Kaip Euklido geometrijoje taškas ir tiesė yra pagrindiniai plokštumų teorijos elementai, taip lygiagretainis yra viena iš pagrindinių išgaubtų keturkampių figūrų. Iš jo, kaip siūlai iš rutulio, išplaukia „stačiakampio“, „kvadrato“, „rombo“ ir kitų geometrinių dydžių sąvokos.
Susisiekus su
Lygiagretainio apibrėžimas
išgaubtas keturkampis, susidedantis iš atkarpų, kurių kiekviena pora yra lygiagreti, geometrijoje žinomas kaip lygiagretainis.
Kaip atrodo klasikinis lygiagretainis, pavaizduotas keturkampiu ABCD. Kraštinės vadinamos bazėmis (AB, BC, CD ir AD), statmenas, nubrėžtas iš bet kurios viršūnės į priešingą šiai viršūnei pusę, vadinamas aukščiu (BE ir BF), tiesės AC ir BD – įstrižainėmis.
Dėmesio! Kvadratas, rombas ir stačiakampis yra specialūs lygiagretainio atvejai.
Šonai ir kampai: santykių ypatumai
Pagrindinės savybės, apskritai, iš anksto nustatytas paties pavadinimo, jie įrodomi teorema. Šios savybės yra tokios:
- Priešingos pusės yra identiškos poromis.
- Vienas prieš kitą esantys kampai poromis yra lygūs.
Įrodymas: Panagrinėkime ∆ABC ir ∆ADC, kurie gaunami padalijus keturkampį ABCD iš tiesės AC. ∠BCA=∠CAD ir ∠BAC=∠ACD, nes AC yra bendras (atitinkamai vertikalūs kampai BC||AD ir AB||CD). Iš to išplaukia: ∆ABC = ∆ADC (antrasis trikampių lygybės ženklas).
Atkarpos AB ir BC ∆ABC poromis atitinka tieses CD ir AD ∆ADC, tai reiškia, kad jos yra identiškos: AB = CD, BC = AD. Taigi ∠B atitinka ∠D ir jie yra lygūs. Kadangi ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kurios taip pat poromis yra identiškos, tada ∠A = ∠C. Turtas įrodytas.
Figūros įstrižainių charakteristikos
Pagrindinis bruožasšių lygiagretainio tiesių: susikirtimo taškas dalija jas pusiau.
Įrodymas: Tegul t.y. yra figūros ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas. Jie sudaro du proporcingus trikampius – ∆ABE ir ∆CDE.
AB = CD, nes jie yra priešingi. Pagal linijas ir sekantą ∠ABE = ∠CDE ir ∠BAE = ∠DCE.
Pagal antrąjį lygybės kriterijų ∆ABE = ∆CDE. Tai reiškia, kad elementai ∆ABE ir ∆CDE: AE = CE, BE = DE ir kartu jie yra proporcingos AC ir BD dalys. Turtas įrodytas.
Gretimų kampų ypatybės
Gretimose pusėse kampų suma lygi 180°, nes jie yra toje pačioje pusėje lygiagrečių linijų ir skersinės. Keturkampiui ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Bisektoriaus savybės:
- , nuleistas į vieną pusę, yra statmenos;
- priešingos viršūnės turi lygiagrečius bisektorius;
- trikampis, gautas nubrėžus pusiaukampį, bus lygiašonis.
Lygiagretainio charakteristikų nustatymas taikant teoremą
Šios figūros charakteristikos išplaukia iš pagrindinės jo teoremos, kuri teigia: keturkampis laikomas lygiagretainiu tuo atveju, jei jo įstrižainės susikerta, ir šis taškas padalija jas į lygias atkarpas.
