერთ ინგლისური ენის შემსწავლელი სკოლის მოსწავლეების რაოდენობას, მეორეში - სკოლის მოსწავლეების ფრანგულს. ვინაიდან პრობლემის პირობების მიხედვით იქ სტუდენტები სწავლობენორივე ენა: ინგლისური და ფრანგული, მაშინ წრეებს ექნებათ საერთო ნაწილი.ამ პრობლემის პირობები არც ისე ადვილი გასაგებია. თუ დაუმატებთ 20-ს და 17-ს, მიიღებთ 32-ზე მეტს. ეს აიხსნება იმით, რომ აქ ორჯერ დავთვალეთ რამდენიმე სკოლის მოსწავლე - კერძოდ, ისინი, ვინც ორივე ენას სწავლობს: ინგლისურს და ფრანგულს. ასე რომ, (20 + 17) - 32 = 5 სტუდენტები სწავლობენ ორივე ენას: ინგლისურს და ფრანგულს.

ინგლისური ფრანს.

20 გაკვეთილი 17 სკოლა

(20 + 17) – 32 = 5 (სტუდენტები).

მსგავს სქემებს, როგორიც ჩვენ გამოვიყენეთ პრობლემის გადასაჭრელად, მათემატიკაში ეწოდება ეილერის წრეები (ან დიაგრამები). ლეონჰარდ ეილერი (1736) დაიბადა შვეიცარიაში. მაგრამ გრძელი წლებიცხოვრობდა და მუშაობდა რუსეთში.

დავალება.ჩვენს სახლში მცხოვრები ყველა ოჯახი იწერს გაზეთს ან ჟურნალს, ან ორივეს. 75 ოჯახი იწერს გაზეთს, ხოლო 27 ოჯახი იწერს ჟურნალს და მხოლოდ 13 ოჯახი იწერს როგორც ჟურნალს, ასევე გაზეთს. რამდენი ოჯახი ცხოვრობს ჩვენს სახლში?

გაზეთების ჟურნალები

სურათზე ჩანს, რომ სახლში 89 ოჯახი ცხოვრობს.

დავალება.საერთაშორისო კონფერენციას 120 ადამიანი ესწრებოდა. აქედან 60 საუბრობს რუსულად, 48 საუბრობს ინგლისურად, 32 საუბრობს გერმანულად, 21 საუბრობს რუსულად და გერმანულად, 19 საუბრობს ინგლისურად და გერმანულად, 15 საუბრობს რუსულად და ინგლისურად, ხოლო 10 ადამიანი საუბრობს სამივე ენაზე. კონფერენციის რამდენი მონაწილე არ ფლობს რომელიმე ამ ენას?

რუსული 15 ინგლისური

21 10 19

გერმანული

ამოხსნა: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (პერსონა).

დავალება. სამი კნუტი და ორი ლეკვი იწონის 2 კგ 600 გ, ხოლო ორი კნუტი და სამი ლეკვი 2 კგ 900 გ.რამდენს იწონის ლეკვი?

3 კნუტი და 2 ლეკვი – 2 კგ 600 გრ

2 კნუტი და 3 ლეკვი – 2 კგ 900 გრ.

მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ 5 კნუტი და 5 ლეკვი იწონის 5 კგ 500 გ. ეს ნიშნავს, რომ 1 კნუტი და 1 ლეკვი იწონის 1 კგ 100 გ.

2 კატა და 2 ლეკვი. წონა 2 კგ 200 გ

მოდით შევადაროთ პირობები -

2 კნუტი + 3 ლეკვი = 2 კგ 900 გ

2 კნუტი + 2 ლეკვი = 2 კგ 200 გ, ვხედავთ, რომ ლეკვი იწონის 700 გ.

დავალება.ერთ ცხენზე და ორ ძროხზე დღეში 34 კგ თივას აძლევენ, ხოლო ორ ცხენსა და ერთ ძროხას - 35 კგ თივას. რამდენ თივას აძლევენ ერთ ცხენს და რამდენი ძროხას?

მოდი ჩავწეროთ მოკლე მდგომარეობადავალებები:

1 ცხენი და 2 ძროხა -34 კგ.

2 ცხენი და 1 ძროხა -35 კგ.

შესაძლებელია თუ არა იმის ცოდნა, თუ რამდენი თივა სჭირდება 3 ცხენს და 3 ძროხას?

(3 ცხენზე და 3 ძროხზე – 34+35=69 კგ)

შესაძლებელია თუ არა იმის გარკვევა, თუ რამდენი თივა სჭირდება ერთ ცხენს და ერთ ძროხას? (69: 3 – 23 კგ)

რამდენი თივა სჭირდება ერთ ცხენს? (35-23=12 კგ)

რამდენი თივა სჭირდება ერთ ძროხას? (23 -13 =11 კგ)

პასუხი: 12 კგ და 11 კგ.

დავალება.მადინამ გადაწყვიტა საუზმობა სკოლის კაფეტერიაში. შეისწავლეთ მენიუ და უპასუხეთ, რამდენი გზით შეუძლია აირჩიოს სასმელი და საკონდიტრო ნაწარმი?

	საკონდიტრო ნაწარმი
	ჩიზქეიქი

დავუშვათ, რომ მადინა სასმელად ჩაის ირჩევს. რა საკონდიტრო ნაწარმი შეუძლია აირჩიოს ჩაისთვის? (ჩაი - ჩიზქეიქი, ჩაი - ნამცხვრები, ჩაი - ფუნთუშა)

რამდენი გზა? (3)

თუ კომპოტია? (ასევე 3)

როგორ შეგიძლიათ გაიგოთ, რამდენი გზა შეუძლია მადინას გამოიყენოს ლანჩის არჩევისთვის? (3+3+3=9)

Კი, მართალი ხარ. მაგრამ იმისათვის, რომ გაგვიადვილდეს ამ პრობლემის გადაჭრა, გამოვიყენებთ გრაფიკებს. სიტყვა „გრაფა“ მათემატიკაში ნიშნავს სურათს რამდენიმე დახატული წერტილით, რომელთაგან ზოგიერთი დაკავშირებულია ხაზებით. დავნიშნოთ სასმელები და საკონდიტრო ნაწარმიწერტილები და დააკავშირეთ იმ კერძების წყვილი, რომლებსაც მადინა ირჩევს.

ჩაის რძის კომპოტი

ჩიზქეიქის ფუნთუშა

ახლა დავთვალოთ ხაზების რაოდენობა. არის 9. ეს ნიშნავს, რომ კერძების არჩევის 9 გზა არსებობს.

დავალება.სერიოჟამ გადაწყვიტა, რომ დაბადების დღეზე დედას ყვავილების თაიგული (ვარდები, ტიტები ან მიხაკები) აჩუქოს და ისინი ვაზაში ან დოქში ჩაეტანა. რამდენი გზით შეუძლია მას ამის გაკეთება?

რამდენ გზას ფიქრობ? (3)

რატომ? (3 ფერი)

დიახ. მაგრამ ჯერ კიდევ არსებობს სხვადასხვა კერძები: ან ვაზა ან დოქი. შევეცადოთ დავასრულოთ დავალება გრაფიკულად.

ვაზა ქილა

ვარდები ტიტები მიხაკი

დაითვალეთ ხაზები. Რამდენია იქ? (6)

მაშ, რამდენი გზა უნდა აირჩიოს სერიოჟამ? (6)

გაკვეთილის შეჯამება.

დღეს არაერთი პრობლემა მოვაგვარეთ. მაგრამ სამუშაო არ დასრულებულა, არსებობს მისი გაგრძელების სურვილი და ვიმედოვნებ, რომ ეს დაგეხმარებათ წარმატებით გადაჭრათ სიტყვიერი პრობლემები.

ჩვენ ვიცით, რომ პრობლემის გადაჭრა პრაქტიკული ხელოვნებაა, როგორიცაა ცურვა ან პიანინოზე დაკვრა. ამის სწავლა შეგიძლიათ მხოლოდ კარგი მაგალითების მიბაძვით და გამუდმებით ვარჯიშით.

ეს მხოლოდ უმარტივესი პრობლემებია, რთული კი სამომავლო შესწავლის საგნად რჩება. მაგრამ ჯერ კიდევ ბევრი მათგანია, ვიდრე ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ. და თუ გაკვეთილის ბოლოს შეგიძლიათ პრობლემების გადაჭრა "გვერდების მიღმა" სასწავლო მასალა“, მაშინ შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ დავასრულე დავალება.

მათემატიკის ცოდნა ხელს უწყობს გარკვეული ცხოვრებისეული პრობლემის გადაჭრას. ცხოვრებაში მოგიწევთ რეგულარულად მოაგვაროთ გარკვეული საკითხები, ამისათვის საჭიროა ინტელექტუალური შესაძლებლობების განვითარება, რომლის წყალობითაც ვითარდება შინაგანი პოტენციალი, ვითარდება სიტუაციის განჭვრეტის უნარი, პროგნოზების გაკეთება და არასტანდარტული გადაწყვეტილებების მიღება.

გაკვეთილი მინდა დავასრულო სიტყვებით: „ყოველი კარგად ამოხსნილი მათემატიკური პრობლემა გონებრივ სიამოვნებას ანიჭებს“. (გ. ჰესე).

ეთანხმებით ამას?

Საშინაო დავალება .

სახლში მოგეცემათ შემდეგი დავალება: ამოხსნილი ამოცანების ტექსტების ნიმუშად ამოხსნა N8, 17, 26 ამოცანების ჩვენ მიერ შესწავლილი მეთოდებით.

მათემატიკური მნიშვნელობის მსგავსებისა და ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის ურთიერთშემცვლელობის საფუძველზე, ყველა არითმეტიკული მეთოდი შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგ ჯგუფებად:

• 1) შემცირების მეთოდი ერთიანობამდე, შემცირება ზოგად საზომამდე, შებრუნებული შემცირება ერთიანობამდე, მიმართებების მეთოდი;
• 2) პრობლემის გადაჭრის გზა „ბოლოდან“;
• 3) უცნობის აღმოფხვრის მეთოდი (ერთი უცნობის მეორეთი ჩანაცვლება, უცნობის შედარება, მონაცემების შედარება, ორი პირობის შედარება გამოკლებით, ორი პირობის ერთში გაერთიანება); გამოცნობის გზა;
• 4) ნაწილების პროპორციული გაყოფა, მსგავსება ან პოვნა;
• 5) ერთი პრობლემის მეორეში გადაქცევის მეთოდი (კომპლექსური პრობლემის დაშლა მარტივ, მოსამზადებელებად; უცნობის მიყვანა ისეთ მნიშვნელობებამდე, რომლებისთვისაც ცნობილი ხდება მათი ურთიერთობა; ერთ-ერთი უცნობი სიდიდის თვითნებური რიცხვის განსაზღვრის მეთოდი).

ზემოაღნიშნული მეთოდების გარდა, მიზანშეწონილია გავითვალისწინოთ აგრეთვე საშუალო არითმეტიკული მეთოდი, ჭარბი მეთოდი, ცნობილისა და უცნობის გადაწყობის მეთოდი და „მცდარი“ წესების მეთოდი.

ვინაიდან, როგორც წესი, შეუძლებელია წინასწარ განსაზღვრო, რომელი მეთოდია რაციონალური, განჭვრეტა, რომელი მათგანი მიგვიყვანს მოსწავლისთვის ყველაზე მარტივ და გასაგებ გადაწყვეტამდე, მაშინ სტუდენტებს უნდა გააცნონ სხვადასხვა გზებიდა მიეცით მათ საშუალება აირჩიონ რომელი გამოიყენონ კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას.

უცნობების გამორიცხვის მეთოდი

ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც პრობლემაში რამდენიმე უცნობია. ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ხუთიდან ერთ-ერთი ტექნიკით: 1) ერთი უცნობის მეორეთი ჩანაცვლება; 2) უცნობის შედარება; 3) ორი პირობის შედარება გამოკლებით; 4) მონაცემების შედარება; 5) რამდენიმე პირობის გაერთიანება ერთში.

ერთ-ერთი ჩამოთვლილი ტექნიკის გამოყენების შედეგად, რამდენიმე უცნობის ნაცვლად, რჩება ერთი, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს. მისი გამოთვლის შემდეგ, ისინი იყენებენ მონაცემებს დამოკიდებულების პირობებში სხვა უცნობის საპოვნელად.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ზოგიერთი ტექნიკა.

1. ერთი უცნობის მეორეთი ჩანაცვლება

ტექნიკის სახელწოდება ცხადყოფს მის იდეას: დამოკიდებულებებზე (მრავლობითი ან სხვაობა), რომლებიც მოცემულია პრობლემის პირობების მიხედვით, აუცილებელია ყველა უცნობის გამოხატვა ერთი მათგანის საშუალებით.

დავალება. სერგეის და ანდრეის მხოლოდ 126 მარკა აქვთ. სერგეის ანდრეისზე 14 ქულით მეტი აქვს. რამდენი შტამპი ჰქონდა თითოეულ ბიჭს?

მდგომარეობის მოკლე აღწერა:

სერგეი --? ქულა, 14 ქულა მეტი

ანდრეი -- ? მარკები

სულ -- 126 მარკა

გამოსავალი 1.

• (დიდი უცნობის ჩანაცვლება პატარათი)
• 1) დაე, სერგეის ჰქონდეს იმდენი მარკა, რამდენიც ანდრეი. მერე სულიქნებოდა 126 ნიშანი - 14 = 112 (ნიშანი).
• 2) ვინაიდან ახლა ბიჭებს აქვთ იგივე რაოდენობის ნიშნები, ჩვენ გავიგებთ რამდენი ნიშანი ჰქონდა ანდრეის დასაწყისში: 112: 2 = 56 (შტამპები).
• 3) იმის გათვალისწინებით, რომ სერგეის ანდრეისზე 14 ქულით მეტი აქვს, მივიღებთ: 56 + 14 = 70 (ნიშანი).

გამოსავალი 2.

• (პატარა უცნობის ჩანაცვლება უფრო დიდით)
• 1) დაე, ანდრეის ჰქონდეს იგივე რაოდენობის მარკები, როგორც სერგეი. მაშინ მარკების საერთო რაოდენობა იქნება 126 + 14 = 140 (შტამპები).
• 2) ვინაიდან ახლა ბიჭებს აქვთ იგივე რაოდენობის ნიშნები, მოდით გავიგოთ, რამდენი ნიშანი ჰქონდა სერგეის თავდაპირველად: 140: 2 = 70 (ნიშანი).
• 3) იმის გათვალისწინებით, რომ ანდრეის სერგეისზე 14 ნიშნით ნაკლები ჰქონდა, მივიღებთ: 70 - 14 = 56 (ნიშანი).

