Šis straipsnis yra apie po kablelio. Čia suprasime trupmeninių skaičių dešimtainį žymėjimą, supažindinsime su dešimtainės trupmenos sąvoka ir pateiksime dešimtainių trupmenų pavyzdžių. Toliau kalbėsime apie dešimtainių trupmenų skaitmenis ir pateiksime skaitmenų pavadinimus. Po to mes sutelksime dėmesį į begalines dešimtaines trupmenas, pakalbėkime apie periodines ir neperiodines trupmenas. Žemiau pateikiame pagrindinių veiksmų sąrašą po kablelio. Pabaigoje nustatykime dešimtainių trupmenų vietą koordinačių pluošte.
Puslapio naršymas.
Trupmeninio skaičiaus dešimtainis žymėjimas
Dešimtainių skaičių skaitymas
Pakalbėkime keletą žodžių apie dešimtainių trupmenų skaitymo taisykles.
Dešimtainės trupmenos, atitinkančios tinkamas paprastąsias trupmenas, skaitomos taip pat, kaip ir šios paprastosios trupmenos, tik iš pradžių pridedamas „nulis sveikasis skaičius“. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 0,12 atitinka bendrąją trupmeną 12/100 (skaitykite „dvylika šimtųjų dalių“), todėl 0,12 skaitoma kaip „nulis taško dvylika šimtųjų dalių“.
Dešimtainės trupmenos, atitinkančios mišrius skaičius, skaitomos lygiai taip pat, kaip ir šie mišrūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 56.002 atitinka mišrų skaičių, todėl dešimtainė trupmena 56.002 skaitoma kaip „penkiasdešimt šeši taškai dvi tūkstantosios dalys“.
Vietos po kablelio
Rašant dešimtaines trupmenas, taip pat rašant natūraliuosius skaičius, kiekvieno skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties. Iš tiesų, skaičius 3 dešimtainėje trupmenoje 0,3 reiškia tris dešimtąsias dalis, dešimtainėje trupmenoje 0,0003 - tris dešimtines dalis, o dešimtainėje trupmenoje 30 000,152 - tris dešimtis tūkstančių. Taigi galime kalbėti apie po kablelio, taip pat apie natūraliųjų skaičių skaitmenis.
Skaičių pavadinimai dešimtainėje trupmenoje iki kablelio visiškai sutampa su natūraliųjų skaičių skaitmenų pavadinimais. O dešimtainių ženklų pavadinimus po kablelio galima pamatyti iš šios lentelės.
Pavyzdžiui, dešimtainėje trupmenoje 37,051 skaitmuo 3 yra dešimčių vietoje, 7 yra vienetų vietoje, 0 yra dešimtosiose, 5 yra šimtosiose, o 1 yra tūkstantosiose.
Vietos po kablelio trupmenomis taip pat skiriasi pirmenybe. Jei rašydami dešimtainę trupmeną pereiname nuo skaitmens prie skaitmens iš kairės į dešinę, tada judėsime nuo senjoraiĮ jaunesniųjų rangų. Pavyzdžiui, šimtų vieta yra senesnė nei dešimtoji vieta, o milijonų vieta yra žemesnė už šimtąją. Tam tikroje paskutinėje dešimtainėje trupmenoje galime kalbėti apie didžiuosius ir mažuosius skaitmenis. Pavyzdžiui, dešimtaine trupmena 604,9387 vyresnysis (aukščiausias) vieta yra šimtai vieta ir jaunesnysis (žemiausias)- dešimties tūkstančių dalių skaitmuo.
Dešimtainės trupmenos išplečiamos į skaitmenis. Tai panašu į išplėtimą į natūraliųjų skaičių skaitmenis. Pavyzdžiui, 45,6072 išplėtimas į kablelius yra toks: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. O sudėjimo savybės iš dešimtainės trupmenos skaidymo į skaitmenis leidžia pereiti prie kitų šios dešimtainės trupmenos atvaizdų, pavyzdžiui, 45.6072=45+0.6072 arba 45.6072=40.6+5.007+0.0002 arba 45.6072=74+5.072 0.6.
Pabaigos po kablelio
Iki šiol kalbėjome tik apie dešimtaines trupmenas, kurių žymėjime yra baigtinis skaičius skaitmenų po kablelio. Tokios trupmenos vadinamos baigtinėmis dešimtainėmis dalimis.
Apibrėžimas.
Pabaigos po kablelio- Tai yra dešimtainės trupmenos, kurių įrašuose yra baigtinis simbolių (skaitmenų) skaičius.
Štai keletas galutinių dešimtainių trupmenų pavyzdžių: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.
