საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევა ნიშნავს ათწილადის პოვნას, რომელიც ტოლი იქნება მოცემული საერთო წილადისა. ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევისას ორ შემთხვევას შევხვდებით:
1) როდესაც ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება გადაკეთდეს ათწილადებად ზუსტად;
2) როდესაც ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება გადაკეთდეს მხოლოდ ათწილადებად დაახლოებით. განვიხილოთ ეს შემთხვევები თანმიმდევრულად.
1. როგორ გადავიყვანოთ ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადი ათწილადად, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როგორ შევცვალოთ ჩვეულებრივი წილადი მისი ტოლი ათწილადით?
იმ შემთხვევაში, როდესაც ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება იყოს ზუსტადათწილადად გადაყვანილი, არსებობს ორი გზაასეთი მკურნალობა.
გავიხსენოთ, როგორ შევცვალოთ ერთი წილადი მეორეთი, რომელიც პირველის ტოლია, ან როგორ გადავიდეთ ერთი წილადიდან მეორეზე პირველის მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე. ჩვენ ეს გავაკეთეთ, როდესაც წილადები შევამცირეთ საერთო მნიშვნელამდე (§86). როდესაც წილადებს ვამცირებთ საერთო მნიშვნელზე, ვაგრძელებთ შემდეგნაირად: ვპოულობთ ამ წილადების საერთო მნიშვნელს, ვიანგარიშებთ დამატებით კოეფიციენტს თითოეული წილადისთვის და შემდეგ ვამრავლებთ თითოეული წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ამ კოეფიციენტზე.
ეს რომ შევნიშნეთ, ავიღოთ შეუქცევადი წილადი 3/20 და ვცადოთ მისი გადაყვანა ათწილადად. ამ წილადის მნიშვნელი არის 20, მაგრამ თქვენ უნდა მიიყვანოთ იგი სხვა მნიშვნელზე, რომელიც წარმოდგენილი იქნება ერთით ნულებით. ჩვენ ვეძებთ ერთის უმცირეს მნიშვნელს, რასაც მოჰყვება ნულები.
პირველი გზაწილადის ათწილადად გადაქცევა ეფუძნება მნიშვნელის მარტივ ფაქტორებად დაშლას.
თქვენ უნდა გაარკვიოთ რა რიცხვი უნდა გაამრავლოთ 20-ზე ისე, რომ ნამრავლი გამოისახოს როგორც ერთი, რასაც მოჰყვება ნულები. ამის გასარკვევად, ჯერ უნდა გახსოვდეთ, თუ რა მარტივ ფაქტორებად იშლება ერთი და ნულით წარმოდგენილი რიცხვები. ეს არის დაშლა:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი, რომელიც წარმოდგენილია ერთით ნულებთან ერთად, იშლება მხოლოდ ორებად და ხუთებად და არ არსებობს სხვა ფაქტორები გაფართოებაში. გარდა ამისა, ორი და ხუთეული შედის გაფართოებაში იმავე რიცხვში. და ბოლოს, ამ და სხვა ფაქტორების რაოდენობა ცალ-ცალკე უდრის მოცემული რიცხვის გამოსახულებაში მოცემული ერთის შემდეგ ნულების რაოდენობას.
ახლა ვნახოთ, როგორ იშლება 20 მარტივ ფაქტორებად: 20 = 2 2 5. აქედან ირკვევა, რომ 20 რიცხვის დაშლისას არის ორი ორიანი და ერთი ხუთეული. ეს ნიშნავს, რომ თუ ამ ფაქტორებს ერთ ხუთს დავუმატებთ, მივიღებთ რიცხვს, რომელიც წარმოდგენილია ერთით ნულებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იმისთვის, რომ მნიშვნელს ჰქონდეს რიცხვი, რომელიც 20-ის ნაცვლად ნულებით არის წარმოდგენილი, უნდა გაამრავლოთ 20 5-ზე და რომ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვალოს, მისი მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ 5-ზე. , ე.ი.
ამრიგად, ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევის მიზნით, თქვენ უნდა დაშალოთ ამ ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი მარტივ ფაქტორებად და შემდეგ გაათანაბროთ მასში ორი და ხუთი რიცხვი, შეიყვანოთ მასში (და, რა თქმა უნდა, მრიცხველში). ) გამოტოვებული ფაქტორები საჭირო რაოდენობაში.
გამოვიყენოთ ეს დასკვნა ზოგიერთ წილადზე.
გადაიყვანეთ 3/50 ათწილადში. ამ წილადის მნიშვნელი გაფართოებულია შემდეგნაირად:
ეს ნიშნავს, რომ მას აკლია ერთი დეუსი. დავამატოთ:
გადაიყვანეთ 7/40 ათწილადში.