პასუხი: სერგეის 70 ქულა ჰქონდა, ანდრეის კი 56 ქულა.

ამისთვის საუკეთესო შეწოვაპატარა უცნობის უფრო დიდით ჩანაცვლების მეთოდის მოსწავლეებმა, სანამ განიხილავენ, აუცილებელია მოსწავლეებთან გაარკვიონ შემდეგი ფაქტი: თუ რიცხვი A მეტია B რიცხვზე C ერთეულებით, მაშინ იმისათვის რომ შევადაროთ. A და B ნომრები აუცილებელია:

• ა) გამოვაკლოთ რიცხვი C A რიცხვს (მაშინ ორივე რიცხვი უდრის B რიცხვს);
• ბ) B რიცხვს დაამატეთ C რიცხვი (მაშინ ორივე რიცხვი ტოლია A რიცხვს).

მოსწავლეთა უნარი შეცვალონ უფრო დიდი უცნობი პატარათი და პირიქით, კიდევ უფრო უწყობს ხელს განტოლების შედგენისას უცნობის არჩევისა და მისი მეშვეობით სხვა სიდიდის გამოხატვის უნარის განვითარებას.

2. უცნობთა შედარება

დავალება. ოთხ თაროზე 188 წიგნი იყო. მეორე თაროზე პირველზე 16-ით ნაკლები წიგნი იყო, მესამეზე - 8-ით მეტი, ვიდრე მეორეზე, ხოლო მეოთხეზე - 12-ით ნაკლები, ვიდრე მესამე თაროზე. რამდენი წიგნია თითოეულ თაროზე?

დავალების ანალიზი

ამისთვის უკეთესი ცნობიერებადამოკიდებულება ოთხ უცნობ რაოდენობას შორის (წიგნების რაოდენობა თითოეულ თაროზე) ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ დიაგრამას:

ᲛᲔ_________________________________

II_________________________

III_________________________________

IV_____________________ _ _ _ _ _

შევადარებთ იმ სეგმენტებს, რომლებიც სქემატურად ასახავს თითოეულ თაროზე წიგნების რაოდენობას, მივდივართ შემდეგ დასკვნამდე: პირველ თაროზე 16 წიგნით მეტია, ვიდრე მეორეზე; მესამეზე 8-ით მეტია მეორეზე; მეოთხეზე - 12 - 8 = 4 (წიგნი) ნაკლები, ვიდრე მეორეზე. ამიტომ, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია თითოეულ თაროზე წიგნების რაოდენობის შედარებით. ამისთვის პირველი თაროდან ამოიღეთ 16 წიგნი, მესამედან 8 წიგნი და მეოთხე თაროზე 4 წიგნი დადეთ. შემდეგ ყველა თაროზე იგივე რაოდენობის წიგნი იქნება, კერძოდ, როგორც იყო მეორეზე თავიდან.

• 1) რამდენი წიგნია ყველა თაროზე პრობლემის ანალიზში აღწერილი ოპერაციების შემდეგ?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (წიგნები)
• 2) რამდენი წიგნი იყო მეორე თაროზე?
• 168: 4 = 42 (წიგნები)
• 3) რამდენი წიგნი იყო პირველ თაროზე?
• 42 + 16 = 58 (წიგნები)
• 4) რამდენი წიგნი იყო მესამე თაროზე?
• 42 + 8 = 50 (წიგნები)
• 5) რამდენი წიგნი იყო მეოთხე თაროზე?
• 50 -- 12 = 38 (წიგნები)

პასუხი: ოთხივე თაროზე იყო 58, 42, 50 და 38 წიგნი.

კომენტარი. თქვენ შეგიძლიათ მოიწვიოთ სტუდენტები ამ პრობლემის გადასაჭრელად სხვა გზებით, წიგნების უცნობი რაოდენობის შედარებით, რომლებიც პირველ, ან მეორე, ან მეოთხე თაროზე იყო.

3. ორი პირობის შედარება გამოკლებით

ამ ტექნიკით მოგვარებული პრობლემის სიუჟეტი ხშირად მოიცავს ორ პროპორციულ რაოდენობას (საქონლის რაოდენობა და მისი ღირებულება, მუშაკთა რაოდენობა და მათ მიერ შესრულებული სამუშაო და ა.შ.). პირობა იძლევა ერთი სიდიდის ორ მნიშვნელობას და მათ პროპორციულ ორის განსხვავებას რიცხვითი მნიშვნელობებისხვადასხვა ზომის.

დავალება. 4 კგ ფორთოხალში და 5 კგ ბანანში გადაიხადეს 620 მანეთი, შემდეგ ჯერზე 4 კგ ფორთოხალში და 3 კგ ბანანში იმავე ფასად იყიდეს 500 მანეთი. რა ღირს 1 კგ ფორთოხალი და 1 კგ ბანანი?

მდგომარეობის მოკლე აღწერა:

• 4 კგ აპლიკაცია. და 5 კგ აკრძალვა. - 620 რუბლი,
• 4 კგ აპლიკაცია. და 3 კგ აკრძალვა. - 500 რუბლი.

• 1) შევადაროთ ორი შესყიდვის ღირებულება. როგორც პირველ, ისე მეორედ იყიდეს ერთნაირი რაოდენობის ფორთოხალი იმავე ფასად. პირველად გადავიხადეთ მეტი, რადგან მეტი ბანანი ვიყიდეთ. მოდით გავიგოთ კიდევ რამდენი კილოგრამი ბანანი იყიდა პირველად: 5 -- 3 = 2 (კგ).
• 2) მოდით გავარკვიოთ, რამდენად მეტი გადავიხადეთ პირველად, ვიდრე მეორედ (ანუ გავარკვევთ, რა ღირს 2 კგ ბანანი): 620 - 500 = 120 (რუბ.).
• 3) იპოვეთ 1 კგ ბანანის ფასი: 120: 2 = 60 (რუბ.).
• 4) პირველი და მეორე შესყიდვის ღირებულების ცოდნით შეგვიძლია ვიპოვოთ 1 კგ ფორთოხლის ფასი. ამისათვის ჯერ იპოვეთ შეძენილი ბანანის ღირებულება, შემდეგ ფორთოხლის ღირებულება და შემდეგ 1 კგ. ჩვენ გვაქვს: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (რუბლი).

პასუხი: 1 კგ ფორთოხლის ფასი 80 რუბლია, ხოლო 1 კგ ბანანის ფასი 60 მანეთი.

4. მონაცემთა შედარება

განაცხადი ამ ტექნიკასშესაძლებელს ხდის მონაცემების შედარებას და გამოკლების მეთოდის გამოყენებას. თქვენ შეგიძლიათ შეადაროთ მონაცემთა მნიშვნელობები:

• 1) გამრავლების გამოყენება (მათი შედარება უმცირეს საერთო ჯერადთან);
• 2) გაყოფის გამოყენებით (მათი შედარება უდიდესთან საერთო გამყოფი).

მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.

დავალება. 4 კგ ფორთოხალში და 5 კგ ბანანში გადაიხადეს 620 მანეთი, შემდეგ ჯერზე 6 კგ ფორთოხალში და 3 კგ ბანანში იმავე ფასად იყიდეს 660 მანეთი. რა ღირს 1 კგ ფორთოხალი და 1 კგ ბანანი?

მდგომარეობის მოკლე აღწერა:

• 4 კგ აპლიკაცია. და 5 კგ აკრძალვა. - 620 რუბლი,
• 6 კგ აპლიკაცია. და 3 კგ აკრძალვა. - 660 რუბლი.

მოდით გავათანაბროთ ფორთოხლისა და ბანანის რაოდენობა უმცირეს საერთო ჯერადთან შედარებით: LCM(4;6) = 12.

გამოსავალი 1.

• 1) გავზარდოთ შეძენილი ხილის რაოდენობა და მათი ღირებულება პირველ შემთხვევაში 3-ჯერ, ხოლო მეორეში - 2-ჯერ. ჩვენ ვიღებთ პირობის შემდეგ მოკლე განცხადებას:
• 12 კგ აპლიკაცია. და 15 კგ აკრძალვა. - 1860 რუბლი,
• 12 კგ აპლიკაცია. და 6 კგ აკრძალვა. - 1320 რუბლი.
• 2) გაარკვიეთ კიდევ რამდენი ბანანი იყიდეთ პირველად: 15-6 = 9 (კგ).
• 3) რა ღირს 9 კგ ბანანი? 1860 -- 1320 = 540 (რუბლი).
• 4) იპოვეთ 1 კგ ბანანის ფასი: 540: 9 = 60 (რუბლი).
• 5) იპოვეთ 3 კგ ბანანის ღირებულება: 60 * 3 = 180 (რუბლი).
• 6) იპოვეთ 6 კგ ფორთოხლის ღირებულება: 660 -- 180 = 480 (რუბლი).
• 7) იპოვეთ 1 კგ ფორთოხლის ფასი: 480: 6 = 80 (რუბლი).

გამოსავალი 2.

მოდით გავათანაბროთ ფორთოხლისა და ბანანის რაოდენობა უდიდეს საერთო გამყოფთან შედარებით: GCD (4; 6) = 2.

• 1) პირველად და მეორედ შეძენილი ფორთოხლის რაოდენობის გასათანაბრებლად, შეძენილი პროდუქტის რაოდენობას და მის ღირებულებას პირველ შემთხვევაში ვამცირებთ 2-ჯერ, მეორეში - 3-ჯერ. მოდით მივიღოთ პრობლემა, რომელსაც აქვს პირობების შემდეგი მოკლე ფორმა:
• 2 კგ აპლიკაცია. და 2,5 კგ აკრძალვა. - 310 რუბლი,
• 2 კგ აპლიკაცია. და 1 კგ აკრძალვა. - 220 რუბლი.
• 2) კიდევ რამდენ ბანანს ყიდულობენ ახლა: 2,5 -- 1 = 1,5 (კგ).
• 3) გამოვიცნოთ რა ღირს 1,5 კგ ბანანი: 310 -- 220 = 90 (რუბლი).
• 4) იპოვეთ 1 კგ ბანანის ფასი: 90: 1.5 = 60 (რუბლი).
• 5) იპოვეთ 1 კგ ფორთოხლის ფასი: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (რუბლი).

პასუხი: 1 კგ ფორთოხლის ფასი 80 რუბლია, 1 კგ ბანანი 60 რუბლი.

მონაცემთა შედარების ტექნიკის გამოყენებით პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ ასეთი დეტალური ანალიზი და ჩანაწერები, მაგრამ მხოლოდ ჩაწერეთ შედარებისთვის განხორციელებული ცვლილებები და ჩაწერეთ ისინი ცხრილის სახით.

5. რამდენიმე პირობის ერთში გაერთიანება

ზოგჯერ შეგიძლიათ თავი დააღწიოთ არასაჭირო უცნობებს რამდენიმე პირობის ერთში გაერთიანებით.

დავალება. ტურისტებმა დატოვეს ბანაკი და ჯერ ფეხით 4 საათი გაიარეს, შემდეგ კი კიდევ 4 საათი ველოსიპედს გარკვეული მუდმივი სიჩქარით ატარებენ და ბანაკს 60 კმ დაშორდნენ. მეორედ დატოვეს ბანაკი და ჯერ 7 საათის განმავლობაში ველოსიპედს ატარებდნენ იმავე სიჩქარით, შემდეგ კი საპირისპირო მიმართულებით შეტრიალდნენ და 4 საათის სიარულით, ბანაკიდან 50 კმ-ის მანძილზე აღმოჩნდნენ. რამდენად სწრაფად დადიოდნენ ტურისტები ველოსიპედით?

პრობლემაში ორი უცნობია: სიჩქარე, რომლითაც ტურისტები ატარებდნენ ველოსიპედს და სიჩქარე, რომლითაც ისინი დადიოდნენ. ერთი მათგანის გამორიცხვის მიზნით, შეგიძლიათ დააკავშიროთ ორი პირობა ერთში. მაშინ მანძილი, რომელსაც ტურისტები გაივლიან 4 საათში, პირველად წინ მიიწევენ ფეხით, უდრის იმ მანძილს, რომელიც გაიარეს 4 საათში, მეორედ უკან გადაადგილდებიან. ამიტომ ამ დისტანციებს ყურადღებას არ ვაქცევთ. ეს ნიშნავს, რომ მანძილი, რომელსაც ტურისტები გაივლიან ველოსიპედებზე 4 + 7 = 11 (საათში) იქნება 50 + 60 = 110 (კმ).

მაშინ ველოსიპედებზე ტურისტების სიჩქარეა: 110: 11 = 10 (კმ/სთ).

პასუხი: ველოსიპედის სიჩქარეა 10 კმ/სთ.

6. ვარაუდის მეთოდი

დაშვების მეთოდის გამოყენება პრობლემების გადაჭრისას არ უქმნის სირთულეებს სტუდენტების უმეტესობას. ამიტომ, იმისათვის, რომ მოსწავლეებმა მექანიკურად არ დაიმახსოვრონ ამ მეთოდის საფეხურების დიაგრამა და არ გაიგონ თითოეულ მათგანზე შესრულებული მოქმედებების არსი, სტუდენტებს ჯერ უნდა აჩვენონ საცდელი მეთოდი („ცრუ წესი“ და „ძველი ბაბილონელთა წესი“).

შერჩევის მეთოდის, კერძოდ, „მცდარი წესის“ გამოყენებისას, ერთ-ერთ უცნობ რაოდენობას ენიჭება („დაშვებული“) გარკვეული მნიშვნელობა. შემდეგ ყველა პირობის გამოყენებით პოულობენ სხვა სიდიდის მნიშვნელობას. შედეგად მიღებული მნიშვნელობა შემოწმებულია პირობითში მითითებულთან შედარებით. თუ მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება პირობით მოცემულისაგან, მაშინ მითითებული პირველი მნიშვნელობა არ არის სწორი და ის უნდა გაიზარდოს ან შემცირდეს 1-ით და კვლავ მოიძებნოს სხვა მნიშვნელობის მნიშვნელობა. ეს უნდა გაკეთდეს მანამ, სანამ არ მივიღებთ სხვა სიდიდის მნიშვნელობას, როგორიცაა პრობლემის განცხადებაში.