Tačiau ne kiekviena trupmena gali būti pateikiama kaip paskutinis dešimtainis skaičius. Pavyzdžiui, trupmena 5/13 negali būti pakeista lygia trupmena, kurios vardiklis yra 10, 100, ..., todėl negali būti konvertuojamas į galutinę dešimtainę trupmeną. Plačiau apie tai kalbėsime teorijos skyriuje, paprastąsias trupmenas konvertuodami į dešimtaines.
Begalinis dešimtainis skaičius: periodinės ir neperiodinės trupmenos
Rašydami dešimtainę trupmeną po kablelio, galite manyti, kad yra begalinis skaitmenų skaičius. Šiuo atveju mes apsvarstysime vadinamąsias begalines dešimtaines trupmenas.
Apibrėžimas.
Begalinis dešimtainis skaičius- Tai yra dešimtainės trupmenos, kuriose yra begalinis skaičius skaitmenų.
Aišku, kad begalinių dešimtainių trupmenų pilna forma užrašyti negalime, todėl jas įrašydami apsiribojame tik tam tikru baigtiniu skaitmenų skaičiumi po kablelio ir dedame elipsę, rodančią be galo besitęsiančią skaitmenų seką. Štai keletas begalinių dešimtainių trupmenų pavyzdžių: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….
Jei atidžiai pažvelgsite į paskutines dvi begalines dešimtaines trupmenas, tai trupmenoje 2.111111111... aiškiai matomas be galo besikartojantis skaičius 1, o trupmenoje 69.74152152152..., pradedant nuo trečio po kablelio, pasikartojanti skaičių grupė 1, 5 ir 2 yra aiškiai matomi. Tokios begalinės dešimtainės trupmenos vadinamos periodinėmis.
Apibrėžimas.
Periodiniai dešimtainiai(arba tiesiog periodinės trupmenos) yra nesibaigiančios dešimtainės trupmenos, kurias įrašant, pradedant nuo tam tikro kablelio, be galo kartojamas koks nors skaičius ar skaičių grupė, kuri vadinama trupmenos laikotarpis.
Pavyzdžiui, periodinės trupmenos 2,111111111... laikotarpis yra skaitmuo 1, o trupmenos 69,74152152152... laikotarpis yra 152 formos skaitmenų grupė.
Priimama begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms ypatinga formaįrašų. Trumpumo dėlei susitarėme vieną kartą užrašyti tašką, įdėdami jį skliausteliuose. Pavyzdžiui, periodinė trupmena 2.111111111... rašoma kaip 2,(1) , o periodinė trupmena 69.74152152152... rašoma kaip 69.74(152) .
Verta paminėti, kad galite nurodyti tą pačią periodinę dešimtainę trupmeną skirtingi laikotarpiai. Pavyzdžiui, periodinė dešimtainė trupmena 0,73333... gali būti laikoma trupmena 0,7(3), kurios taškas yra 3, taip pat trupmena 0,7(33), kai taškas yra 33, ir tt 0,7(333), 0,7 (3333), ... Taip pat galite pažvelgti į periodinę trupmeną 0,73333 ... taip: 0,733 (3), arba taip 0,73 (333) ir pan. Čia, siekiant išvengti dviprasmybių ir neatitikimų, sutinkame dešimtainės trupmenos periodu laikyti trumpiausią iš visų galimų pasikartojančių skaitmenų sekų, pradedant nuo artimiausios padėties iki kablelio. Tai yra, dešimtainės trupmenos 0,73333... periodas bus laikomas vieno skaitmens 3 seka, o periodiškumas prasideda nuo antros padėties po kablelio, tai yra 0,73333...=0,7(3). Kitas pavyzdys: periodinės trupmenos 4.7412121212... periodas yra 12, periodiškumas prasideda nuo trečiojo skaitmens po kablelio, tai yra 4.7412121212...=4.74(12).
Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos gaunamos konvertuojant į dešimtaines trupmenas paprastosios trupmenos, kurių vardikliuose yra pirminių faktorių, išskyrus 2 ir 5.
Čia verta paminėti periodines trupmenas, kurių taškas yra 9. Pateiksime tokių trupmenų pavyzdžių: 6.43(9) , 27,(9) . Šios trupmenos yra dar vienas žymėjimas periodinėms trupmenoms, kurių periodas 0, ir paprastai jos pakeičiamos periodinėmis trupmenomis, kurių periodas 0. Norėdami tai padaryti, 9 laikotarpis pakeičiamas 0 periodu, o kito didžiausio skaitmens reikšmė padidinama vienu. Pavyzdžiui, 7.24(9) formos trupmena su 9 tašku pakeičiama periodine trupmena su 7.25(0) formos periodine trupmena arba lygia galutine dešimtaine trupmena 7.25. Kitas pavyzdys: 4,(9)=5,(0)=5. Trupmenos su periodu 9 ir ją atitinkančios trupmenos lygybė su periodu 0 lengvai nustatoma pakeitus šias dešimtaines trupmenas lygiomis paprastosiomis trupmenomis.
