Kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus šaknį. Mokslinis darbas tema: „Didelių skaičių kvadratinių šaknų ištraukimas be skaičiuotuvo“

Spręsdami įvairius uždavinius iš matematikos ir fizikos kurso, mokiniai ir studentai dažnai susiduria su poreikiu išgauti antrojo, trečiojo ar n-ojo laipsnio šaknis. Žinoma, šimtmetyje informacines technologijasŠią problemą nebus sunku išspręsti naudojant skaičiuotuvą. Tačiau pasitaiko situacijų, kai neįmanoma naudotis elektroniniu asistentu.

Pavyzdžiui, daugelis egzaminų neleidžia atsinešti elektronikos. Be to, galite neturėti po ranka skaičiuotuvo. Tokiais atvejais pravartu žinoti bent kai kuriuos radikalų skaičiavimo metodus rankiniu būdu.

Vienas iš paprasčiausių šaknų skaičiavimo būdų yra naudojant specialią lentelę. Kas tai yra ir kaip teisingai jį naudoti?

Naudodami lentelę galite rasti bet kurio skaičiaus kvadratą nuo 10 iki 99. Lentelės eilutėse yra dešimčių reikšmės, o stulpeliuose - vienetų reikšmės. Ląstelėje, esančioje eilutės ir stulpelio sankirtoje, yra dviženklio skaičiaus kvadratas. Norint apskaičiuoti kvadratą 63, reikia rasti eilutę, kurios reikšmė yra 6, ir stulpelį, kurio reikšmė yra 3. Sankryžoje rasime langelį su skaičiumi 3969.

Kadangi šaknies ištraukimas yra atvirkštinė kvadrato operacija, norėdami atlikti šį veiksmą turite padaryti priešingai: pirmiausia suraskite langelį su skaičiumi, kurio radikalą norite apskaičiuoti, tada naudokite stulpelio ir eilutės reikšmes atsakymui nustatyti. . Kaip pavyzdį apsvarstykite skaičiavimą kvadratinė šaknis 169.

Lentelėje randame langelį su šiuo skaičiumi, horizontaliai nustatome dešimtis - 1, vertikaliai randame vienetus - 3. Atsakymas: √169 = 13.

Panašiai galite apskaičiuoti kubo ir n-ąsias šaknis naudodami atitinkamas lenteles.

Metodo pranašumas yra jo paprastumas ir papildomų skaičiavimų nebuvimas. Trūkumai yra akivaizdūs: metodas gali būti naudojamas tik ribotam skaičių diapazonui (skaičius, kurio šaknis randama, turi būti nuo 100 iki 9801). Be to, jis neveiks, jei nurodyto numerio nėra lentelėje.

Pirminis faktorizavimas

Jei kvadratų lentelės nėra po ranka arba pasirodė, kad su jos pagalba neįmanoma rasti šaknies, galite pabandyti suskaidykite skaičių po šaknimi į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra tie, kurie gali būti visiškai (be liekanos) dalijami tik iš savęs arba iš vieneto. Pavyzdžiai gali būti 2, 3, 5, 7, 11, 13 ir kt.

Pažvelkime į šaknies apskaičiavimą, kaip pavyzdį naudodami √576. Suskirstykime jį į pagrindinius veiksnius. Mes gauname sekantis rezultatas: √576 = √(2∙2∙2∙2∙2∙2∙3∙3) = √(2∙2∙2)² ∙ √3². Naudodamiesi pagrindine šaknų savybe √a² = a, atsikratysime šaknų ir kvadratų, o tada apskaičiuosime atsakymą: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Ką daryti, jei kuris nors iš daugiklių neturi savo poros? Pavyzdžiui, apsvarstykite √54 apskaičiavimą. Po faktorizavimo gauname rezultatą sekančią formą: √54 = √(2∙3∙3∙3) = √3² ∙ √(2∙3) = 3√6. Nenuimamą dalį galima palikti po šaknimi. Daugumos geometrijos ir algebros uždavinių atveju šis atsakymas bus skaičiuojamas kaip galutinis atsakymas. Bet jei reikia apskaičiuoti apytiksles vertes, galite naudoti metodus, kurie bus aptarti toliau.

Garnio metodas

Ką daryti, kai reikia bent apytiksliai žinoti, kam lygi išskirta šaknis (jei neįmanoma gauti sveikojo skaičiaus)? Greitas ir gražus tikslus rezultatas suteikia Herono metodo pritaikymą. Jo esmė yra naudoti apytikslę formulę:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kur R yra skaičius, kurio šaknį reikia apskaičiuoti, a yra artimiausias skaičius, kurio šaknies reikšmė yra žinoma.

Pažiūrėkime, kaip metodas veikia praktiškai, ir įvertinkime jo tikslumą. Apskaičiuokime, kam lygus √111. Skaičius, artimiausias 111, kurio šaknis žinoma, yra 121. Taigi, R = 111, a = 121. Pakeiskite reikšmes į formulę:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Dabar patikrinkime metodo tikslumą:

10,55² = 111,3025.