დავალება. მოლარეს აქვს 50 მონეტა 50 კაპიკიანი და 10 კაპიკი, სულ 21 მანეთი. იპოვეთ რამდენი ცალკე 50 ათასი მონეტა ჰქონდა მოლარეს. და თითო 10 ათასი.

გამოსავალი 1. (შერჩევის მეთოდი)

გამოვიყენოთ „უძველესი“ ბაბილონელების წესი. დავუშვათ, რომ მოლარეს აქვს თითო ნომინალის თანაბარი რაოდენობის მონეტა, ანუ თითო 25 ცალი. მაშინ ფულის ოდენობა იქნება 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (კ.), ანუ 15 რუბლი. მაგრამ იმ მდგომარეობაში 21 მანეთი, ანუ 21 UAH მეტი მიღებულზე - 15 რუბლი = 6 მანეთი. ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია 50-კაპიკიანი მონეტების რაოდენობის გაზრდა და 10-კაპიკიანი მონეტების შემცირება, სანამ არ მივიღებთ ჯამში 21 რუბლს. ჩვენ ჩავწერთ ცხრილში მონეტების რაოდენობისა და მთლიანი ოდენობის ცვლილებას.

მონეტების რაოდენობა	მონეტების რაოდენობა	Ფულის ოდენობა	Ფულის ოდენობა	მთლიანი რაოდენობა	ნაკლები ან მეტი ვიდრე მდგომარეობაშია
					6 რუბლით ნაკლები.
					5 რუბლით 60 ათასით ნაკლები
					როგორც მდგომარეობაში

როგორც ცხრილიდან ჩანს, მოლარეს ჰქონდა 40 მონეტა 50 კაპიკიანი და 10 მონეტა 10 კაპიკიანი.

როგორც 1-ლ ხსნარში გაირკვა, თუ მოლარეს ჰქონდა თანაბარი რაოდენობის 50 ათასი მონეტა. და თითო 10 ათასი, შემდეგ სულ ჰქონდა 15 მანეთი ფული. ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული მონეტის ჩანაცვლება არის 10 ათასი. თითო მონეტა 50 ათასი. ზრდის მთლიან თანხას 40 ათასით. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რამდენი ასეთი ჩანაცვლებაა საჭირო. ამისათვის ჯერ ვიპოვოთ რამდენი თანხა გვჭირდება მთლიანი თანხის გასაზრდელად:

21 რუბლი -- 15 რუბლი. = 6 რუბლი. = 600 კ.

ვნახოთ რამდენჯერ უნდა გაკეთდეს ასეთი ჩანაცვლება: 600 კ. : 40 კ. = 15.

მაშინ 50 კაპიკი იქნება 25 +15 = 40 (მონეტა), ხოლო 10 კაპიკი დარჩება 25 -- 15 = 10.

ჩეკი ადასტურებს, რომ ამ შემთხვევაში თანხის მთლიანი ოდენობაა 21 რუბლი.

პასუხი: მოლარეს ჰქონდა 40 მონეტა 50 კაპიკიანი და 10 მონეტა 10 კაპიკიანი.

მოსწავლეებს სთხოვს თავად აირჩიონ სხვადასხვა მნიშვნელობა 50 კაპიკიანი მონეტების რაოდენობა, აუცილებელია მათი მიყვანა იმ აზრამდე, რომ რაციონალურობის თვალსაზრისით საუკეთესოა ვარაუდი, რომ მოლარეს მხოლოდ ერთი ნომინალის მონეტები ჰქონდა (მაგალითად, 50-ვე მონეტა 50 კაპიკიანი ან ყველა. თითო 10 კაპიკიანი 50 მონეტა). ამის გამო ერთ-ერთი უცნობი გამორიცხულია და ჩანაცვლებულია სხვა უცნობით.

7. ნარჩენების მეთოდი

ამ მეთოდს აქვს გარკვეული მსგავსება აზროვნებასთან საცდელი და გამოცნობის მეთოდების გამოყენებით პრობლემების გადაჭრისას. ჩვენ ვიყენებთ ნაშთების მეთოდს ერთი მიმართულებით მოძრაობასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას, კერძოდ, როდესაც საჭიროა ვიპოვოთ დრო, რომლის დროსაც პირველი ობიექტი, რომელიც უკან მოძრაობს უფრო მაღალი სიჩქარით, დაეწევა მეორე ობიექტს, რომელსაც აქვს უფრო დაბალი სიჩქარე. 1 საათში პირველი ობიექტი მეორეს უახლოვდება იმ მანძილით, რომელიც უდრის მათ სიჩქარის სხვაობას, ანუ სიჩქარის „დარჩენილს“ უდრის, რაც მას აქვს მეორეს სიჩქარესთან შედარებით. იმისთვის, რომ იპოვოთ ის დრო, რაც პირველ ობიექტს სჭირდება იმ მანძილის დასაფარად, რომელიც მას და მეორეს შორის იყო მოძრაობის დასაწყისში, თქვენ უნდა განსაზღვროთ რამდენჯერ არის მოთავსებული „ნარჩენი“ ამ მანძილზე.

თუ ჩვენ აბსტრაციას ვახდენთ ნაკვეთიდან და განვიხილავთ პრობლემის მხოლოდ მათემატიკურ სტრუქტურას, მაშინ საუბარია ორ ფაქტორზე (ორივე ობიექტის გადაადგილების სიჩქარეზე) ან ამ ფაქტორებსა და ორ პროდუქტს შორის განსხვავებაზე (დისტანციებზე, რომლებსაც ისინი მოგზაურობენ) ან მათ განსხვავებაზე. უცნობი ფაქტორები (დრო) იგივეა და უნდა მოიძებნოს. მათემატიკური თვალსაზრისით უცნობი ფაქტორი გვიჩვენებს რამდენჯერ არის ცნობილი ფაქტორების სხვაობა პროდუქტთა განსხვავებაში. მაშასადამე, ამოცანებს, რომლებიც წყდება ნაშთების მეთოდით, ეწოდება ორი სხვაობით რიცხვების პოვნის ამოცანებს.

დავალება. მოსწავლეებმა გადაწყვიტეს ალბომში ჩასვათ ფოტოები დღესასწაულიდან. თუ ისინი თითოეულ გვერდზე 4 ფოტოს დამაგრებენ, ალბომში არ იქნება საკმარისი ადგილი 20 ფოტოსთვის. თუ თითოეულ გვერდზე ჩასვით 6 ფოტო, მაშინ 5 გვერდი დარჩება უფასო. რამდენი ფოტოს განთავსებას აპირებენ მოსწავლეები ალბომში?

დავალების ანალიზი

ფოტოების რაოდენობა იგივე რჩება პირველი და მეორე წებოს ვარიანტებისთვის. პრობლემის პირობებიდან გამომდინარე, უცნობია, მაგრამ მისი აღმოჩენა შესაძლებელია, თუ ცნობილია ფოტოსურათების რაოდენობა, რომლებიც განთავსებულია ერთ გვერდზე და ალბომში არსებული გვერდების რაოდენობა.

ცნობილია ფოტოების რაოდენობა, რომლებიც ჩასმულია ერთ გვერდზე (პირველი მულტიპლიკატორი). ალბომის გვერდების რაოდენობა უცნობია და უცვლელი რჩება (მეორე მულტიპლიკატორი). ვინაიდან ცნობილია, რომ ალბომის 5 გვერდი მეორედ რჩება უფასო, შეგიძლიათ იპოვოთ კიდევ რამდენი ფოტოს ჩასმა ალბომში: 6 * 5 = 30 (ფოტო).

ეს ნიშნავს, რომ ერთ გვერდზე ფოტოების რაოდენობის გაზრდით 6 - 4 = 2-ით, ჩასმული ფოტოების რაოდენობა იზრდება 20 + 30 = 50-ით.

მას შემდეგ, რაც მეორედ მათ თითოეულ გვერდზე კიდევ ორი ​​ფოტო ჩასვეს და ჯამში კიდევ 50 ფოტო ჩასვეს, ალბომში გვერდების რაოდენობას ვიპოვით: 50: 2 = 25 (გვერდი).

აქედან გამომდინარე, სულ იყო 4*25 + 20 = 120 (ფოტო).

პასუხი: ალბომში იყო 25 გვერდი და 120 ფოტო.

ზოგადი შენიშვნები არითმეტიკული მეთოდით ამოცანების ამოხსნის შესახებ.

მოქმედებების შედეგების საფუძველზე უცნობის პოვნის პრობლემები.

პროპორციული დაყოფის პრობლემები.

პროცენტებთან და ნაწილებთან დაკავშირებული პრობლემები.

პრობლემები მოგვარებულია საპირისპიროდ.

1. არითმეტიკული მეთოდი სიტყვის ამოცანების გადაჭრის მთავარი მეთოდია დაწყებითი სკოლა. იგი ასევე პოულობს თავის გამოყენებას საშუალო სკოლების საშუალო საფეხურზე. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ უკეთ გაიგოთ და შეაფასოთ დავალებაზე მუშაობის თითოეული ეტაპის მნიშვნელობა და მნიშვნელობა.

ზოგიერთ შემთხვევაში, არითმეტიკული მეთოდით პრობლემის გადაჭრა ბევრად უფრო მარტივია, ვიდრე სხვა მეთოდების გამოყენება.

სიმარტივით და ხელმისაწვდომობით მოხიბლული არითმეტიკული მეთოდი ამავდროულად საკმაოდ რთულია და ამ მეთოდით ამოცანების გადაჭრის ტექნიკის დაუფლება სერიოზულ და შრომატევად მუშაობას მოითხოვს. პრობლემების ტიპების მრავალფეროვნება არ გვაძლევს საშუალებას ჩამოვაყალიბოთ უნივერსალური მიდგომა პრობლემების ანალიზისა და მათი გადაჭრის გზების მოძიებაში: პრობლემებს, თუნდაც ერთ ჯგუფად გაერთიანებულს, აქვთ მათი გადაჭრის სრულიად განსხვავებული გზები.

2 . დავალებებზე უცნობის პოვნა მათი განსხვავებებითა და თანაფარდობითეს მოიცავს პრობლემებს, რომლებშიც, გარკვეული რაოდენობის ორი მნიშვნელობის ცნობილი სხვაობისა და კოეფიციენტის გამოყენებით, საჭიროა ამ მნიშვნელობების პოვნა.

ალგებრული მოდელი:

პასუხი ნაპოვნია ფორმულების გამოყენებით: X= ak/(k – 1), y = a/(k – 1).

მაგალითი.სწრაფი მატარებლის დაჯავშნულ ვაგონებში 432-ით მეტი მგზავრია ვიდრე კუპეში. რამდენი მგზავრია ცალ-ცალკე დაჯავშნილ ადგილებსა და კუპე ვაგონებში, თუ კუპეში 4-ჯერ ნაკლები მგზავრია, ვიდრე დაჯავშნულ ვაგონებში?

გამოსავალი.პრობლემის გრაფიკული მოდელი წარმოდგენილია ნახ. 4.

ბრინჯი. 4

კუპე მანქანებში მგზავრების რაოდენობას ავიღებთ 1 ნაწილად. შემდეგ შეგიძლიათ გაიგოთ რამდენი ნაწილია მგზავრების რაოდენობაზე დაჯავშნულ ადგილებზე და შემდეგ რამდენი ნაწილია 432 მგზავრზე. ამის შემდეგ შეგიძლიათ განსაზღვროთ მგზავრების რაოდენობა, რომლებიც შეადგენენ 1 ნაწილს (მდებარეობენ კუპე მანქანებში). იმის ცოდნა, რომ დაჯავშნილ ადგილებზე 4-ჯერ მეტი მგზავრია, შეგვიძლია ვიპოვოთ მათი რაოდენობა.

1  4 = 4 (საათი) – დაჯავშნილი ადგილების ვაგონების მგზავრების ანგარიშები;

4 – 1 = 3 (სთ.) – ითვლის სხვაობას დაჯავშნილ ადგილებსა და კუპე ვაგონებში მგზავრთა რაოდენობას შორის;

432: 3 = 144 (გვ.) - კუპე მანქანებში;

144  4 = 576 (გვ.) – დაჯავშნილი სავარძლების ვაგონებში.

ამ პრობლემის გადამოწმება შესაძლებელია მისი სხვა გზით გადაჭრით, კერძოდ:

1  4 = 4(სთ);

4 – 1 = 3 (სთ);

432: 3 = 144 (გვ.);

144 + 432 = 576 (გვ.).

პასუხი: კუპე ვაგონებში 144 მგზავრია, ხოლო დაჯავშნილ ადგილებზე 576 მგზავრი.

დავალებებზე უცნობის პოვნა ორი ან ორი ნარჩენიდან განსხვავებებიმოიცავს ამოცანებს, რომლებშიც განიხილება ორი პირდაპირ ან უკუპროპორციული სიდიდე, ისეთი, რომ ცნობილია ერთი სიდიდის ორი მნიშვნელობა და სხვა სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობების სხვაობა, და საჭიროა ამ მნიშვნელობების პოვნა. თავად რაოდენობა.

ალგებრული მოდელი:

პასუხები ნაპოვნია ფორმულების გამოყენებით:

მაგალითი.ორი მატარებელი ერთი და იგივე სიჩქარით მოძრაობდა - ერთი 837 კმ, მეორე 248 კმ, პირველი კი გზაზე 19 საათით მეტი იყო, ვიდრე მეორე. რამდენი საათი იმოგზაურა თითოეულმა მატარებელმა?

გამოსავალი.პრობლემის გრაფიკული მოდელი წარმოდგენილია ნახაზში 5.

ბრინჯი. 5

პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად, რამდენი საათი იყო გზაში ესა თუ ის მატარებელი, უნდა იცოდეთ მანძილი და სიჩქარე. მანძილი მოცემულია პირობით. სიჩქარის გასარკვევად, თქვენ უნდა იცოდეთ მანძილი და დრო, რომლის დროსაც გაიარა ეს მანძილი. პირობა ამბობს, რომ პირველ მატარებელს 19 საათით მეტი დასჭირდა და მანძილი, რომელიც მან გაიარა ამ დროის განმავლობაში, შეგიძლიათ იპოვოთ. მან დამატებით 19 საათი იარა - ცხადია, ამ ხნის განმავლობაში დამატებით მანძილიც დაფარა.

