Trapecijos vidurio linijos samprata
Pirmiausia prisiminkime, kokia figūra vadinama trapecija.
1 apibrėžimas
Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi nėra lygiagrečios.
Šiuo atveju lygiagrečios kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, o ne lygiagrečios - trapecijos kraštinėmis.
2 apibrėžimas
Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti trapecijos kraštinių vidurio taškus.
Trapecijos vidurio linijos teorema
Dabar pristatome teoremą apie trapecijos vidurio liniją ir įrodome ją vektoriniu metodu.
1 teorema
Trapecijos vidurinė linija yra lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos.
Įrodymas.
Pateikiame trapeciją $ABCD$ su bazėmis $AD\ ir\ BC$. Ir tegul $MN$ yra šios trapecijos vidurio linija (1 pav.).
1 pav. Trapecijos vidurinė linija
Įrodykime, kad $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Apsvarstykite vektorių $\overrightarrow(MN)$. Tada vektorių pridėjimui naudojame daugiakampio taisyklę. Viena vertus, mes tai suprantame
Kitoje pusėje
Pridėjus paskutines dvi lygybes, gauname
Kadangi $M$ ir $N$ yra trapecijos kraštinių vidurio taškai, mes turime
Mes gauname:
Vadinasi
Iš tos pačios lygybės (kadangi $\overrightarrow(BC)$ ir $\overrightarrow(AD)$ yra bendros krypties ir todėl kolinearinės), gauname $MN||AD$.
Teorema įrodyta.
Užduočių apie trapecijos vidurio linijos sampratą pavyzdžiai
1 pavyzdys
Trapecijos kraštinės yra atitinkamai $15\cm$ ir $17\cm$. Trapecijos perimetras yra $52\cm$. Raskite trapecijos vidurio linijos ilgį.
Sprendimas.
Trapecijos vidurio liniją pažymėkite $n$.
Šonų suma yra
Todėl, kadangi perimetras yra $52\ cm$, bazių suma yra
Taigi pagal 1 teoremą gauname
Atsakymas:$10\cm$.
2 pavyzdys
Apskritimo skersmens galai yra atitinkamai $9$ cm ir $5$ cm nuo jo liestinės. Raskite šio apskritimo skersmenį.
Sprendimas.
Pateikiame apskritimą, kurio centras $O$ ir skersmuo $AB$. Nubrėžkite liestinę $l$ ir sukonstruokite atstumus $AD=9\ cm$ ir $BC=5\ cm$. Nubrėžkime spindulį $OH$ (2 pav.).
2 pav.
Kadangi $AD$ ir $BC$ yra atstumai iki liestinės, tai $AD\bot l$ ir $BC\bot l$ ir kadangi $OH$ yra spindulys, tai $OH\bot l$, taigi $OH | \left|AD\right||BC$. Iš viso to gauname, kad $ABCD$ yra trapecija, o $OH$ yra jos vidurio linija. Pagal 1 teoremą gauname
Vadinamas keturkampis, turintis tik dvi lygiagrečias kraštines trapecija.
Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos pagrindu, ir vadinamos tos kraštinės, kurios nėra lygiagrečios pusės. Jei kraštinės lygios, tai tokia trapecija yra lygiašonė. Atstumas tarp pagrindų vadinamas trapecijos aukščiu.
Vidurinė trapecijos linija
Vidurinė linija yra atkarpa, jungianti trapecijos kraštinių vidurio taškus. Trapecijos vidurio linija lygiagreti jos pagrindams.
Teorema:
Jei tiesė, kertanti vienos kraštinės vidurį, yra lygiagreti trapecijos pagrindams, tai ji dalija antrąją trapecijos kraštinę.
Teorema:
Vidurinės linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN vidurio linija, AB ir CD - bazės, AD ir BC - pusės
MN=(AB+DC)/2
Teorema:
Trapecijos vidurio linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui.
Pagrindinė užduotis: Įrodykite, kad trapecijos vidurio linija dalija atkarpą, kurios galai yra trapecijos pagrindų viduryje.
Vidurinė trikampio linija
Atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, vadinama trikampio vidurio linija. Jis yra lygiagretus trečiajai pusei, o jo ilgis yra pusė trečiosios kraštinės ilgio.
Teorema: Jei tiesė, kertanti vienos trikampio kraštinės vidurio tašką, yra lygiagreti kitai duoto trikampio kraštinei, tada ji padalija trečiąją kraštinę.
AM = MC ir BN = NC =>
Trikampio ir trapecijos vidurinės linijos savybių taikymas
Segmento padalijimas į tam tikrą skaičių lygių dalių.