Galiausiai, atidžiau pažvelkime į begalines dešimtaines trupmenas, kuriose nėra be galo pasikartojančios skaitmenų sekos. Jie vadinami neperiodiniais.
Apibrėžimas.
Nesikartojantis dešimtainis skaičius(arba tiesiog neperiodinės trupmenos) yra begalinės dešimtainės trupmenos, neturinčios taško.
Kartais neperiodinių trupmenų forma yra panaši į periodinių trupmenų formą, pavyzdžiui, 8.02002000200002... yra neperiodinė trupmena. Tokiais atvejais turėtumėte būti ypač atsargūs, kad pastebėtumėte skirtumą.
Atminkite, kad neperiodinės trupmenos nekonvertuojamos į paprastąsias trupmenas; begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos reiškia neracionalius skaičius.
Veiksmai su dešimtainėmis dalimis
Viena iš operacijų su dešimtainėmis trupmenomis yra palyginimas, taip pat apibrėžiamos keturios pagrindinės aritmetinės funkcijos operacijos su dešimtainėmis dalimis: sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba. Panagrinėkime atskirai kiekvieną veiksmą su dešimtainėmis trupmenomis.
Dešimtainių skaičių palyginimas iš esmės pagrįstas paprastųjų trupmenų, atitinkančių lyginamąsias dešimtaines trupmenas, palyginimu. Tačiau dešimtainių trupmenų pavertimas paprastosiomis trupmenomis yra gana daug darbo reikalaujantis procesas, o begalinės neperiodinės trupmenos negali būti vaizduojamos kaip paprastoji trupmena, todėl patogu naudoti dešimtainių trupmenų palyginimą pagal vietą. Dešimtainių trupmenų palyginimas pagal vietą yra panašus į natūraliųjų skaičių palyginimą. Norėdami gauti išsamesnės informacijos, rekomenduojame perskaityti straipsnį: dešimtainių trupmenų palyginimas, taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.
Pereikime prie sekantis veiksmas - dauginant po kablelio. Baigtinių dešimtainių trupmenų daugyba atliekama panašiai kaip dešimtainių trupmenų atėmimas, taisyklės, pavyzdžiai, daugybos iš natūraliųjų skaičių stulpelio sprendiniai. Periodinių trupmenų atveju daugyba gali būti sumažinta iki paprastųjų trupmenų dauginimo. Savo ruožtu begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų daugyba po jų apvalinimo sumažinama iki baigtinių dešimtainių trupmenų daugybos. Rekomenduojame toliau studijuoti straipsnyje pateiktą medžiagą: dešimtainių trupmenų daugyba, taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.
Koordinačių spindulio dešimtainės dalys
Tarp taškų ir kablelio yra vienas su vienu atitikimas.
Išsiaiškinkime, kaip sudaromi koordinačių spindulio taškai, atitinkantys tam tikrą dešimtainę trupmeną.
Galime pakeisti baigtines dešimtaines trupmenas ir begalines periodines dešimtaines trupmenas lygiomis paprastosiomis trupmenomis ir tada sudaryti atitinkamas įprastas trupmenas koordinačių spindulyje. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 1,4 atitinka bendrąją trupmeną 14/10, todėl taškas, kurio koordinatė 1,4, teigiama kryptimi pašalinamas iš pradžios 14 atkarpų, lygių vienetinės atkarpos dešimtajai daliai.
Dešimtainės trupmenos gali būti pažymėtos koordinačių spindulyje, pradedant nuo tam tikros dešimtainės trupmenos skaidymo į skaitmenis. Pavyzdžiui, reikia sukurti tašką, kurio koordinatė yra 16.3007, nes 16.3007=16+0.3+0.0007, tada į šį tašką galime patekti nuosekliai iš koordinačių pradžios išdėstydami 16 vienetinių atkarpų, 3 atkarpas, kurių ilgis lygus dešimtajai daliai. vieneto ir 7 atkarpos, kurių ilgis lygus vieneto atkarpos dešimčiai tūkstantajai daliai.
Šis statybos būdas dešimtainiai skaičiai koordinačių spindulys leidžia kiek norite priartėti prie taško, atitinkančio begalinę dešimtainę trupmeną.