Metodo paklaida buvo maždaug 0,3. Jei metodo tikslumą reikia pagerinti, galite pakartoti anksčiau aprašytus veiksmus:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Patikrinkime skaičiavimo tikslumą:

10,536² = 111,0073.

Pakartotinai pritaikius formulę, klaida tapo visiškai nereikšminga.

Šaknies apskaičiavimas ilguoju padalijimu

Šis kvadratinės šaknies vertės nustatymo metodas yra šiek tiek sudėtingesnis nei ankstesni. Tačiau jis yra pats tiksliausias tarp kitų skaičiavimo metodų be skaičiuotuvo.

Tarkime, kad reikia rasti kvadratinę šaknį 4 skaitmenų po kablelio tikslumu. Išanalizuokime skaičiavimo algoritmą savavališko skaičiaus 1308.1912 pavyzdžiu.

1. Padalinkite popieriaus lapą į 2 dalis vertikalia linija, tada nubrėžkite kitą liniją iš jo į dešinę, šiek tiek žemiau viršutinio krašto. Parašykime skaičių kairėje pusėje, suskirstydami jį į grupes po 2 skaitmenis, judėdami į dešinę ir kairė pusė iš kablelio. Pats pirmasis skaitmuo kairėje gali būti be poros. Jei dešinėje skaičiaus pusėje trūksta ženklo, tuomet reikia pridėti 0. Mūsų atveju rezultatas bus 13 08.19 12.
2. Išsirinkime geriausią didelis skaičius, kurio kvadratas bus mažesnis arba lygus pirmajai skaitmenų grupei. Mūsų atveju tai yra 3. Parašykime viršuje dešinėje; 3 yra pirmasis rezultato skaitmuo. Dešinėje apačioje nurodome 3×3 = 9; to reikės tolesniems skaičiavimams. Iš 13 stulpelyje atimame 9, gauname 4 likutį.
3. Kitą skaičių porą priskirkime likusiai 4; gauname 408.
4. Viršuje dešinėje esantį skaičių padauginkite iš 2 ir užrašykite jį apačioje dešinėje, pridėdami prie jo _ x _ =. Gauname 6_ x _ =.
5. Vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių, mažesnį arba lygų 408. Gauname 66 × 6 = 396. Rašome 6 iš viršaus dešinėje, nes tai yra antrasis rezultato skaitmuo. Iš 408 atimkite 396 ir gausime 12.
6. Pakartokime 3–6 veiksmus. Kadangi į apačią perkelti skaitmenys yra trupmeninėje skaičiaus dalyje, viršuje dešinėje po 6 reikia dėti kablelį. Dvigubą rezultatą užrašykime su brūkšneliais: 72_ x _ =. Tinkamas skaičius būtų 1: 721×1 = 721. Užrašykime kaip atsakymą. Atimkime 1219 – 721 = 498.
7. Ankstesnėje pastraipoje nurodytą veiksmų seką atlikime dar tris kartus, kad gautume reikiamą skaičių po kablelio. Jei tolimesniems skaičiavimams nepakanka simbolių, prie esamo skaičiaus kairėje turite pridėti du nulius.

Dėl to gauname atsakymą: √1308.1912 ≈ 36.1689. Jei veiksmą patikrinsite naudodami skaičiuotuvą, galėsite įsitikinti, kad visi ženklai buvo nustatyti teisingai.

Bitinių kvadratinių šaknų skaičiavimas

Metodas turi didelis tikslumas . Be to, tai gana suprantama ir nereikalauja įsiminti formulių ar sudėtingo veiksmų algoritmo, nes metodo esmė yra pasirinkti teisingą rezultatą.

Išskirkime skaičiaus 781 šaknį. Išsamiai pažvelkime į veiksmų seką.

1. Sužinokime, kuris kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo bus reikšmingiausias. Norėdami tai padaryti, pakelkime kvadratą 0, 10, 100, 1000 ir tt ir išsiaiškinkime, tarp kurių iš jų yra radikalusis skaičius. Mes gauname 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Pasirinkime dešimčių reikšmę. Norėdami tai padaryti, paeiliui didinsime laipsnius 10, 20, ..., 90, kol gausime skaičių, didesnį nei 781. Mūsų atveju gausime 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. rezultato n reikšmė bus 20 ribose< n <30.
3. Panašiai kaip ir ankstesniame žingsnyje, pasirenkama vienetų skaitmens reikšmė. Padėkime kvadratu 21,22, ..., 29 po vieną: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Gausime, kad 7824.< n < 28.
4. Kiekvienas paskesnis skaitmuo (dešimtosios, šimtosios ir kt.) apskaičiuojamas taip pat, kaip parodyta aukščiau. Skaičiavimai atliekami tol, kol pasiekiamas reikiamas tikslumas.