Užduotis: atkarpą AB padalinkite į 5 lygias dalis.
Sprendimas:
Tegul p yra atsitiktinis spindulys, kurio pradžia yra taškas A ir kuris nėra tiesėje AB. Mes paeiliui atidedame 5 vienodus segmentus p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Sujungiame A 5 su B ir per A 4 , A 3 , A 2 ir A 1 nubrėžiame linijas, kurios yra lygiagrečios su A 5 B. Jos kerta AB atitinkamai taškuose B 4 , B 3 , B 2 ir B 1. Šie taškai padalija atkarpą AB į 5 lygias dalis. Iš tiesų iš trapecijos BB 3 A 3 A 5 matome, kad BB 4 = B 4 B 3 . Lygiai taip pat iš trapecijos B 4 B 2 A 2 A 4 gauname B 4 B 3 = B 3 B 2
Nors iš trapecijos B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tada iš B 2 AA 2 išeina, kad B 2 B 1 = B 1 A. Apibendrinant gauname:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Akivaizdu, kad norint padalinti atkarpą AB į kitą lygių dalių skaičių, į spindulį p reikia projektuoti tiek pat lygių atkarpų. Ir tada tęskite aukščiau aprašytu būdu.
Šiame straipsnyje jums buvo sukurtas dar vienas užduočių su trapecija pasirinkimas. Sąlygos kažkaip susijusios su jos vidurine linija. Užduočių tipai paimti iš atvirojo tipinių užduočių banko. Jei norite, galite atnaujinti savo teorines žinias. Tinklaraštyje jau buvo aprašytos užduotys, su kuriomis susijusios sąlygos, taip pat. Trumpai apie vidurinę eilutę:
Vidurinė trapecijos linija jungia kraštinių vidurio taškus. Jis yra lygiagretus pagrindams ir lygus jų pusei.
Prieš spręsdami problemas, panagrinėkime teorinį pavyzdį.
Duota trapecija ABCD. Įstrižainė AC, susikertanti su vidurio linija, sudaro tašką K, įstrižainė BD – tašką L. Įrodykite, kad atkarpa KL lygi pusei pagrindų skirtumo.
Pirmiausia atkreipkime dėmesį į tai, kad trapecijos vidurio linija padalina į pusę bet kurią atkarpą, kurios galai yra jos pagrinduose. Ši išvada rodo pati save. Įsivaizduokite atkarpą, jungiančią du pagrindo taškus, ji padalins šią trapeciją į dvi kitas. Pasirodo, atkarpa, lygiagreti trapecijos pagrindams ir einanti per kraštinės vidurį kitoje pusėje, pereis per jos vidurį.
Jis taip pat pagrįstas Thaleso teorema:
Jei vienoje iš dviejų tiesių linijų paeiliui atidėti keli vienodi segmentai ir per jų galus nubrėžtos lygiagrečios linijos, kertančios antrąją tiesią, tada antroje tiesėje jos nukirs vienodus segmentus.
Tai reiškia, kad šiuo atveju K yra AC vidurys, o L yra BD vidurys. Taigi EK yra trikampio ABC vidurio linija, LF yra trikampio DCB vidurio linija. Pagal trikampio vidurio linijos savybę:
Dabar segmentą KL galime išreikšti bazėmis:
Įrodyta!
Šis pavyzdys pateikiamas ne tik. Savarankiško sprendimo užduotyse yra kaip tik tokia užduotis. Tik nesakoma, kad atkarpa, jungianti įstrižainių vidurio taškus, yra vidurinėje linijoje. Apsvarstykite užduotis:
27819. Raskite trapecijos vidurio liniją, jei jos pagrindai yra 30 ir 16.
Skaičiuojame pagal formulę:
27820. Trapecijos vidurio linija lygi 28, o mažesnioji bazė lygi 18. Raskite didesnį trapecijos pagrindą.
Išreikškime didesnę bazę:
Šiuo būdu:
27836. Statmenas, nuleistas nuo bukojo kampo viršūnės į lygiašonės trapecijos didįjį pagrindą, padalija ją į dalis, kurių ilgiai yra 10 ir 4. Raskite šios trapecijos vidurio liniją.
Norint rasti vidurinę liniją, reikia žinoti pagrindus. Pagrindą AB lengva rasti: 10+4=14. Raskite DC.
Sukurkime antrąjį statmeną DF:
Segmentai AF, FE ir EB bus lygūs atitinkamai 4, 6 ir 4. Kodėl?