837 – 248 = 589 (კმ) – პირველმა მატარებელმა კიდევ ამდენი კილომეტრი გაიარა;

589: 19 = 31 (კმ/სთ) – პირველი მატარებლის სიჩქარე;

837: 31 = 27 (საათი) - პირველი მატარებელი მიდიოდა;

4) 248: 31 = 8 (საათი) - მეორე მატარებელი მიდიოდა.

შევამოწმოთ პრობლემის გადაწყვეტა პრობლემის გადაჭრისას მიღებულ მონაცემებსა და რიცხვებს შორის შესაბამისობის დადგენით.

მას შემდეგ რაც გავარკვიეთ, თუ რამდენ ხანს იყო გზაზე თითოეული მატარებელი, ჩვენ გავიგებთ, რამდენი საათით მეტი იყო გზაზე პირველი მატარებელი, ვიდრე მეორე: 27 – 8 = 19 (საათი). ეს რიცხვი ემთხვევა იმ მდგომარეობას. ამიტომ პრობლემა სწორად მოგვარდა.

ამ პრობლემის გადამოწმება შესაძლებელია მისი სხვა გზით გადაჭრით. ოთხივე კითხვა და პირველი სამი მოქმედება იგივე რჩება.

4) 27 –19 = 8 (საათი).

პასუხი: პირველ მატარებელს 31 საათი დასჭირდა, მეორეს 8 საათი.

ამოცანები სამი უცნობის პოვნის მიზნით ამ უცნობის სამი ჯამიდან, წყვილებში:

ალგებრული მოდელი:

პასუხი ნაპოვნია ფორმულების გამოყენებით:

x =(A -ბ + გ)/2, y = (a +ბ – გ)/2, ზ = (ბ + თან -ა)/ 2.

მაგალითი.ინგლისური და გერმანული ენები 116 სკოლის მოსწავლე სწავლობს გერმანულს და ესპანური ენები 46 სტუდენტი სწავლობს, ხოლო ინგლისურსა და ესპანურს 90 სტუდენტი. რამდენი სტუდენტი სწავლობს ინგლისურს, გერმანულს და ესპანურს ცალკე, თუ ცნობილია, რომ თითოეული სტუდენტი სწავლობს მხოლოდ ერთ ენას?

გამოსავალი.პრობლემის გრაფიკული მოდელი წარმოდგენილია ნახაზში 6.

რამდენი სტუდენტი სწავლობს თითოეულ ენას?

პრობლემის გრაფიკული მოდელი გვიჩვენებს: თუ დავამატებთ პირობით მოცემული სკოლის მოსწავლეების რაოდენობას (116 + 90 + 46), მივიღებთ ორმაგად იმ მოსწავლეთა რაოდენობას, რომლებიც სწავლობენ ინგლისურ, გერმანულ და ესპანურს. ორზე გაყოფით ვხვდებით სკოლის მოსწავლეთა საერთო რაოდენობას. იმისთვის, რომ გავიგოთ იმ სკოლის მოსწავლეების რაოდენობა, რომლებიც სწავლობენ ინგლისურს, საკმარისია ამ რიცხვს გამოვაკლოთ იმ სკოლის მოსწავლეების რაოდენობა, რომლებიც სწავლობენ გერმანულ და ესპანურს. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ დარჩენილ საჭირო ნომრებს.

მოდით ჩამოვწეროთ გადაწყვეტილება ქმედებებზე ახსნა-განმარტებით:

116 + 90 + 46 = 252 (სკოლის მოსწავლეები) – ენების შემსწავლელი სკოლის მოსწავლეების ორმაგი რაოდენობა;

252: 2 = 126 (სკოლა) – სასწავლო ენები;

126 – 46 = 80 (სკოლა) – ინგლისური ენის შესწავლა;

126 – 90 = 36 (სკოლა) – გერმანული ენის შესწავლა;

126 – 116 = 10 (სკოლა) – ისწავლეთ ესპანური.

ამ პრობლემის გადამოწმება შესაძლებელია მისი სხვა გზით გადაჭრით.

116 – 46 = 70 (სკოლის მოსწავლეები) – ამდენი მეტი სკოლის მოსწავლე სწავლობს ინგლისურს, ვიდრე ესპანურს;

90 + 70 = 160 (სკოლის მოსწავლეები) – ორჯერ მეტი იმ მოსწავლეთა რიცხვი, რომლებიც სწავლობენ ინგლისურს;

160: 2 = 80 (სკოლა) – ისწავლეთ ინგლისური;

90 – 80 = 10 (სკოლა) – ისწავლეთ ესპანური;

116 – 80 = 36 (სკოლა) – გერმანული ენის შესწავლა.

პასუხი: 80 სკოლის მოსწავლე სწავლობს ინგლისურს, 36 სკოლის მოსწავლე გერმანულს, ხოლო 10 სკოლის მოსწავლე ესპანურს.

3. პროპორციული გაყოფის ამოცანები მოიცავს ამოცანებს, რომლებშიც გარკვეული რაოდენობის მოცემული მნიშვნელობა უნდა დაიყოს მოცემული რიცხვების პროპორციულ ნაწილებად. ზოგიერთ მათგანში ნაწილები წარმოდგენილია ცალსახად, ზოგიერთში კი ეს ნაწილები უნდა გამოირჩეოდეს ამ რაოდენობის ერთ-ერთი მნიშვნელობის ერთ ნაწილად აღებით და იმის დადგენით, თუ რამდენი ასეთი ნაწილია აღრიცხული მისი სხვა მნიშვნელობებით.

არსებობს პროპორციული გაყოფის ამოცანების ხუთი ტიპი.

1) პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია რიცხვის ნაწილებად დაყოფასთან, პირდაპირმთელი ან წილადი რიცხვების სერიის პროპორციულია

ამოცანებისკენ ამ ტიპისმოიცავს ამოცანებს, რომლებშიც რიცხვი ა X 1, X 2 , x 3, ..., X ნ რიცხვების პირდაპირპროპორციულია ა 1 , ა 2 , ა 3 , ..., ა ნ .

ალგებრული მოდელი:

პასუხი ნაპოვნია ფორმულების გამოყენებით:

მაგალითი.ტურისტულ კომპანიას აქვს ოთხი რეკრეაციული ცენტრი, რომლებსაც აქვთ იგივე ტევადობის შენობები. 1-ლი სარეკრეაციო ცენტრის ტერიტორიაზე არის 6 კორპუსი, მე-2 - 4 კორპუსი, მე-3 - 5 კორპუსი, მე-4 - 7 კორპუსი. რამდენი ბანაკი იტევს თითოეულ ბაზას, თუ ოთხივე ბაზა იტევს 2112 ადამიანს?

გამოსავალი. დავალების შეჯამება ნაჩვენებია სურათზე 7.

ბრინჯი. 7

პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად, რამდენი დამსვენებლის განთავსება შეიძლება თითოეულ ბაზაზე, უნდა იცოდეთ რამდენი დამსვენებლის განთავსება შეიძლება ერთ კორპუსში და რამდენი შენობაა განთავსებული თითოეული ბაზის ტერიტორიაზე. თითოეულ ბაზაზე შენობების რაოდენობა მოცემულია პირობით. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი დამსვენებლის განთავსებაა შესაძლებელი ერთ კორპუსში, უნდა იცოდეთ, რამდენი დამსვენებლის განთავსებაა შესაძლებელი 4-ვე ბაზაზე (ეს არის მოცემული პირობით) და რამდენი შენობაა განთავსებული ოთხივე ბაზის ტერიტორიაზე. ამ უკანასკნელის დადგენა შესაძლებელია იმ პირობით, თუ რამდენი შენობაა განთავსებული თითოეული ბაზის ტერიტორიაზე.

მოდით ჩამოვწეროთ გადაწყვეტილება ქმედებებზე ახსნა-განმარტებით:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (კ.) – მდებარეობს 4 ბაზის ტერიტორიაზე;

2112: 22 = 96 (საათი) – შეიძლება განთავსდეს ერთ კორპუსში;

96  6 = 576 (სთ) – შეიძლება განთავსდეს პირველ ფუძეზე;

96  4 = 384 (სთ) – შეიძლება განთავსდეს მეორე ბაზაზე;

96  5 = 480 (სთ) – შეიძლება განთავსდეს მესამე ბაზაზე;

96  7 = 672 (სთ) – შეიძლება განთავსდეს მეოთხე ფუძეზე.

ექსპერტიზა.ვიანგარიშებთ რამდენი დამსვენებლის განთავსება შეიძლება 4 ბაზაზე: 576 + 384 + 480 + 672 = 2112 (საათი). არ არის შეუსაბამობა დავალების პირობებთან. პრობლემა სწორად მოგვარდა.

პასუხი: პირველ ბაზაზე იტევს 576 დამსვენებელი, მეორე - 384 დამსვენებელი, მესამე - 480 დამსვენებელი, მეოთხე - 672 დამსვენებელი.

2) ამოცანები, რომლებიც მოიცავს რიცხვის ნაწილებად დაყოფას მთელი რიცხვების ან წილადების სერიის უკუპროპორციულად

მათ შორისაა ამოცანები, რომლებშიც რიცხვი ა(გარკვეული რაოდენობის ღირებულება) საჭიროა ნაწილებად დაყოფა x 1 მე , x 2 , x 3 მე , ..., X"რიცხვების უკუპროპორციულია ა 1ბ ა 2 , ა 3 ,..., ა ნ .

ალგებრული მოდელი:

ან

x 1 : x 2 :X 3 :...:х„ = ა 2 ა 3 ...ა ნ : ა 1 ა 3 ...ა პ : ა 1 ა 2 ა 4 ...ა ნ :...: ა 1 ა 2 ...ა ნ -1

პასუხი ნაპოვნია ფორმულების გამოყენებით:

სად ს = ა 2 ა 3 ...a“ +ა ლ ა მე ... ა ნ + ა ] ა 2 ა 4 ...ა ნ + ... + ა 1 ა 2 ...ა ნ -1.

მაგალითი.ოთხი თვის განმავლობაში ბეწვის მეურნეობის შემოსავალმა ბეწვის გაყიდვიდან შეადგინა 1 925 000 რუბლი, ხოლო თვეების მიხედვით მიღებული თანხა უკუპროპორციულად ნაწილდებოდა 2, 3, 5, 4 ნომრებზე. რა არის ფერმის შემოსავალი თითოეულ თვეში ცალ-ცალკე?

გამოსავალი.პირობაში აღნიშნული შემოსავლის დასადგენად მოცემულია ოთხი თვის ჯამური შემოსავალი, ანუ ოთხი მოთხოვნილი რიცხვის ჯამი, ასევე საჭირო რიცხვებს შორის კავშირი. საჭირო შემოსავალი უკუპროპორციულია 2, 3, 5, 4 რიცხვებთან.

აღვნიშნოთ საჭირო შემოსავლები, შესაბამისად, x-ით, X 2 , X 3 , X 4 . შემდეგ პრობლემა შეიძლება მოკლედ დაიწეროს, როგორც ნაჩვენებია 8-ში.

ბრინჯი. 8

თითოეული საჭირო რიცხვისთვის ნაწილების რაოდენობის ცოდნა, ჩვენ ვიპოვით მათ ჯამში შემავალი ნაწილების რაოდენობას. ოთხი თვის მოცემული ჯამური შემოსავლიდან გამომდინარე, ანუ საჭირო ნომრების ჯამიდან და ამ თანხაში შემავალი ნაწილების რაოდენობაზე ვადგენთ ერთი ნაწილის ღირებულებას, შემდეგ კი საჭირო შემოსავალს.

მოდით ჩამოვწეროთ გადაწყვეტილება ქმედებებზე ახსნა-განმარტებით:

1. საჭირო შემოსავლები უკუპროპორციულია 2, 3, 5, 4 რიცხვებთან, რაც ნიშნავს, რომ ისინი პირდაპირპროპორციულია შებრუნებულ რიცხვებთან, ანუ არის მიმართებები. . მოდით შევცვალოთ ეს თანაფარდობები წილად რიცხვებში მთელი რიცხვების შეფარდებით:

2. იმის ცოდნა Xშეიცავს 30 თანაბარ ნაწილს, X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, ვიპოვოთ რამდენ ნაწილს შეიცავს მათი ჯამი:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (საათი).

3. რამდენი მანეთია ერთი ნაწილი?

1,925,000: 77 = 25,000 (რ.).

4. რა შემოსავალი აქვს ფერმას პირველ თვეში?

25,000 30 = 750,000 (რ.).

5. რა არის ფერმის შემოსავალი მეორე თვეში?

25,000 20 = 500,000 (რ.).

6. რა არის ფერმის შემოსავალი მესამე თვეში?

25,000–12 = 300,000 (რ.).

7. რა არის ფერმის შემოსავალი მეოთხე თვეში?

25,000–15 = 375,000 (რ.).

პასუხი: პირველ თვეში ფერმის შემოსავალი იყო 750,000 რუბლი, მეორეში - 500,000 რუბლი, მესამეში - 300,000 რუბლი, მეოთხეში - 375,000 რუბლი.

3) რიცხვის ნაწილებად დაყოფასთან დაკავშირებული ამოცანები, როდესაც მოცემულია ცალ-ცალკე შეფარდებები საჭირო რიცხვების თითოეულ წყვილზე

ამ ტიპის პრობლემები მოიცავს იმ ამოცანებს, რომლებშიც რიცხვი ა(გარკვეული რაოდენობის ღირებულება) უნდა დაიყოს x 1 ნაწილებად, X 2 , x 3, ..., X",როდესაც მიმართებათა სერია მოცემულია საჭირო რიცხვებისთვის, აღებული წყვილებში. ალგებრული მოდელი:

x 1: X 2 = ა 1 : ბ 1, X 2 : X 3 = ა 2 : ბ 2, x 3 : X 4 = ა 3 : ბ 3 , ..., X n-1 : X ნ = ა ნ -1 : ბ n-1 .

n = 4. ალგებრული მოდელი:

X X :X 2 = ა 1 : ბ 1, X 2 :X 3= ა 2 : ბ 2, X 3 : X 4 = a 3: ბ 3 .

Ისე, X 1: X 2 : x 3: X 4 = ა 1 ა 2 ა 3 : ბ 1 ა 2 ა 3 : ბ 1 ბ 2 ა 3 : ბ 1 ბ 2 ბ 3 .

სად ს = ა 1 ა 2 ა 3 + ბ 1 ა გ ა 3 + ბ 1 ბ 2 ა 3 + ბ 1 ბ 2 ბ 3

მაგალითი.სამ ქალაქში 168000 მოსახლეა. პირველი და მეორე ქალაქების მცხოვრებთა რაოდენობა თანაფარდობაშია , ხოლო მეორე და მესამე ქალაქები – მიმართებით . რამდენი მოსახლეა თითოეულ ქალაქში?

