Lyginti kiekius ir kiekius sprendžiant praktinius uždavinius reikėjo nuo seno. Tuo pat metu atsirado tokie žodžiai kaip daugiau ir mažiau, aukščiau ir žemiau, lengvesni ir sunkesni, tyliau ir garsiau, pigiau ir brangiau ir kt., reiškiantys vienarūšių dydžių palyginimo rezultatus.
Sąvokos „daugiau ir mažiau“ atsirado skaičiuojant objektus, matuojant ir lyginant dydžius. Pavyzdžiui, Senovės Graikijos matematikai žinojo, kad bet kurio trikampio kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą ir kad didesnė kraštinė yra priešais didesnį trikampio kampą. Archimedas, skaičiuodamas apskritimą, nustatė, kad bet kurio apskritimo perimetras yra lygus tris kartus skersmeniui, o perteklius yra mažesnis nei septintoji skersmens, bet daugiau nei dešimt septyniasdešimt kartų didesnis už skersmenį.
Simboliškai parašykite ryšius tarp skaičių ir dydžių, naudodami ženklus > ir b. Įrašai, kuriuose du skaičiai sujungti vienu iš ženklų: > (didesnis nei), Su skaitine nelygybe susidūrėte ir žemesnėse klasėse. Jūs žinote, kad nelygybė gali būti tiesa arba klaidinga. Pavyzdžiui, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) yra teisinga skaitinė nelygybė, 0,23 > 0,235 yra neteisinga skaitinė nelygybė.
Nelygybė, apimanti nežinomus dalykus, gali būti teisinga kai kurioms nežinomųjų vertybėms ir klaidinga kitoms. Pavyzdžiui, nelygybė 2x+1>5 yra teisinga, kai x = 3, bet klaidinga, kai x = -3. Nelygybei su vienu nežinomuoju galite nustatyti užduotį: išspręskite nelygybę. Nelygybių sprendimo problemos praktikoje keliamos ir sprendžiamos ne rečiau nei lygčių sprendimo problemos. Pavyzdžiui, daugelis ekonominių problemų susiveda į tiesinių nelygybių sistemų tyrimą ir sprendimą. Daugelyje matematikos šakų nelygybės yra labiau paplitusios nei lygtys.
Kai kurios nelygybės yra vienintelės pagalbinis, leidžiantis įrodyti arba paneigti tam tikro objekto egzistavimą, pavyzdžiui, lygties šaknį.
Skaitmeninės nelygybės
Ar galite palyginti sveikuosius skaičius? po kablelio. Ar žinai palyginimo taisykles? paprastosios trupmenos su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais; su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingus vardiklius. Čia sužinosite, kaip palyginti bet kuriuos du skaičius, surasdami jų skirtumo ženklą.
Praktikoje plačiai naudojamas skaičių lyginimas. Pavyzdžiui, ekonomistas lygina planinius rodiklius su faktiniais, gydytojas – paciento temperatūrą su normalia, tekintojas – apdirbtos detalės matmenis su standartu. Visais tokiais atvejais lyginami kai kurie skaičiai. Dėl skaičių palyginimo susidaro skaitinės nelygybės.
Apibrėžimas. Skaičius a daugiau numerio b, jei skirtumas a-b teigiamas. Skaičius a mažesnis skaičius b, jei skirtumas a-b yra neigiamas.
Jei a yra didesnis už b, tada jie rašo: a > b; jei a yra mažesnis už b, tai jie rašo: a Taigi nelygybė a > b reiškia, kad skirtumas a - b yra teigiamas, t.y. a - b > 0. Nelygybė a Bet kuriems dviem skaičiams a ir b iš šių trijų ryšių a > b, a = b, a Palyginti skaičius a ir b reiškia išsiaiškinti, kuris iš ženklų >, = arba Teorema. Jei a > b ir b > c, tai a > c.
Teorema. Jei prie abiejų nelygybės pusių pridėsite tą patį skaičių, nelygybės ženklas nepasikeis.
Pasekmė. Bet kuris terminas gali būti perkeltas iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeitus šio termino ženklą į priešingą.
Teorema. Jei abi nelygybės pusės padauginamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės pusės padauginamos iš to paties neigiamas skaičius, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Pasekmė. Jei abi nelygybės puses padalinsime iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nepasikeis. Jei abi nelygybės pusės bus padalintos iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Jūs žinote, kad skaitines lygybes galima sudėti ir padauginti iš termino. Toliau sužinosite, kaip atlikti panašius veiksmus su nelygybėmis. Praktikoje dažnai naudojama galimybė sudėti ir dauginti nelygybes. Šie veiksmai padeda išspręsti posakių reikšmių vertinimo ir palyginimo problemas.
