No tā definīcijas izriet. Un tātad skaitļa logaritms b balstoties uz A ir definēts kā eksponents, līdz kuram skaitlis jāpaaugstina a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).
No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x=log a b, ir līdzvērtīgs vienādojuma atrisināšanai a x = b. Piemēram, log 2 8 = 3 jo 8 = 2 3 . Logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b balstoties uz a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritmu tēma ir cieši saistīta ar tēmu par skaitļa pakāpēm.
Ar logaritmiem, tāpat kā ar jebkuriem skaitļiem, jūs varat darīt saskaitīšanas, atņemšanas operācijas un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, ņemot vērā to, ka logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit tiek piemēroti savi īpašie noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.
Logaritmu saskaitīšana un atņemšana.
Ņemsim divus logaritmus ar vienādām bāzēm: piesakies x Un log a y. Pēc tam ir iespējams veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
žurnāls a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = piesakies x 1 + piesakies x 2 + piesakies x 3 + ... + log a x k.
No logaritma koeficienta teorēma Var iegūt vēl vienu logaritma īpašību. Ir vispārzināms, ka log a 1 = 0, tātad
žurnāls a 1 /b= baļķis a 1 - baļķis a b= - žurnāls a b.
Tas nozīmē, ka pastāv vienlīdzība:
log a 1 / b = - log a b.
Divu apgrieztu skaitļu logaritmi tā paša iemesla dēļ atšķirsies viens no otra tikai ar zīmi. Tātad:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Dotas funkcijas ln x naturālā logaritma, grafa, definīcijas apgabala, vērtību kopas, pamatformulas, atvasinājuma, integrāļa, pakāpju rindas paplašināšanas un attēlojuma pamatīpašības, izmantojot kompleksos skaitļus.
Definīcija
Dabiskais logaritms ir funkcija y = ln x, eksponenciāla apgrieztā vērtība, x = e y, un ir skaitļa e bāzes logaritms: ln x = log e x.
Dabisko logaritmu plaši izmanto matemātikā, jo tā atvasinājumam ir visvienkāršākā forma: (ln x)′ = 1/x.
Pamatojoties definīcijas, naturālā logaritma bāze ir skaitlis e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Funkcijas y = grafiks ln x.
Dabiskā logaritma grafiks (funkcijas y = ln x) iegūst no eksponenciālā grafika ar spoguļatstarošanos attiecībā pret taisni y = x.
Dabiskais logaritms ir definēts mainīgā x pozitīvajām vērtībām. Tas monotoni palielinās savā definīcijas jomā.
Pie x → 0 naturālā logaritma robeža ir mīnus bezgalība (-∞).
Kā x → + ∞, naturālā logaritma robeža ir plus bezgalība (+ ∞). Lielam x logaritms palielinās diezgan lēni. Jebkura jaudas funkcija x a ar pozitīvu eksponentu a aug ātrāk nekā logaritms.
Dabiskā logaritma īpašības
Definīcijas joma, vērtību kopa, galējība, pieaugums, samazinājums
Dabiskais logaritms ir monotoni pieaugoša funkcija, tāpēc tam nav ekstrēmu. Galvenās naturālā logaritma īpašības ir parādītas tabulā.
ln x vērtības
ln 1 = 0
Dabisko logaritmu pamatformulas
Formulas, kas izriet no apgrieztās funkcijas definīcijas:
Logaritmu galvenā īpašība un tās sekas
Bāzes nomaiņas formula
Jebkuru logaritmu var izteikt naturālajos logaritmos, izmantojot bāzes aizstāšanas formulu:
Šo formulu pierādījumi ir sniegti sadaļā "Logaritms".
Apgrieztā funkcija
Dabiskā logaritma apgrieztā vērtība ir eksponents.
Ja tad
Ja tad.
Atvasinājums ln x
Dabiskā logaritma atvasinājums:
.
Moduļa x naturālā logaritma atvasinājums:
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>
Integrāls
Integrāli aprēķina, integrējot pa daļām:
.
Tātad,
Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus
Apsveriet kompleksā mainīgā z funkciju:
.
Izteiksim komplekso mainīgo z caur moduli r un arguments φ
:
.
Izmantojot logaritma īpašības, mums ir:
.
Or
.
Arguments φ nav unikāli definēts. Ja tu ieliec
, kur n ir vesels skaitlis,
tas būs viens un tas pats skaitlis dažādiem n.