გამოსავალი.შესაბამისად ავღნიშნოთ მოსახლეობის საჭირო რაოდენობა X 1 , X 2 , X 3 . შემდეგ პრობლემა შეიძლება მოკლედ დაიწეროს, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 9.

ბრინჯი. 9

მოსახლეობის რაოდენობის დასადგენად მოცემულია სამ ქალაქში მცხოვრებთა რაოდენობა, ანუ სამი საჭირო რიცხვის ჯამი, ასევე ინდივიდუალური ურთიერთობები საჭირო რიცხვებს შორის. ამ ურთიერთობების ჩანაცვლებით ურთიერთობების სერიით, გამოვხატავთ სამი ქალაქის მცხოვრებთა რაოდენობას თანაბარ ნაწილად. თითოეული საჭირო რიცხვისთვის ნაწილების რაოდენობის ცოდნა, ჩვენ ვიპოვით მათ ჯამში შემავალი ნაწილების რაოდენობას. სამ ქალაქში მცხოვრებთა მოცემული ჯამური რიცხვიდან, ანუ საჭირო რაოდენობის ჯამიდან და ამ ჯამში შემავალი ნაწილების რიცხვიდან ვხვდებით ერთი ნაწილის ზომას, შემდეგ კი მოსახლეობის საჭირო რაოდენობას.

ახსნა-განმარტებით ჩამოვწეროთ გადაწყვეტილება ქმედებებზე.

1. შეცვალეთ წილადი რიცხვების შეფარდება მთელი რიცხვების შეფარდებით:

მეორე ქალაქის მცხოვრებთა რაოდენობას ვამთხვევთ რიცხვს 15 (3 და 5 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი).

ჩვენ შესაბამისად ვცვლით მიღებულ ურთიერთობებს:

X 1: X 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

ინდივიდუალური ურთიერთობებიდან ჩვენ ვქმნით ურთიერთობების სერიას:

X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (თ) – რიცხვი 168000 შეესაბამება ამდენ ტოლ ნაწილს;

3. 168000: 56 = 3000 (ფ.) – ნაწილზე;

4. 3000 20 = 60000 (ფ.) – პირველ ქალაქში;

5. 3000 15 = 45000 (ფ.) – მეორე ქალაქში;

3000 21 = 63000 (ფ.) - მესამე ქალაქში.

პასუხი: 60000 მოსახლე; 45000 მოსახლე; 63000 მოსახლე.

4) ამოცანები, რომლებიც მოიცავს რიცხვის ნაწილებად დაყოფას ორი, სამი და ა.შ.

ამ ტიპის პრობლემები მოიცავს პრობლემებს, რომლებშიც რიცხვი ა(გარკვეული რაოდენობის ღირებულება) საჭიროა ნაწილებად დაყოფა X 1, X 2 , X 3 ,..., X ნ პროპორციული ორი, სამი, ..., ნრიცხვების რიგები.

პრობლემის გადაჭრის ფორმულების უხერხულობის გამო ზოგადი ხედიგანვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც n = 3 და N = 2.დაე X 1 X 2 , X 3 რიცხვების პირდაპირპროპორციულია ა 1 , ა 2 , ა 3 და რიცხვების უკუპროპორციულია ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 .

ალგებრული მოდელი:

(იხ. ამ პუნქტის 1-ლი პუნქტი),

მაგალითი.ორმა მუშამ მიიღო 1800 მანეთი. ერთი მუშაობდა 3 დღე 8 საათის განმავლობაში, მეორე 6 დღე 6 საათი.რამდენი გამოიმუშავა თითოეულმა, თუ 1 საათის სამუშაოზე თანაბრად იღებდა?

გამოსავალი. დავალების შეჯამება ნაჩვენებია სურათზე 10.

ბრინჯი.10

იმის გასარკვევად, თუ რამდენი მიიღო თითოეულმა თანამშრომელმა, უნდა იცოდეთ რამდენი რუბლი გადაიხადეს 1 საათის მუშაობისთვის და რამდენი საათი მუშაობდა თითოეულმა მუშაკმა. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი რუბლი გადაიხადეს 1 საათის მუშაობისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენი გადაიხადეს მათ მთელი სამუშაოსთვის (მდგომარეობაში მოცემული) და რამდენი საათი მუშაობდა ორივე მუშა ერთად. სამუშაო საათების ჯამური რაოდენობის გასარკვევად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენი საათი იმუშავა თითოეულმა და ამისთვის უნდა იცოდეთ რამდენი დღე მუშაობდა თითოეულმა და რამდენი საათი დღეში. ეს მონაცემები შედის პირობაში.

მოდით ჩამოვწეროთ გადაწყვეტილება ქმედებებზე ახსნა-განმარტებით:

8  3 = 24 (საათი) – იმუშავა პირველმა მუშამ;

6  6 = 36 (საათი) – მუშაობდა მეორე მუშაკი;

24 + 36 = 60 (საათი) - ორივე მუშა ერთად მუშაობდა;

1800: 60 = 30 (რ.) – მუშები მიიღეს 1 საათის სამუშაოზე;

30  24 = 720 (რ.) – გამოიმუშავა პირველი მუშაკი;

30  36 = 1080 (რ.) - გამოიმუშავა მეორე მუშამ. პასუხი: 720 რუბლი; 1080 რუბლი.

5) პრობლემები რამდენიმე რიცხვის პოვნაზემათი ურთიერთობებისა და ჯამის ან სხვაობის მიხედვით (ზოგიერთი მათგანის ჯამი ან განსხვავება)

მაგალითი.სკოლის ადმინისტრაციამ 49 000 მანეთი დახარჯა სათამაშო მოედნის, სათბურისა და სპორტული დარბაზის აღჭურვილობისთვის. სათამაშო მოედნის აღჭურვილობა სათბურის ნახევარი ღირს, სათბურები კი 3-ჯერ ნაკლები სპორტ - დარბაზიდა სათამაშო მოედანი ერთად. რა თანხა დაიხარჯა თითოეული ამ ობიექტის აღჭურვილობაზე?

გამოსავალი. დავალების შეჯამება ნაჩვენებია სურათზე 11.

ბრინჯი. თერთმეტი

თითოეული ობიექტის აღჭურვილობაზე დახარჯული თანხის ოდენობის გასარკვევად, თქვენ უნდა იცოდეთ, რამდენი ნაწილი იყო დახარჯული ყველა ობიექტის აღჭურვილობაზე და რამდენი რუბლი იყო თითოეული ნაწილისთვის. თითოეული ობიექტის აღჭურვილობაზე დახარჯული თანხის ნაწილების რაოდენობა განისაზღვრება პრობლემის პირობებიდან. თითოეული ობიექტის აღჭურვილობის ნაწილების ცალ-ცალკე დადგენის შემდეგ და მათი ჯამის პოვნის შემდეგ, ჩვენ ვიანგარიშებთ ერთი ნაწილის მნიშვნელობას (რუბებში).

ახსნა-განმარტებით ჩამოვწეროთ გადაწყვეტილება ქმედებებზე.

ჩვენ 1 ნაწილად ვიღებთ სათამაშო მოედნის აღჭურვილობაზე დახარჯულ თანხას. პირობის მიხედვით სათბურის აღჭურვილობაზე 2-ჯერ მეტი დაიხარჯა, ანუ 1  2 = 2 (სთ); სათამაშო მოედნისა და სპორტული დარბაზის აღჭურვაზე 3-ჯერ მეტი დაიხარჯა, ვიდრე სათბურზე, ანუ 2  3 = 6 (საათი), შესაბამისად, 6 – 1 = 5 (საათი) დაიხარჯა სპორტული დარბაზის აღჭურვაზე. .

1 ნაწილი სათამაშო მოედნის აღჭურვილობაზე დაიხარჯა, 2 ნაწილი სათბურისთვის, 5 ნაწილი კი სპორტული დარბაზისთვის. მთელი მოხმარება იყო 1 + 2 + + 5 = 8 (სთ).

8 ნაწილი უდრის 49,000 რუბლს, ერთი ნაწილი 8-ჯერ ნაკლებია ამ თანხაზე: 49,000: 8 = 6,125 (რუბ.). შესაბამისად, სათამაშო მოედნის აღჭურვილობაზე დაიხარჯა 6125 მანეთი.

ორჯერ მეტი დაიხარჯა სათბურის აღჭურვილობაზე: 6125  2 = 12250 (რ.).

5 ნაწილი დაიხარჯა სავარჯიშო დარბაზისთვის: 6125  5 = 30625 (რ.).

პასუხი: 6125 რუბლი; 12250 რუბლი; 30,625 რუბლი

6) პრობლემები ერთ-ერთი უცნობის გამორიცხვის მიზნით

ამ ჯგუფში არსებული პრობლემები მოიცავს პრობლემებს, რომლებშიც მოცემულია ორი პროდუქტის ჯამი, რომლებსაც აქვთ ორი განმეორებადი ფაქტორი, და საჭიროა ამ ფაქტორების მნიშვნელობების პოვნა. ალგებრული მოდელი

პასუხი ნაპოვნია ფორმულების გამოყენებით:

ამ ამოცანების გადაჭრა ხდება მონაცემთა გათანაბრების მეთოდით, მონაცემთა გათანაბრების და საჭიროების მეთოდით, მონაცემთა ჩანაცვლების მეთოდით, ასევე ე.წ. „ვარაუდის“ მეთოდით.

მაგალითი.სამკერვალო ფაბრიკაში 24 პალტო და 45 კოსტიუმი იყენებდნენ 204 მ ქსოვილს, ხოლო 24 პალტოსა და 30 კოსტიუმს 162 მ. რამდენი ქსოვილი გამოიყენება ერთ კოსტიუმზე და რამდენი ერთი ქურთუკი?

გამოსავალი. მოდით გადავჭრათ პრობლემა მონაცემთა კორექტირების მეთოდის გამოყენებით. დავალების მოკლე აღწერა.

კოვტოუა მარია, ლუდმილა ბრაიანცევა

ნაშრომში ნაჩვენებია სიტყვიერი ამოცანების ამოხსნის გზები.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულებისსაშუალო ყოვლისმომცველი სკოლა No64 ვოლგოგრადი

სასწავლო და კვლევითი სამუშაოების საქალაქო კონკურსი

„მე და დედამიწა“ ე.წ. და. ვერნადსკი

(რაიონული ეტაპი)

ამოხსნის არითმეტიკული მეთოდი

ტექსტის პრობლემები მათემატიკაში

განყოფილება "მათემატიკა"

დაასრულა: ლუდმილა ბრაიანცევა,

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულების 64-ე საშუალო სკოლის მე-9 ა კლასის მოსწავლე,

დაბალ მარიამ,

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულების 64-ე საშუალო სკოლის მე-9 ა კლასის მოსწავლე.

ხელმძღვანელი: ნოსკოვა ირინა ანატოლიევნა,

მათემატიკის მასწავლებელი, მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულების 64-ე საშუალო სკოლა

ვოლგოგრადი 2014 წელი

შესავალი …………………………………………………………………………………………… 3

Თავი 1. არასტანდარტული მეთოდებიპრობლემის გადაჭრა

1. ამოცანები თემაზე " მთელი რიცხვები”…………………….. 5

1. . ამოცანები „ნაწილებად და პროცენტებში“ ……………………………… 8
2. მოძრაობის პრობლემები……………………………………… 11
3. თანამშრომლობის ამოცანები……………………………… 14

დასკვნა ………………………………………………………………. 16

ლიტერატურა ……………………………………………………………. 16

შესავალი.

ცნობილია, რომ ისტორიულად დიდი ხანის განმვლობაშიმათემატიკური ცოდნა თაობიდან თაობას გადაეცემოდა პრაქტიკული ამოცანების ჩამონათვალის სახით მათ ამონახსნებთან ერთად. თავდაპირველად მათემატიკა ისწავლებოდა მოდელების გამოყენებით. მოსწავლეები მასწავლებლის მიბაძვით წყვეტდნენ პრობლემებს გარკვეული „წესით“. ამგვარად, ძველ დროში გაწვრთნილ ითვლებოდა ის, ვინც იცოდა პრაქტიკაში წარმოქმნილი გარკვეული ტიპის პრობლემების გადაჭრა.

ამის ერთ-ერთი მიზეზი ის არის, რომ ისტორიულად, დიდი ხნის განმავლობაში, ბავშვებისთვის არითმეტიკის სწავლების მიზანი იყო მათთვის პრაქტიკულ გამოთვლებთან დაკავშირებული გამოთვლითი უნარების კონკრეტული ნაკრების სწავლება. ამასთან, ჯერ არ იყო შემუშავებული არითმეტიკული ხაზი - რიცხვთა ხაზი და სწავლების გამოთვლები ხორციელდებოდა ამოცანების მეშვეობით. „არითმეტიკაში“ ლ.ფ. მაგნიტსკი, მაგალითად, წილადები ითვლებოდა დასახელებულ რიცხვებად (არა მხოლოდ, ა რუბლი, პუდი და ა.შ.), ხოლო ფრაქციებთან მოქმედებები შეისწავლეს პრობლემების გადაჭრის პროცესში. ეს ტრადიცია საკმაოდ დიდხანს გაგრძელდა. კიდევ უფრო გვიან, წარმოუდგენელი რიცხვითი მონაცემების პრობლემები შეექმნა, მაგალითად: ”გაიყიდა კგ შაქარი რუბლი კილოგრამზე ...",რომლებიც გააცოცხლეს არა პრაქტიკის მოთხოვნილებებმა, არამედ გამოთვლის სწავლის საჭიროებებმა.

მეორე მიზეზი გაზრდილი ყურადღებასიტყვის ამოცანების გამოყენება რუსეთში არის ის, რომ რუსეთში მათ არა მხოლოდ მიიღეს და განავითარეს მათემატიკური ცოდნისა და მსჯელობის ტექნიკის გადაცემის უძველესი მეთოდი სიტყვების ამოცანების გამოყენებით. პრობლემების დახმარებით ვისწავლეთ ტექსტის ანალიზთან დაკავშირებული მნიშვნელოვანი ზოგადსაგანმანათლებლო უნარების ჩამოყალიბება, პრობლემის პირობების და ძირითადი კითხვის ამოცნობა, გადაწყვეტის გეგმის შედგენა, პირობების ძიება, საიდანაც შეიძლება კითხვაზე პასუხის მიღება. მთავარი კითხვა, მიღებული შედეგის შემოწმება. ასევე მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა სკოლის მოსწავლეების მიერ ტექსტის არითმეტიკული მოქმედებების, განტოლებების, უტოლობებისა და გრაფიკული გამოსახულების ენაზე თარგმნის სწავლებამ.