Sprendžiant įvairius uždavinius, dažnai reikia pridėti arba dauginti kairę ir dešinę nelygybių puses iš termino. Kartu kartais sakoma, kad nelygybės sumuojasi arba dauginasi. Pavyzdžiui, jei pirmą dieną turistas nuėjo daugiau nei 20 km, o antrą - daugiau nei 25 km, tai galime sakyti, kad per dvi dienas jis nuėjo daugiau nei 45 km. Panašiai, jei stačiakampio ilgis yra mažesnis nei 13 cm, o plotis yra mažesnis nei 5 cm, tada galime sakyti, kad šio stačiakampio plotas yra mažesnis nei 65 cm2.
Nagrinėjant šiuos pavyzdžius buvo naudojami šie pavyzdžiai: nelygybių sudėties ir daugybos teoremos:
Teorema. Sudėjus to paties ženklo nelygybes, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d.
Teorema. Dauginant to paties ženklo nelygybes, kurių kairės ir dešinės pusės yra teigiamos, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b, c > d ir a, b, c, d yra teigiami skaičiai, tai ac > bd.
Nelygybės su ženklu > (didesnis nei) ir 1/2, 3/4 b, c Kartu su griežtų nelygybių ženklais > ir Lygiai taip pat nelygybė \(a \geq b \) reiškia, kad skaičius a yra didesnis arba lygus b, ty .ir ne mažesnis b.
Nelygybės, turinčios ženklą \(\geq \) arba ženklą \(\leq \), vadinamos negriežtomis. Pavyzdžiui, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nėra griežtos nelygybės.
Visos griežtųjų nelygybių savybės galioja ir negriežtoms nelygybėms. Be to, jei griežtoms nelygybėms ženklai > buvo laikomi priešingais ir žinote, kad norint išspręsti daugybę taikomųjų uždavinių, turite sukurti matematinį modelį lygties arba lygčių sistemos pavidalu. Toliau sužinosite, kad daugelio problemų sprendimo matematiniai modeliai yra nelygybės su nežinomaisiais. Supažindinsime su nelygybės sprendimo samprata ir parodysime, kaip patikrinti, ar duotas numeris sprendžiant konkrečią nelygybę.
Formos nelygybės
\(ax > b, \quad ax, kurioje a ir b yra pateikti skaičiai, o x yra nežinomasis, vadinami tiesinės nelygybės su vienu nežinomuoju.
Apibrėžimas. Nelygybės su vienu nežinomuoju sprendimas yra nežinomojo reikšmė, kuriai esant ši nelygybė tampa tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visus jos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.
Jūs išsprendėte lygtis, sumažindami jas iki paprasčiausių lygčių. Panašiai, sprendžiant nelygybes, jas, naudojant savybes, stengiamasi redukuoti iki paprastų nelygybių.
Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas
Formos nelygybės
\(ax^2+bx+c >0 \) ir \(ax^2+bx+c kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \), vadinamas antrojo laipsnio nelygybės su vienu kintamuoju.
Nelygybės sprendimas
\(ax^2+bx+c >0 \) arba \(ax^2+bx+c) gali būti laikomi intervalų, kuriuose funkcija \(y= ax^2+bx+c \) įgyja teigiamą arba neigiamą reikšmės Tam pakanka išanalizuoti, kaip funkcijos \(y= ax^2+bx+c\) grafikas yra koordinačių plokštumoje: kur nukreiptos parabolės šakos – aukštyn ar žemyn, ar parabolė kerta x ašį ir jei kerta, tai kokiuose taškuose.
Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo algoritmas:
1) raskite kvadratinio trinalio \(ax^2+bx+c\) diskriminantą ir išsiaiškinkite, ar trinaris turi šaknis;
2) jei trinaris turi šaknis, pažymėkite jas x ašyje ir per pažymėtus taškus nubrėžkite scheminę parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų, jei > 0 arba žemyn, jei 0, arba į apačią, jei yra 3) raskite x ašyje intervalus, kurių taškų parabolės yra virš x ašies (jei jos išsprendžia nelygybę \(ax^2+bx+c >0\)) arba žemiau x ašies (jei jos išsprendžia nelygybė
\(ax^2+bx+c Nelygybių sprendimas naudojant intervalų metodą
Apsvarstykite funkciją
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)
Šios funkcijos sritis yra visų skaičių rinkinys. Funkcijos nuliai yra skaičiai -2, 3, 5. Jie padalina funkcijos apibrėžimo sritį į intervalus \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) ir \( (5; +\infty)\)
Išsiaiškinkime, kokie yra šios funkcijos ženklai kiekviename iš nurodytų intervalų.
