Apibrėžimas. Šoninis kraštas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramidės viršuje, o priešinga pusė sutampa su pagrindo (daugiakampio) kraštine.
Apibrėžimas. Šoniniai šonkauliai- Tai bendri aspektaišoniniai kraštai. Piramidė turi tiek briaunų, kiek daugiakampio kampų.
Apibrėžimas. Piramidės aukštis- tai statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo.
Apibrėžimas. Apotema- tai statmenas piramidės šoniniam paviršiui, nuleistas nuo piramidės viršaus į pagrindo šoną.
Apibrėžimas. Įstrižainė pjūvis- tai piramidės atkarpa plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę.
Apibrėžimas. Teisinga piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis nusileidžia į pagrindo centrą.
Piramidės tūris ir paviršiaus plotas
Formulė. Piramidės tūris per pagrindo plotą ir aukštį:
Piramidės savybės
Jei visos šoninės briaunos lygios, tai aplink piramidės pagrindą galima nubrėžti apskritimą, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat iš viršaus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centrą.
Jei visi šoniniai kraštai yra vienodi, tada jie yra pasvirę į pagrindo plokštumą tais pačiais kampais.
Šoniniai šonkauliai yra lygūs, kai susidaro su pagrindo plokštuma vienodi kampai arba jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.
Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada į piramidės pagrindą galima įrašyti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama į jo centrą.
Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada šoninių paviršių apotemos yra lygios.
Taisyklingos piramidės savybės
1. Piramidės viršus yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo kampų.
2. Visos šoninės briaunos lygios.
3. Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę vienodais kampais į pagrindą.
4. Visų šoninių paviršių apotemos yra lygios.
5. Visų šoninių paviršių plotai lygūs.
6. Visi paviršiai turi vienodus dvikampius (plokščius) kampus.
7. Aplink piramidę galima apibūdinti sferą. Apribotos sferos centras bus statmenų, einančių per kraštinių vidurį, susikirtimo taškas.
8. Į piramidę galite sutalpinti rutulį. Įbrėžtos sferos centras bus iš kampo tarp briaunos ir pagrindo kylančių bisektorių susikirtimo taškas.
9. Jei įbrėžto rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plokštumos kampų suma viršūnėje yra lygi π arba atvirkščiai, vienas kampas lygus π/n, kur n yra skaičius kampų piramidės pagrinde.
Piramidės ir sferos ryšys
Aplink piramidę galima apibūdinti sferą, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Rutulio centras bus plokštumų, einančių statmenai per piramidės šoninių kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas.
Visada galima apibūdinti sferą aplink bet kurią trikampę ar taisyklingą piramidę.
Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta viename taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.
Piramidės sujungimas su kūgiu
Sakoma, kad kūgis yra įrašytas į piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra įrašytas į piramidės pagrindą.
Į piramidę galima įrašyti kūgį, jei piramidės apotemai yra lygūs vienas kitam.
Sakoma, kad kūgis yra apibrėžiamas aplink piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra aplink piramidės pagrindą.
Aplink piramidę galima apibūdinti kūgį, jei visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai.
Piramidės ir cilindro ryšys
Piramidė vadinama įbrėžta į cilindrą, jei piramidės viršūnė yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramidės pagrindas yra įbrėžtas kitame cilindro pagrinde.
Cilindras gali būti apibūdintas aplink piramidę, jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.
Tetraedras turi keturis paviršius ir keturias viršūnes bei šešias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendrų viršūnių, bet nesiliečia.
Kiekviena viršūnė susideda iš trijų formuojančių paviršių ir briaunų trikampio kampo.
Atkarpa, jungianti tetraedro viršūnę su priešingo paviršiaus centru, vadinama tetraedro mediana(GM).
Bimedian vadinama atkarpa, jungiančia priešingų kraštinių, kurie nesiliečia, vidurio taškus (KL).
Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename taške (S). Šiuo atveju bimedianos dalijamos per pusę, o medianos – santykiu 3:1, pradedant nuo viršaus.