ამ წილადის მნიშვნელი იშლება შემდეგნაირად: 40 = 2 2 2 5, ანუ აკლია ორი ხუთეული. მოდით შევიყვანოთ ისინი მრიცხველში და მნიშვნელში, როგორც ფაქტორები:
ნათქვამიდან გამომდინარე, ძნელი არ არის დავასკვნათ, რომელი ჩვეულებრივი წილადები გარდაიქმნება ზუსტად ათწილადებად. აშკარაა, რომ შეუქცევადი ჩვეულებრივი წილადი, რომლის მნიშვნელი არ შეიცავს სხვა მარტივ ფაქტორებს, გარდა 2-ისა და 5-ისა, გარდაიქმნება ზუსტად ათწილადად. ათობითი წილადს, რომელიც მიიღება ზოგიერთი ჩვეულებრივი წილადის შებრუნებით, ექნება იმდენი ათწილადი, რამდენჯერაც ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი მისი შემცირების შემდეგ მოიცავს რიცხობრივად გაბატონებულ ფაქტორს 2 ან 5.
თუ წილადს 9/40 ავიღებთ, მაშინ, პირველ რიგში, ის გადაიქცევა ათწილადად, რადგან მისი მნიშვნელი მოიცავს 2 2 2 5 ფაქტორებს და მეორეც, მიღებულ ათწილად წილადს ექნება 3 ათობითი ადგილი, რადგან რიცხობრივად დომინანტური ფაქტორი 2. სამჯერ შედის გაფართოებაში. Ნამდვილად:
მეორე გზა(მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით).
დავუშვათ, რომ გსურთ გადაიყვანოთ 3/4 ათწილადად. ჩვენ ვიცით, რომ 3/4 არის 3-ის 4-ზე გაყოფის კოეფიციენტი. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ეს კოეფიციენტი 3-ის 4-ზე გაყოფით. მოდით გავაკეთოთ ეს:
ამრიგად, 3/4 = 0.75.
კიდევ ერთი მაგალითი: გადაიყვანეთ 5/8 ათობითი წილადად.
ასე რომ, 5/8 = 0,625.
ასე რომ, წილადის ათწილადად გადაქცევისთვის, თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ წილადის მრიცხველი მის მნიშვნელზე.
2. ახლა განვიხილოთ აბზაცის დასაწყისში მითითებული შემთხვევებიდან მეორე, ანუ შემთხვევა, როდესაც ჩვეულებრივი წილადი ზუსტ ათწილადად ვერ გადაიქცევა.
ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადი, რომლის მნიშვნელი შეიცავს სხვა მარტივ ფაქტორებს, გარდა 2-ისა და 5-ისა, ზუსტად ვერ გადაიქცევა ათწილადში. სინამდვილეში, მაგალითად, წილადი 8/15 ვერ გადაიქცევა ათწილადად, რადგან მისი მნიშვნელი 15 იშლება ორ ფაქტორად: 3 და 5.
ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვრიცხოთ სამმაგი მნიშვნელიდან და ვერ ავირჩიოთ ისეთი რიცხვი, რომ მოცემული მნიშვნელის მასზე გამრავლების შემდეგ, ნამრავლი გამოვხატოთ როგორც ერთი, რასაც მოჰყვება ნულები.
ასეთ შემთხვევებში მხოლოდ საუბარი შეგვიძლია დაახლოებაჩვეულებრივი წილადები ათწილადამდე.
როგორ კეთდება? ეს ხდება საერთო წილადის მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით, ანუ ამ შემთხვევაში გამოიყენება საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევის მეორე მეთოდი. ეს ნიშნავს, რომ ეს მეთოდი გამოიყენება როგორც ზუსტი, ასევე სავარაუდო დამუშავებისთვის.
თუ წილადი გარდაიქმნება ზუსტად ათწილადად, მაშინ გაყოფა წარმოქმნის საბოლოო ათობითი წილადს.
თუ ჩვეულებრივი წილადი არ გარდაიქმნება ზუსტ ათწილადად, მაშინ გაყოფა წარმოქმნის უსასრულო ათობითი წილადს.
ვინაიდან ჩვენ არ შეგვიძლია განვახორციელოთ გაუთავებელი გაყოფის პროცესი, ჩვენ უნდა შევაჩეროთ გაყოფა რომელიმე ათობითი ადგილზე, ანუ გავაკეთოთ სავარაუდო გაყოფა. შეგვიძლია, მაგალითად, შევწყვიტოთ გაყოფა პირველ ათწილადზე, ანუ შემოვიფარგლოთ მეათედებით; საჭიროების შემთხვევაში შეგვიძლია შევჩერდეთ მეორე ათწილადზე, მივიღოთ მეასედი და ა.შ. ამ შემთხვევაში ვამბობთ, რომ ვამრგვალებთ უსასრულო ათწილადის წილადს. დამრგვალება ხდება ამ პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო სიზუსტით.
§ 115. პერიოდული წილადის ცნება.