Kartais galima tiksliai nubraižyti tašką, atitinkantį begalinę dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui, 
, tada ši begalinė dešimtainė trupmena 1,41421... atitinka koordinačių spindulio tašką, nutolusį nuo koordinačių pradžios kvadrato, kurio kraštinė yra 1 vieneto atkarpa, įstrižainės ilgiu.
Atvirkštinis dešimtainės trupmenos, atitinkančios duotą koordinačių spindulio tašką, gavimo procesas yra vadinamasis. atkarpos dešimtainis matavimas. Išsiaiškinkime, kaip tai daroma.
Tegul mūsų užduotis yra patekti iš pradžios į nurodytą tašką koordinačių tiesėje (arba be galo priartėti prie jo, jei negalime jo pasiekti). Naudodami dešimtainį segmento matavimą, galime nuosekliai atskirti nuo pradžios bet kokį vienetų segmentų skaičių, tada segmentus, kurių ilgis lygus vieneto dešimtajai daliai, tada segmentus, kurių ilgis lygus šimtajai vieneto daliai ir pan. Užregistravę kiekvieno ilgio atkarpų skaičių, gauname dešimtainę trupmeną, atitinkančią tam tikrą koordinačių spindulio tašką.
Pavyzdžiui, norėdami patekti į tašką M aukščiau pateiktame paveikslėlyje, turite atidėti 1 vieneto segmentą ir 4 segmentus, kurių ilgis yra lygus dešimtajai vieneto daliai. Taigi taškas M atitinka dešimtainę trupmeną 1.4.
Akivaizdu, kad koordinačių spindulio taškai, kurių negalima pasiekti atliekant dešimtainį matavimą, atitinka begalines dešimtaines trupmenas.
Bibliografija.
- Matematika: vadovėlis 5 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 21 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: iliustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [N. Ya.Vilenkinas ir kiti]. - 22 leidimas, red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.
Kaip žinoma, racionaliųjų skaičių aibė (Q) apima sveikųjų skaičių aibę (Z), kuri savo ruožtu apima natūraliųjų skaičių aibę (N). Be sveikųjų skaičių, racionalieji skaičiai apima trupmenas.
Kodėl tada visa racionaliųjų skaičių rinkinys kartais laikomas begalinėmis periodinėmis dešimtainėmis trupmenomis? Iš tiesų, be trupmenų, jie taip pat apima sveikuosius skaičius, taip pat neperiodines trupmenas.
Faktas yra tas, kad visi sveikieji skaičiai, taip pat bet kokia trupmena, gali būti vaizduojami kaip begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Tai reiškia, kad visiems racionaliems skaičiams galite naudoti tą patį įrašymo metodą.
Kaip vaizduojamas begalinis periodinis dešimtainis? Jame skliausteliuose dedama pasikartojanti skaičių grupė po kablelio. Pavyzdžiui, 1.56(12) yra trupmena, kurioje kartojasi skaitmenų 12 grupė, t.y. trupmenos reikšmė 1.561212121212... ir taip be galo. Pasikartojančių skaičių grupė vadinama tašku.
Tačiau mes galime pavaizduoti bet kurį skaičių šioje formoje, jei laikome jo periodą skaičiumi 0, kuris taip pat kartojasi be galo. Pavyzdžiui, skaičius 2 yra toks pat kaip 2.00000... Todėl jį galima užrašyti kaip begalinę periodinę trupmeną, t.y. 2,(0).
Tą patį galima padaryti su bet kuria baigtine trupmena. Pavyzdžiui:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Tačiau praktiškai jie nenaudoja baigtinės trupmenos transformavimo į begalinę periodinę. Todėl jie atskiria baigtines trupmenas ir begalines periodines. Taigi teisingiau sakyti, kad racionalieji skaičiai apima
- visi sveikieji skaičiai
- galutinės frakcijos,
- begalinės periodinės trupmenos.
Tuo pačiu metu tiesiog atminkite, kad sveikieji skaičiai ir baigtinės trupmenos teoriškai pateikiami begalinių periodinių trupmenų pavidalu.
Kita vertus, sąvokos baigtinės ir begalinė trupmena taikomas dešimtainėms trupmenoms. Kalbant apie trupmenas, tiek baigtiniai, tiek begaliniai dešimtainiai skaitmenys gali būti vienareikšmiškai pavaizduoti kaip trupmena. Tai reiškia, kad paprastųjų trupmenų požiūriu periodinės ir baigtinės trupmenos yra tas pats dalykas. Be to, sveikieji skaičiai taip pat gali būti pavaizduoti kaip trupmena, įsivaizduojant, kad skaičių dalijame iš 1.