Apibrėžimas. Ūmaus kampo piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra daugiau nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.
Apibrėžimas. Bukoji piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra mažesnis nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.
Apibrėžimas. Taisyklingas tetraedras- tetraedras, kurio visi keturi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Tai vienas iš penkių taisyklingų daugiakampių. Įprastame tetraedre visi dvikampiai kampai (tarp paviršių) ir trikampiai kampai (viršūnėje) yra lygūs.
Apibrėžimas. Stačiakampis tetraedras yra tetraedras, kurio viršūnėje tarp trijų kraštinių yra stačiu kampu (kraštinės statmenos). Susidaro trys veidai stačiakampis trikampis kampas ir paviršiai yra stačiakampiai, o pagrindas yra savavališkas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotema, kraštinės.
Apibrėžimas. Izoedrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio šoniniai paviršiai yra lygūs vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingas trikampis. Toks tetraedras turi veidus lygiašoniai trikampiai.
Apibrėžimas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kuriame visi aukščiai (statmenys), nuleisti iš viršaus į priešingą paviršių, susikerta viename taške.
Apibrėžimas. Žvaigždžių piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra žvaigždė.
Trikampė piramidė yra piramidė, kurios pagrinde yra trikampis. Šios piramidės aukštis yra statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo.
Piramidės aukščio radimas
Kaip sužinoti piramidės aukštį? Labai paprasta! Norėdami rasti bet kurio aukštį trikampė piramidė galite naudoti tūrio formulę: V = (1/3) Sh, kur S yra pagrindo plotas, V yra piramidės tūris, h yra jos aukštis. Iš šios formulės išveskite aukščio formulę: norėdami rasti trikampės piramidės aukštį, turite padauginti piramidės tūrį iš 3, o tada padalyti gautą reikšmę iš pagrindo ploto, tai bus: h = (3V)/S. Kadangi trikampės piramidės pagrindas yra trikampis, galite naudoti formulę trikampio plotui apskaičiuoti. Jei žinome: trikampio S plotą ir jo kraštinę z, tai pagal ploto formulę S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kur h – piramidės aukštis, γ yra trikampio kraštas; kampą tarp trikampio kraštinių ir pačių dviejų kraštinių, tada naudodami šią formulę: S = (1/2)γφsinQ, kur γ, φ yra trikampio kraštinės, randame trikampio plotą. Į kampo Q sinuso reikšmę reikia pasižiūrėti sinusų lentelėje, kurią galima rasti internete. Toliau ploto reikšmę pakeičiame aukščio formule: h = (2S)/γ. Jei atliekant užduotį reikia apskaičiuoti trikampės piramidės aukštį, tai piramidės tūris jau žinomas.
Taisyklinga trikampė piramidė
Raskite taisyklingos trikampės piramidės aukštį, tai yra piramidės, kurios visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai, žinant briaunos γ dydį. Šiuo atveju piramidės kraštai yra lygiakraščio trikampio kraštinės. Taisyklingos trikampės piramidės aukštis bus: h = γ√(2/3), kur γ lygiakraščio trikampio kraštas, h piramidės aukštis. Jei pagrindo plotas (S) nežinomas ir pateikiamas tik daugiakampio briaunos ilgis (γ) ir tūris (V), tada reikia pakeisti ankstesnio žingsnio formulės kintamąjį. jo atitikmeniu, kuris išreiškiamas briaunos ilgiu. Trikampio plotas (reguliarus) yra lygus 1/4 šio trikampio kraštinės ilgio sandaugos iš kvadratinės šaknies iš 3. Šią formulę pakeičiame vietoj pagrindo ploto ankstesnėje formulėje. formulę, ir gauname tokią formulę: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedro tūrį galima išreikšti per jo krašto ilgį, tada iš figūros aukščio skaičiavimo formulės galite pašalinti visus kintamuosius ir palikti tik figūros trikampio paviršiaus kraštą. Tokios piramidės tūrį galima apskaičiuoti padalijus iš 12 iš sandaugos jos veido kubo ilgį iš kvadratinės šaknies iš 2.