Tāpēc naturālais logaritms kā kompleksa mainīgā funkcija nav vienvērtības funkcija.
Jaudas sērijas paplašināšana
Kad notiek paplašināšana:
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.
Mēs turpinām pētīt logaritmus. Šajā rakstā mēs runāsim par logaritmu aprēķināšana, šo procesu sauc logaritms. Vispirms mēs sapratīsim logaritmu aprēķināšanu pēc definīcijas. Tālāk apskatīsim, kā tiek atrastas logaritmu vērtības, izmantojot to īpašības. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz logaritmu aprēķināšanu, izmantojot sākotnēji norādītās citu logaritmu vērtības. Visbeidzot, iemācīsimies izmantot logaritmu tabulas. Visa teorija ir nodrošināta ar piemēriem ar detalizētiem risinājumiem.
Lapas navigācija.
Logaritmu aprēķināšana pēc definīcijas
Vienkāršākajos gadījumos ir iespējams veikt diezgan ātri un vienkārši logaritma atrašana pēc definīcijas. Apskatīsim sīkāk, kā šis process notiek.
Tās būtība ir attēlot skaitli b formā a c, no kuras pēc logaritma definīcijas skaitlis c ir logaritma vērtība. Tas nozīmē, ka pēc definīcijas logaritma atrašanai atbilst šāda vienādību ķēde: log a b=log a a c =c.
Tātad logaritma aprēķināšana pēc definīcijas ir tāda skaitļa c atrašana, ka a c = b, un pats skaitlis c ir vēlamā logaritma vērtība.
Ņemot vērā informāciju iepriekšējos punktos, kad skaitlis zem logaritma zīmes ir dots ar noteiktu logaritma bāzes pakāpju, jūs varat uzreiz norādīt, ar ko logaritms ir vienāds - tas ir vienāds ar eksponentu. Parādīsim risinājumus piemēriem.
Piemērs.
Atrodiet log 2 2 −3, kā arī aprēķiniet skaitļa e 5,3 naturālo logaritmu.
Risinājums.
Logaritma definīcija ļauj uzreiz teikt, ka log 2 2 −3 =−3. Patiešām, skaitlis zem logaritma zīmes ir vienāds ar bāzi 2 līdz pakāpei –3.
Līdzīgi atrodam otro logaritmu: lne 5.3 =5.3.
Atbilde:
log 2 2 −3 = −3 un lne 5,3 =5,3.
Ja skaitlis b zem logaritma zīmes nav norādīts kā logaritma bāzes pakāpe, tad jums rūpīgi jāizpēta, vai ir iespējams izdomāt skaitļa b attēlojumu formā a c . Bieži vien šis attēlojums ir diezgan acīmredzams, it īpaši, ja skaitlis zem logaritma zīmes ir vienāds ar bāzi pakāpē 1, 2, vai 3, ...
Piemērs.
Aprēķiniet logaritmus log 5 25 , un .
Risinājums.
Ir viegli redzēt, ka 25=5 2, tas ļauj aprēķināt pirmo logaritmu: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Pāriesim pie otrā logaritma aprēķināšanas. Skaitli var attēlot kā 7 pakāpju: 
(ja nepieciešams, skatieties). Tāpēc 
.
Pārrakstīsim trešo logaritmu šādu veidlapu. Tagad jūs to varat redzēt 
, no kā mēs to secinām 
. Tāpēc pēc logaritma definīcijas 
.
Īsumā risinājumu varētu uzrakstīt šādi: .
Atbilde:
log 5 25=2, 
Un .
Kad zem logaritma zīmes ir pietiekami liela dabiskais skaitlis, tad nenāktu par ļaunu to iekļaut galvenajos faktoros. Bieži vien palīdz attēlot šādu skaitli kā kādu logaritma bāzes pakāpju un tāpēc aprēķināt šo logaritmu pēc definīcijas.
Piemērs.
Atrodiet logaritma vērtību.
Risinājums.
Dažas logaritmu īpašības ļauj nekavējoties norādīt logaritmu vērtību. Šīs īpašības ietver viena logaritma īpašību un skaitļa, kas vienāds ar bāzi, logaritma īpašību: log 1 1=log a a 0 =0 un log a a=log a a 1 =1. Tas ir, ja zem logaritma zīmes atrodas skaitlis 1 vai skaitlis a, kas vienāds ar logaritma bāzi, tad šajos gadījumos logaritmi ir attiecīgi vienādi ar 0 un 1.