Kaip dešimtainę begalinę periodinę trupmeną pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną? Dažniausiai naudojamas algoritmas yra maždaug toks:
- Sumažinkite trupmeną, kad po kablelio būtų tik taškas.
- Begalinę periodinę trupmeną padauginkite iš 10 arba 100 arba ..., kad kablelis pasislinktų į dešinę vienu tašku (t. y. vienas taškas baigtųsi visoje dalyje).
- Pradinę trupmeną (a) prilyginkite kintamajam x, o trupmeną (b), gautą padauginus iš skaičiaus N iš Nx.
- Atimkite x iš Nx. Iš b atimu a. Tai yra, jie sudaro lygtį Nx – x = b – a.
- Sprendžiant lygtį, gaunama paprastoji trupmena.
Begalinės periodinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją trupmeną pavyzdys:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... - 11,3333...
90x = 102
x =
Norint parašyti racionalųjį skaičių m/n kaip dešimtainę trupmeną, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio. Šiuo atveju koeficientas rašomas kaip baigtinė arba begalinė dešimtainė trupmena.
Užsirašyti duotas numeris kaip dešimtainė trupmena.
Sprendimas. Padalinkite kiekvienos trupmenos skaitiklį į stulpelį pagal vardiklį: A) padalinti 6 iš 25; b) padalinti 2 iš 3; V) padalinkite 1 iš 2, o gautą trupmeną pridėkite prie vienos - sveikosios šio mišraus skaičiaus dalies.
Neredukuojamos paprastosios trupmenos, kurių vardikliuose nėra kitų pirminių faktorių, išskyrus 2 Ir 5 , rašomi kaip paskutinė dešimtainė trupmena.
IN 1 pavyzdys kada A) vardiklis 25=5·5; kada V) vardiklis yra 2, taigi gauname paskutinius dešimtainius 0,24 ir 1,5. Kada b) vardiklis yra 3, todėl rezultatas negali būti parašytas kaip baigtinis dešimtainis.
Ar galima be ilgo padalijimo į dešimtainę trupmeną paversti tokią paprastąją trupmeną, kurios vardiklyje nėra kitų daliklių, išskyrus 2 ir 5? Išsiaiškinkime! Kokia trupmena vadinama dešimtaine ir rašoma be trupmenos juostos? Atsakymas: trupmena su vardikliu 10; 100; 1000 ir kt. Ir kiekvienas iš šių skaičių yra produktas lygus dvejetų ir penketukų skaičius. Iš tikrųjų: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 ir tt
Todėl neredukuojamos paprastosios trupmenos vardiklis turės būti pavaizduotas kaip „dviejų“ ir „penkių“ sandauga, o po to padaugintas iš 2 ir (arba) 5, kad „du“ ir „penki“ būtų lygūs. Tada trupmenos vardiklis bus lygus 10 arba 100 arba 1000 ir pan. Kad trupmenos reikšmė nesikeistų, trupmenos skaitiklį padauginame iš to paties skaičiaus, iš kurio padauginome vardiklį.
Išreikškite šias bendrąsias trupmenas po kablelio:
Sprendimas. Kiekviena iš šių frakcijų yra neredukuojama. Suskaičiuokime kiekvienos trupmenos vardiklį į pirminius veiksnius.
20=2·2·5. Išvada: trūksta vieno „A“.
8=2·2·2. Išvada: trūksta trijų „A“.
25=5·5. Išvada: trūksta dviejų „dviejų“.
komentuoti. Praktikoje jie dažnai nenaudoja vardiklio faktorizavimo, o tiesiog užduoda klausimą: iš kiek reikia padauginti vardiklį, kad rezultatas būtų vienas su nuliais (10 arba 100, 1000 ir pan.). Ir tada skaitiklis padauginamas iš to paties skaičiaus.
Taigi, tuo atveju A)(2 pavyzdys) iš skaičiaus 20 galite gauti 100 padauginę iš 5, todėl skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 5.
Kada b)(pavyzdys 2) iš skaičiaus 8 skaičius 100 nebus gautas, o skaičius 1000 bus gautas padauginus iš 125. Tiek trupmenos skaitiklis (3), tiek vardiklis (8) dauginami iš 125.
Kada V)(2 pavyzdys) iš 25 gausite 100, jei padauginsite iš 4. Tai reiškia, kad skaitiklis 8 turi būti padaugintas iš 4.
Vadinama begalinė dešimtainė trupmena, kurioje vienas ar keli skaitmenys nuolat kartojasi ta pačia seka periodiškai kaip dešimtainis. Pasikartojančių skaitmenų rinkinys vadinamas šios trupmenos periodu. Trumpumo dėlei trupmenos taškas rašomas vieną kartą, skliausteliuose.