Pakeitę šią išraišką į ankstesnę formulę, gauname tokią skaičiavimo formulę: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Taip pat teisinga trikampė prizmė gali būti įrašytas į sferą, o žinant tik rutulio spindulį (R) galima rasti paties tetraedro aukštį. Tetraedro briaunos ilgis: γ = 4R/√6. Kintamąjį γ pakeičiame šia išraiška ankstesnėje formulėje ir gauname formulę: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Tą pačią formulę galima gauti žinant į tetraedrą įbrėžto apskritimo spindulį (R). Tokiu atveju trikampio briaunos ilgis bus lygus 12 santykių tarp kvadratinė šaknis 6 ir spindulys. Šią išraišką pakeičiame ankstesne formule ir gauname: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Kaip rasti taisyklingos keturkampės piramidės aukštį
Norėdami atsakyti į klausimą, kaip rasti piramidės aukščio ilgį, turite žinoti, kas yra taisyklinga piramidė. Keturkampė piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra keturkampis. Jei problemos sąlygomis turime: piramidės tūrį (V) ir pagrindo plotą (S), tada daugiakampio aukščio (h) apskaičiavimo formulė bus tokia - padalykite tūrį, padaugintą 3 pagal plotą S: h = (3V)/S. Duotas piramidės kvadratinis pagrindas, kurio tūris (V) ir kraštinės ilgis γ, ankstesnėje formulėje plotą (S) pakeiskite kraštinės ilgio kvadratu: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Taisyklingos piramidės aukštis h = SO tiksliai eina per apskritimo centrą, kuris yra apibrėžtas šalia pagrindo. Kadangi šios piramidės pagrindas yra kvadratas, taškas O yra įstrižainių AD ir BC susikirtimo taškas. Turime: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Toliau mes esame taisyklingas trikampis Randame SOC (naudojant Pitagoro teoremą): SO = √(SC 2 -OC 2). Dabar jūs žinote, kaip rasti įprastos piramidės aukštį.
Apibrėžimas
Piramidė yra daugiakampis, sudarytas iš daugiakampio \(A_1A_2...A_n\) ir \(n\) trikampių, kurių bendra viršūnė \(P\) (nesanti daugiakampio plokštumoje) ir priešais jį kraštinių, sutampančių su daugiakampio kraštinės.
Pavadinimas: \(PA_1A_2...A_n\) .
Pavyzdys: penkiakampė piramidė \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trikampiai \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) ir kt. yra vadinami šoniniai veidai piramidės, atkarpos \(PA_1, PA_2\) ir kt. – šoniniai šonkauliai, daugiakampis \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – pagrindu, taškas \(P\) – viršuje.
Aukštis piramidės yra statmenas, nusileidęs nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos.
Piramidė, kurios pagrinde yra trikampis, vadinama tetraedras.
Piramidė vadinama teisinga, jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis ir tenkinama viena iš šių sąlygų:
\(a)\) piramidės šoninės briaunos yra lygios;
\(b)\) piramidės aukštis eina per apskritimo centrą, apibrėžtą šalia pagrindo;
\(c)\) šoniniai šonkauliai pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu.
\(d)\) šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu.
Taisyklingas tetraedras yra trikampė piramidė, kurios visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai.
Teorema
Sąlygos \(a), (b), (c), (d)\) yra lygiavertės.
Įrodymas
Raskime piramidės aukštį \(PH\) . Tegul \(\alpha\) yra piramidės pagrindo plokštuma.
1) Įrodykime, kad iš \((a)\) seka \((b)\) . Tegu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Nes \(PH\perp \alpha\), tada \(PH\) yra statmena bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei, o tai reiškia, kad trikampiai yra stačiakampiai. Tai reiškia, kad šie trikampiai yra lygūs bendroje kojoje \(PH\) ir hipotenuzoje \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Tai reiškia \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Tai reiškia, kad taškai \(A_1, A_2, ..., A_n\) yra vienodu atstumu nuo taško \(H\), todėl yra tame pačiame apskritime, kurio spindulys \(A_1H\) . Šis apskritimas pagal apibrėžimą yra apibrėžtas apie daugiakampį \(A_1A_2...A_n\) .