Piemērs.
Ar ko ir vienādi logaritmi un log10?
Risinājums.
Tā kā , tad no logaritma definīcijas izriet 
.
Otrajā piemērā skaitlis 10 zem logaritma zīmes sakrīt ar tā bāzi, tāpēc decimāllogaritms desmit ir vienāds ar vienu, tas ir, lg10=lg10 1 =1.
Atbilde:
UN lg10=1 .
Ņemiet vērā, ka logaritmu aprēķins pēc definīcijas (par ko mēs runājām iepriekšējā punktā) nozīmē vienādības loga a a p =p izmantošanu, kas ir viena no logaritmu īpašībām.
Praksē, ja skaitlis zem logaritma zīmes un logaritma bāze ir viegli attēloti kā noteikta skaitļa pakāpe, ir ļoti ērti izmantot formulu 
, kas atbilst vienai no logaritmu īpašībām. Apskatīsim piemēru, kā atrast logaritmu, kas ilustrē šīs formulas izmantošanu.
Piemērs.
Aprēķiniet logaritmu.
Risinājums.
Atbilde:
.
Aprēķinos tiek izmantotas arī iepriekš neminētas logaritmu īpašības, taču par to mēs runāsim turpmākajos punktos.
Logaritmu atrašana, izmantojot citus zināmos logaritmus
Šajā punktā sniegtā informācija turpina tēmu par logaritmu īpašību izmantošanu to aprēķināšanā. Bet šeit galvenā atšķirība ir tāda, ka logaritmu īpašības tiek izmantotas, lai izteiktu sākotnējo logaritmu cita logaritma izteiksmē, kura vērtība ir zināma. Skaidrības labad sniegsim piemēru. Pieņemsim, ka mēs zinām, ka log 2 3≈1.584963, tad mēs varam atrast, piemēram, log 2 6, veicot nelielu transformāciju, izmantojot logaritma īpašības: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Iepriekš minētajā piemērā mums pietika ar produkta logaritma īpašību izmantošanu. Taču daudz biežāk ir nepieciešams izmantot plašāku logaritmu īpašību arsenālu, lai caur dotajiem aprēķinātu sākotnējo logaritmu.
Piemērs.
Aprēķiniet logaritmu no 27 līdz bāzei 60, ja zināt, ka log 60 2=a un log 60 5=b.
Risinājums.
Tātad mums jāatrod žurnāls 60 27 . Ir viegli redzēt, ka 27 = 3 3 , un sākotnējais logaritms, pateicoties jaudas logaritma īpašībai, var tikt pārrakstīts kā 3·log 60 3 .
Tagad redzēsim, kā izteikt log 60 3 zināmo logaritmu izteiksmē. Ar bāzi vienāda skaitļa logaritma īpašība ļauj uzrakstīt vienādību log 60 60=1. No otras puses, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tādējādi 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Tāpēc log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.
Visbeidzot, mēs aprēķinām sākotnējo logaritmu: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.
Atbilde:
log 60 27=3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.
Atsevišķi ir vērts pieminēt formulas nozīmi pārejai uz jaunu formas logaritma bāzi 
. Tas ļauj pāriet no logaritmiem ar jebkuru bāzi uz logaritmiem ar noteiktu bāzi, kuru vērtības ir zināmas vai ir iespējams tās atrast. Parasti no sākotnējā logaritma, izmantojot pārejas formulu, tie pāriet uz logaritmiem vienā no bāzēm 2, e vai 10, jo šīm bāzēm ir logaritmu tabulas, kas ļauj aprēķināt to vērtības ar noteiktu pakāpi. precizitāte. Nākamajā rindkopā mēs parādīsim, kā tas tiek darīts.
Logaritmu tabulas un to pielietojums
Aptuvenai logaritma vērtību aprēķināšanai var izmantot logaritmu tabulas. Visbiežāk izmantotā 2. bāzes logaritmu tabula ir tabula naturālie logaritmi un decimāllogaritmu tabula. Strādājot decimālskaitļu sistēmā, ir ērti izmantot logaritmu tabulu, kuras pamatā ir desmit bāze. Ar tās palīdzību mēs iemācīsimies atrast logaritmu vērtības.