Išraiška (x + 2)(x - 3)(x - 5) yra trijų veiksnių sandauga. Kiekvieno iš šių veiksnių ženklas nagrinėjamais intervalais nurodytas lentelėje:
Apibendrinant, tegul funkcija pateikiama formule
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kur x yra kintamasis, o x 1, x 2, ..., x n yra skaičiai, kurie nėra lygūs vienas kitam. Skaičiai x 1 , x 2 , ..., x n yra funkcijos nuliai. Kiekviename iš intervalų, į kuriuos apibrėžimo sritis padalinta iš funkcijos nulių, funkcijos ženklas išsaugomas, o pereinant per nulį jo ženklas keičiasi.
Ši savybė naudojama formos nelygybėms spręsti
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kur x 1, x 2, ..., x n yra skaičiai, nelygūs vienas kitam
Apsvarstytas metodas nelygybių sprendimas vadinamas intervalų metodu.
Pateiksime nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžius.
Išspręskite nelygybę:
\(x(0.5-x)(x+4) Akivaizdu, kad funkcijos f(x) = x(0.5-x)(x+4) nuliai yra taškai \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)Nubraižome funkcijos nulius skaičių ašyje ir apskaičiuojame kiekvieno intervalo ženklą:
Parenkame tuos intervalus, kuriais funkcija yra mažesnė arba lygi nuliui ir užrašome atsakymą.
Atsakymas:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Matematinės nelygybės samprata atsirado senovėje. Taip atsitiko, kai primityviam žmogui, skaičiuojant ir tvarkant įvairius daiktus, reikėjo lyginti jų kiekį ir dydį. Nuo seniausių laikų Archimedas, Euklidas ir kiti žymūs mokslininkai: matematikai, astronomai, dizaineriai ir filosofai samprotavimuose naudojo nelygybę.
Tačiau jie, kaip taisyklė, savo darbuose vartojo žodinę terminologiją. Pirmą kartą Anglijoje buvo išrasti ir praktiškai pritaikyti šiuolaikiniai ženklai, žymintys sąvokas „daugiau“ ir „mažiau“ tokia forma, kokia jas žino šiandien kiekvienas moksleivis. Matematikas Thomas Harriot suteikė tokią paslaugą savo palikuonims. Ir tai atsitiko maždaug prieš keturis šimtmečius.
Yra žinoma daugybė nelygybių tipų. Tarp jų yra paprastų, turinčių vieną, du ar daugiau kintamųjų, kvadratinius, trupmeninius, sudėtingus santykius ir netgi tuos, kurie pavaizduoti išraiškų sistema. Geriausias būdas suprasti, kaip spręsti nelygybes, yra naudoti įvairius pavyzdžius.
Nepraleiskite traukinio
Pirmiausia įsivaizduokime, kad gyventojas kaimo vietovės skuba traukinių stotis, kuris yra 20 km atstumu nuo jo kaimo. Kad nepraleistų 11 valandą išvykstančio traukinio, jis privalo laiku išeiti iš namų. Kada tai daryti, jei jo greitis yra 5 km/h? Šios praktinės problemos sprendimas priklauso nuo reiškinio sąlygų įvykdymo: 5 (11 - X) ≥ 20, kur X yra išvykimo laikas.
Tai suprantama, nes atstumas, kurį kaimo gyventojas turi įveikti iki stoties, yra lygus judėjimo greičiui, padaugintam iš valandų skaičiaus kelyje. Žmogus gali atvykti anksti, bet negali vėluoti. Žinodami, kaip išspręsti nelygybes ir pritaikydami savo įgūdžius praktikoje, gausite X ≤ 7, tai yra atsakymas. Tai reiškia, kad kaimo gyventojas į geležinkelio stotį turėtų vykti septintą ryto arba kiek anksčiau.
Skaitiniai intervalai koordinačių tiesėje
Dabar išsiaiškinkime, kaip aprašytus ryšius susieti su aukščiau gauta nelygybė nėra griežta. Tai reiškia, kad kintamasis gali turėti reikšmes, mažesnes nei 7, arba jis gali būti lygus šiam skaičiui. Pateikime kitų pavyzdžių. Norėdami tai padaryti, atidžiai apsvarstykite keturis toliau pateiktus skaičius.