Įrodymas: tegul keturkampio ABCD tiesės AC ir BD susikerta t.y. Kadangi ∠AED = ∠BEC ir AE+CE=AC BE+DE=BD, tai ∆AED = ∆BEC (pagal pirmąjį trikampių lygybės kriterijų). Tai yra, ∠EAD = ∠ECB. Jie taip pat yra vidiniai skersinio AC linijos kampai AD ir BC. Taigi, pagal paralelizmo apibrėžimą - AD || B.C. Taip pat gaunama panaši eilučių BC ir CD savybė. Teorema įrodyta.
Figūros ploto apskaičiavimas
Šios figūros plotas randama keliais būdais vienas iš paprasčiausių: padauginti aukštį ir pagrindą, prie kurio jis traukiamas.
Įrodymas: iš viršūnių B ir C nubrėžkite statmenis BE ir CF. ∆ABE ir ∆DCF yra lygūs, nes AB = CD ir BE = CF. ABCD dydis yra lygus stačiakampiui EBCF, nes juos sudaro proporcingos figūros: S ABE ir S EBCD, taip pat S DCF ir S EBCD. Iš to išplaukia, kad šios geometrinės figūros plotas yra toks pat kaip ir stačiakampio:
S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.
Norėdami nustatyti bendroji formulė Lygiagretainio plotas žymimas aukščiu as hb, o šonas - b. Atitinkamai:
Kiti būdai rasti plotą
Ploto skaičiavimai per lygiagretainio kraštines ir kampą, kurį jie sudaro, yra antrasis žinomas metodas.
,
Spr-ma – plotas;
a ir b yra jos kraštinės
α yra kampas tarp atkarpų a ir b.
Šis metodas praktiškai pagrįstas pirmuoju, bet tuo atveju, jei jis nežinomas. visada nutraukia taisyklingas trikampis, kurio parametrai yra trigonometrinės tapatybės, tai yra . Pakeitę santykį, gauname . Pirmojo metodo lygtyje aukštį pakeičiame šiuo produktu ir gauname šios formulės pagrįstumo įrodymą.
Per lygiagretainio įstrižaines ir kampą, kurią jie sukuria susikirsdami, taip pat galite rasti sritį.
Įrodymas: AC ir BD susikerta ir sudaro keturis trikampius: ABE, BEC, CDE ir AED. Jų suma lygi šio keturkampio plotui.
Kiekvieno iš šių ∆ plotą galima rasti pagal išraišką , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Nuo tada skaičiavimuose jis naudojamas viena prasmė sinusas Tai yra . Kadangi AE+CE=AC=d 1 ir BE+DE=BD=d 2, ploto formulė sumažinama iki:
.
Taikymas vektorinėje algebroje
Šio keturkampio sudedamųjų dalių savybės buvo pritaikytos vektorių algebroje, būtent dviejų vektorių pridėjimas. Lygiagretainio taisyklė teigia, kad jei pateikti vektoriaiIrNeyra kolinearūs, tada jų suma bus lygi šios figūros, kurios pagrindai atitinka šiuos vektorius, įstrižai.
Įrodymas: nuo savavališkai pasirinktos pradžios – t.y. - sudaryti vektorius ir . Toliau sukonstruojame lygiagretainį OASV, kur atkarpos OA ir OB yra kraštinės. Taigi, OS yra ant vektoriaus arba sumos.
Lygiagretainio parametrų skaičiavimo formulės
Tapatybės suteikiamos tokiomis sąlygomis:
- a ir b, α - kraštinės ir kampas tarp jų;
- d 1 ir d 2, γ - įstrižainės ir jų susikirtimo taške;
- h a ir h b - aukščiai nuleisti į a ir b puses;
| Parametras | Formulė |
| Šonų radimas | |
| išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų kosinuso | 
|
| išilgai įstrižainių ir šonų | 
|
| per aukštį ir priešingą viršūnę | |
| Įstrižainių ilgio radimas | |
| šonuose ir viršūnės tarp jų dydis | |
Lygiagretainis yra keturkampė figūra, kurios priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios poromis. Jo priešingi kampai taip pat lygūs, o lygiagretainio įstrižainių susikirtimo taškas dalija jas pusiau, būdamas figūros simetrijos centru. Ypatingi lygiagretainio atvejai yra šie: geometrines figūras kaip kvadratas, stačiakampis ir rombas. Galima rasti lygiagretainio plotą Skirtingi keliai, priklausomai nuo to, kokie pradiniai duomenys pateikiami kartu su problemos pareiškimu.