მუდმივი ათობითი წილადი, რომელშიც ერთი ან მეტი ციფრი უცვლელად მეორდება იმავე თანმიმდევრობით, ეწოდება პერიოდული ათობითი წილადი. Მაგალითად:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
იწოდება განმეორებადი რიცხვების ნაკრები პერიოდიამ ფრაქციას. ზემოთ დაწერილი წილადებიდან პირველის წერტილი არის 3, მეორე წილადის პერიოდი არის 12, მესამე წილადის პერიოდი არის 234. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი შეიძლება შედგებოდეს რამდენიმე ციფრისგან - ერთი, ორი, სამი და ა.შ. განმეორებადი ციფრების პირველ კომპლექტს ეწოდება პირველი პერიოდი, მეორეს მთლიანობა - მეორე პერიოდი და ა.შ., ე.ი.
პერიოდული ფრაქციები შეიძლება იყოს სუფთა ან შერეული. პერიოდულ წილადს სუფთა ეწოდება, თუ მისი პერიოდი იწყება ათწილადის წერტილის შემდეგ. ეს ნიშნავს, რომ ზემოთ დაწერილი პერიოდული წილადები სუფთა იქნება. Წინააღმდეგ, პერიოდული ფრაქციაშერეული ეწოდება, თუ მას აქვს ერთი ან მეტი არაგანმეორებადი ციფრი ათწილადსა და პირველ წერტილს შორის, მაგალითად:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
ასოს შესამცირებლად შეგიძლიათ ფრჩხილებში ჩაწეროთ წერტილის რიცხვები ერთხელ და ფრჩხილების შემდეგ არ ჩადოთ ელიფსები, ანუ 0,33-ის ნაცვლად... შეგიძლიათ დაწეროთ 0,(3); 2.515151-ის ნაცვლად... შეგიძლიათ დაწეროთ 2,(51); 0.2333-ის ნაცვლად... შეგიძლიათ დაწეროთ 0.2(3); 0.8333-ის ნაცვლად... შეგიძლიათ დაწეროთ 0.8(3).
პერიოდული წილადები იკითხება ასე:
0,(3) - 0 მთელი რიცხვი, 3 წერტილში.
7,2(3) - 7 მთელი რიცხვი, 2 წერტილამდე, 3 წერტილში.
5.00(17) - 5 მთელი რიცხვი, ორი ნული წერტილამდე, 17 პერიოდში.
როგორ წარმოიქმნება პერიოდული წილადები? ჩვენ უკვე ვნახეთ, რომ წილადების ათწილადებად გადაქცევისას შეიძლება იყოს ორი შემთხვევა.
ჯერ ერთი, ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს 2-ისა და 5-ის გარდა სხვა ფაქტორებს; ამ შემთხვევაში, ჩვეულებრივი წილადი ხდება საბოლოო ათწილადი.
Მეორეც,ჩვეულებრივი შეუქცევადი წილადის მნიშვნელი შეიცავს ნებისმიერ მარტივ ფაქტორს, გარდა 2-ისა და 5-ისა; ამ შემთხვევაში ჩვეულებრივი წილადი არ გადაიქცევა საბოლოო ათწილადად. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, წილადის ათწილადად გადაქცევის მცდელობა მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით მიგვიყვანს უსასრულო წილადზე, რომელიც ყოველთვის პერიოდული იქნება.
ამის სანახავად, მოდით შევხედოთ მაგალითს. ვცადოთ წილადი 18/7 გადაიყვანოთ ათწილადში.
ჩვენ, რა თქმა უნდა, წინასწარ ვიცით, რომ ასეთი მნიშვნელის მქონე წილადი ვერ გადაიქცევა საბოლოო ათწილადად და საუბარია მხოლოდ სავარაუდო გარდაქმნაზე. გაყავით მრიცხველი 18 მნიშვნელზე 7.
ჩვენ მივიღეთ რვა ათობითი ადგილი კოეფიციენტში. დაყოფის გაგრძელება აღარ არის საჭირო, რადგან ის მაინც არ დასრულდება. მაგრამ აქედან ირკვევა, რომ გაყოფა შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით და ამით მივიღოთ ახალი რიცხვები კოეფიციენტში. ეს ახალი ნომრები გაჩნდება, რადგან ჩვენ ყოველთვის გვექნება ნარჩენები; მაგრამ არცერთი ნაშთი არ შეიძლება იყოს გამყოფზე დიდი, რომელიც ჩვენთვის არის 7.
ვნახოთ რა ნაშთები გვქონდა: 4; 5; 1; 3; 2; b, ანუ ეს იყო 7-ზე ნაკლები რიცხვები. ცხადია, მათგან ექვსზე მეტი არ შეიძლება იყოს და გაყოფის შემდგომი გაგრძელებით ისინი უნდა განმეორდეს და მათ შემდეგ განმეორდება კოეფიციენტის ციფრები. ზემოაღნიშნული მაგალითი ადასტურებს ამ აზრს: ათწილადის ათწილადები არის შემდეგი თანმიმდევრობით: 571428 და ამის შემდეგ კვლავ გამოჩნდა რიცხვები 57. ეს ნიშნავს, რომ პირველი პერიოდი დასრულდა და მეორე იწყება.
ამრიგად, უსასრულო ათობითი წილადი, რომელიც მიღებულია საერთო წილადის შებრუნებით, ყოველთვის პერიოდული იქნება.