Kada b)(1 pavyzdys) yra tik vienas pasikartojantis skaitmuo ir yra lygus 6. Todėl mūsų rezultatas 0,66... bus parašytas taip: 0,(6) . Jie skaito: nulis taško, šeši per laikotarpį.
Jeigu tarp kablelio ir pirmojo taško yra vienas ar daugiau nesikartojančių skaitmenų, tai tokia periodinė trupmena vadinama mišria periodine trupmena.
Neredukuojama bendroji trupmena, kurios vardiklis yra kartu su kitais daugiklis apima daugiklį 2 arba 5 , tampa sumaišytas periodinė trupmena.
Užrašykite skaičius kaip dešimtainę trupmeną:
Bet kurį racionalųjį skaičių galima parašyti kaip begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.
Užrašykite skaičius kaip begalinę periodinę trupmeną.
Prisiminkite, kaip pačioje pirmoje pamokoje apie dešimtainius aš sakiau, kad yra skaitinių trupmenų, kurių negalima pavaizduoti kaip po kablelio (žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“)? Taip pat išmokome apskaičiuoti trupmenų vardiklius, kad pamatytume, ar yra kitų skaičių, išskyrus 2 ir 5.
Taigi: melavau. Ir šiandien mes išmoksime, kaip absoliučiai bet kokią skaitinę trupmeną paversti dešimtainiu. Tuo pačiu metu susipažinsime su visa trupmenų klase, turinčia begalinę reikšmingą dalį.
Periodinis dešimtainis skaičius yra bet koks dešimtainis skaičius, kuris:
- Reikšmingąją dalį sudaro begalinis skaičius skaitmenų;
- Tam tikrais intervalais kartojami reikšmingosios dalies skaičiai.
Pasikartojančių skaitmenų rinkinys, sudarantis reikšmingąją dalį, vadinamas periodine trupmenos dalimi, o skaitmenų skaičius šioje aibėje vadinamas trupmenos periodu. Likęs reikšmingosios dalies segmentas, kuris nesikartoja, vadinamas neperiodine dalimi.
Kadangi yra daug apibrėžimų, verta išsamiai apsvarstyti keletą iš šių trupmenų:
Ši dalis dažniausiai atsiranda problemų atveju. Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: 1.
Neperiodinė dalis: 0,58; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: vėl 1.
Neperiodinė dalis: 1; periodinė dalis: 54; laikotarpio trukmė: 2.
Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 641025; periodo ilgis: 6. Patogumui pasikartojančios dalys viena nuo kitos atskiriamos tarpu – tai šiame sprendime nėra būtina.
Neperiodinė dalis: 3066; periodinė dalis: 6; laikotarpio trukmė: 1.
Kaip matote, periodinės trupmenos apibrėžimas grindžiamas sąvoka reikšminga skaičiaus dalis. Todėl, jei pamiršote, kas tai yra, rekomenduoju tai pakartoti - žiūrėkite pamoką „“.
Perėjimas prie periodinės dešimtainės trupmenos
Apsvarstykite paprastąją formos a /b trupmeną. Išskaidykime jo vardiklį į pirminius veiksnius. Yra dvi parinktys:
- Išplėtimas apima tik koeficientus 2 ir 5. Šios trupmenos lengvai konvertuojamos į dešimtainę dalį – žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“. Mums tokie žmonės neįdomūs;
- Išplėtime yra dar kažkas, išskyrus 2 ir 5. Šiuo atveju trupmena negali būti pavaizduota kaip dešimtainė dalis, tačiau ją galima paversti periodine dešimtaine dalimi.
Norėdami apibrėžti periodinę dešimtainę trupmeną, turite rasti jos periodines ir neperiodines dalis. Kaip? Konvertuokite trupmeną į netinkamą trupmeną, tada kampu padalykite skaitiklį iš vardiklio.
Tai atsitiks:
- Išsiskirs pirmas visa dalis , jei jis yra;
- Po kablelio gali būti keli skaičiai;
- Po kurio laiko prasidės skaičiai kartoti.
Tai viskas! Pasikartojantys skaičiai po kablelio žymimi periodine dalimi, o esantys priekyje – neperiodine.
Užduotis. Paprastąsias trupmenas konvertuoti į periodines dešimtaines:
Visos trupmenos be sveikosios dalies, todėl skaitiklį tiesiog padalijame iš vardiklio su „kampu“:
Kaip matote, likučiai kartojasi. Parašykime trupmeną „teisinga“ forma: 1,733 ... = 1,7(3).