2) Įrodykime, kad \((b)\) reiškia \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) stačiakampis ir lygus ant dviejų kojų. Tai reiškia, kad jų kampai taip pat yra vienodi, todėl \(\kampas PA_1H=\kampas PA_2H=...=\kampas PA_nH\).
3) Įrodykime, kad \((c)\) reiškia \((a)\) .
Panašus į pirmąjį tašką, trikampiai \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) stačiakampiai tiek išilgai kojos, tiek smailiu kampu. Tai reiškia, kad jų hipotenuzės taip pat yra lygios, tai yra, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Įrodykime, kad \((b)\) reiškia \((d)\) .
Nes taisyklingajame daugiakampyje apibrėžtojo ir įbrėžto apskritimų centrai sutampa (paprastai kalbant, šis taškas vadinamas taisyklingo daugiakampio centru), tada \(H\) yra įbrėžto apskritimo centras. Iš taško \(H\) nubrėžkime statmenus į pagrindo šonus: \(HK_1, HK_2\) ir t.t. Tai yra įbrėžto apskritimo spinduliai (pagal apibrėžimą). Tada pagal TTP (\(PH\) yra statmenas plokštumai, \(HK_1, HK_2\) ir kt. yra projekcijos, statmenos kraštams), pasvirusios \(PK_1, PK_2\) ir kt. statmenai kraštams \(A_1A_2, A_2A_3\) ir kt. atitinkamai. Taigi, pagal apibrėžimą \(\kampas PK_1H, \kampas PK_2H\) lygus kampams tarp šoninių paviršių ir pagrindo. Nes trikampiai \(PK_1H, PK_2H, ...\) yra lygūs (kaip stačiakampiai iš dviejų kraštinių), tada kampai \(\kampas PK_1H, \kampas PK_2H, ...\) yra lygūs.
5) Įrodykime, kad \((d)\) reiškia \((b)\) .
Panašiai kaip ir ketvirtajame taške, trikampiai \(PK_1H, PK_2H, ...\) yra lygūs (stačiakampiai išilgai kojos ir smailiojo kampo), o tai reiškia, kad atkarpos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) yra lygus. Tai pagal apibrėžimą reiškia, kad \(H\) yra apskritimo, įrašyto į pagrindą, centras. Bet todėl Taisyklingųjų daugiakampių atveju įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų centrai sutampa, tada \(H\) yra apibrėžtojo apskritimo centras. Chtd.
Pasekmė
Taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai.
Apibrėžimas
Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, ištrauktas iš jos viršūnės, vadinamas apotemas.
Visų taisyklingos piramidės šoninių paviršių apotemos yra lygios viena kitai, taip pat yra medianos ir pusiausvyros.
Svarbios pastabos
1. Taisyklingos trikampės piramidės aukštis patenka į pagrindo aukščių (arba pusiausvyrų, arba medianų) susikirtimo tašką (pagrindas yra taisyklingas trikampis).
2. Taisyklingos keturkampės piramidės aukštis patenka į pagrindo įstrižainių susikirtimo tašką (pagrindas yra kvadratas).
3. Taisyklingos šešiakampės piramidės aukštis patenka į pagrindo įstrižainių susikirtimo tašką (pagrindas yra taisyklingas šešiakampis).
4. Piramidės aukštis statmenas bet kuriai tiesei, esančiai prie pagrindo.
Apibrėžimas
Piramidė vadinama stačiakampis, jei viena iš jo šoninių briaunų yra statmena pagrindo plokštumai.
Svarbios pastabos
1. Stačiakampėje piramidėje briauna, statmena pagrindui, yra piramidės aukštis. Tai yra, \(SR\) yra aukštis.
2. Nes \(SR\) yra statmena bet kuriai linijai nuo pagrindo, tada \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– stačiakampiai trikampiai.