Prieš skaičiuotuvus mokiniai ir mokytojai kvadratines šaknis skaičiavo rankomis. Yra keletas būdų, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kai kurie iš jų siūlo tik apytikslį sprendimą, kiti pateikia tikslų atsakymą.

Žingsniai

Pirminis faktorizavimas

Padalinkite radikalųjį skaičių į koeficientus, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Priklausomai nuo radikalaus skaičiaus, gausite apytikslį arba tikslų atsakymą. Kvadratiniai skaičiai yra skaičiai, iš kurių galima paimti visą kvadratinę šaknį. Veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 koeficientai yra 2 ir 4, nes 2 x 4 = 8, skaičiai 25, 36, 49 yra kvadratiniai skaičiai, nes √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiniai koeficientai yra faktoriai, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Pirmiausia pabandykite išskaidyti radikalųjį skaičių į kvadratinius koeficientus.

• Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 400 (ranka). Pirmiausia pabandykite įskaičiuoti 400 į kvadratinius koeficientus. 400 yra 100 kartotinis, tai yra, dalijasi iš 25 - tai yra kvadratinis skaičius. Padalijus 400 iš 25, gauname 16. Skaičius 16 taip pat yra kvadratinis skaičius. Taigi 400 galima įskaičiuoti į kvadratinius koeficientus 25 ir 16, tai yra, 25 x 16 = 400.
• Tai galima parašyti taip: √400 = √(25 x 16).

1. Kai kurių narių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi kiekvieno nario kvadratinių šaknų sandaugai, tai yra √(a x b) = √a x √b. Naudokite šią taisyklę, norėdami paimti kvadratinę šaknį iš kiekvieno kvadratinio koeficiento ir padauginti rezultatus, kad rastumėte atsakymą.

   • Mūsų pavyzdyje paimkite 25 ir 16 šaknį.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jei radikalusis skaičius nesiskiria į du kvadratinius veiksnius (ir taip nutinka daugeliu atvejų), negalėsite rasti tikslaus atsakymo sveikojo skaičiaus pavidalu. Bet jūs galite supaprastinti problemą, išskaidydami radikalųjį skaičių į kvadratinį koeficientą ir įprastą koeficientą (skaičius, iš kurio negalima paimti visos kvadratinės šaknies). Tada imsite kvadratinę šaknį iš kvadratinio koeficiento ir imsite bendro koeficiento šaknį.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite skaičiaus 147 kvadratinę šaknį. Skaičius 147 negali būti padalytas į du kvadratinius veiksnius, tačiau jį galima padalyti į šiuos veiksnius: 49 ir ​​3. Išspręskite užduotį taip:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jei reikia, įvertinkite šaknies vertę. Dabar galite įvertinti šaknies reikšmę (rasti apytikslę reikšmę), palygindami ją su kvadratinių skaičių šaknų reikšmėmis, kurios yra arčiausiai radikaliojo skaičiaus (abiejose skaičių linijos pusėse). Šakninę reikšmę gausite kaip dešimtainę trupmeną, kuri turi būti padauginta iš skaičiaus, esančio už šaknies ženklo.

   • Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Radikalusis skaičius yra 3. Arčiausiai jo esantys kvadratiniai skaičiai bus skaičiai 1 (√1 = 1) ir 4 (√4 = 2). Taigi √3 reikšmė yra tarp 1 ir 2. Kadangi √3 reikšmė tikriausiai yra arčiau 2 nei 1, mūsų įvertis yra toks: √3 = 1,7. Šią reikšmę padauginame iš skaičiaus prie šaknies ženklo: 7 x 1,7 = 11,9. Jei atliksite skaičiavimus skaičiuotuvu, gausite 12,13, o tai yra gana artima mūsų atsakymui.
     • Šis metodas taip pat veikia su dideliais skaičiais. Pavyzdžiui, apsvarstykite √35. Radikalusis skaičius yra 35. Jam artimiausi kvadratiniai skaičiai bus 25 (√25 = 5) ir 36 (√36 = 6). Taigi √35 reikšmė yra tarp 5 ir 6. Kadangi √35 reikšmė yra daug arčiau 6 nei 5 (nes 35 yra tik 1 mažesnis už 36), galime teigti, kad √35 yra šiek tiek mažiau nei 6 Patikrinus skaičiuotuvą, atsakymas yra 5,92 – buvome teisūs.