Lygiašonę trapeciją statmenai, nuleisti į didesnį pagrindą, padalija ją į tris atkarpas. Dvi iš jų, kurios yra nupjautų stačiakampių trikampių kojos, yra lygios viena kitai. Trečiasis segmentas yra lygus mažesniam pagrindui, nes statant nurodytus aukščius susidaro stačiakampis, o stačiakampyje priešingos kraštinės yra lygios. Šioje užduotyje:
Taigi DC = 6. Skaičiuojame:
27839. Trapecijos pagrindai yra santykiu 2:3, o vidurio linija lygi 5. Raskite mažesnį pagrindą.
Įveskime proporcingumo koeficientą x. Tada AB = 3x, DC = 2x. Galime parašyti:
Todėl mažesnė bazė yra 2∙2=4.
27840. Lygiašonės trapecijos perimetras lygus 80, jos vidurio linija lygi šoninei kraštinei. Raskite trapecijos kraštinę.
Remdamiesi sąlyga, galime parašyti:
Jei pažymėsime vidurinę liniją per x, gausime:
Antrąją lygtį jau galima parašyti taip:
27841. Trapecijos vidurio linija lygi 7, o vienas jos pagrindas yra 4 daugiau nei kitas. Raskite didesnj trapecijos pagrind.
Mažesnę bazę (DC) pažymėkime x, tada didesnė (AB) bus lygi x + 4. Galime įrašyti
Gavome, kad mažesnė bazė yra ankstyva nei penki, o tai reiškia, kad didesnė yra lygi 9.
27842. Trapecijos vidurio linija lygi 12. Viena iš įstrižainių padalija ją į dvi atkarpas, kurių skirtumas yra 2. Raskite didesnį trapecijos pagrindą.
Didesnį trapecijos pagrindą nesunkiai rasime, jei apskaičiuosime atkarpą EO. Tai yra vidurinė trikampio ADB linija, o AB = 2∙EO.
Ką mes turime? Sakoma, kad vidurio linija lygi 12, o skirtumas tarp atkarpų EO ir OF lygus 2. Galime užrašyti dvi lygtis ir išspręsti sistemą:
Aišku, kad šiuo atveju galima pasirinkti skaičių porą be skaičiavimų, tai yra 5 ir 7. Bet vis dėlto išspręsime sistemą:
Taigi EO=12–5=7. Taigi didesnė bazė lygi AB=2∙EO=14.
27844. Lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos. Trapecijos aukštis lygus 12. Raskite jos vidurio liniją.
Iš karto atkreipiame dėmesį, kad lygiašonės trapecijos įstrižainių susikirtimo tašku nubrėžtas aukštis yra ant simetrijos ašies ir padalija trapeciją į dvi lygias stačiakampes trapecijas, tai yra, šio aukščio pagrindai dalijami per pusę.
Atrodytų, kad norėdami apskaičiuoti vidutinę eilutę, turime rasti pagrindą. Čia iškyla maža aklavietė... Kaip, žinant aukštį, šiuo atveju apskaičiuoti pagrindus? Ir ne kaip! Tokių trapecijų su fiksuotu aukščiu ir įstrižainėmis, susikertančiomis 90 laipsnių kampu, galima statyti daug. Kaip būti?
Pažiūrėkite į trapecijos vidurio linijos formulę. Juk mums nereikia žinoti pačių bazių, užtenka žinoti jų sumą (arba pusę sumos). Tai mes galime padaryti.
Kadangi įstrižainės susikerta stačiu kampu, susidaro lygiašoniai stačiakampiai trikampiai, kurių aukštis EF:
Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad FO=DF=FC ir OE=AE=EB. Dabar parašykime, kam lygus aukštis, išreikštas atkarpomis DF ir AE:
Taigi vidurinė linija yra 12.
* Apskritai tai, kaip suprantate, yra žodinės paskyros problema. Tačiau esu tikras, kad išsamus paaiškinimas yra būtinas. Ir taip... Pažvelgus į figūrą (su sąlyga, kad statant laikomasi kampo tarp įstrižainių), iš karto krenta lygybė FO=DF=FC, ir OE=AE=EB.
Kaip prototipų dalis, taip pat yra užduočių su trapecijomis tipai. Jis buvo pastatytas ant lapo langelyje ir reikia rasti vidurinę liniją, langelio pusė paprastai yra 1, bet gali būti ir kita reikšmė.
27848. Raskite trapecijos vidurio liniją ABCD jei kvadratinių langelių kraštinės yra 1.
Tai paprasta, mes apskaičiuojame bazes pagal langelius ir naudojame formulę: (2 + 4) / 2 = 3
Jei pagrindai statomi kampu į ląstelių tinklelį, yra du būdai. Pavyzdžiui!