თუ ამოცანის ამოხსნისას პერიოდული წილადი შეგვხვდება, მაშინ ის ამოცანების პირობებით მოთხოვნილი სიზუსტით არის აღებული (მეათემდე, მეასედამდე, მეათასედამდე და ა.შ.).
§ 116. ერთობლივი მოქმედებები ჩვეულებრივი და ათობითი წილადებით.
სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრისას შევხვდებით შემთხვევებს, როცა პრობლემა მოიცავს როგორც ჩვეულებრივს, ასევე ათწილადები.
ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ სხვადასხვა გზით წახვიდეთ.
1. გადაიყვანეთ ყველა წილადი ათწილადებად.ეს მოსახერხებელია, რადგან ათობითი წილადების გამოთვლა უფრო ადვილია, ვიდრე ჩვეულებრივი წილადებით. Მაგალითად,
გადავიყვანოთ წილადები 3/4 და 1 1/5 ათწილადებად:
2. ყველა წილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად.ეს ყველაზე ხშირად კეთდება იმ შემთხვევებში, როდესაც არის ჩვეულებრივი წილადები, რომლებიც არ გადაიქცევა საბოლოო ათწილადებად.
Მაგალითად, 
გადავიყვანოთ ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად:
3. გამოთვლები ხორციელდება ზოგიერთი წილადის სხვებზე გადაყვანის გარეშე.
ეს განსაკუთრებით სასარგებლოა, როდესაც მაგალითი მოიცავს მხოლოდ გამრავლებას და გაყოფას. Მაგალითად,
მოდით გადავწეროთ მაგალითი ასე:
4. ზოგიერთ შემთხვევაში ყველა წილადის გადაქცევა ათწილადებად(თუნდაც ისინი, რომლებიც პერიოდულად გადაიქცევიან) და იპოვონ სავარაუდო შედეგი. Მაგალითად,
გადავიყვანოთ 2/3 ათწილად წილადად, შემოვიფარგლოთ მეათასედებით.
გახსოვთ, როგორ ვთქვი პირველივე გაკვეთილზე ათწილადების შესახებ, რომ არის რიცხვითი წილადები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათწილადების სახით (იხ. გაკვეთილი „ათწილადები“)? ჩვენ ასევე ვისწავლეთ წილადების მნიშვნელების ფაქტორები, რათა დავინახოთ, იყო თუ არა სხვა რიცხვები 2-ისა და 5-ის გარდა.
ასე რომ: მოვიტყუე. და დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ გადავიტანოთ აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვითი წილადი ათწილადად. ამავდროულად, ჩვენ გავეცნობით წილადების მთელ კლასს უსასრულო მნიშვნელოვანი ნაწილით.
პერიოდული ათობითი არის ნებისმიერი ათწილადი, რომელიც:
- მნიშვნელოვანი ნაწილი შედგება უსასრულო რაოდენობის ციფრებისგან;
- გარკვეული ინტერვალებით, მნიშვნელოვანი ნაწილის რიცხვები მეორდება.
განმეორებადი ციფრების სიმრავლეს, რომლებიც ქმნიან მნიშვნელოვან ნაწილს, ეწოდება წილადის პერიოდულ ნაწილს, ხოლო ამ სიმრავლის ციფრთა რაოდენობას - წილადის პერიოდი. მნიშვნელოვანი ნაწილის დარჩენილ სეგმენტს, რომელიც არ მეორდება, ეწოდება არაპერიოდული ნაწილი.
ვინაიდან მრავალი განმარტება არსებობს, ღირს ამ წილადებიდან რამდენიმე დეტალურად განხილვა:
ეს ფრაქცია ყველაზე ხშირად ჩნდება პრობლემებში. არაპერიოდული ნაწილი: 0; პერიოდული ნაწილი: 3; პერიოდის ხანგრძლივობა: 1.
არაპერიოდული ნაწილი: 0,58; პერიოდული ნაწილი: 3; პერიოდის ხანგრძლივობა: ისევ 1.
არაპერიოდული ნაწილი: 1; პერიოდული ნაწილი: 54; პერიოდის ხანგრძლივობა: 2.
არაპერიოდული ნაწილი: 0; პერიოდული ნაწილი: 641025; პერიოდის ხანგრძლივობა: 6. მოხერხებულობისთვის განმეორებადი ნაწილები ერთმანეთისგან გამოყოფილია სივრცეთი - ეს არ არის აუცილებელი ამ გადაწყვეტაში.
არაპერიოდული ნაწილი: 3066; პერიოდული ნაწილი: 6; პერიოდის ხანგრძლივობა: 1.
როგორც ხედავთ, პერიოდული წილადის განმარტება ემყარება კონცეფციას რიცხვის მნიშვნელოვანი ნაწილი. ამიტომ, თუ დაგავიწყდათ რა არის, გირჩევთ გაიმეოროთ - იხილეთ გაკვეთილი "".