4. Kitas būdas yra sudėti radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš 1 ir savęs. Surašykite pirminius veiksnius į eilę ir suraskite identiškų veiksnių poras. Tokius veiksnius galima išimti iš šaknies ženklo.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 45. Radikalųjį skaičių suskaičiuojame į pirminius koeficientus: 45 = 9 x 5 ir 9 = 3 x 3. Taigi √45 = √(3 x 3 x 5). 3 galima išimti kaip šaknies ženklą: √45 = 3√5. Dabar galime įvertinti √5.
   • Pažvelkime į kitą pavyzdį: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Gavote tris daugiklius iš 2; paimkite porą jų ir perkelkite už šaknies ženklo.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Dabar galite įvertinti √2 ir √11 ir rasti apytikslį atsakymą.

   Kvadratinės šaknies apskaičiavimas rankiniu būdu

   Naudojant ilgą padalijimą

   1. Šis metodas apima procesą, panašų į ilgą padalijimą, ir pateikia tikslų atsakymą. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, dalijančią lapą į dvi dalis, o tada į dešinę ir šiek tiek žemiau viršutinio lapo krašto nubrėžkite horizontalią liniją iki vertikalios linijos. Dabar padalykite radikalųjį skaičių į skaičių poras, pradedant trupmena po kablelio. Taigi, numeris 79520789182.47897 rašomas kaip „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Pavyzdžiui, apskaičiuokime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 780.14. Nubrėžkite dvi linijas (kaip parodyta paveikslėlyje) ir viršuje kairėje formoje „7 80, 14“ užrašykite nurodytą skaičių. Normalu, kad pirmasis skaitmuo iš kairės yra nesusietas skaitmuo. Viršuje dešinėje parašysite atsakymą (šio skaičiaus šaknį).

   2. Pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus nagrinėjamai skaičių porai (arba vienam skaičiui). Kitaip tariant, suraskite kvadratinį skaičių, kuris yra arčiausiai pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės, bet mažesnis už ją, ir paimkite to kvadratinio skaičiaus kvadratinę šaknį; gausite numerį n. Viršutiniame dešiniajame kampe parašykite n, o apačioje dešinėje - kvadratą.

      • Mūsų atveju pirmasis skaičius kairėje bus 7. Kitas – 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Iš pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) kairėje atimkite ką tik rasto skaičiaus n kvadratą. Skaičiavimo rezultatą parašykite po dalimi (skaičiaus n kvadratu).

      • Mūsų pavyzdyje iš 7 atimkite 4 ir gaukite 3.

   4. Nuimkite antrą skaičių porą ir užrašykite ją šalia vertės, gautos atliekant ankstesnį veiksmą. Tada padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje antroji skaičių pora yra „80“. Parašykite "80" po 3. Tada padvigubinkite skaičių viršutiniame dešiniajame kampe, kad gautumėte 4. Apatiniame dešiniajame kampe parašykite "4_×_=".

   5. Dešinėje užpildykite tuščias vietas.

      • Mūsų atveju, jei vietoj brūkšnelių dėtume skaičių 8, tai 48 x 8 = 384, tai yra daugiau nei 380. Todėl 8 yra per didelis skaičius, bet tiks ir 7. Vietoj brūkšnelių parašykite 7 ir gaukite: 47 x 7 = 329. Viršuje dešinėje parašykite 7 – tai antrasis skaitmuo norimoje kvadratinėje šaknyje iš skaičiaus 780,14.

   6. Atimkite gautą skaičių iš esamo skaičiaus kairėje. Užrašykite ankstesnio veiksmo rezultatą po dabartiniu skaičiumi kairėje, suraskite skirtumą ir parašykite jį po dalimi.

      • Mūsų pavyzdyje iš 380 atimkite 329, kuris yra lygus 51.

   7. Pakartokite 4 veiksmą. Jei perkeliama skaičių pora yra pradinio skaičiaus trupmeninė dalis, tada reikiamoje kvadratinėje šaknyje viršuje dešinėje įdėkite skirtuką (kablelį) tarp sveikųjų ir trupmeninių dalių. Kairėje pusėje sumažinkite kitą skaičių porą. Padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje kita skaičių pora, kurią reikia pašalinti, bus trupmeninė skaičiaus 780.14 dalis, todėl įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį į norimą kvadratinę šaknį viršutiniame dešiniajame kampe. Nuimkite 14 ir parašykite jį apatiniame kairiajame kampe. Dvigubas skaičius viršuje dešinėje (27) yra 54, todėl apačioje dešinėje parašykite „54_×_=".

   8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Raskite didžiausią skaičių vietoje brūkšnelių dešinėje (vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių), kad daugybos rezultatas būtų mažesnis arba lygus esamam skaičiui kairėje.

      • Mūsų pavyzdyje 549 x 9 = 4941, tai yra mažiau nei dabartinis skaičius kairėje (5114). Viršuje dešinėje parašykite 9 ir atimkite daugybos rezultatą iš esamo skaičiaus kairėje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jei reikia rasti daugiau kvadratinės šaknies skaičių po kablelio, dabartinio skaičiaus kairėje parašykite porą nulių ir kartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. Kartokite veiksmus, kol gausite atsakymo tikslumą (skaitmenų po kablelio skaičių). reikia.