კიდევ ერთი პუნქტი, რომლის იგნორირება არ შეიძლება, როცა პრობლემების გადაჭრაზე ვსაუბრობთ. ტრენინგი და განვითარება მრავალი თვალსაზრისით მოგვაგონებს კაცობრიობის განვითარებას, ამიტომ უძველესი პრობლემებისა და მათი გადაჭრის სხვადასხვა არითმეტიკული მეთოდების გამოყენება საშუალებას გაძლევთ წასვლა ისტორიული კონტექსტი, რომელიც ავითარებს შემოქმედებითობას. გარდა ამისა, სხვადასხვა გადაწყვეტილებები აღვიძებს ბავშვებს ფანტაზიას და საშუალებას აძლევს მათ ყოველ ჯერზე მოაწყონ გამოსავლის ძიება ახალი გზით, რაც ქმნის ხელსაყრელ ემოციურ ფონს სწავლისთვის.

ამრიგად, ამ სამუშაოს აქტუალობა შეიძლება შეჯამდეს რამდენიმე პუნქტში:

სიტყვის პრობლემებია მნიშვნელოვანი საშუალებებიმათემატიკის სწავლება. მათი დახმარებით მოსწავლეები იძენენ რაოდენობებთან მუშაობის გამოცდილებას, აცნობიერებენ მათ შორის ურთიერთობებს და იღებენ გამოცდილებას მათემატიკის გამოყენების პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრაში;

პრობლემების გადასაჭრელად არითმეტიკული მეთოდების გამოყენება ავითარებს გამომგონებლობას და ინტელექტს, კითხვების დასმისა და მათზე პასუხის გაცემის უნარს, ანუ ავითარებს ბუნებრივ ენას;

სიტყვების ამოცანების გადაჭრის არითმეტიკული მეთოდები საშუალებას გაძლევთ განავითაროთ პრობლემური სიტუაციების ანალიზის უნარი, შეადგინოთ გადაწყვეტის გეგმა ცნობილ და უცნობ სიდიდეებს შორის ურთიერთობის გათვალისწინებით, თითოეული მოქმედების შედეგის ინტერპრეტაცია, ამოხსნის სისწორის შემოწმება შედგენით და ამოხსნით. ინვერსიული პრობლემა;

სიტყვების ამოცანების გადაჭრის არითმეტიკული მეთოდები აჩვევს ადამიანს აბსტრაქციებს, საშუალებას აძლევს ლოგიკური კულტურის ჩამოყალიბებას, ხელს უწყობს სწავლისთვის ხელსაყრელი ემოციური ფონის შექმნას, პრობლემის გადაჭრის და მათემატიკის შესწავლის მიმართ ესთეტიკური გრძნობის განვითარებას, აღგზნებას. ინტერესი გამოსავლის ძიების პროცესისადმი, შემდეგ კი თავად საგნის მიმართ;

ისტორიული პრობლემების გამოყენება და მათი გადაჭრის უძველესი (არითმეტიკული) მეთოდების გამოყენება არა მხოლოდ ამდიდრებს გამოცდილებას. გონებრივი აქტივობა, არამედ საშუალებას გვაძლევს დაეუფლონ კაცობრიობის ისტორიის მნიშვნელოვან კულტურულ და ისტორიულ ფენას, რომელიც დაკავშირებულია პრობლემების გადაჭრის ძიებასთან. ეს არის მნიშვნელოვანი შინაგანი სტიმული პრობლემების გადაწყვეტის მოსაძებნად და მათემატიკის შესასწავლად.

ყოველივე ზემოთქმულიდან გამოვიტანთ შემდეგ დასკვნას:

კვლევის საგანიარის ტექსტური ამოცანების ბლოკი მათემატიკაში 5-6 კლასებისთვის;

შესწავლის ობიექტიპრობლემების გადაჭრის არითმეტიკული ხერხია.

კვლევის მიზანიარის განხილვა საკმარისი რაოდენობითსასკოლო მათემატიკის კურსის ტექსტური ამოცანები და მათი ამოხსნის არითმეტიკული მეთოდის გამოყენება;

ამოცანები კვლევის მიზნის მისაღწევადარის სიტყვის ამოცანების ანალიზი და გადაწყვეტა კურსის „ბუნებრივი რიცხვები“, „რაციონალური რიცხვები“, „პროპორციები და პროცენტები“, „მოძრაობის ამოცანები“ ძირითად განყოფილებებში;

კვლევის მეთოდიარის პრაქტიკული საძიებო სისტემა.

თავი 1. პრობლემების გადაჭრის არასტანდარტული გზები.

1. პრობლემები თემაზე „ბუნებრივი რიცხვები“.

რიცხვებთან მუშაობის ამ ეტაპზე, პრობლემების გადაჭრის არითმეტიკული მეთოდები უკვე უპირატესობას ანიჭებს ალგებრულს, რადგან ქმედებების გადაჭრის თითოეული ინდივიდუალური ნაბიჯის შედეგს აქვს სრულიად ნათელი და კონკრეტული ინტერპრეტაცია, რომელიც არ სცილდება ცხოვრებისეული გამოცდილების ფარგლებს. ამიტომ ისინი უფრო სწრაფად და უკეთესად შეიწოვება სხვადასხვა ტექნიკამსჯელობა, რომელიც დაფუძნებულია წარმოსახვით მოქმედებებზე ცნობილი რაოდენობებით, და არა სხვადასხვა არითმეტიკული სიტუაციების ამოცანების ამოხსნის ერთი მეთოდი, განტოლების გამოყენებაზე დაყრდნობით.

1. მოვიფიქრეთ რიცხვი, გავზარდეთ 45-ით და მივიღეთ 66. იპოვეთ ის რიცხვი, რომელიც მოიფიქრეთ.

პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ სქემატური ნახაზი, რომელიც დაგეხმარებათ ვიზუალურად წარმოაჩინოთ კავშირი შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციებს შორის. განსაკუთრებით ეფექტური დახმარებანახატი იქნება მეტიმოქმედებები უცნობი სიდიდის.ჩვენ მოვიფიქრეთ ნომერი 21.

2. ზაფხულში ჩემი ფანჯარა მთელი დღე ღია იყო. პირველ საათში შემოფრინდა 1 კოღო, მეორეში - 2 კოღო, მესამეში - 3 და ა.შ. რამდენი კოღო დაფრინავდა დღეში?

აქ ვიყენებთ ყველა ტერმინის წყვილებად დაყოფის მეთოდს (პირველი ბოლოსთან, მეორე წინაბოლოსთან და ა.შ.), ვიპოვოთ თითოეული წყვილის ჯამი და გავამრავლოთ წყვილების რაოდენობაზე.

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 12 = 300.

300 კოღო შემოფრინდა.

3. სტუმრებმა ჰკითხეს: რამდენი წლის იყო თითოეული და? ვერამ უპასუხა, რომ ის და ნადია 28 წელია ერთად არიან; ნადია და ლიუბა ერთად 23 წლის არიან, სამივე კი 38 წლის. რამდენი წლისაა თითოეული და?

1. 38 – 28 = 10 (წელი) – ლიუბა;

2. 23 – 10 = 13 (წელი) – ნადია;

3.28 – 13 = 15 (წელი) – ვერა.

ლიუბა 10 წლისაა, ნადია 13 წლის, ვერა 15 წლის.

4. ჩვენს კლასში 30 მოსწავლეა. მუზეუმში ექსკურსიაზე 23 ადამიანი წავიდა, კინოში 21, 5 ადამიანი არც ექსკურსიაზე და არც კინოში არ წასულა. რამდენი ადამიანი წავიდა ექსკურსიაზეც და კინოშიც?

განვიხილოთ პრობლემის გადაჭრა; ფიგურაში ნაჩვენებია მსჯელობის ეტაპები.

1. 30 – 5 = 25 (ადამიანი) – წავიდა კინოში, ან

Ექსკურსია;

1. 25 – 23 = 2 (ადამიანი) – წავიდა მხოლოდ კინოში;
2. 21 – 2 = 19 (ადამიანი) – წავიდა კინოში და

Ექსკურსია.

19 ადამიანი წავიდა როგორც კინოში, ასევე ექსკურსიაზე.

5. ვიღაცას აქვს ორი ტიპის 24 კუპიურა - თითო 100 და 500 რუბლი, სულ 4000 რუბლს შეადგენს. რამდენი 500 რუბლიანი კუპიურა აქვს?

ვინაიდან მიღებული თანხა არის „მრგვალი“ რიცხვი, აქედან გამომდინარეობს, რომ 100-რუბლიანი კუპიურების რაოდენობა არის 1000-ის ჯერადი. ამრიგად, 500-რუბლიანი კუპიურების რაოდენობა ასევე არის 1000-ის ჯერადი. აქედან გამომდინარე, გვაქვს - 100 რუბლის კუპიურები არის 20. ; 500 რუბლი - 4 კუპიურა.

ვიღაცას აქვს 4 500 რუბლის კუპიურა.

6. ზაფხულის მაცხოვრებელი თავისი დაჩიდან სადგურზე მატარებლის გასვლიდან 12 წუთში მივიდა. თითოეულ კილომეტრზე 3 წუთით ნაკლები რომ დახარჯულიყო, მატარებლის გასასვლელად სწორედ დროზე მივიდოდა. რა მანძილზე ცხოვრობს ზაფხულის მაცხოვრებელი სადგურიდან?

კილომეტრზე 3 წუთით ნაკლებს ხარჯავს ზაფხულის მაცხოვრებელს შეუძლია დაზოგოს 12 წუთი 12: 3 = 4 კმ მანძილზე.

ზაფხულის რეზიდენტი სადგურიდან 4 კმ-ში ცხოვრობს.

7. წყარო 24 წუთში იძლევა კასრ წყალს. რამდენ ბარელ წყალს გამოიმუშავებს წყარო დღეში?

ვინაიდან წილადების ირგვლივ უნდა ვიმუშაოთ, არ გვჭირდება 1 წუთში ლულის რომელი ნაწილი ივსება. მოდით გავარკვიოთ რამდენი წუთი დასჭირდება 5 კასრის შევსებას: 24 · 5 = 120 წუთი, ანუ 2 საათი. შემდეგ 24 დღეში: 2 = 12-ჯერ მეტი ბარელი შეივსება, ვიდრე 2 საათში, ანუ 5·12 = 60 ბარელი.

გაზაფხული დღეში 60 ბარელს აწარმოებს.

8. ზოგიერთ უბანში8 მ სიგრძის ძველი რელსების შეცვლა ახლით 12 მ სიგრძით რამდენი ახალი რელსია საჭირო 240 ძველის ნაცვლად?

24 მ სიგრძის მონაკვეთზე 3 ძველი რელსის ნაცვლად 2 ახალი დამონტაჟდება. რელსები შეიცვლება 240: 3 = 80 ასეთი მონაკვეთი და მათზე 80 · 2 = 160 ახალი რელსი დაიდება.

საჭირო იქნება 160 ახალი რელსი.

9. თონეს ჰქონდა 654 კგ შავი და თეთრი პური. მას შემდეგ, რაც 215 კგ შავი და 287 კგ თეთრი პური გაიყიდა, ორივე სახეობის პური თანაბარი რაოდენობით დარჩა. რამდენი კილოგრამი შავი და თეთრი პური იყო ცალ-ცალკე?

1) 215 + 287 = 502 (კგ) – გაყიდული პური;

2) 654 – 502 = 152 (კგ) – გასაყიდად დარჩენილი პური;

3) 152: 2 = 76 (კგ) თეთრი (და შავი) პური დარჩა გასაყიდად;

4) 215 + 76 = 291 (კგ) – თავდაპირველად იყო შავი პური;

5) 287 + 76 = 363 (კგ) – თავდაპირველად თეთრი პური იყო.

თავდაპირველად 291 კგ შავი პური იყო, ხოლო თეთრი პური 363 კგ.

1. პრობლემები "ნაწილებად და პროცენტებში".

ამოცანებთან მუშაობის შედეგად ამ განყოფილებასაუცილებელია აიღოთ 1 ნაწილისთვის შესაფერისი მნიშვნელობა, დაადგინოთ რამდენი ასეთი ნაწილი ხვდება სხვა მნიშვნელობაზე, მათი ჯამი (განსხვავება), შემდეგ მიიღოთ პასუხი პრობლემის კითხვაზე.

10. პირველ ბრიგადას შეუძლია დავალების შესრულება 20 საათში, ხოლო მეორეს 30 საათში. პირველ რიგში, გუნდებმა დაასრულეს დავალების ¾ ერთად მუშაობისას, ხოლო დანარჩენი დავალება შეასრულეს მხოლოდ პირველმა გუნდმა. რამდენი საათი დასჭირდა დავალების შესრულებას?

სამუშაო შესრულების ამოცანები ნაკლებად ნათელია, ვიდრე მოძრაობის ამოცანები. აქედან გამომდინარე, აქ აუცილებელია თითოეული ნაბიჯის დეტალური ანალიზი.

1) თუ პირველი გუნდი მუშაობს მარტო, მაშინ ის დაასრულებს დავალებას 20 საათში - ეს ნიშნავს, რომ ის ასრულებს ყოველ საათსმთელი დავალება.

2) მსგავსი გზით კამათით ვიღებთ შრომის პროდუქტიულობას მეორე გუნდისთვის -მთელი დავალება.

3) პირველი, ერთად მუშაობით, გუნდებმა დაასრულესმთელი დავალება. რამდენი დრო დახარჯეს?. ანუ ერთობლივი მუშაობის ერთ საათში ორივე გუნდი ასრულებს დავალების მეთორმეტე ნაწილს.

4) შემდეგ დავალებას 9 საათში შეასრულებენ, მას შემდეგ(წილადის ძირითადი თვისების მიხედვით).

5) რჩება მხოლოდ დასრულებაამოცანები, მაგრამ მხოლოდ პირველ გუნდს, რომელიც ასრულებს 1 საათშიმთელი დავალება. ამიტომ პირველმა ბრიგადამ უნდა იმუშაოს 5 საათი საქმე ბოლომდე მიიყვანოს, ვინაიდან.