Rezultatas yra trupmena: 0,5833 ... = 0,58(3).
Parašyti normali forma: 4,0909 ... = 4,(09).
Gauname trupmeną: 0,4141 ... = 0.(41).
Perėjimas iš periodinės dešimtainės trupmenos į paprastąją trupmeną
Apsvarstykite periodinę dešimtainę trupmeną X = abc (a 1 b 1 c 1). Jį reikia paversti klasikiniu „dviejų aukštų“. Norėdami tai padaryti, atlikite keturis paprastus veiksmus:
- Raskite trupmenos periodą, t.y. suskaičiuokite, kiek skaitmenų yra periodinėje dalyje. Tegul tai yra skaičius k;
- Raskite išraiškos X · 10 k reikšmę. Tai prilygsta dešimtainio taško perkėlimui visas laikotarpisį dešinę - žiūrėkite pamoką „Dešimtainių skaičių dauginimas ir dalijimas“;
- Pradinė išraiška turi būti atimta iš gauto skaičiaus. Tokiu atveju periodinė dalis „sudeginama“ ir lieka bendroji trupmena;
- Gautoje lygtyje raskite X. Visas dešimtaines trupmenas paverčiame paprastosiomis trupmenomis.
Užduotis. Sumažinti iki įprastų netinkama trupmena skaičiai:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Mes dirbame su pirmąja trupmena: X = 9, (6) = 9,666 ...
Skliausteliuose yra tik vienas skaitmuo, taigi taškas yra k = 1. Toliau šią trupmeną padauginame iš 10 k = 10 1 = 10. Turime:
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:
10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Dabar pažvelkime į antrąją trupmeną. Taigi X = 32, (39) = 32,393939...
Laikotarpis k = 2, todėl viską padauginkite iš 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Dar kartą atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Pereikime prie trečiosios trupmenos: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagrama ta pati, todėl pateiksiu tik skaičiavimus:
Laikotarpis k = 1 ⇒ viską padauginti iš 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.
Galiausiai paskutinė trupmena: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Vėlgi, patogumo dėlei periodinės dalys viena nuo kitos atskirtos tarpais. Mes turime:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Begalinis dešimtainis skaičius
Dešimtainės dalys po kablelio gali turėti begalinį skaičių skaitmenų.
Begalinis dešimtainis skaičius- tai yra dešimtainės trupmenos, kuriose yra begalinis skaičius skaitmenų.
Begalinės dešimtainės trupmenos beveik neįmanoma visiškai užrašyti, todėl jas rašant jos apsiriboja tik tam tikru baigtiniu skaitmenų skaičiumi po kablelio, po kurio dedama elipsė, kuri rodo be galo besitęsiančią skaitmenų seką.
1 pavyzdys
Pavyzdžiui, $0,443340831\dots ; 3.1415935432\taškai ; 135.126730405\dots ; 4,33333333333\taškai ; 676.68349349\dots$.
Pažvelkime į paskutinius du begalinius dešimtainius. Trupmenoje $4.33333333333\taškai$ skaitmuo $3$ kartojamas be galo, o trupmenoje $676.68349349\dots$ skaitmenų $3$, $4$ ir $9$ grupė kartojama nuo trečios dešimtosios dalies. Tokios begalinės dešimtainės trupmenos vadinamos periodinėmis.
Periodiniai dešimtainiai
Periodiniai dešimtainiai(arba periodinės trupmenos) yra begalinės dešimtainės trupmenos, kurias įrašant koks nors skaičius ar skaičių grupė, vadinama trupmenos periodu, be galo kartojasi nuo tam tikro kablelio).
2 pavyzdys
Pavyzdžiui, periodinės trupmenos laikotarpis $4.33333333333\dots$ yra skaitmuo $3$, o trupmenos $676.68349349\dots$ periodas yra skaitmenų grupė $349$.
Siekiant trumpumo, rašant begalines periodines dešimtaines trupmenas, įprasta tašką rašyti vieną kartą, įterpiant jį skliausteliuose. Pavyzdžiui, periodinė trupmena $4.3333333333\taškai $4,(3)$, o periodinė trupmena $676.68349349\taškai $676.68(349)$.
Begalinės periodinės dešimtainės trupmenos gaunamos paverčiant bendrąsias trupmenas, kurių vardikliuose yra pirminiai faktoriai, išskyrus $2$ ir $5$, į dešimtaines trupmenas.
Bet kurią baigtinę dešimtainę trupmeną (ir sveikąjį skaičių) galima parašyti kaip periodinę trupmeną, dešinėje pridėjus begalinį skaičių skaitmenų $0$.