Piedāvātā tabula ļauj atrast skaitļu decimāllogaritmu vērtības no 1000 līdz 9999 (ar trim zīmēm aiz komata) ar precizitāti līdz desmit tūkstošdaļai. Mēs analizēsim logaritma vērtības atrašanas principu, izmantojot decimāllogaritmu tabulu konkrēts piemērs- tā ir skaidrāk. Atradīsim log1.256.
Decimālo logaritmu tabulas kreisajā kolonnā atrodam skaitļa 1,256 pirmos divus ciparus, tas ir, atrodam 1,2 (skaidrības labad šis skaitlis ir apvilkts ar zilu apli). Skaitļa 1.256 trešais cipars (5. cipars) atrodas pirmajā vai pēdējā rindā pa kreisi no dubultrindas (šis cipars ir apvilkts sarkanā krāsā). Sākotnējā skaitļa 1.256 ceturtais cipars (6. cipars) ir atrodams pirmajā vai pēdējā rindā pa labi no dubultrindas (šis cipars ir apvilkts ar zaļu līniju). Tagad mēs atrodam skaitļus logaritmu tabulas šūnās atzīmētās rindas un atzīmēto kolonnu krustpunktā (šie skaitļi ir izcelti apelsīns). Atzīmēto skaitļu summa dod vēlamo decimāllogaritma vērtību ar precizitāti līdz ceturtajai zīmei aiz komata, tas ir, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Vai, izmantojot iepriekš minēto tabulu, ir iespējams atrast decimāllogaritmu vērtības skaitļiem, kuriem aiz komata ir vairāk nekā trīs cipari, kā arī tos, kas pārsniedz diapazonu no 1 līdz 9,999? Jā tu vari. Parādīsim, kā tas tiek darīts ar piemēru.
Aprēķināsim lg102.76332. Vispirms jums jāpieraksta numurs standarta formā: 102,76332=1,0276332·10 2. Pēc tam mantisa ir jānoapaļo līdz trešajai zīmei aiz komata 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, savukārt sākotnējais decimālais logaritms ir aptuveni vienāds ar iegūtā skaitļa logaritmu, tas ir, mēs ņemam log102.76332≈lg1.028·10 2. Tagad mēs izmantojam logaritma īpašības: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Visbeidzot no decimālo logaritmu tabulas atrodam logaritma lg1.028 vērtību lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Rezultātā viss logaritma aprēķināšanas process izskatās šādi: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
Noslēgumā ir vērts atzīmēt, ka, izmantojot decimālo logaritmu tabulu, varat aprēķināt jebkura logaritma aptuveno vērtību. Lai to izdarītu, pietiek ar pārejas formulu, lai pārietu uz decimāllogaritmiem, atrastu to vērtības tabulā un veiktu atlikušos aprēķinus.
Piemēram, aprēķināsim log 2 3 . Saskaņā ar formulu pārejai uz jaunu logaritma bāzi mums ir . No decimālo logaritmu tabulas atrodam log3≈0,4771 un log2≈0,3010. Tādējādi 
.
Bibliogrāfija.
- Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10. - 11. klasei.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehnikumos).
*Maģistrants zem zinātniskās vadlīnijas Isahova A. A.,PhD matemātiskajā un datormodelēšanā
Vai esat kādreiz domājuši par to, kā cilvēki skaitīja senos laikos, kad nebija ne kalkulatoru, ne datoru? Aprēķini tika veikti manuāli, uz papīra vai prātā. Lai gan uzdevumi, ar kuriem viņi saskārās, bija tikpat sarežģīti kā mūsdienu.
Prombūtne datori mudināja senos matemātiķus vienkāršot aprēķinus. Viņi izdomāja tabulas ar jau aprēķinātām izteiksmēm (piemēram, reizināšanas tabulu) un meklēja veidus, kā sarežģītas darbības aizstāt ar vienkāršām. Šodien mēs runāsim par vienu šādu “vienkāršošanu” jeb to, kā cilvēki iemācījās aizstāt reizināšanu ar saskaitīšanu un dalīšanu ar atņemšanu. Pateicoties tam, tika izgudrots logaritms. Lai saprastu, kas tas ir, jums jāveic tikai trīs soļi.
1. SOLIS. Vienkāršojiet un vēlreiz vienkāršojiet
Sāksim ar vienkāršu piemēru.
2 + 2 = 4
Sarežģīsim uzdevumu un atradīsim piecu divnieku summu.