6) საბოლოოდ, გვაქვს 5 + 9 = 14 საათი.

დავალება შესრულდება 14 საათში.

თერთმეტი . ტომი პირველი, მეორე და მესამე ჭაბურღილების წლიური წარმოება შეფარდება 7:5:13. იგეგმება ნავთობის წლიური მოპოვების შემცირება პირველი ჭაბურღილიდან 5%-ით, მეორედან 6%-ით. რა პროცენტით უნდა გაიზარდოს ნავთობის წლიური მოპოვება მესამე ჭაბურღილიდან, რათა არ შეიცვალოს წელიწადში წარმოებული ნავთობის მთლიანი მოცულობა??

ნაწილებთან და პროცენტებთან დაკავშირებული პრობლემები პრობლემების კიდევ უფრო შრომატევადი და გაუგებარი სფეროა. აქედან გამომდინარე, ჩვენთვის მათი გაგების ყველაზე კონკრეტული გზა იყო რიცხვითი მაგალითები.მაგალითი 1. ნავთობის წლიური მოპოვება იყოს 1000 ბარელი. მაშინ, თუ ვიცით, რომ ეს წარმოება დაყოფილია 25 ნაწილად (7+5+13=25, ანუ ერთი ნაწილი არის 40 ბარელი) გვაქვს: პირველი კოშკი ტუმბოს 280 ბარელი, მეორე – 200 ბარელი, მესამე – 520 ბარელი წელიწადში. . თუ წარმოება შემცირდება 5%-ით, პირველი ჭურჭელი კარგავს 14 ბარელს (280·0,05 = 14), ანუ მისი წარმოება იქნება 266 ბარელი. თუ წარმოება შემცირდება 6%-ით, მეორე პლატფორმა კარგავს 12 ბარელს (200·0,06 = 12), ანუ მისი წარმოება იქნება 188 ბარელი.

სულ რაღაც ერთ წელიწადში ისინი ერთად ამოტუმბებენ 454 ბარელ ნავთობს, შემდეგ მესამე კოშკს 520 ბარელის ნაცვლად 546 ბარელი დასჭირდება.

მაგალითი 2. ნავთობის წლიური მოპოვება იყოს 1500 ბარელი. შემდეგ, იმის ცოდნა, რომ ეს წარმოება დაყოფილია 25 ნაწილად (7+5+13=25, ანუ ერთი ნაწილი არის 60 ბარელი) გვაქვს: პირველი კოშკი ტუმბოს 420 ბარელს, მეორე - 300 ბარელს, მესამეს - 780 ბარელს წელიწადში. . თუ წარმოება შემცირდება 5%-ით, პირველი პლატფორმა კარგავს 21 ბარელს (420·0,05 = 21), ანუ მისი წარმოება იქნება 399 ბარელი. წარმოების 6%-იანი კლებით მეორე პლატფორმა კარგავს 18 ბარელს(300·0,06 = 18), ანუ მისი წარმოება იქნება 282 ბარელი.

ჯამში, წელიწადში 681 ბარელი ნავთობის ამოტუმბვა მოხდება, შემდეგ მესამე კოშკს 780 ბარელის ნაცვლად 819 ბარელი დასჭირდება.

ეს 5%-ით მეტია წინა წარმოებასთან შედარებით.

საჭიროა მესამე ჭაბურღილიდან ნავთობის წლიური წარმოების გაზრდა 5%-ით, რათა არ შეიცვალოს წელიწადში წარმოებული ნავთობის მთლიანი მოცულობა.

ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ მსგავსი პრობლემის სხვა ვერსია. აქ წარმოგიდგენთ რამდენიმე ცვლადს, რომელიც მხოლოდ მოცულობის ერთეულების „სიმბოლოა“.

12. პირველი, მეორე და მესამე ჭაბურღილებიდან ნავთობის წლიური მოპოვების მოცულობა შეფარდება 6:7:10. პირველი ჭაბურღილიდან ნავთობის წლიური მოპოვების შემცირება იგეგმება 10%-ით, მეორედან 10%-ით. რა პროცენტით უნდა გაიზარდოს ნავთობის წლიური მოპოვება მესამე ჭაბურღილიდან, რათა არ შეიცვალოს წარმოებული ნავთობის მთლიანი მოცულობა?

პირველი, მეორე და მესამე ჭაბურღილებიდან ნავთობის წლიური წარმოების მოცულობა უდრის, შესაბამისად, ზოგიერთი მოცულობის ერთეულის 6x, 7x, 10x.

1) 0.1 ·6x = 0.6x (ერთეული) – წარმოების შემცირება პირველ ჭაბურღილზე;

2)0.1 ·7x = 0.7x (ერთეული) – წარმოების შემცირება მეორე ჭაბურღილზე;

3) 0.6x + 0.7x = 1.3x (ერთეული) - უნდა შეადგენდეს ნავთობის მოპოვების მოცულობის ზრდას მესამე ჭაბურღილზე;

მესამე ჭაბურღილიდან ნავთობის წლიური მოპოვება ამ პროცენტით უნდა გაიზარდოს.

მესამე ჭაბურღილიდან ნავთობის წლიური წარმოება 13%-ით უნდა გაიზარდოს.

13. ვიყიდეთ 60 რვეული - 2-ჯერ მეტი კვადრატული რვეული იყო, ვიდრე ხაზოვანი. რამდენი ნაწილია შემოხაზული ბლოკნოტში? კვადრატულ რვეულზე; ყველა ნოუთბუქისთვის? რამდენი ხაზიანი რვეული იყიდე? რამდენია თითო გალიაში?

პრობლემის გადაჭრისას უმჯობესია დაეყრდნოთ სქემატურ ნახატს, რომელიც ადვილად შეიძლება გაიმეოროთ რვეულში და დაემატოს საჭირო შენიშვნებით, როგორც გადაწყვეტა პროგრესირებს. ხაზგასმული რვეულები შეადგენენ 1 ნაწილს, შემდეგ კვადრატულ რვეულებს 2 ნაწილად.

1) 1 + 2 = 3 (ნაწილები) – მოიცავს ყველა რვეულს;

2) 60: 3 = 20 (რვეულები) – ანგარიშები 1 ნაწილისთვის;

3) 20 · 2 = 40 (რვეულები) – კვადრატული რვეულები;

4) 60 – 40 = 20 (რვეულები) – გაფორმებულია.

ვიყიდეთ 20 რვეული და 40 კვადრატული რვეული.

14. 1892 წელს ვინმე ფიქრობს, იმდენი წუთი გაატაროს პეტერბურგში, რამდენი საათი გაატაროს სოფელში. რამდენ ხანს გაატარებს ვინმე სანქტ-პეტერბურგში?

ვინაიდან 1 საათი უდრის 60 წუთს და წუთების რაოდენობა საათების რაოდენობას, მაშინ სოფელში ვინმე 60-ჯერ მეტ დროს გაატარებს ვიდრე პეტერბურგში (აქ მგზავრობის დრო არ არის გათვალისწინებული). თუ პეტერბურგში გატარებული დღეების რაოდენობა არის 1 ნაწილი, მაშინ სოფელში გატარებული დღეების რაოდენობა 60 ნაწილია. ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ ნახტომი წელზე, თითო ნაწილზე არის 366: (60 + 1) = 6 (დღე).

ვინმე პეტერბურგში 6 დღე გაატარებს.

15. ვაშლი შეიცავს 78% წყალს. ისინი ცოტათი გაშრეს და ახლა 45% წყალს შეიცავს. გაშრობისას ვაშლებმა მასის რამდენი პროცენტი დაკარგა?

მოდით x კგ იყოს ვაშლის მასა, მაშინ ის შეიცავს 0,78x კგ წყალს და x – 0,78x = 0,22x (კგ) მშრალ ნივთიერებას. გაშრობის შემდეგ, მშრალი ნივთიერება არის მშრალი ვაშლის მასის 100 - 45 = 55 (%), ამიტომ მშრალი ვაშლის მასა არის 0,22x: 0,55 = 0,46x (კგ).

ასე რომ, გაშრობის დროს ვაშლებმა დაკარგეს x - 0.46x = 0.54x, ანუ 54%.

გაშრობისას ვაშლებმა დაკარგეს მასის 54%.

16. ბალახი შეიცავს 82% წყალს. ცოტა გაშრეს, ახლა კი 55% წყალს შეიცავს. რამდენი მასა დაკარგა ბალახმა გაშრობისას?

ზე საწყისი პირობებიბალახის ცოცხალი მასა იყო 100% - 82% = 18%.

გაშრობის შემდეგ ეს ღირებულება გაიზარდა 45%-მდე, მაგრამ ბალახის მთლიანი მასა შემცირდა 40%-ით (45: 18 · 10% = 40%).

გაშრობისას ბალახმა დაკარგა მასის 40%.

1. მოძრაობის ამოცანები.

ეს ამოცანები ტრადიციულად რთულად ითვლება. ამიტომ საჭიროა ამ ტიპის ამოცანის გადაჭრის არითმეტიკული მეთოდის უფრო დეტალური ანალიზი.

17. ორი ველოსიპედისტი ერთდროულად მიემგზავრება A წერტილიდან B წერტილამდე. ერთი მათგანის სიჩქარე მეორეზე 2 კმ/სთ-ით ნაკლებია. ველოსიპედისტი, რომელიც პირველად მივიდა B-ზე, მაშინვე უკან დაბრუნდა და 1 საათის და 30 წუთის შემდეგ სხვა ველოსიპედისტს შეხვდა. A-დან გასვლის შემდეგ B წერტილიდან რა მანძილზე შედგა შეხვედრა?

ეს პრობლემა ასევე მოგვარებულია საგნის სურათებისა და ასოციაციების მაგალითის გამოყენებით.

მას შემდეგ, რაც არაერთი მაგალითი განიხილება და რიცხვში ეჭვი არავის ეპარება - მანძილი 1,5 კმ-ია, აუცილებელია მისი დასკვნის დასაბუთება წარმოდგენილი პრობლემის მონაცემებიდან. კერძოდ, 1,5 კმ არის 2-ის ჩამორჩენის სხვაობა პირველი ველოსიპედისტის ნახევარში: 1,5 საათში მეორე ჩამორჩება პირველს 3 კმ-ით, ვინაიდან 1 ბრუნდება, შემდეგ ორივე ველოსიპედისტი უახლოვდება ერთმანეთს ნახევარი სხვაობით. გავლილი მანძილი, ანუ 1,5 კმ. ეს გულისხმობს პრობლემის პასუხს და ამ ტიპის სიტყვის ამოცანების გადაჭრის მეთოდს.

შეხვედრა B წერტილიდან 1,5 კმ-ის დაშორებით გაიმართა.

18. მოსკოვიდან ტვერის მიმართულებით ერთდროულად ორი მატარებელი გაემგზავრა. პირველი გავიდა 39 ვერსტის საათზე და ჩავიდა ტვერში ორი საათით ადრე, ვიდრე მეორე, რომელიც გავიდა 26 ვერსტის საათზე. რამდენი კილომეტრია მოსკოვიდან ტვერამდე?

1) 26 · 2 = 52 (ვერსი) - რამდენია მეორე მატარებელი პირველს უკან;

2) 39 – 26 = 13 (ვერსი) – ასე ჩამორჩა მეორე მატარებელი პირველს 1 საათში;

3) 52: 13 = 4 (სთ) - აი რამდენი ხანი იყო გზაში პირველი მატარებელი;

4) 39 · 4 = 156 (ვერსი) - მანძილი მოსკოვიდან ტვერამდე.

მოსკოვიდან ტვერამდე 156 ვერსი.

1. თანამშრომლობის ამოცანები.

19. ერთ გუნდს შეუძლია დავალების შესრულება 9 დღეში, ხოლო მეორეს 12 დღეში. პირველმა გუნდმა ამ დავალებაზე 3 დღე იმუშავა, შემდეგ მეორე გუნდმა დაასრულა სამუშაო. რამდენ დღეში შესრულდა დავალება?

1) 1: 9 = (დავალებები) – შეასრულებს პირველი გუნდი ერთ დღეში;

2) 3 = (დავალებები) - პირველი ბრიგადა ასრულებს სამ დღეში;

3) 1 - = (დავალებები) – ასრულებს მეორე ბრიგადას;

4) 1: 12 = (დავალებები) – შეასრულებს მეორე გუნდი ერთ დღეში;

5) 8 (დღე) – მუშაობდა მეორე გუნდი;

6) 3 + 8 = 11 (დღე) – დახარჯული დავალების შესრულებაზე.

დავალება 11 დღეში შესრულდა.

20. ცხენი ერთ თვეში თივას ჭამს, ორ თვეში თხა, სამ თვეში ცხვარი. რამდენი დრო დასჭირდება ცხენს, თხას და ცხვარს, რომ ერთად შეჭამონ ერთი და იგივე თივა?

ცხენი, თხა და ცხვარი აჭამონ თივა 6 თვის განმავლობაში. მაშინ ცხენი შეჭამს 6 ეტლს, თხა – 3 ურემს, ცხვარი – 2 ურემს. არის მხოლოდ 11 ურიკა, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი არიანკალათა და ერთი ურიკა 1-ად შეჭამს:= (თვე).

ცხენი, თხა, ცხვარი შეჭამს თივის ურნასთვე.

21. ოთხი დურგალი სახლის აშენებას უნდა. პირველ დურგალს შეუძლია სახლის აშენება 1 წელიწადში, მეორეს 2 წელიწადში, მესამეს 3 წელიწადში, მეოთხეს 4 წელიწადში. რამდენი დრო დასჭირდება მათ სახლის აშენებას, თუ ერთად მუშაობენ?

12 წელიწადში თითოეულ ინდივიდუალურ დურგელს შეუძლია ააშენოს: პირველი - 12 სახლი; მეორე – 6 სახლი; მესამე – 4 სახლი; მეოთხე – 3 სახლი. ამრიგად, 12 წელიწადში მათ შეუძლიათ 25 სახლის აშენება. აქედან გამომდინარე, ერთობლივი ძალისხმევით შეძლებენ ერთი ეზოს აშენებას 175.2 დღე.

დურგლები სახლის აშენებას ერთობლივი მუშაობით 175,2 დღეში შეძლებენ.

დასკვნა.