3 pavyzdys
Pavyzdžiui, baigtinis dešimtainis $45.12$ galėtų būti parašytas kaip periodinė trupmena kaip $45.12(0)$, o sveikasis skaičius $(74)$ kaip begalinis periodinis dešimtainis skaičius būtų $74(0)$.
Jei periodinės trupmenos yra 9, naudokite perėjimą į kitą periodinės trupmenos žymėjimą, kurio laikotarpis yra 0 USD. Tik šiuo tikslu 9 periodas pakeičiamas periodu $0$, o kito didžiausio skaitmens reikšmė padidinama $1$.
4 pavyzdys
Pavyzdžiui, periodinę trupmeną $7.45(9)$ galima pakeisti periodine trupmena $7.46(0)$ arba lygiaverte dešimtaine trupmena $7.46$.
Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos vaizduojamos racionaliais skaičiais. Kitaip tariant, bet kurią periodinę trupmeną galima paversti bendrąja trupmena, o bet kurią bendrąją trupmeną galima pavaizduoti kaip periodinę trupmeną.
Trupmenų konvertavimas į baigtinius ir begalinius periodinius dešimtainius
Į dešimtainę trupmeną galima paversti ne tik paprastas trupmenas su vardikliais $10, 100, \dots$.
Kai kuriais atvejais pradinę bendrąją trupmeną galima lengvai sumažinti iki vardiklio $10$, $100$ arba $1\000$, po to gautą trupmeną galima pavaizduoti kaip dešimtainę trupmeną.
5 pavyzdys
Norėdami paversti trupmeną $\frac(3)(5)$ į trupmeną, kurios vardiklis yra $10$, trupmenos skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš $2$, po to gauname $\frac(6)( 10)$, kurią nesunku išversti į dešimtainę trupmeną $0.6$.
Kitais atvejais naudojamas kitas bendrosios trupmenos konvertavimo į dešimtainę metodas):
skaitiklis turi būti pakeistas dešimtaine trupmena su bet kokiu nulių skaičiumi po kablelio;
trupmenos skaitiklį padalyti iš vardiklio (dalyba atliekama kaip natūraliųjų skaičių padalijimas į stulpelį, o dalinyje po visos dividendo dalies padalijimo dedamas kablelis).
6 pavyzdys
Konvertuokite trupmeną $\frac(621)(4)$ į dešimtainę.
Sprendimas.
Pavaizduokime skaičių $621$ skaitiklyje kaip dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, pridėkite po kablelio po kablelio ir, pirmiausia, du nulius po jo. Tada, jei reikia, galite pridėti daugiau nulių. Taigi, mes gavome 621,00 USD.
Padalinkime skaičių $621.00$ iš $4$ į stulpelį:
1 paveikslas.
Padalijimas pasiekė dividendų dešimtainį tašką, o likusi dalis nebuvo nulis. Šiuo atveju į koeficientą dedamas kablelis, o padalijimas tęsiamas stulpelyje, neatsižvelgiant į kablelius:
2 pav.
Likusi dalis yra nulis, o tai reiškia, kad padalijimas baigtas.
Atsakymas: $155,25$.
Gali būti, kad dalijant paprastosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį, likusi dalis neduoda $0$. Tokiu atveju padalijimas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Nuo tam tikro momento periodiškai kartojami dalybos likučiai, o tai reiškia, kad kartojasi ir koeficiento skaičiai. Iš to galime daryti išvadą, kad ši paprastoji trupmena bus paversta begaline periodine dešimtaine trupmena.
7 pavyzdys
Konvertuokite trupmeną $\frac(19)(44)$ į dešimtainę.
Sprendimas.)
Norėdami paversti bendrąją trupmeną į dešimtainę, padalykite ilgą laiką:
3 pav.
Dalijant pasikartoja likučiai $8$ ir $36$, o dalinyje taip pat kartojasi skaičiai $1$ ir $8$. Taigi, pradinė įprastinė trupmena $\frac(19)(44)$ buvo paversta periodine trupmena $\frac(19)(44)=0,43181818\dots =0,43(18)$.
Atsakymas: $0,43(18)$.
Bendra išvada apie paprastųjų trupmenų konvertavimą į dešimtainius:
jei vardiklį galima išskaidyti į pirminius veiksnius, tarp kurių bus tik skaičiai $2$ ir $5$, tai tokią trupmeną galima paversti galutine dešimtaine trupmena;
jei be skaičių $2$ ir $5$, vardiklio plėtinyje yra ir kitų pirminių skaičių, tai tokia trupmena paverčiama begaline periodine dešimtaine trupmena.
Įkeliama...