Pamokos tikslai:
1) supažindinti studentus su trapecijos vidurio linijos samprata, apsvarstyti jos savybes ir jas įrodyti;
2) išmokyti statyti trapecijos vidurinę liniją;
3) ugdyti mokinių gebėjimą naudotis trapecijos vidurio linijos apibrėžimu ir trapecijos vidurio linijos savybėmis sprendžiant uždavinius;
4) toliau ugdyti mokinių gebėjimą kalbėti taisyklingai, vartojant reikiamus matematinius terminus; įrodyti savo požiūrį;
5) lavinti loginį mąstymą, atmintį, dėmesį.
Per užsiėmimus
1. Namų darbų tikrinimas vyksta pamokos metu. Namų darbai buvo žodiniai, atsiminkite:
a) trapecijos apibrėžimas; trapecijos tipai;
b) trikampio vidurio linijos nustatymas;
c) trikampio vidurio linijos savybė;
d) trikampio vidurio linijos ženklas.
2. Naujos medžiagos mokymasis.
a) Lentoje pavaizduota trapecija ABCD.
b) Mokytojas siūlo prisiminti trapecijos apibrėžimą. Kiekvienas stalas turi užuominų diagramą, kuri padeda prisiminti pagrindines sąvokas temoje „Trapecija“ (žr. 1 priedą). Kiekvienam stalui išduodamas 1 priedas.
Mokiniai savo sąsiuvinyje nupiešia trapeciją ABCD.
c) Mokytojas siūlo prisiminti, kurioje temoje buvo susidurta su vidurio linijos sąvoka („Trikampio vidurio linija“). Mokiniai prisimena trikampio vidurio linijos apibrėžimą ir jos savybę.
e) Užrašykite trapecijos vidurio linijos apibrėžimą, pavaizduokite ją sąsiuvinyje.
vidurinė linija Trapecija vadinama atkarpa, jungianti jos kraštinių vidurio taškus.
Trapecijos vidurinės linijos savybė šiame etape lieka neįrodyta, todėl kitame pamokos etape reikia dirbti su trapecijos vidurinės linijos savybės įrodymu.
Teorema. Trapecijos vidurio linija lygiagreti jos pagrindams ir lygi pusei jų sumos.
Duota: ABCD – trapecija,
MN - vidurinė linija ABCD
Įrodyk, ką:
1. BC || MN || REKLAMA.
2. MN = (AD + BC).
Iš teoremos sąlygų galime užrašyti keletą išvadų:
AM=MB, CN=ND, BC || REKLAMA.
Neįmanoma įrodyti, ko reikia, remiantis vien išvardintomis savybėmis. Klausimų ir pratimų sistema turėtų paskatinti mokinius susieti trapecijos vidurio liniją su kokio nors trikampio, kurio savybes jie jau žino, vidurio linija. Jei pasiūlymų nėra, galime užduoti klausimą: kaip sukurti trikampį, kurio atkarpa MN būtų vidurio linija?
Parašykime papildomą konstrukciją vienam iš atvejų.
Nubrėžkime tiesę BN, kertančią kraštinės AD tęsinį taške K.
Atsiranda papildomi elementai – trikampiai: ABD, BNM, DNK, BCN. Jei įrodysime, kad BN = NK, tai reikš, kad MN yra ABD vidurio linija, o tada galime panaudoti trikampio vidurio linijos savybę ir įrodyti, kad tai būtina.
Įrodymas:
1. Apsvarstykite BNC ir DNK, juose:
a) CNB =DNK (vertikalių kampų savybė);
b) BCN = NDK (vidinių kryžminių gulėjimo kampų savybė);
c) CN = ND (pagal teoremos hipotezę).
Taigi BNC = DNK (šone ir du šalia jo esantys kampai).
Q.E.D.
Įrodinėjimas gali būti atliekamas žodžiu pamokoje, o namuose atkuriamas ir užrašomas į sąsiuvinį (mokytojo nuožiūra).
Būtina paminėti kitus galimus šios teoremos įrodymo būdus:
1. Nubrėžkite vieną iš trapecijos įstrižainių ir naudokite trikampio vidurinės linijos ženklą ir savybę.
2. Paleiskite CF || BA ir apsvarstykite lygiagretainį ABCF ir DCF.
3. Vykdykite EF || BA ir apsvarstykite FND ir ENC lygybę.
g) Šiame etape duodami namų darbai: 84 p., vadovėlis, leid. Atanasyanas L.S. (trapecijos vidurio linijos savybės vektoriniu būdu įrodymas), užrašyti į sąsiuvinį.
h) Pagal baigtus brėžinius išsprendžiame trapecijos vidurinės linijos apibrėžimo ir savybių panaudojimo uždavinius (žr. 2 priedą). Kiekvienam mokiniui suteikiamas 2 priedas, o uždavinių sprendimas trumpoje formoje surašomas tame pačiame lape.