Pagrindinė lygiagretainio charakteristika, labai dažnai naudojama ieškant jo ploto, yra jo aukštis. Lygiagretainio aukštis paprastai vadinamas statmenu, nubrėžtu nuo savavališko taško priešingoje pusėje iki tiesios atkarpos, sudarančios tą pusę.
- Paprasčiausiu atveju lygiagretainio plotas apibrėžiamas kaip jo pagrindo ir aukščio sandauga.
S = DC ∙ val
kur S yra lygiagretainio plotas;
a - bazė;
h yra aukštis, nubrėžtas iki nurodyto pagrindo.Šią formulę labai lengva suprasti ir prisiminti, jei pažvelgsite į toliau pateiktą paveikslą.
Kaip matote iš šio paveikslėlio, jei nupjausime įsivaizduojamą trikampį kairėje nuo lygiagretainio ir pritvirtinsime jį dešinėje, rezultatas bus stačiakampis. Kaip žinote, stačiakampio plotas randamas jo ilgį padauginus iš aukščio. Tik lygiagretainio atveju ilgis bus pagrindas, o stačiakampio aukštis bus lygiagretainio aukštis, nuleistas į nurodytą pusę.
- Lygiagretainio plotą taip pat galima rasti padauginus dviejų gretimų bazių ilgius ir kampo tarp jų sinusą:
S = AD∙AB∙sinα
kur AD, AB yra gretimos bazės, sudarančios susikirtimo tašką ir kampą a tarpusavyje;
α – kampas tarp bazių AD ir AB.
- Lygiagretainio plotą taip pat galite rasti lygiagretainio įstrižainių ilgių sandaugą padalydami per pusę iš kampo tarp jų sinuso.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ
čia AC, BD yra lygiagretainio įstrižainės;
β yra kampas tarp įstrižainių.
- Taip pat yra formulė, kaip rasti lygiagretainio plotą per jame įrašyto apskritimo spindulį. Tai parašyta taip:
Lygiagretainis yra keturkampis, kurio kraštinės poromis lygiagrečios.
Šiame paveikslėlyje priešingos pusės ir kampai yra lygūs vienas kitam. Lygiagretainio įstrižainės susikerta viename taške ir padalija jį pusiau. Lygiagretainio ploto formulės leidžia rasti vertę naudojant šonus, aukštį ir įstrižaines. Lygiagretainis gali būti pateiktas ir ypatingais atvejais. Jie laikomi stačiakampiu, kvadratu ir rombu.
Pirmiausia pažvelkime į lygiagretainio ploto apskaičiavimo pagal aukštį ir pusę, į kurią jis nuleistas, pavyzdį.
Ši byla laikoma klasikine ir nereikalauja papildomo tyrimo. Geriau atsižvelgti į formulę, kaip apskaičiuoti plotą per dvi puses ir kampą tarp jų. Tas pats metodas naudojamas skaičiavimams. Jei pateikiami šonai ir kampas tarp jų, tada plotas apskaičiuojamas taip: 
Tarkime, kad mums duotas lygiagretainis, kurio kraštinės a = 4 cm, b = 6 cm. Kampas tarp jų α = 30°. Raskime sritį: 
Lygiagretainio plotas per įstrižaines
Lygiagretainio ploto formulė naudojant įstrižaines leidžia greitai rasti vertę.
Skaičiavimams jums reikės kampo, esančio tarp įstrižainių, dydžio.
Panagrinėkime lygiagretainio ploto apskaičiavimo naudojant įstrižaines pavyzdį. Pateikiame lygiagretainį, kurio įstrižainės D = 7 cm, d = 5 cm. Kampas tarp jų yra α = 30°. Pakeiskime duomenis į formulę: 
Lygiagretainio ploto per įstrižainę apskaičiavimo pavyzdys davė puikų rezultatą - 8,75.