   Proceso supratimas

   Norėdami įvaldyti šį metodą, įsivaizduokite skaičių, kurio kvadratinę šaknį jums reikia rasti kaip kvadrato S plotą. Tokiu atveju ieškosite tokio kvadrato kraštinės L ilgio. Apskaičiuojame L reikšmę taip, kad L² = S.

   Kiekvienam atsakyme esančiam skaičiui pateikite po raidę. Pirmąjį L reikšmės skaitmenį pažymėkime A (norima kvadratinė šaknis). B bus antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

   Kiekvienai pirmųjų skaitmenų porai nurodykite raidę. Pažymime S a pirmąją skaitmenų porą S reikšmėje, S b – antrąją skaitmenų porą ir pan.

   Supraskite ryšį tarp šio metodo ir ilgojo padalijimo. Kaip ir dalijimo metu, kai mus domina tik kitas kaskart dalijamo skaičiaus skaitmuo, skaičiuodami kvadratinę šaknį, iš eilės apdorojame skaitmenų porą (kad gautume kitą kvadratinės šaknies reikšmės skaitmenį ).

   1. Apsvarstykite pirmąją skaičiaus S skaitmenų Sa porą (mūsų pavyzdyje Sa = 7) ir raskite jos kvadratinę šaknį.Šiuo atveju pirmasis norimos kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo A bus skaitmuo, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S a (tai yra, mes ieškome tokio A, kad nelygybė A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Tarkime, kad reikia padalyti 88962 iš 7; čia pirmas žingsnis bus panašus: atsižvelgiame į pirmąjį dalijamojo skaičiaus skaitmenį 88962 (8) ir pasirenkame didžiausią skaičių, kurį padauginus iš 7 gauname reikšmę, mažesnę arba lygią 8. Tai yra, mes ieškome skaičius d, kurio nelygybė yra teisinga: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Psichiškai įsivaizduokite kvadratą, kurio plotą reikia apskaičiuoti. Jūs ieškote L, tai yra kvadrato, kurio plotas lygus S, kraštinės ilgio. A, B, C yra skaičiai L. Galite rašyti kitaip: 10A + B = L (jei dviženklis skaičius) arba 100A + 10B + C = L (triženkliam skaičiui) ir pan.

      • Leisti (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A+B yra skaičius, kuriame skaitmuo B reiškia vienetus, o skaitmuo A reiškia dešimtis. Pavyzdžiui, jei A=1 ir B=2, tai 10A+B yra lygus skaičiui 12. (10A+B)² yra visos aikštės plotas, 100A²- didelės vidinės aikštės plotas, B²- mažos vidinės aikštės plotas, 10A × B- kiekvieno iš dviejų stačiakampių plotas. Sudėjus aprašytų figūrų plotus, rasite pradinio kvadrato plotą.

Kas yra kvadratinė šaknis?

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ši koncepcija yra labai paprasta. Natūralu, sakyčiau. Matematikai stengiasi rasti reakciją į kiekvieną veiksmą. Yra pridėjimas - yra ir atimtis. Yra daugyba – yra ir dalyba. Yra kvadratūra... Taigi taip pat yra imdamas kvadratinę šaknį! Tai viskas. Šis veiksmas ( kvadratinė šaknis) matematikoje žymimas šia piktograma:

Pati piktograma vadinama gražiu žodžiu " radikalus".

Kaip išgauti šaknį? Geriau žiūrėti pavyzdžių.

Kas yra kvadratinė šaknis iš 9? Koks skaičius kvadratu duos mums 9? 3 kvadratai mums duoda 9! Tie:

Bet kas yra kvadratinė šaknis iš nulio? Jokiu problemu! Kokį skaičių kvadratu sudaro nulis? Taip, tai duoda nulį! Priemonės:

Supratau, kas yra kvadratinė šaknis? Tada svarstome pavyzdžių:

Atsakymai (netvarkingai): 6; 1; 4; 9; 5.

Nusprendė? Tikrai, kiek lengviau?!

Bet... Ką daro žmogus, pamatęs kokią nors užduotį su šaknimis?

Žmogus pradeda liūdėti... Jis netiki savo šaknų paprastumu ir lengvumu. Nors atrodo, kad žino kas yra kvadratinė šaknis...

Taip yra todėl, kad tyrinėdamas šaknis asmuo ignoravo keletą svarbių dalykų. Tada šios mados žiauriai keršija už testus ir egzaminus...

Taškas vienas. Šaknis reikia atpažinti iš matymo!

Kas yra kvadratinė šaknis iš 49? Septynios? Teisingai! Iš kur žinai, kad septyni? Sudarė septynis kvadratus ir gavo 49? Teisingai! Prašau Pasižymėk tai ištraukite šaknį iš 49 turėjome atlikti atvirkštinę operaciją – 7 kvadratas! Ir įsitikinkite, kad nepraleisime. Arba jie galėjo praleisti...