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Un mēs viegli tikām galā ar šo uzdevumu. Ko darīt, ja jums jāatrod summa 1 000 000 divnieku? Izmantojot līdzīgu aprēķinu metodi, būs nepieciešams daudz vietas un laika. Taču viltīgi matemātiķi saprata, cik viegli to izdarīt. Viņi izdomāja reizināšanas darbību. Apskatīsim, kā tas izskatās:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128
Lai vienkāršotu šo izteiksmi, matemātiķi nāca klajā ar kāpināšanas operāciju. Skaidrs, ka runa ir par viena un tā paša skaitļa reizināšanu ar sevi n reizes, kāpēc to dublēt un pierakstīt atkal un atkal? Vai nav vieglāk to uzrakstīt šādā veidā?
Šeit A- grāda pamats, n– eksponents. Tādējādi esam ievērojami saīsinājuši ierakstu. Neatkarīgi no eksponenta vērtības izteiksme izskatīsies ļoti kodolīgi:
Maikls Stīfels(1487–1567) - vācu matemātiķis, sniedzis nozīmīgu ieguldījumu algebras un tās jomu, piemēram, progresiju, eksponenci un negatīvo skaitļu, attīstībā. Stīfels pirmais izmantoja jēdzienus “eksponents” un “sakne”. Neskatoties uz to, ka zinātnieks faktiski izmantoja logaritmus, atklājēja slava tika skotu matemātiķim Džonam Napieram (1550–1617).
2. SOLIS: izprotiet grādu īpašības
Kā jau teicām, senie matemātiķi neapgrūtināja sevi ar aprēķiniem katru reizi, kad vajadzēja reizināt vai saskaitīt skaitļus, bet izmantoja tabulas ar iepriekš aprēķinātiem rezultātiem. Ļoti ērti! Izmantojot līdzīgu tabulu, vācu matemātiķis Maikls Stīfels pamanīja interesantu modeli starp aritmētisko un ģeometrisko progresiju.
| Aritmētiskā progresija | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Ģeometriskā progresija | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| Jaudas apzīmējums | 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
Mēģināsim redzēt arī viņu. Galu galā šis modelis ļauj vienkāršot darbības reizināšana un dalīšana. Aprēķināsim divu skaitļu reizinājumu:
16 × 64 = ?
Pirms sākat veikt aprēķinus, apskatiet tabulu un atrodiet šos skaitļus: šie ir termini ģeometriskā progresija ar soli 2. Cipari virs tiem augšējā rindā: 4 virs 16; 6 virs 64 ir aritmētiskās progresijas termini. Saskaitīsim šos skaitļus: 4 + 6 = 10. Tagad paskatīsimies, kāds skaitlis atrodas zem skaitļa 10 otrajā rindā – 1024. Bet, ja izpildīsim sākotnējo uzdevumu 16x64, rezultāts būs vienāds ar 1024. Tas nozīmē, ka, izmantojot tabulu un zinot tikai to, kā pievienot skaitļus, jūs varat viegli atrast produktu.
Tagad apsveriet sadalīšanas darbību:
Apskatiet tabulu vēlreiz un atrodiet atbilstošos skaitļus no augšējās rindas. Mēs saņemam attiecīgi 10 un 7. Ja reizinot saskaitām, tad dalot atņemam: 10–7 = 3. Skatāmies skaitli zem skaitļa 3 otrajā rindā, tas ir 8. Tātad 1024:128 = 8.
Līdzīgi operācijām varat izmantot tabulu paaugstināšana un sakņu ekstrakcija.
Piemēram, mums ir jāizveido kvadrāts 32. Mēs skatāmies uz skaitli virs 32 augšējā rindā. Iegūstam 5. Reiziniet 5 ar 2. Rezultāts ir 10, tad apskatiet skaitli zem 10: 1024. Tātad 32 2 = 1024.
Apskatīsim sakņu ekstrakciju. Piemēram, atradīsim skaitļa 512 trešo sakni. Virs skaitļa 512 augšējā rindā ir 9. Sadaliet 9 ar 3, iegūstam 3. Atrodiet atbilstošo skaitli otrajā rindā. Mēs iegūstam 8. Tāpēc 83 = 512.