Žinodami lygiagretainio ploto per įstrižainę formulę, galite išspręsti rinkinį įdomių užduočių. Pažvelkime į vieną iš jų.
Užduotis: Pateiktas lygiagretainis, kurio plotas 92 kvadratiniai metrai. žr. taškas F yra jo šono BC viduryje. Raskime trapecijos ADFB plotą, kuris bus mūsų lygiagretainyje. Pirmiausia pagal sąlygas nupieškime viską, ką gavome.
Pereikime prie sprendimo: 
Pagal mūsų sąlygas ah = 92 ir atitinkamai mūsų trapecijos plotas bus lygus 
Lygiagretainis vadinamas keturkampiu, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai. Pagrindinės užduotys mokykloje šia tema yra lygiagretainio ploto, jo perimetro, aukščio ir įstrižainių skaičiavimas. Nurodytos vertės ir jų skaičiavimo formulės bus pateiktos žemiau.
Lygiagretainio savybės
Priešingos lygiagretainio kraštinės, taip pat priešingi kampai, yra lygūs vienas kitam:
AB = CD, BC = AD,
Lygiagretainio įstrižainės susikirtimo taške yra padalintos į dvi lygias dalis:
AO = OC, OB = OD.
Kampai, esantys šalia bet kurios pusės (gretimi kampai), sudaro 180 laipsnių.
Kiekviena lygiagretainio įstrižainė padalija jį į du vienodo ploto ir geometrinių matmenų trikampius.
Kita nuostabi savybė, kuri dažnai naudojama sprendžiant uždavinius, yra ta, kad lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma yra lygi visų kraštinių kvadratų sumai:
AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) . 
Pagrindinės lygiagretainių ypatybės:
1. Keturkampis, kurio priešingos kraštinės poromis lygiagrečios, yra lygiagretainis.
2. Lygių priešingų kraštinių keturkampis yra lygiagretainis.
3. Keturkampis su lygiomis ir lygiagrečiomis priešingomis kraštinėmis yra lygiagretainis.
4. Jei keturkampio įstrižainės susikirtimo taške dalijamos pusiau, tai yra lygiagretainis.
5. Keturkampis, kurio priešingi kampai poromis lygūs, yra lygiagretainis
Lygiagretainio bisektoriai
Lygiagretainio priešingų kampų pusiausvyros gali būti lygiagrečios arba sutapusios.
Gretimų kampų bisektoriai (greta vienos pusės) susikerta stačiu kampu (statmenu).
Lygiagretaus aukštis
Lygiagretaus aukštis- tai atkarpa, nubrėžta iš kampo, statmeno pagrindui. Iš to išplaukia, kad iš kiekvieno kampo galima nubrėžti du aukščius.
Lygiagretainio ploto formulė
Lygiagretainio plotas yra lygus kraštinės ir į ją nubrėžto aukščio sandaugai. Ploto formulė yra tokia 
Antroji formulė yra ne mažiau populiari skaičiavimuose ir apibrėžiama taip: lygiagretainio plotas yra lygus gretimų kraštinių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui
Remdamiesi aukščiau pateiktomis formulėmis, žinosite, kaip apskaičiuoti lygiagretainio plotą.
Lygiagretainio perimetras
Lygiagretainio perimetro apskaičiavimo formulė yra
tai yra, perimetras lygus dvigubai kraštinių sumai. Problemos, susijusios su lygiagrečiais, bus aptartos gretimose medžiagose, tačiau kol kas išstudijuokite formules. Dauguma lygiagretainio kraštinių ir įstrižainių skaičiavimo problemų yra gana paprastos ir apsiriboja sinusų teoremos ir Pitagoro teoremos išmanymu.
Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematika. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!
Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.
Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.
Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.
Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.
Įkeliama...