Tai ir yra sunkumas šaknų ištraukimas. Kvadratas Galite naudoti bet kurį numerį be jokių problemų. Padauginkite skaičių iš stulpelio – viskas. Bet už šaknų ištraukimas Tokios paprastos ir saugios technologijos nėra. Mes privalome paimti atsakykite ir patikrinkite, ar jis teisingas, padalydami jį kvadratu.

Šis sudėtingas kūrybinis procesas – atsakymo pasirinkimas – labai supaprastėja, jei Prisiminti populiarių skaičių kvadratai. Kaip daugybos lentelė. Jei, tarkime, reikia padauginti 4 iš 6, nepridėsi keturių 6 kartus, ar ne? Iš karto pasirodo atsakymas 24. Nors ne visi jį supranta, taip...

Norint laisvai ir sėkmingai dirbti su šaknimis, pakanka žinoti skaičių kvadratus nuo 1 iki 20. ten Ir atgal. Tie. jūs turėtumėte sugebėti lengvai deklamuoti ir, tarkime, 11 kvadratą, ir kvadratinę šaknį iš 121. Norėdami tai įsiminti, yra du būdai. Pirmasis yra išmokti kvadratų lentelę. Tai bus puiki pagalba sprendžiant pavyzdžius. Antrasis – išspręsti daugiau pavyzdžių. Tai labai padės prisiminti kvadratų lentelę.

Ir jokių skaičiuoklių! Tik bandymo tikslais. Priešingu atveju per egzaminą negailestingai sulėtinsite greitį...

Taigi, kas yra kvadratinė šaknis Ir kaip ekstraktas šaknis– Manau, aišku. Dabar išsiaiškinkime, iš ko galime juos išgauti.

Antras taškas. Root, aš tavęs nepažįstu!

Iš kokių skaičių galima paimti kvadratines šaknis? Taip, beveik bet kuris iš jų. Lengviau suprasti, nuo ko tai tai uždrausta juos išgauti.

Pabandykime apskaičiuoti šią šaknį:

Norėdami tai padaryti, turime pasirinkti skaičių, kuris kvadratu duos mums -4. Mes pasirenkame.

Ką, netinka? 2 2 suteikia +4. (-2) 2 vėl suteikia +4! Tai tiek... Nėra skaičių, kuriuos sudėjus kvadratu gautume neigiamą skaičių! Nors aš žinau šiuos skaičius. Bet aš tau nesakysiu). Eikite į koledžą ir patys sužinosite.

Ta pati istorija nutiks su bet kokiu neigiamu skaičiumi. Taigi išvada:

Išraiška, kurioje po kvadratinės šaknies ženklu yra neigiamas skaičius - neturi prasmės! Tai yra draudžiama operacija. Tai taip pat draudžiama, kaip dalyti iš nulio. Prisiminkite šį faktą tvirtai! Arba kitaip:

Negalite išskirti kvadratinių šaknų iš neigiamų skaičių!

Tačiau iš visų kitų tai įmanoma. Pavyzdžiui, visiškai įmanoma apskaičiuoti

Iš pirmo žvilgsnio tai labai sunku. Trupmenų parinkimas ir jų kvadratūra... Nesijaudinkite. Kai suprasime šaknų savybes, tokie pavyzdžiai bus sumažinti iki tos pačios kvadratų lentelės. Gyvenimas taps lengvesnis!

Gerai, trupmenos. Tačiau vis tiek susiduriame su tokiais posakiais kaip:

Viskas gerai. Visi vienodi. Kvadratinė šaknis iš dviejų yra skaičius, kurį pateikus kvadratu gauname du. Tik šis skaičius visiškai nelygus... Štai jis:

Įdomu tai, kad ši trupmena niekada nesibaigia... Tokie skaičiai vadinami neracionaliais. Kvadratinėse šaknyse tai yra labiausiai paplitęs dalykas. Beje, dėl to ir vadinami posakiai su šaknimis neracionalus. Aišku, kad visą laiką rašyti tokią begalinę trupmeną yra nepatogu. Todėl vietoj begalinės trupmenos jie palieka taip:

Jei spręsdami pavyzdį gausite kažką, ko negalima išgauti, pvz.:

tada paliekame taip. Tai bus atsakymas.

Turite aiškiai suprasti, ką reiškia piktogramos

Žinoma, jei paimama skaičiaus šaknis sklandžiai, jūs turite tai padaryti. Pavyzdžiui, atsakymas į užduotį yra formoje

Gana išsamus atsakymas.

Ir, žinoma, iš atminties turite žinoti apytiksles reikšmes:

Šios žinios labai padeda įvertinti situaciją atliekant sudėtingas užduotis.

Trečias taškas. Pats gudriausias.