3. Trikampiai \(\trikampis SRN, \trikampis SRK\)- taip pat stačiakampis.
Tai yra, bet koks trikampis, sudarytas iš šios briaunos ir įstrižainės, kylančios iš šios briaunos viršūnės, esančios prie pagrindo, bus stačiakampis.
\[(\Large(\text(piramidės tūris ir paviršiaus plotas)))\]
Teorema
Piramidės tūris yra lygus trečdaliui piramidės pagrindo ploto ir aukščio sandaugos: \
Pasekmės
Tegul \(a\) yra pagrindo kraštinė, \(h\) yra piramidės aukštis.
1. Taisyklingos trikampės piramidės tūris yra \(V_(\text(statusis trikampis.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Taisyklingos keturkampės piramidės tūris yra \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Taisyklingos šešiakampės piramidės tūris yra \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Taisyklingo tetraedro tūris yra \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorema
Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo ir apotemos perimetro sandaugai.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Apibrėžimas
Apsvarstykite savavališką piramidę \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Per tam tikrą tašką, esantį ant piramidės šoninio krašto, nubrėžkime plokštumą, lygiagrečią piramidės pagrindui. Ši plokštuma padalins piramidę į dvi daugiakampes, iš kurių viena yra piramidė (\(PB_1B_2...B_n\)), o kita vadinama nupjauta piramidė(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Sutrumpinta piramidė turi du pagrindus – daugiakampius \(A_1A_2...A_n\) ir \(B_1B_2...B_n\), kurie yra panašūs vienas į kitą.
Nupjautos piramidės aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš kurio nors viršutinio pagrindo taško į apatinio pagrindo plokštumą.
Svarbios pastabos
1. Visi nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos.
2. Atkarpa, jungianti taisyklingos nupjautinės piramidės (tai yra piramidės, gautos taisyklingosios piramidės skerspjūviu) pagrindų centrus, yra aukštis.
Įvadas
Pradėję studijuoti stereometrines figūras, palietėme temą „Piramidė“. Ši tema mums patiko, nes piramidė labai dažnai naudojama architektūroje. Ir kadangi mūsų būsima architekto profesija yra įkvėpta šios figūros, manome, kad ji gali mus pastūmėti puikių projektų link.
Architektūrinių konstrukcijų tvirtumas yra svarbiausia jų kokybė. Susiejant tvirtumą, pirma, su medžiagomis, iš kurių jie sukurti, ir, antra, su dizaino sprendimų ypatybėmis, paaiškėja, kad konstrukcijos stiprumas yra tiesiogiai susijęs su jai pagrindine geometrine forma.
Kitaip tariant, kalbame apie geometrinę figūrą, kurią galima laikyti atitinkamos architektūrinės formos modeliu. Pasirodo, geometrinė forma lemia ir architektūrinės konstrukcijos tvirtumą.
Nuo seniausių laikų Egipto piramidės buvo laikomos patvariausiomis architektūros statiniais. Kaip žinote, jie turi taisyklingų keturkampių piramidžių formą.
Būtent ši geometrinė forma suteikia didžiausią stabilumą dėl didelio pagrindo ploto. Kita vertus, piramidės forma užtikrina, kad masė mažėtų didėjant aukščiui virš žemės. Būtent šios dvi savybės daro piramidę stabilią, taigi ir stiprią gravitacijos sąlygomis.
Projekto tikslas: sužinokite ką nors naujo apie piramides, pagilinkite žinias ir raskite praktinį pritaikymą.
Norint pasiekti šį tikslą, reikėjo išspręsti šias užduotis:
· Sužinokite istorinę informaciją apie piramidę
· Apsvarstykite piramidę kaip geometrinė figūra
· Raskite pritaikymą gyvenime ir architektūroje
· Raskite piramidžių panašumus ir skirtumus skirtingos dalys Sveta
Teorinė dalis
Piramidės geometrijos pradžia buvo nustatyta Senovės Egipte ir Babilone, tačiau ji buvo aktyviai plėtojama m. Senovės Graikija. Pirmasis piramidės tūrį nustatė Demokritas, o Eudoksas Knidas tai įrodė. Senovės graikų matematikas Euklidas susistemino žinias apie piramidę savo „Elementų“ XII tome, taip pat išvedė pirmąjį piramidės apibrėžimą: tvirtą figūrą, apribotą plokštumų, susiliejančių iš vienos plokštumos į vieną tašką.