პერიოდულ ათობითი წილადზე გადასვლა
განვიხილოთ a /b ფორმის ჩვეულებრივი წილადი. მოდით გავამრავლოთ მისი მნიშვნელი პირველ ფაქტორებად. არსებობს ორი ვარიანტი:
- გაფართოება შეიცავს მხოლოდ 2 და 5 ფაქტორებს. ეს წილადები ადვილად გარდაიქმნება ათწილადებად - იხილეთ გაკვეთილი „ათწილადები“. ჩვენ არ გვაინტერესებს ასეთი ხალხი;
- გაფართოებაში არის რაღაც სხვა, გარდა 2-ისა და 5-ისა. ამ შემთხვევაში, წილადი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათწილადად, მაგრამ შეიძლება გადაკეთდეს პერიოდულ ათწილადად.
პერიოდული ათობითი წილადის დასადგენად, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი პერიოდული და არაპერიოდული ნაწილები. Როგორ? გადააქციეთ წილადი არასწორ წილადად და შემდეგ გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე კუთხის გამოყენებით.
შემდეგი მოხდება:
- ჯერ გაიყოფა მთელი ნაწილი , თუ ის არსებობს;
- ათობითი წერტილის შემდეგ შეიძლება იყოს რამდენიმე რიცხვი;
- ცოტა ხნის შემდეგ ნომრები დაიწყება გაიმეორეთ.
Სულ ეს არის! ათწილადის შემდეგ განმეორებადი რიცხვები აღინიშნება პერიოდული ნაწილით, ხოლო წინ - არაპერიოდული ნაწილით.
დავალება. გადაიყვანეთ ჩვეულებრივი წილადები პერიოდულ ათწილადებად:
ყველა წილადი მთელი რიცხვის გარეშე, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ ვყოფთ მრიცხველს მნიშვნელზე "კუთხით":
როგორც ხედავთ, ნარჩენები მეორდება. წილადი ჩავწეროთ „სწორი“ სახით: 1,733 ... = 1,7(3).
შედეგი არის წილადი: 0,5833 ... = 0,58(3).
მიწერეთ ნორმალური ფორმა: 4,0909 ... = 4,(09).
ვიღებთ წილადს: 0.4141 ... = 0.(41).
პერიოდული ათობითი წილადიდან ჩვეულებრივ წილადზე გადასვლა
განვიხილოთ პერიოდული ათობითი წილადი X = abc (a 1 b 1 c 1). საჭიროა მისი კლასიკურ „ორსართულიან“ გადაქცევა. ამისათვის შეასრულეთ ოთხი მარტივი ნაბიჯი:
- იპოვეთ წილადის პერიოდი, ე.ი. დათვალეთ რამდენი ციფრია პერიოდულ ნაწილში. ეს იყოს რიცხვი k;
- იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა X · 10 კ. ეს უდრის ათობითი წერტილის გადატანას სრული პერიოდიმარჯვნივ - იხილეთ გაკვეთილი „ათწილადების გამრავლება და გაყოფა“;
- ორიგინალური გამოხატულება უნდა გამოკლდეს მიღებულ რიცხვს. ამ შემთხვევაში პერიოდული ნაწილი "იწვა" და რჩება საერთო წილადი;
- იპოვეთ X მიღებულ განტოლებაში. ჩვენ ყველა ათობითი წილადს ვცვლით ჩვეულებრივ წილადებად.
დავალება. ჩვეულებრივზე შემცირება არასწორი ფრაქციანომრები:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
ჩვენ ვმუშაობთ პირველ წილადთან: X = 9, (6) = 9,666 ...
ფრჩხილები შეიცავს მხოლოდ ერთ ციფრს, ამიტომ წერტილი არის k = 1. შემდეგ, ამ წილადს ვამრავლებთ 10 k = 10 1 = 10-ზე. გვაქვს:
10X = 10 9.6666... = 96.666...
გამოვაკლოთ თავდაპირველი წილადი და ამოხსენით განტოლება:
10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
ახლა გადავხედოთ მეორე წილადს. ასე რომ X = 32, (39) = 32.393939...
პერიოდი k = 2, ასე რომ გავამრავლოთ ყველაფერი 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...
კვლავ გამოვაკლოთ საწყისი წილადი და ამოხსნათ განტოლება:
100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
გადავიდეთ მესამე წილადზე: X = 0.30(5) = 0.30555... დიაგრამა იგივეა, ამიტომ მხოლოდ გამოთვლებს მივცემ:
პერიოდი k = 1 ⇒ გავამრავლოთ ყველაფერი 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.
ბოლოს ბოლო წილადი: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... ისევ მოხერხებულობისთვის პერიოდული ნაწილები ერთმანეთისგან გამოყოფილია სივრცეებით. Ჩვენ გვაქვს:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
გაყოფის ოპერაცია მოიცავს რამდენიმე ძირითადი კომპონენტის მონაწილეობას. პირველი მათგანი არის ე.წ. დივიდენდი, ანუ რიცხვი, რომელიც ექვემდებარება გაყოფის პროცედურას. მეორე არის გამყოფი, ანუ რიცხვი, რომლითაც ხდება გაყოფა. მესამე არის კოეფიციენტი, ანუ დივიდენდის გამყოფზე გაყოფის მოქმედების შედეგი.