Pagrindinę painiavą dirbant su šaknimis sukelia šis taškas. Būtent jis suteikia pasitikėjimo savo jėgomis... Su šiuo klausimu susitvarkykime tinkamai!

Pirmiausia dar kartą paimkime keturių iš jų kvadratinę šaknį. Ar aš jau varginau jus dėl šios šaknies?) Nesvarbu, dabar bus įdomu!

Kokį skaičių sudaro 4 kvadratai? Na du, du – girdžiu nepatenkintus atsakymus...

Teisingai. Du. Bet taip pat minus du duos 4 kvadratus... Tuo tarpu atsakymas

teisinga ir atsakymas

grubi klaida. Kaip šitas.

Taigi koks susitarimas?

Iš tiesų, (-2) 2 = 4. Ir pagal kvadratinės šaknies iš keturių apibrėžimą minus du visai tinka... Tai irgi kvadratinė šaknis iš keturių.

Bet! Mokyklos matematikos kurse įprasta svarstyti kvadratines šaknis tik neneigiami skaičiai! Tai yra, nulis ir viskas yra teigiama. Buvo išrastas net specialus terminas: nuo numerio A- Tai neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra A. Neigiami rezultatai ištraukiant aritmetinę kvadratinę šaknį tiesiog atmetami. Mokykloje viskas yra iš kvadratinių šaknų - aritmetika. Nors tai nėra ypač paminėta.

Gerai, tai suprantama. Dar geriau nesivarginti dėl neigiamų rezultatų... Tai dar ne painiava.

Sumišimas prasideda sprendžiant kvadratines lygtis. Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti šią lygtį.

Lygtis paprasta, rašome atsakymą (kaip mokoma):

Šis atsakymas (beje, visiškai teisingas) yra tik sutrumpintas variantas du atsakymai:

Sustok, sustok! Tiesiog aukščiau parašiau, kad kvadratinė šaknis yra skaičius Visada ne neigiamas! Ir čia yra vienas iš atsakymų - neigiamas! Sutrikimas. Tai pirma (bet ne paskutinė) problema, sukelianti nepasitikėjimą šaknimis... Išspręskime šią problemą. Užrašykime atsakymus (kad suprastume!) taip:

Skliaustai nekeičia atsakymo esmės. Tiesiog atskyriau skliausteliuose ženklai iš šaknis. Dabar aiškiai matote, kad pati šaknis (skliausteliuose) vis dar yra neneigiamas skaičius! Ir ženklai yra lygties sprendimo rezultatas. Juk spręsdami bet kurią lygtį turime rašyti Visi Xs, kurie, pakeitę pradinę lygtį, duos teisingą rezultatą. Penkių šaknis (teigiama!) su pliusu ir minusu telpa į mūsų lygtį.

Kaip šitas. Jei tu tiesiog paimkite kvadratinę šaknį nuo bet ko, tu Visada tu gauni vienas neneigiamas rezultatas. Pavyzdžiui:

Nes tai - aritmetinė kvadratinė šaknis.

Bet jei sprendžiate kokią nors kvadratinę lygtį, pavyzdžiui:

Tai Visada paaiškėja du atsakymas (su pliusu ir minusu):

Nes tai yra lygties sprendimas.

viltis, kas yra kvadratinė šaknis Jūs aiškiai supratote savo mintis. Dabar belieka išsiaiškinti, ką galima padaryti su šaknimis, kokios jų savybės. O kokie taškai ir spąstai... atsiprašau, akmenys!)

Visa tai – tolesnėse pamokose.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Šaknis n-natūralaus skaičiaus laipsnis a vadinamas šiuo numeriu n kurio laipsnis lygus a. Šaknis žymima taip: . Simbolis √ vadinamas šaknies ženklas arba radikalus ženklas, numeris a - radikalus skaičius, n - šaknies rodiklis.

Veiksmas, kuriuo randama tam tikro laipsnio šaknis, vadinamas šaknų ištraukimas.

Kadangi pagal šaknies sąvokos apibrėžimą n laipsnis

Tai šaknų ištraukimas- veiksmas, atvirkštinis kėlimui į laipsnį, kurio pagalba randama laipsnio bazė iš tam tikro laipsnio ir iš nurodyto laipsnio.

Kvadratinė šaknis

Kvadratinė šaknis iš skaičiaus a yra skaičius, kurio kvadratas yra lygus a.

Veiksmas, pagal kurį apskaičiuojama kvadratinė šaknis, vadinamas kvadratiniu šaknimis.

Kvadratinė šaknis- priešingas kvadratavimo (arba skaičiaus didinimo į antrą laipsnį) veiksmas. Skaičiuojant skaičių kvadratu, reikia rasti jo kvadratą. Išskiriant kvadratinę šaknį, yra žinomas skaičiaus kvadratas; jį reikia naudoti norint rasti patį skaičių.