Egipto faraonų kapai. Didžiausios iš jų – Cheopso, Khafre ir Mikerino piramidės El Gizoje – senovėje buvo laikomos vienu iš septynių pasaulio stebuklų. Piramidės statyba, kurioje graikai ir romėnai jau matė paminklą precedento neturinčiam karalių pasididžiavimui ir žiaurumui, pasmerkusiam visą Egipto žmones beprasmėms statyboms, buvo svarbiausias kulto veiksmas ir, matyt, turėjo išreikšti mistinė šalies ir jos valdovo tapatybė. Šalies gyventojai laisvą nuo žemės ūkio darbų metų dalį dirbo prie kapo statybos. Nemažai tekstų liudija, kokį dėmesį ir rūpestį patys karaliai (nors ir vėlesniu laiku) skyrė savo kapo statybai ir jo statytojams. Taip pat žinoma apie ypatingas kulto garbes, kurios buvo suteiktos pačiai piramidei.
Pagrindinės sąvokos
Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusieji paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę.
Apotema- taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršūnės;
Šoniniai veidai- trikampiai, susitinkantys viršūnėje;
Šoniniai šonkauliai- bendrosios šoninių paviršių pusės;
Piramidės viršūnė- taškas, jungiantis šoninius šonkaulius ir negulintis pagrindo plokštumoje;
Aukštis- statmena atkarpa, nubrėžta per piramidės viršūnę iki jos pagrindo plokštumos (šios atkarpos galai yra piramidės viršūnė ir statmens pagrindas);
Įstrižinė piramidės pjūvis- piramidės atkarpa, einanti per pagrindo viršų ir įstrižainę;
Bazė- daugiakampis, kuris nepriklauso piramidės viršūnei.
Pagrindinės taisyklingos piramidės savybės
Šoniniai kraštai, šoniniai paviršiai ir apotemos yra atitinkamai vienodi.
Dvikampiai kampai prie pagrindo yra lygūs.
Dvikampiai kampai prie šoninių kraštų yra lygūs.
Kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo viršūnių.
Kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų šoninių paviršių.
Pagrindinės piramidės formulės
Piramidės šoninio ir bendro paviršiaus plotas.
Piramidės (pilnos ir nupjautos) šoninio paviršiaus plotas yra visų jos šoninių paviršių plotų suma, bendras paviršiaus plotas yra visų jos paviršių plotų suma.
Teorema: Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei piramidės pagrindo perimetro ir apotemos sandaugos.
p- bazinis perimetras;
h- apotemas.
Nupjautos piramidės šoninių ir pilnų paviršių plotas.
1 p, p 2 - baziniai perimetrai;
h- apotemas.
R- bendras taisyklingos nupjautos piramidės paviršiaus plotas;
S pusė- taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotas;
S 1 + S 2- bazinis plotas
Piramidės tūris
Forma tūris ula yra naudojamas bet kokios rūšies piramidėms.
H- piramidės aukštis.
Piramidės kampai
Kampai, kuriuos sudaro piramidės šoninis paviršius ir pagrindas, vadinami dvikampiais kampais piramidės pagrinde.
Dvikampį kampą sudaro du statmenai.
Norint nustatyti šį kampą, dažnai reikia naudoti trijų statmenų teoremą.
Vadinami kampai, kuriuos sudaro šoninė briauna ir jos projekcija į pagrindo plokštumą kampai tarp šoninio krašto ir pagrindo plokštumos.
Kampas, sudarytas iš dviejų šoninių briaunų, vadinamas dvikampis kampas prie piramidės šoninės briaunos.