გაყოფის შედეგი
Ყველაზე მარტივი ვარიანტიშედეგი, რომელიც შეიძლება მივიღოთ, როდესაც ორი დადებითი რიცხვი გამოიყენება დივიდენდად და გამყოფად, არის კიდევ ერთი დადებითი რიცხვი. მაგალითად, 6-ის 2-ზე გაყოფისას კოეფიციენტი იქნება 3-ის ტოლი. ეს სიტუაცია შესაძლებელია, თუ დივიდენდი არის გამყოფი, ანუ მასზე იყოფა ნაშთის გარეშე.თუმცა, არის სხვა ვარიანტებიც, როცა ნარჩენების გარეშე გაყოფის ოპერაციის განხორციელება შეუძლებელია. ამ შემთხვევაში არამთლიანი რიცხვი ხდება კოეფიციენტი, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს როგორც მთელი რიცხვის და წილადი ნაწილის კომბინაცია. მაგალითად, 5-ის 2-ზე გაყოფისას კოეფიციენტი არის 2,5.
რიცხვი პერიოდში
ერთ-ერთი ვარიანტი, რომელიც შეიძლება გამოვიდეს, თუ დივიდენდი არ არის გამყოფის ჯერადი, არის ე.წ. ის შეიძლება წარმოიშვას გაყოფის შედეგად, თუ კოეფიციენტი აღმოჩნდება რიცხვების უსასრულოდ განმეორებადი სიმრავლე. მაგალითად, რიცხვი პერიოდის განმავლობაში შეიძლება გამოჩნდეს რიცხვი 2-ზე 3-ზე გაყოფისას. ამ სიტუაციაში, შედეგი, როგორც ათობითი წილადი, გამოიხატება ათწილადის შემდეგ უსასრულო რაოდენობის 6 ციფრის კომბინაციით.ასეთი გაყოფის შედეგის აღსანიშნავად გამოიგონეს რიცხვების ჩაწერის სპეციალური ხერხი პერიოდში: ასეთი რიცხვი აღინიშნება ფრჩხილებში განმეორებითი ციფრის მოთავსებით. მაგალითად, 2-ის 3-ზე გაყოფის შედეგი დაიწერება ამ მეთოდის გამოყენებით, როგორც 0,(6). ეს აღნიშვნა ასევე გამოიყენება, თუ გაყოფის შედეგად მიღებული რიცხვის მხოლოდ ნაწილი მეორდება.
მაგალითად, 5-ის 6-ზე გაყოფისას, შედეგი იქნება 0.8(3) ფორმის პერიოდული რიცხვი. ამ მეთოდის გამოყენება, ჯერ ერთი, უფრო ეფექტურია, ვიდრე რიცხვის რიცხვის ყველა ან მისი ნაწილის ჩაწერის მცდელობა პერიოდში, და მეორეც, მას აქვს უფრო დიდი სიზუსტე ასეთი რიცხვების გადაცემის სხვა მეთოდთან - დამრგვალებასთან შედარებით და გარდა ამისა, ეს საშუალებას გაძლევთ განასხვავოთ რიცხვები პერიოდში ზუსტი ათობითი წილადისგან შესაბამისი მნიშვნელობით ამ რიცხვების სიდიდის შედარებისას. ასე, მაგალითად, აშკარაა, რომ 0.(6) მნიშვნელოვნად აღემატება 0.6-ს.
როგორც ცნობილია, რაციონალური რიცხვების სიმრავლე (Q) მოიცავს მთელ რიცხვთა სიმრავლეს (Z), რომელიც თავის მხრივ მოიცავს ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს (N). მთელი რიცხვების გარდა, რაციონალურ რიცხვებში შედის წილადები.
მაშინ რატომ განიხილება რაციონალური რიცხვების მთელი სიმრავლე ზოგჯერ უსასრულო პერიოდულ ათობითი წილადებად? მართლაც, წილადების გარდა, მათში ასევე შედის მთელი რიცხვები, ისევე როგორც არაპერიოდული წილადები.
ფაქტია, რომ ყველა მთელი რიცხვი, ისევე როგორც ნებისმიერი წილადი, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი. ანუ, ყველა რაციონალური რიცხვისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთი და იგივე ჩაწერის მეთოდი.
როგორ არის წარმოდგენილი უსასრულო პერიოდული ათწილადი? მასში ათწილადის შემდეგ რიცხვების განმეორებითი ჯგუფი მოთავსებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 1.56(12) არის წილადი, რომელშიც მეორდება რიცხვების ჯგუფი 12, ანუ წილადს აქვს მნიშვნელობა 1.561212121212... და ასე უსასრულოდ. რიცხვების განმეორებით ჯგუფს პერიოდს უწოდებენ.