Todėl norėdami patikrinti veiksmo teisingumą, rastą šaknį galite pakelti į antrą laipsnį ir, jei laipsnis lygus radikaliniam skaičiui, tada šaknis buvo rasta teisingai.

Pažvelkime į kvadratinės šaknies ištraukimą ir patikrinimą naudodami pavyzdį. Apskaičiuokime arba (šakninis rodiklis, kurio reikšmė 2, paprastai nerašomas, nes 2 yra mažiausias rodiklis ir reikia atsiminti, kad jei virš šaknies ženklo nėra eksponento, tada numanomas rodiklis 2), tam mes reikia rasti skaičių, pakėlus iki antro laipsnis bus 49. Akivaizdu, kad toks skaičius yra 7, nes

7 7 = 7 2 = 49.

Kvadratinės šaknies apskaičiavimas

Jei nurodytas skaičius yra 100 ar mažesnis, tada jo kvadratinę šaknį galima apskaičiuoti naudojant daugybos lentelę. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 25 yra 5, nes 5 5 = 25.

Dabar pažiūrėkime, kaip rasti bet kurio skaičiaus kvadratinę šaknį nenaudojant skaičiuoklės. Pavyzdžiui, paimkime skaičių 4489 ir pradėkime jį skaičiuoti žingsnis po žingsnio.

1. Nustatykime, iš kurių skaitmenų turi sudaryti reikalinga šaknis. Kadangi 10 2 = 10 · 10 = 100, o 100 2 = 100 · 100 = 10000, tampa aišku, kad norima šaknis turi būti didesnė nei 10 ir mažesnė nei 100, t.y. susideda iš dešimčių ir vienetų.
2. Raskite šaknies dešimčių skaičių. Padauginus dešimtis gaunami šimtai, o mūsų skaičiuje jų yra 44, todėl šaknyje turi būti tiek dešimčių, kad dešimtinių kvadratas gautų maždaug 44 šimtus. Todėl šaknyje turi būti 6 dešimtys, nes 60 2 = 3600, o 70 2 = 4900 (tai per daug). Taigi, mes sužinojome, kad mūsų šaknyje yra 6 dešimtys ir keletas vienetų, nes jis yra nuo 60 iki 70.
3. Daugybos lentelė padės nustatyti vienetų skaičių šaknyje. Žvelgdami į skaičių 4489 matome, kad paskutinis jo skaitmuo yra 9. Dabar žiūrime į daugybos lentelę ir matome, kad 9 vienetus galima gauti tik sudėjus skaičius 3 ir 7 kvadratu. Tai reiškia, kad skaičiaus šaknis bus lygus 63 arba 67.
4. Patikriname gautus skaičius 63 ir 67 padalydami juos kvadratu: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Pažvelkime į šį algoritmą naudodami pavyzdį. Mes rasime

1 žingsnis. Padalijame skaičių po šaknimi į dviženklius veidus (iš dešinės į kairę):

2 žingsnis. Paimame pirmojo veido kvadratinę šaknį, t.y. iš skaičiaus 65, gauname skaičių 8. Po pirmuoju veidu rašome skaičiaus 8 kvadratą ir atimame. Antrąjį veidą (59) priskiriame likusiai daliai:

(skaičius 159 yra pirmoji liekana).

3 žingsnis. Padvigubiname rastą šaknį ir rašome rezultatą kairėje:

4-as žingsnis. Dešinėje išskiriame vieną skaitmenį likusioje dalyje (159), o kairėje gauname dešimčių skaičių (jis lygus 15). Tada 15 padalijame iš dvigubo pirmojo šaknies skaitmens, t.y. iš 16, kadangi 15 nesidalija iš 16, tai dalinys gaunasi nulis, kurį rašome kaip antrą šaknies skaitmenį. Taigi, koeficiente gavome skaičių 80, kurį vėl padvigubiname ir pašaliname kitą briauną

(skaičius 15 901 yra antrasis likutis).

5 žingsnis. Antroje liekanoje atskiriame vieną skaitmenį iš dešinės ir gautą skaičių 1590 padaliname iš 160. Rezultatą (skaičius 9) įrašome trečiuoju šaknies skaitmeniu ir pridedame prie skaičiaus 160. Gautą skaičių 1609 padauginame iš 9 ir raskite kitą likutį (1420):

Vėliau veiksmai atliekami algoritme nurodyta seka (šaknį galima išgauti reikiamu tikslumu).

komentuoti. Jei radikalioji išraiška yra dešimtainė trupmena, tai visa jos dalis padalijama į dviejų skaitmenų briaunas iš dešinės į kairę, trupmeninė dalis - dviem skaitmenimis iš kairės į dešinę, o šaknis išgaunama pagal nurodytą algoritmą.

DIDAKTINĖ MEDŽIAGA

1. Paimkite kvadratinę šaknį iš skaičiaus: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.