Trapecijos plotas. Sveikinimai! Šiame leidinyje mes apsvarstysime šią formulę. Kodėl taip yra ir kaip tai suprasti? Jei yra supratimas, tai nereikia jo mokytis. Jei norite tiesiog pamatyti šią formulę ir tai, kas yra skubu, galite nedelsdami slinkti puslapiu žemyn))
Dabar išsamiai ir tvarkingai.
Trapecija yra keturkampis, dvi šio keturkampio kraštinės lygiagrečios, kitos dvi – ne. Tie, kurie nėra lygiagretūs, yra trapecijos pagrindai. Kiti du vadinami šonais.
Jei kraštinės lygios, tada trapecija vadinama lygiašone. Jei viena iš kraštinių yra statmena pagrindams, tada tokia trapecija vadinama stačiakampe.
Klasikinėje formoje trapecija vaizduojama taip - didesnis pagrindas yra apačioje, mažesnis - viršuje. Tačiau niekas nedraudžia to vaizduoti ir atvirkščiai. Štai eskizai:
Kita svarbi koncepcija.
Trapecijos vidurinė linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus. Vidurinė linija yra lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusinei sumai.
Dabar pasigilinkime giliau. Kodėl būtent?
Apsvarstykite trapeciją su pagrindais a ir b ir su vidurine linija l, ir atlikite keletą papildomų konstrukcijų: per pamatus nubrėžkite tiesias linijas, o per vidurinės linijos galus - statmenas, kol jos susikirs su pagrindais:
* Viršūnių ir kitų taškų raidiniai žymėjimai neįvedami sąmoningai, kad būtų išvengta nereikalingų žymėjimų.
Žiūrėkite, 1 ir 2 trikampiai yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės ženklą, 3 ir 4 trikampiai yra vienodi. Iš trikampių lygybės išplaukia elementų lygybė, būtent kojos (jos atitinkamai pažymėtos mėlyna ir raudona spalva).
Dabar dėmesio! Jei mintyse „nukirpsime“ mėlyną ir raudoną segmentus nuo apatinio pagrindo, tada turėsime segmentą (tai yra stačiakampio kraštinė), lygų vidurinei linijai. Be to, jei nupjautus mėlynus ir raudonus segmentus „priklijuosime“ prie viršutinio trapecijos pagrindo, taip pat gausime atkarpą (tai taip pat yra stačiakampio kraštinė), lygią trapecijos vidurio linijai.
Supratau? Pasirodo, bazių suma bus lygi dviems trapecijos viduriams:
Žiūrėkite kitą paaiškinimą
Darykime taip – nutieskite tiesią liniją, einančią per apatinį trapecijos pagrindą, ir tiesę, kuri eis per taškus A ir B:
Gauname trikampius 1 ir 2, jų šoniniai ir gretimieji kampai yra lygūs (antrasis trikampių lygybės ženklas). Tai reiškia, kad gautas segmentas (eskize jis pažymėtas mėlyna spalva) yra lygus viršutiniam trapecijos pagrindui.
Dabar apsvarstykite trikampį:
*Šios trapecijos vidurinė linija ir trikampio vidurinė linija sutampa.
Yra žinoma, kad trikampis yra lygus pusei pagrindo, lygiagrečios jam, tai yra:
Gerai, supratau. Dabar apie trapecijos plotą.
Trapecijos ploto formulė:
Jie sako: trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sumos sandaugai.
Tai yra, paaiškėja, kad jis yra lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai:
Tikriausiai jau pastebėjote, kad tai akivaizdu. Geometriškai tai gali būti išreikšta taip: jei mintyse nupjausime 2 ir 4 trikampius nuo trapecijos ir padėsime juos atitinkamai ant 1 ir 3 trikampių:
Tada gauname stačiakampį, kurio plotas lygus mūsų trapecijos plotui. Šio stačiakampio plotas bus lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai, tai yra, galime parašyti:
Bet esmė čia, žinoma, ne raštu, o supratimu.
Atsisiųskite (peržiūrėkite) straipsnio medžiagą *pdf formatu
Tai viskas. Sėkmės tau!
Pagarbiai Aleksandras.
Įkeliama...