Ant pirmojo matosi grafinis vaizdas tarpas [-7; 7]. Jį sudaro skaičių rinkinys, išdėstytas koordinačių linijoje ir esantis tarp -7 ir 7, įskaitant ribas. Šiuo atveju grafiko taškai vaizduojami kaip užpildyti apskritimai, o intervalas įrašomas naudojant
Antrasis paveikslas yra grafinis griežtos nelygybės vaizdas. Šiuo atveju ribiniai skaičiai -7 ir 7, rodomi pradurtais (neužpildytais) taškais, į nurodytą rinkinį neįeina. O pats intervalas skliausteliuose rašomas taip: (-7; 7).
Tai yra, išsiaiškinę, kaip išspręsti tokio tipo nelygybes ir gavę panašų atsakymą, galime daryti išvadą, kad jį sudaro skaičiai, esantys tarp aptariamų ribų, išskyrus -7 ir 7. Kiti du atvejai turi būti įvertinti ataskaitoje. panašiu būdu. Trečiame paveikslėlyje pavaizduoti intervalų vaizdai (-∞; -7] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)
Kvadratinės nelygybės su neigiamu ir nuliniu diskriminantu
Aukščiau pateiktas algoritmas veikia, kai diskriminantas yra didesnis už nulį, tai yra, jis turi \(2\) šaknis. Ką daryti kitais atvejais? Pavyzdžiui, šie:
|
\(1) x^2+2x+9>0\) |
\(2) x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4)-x^2-64<0\) |
|
\(D=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Jei \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
Tai yra posakis:
\(x^2+2x+9\) – teigiamas bet kuriam \(x\), nes \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) – neigiamas bet kuriam \(x\), nes \(a=-1<0\)
Jei \(D=0\), tai kvadratinis trinaris vienai reikšmei \(x\) yra lygus nuliui, o visų kitų turi pastovų ženklą, kuris sutampa su koeficiento \(a\) ženklu.
Tai yra posakis:
\(x^2+6x+9\) yra lygus nuliui \(x=-3\) ir teigiamas visiems kitiems x, nes \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) – lygus nuliui \(x=-2\) ir neigiamas visiems kitiems, nes \(a=-1<0\).
Kaip rasti x, kai kvadratinis trinaris yra lygus nuliui? Turime išspręsti atitinkamą kvadratinę lygtį.
Atsižvelgdami į šią informaciją, išspręskime kvadratines nelygybes:
|
1) \(x^2+2x+9>0\) |
Galima sakyti, kad nelygybė užduoda mums klausimą: „kurio \(x\) išraiška kairėje yra didesnė už nulį? Aukščiau jau sužinojome apie bet kurį. Atsakyme galite rašyti: „už bet kurį \(x\)“, bet tą pačią mintį geriau išreikšti matematikos kalba. |
|
|
Atsakymas: \(x∈(-∞;∞)\) |
||
|
2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Klausimas iš nelygybės: „kurios \(x\) išraiška kairėje yra mažesnė arba lygi nuliui? Jis negali būti mažesnis už nulį, bet gali būti lygus nuliui. Ir norėdami sužinoti, kokiu teiginiu tai įvyks, išspręskime atitinkamą kvadratinę lygtį. |
|
|
Sudėkime savo išraišką pagal \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). |
||
|
Dabar vienintelis dalykas, kuris mus stabdo, yra aikštė. Pagalvokime kartu – koks skaičius kvadratu lygus nuliui? Nulis! Tai reiškia, kad išraiškos kvadratas lygus nuliui tik tada, kai pati išraiška lygi nuliui. |
||
|
\(x+3=0\) |
Šis skaičius bus atsakymas. |
|
|
Atsakymas: \(-3\) |
||
|
3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Kada kairėje esanti išraiška yra didesnė už nulį? Kaip minėta aukščiau, išraiška kairėje yra neigiama arba lygi nuliui; ji negali būti teigiama. Taigi atsakymas yra niekada. Parašykime „niekada“ matematikos kalba, naudodami „tuščios aibės“ simbolį - \(∅\). |
|
|
Atsakymas: \(x∈∅\) |
||
|
4) \(-x^2-64<0\) |
Kai išraiška yra kairėje mažiau nei nulis? Visada. Tai reiškia, kad nelygybė galioja bet kuriai \(x\). |
|
|
Atsakymas: \(x∈(-∞;∞)\) |
Įkeliama...