Visi četri piemēri ir grādu īpašību sekas, kuras var uzrakstīt šādi:
3. SOLIS. Sauksim to par logaritmu
Tikuši galā ar grādiem, mēģināsim atrisināt nelielu vienādojumu:
2 x = 4
Šo vienādojumu sauc indikatīvs. Jo X, kas mums jāatrod indikators jauda, līdz kurai jāpaaugstina 2, lai iegūtu 4. Vienādojuma x = 2 atrisinājums.
Apskatīsim citu līdzīgu piemēru:
2 x = 5
Atkal atkārtosim nosacījumu: mēs meklējam skaitli x, līdz kuram jāpalielina 2, lai iegūtu 5. Šis jautājums mūs satriec. Iespējams, ka risinājums pastāv; piemēram, ja zīmējat šo funkciju grafikus, tās krustojas. Bet, lai to atrastu, mums tas būs jāmeklē, izmantojot izmēģinājumus un kļūdas. Un tas var aizņemt ilgu laiku.
Tāpēc senie zinātnieki izdomāja logaritmu, viņi zināja, ka vienādojuma risinājums pastāv, taču tas ne vienmēr bija vajadzīgs uzreiz. Matemātiski tas ir uzrakstīts šādi: x = log 2 5. Tātad esam atraduši atrisinājumu vienādojumam 2 x = 5. Atbilde: x = log 2 5. Ja sniedzam precīzu atbildi, tad x = 2.32192809489..., un šī daļa nekad nebeidzas.
Izteiciens skan šādi: logaritms no 5 līdz 2. bāzei. To ir viegli atcerēties: bāze vienmēr tiek rakstīta apakšā gan eksponenciālā, gan logaritmiskā apzīmējumā.
Logaritma īpašības
Logaritmiem ir ierobežojumiem. Matemātikā ir divi stingri ierobežojumi.
a) Jūs nevarat dalīt ar nulli
b) Izvelciet negatīva skaitļa pāra sakni(jo negatīvs skaitlis kvadrātā vienmēr būs pozitīvs).
līdzvērtīgs rakstīšanai
a x = b
Ierobežojumi a
a ir bāze, kas jāpaaugstina līdz x jaudai, lai iegūtu b.
Ja a = 1. Viens no jebkuras pakāpes dos vienu.
Un ja a mazāks par nulli? Negatīvie skaitļi- kaprīzs. Tos var pacelt līdz vienai pakāpei, bet ne uz citu. Tāpēc mēs arī tos izslēdzam. Rezultātā iegūstam: a > 0; a ≠ 1
Ierobežojumi b
Ja pozitīvs skaitlis tiek palielināts jebkurā pakāpē, mēs iegūstam arī pozitīvu skaitli. Tādējādi: b > 0. x var būt jebkurš skaitlis, jo mēs varam palielināt ar jebkuru pakāpju.
Ja b = 1. tad jebkuram a vērtība x = 0.
Darbības ar logaritmiem
Ņemot vērā pakāpju pamatīpašības, logaritmiem iegūstam līdzīgas:
Summa. Produkta logaritms ir vienāds ar faktoru logaritmu summu:
Atšķirība. Koeficienta logaritms ir vienāds ar starpību starp dividendes un dalītāja logaritmiem:
Grāds. Pakāpes logaritms ir vienāds ar eksponenta un tā bāzes logaritma reizinājumu.
galvenās īpašības.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
identisks pamatojums
Log6 4 + log6 9.
Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu.
Logaritmu risināšanas piemēri
Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:
Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Pāreja uz jaunu pamatu
Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Skatīt arī:
Logaritma pamatīpašības
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir vienāds ar 2,7 un divreiz pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu.
Logaritmu pamatīpašības
Zinot šo noteikumu, jūs zināt un precīza vērtība izstādes dalībniekus un Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.
Logaritmu piemēri
Logaritma izteiksmes
1. piemērs.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Izmantojot īpašības 3.5, mēs aprēķinām 
2.
3. 
4. 
Kur 
.
Piemērs 2. Atrodiet x ja
Piemērs 3. Dota logaritmu vērtība
Aprēķināt log(x), ja
Logaritmu pamatīpašības
Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.
Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.
Logaritmu saskaitīšana un atņemšana
Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!
Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:
Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.
Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.
Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tie izrādās diezgan normāli cipari. Daudzi ir balstīti uz šo faktu pārbaudes darbi. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).
Eksponenta izvilkšana no logaritma
Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.
Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.
Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:
Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu precizējumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju.
Logaritma formulas. Logaritmu piemēri risinājumi.
Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - saņēmām “trīsstāvu” daļu.
Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, varam samazināt daļskaitli - saucējā paliks 2/4. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.
Pāreja uz jaunu pamatu
Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?
Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:
Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:
Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:
No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.
Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.
Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.
Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:
Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.
Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:
Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:
Pamatlogaritmiskā identitāte
Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:
Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.
Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .
Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.
Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, galvenā logaritmiskā identitāte dažreiz tas ir vienīgais iespējamais risinājums.
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:
Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)
Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle
Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.
- logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
- loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.
Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.
Skatīt arī:
B logaritms līdz a bāzei apzīmē izteiksmi. Aprēķināt logaritmu nozīmē atrast jaudu x (), pie kuras vienādība ir izpildīta
Logaritma pamatīpašības
Iepriekš minētās īpašības ir jāzina, jo uz to pamata tiek atrisinātas gandrīz visas problēmas un piemēri, kas saistīti ar logaritmiem. Pārējās eksotiskās īpašības var iegūt, veicot matemātiskas manipulācijas ar šīm formulām
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Aprēķinot logaritmu summas un starpības formulu (3.4), jūs saskaraties diezgan bieži. Pārējie ir nedaudz sarežģīti, taču vairākos uzdevumos tie ir neaizstājami sarežģītu izteiksmju vienkāršošanai un to vērtību aprēķināšanai.
Bieži sastopami logaritmu gadījumi
Daži no izplatītākajiem logaritmiem ir tādi, kuros bāze ir pat desmit, eksponenciāla vai divas.
Logaritmu līdz desmit bāzei parasti sauc par decimālo logaritmu un vienkārši apzīmē ar lg(x).
No ieraksta noprotams, ka pamatlietas ierakstā nav rakstītas. Piemēram
Dabiskais logaritms ir logaritms, kura bāze ir eksponents (apzīmē ar ln(x)).
Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir vienāds ar 2,7 un divreiz pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu. Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.
Un vēl viens svarīgs logaritms divu bāzei ir apzīmēts ar
Funkcijas logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo
Integrālo jeb antiatvasināto logaritmu nosaka attiecības
Dotais materiāls ir pietiekams, lai atrisinātu plašu ar logaritmiem un logaritmiem saistītu uzdevumu klasi. Lai palīdzētu jums saprast materiālu, es sniegšu tikai dažus izplatītus piemērus no skolas mācību programma un universitātes.
Logaritmu piemēri
Logaritma izteiksmes
1. piemērs.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Izmantojot īpašības 3.5, mēs aprēķinām
2.
Pēc logaritmu starpības īpašības mums ir
3.
Izmantojot īpašības 3.5, mēs atrodam
4. Kur .
Šķietami sarežģīta izteiksme tiek vienkāršota, lai izveidotu, izmantojot vairākus noteikumus
Logaritma vērtību atrašana
Piemērs 2. Atrodiet x ja
Risinājums. Aprēķiniem mēs attiecinām uz pēdējā termiņa 5 un 13 īpašībām
Mēs to ierakstām un sērojam
Tā kā bāzes ir vienādas, mēs vienādojam izteiksmes
Logaritmi. Pirmais līmenis.
Dota logaritmu vērtība
Aprēķināt log(x), ja
Risinājums: ņemsim mainīgā logaritmu, lai rakstītu logaritmu caur tā vārdu summu
Tas ir tikai sākums mūsu iepazīšanai ar logaritmiem un to īpašībām. Praktizējiet aprēķinus, bagātiniet savas praktiskās iemaņas – iegūtās zināšanas jums drīz būs nepieciešamas, lai atrisinātu logaritmiskos vienādojumus. Izpētījuši šādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes, paplašināsim jūsu zināšanas uz citu tikpat svarīgu tēmu - logaritmiskās nevienādības...
Logaritmu pamatīpašības
Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.
Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.
Logaritmu saskaitīšana un atņemšana
Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!
Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log6 4 + log6 9.
Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.
Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.
Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).
Eksponenta izvilkšana no logaritma
Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:
Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.
Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.
Kā atrisināt logaritmus
Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.
Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:
Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu precizējumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - saņēmām “trīsstāvu” daļu.
Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, varam samazināt daļskaitli - saucējā paliks 2/4. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.
Pāreja uz jaunu pamatu
Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?
Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:
Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:
Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:
No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.
Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.
Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.
Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:
Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.
Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:
Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:
Pamatlogaritmiskā identitāte
Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:
Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.
Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .
Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.
Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:
Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)
Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle
Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.
- logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
- loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.
Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.
Notiek ielāde...