Kampas, sudarytas iš dviejų šoninių vienos piramidės briaunos briaunų, vadinamas kampas piramidės viršuje.
Piramidės sekcijos
Piramidės paviršius yra daugiakampio paviršius. Kiekvienas jos paviršius yra plokštuma, todėl pjovimo plokštuma apibrėžta piramidės atkarpa yra trūkinė, susidedanti iš atskirų tiesių.
Įstrižainė pjūvis
Piramidės pjūvis plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, kurie nėra tame pačiame paviršiuje, vadinama įstrižainė pjūvis piramidės.
Lygiagrečios sekcijos
Teorema:
Jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tai piramidės šoninės briaunos ir aukščiai šia plokštuma dalijami į proporcingas dalis;
Šios plokštumos pjūvis yra daugiakampis, panašus į pagrindą;
Pjūvio ir pagrindo plotai yra susieti vienas su kitu kaip jų atstumų nuo viršūnės kvadratai.
Piramidės tipai
Teisinga piramidė– piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą.
Įprastai piramidei:
1. šoniniai šonkauliai yra lygūs
2. šoniniai paviršiai lygūs
3. apotemai yra lygūs
4. dvikampiai kampai prie pagrindo yra lygūs
5. dvikampiai kampai prie šoninių briaunų yra lygūs
6. kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo viršūnių
7. kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų šoninių kraštų
Nupjauta piramidė- piramidės dalis, esanti tarp jos pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios pagrindui.
Nupjautinės piramidės pagrindas ir atitinkama atkarpa vadinama nupjautinės piramidės pagrindai.
Statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kito pagrindo plokštumą, vadinamas nupjautos piramidės aukščio.
Užduotys
Nr. 1. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje taškas O yra pagrindo centras, SO=8 cm, BD=30 cm. Raskite kraštinę SA.
Problemų sprendimas
Nr. 1. IN teisinga piramidė visi paviršiai ir kraštai yra lygūs.
Apsvarstykite OSB: OSB yra stačiakampis stačiakampis, nes.
SB 2 = SO 2 + OB 2
SB 2 =64+225=289
Piramidė architektūroje
Piramidė yra monumentali įprastos taisyklingos geometrinės piramidės formos statinys, kurio kraštinės susilieja viename taške. Pagal savo funkcinę paskirtį piramidės senovėje buvo laidojimo ar kulto garbinimo vietos. Piramidės pagrindas gali būti trikampis, keturkampis arba daugiakampio formos su savavališku viršūnių skaičiumi, tačiau labiausiai paplitusi versija yra keturkampis pagrindas.
Yra pastatyta nemažai piramidžių skirtingos kultūros Senovės pasaulis daugiausia kaip šventyklos ar paminklai. Didelės piramidės apima Egipto piramides.
Visoje Žemėje galite pamatyti piramidžių pavidalo architektūrines struktūras. Piramidės pastatai mena senus laikus ir atrodo labai gražiai.
Egipto piramidės didžiausių architektūros paminklų Senovės Egiptas, tarp kurių vienas iš „Septynių pasaulio stebuklų“ yra Cheopso piramidė. Nuo pėdos iki viršūnės siekia 137,3 m, o kol neprarado viršūnės, jo aukštis siekė 146,7 m.
Apverstą piramidę primenantis radijo stoties pastatas Slovakijos sostinėje pastatytas 1983 m. Be biurų ir tarnybinių patalpų, tūrio viduje yra gana erdvi koncertų salė, kurioje yra vieni didžiausių vargonų Slovakijoje.
Luvras, kuris „yra tylus ir didingas, kaip piramidė“, per šimtmečius patyrė daug pokyčių, kol tapo didžiausias muziejus ramybė. Ji gimė kaip tvirtovė, kurią 1190 m. pastatė Pilypas Augustas, kuri netrukus tapo karališka rezidencija. 1793 m. rūmai tapo muziejumi. Kolekcijos praturtėja palikimais ar pirkimais.
Įkeliama...