დასასრულს, უნდა ითქვას, რომ კვლევაში წარმოდგენილი ამოცანები მხოლოდ მცირე მაგალითია არითმეტიკული მეთოდების გამოყენების სიტყვის ამოცანების ამოხსნისას. ერთი რამ უნდა ითქვას მნიშვნელოვანი წერტილი- ამოცანების სიუჟეტის არჩევა. ფაქტია, რომ პრობლემების გადაჭრისას ყველა სირთულის განჭვრეტა შეუძლებელია. მაგრამ მიუხედავად ამისა, ნებისმიერი ტიპის პრობლემის გადაჭრის მეთოდის საწყისი ოსტატობის მომენტში, მათი შეთქმულება მაქსიმალურად მარტივი უნდა იყოს.

მოცემული ნიმუშები წარმოადგენს განსაკუთრებული შემთხვევა, მაგრამ ისინი ასახავს მიმართულებას - სკოლის ცხოვრებასთან დაახლოებას.

ლიტერატურა

1. Vileitner G. Reader მათემატიკის ისტორიის შესახებ. – საკითხი I. არითმეტიკა და ალგებრა / ტრანს. მასთან. P.S. იუშკევიჩი. – მ.-ლ.: 1932 წ.

2.Toom A.L. ტექსტის პრობლემები: აპლიკაციები ან გონებრივი მანიპულაციები // მათემატიკა, 2004 წ.

3.შევკინ ა.ვ. ტექსტის ამოცანები სასკოლო მათემატიკის კურსში.მ,2006წ.

ამოცანების ამოხსნა არითმეტიკული მეთოდების გამოყენებით

მათემატიკის გაკვეთილი მე-5 კლასში.

"თუ გინდა ისწავლო ცურვა, მაშინ თამამად შედი წყალში და თუ გინდა ისწავლო პრობლემების გადაჭრა, მაშინ მოაგვარე ისინი.".
დ.პოლია

გაკვეთილის მიზნები და ამოცანები:

არითმეტიკული მეთოდით ამოცანების გადაჭრის უნარის გამომუშავება;

განვითარება კრეატიულობა, შემეცნებითი ინტერესი;

განვითარება ლოგიკური აზროვნება;

საგნისადმი სიყვარულის აღზრდა;

მათემატიკური აზროვნების კულტურის განვითარება.

აღჭურვილობა: სასიგნალო ბარათები ნომრებით 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი (1 წუთი.)

გაკვეთილი ეძღვნება არითმეტიკული მეთოდის გამოყენებით ამოცანების ამოხსნას. დღეს ჩვენ მოვაგვარებთ პრობლემებს განსხვავებული ტიპები, მაგრამ ყველა მათგანი გადაიჭრება განტოლებების დახმარების გარეშე.

II. ისტორიული ცნობა (1 წუთი.)

ისტორიულად, დიდი ხნის განმავლობაში მათემატიკური ცოდნა თაობიდან თაობას გადაეცემოდა პრაქტიკული ამოცანების ჩამონათვალის სახით მათ გადაწყვეტილებთან ერთად. უძველეს დროში, ვინც იცოდა, როგორ გადაჭრას გარკვეული სახის პრობლემები, რომლებიც პრაქტიკაში გვხვდება, ითვლებოდა გაწვრთნილი.

III. Გახურება (პრობლემების ზეპირად გადაჭრა - 6 წთ.)
ა) პრობლემები ბარათებზე.
თითოეულ მოსწავლეს ეძლევა ბარათი ამოცანებით, რომელსაც ზეპირად ხსნის და პასუხობს. ყველა დავალება მოქმედებისთვის 3 - 1 = 2.

(მოსწავლეები სწორად წყვეტენ ამოცანებს, ზოგი კი არა. ყველა ზეპირად. მაღლა აწევენ ბარათებს და მასწავლებელი ხედავს, ვინ გადაჭრა პრობლემა; ბარათებში უნდა იყოს ნომერი 2.)

ბ) ამოცანები ლექსში და ლოგიკური პრობლემები. (მასწავლებელი ხმამაღლა კითხულობს პრობლემას, მოსწავლეები აწევენ ბარათს სწორი პასუხით.

ზღარბმა იხვის ჭუკი მისცა
რომელი ბიჭი უპასუხებს?
რვა ტყავის ჩექმა
რამდენი იხვის ჭუკი იყო?
(ოთხი.)

ორი მოხერხებული გოჭი
ისე ცივდნენ, კანკალებდნენ.
დათვალეთ და თქვით:
რამდენი ჩექმა უნდა ვიყიდო?
(რვა.)

ფიჭვნარში შევედი
და ვნახე ბუზის აგარი
ორი თაფლის სოკო,
ორი კიდევ.
სამი ზეთის ქილა,
ორი ხაზი...
ვის აქვს პასუხი მზად:
რამდენი სოკო ვიპოვე?
(ათი.)

4. ეზოში ქათმები და ძაღლები დადიოდნენ. ბიჭმა მათი თათები დათვალა. ათი აღმოჩნდა. რამდენი ქათამი და რამდენი ძაღლი შეიძლება იყოს? (ორი ძაღლი და ერთი ქათამი, ერთი ძაღლი და სამი ქათამი.)

5. ექიმის დანიშნულებით, აფთიაქში ვიყიდეთ 10 ტაბლეტი. ექიმმა დამინიშნა დღეში 3 ტაბლეტის მიღება. რამდენი დღე გაგრძელდება ეს წამალი? (სრული დღეები.)

6. ძმა 7 წლისაა და და 5. რამდენი წლის იქნება და როცა ძმა 10 წლის იქნება?

7. მოცემული რიცხვები: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. რომელია უფრო დიდი: მათი ნამრავლი თუ ჯამი?

8. გალავნის აგებისას დურგლები სწორ ხაზზე ათავსებდნენ 5 სვეტს. ბოძებს შორის მანძილი 2 მ რა არის ღობის სიგრძე?

IV. Პრობლემის გადაჭრა

(ბავშვებისთვის დავალებები მოცემულია ბარათებზე - 15 წთ. ბავშვები წყვეტენ პრობლემებს დაფაზე)
ა) და ბ) ამოცანები მიზნად ისახავს შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებებთან კავშირის გამეორებას „მეტით“ და „ნაკლებად“ შორის.

ა) ტურნერის შეგირდმა ცვლაში 120 ნაწილად აქცია, ხოლო ტურნერი 36 ნაწილად მეტს. რამდენი ნაწილი გადაუხვიეს ტურნერმა და მისმა შეგირდმა ერთად?

ბ) პირველმა გუნდმა ცვლაში შეაგროვა 52 მოწყობილობა, მეორემ?- პირველზე 9 მოწყობილობაზე ნაკლები, ხოლო მესამემ - მეორეზე 12 მოწყობილობით მეტი.რამდენი მოწყობილობა შეაგროვა სამმა გუნდმა ცვლაში?

გ პრობლემის გამოყენებით მოსწავლეებს შეუძლიათ აჩვენონ პრობლემის გადაწყვეტა „საპირისპიროდ“.

გ) სამ კლასში 44 გოგონაა - ეს 8-ით ნაკლებია ბიჭებზე. რამდენი ბიჭია სამ კლასში?

პრობლემაში დ) მოსწავლეებს შეუძლიათ შემოგთავაზონ რამდენიმე გამოსავალი.

დ) სამ დას ჰკითხეს: "რამდენი წლისაა თითოეული და?" ვერამ უპასუხა, რომ ის და ნადია ერთად 28 წლის იყვნენ, ნადია და ლიუბა 23 წლის ერთად და სამივე 38 წლის. რამდენი წლისაა თითოეული და?

ამოცანა ე) მიზნად ისახავს გაიმეოროს კავშირი "მეტი..." და "ნაკლები...".

ე) ვასიას 46 ქულა ჰქონდა. ერთი წლის განმავლობაში მისი კოლექცია 230 მარკით გაიზარდა. რამდენჯერ გაიზარდა მისი კოლექცია?

V. ფიზიკური აღზრდის წუთი (2 წუთი.)

დადექით ერთ ფეხზე
თითქოს მტკიცე ჯარისკაცი ხარ.
აწიეთ მარცხენა ფეხი.
შეხედე, არ დაეცემა.
ახლა დადექი მარცხნივ,
თუ მამაცი ჯარისკაცი ხარ.

VI. უძველესი, ისტორიული პრობლემები. ზღაპრის შინაარსის პრობლემები (10 წთ.)

ამოცანა ე) იპოვონ ორი რიცხვი მათი ჯამით და სხვაობით.

ე)(L.N. ტოლსტოის "არითმეტიკიდან")

ორ კაცს ჰყავს 35 ცხვარი. ერთს 9-ით მეტი აქვს მეორეზე. რამდენი ცხვარი ჰყავს თითოეულ ადამიანს?

მოძრაობის ამოცანა.

და)(ძველი პრობლემა.)მოსკოვიდან ტვერის მიმართულებით ერთდროულად ორი მატარებელი გაემგზავრა. პირველი გადიოდა საათში 39 ვერსტით და ჩავიდა ტვერში ორი საათით ადრე, ვიდრე მეორე, რომელიც მოგზაურობდა საათში 26 ვერსტში. რამდენი კილომეტრია მოსკოვიდან ტვერამდე?

(განტოლების გამოყენებით პასუხამდე მისვლა უფრო ადვილია. მაგრამ მოსწავლეებს ურჩევენ, რომ შეხედონ არითმეტიკული ამოხსნადავალებები.)

1) 26 * 2 = 52 (ვერსი) - მეორე მატარებელი ამდენი მილით ჩამორჩებოდა პირველს;

2) 39 - 26 = 13 (ვერსი) - ამდენი მილით მეორე მატარებელი პირველს 1 საათით ჩამორჩებოდა;

3) 52: 13 = 4 (სთ) - ამდენი დრო დასჭირდა პირველ მატარებელს მგზავრობას;

4) 39 * 4 = 156 (ვერსი) - მანძილი მოსკოვიდან ტვერამდე.

თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ საცნობარო წიგნებში მანძილი კილომეტრებში.

1 ვერსი = 1 კმ 69 მ.

დავალება დაყოფილია ნაწილებად.

თ)კიკიმორას დავალება.მერმე კიკიმორე ჰა-ჰა-ზე დაქორწინება გადაწყვიტა. მან კიკიმორეზე რამდენიმე ლეკვი დარგა, კონცხზე კი ორჯერ მეტი. დღესასწაულის დროს 15 წურბელა ჩამოვარდა და დარჩა მხოლოდ 435. რამდენი ლეკვი იყო კიკიმორას ფარდაზე?

(პრობლემა მოცემულია გადასაჭრელად განტოლების გამოყენებით, მაგრამ ჩვენ ვხსნით მას არითმეტიკული გზით)

VII. ცოცხალი ნომრები (განტვირთვის პაუზა - 4 წთ.)

მასწავლებელი უხმობს 10 მოსწავლეს დაფაზე და აძლევს მათ ნომრებს 1-დან 10-მდე. მოსწავლეები იღებენ სხვადასხვა დავალებებს;

ა) მასწავლებელი რეკავს ნომრებზე; დასახელებულები გადადგებიან წინ (მაგ.: 5, 8, 1, 7);

ბ) გამოდიან დასახელებული რიცხვის მხოლოდ მეზობლები (მაგ.: გამოდის რიცხვი 6, 5 და 7);

გ) მასწავლებელი გამოდის მაგალითებით და გამოდის მხოლოდ ის, ვისაც აქვს პასუხი ამ მაგალითზე ან პრობლემაზე (მაგ.: 2 ´ 4; 160: 80; ა.შ.);

დ) მასწავლებელი აკეთებს რამდენიმე ტაშს და ასევე აჩვენებს რიცხვს (ერთი ან ორი); უნდა გამოვიდეს მოსწავლე, რომლის რიცხვი არის ყველა მოსმენილი და ნანახი რიცხვების ჯამი (მაგალითად: 3 ტაში, ნომერი 5 და ნომერი 1.);

რა რიცხვია 4 მეტი ოთხზე?

რიცხვი მოვიფიქრე, გამოვაკელი 3, მივიღე 7. რა რიცხვი მოვიფიქრე?

თუ დანიშნულ რიცხვს დაუმატებთ 2, მიიღებთ 8. რა არის განკუთვნილი რიცხვი?

უნდა ვეცადოთ ამოცანები ისე შევარჩიოთ, რომ პასუხებში ერთი და იგივე რიცხვები არ განმეორდეს, რათა ყველამ შეძლოს თამაშში აქტიური მონაწილეობა.

VIII. გაკვეთილის შეჯამება (2 წუთი.)

- რა გავაკეთეთ დღეს კლასში?

- რას ნიშნავს ამოცანის ამოხსნა არითმეტიკის გამოყენებით?

- უნდა გვახსოვდეს, რომ პრობლემის აღმოჩენილი გამოსავალი უნდა აკმაყოფილებდეს პრობლემის პირობებს.

IX. საშინაო დავალება. შეფასება (2 წუთი.)

№ 387 (ამოცანების ამოხსნა არითმეტიკული მეთოდით), სუსტი მოსწავლეებისთვის. საშუალო და ძლიერი მოსწავლეებისთვის საშინაო დავალება მოცემულია ბარათებზე.

1. თონეს ჰქონდა 645 კგ შავი და თეთრი პური. 215 კგ შავი და 287 კგ თეთრი პურის გაყიდვის შემდეგ ორივე სახეობის პური თანაბარი რაოდენობით დარჩა. რამდენი კილოგრამი შავი და თეთრი პური იყო ცალ-ცალკე?

და-ძმამ ტყეში 25 ღორის სოკო იპოვეს. ძმამ თავის დასზე 7 სოკოთი მეტი აღმოაჩინა. რამდენი გოჭის სოკო იპოვა შენმა ძმამ?

კომპოტისთვის ავიღეთ 6 წილი ვაშლი, 5 წილი მსხალი და 3 წილი სიტყვა. აღმოჩნდა, რომ მსხალმა და ქლიავმა ერთად აიღო 2 კგ 400 გ. დაადგინეთ მიღებული ვაშლის მასა; ყველა ხილის მასა.

ლიტერატურა

ვილენკინი ნ., ჟოხოვი ვ., ჩესნოკოვი ა.მათემატიკა. მე-5 კლასი. - მ., „მნემოსინე“, 2002 წ.

შევკინი A.V.ტექსტის ამოცანები სასკოლო მათემატიკის კურსში. - მ.: პედაგოგიური უნივერსიტეტი „პირველი სექტემბერი“, 2006 წ.

ვოლინა ვ.ნომრების დღესასწაული. - მ.: ცოდნა, 1994 წ.