თუმცა ამ ფორმით ნებისმიერი რიცხვი შეგვიძლია გამოვსახოთ, თუ მის პერიოდს მივიჩნევთ რიცხვად 0, რომელიც ასევე უსასრულოდ მეორდება. მაგალითად, რიცხვი 2 იგივეა, რაც 2.00000.... მაშასადამე, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც უსასრულო პერიოდული წილადი, ანუ 2,(0).
იგივე შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერ სასრულ წილადთან. Მაგალითად:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
თუმცა, პრაქტიკაში ისინი არ იყენებენ სასრულ წილადის უსასრულო პერიოდულად გარდაქმნას. ამიტომ ისინი განასხვავებენ სასრულ წილადებს და უსასრულო პერიოდულებს. ამრიგად, უფრო სწორია იმის თქმა, რომ რაციონალური რიცხვები მოიცავს
- ყველა მთელი რიცხვი
- საბოლოო წილადები,
- უსასრულო პერიოდული წილადები.
ამავე დროს, უბრალოდ დაიმახსოვრეთ, რომ მთელი რიცხვები და სასრული წილადები თეორიულად წარმოდგენილია უსასრულო პერიოდული წილადების სახით.
მეორეს მხრივ, სასრული და უსასრულო წილადების ცნებები გამოიყენება ათობითი წილადებისთვის. როდესაც საქმე ეხება წილადებს, სასრული და უსასრულო ათწილადები შეიძლება ცალსახად იყოს წარმოდგენილი წილადის სახით. ეს ნიშნავს, რომ ჩვეულებრივი წილადების თვალსაზრისით, პერიოდული და სასრული წილადები ერთი და იგივეა. გარდა ამისა, მთელი რიცხვები ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ ვყოფთ რიცხვს 1-ზე.
როგორ წარმოვიდგინოთ ათობითი უსასრულო პერიოდული წილადი ჩვეულებრივ წილადად? ყველაზე ხშირად გამოყენებული ალგორითმი მსგავსია:
- შეამცირეთ წილადი ისე, რომ ათობითი წერტილის შემდეგ დარჩეს მხოლოდ წერტილი.
- გაამრავლეთ უსასრულო პერიოდული წილადი 10-ზე ან 100-ზე ან ... ისე, რომ ათობითი წერტილი გადავიდეს მარჯვნივ ერთი წერტილით (ე.ი. ერთი წერტილი სრულდება მთელ ნაწილში).
- გაუტოლეთ საწყისი წილადი (a) x ცვლადს და წილადი (b) მიღებული N რიცხვით Nx-ზე გამრავლებით.
- გამოვაკლოთ x Nx-ს. b-ს ვაკლებ a. ანუ ისინი ქმნიან განტოლებას Nx – x = b – a.
- განტოლების ამოხსნისას შედეგი არის ჩვეულებრივი წილადი.
უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევის მაგალითი:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =
პერიოდული წილადი უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული წერტილიდან დაწყებული, არის მხოლოდ პერიოდულად განმეორებადი ციფრების გარკვეული ჯგუფი. მაგალითად, 1.3181818...; მოკლედ, ეს წილადი ასე იწერება: 1.3(18), ანუ წერტილს ათავსებენ ფრჩხილებში (და ამბობენ: „პუნქტში 18“). P. ეწოდება სუფთა, თუ პერიოდი იწყება მაშინვე ათობითი წერტილის შემდეგ, მაგალითად 2(71) = 2.7171..., და შერეულია, თუ ათობითი წერტილის შემდეგ არის რიცხვები, რომლებიც წინ უსწრებს პერიოდს, მაგალითად 1.3(18). ათობითი წილადების როლი არითმეტიკაში განპირობებულია იმით, რომ როდესაც რაციონალური რიცხვები, ანუ ჩვეულებრივი (მარტივი) წილადები წარმოდგენილია ათობითი წილადებით, ყოველთვის მიიღება სასრული ან პერიოდული წილადები. უფრო ზუსტად: საბოლოო ათობითი წილადი მიიღება მაშინ, როდესაც შეუქცევადი მარტივი წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს სხვა მარტივ ფაქტორებს, გარდა 2-ისა და 5-ისა; ყველა სხვა შემთხვევაში, შედეგი არის P. წილადი და, უფრო მეტიც, ის სუფთაა, თუ მოცემული შეუქცევადი წილადის მნიშვნელი საერთოდ არ შეიცავს 2 და 5 ფაქტორებს და შერეულია, თუ ამ ფაქტორებიდან ერთს მაინც შეიცავს. მნიშვნელში. ნებისმიერი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას მარტივ წილადად (ანუ ის უდრის რაღაც რაციონალურ რიცხვს). სუფთა წილადი უდრის მარტივ წილადს, რომლის მრიცხველი არის წერტილი, ხოლო მნიშვნელი წარმოდგენილია რიცხვით 9, დაწერილი იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის რიცხვი პერიოდში; შერეული წილადის მარტივ წილადად გადაქცევისას მრიცხველი არის სხვაობა მეორე პერიოდის წინა რიცხვებით წარმოდგენილ რიცხვსა და პირველი პერიოდის წინა რიცხვებით წარმოდგენილ რიცხვს შორის; მნიშვნელის შესადგენად, თქვენ უნდა დაწეროთ რიცხვი 9 იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის რიცხვები წერტილში, და დაამატეთ იმდენი ნული მარჯვნივ, რამდენი რიცხვია წერტილის წინ. ეს წესები ვარაუდობს, რომ მოცემული P. სწორია, ანუ ის არ შეიცავს მთელ ერთეულებს; წინააღმდეგ შემთხვევაში მთელ ნაწილს განსაკუთრებული ყურადღება ექცევა. ასევე ცნობილია მოცემული ჩვეულებრივი წილადის შესაბამისი წილადის პერიოდის სიგრძის განსაზღვრის წესები. მაგალითად, წილადისთვის ა/პ, სად R -მარტივი რიცხვი და 1 ≤ ა ≤ p- 1, პერიოდის სიგრძე არის გამყოფი R - 1. ასე რომ, რიცხვის ცნობილი მიახლოებისთვის (იხ. Pi)
22/7 და 355/113 პერიოდები უდრის შესაბამისად 6-ს და 112-ს.
Დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .
სინონიმები:ნახეთ, რა არის „პერიოდული წილადი“ სხვა ლექსიკონებში:
უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული ადგილიდან დაწყებული, პერიოდულად მეორდება ციფრების გარკვეული ჯგუფი (პერიოდი), მაგალითად. 0,373737... სუფთა პერიოდული ფრაქცია ან 0,253737... შერეული პერიოდული ფრაქცია... Დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი
წილადი, უსასრულო წილადი რუსული სინონიმების ლექსიკონი. პერიოდული წილადის არსებითი სახელი, სინონიმების რაოდენობა: 2 უსასრულო წილადი (2) ... სინონიმური ლექსიკონი
ათობითი წილადი, რომელშიც ციფრების სერია მეორდება იმავე თანმიმდევრობით. მაგალითად, 0.135135135... არის p.d., რომლის პერიოდი არის 135 და რომელიც უდრის მარტივ წილადს 135/999 = 5/37. რუსულ ენაში შეტანილი უცხო სიტყვების ლექსიკონი. პავლენკოვი ფ... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი
ათწილადი არის წილადი 10n მნიშვნელით, სადაც n ბუნებრივი რიცხვი. Მას აქვს სპეციალური ფორმაჩანაწერები: ათწილადი რიცხვების სისტემაში მთელი რიცხვი, შემდეგ მძიმით და შემდეგ წილადი ნაწილი ათობითი რიცხვების სისტემაში და წილადი ნაწილის ციფრების რაოდენობა ... ვიკიპედია
უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული წერტილიდან დაწყებული, პერიოდულად მეორდება ციფრების გარკვეული ჯგუფი (პერიოდი); მაგალითად, 0,373737... სუფთა პერიოდული წილადი ან 0,253737... შერეული პერიოდული ფრაქცია. * * * პერიოდული…… ენციკლოპედიური ლექსიკონი
გაუთავებელი ათობითი წილადი, რომელშიც გარკვეული ადგილიდან დაწყებული, განსაზღვრება პერიოდულად მეორდება. რიცხვთა ჯგუფი (პერიოტი); მაგალითად, 0.373737... სუფთა P. d. ან 0.253737... შერეული P. d. ... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი
იხილეთ ნაწილი... რუსული სინონიმებისა და მსგავსი გამოთქმების ლექსიკონი. ქვეშ. რედ. ნ. აბრამოვა, მ.: რუსული ლექსიკონები, 1999 წ. წილადის წვრილმანი, ნაწილი; მტვერი, ბურთი, კვება, ბაკშოტი; წილადი რიცხვირუსული სინონიმების ლექსიკონი... სინონიმური ლექსიკონი
პერიოდული ათობითი- - [L.G. Sumenko. ინგლისურ-რუსული ლექსიკონი საინფორმაციო ტექნოლოგიების შესახებ. M.: სახელმწიფო საწარმო TsNIIS, 2003.] თემები საინფორმაციო ტექნოლოგიაზოგადად EN მიმოქცევაში ათწილადი განმეორებადი ათობითიპერიოდული ათობითიპერიოდული ათობითიპერიოდული ათობითი ... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი
თუ რომელიმე მთელი რიცხვი a იყოფა სხვა მთელ რიცხვზე b, ე.ი. მოიძებნება x რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს bx = a პირობას, მაშინ შეიძლება წარმოიშვას ორი შემთხვევა: ან მთელი რიცხვების სერიაში არის რიცხვი x რომელიც აკმაყოფილებს ამ პირობას, ან ის. აღმოჩნდა ,… … ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი
წილადი, რომლის მნიშვნელიც არის მთელი ხარისხირიცხვები 10. D. იწერება მნიშვნელის გარეშე, გამოყოფს იმდენივე ციფრს მარჯვნივ მრიცხველში მძიმით, რამდენიც ნულებია მნიშვნელში. მაგალითად, ასეთ ჩანაწერში მარცხენა ნაწილი... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია
Ჩატვირთვა...